Διαγώνισμα Φυσικής Γ Λυκείου Απλή αρμονική ταλάντωση Κρούσεις ~~ Λύσεις ~~ Α1. δ Α2. β Α3. β Α4. β Α5. Σ,Σ,Σ,Λ,Λ Θέμα Α Β1. Σωστή απάντηση η α. Θέμα Β Η σχέση της φάσης με το χρόνο δίνεται από τον τύπο:. Από τη γραφική παράσταση φαίνεται ότι για. Με αντικατάσταση έχουμε:. Από τη γραφική παράσταση φαίνεται ότι για. Με αντικατάσταση έχουμε:. Από τον τύπο έχουμε: Δημήτριος Γ. Φαδάκης Σελίδα 1
Β2. Σωστή απάντηση η α. Από ΑΔΟ προκύπτει: P 1 + P 2 = P Σ P 2 Σ = P 2 1 + P 2 2 + 2P 1 P 2 συνφ (2mυ Σ ) 2 = (mυ) 2 + (mυ) 2 + 2(mυ)(mυ)συνφ (2m υ 2 )2 = 2(mυ) 2 + 2m 2 υ 2 συνφ m 2 υ 2 = 2m 2 υ 2 συνφ συνφ = 1 2 φ = 120, αφού 0 < φ < 180 Β3. Η σωστή απάντηση είναι η γ. Για τη θέση ισορροπίας ισχύει: ή ή (1) Με εφαρμογή της διατήρησης της μηχανικής Ενέργειας για την πτώση της μάζας βρίσκουμε την ταχύτητά της ελάχιστα πριν την κρούση: ή Επειδή οι μάζες των σωμάτων είναι ίσες και η κρούση κεντρική ελαστική, τα σώματα ανταλλάσουν ταχύτητες, οπότε το σώμα μάζας θα ξεκινήσει αρμονική ταλάντωση με Έχουμε: και με αντικατάσταση του k από τη σχέση (1) εύκολα προκύπτει Δημήτριος Γ. Φαδάκης Σελίδα 2
Θέμα Γ α) Το σώμα Σ2 εκτελεί κατακόρυφη κίνηση προς τα πάνω και η μόνη δύναμη που του ασκείται είναι το βάρος του, άρα η μηχανική του ενέργεια διατηρείται. Γράφουμε τη διατήρηση της μηχανικής ενέργειας μεταξύ του σημείου εκτόξευσης και του σημείου ελάχιστα πριν την κρούση. Θεωρούμε επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας λόγω βαρυτικού πεδίου, εκείνο από το οποίο ξεκινά το σώμα Σ2. Στη διάρκεια της κρούσης, οι εξωτερικές δυνάμεις του συστήματος των δύο σωμάτων, είναι αμελητέες σε σχέση με τις εσωτερικές δυνάμεις και κατά συνέπεια ισχύει η αρχή διατήρησης της ορμής. Η κρούση είναι κεντρική ελαστική και τα σώματα έχουν ίσες μάζες, άρα ανταλλάσσουν ταχύτητες. Συνεπώς η ταχύτητα του Σ1 μετά την κρούση θα Δημήτριος Γ. Φαδάκης Σελίδα 3
είναι. Το σώμα Σ1 θα ξεκινήσει ταλάντωση γύρω από την αρχική θέση ισορροπίας του, άρα η ταχύτητα που αποκτά, αποτελεί την μέγιστη ταχύτητα της ταλάντωσης. (1) Για την περίοδο της ταλάντωσης ισχύει: και Με αντικατάσταση στη σχέση (1) παίρνουμε: β)το σώμα Σ2 μετά την κρούση θα αποκτήσει μηδενική ταχύτητα και θα ξεκινήσει ελεύθερη πτώση. Έτσι, η θέση του σε σχέση με το σημείο σύγκρουσης κάθε στιγμή θα βρίσκεται από τη σχέση (2), θεωρώντας τη θετική φορά προς τα κάτω. Το σώμα Σ1 ελαχιστοποιεί την κινητική του ενέργεια για 1η φορά όταν βρεθεί στην πάνω ακραία θέση. Επειδή ξεκινά από τη θέση ισορροπίας, μέχρι να πάει στη θέση μέγιστης απομάκρυνσης απαιτείται χρονικό διάστημα Δημήτριος Γ. Φαδάκης Σελίδα 4
Με αντικατάσταση στη σχέση (2) βρίσκουμε: γ) Εφαρμόζουμε το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας μεταξύ των εξής δύο θέσεων: της θέσης ισορροπίας και του υψηλότερου σημείου της τροχιάς του σώματος δ) Το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της ταχύτητας είναι το μέτρο της επιτάχυνσης του σώματος στη θέση αυτή. Επειδή το σώμα βρίσκεται σε ακραία θέση αυτή θα παίρνει τη μέγιστη τιμή της. Δημήτριος Γ. Φαδάκης Σελίδα 5
Θέμα Δ α. Στη ΘΙ του συσσωματώματος το ελατήριο έχει επιμήκυνση Δl 2 και ισχύει: k Δl 2 = (m 1 + m 2 )g ημθ Δl 2 = 0,2m Η κρούση έγινε στη ΘΙ του σώματος μάζας m 1, όπου το ελατήριο έχει επιμήκυνση Δl 1 και ισχύει: Άρα: d = Δl 2 Δl 1 = 0,1m k Δl 1 = m 1 g ημθ Δl 1 = 0,1m β. Το σώμα μάζας m 2 έχει ακριβώς πριν την κρούση ταχύτητα υ, η οποία υπολογίζεται με ΘΜΚΕ: Κ τελ Κ αρχ = W w 1 2 m 2υ 2 1 2 m 2υ 0 2 = m 2 gs ημθ υ = 3 m s Από ΑΔΟ για την πλαστική κρούση προκύπτει: m 2 υ = (m 1 + m 2 )υ Σ υ Σ = 3 2 m s Επειδή το συσσωμάτωμα αμέσως μετά την κρούση βρίσκεται σε απόσταση d από τη ΘΙ του και έχει ταχύτητα υ Σ, έχουμε: Ε ταλ = 1 2 kd2 + 1 2 (m 2 1 + m 2 )υ Σ Ε ταλ = 2 J Δημήτριος Γ. Φαδάκης Σελίδα 6
γ. E απωλ = Κ ολ(αρχ) Κ ολ(τελ) = 1 2 m 2υ 2 1 2 (m 1 + m 2 )υ Σ 2 = 1,5 J δ. Από Ε ταλ = 1 2 kα2 = 2 J, προκύπτει ότι Α = 0,2 m Επίσης ω = = 5 rad s m 1 +m 2 k Τη χρονική στιγμή t = 0 για το συσσωμάτωμα ισχύει, x = +0,1m και υ > 0. Από x = Aημ(ωt + φ 0 ), υπολογίζουμε ότι : φ 0 = π 6 rad Άρα η χρονική εξίσωση της ταχύτητας είναι: υ = υ max συν(ωt + φ 0 ) υ = 1συν (5t + π ) (S. I. ) 6 Και επειδή, p = (m 1 + m 2 )υ, προκύπτει ότι: p = 4συν (5t + π ) (S. I. ) 6 Δημήτριος Γ. Φαδάκης Σελίδα 7