HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 09/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/9/2017 1 1

Θεωρία Συνόλων 3/9/2017 2

Προηγούµενη φορά Σύνολα Πολυσύνολα Ισότητα συνόλων ιαγράµµατα Venn x S Κενό σύνολο, µοναδικότητα Σχέση υποσυνόλου 3/9/2017 3 3

«ανήκει» x S ( το στοιχείο xανήκει στο σύνολο S ), είναι η πρόταση που λέει ότι το αντικείµενο x είναι ένα στοιχείο/µέλος του συνόλου S. π.χ. 3 N, α {x x γράµµα του αλφάβητου} : Από το ελληνικό «στίν» Συµβολισµός: x S : ορ. (x S) Πως θα ορίζαµε την ισότητα συνόλων µε βάση τον κατηγορηµατικό λογισµό; 3/9/2017 4 4

Ισότητα συνόλων Η ισότητα συνόλων ορίζεται µε βάση το : ύο σύνολα είναι ίσα αν και µόνο αν έχουν τα ίδια στοιχεία. S=T : ορ. x (x S x T) 3/9/2017 5 5

Σχέσεις υποσυνόλου και υπερσυνόλου S T ( Το S είναι υποσύνολο του T ) σηµαίνει ότι κάθε στοιχείο του S είναι επίσης και στοιχείο του T. S T : ορ. x (x S x T) 3/9/2017 6 6

Σχέσεις υποσυνόλου και υπερσυνόλου Τι λέτε για τα παρακάτω; S S ; ΝΑΙ S ; ΝΑΙ 3/9/2017 7 7

Σχέσεις υποσυνόλου και υπερσυνόλου Τι λέτε για τα παρακάτω; S S ;ΟΧΙ S ; ΌΧΙ πάντα! Π.χ., {, α, β} αλλά {α, β} 3/9/2017 8 8

Σχέσεις υποσυνόλου και υπερσυνόλου Αυτό µας βοηθά να κατανοήσουµε περισσότερο τον τελεστή «εάν τότε» Η πρόταση x (P(x) Q(x)) σηµαίνει ότι «τα στοιχεία που έχουν την ιδιότητα P είναι υποσύνολο των στοιχείων που έχουν την ιδιότητα Q» Αν κανένα στοιχείο στο π.ο. της x δεν έχει την ιδιότητα P, τότε η πρόταση x (P(x) Q(x)) είναι αληθής Αν όλα τα στοιχεία έχουν την ιδιότητα Q, τότε η πρόταση x (P(x) Q(x)) είναι και πάλι αληθής Η µόνη περίπτωση να είναι ψευδής η πρόταση είναι να υπάρχει ένα στοιχείο µε την ιδιότητα P που να µην έχει την ιδιότητα Q 3/9/2017 9 9

Σχέσεις υποσυνόλου και υπερσυνόλου Περισσότεροι συµβολισµοί: S T ( Το S είναι υπερσύνολο του T ) : ορ. T S. Σηµειώστε ότι S=T S T S T. : ορ. (S T), δηλ. x(x S x T) S T 3/9/2017 10 10

Γνήσια υποσύνολα και υπερσύνολα S T ( Το S είναι γνήσιο υποσύνολο του T ) σηµαίνει ότι S T S T Παράδειγµα:{1,2} {1,2,3} Ισχύει ότι {1,2,3} {1,2,3},... αλλά όχι ότι {1,2,3} {1,2,3} 3/9/2017 11 11

Τα σύνολα είναι αντικείµενα επίσης! Τα στοιχεία ενός συνόλου µπορούν να είναι από µόνα τους σύνολα. Π.χ. S={{1,2}, {1,3}} Προσοχή: {1,2} {{1,2}} 3/9/2017 12 12

Πληθικός αριθµός S ( ο πληθικός αριθµός του S ) είναι το πλήθος των στοιχείων του S. π.χ., =0, {1,2,3} = 3, {a,b} = 2, {{1,2,3},{4,5}} = 2 Εάν S N, τότε λέµε ότι το S είναι πεπερασµένο. Αλλιώς, λέµε ότι το S είναι άπειρο. 3/9/2017 13 13

Το δυναµοσύνολο ενός συνόλου Το δυναµοσύνολο P(S) ενός συνόλου S είναι το σύνολο όλων των δυνατών υποσυνόλων του S. P(S) : {x x S}. Π.χ. P({a,b}) = {, {a}, {b}, {a,b}}. Μερικές φορές το P(S) το συµβολίζουµε µε 2 S. Σηµειώστε ότι (σίγουρα για πεπερασµένα σύνολα S), P(S) = 2 S. Προκύπτει ότι S: P(S) > S, e.g. P(N) > N. Υπάρχουν άπειρα σύνολα µε διαφορετικά µεγέθη! 3/9/2017 14 14

Πράξεις µεταξύ συνόλων Ένωση Τοµή ιαφορά Συµµετρική διαφορά Συµπλήρωµα συνόλου 3/9/2017 15 15

Ένωση συνόλων Για δύο σύνολα A, B, η ένωσή τους ( nion) A B είναι το σύνολο που περιέχει τα στοιχεία που ανήκουν στο A, ή ( ) ανήκουν στο B (ή, φυσικά, και στα δύο). Τυπικά, A,B: A B = {x x A x B}. Πχ. {2,3,5} {3,5,7} ={2,3,5,7} Η ένωση A B δύο συνόλων Α, Β αποτελεί υπερσύνολο και του A και του B : A, B: (A B A) (A B B) 3/9/2017 16 16

Παράδειγµα ένωσης συνόλων {2,3,5} {3,5,7} ={2,3,5,7} 3/9/2017 17 17

Ένωση συνόλων Πως µπορούµε να αποδείξουµε ότι η ένωση A B δύο συνόλων Α, Β αποτελεί το µικρότερο δυνατό υπερσύνολο και του A και του B; Έστω ότι υπάρχει σύνολο Μ, υπερσύνολο του Α και του Β που έχει λιγότερα στοιχεία από το A B Αυτό σηµαίνει πως Α Μ και Β Μ και ταυτόχρονα υπάρχει x A B τέτοιο ώστε x Μ. Αφού x A B, τότε x A ή x B. Και αφού Α Μ και Β Μ, x M. Αντίφαση Άρα, δεν υπάρχει υπερσύνολο του Α και του Β µε λιγότερα στοιχεία από το A B 3/9/2017 18 18

Γενικευµένη ένωση συνόλων υαδικός τελεστής ένωσης: A B n-οστή ένωση: A A 2 A n : (( ((A 1 A 2 ) ) A n ) (η οµαδοποίηση & η σειρά δεν παίζουν ρόλο) Συµβολισµός: ή: A X A n i= 1 A i 3/9/2017 19 19

Τοµή συνόλων Για σύνολα A, B, η τοµή τους A B περιλαµβάνει όλα τα στοιχεία που ανήκουν ταυτόχρονα στο A και ( ) στο B. Τυπικά, A,B: A B={x x A x B}. Η τοµή A B δύο συνόλων Α, Β είναι ένα υποσύνολο και του A και του B (το µέγιστο τέτοιο υποσύνολο): A, B: (A B A) (A B B) 3/9/2017 20 20

Παράδειγµα τοµής συνόλων {a,b,c} {2,3} = {2,4,6} {3,4,5} = {4} 3/9/2017 21 21

Γενικευµένη τοµή συνόλων υαδικός τελεστής τοµής: A B n-οστή τοµή: A 1 A 2 A n (( ((A 1 A 2 ) ) A n ) (η οµαδοποίηση & η σειρά δεν παίζουν ρόλο) Συµβολισµός: ή: A X A n i= 1 A i 3/9/2017 22 22

Ξένα σύνολα ύο σύνολα A, B λέγονται ξένα αν και µόνο αν η τοµή τους είναι το κενό σύνολο. (A B= ) Π.χ. {a,b,c} {2,3} = 3/9/2017 23 23

Αρχή του εγκλεισµού-αποκλεισµού Πόσα στοιχεία βρίσκονται στην ένωση A B δύο συνόλων Α και Β; Μπορείτε να σκεφτείτε µία γενική σχέση; (Εκφράστε το µε βάση τα A, B και ό,τι άλλο χρειαστείτε.) 3/9/2017 24 24

Αρχή του εγκλεισµού-αποκλεισµού Πόσα στοιχεία βρίσκονται στην ένωση A B δύο συνόλων Α και Β; Μπορείτε να σκεφτείτε µία γενική σχέση; A B = A + B A B 3/9/2017 25 25

Αρχή του εγκλεισµού-αποκλεισµού: Παράδειγµα Παράδειγµα: Έστω ότι σε ένα σύνολο ανθρώπων, 50 άτοµα έχουν µηχανάκι, 180 άτοµα έχουν ποδήλατο και 30 άτοµα έχουν και µηχανάκι και ποδήλατο. Πόσοι άνθρωποι έχουν δίτροχο µεταφορικό µέσο; 3/9/2017 26 26

Αρχή του εγκλεισµού-αποκλεισµού: Παράδειγµα Α Β Μηχανάκι (50) Μηχανάκι + Ποδήλατο (30) Ποδήλατο (180) 3/9/2017 27 27

Αρχή του εγκλεισµού-αποκλεισµού Έστω = Α Β, όπου, Α = {s s έχει µηχανάκι} Β = {s s έχει ποδήλατο} Μερικοί µπορεί να έχουν και τα δύο! = Α Β = Α + Β Α Β (στο παράδειγµά µας, = 50+180-30 = 200) 3/9/2017 28 28

Αρχή του εγκλεισµού-αποκλεισµού Στην περίπτωση τριών συνόλων Α 1 Α 2 Α 3 = Α 1 + Α 2 + Α 3 - Α 1 Α 2 - Α 1 Α 3 - Α 2 Α 3 + Α 1 Α 2 Α 3 Θα δούµε αργότερα πως γενικεύεται για την ένωση n συνόλων. 3/9/2017 29 29

Αρχή του εγκλεισµού-αποκλεισµού για ξένα σύνολα Αν Α, Β ξένα σύνολα, τότε: A B = A + B 3/9/2017 30 30

ιαφορά συνόλων Για σύνολα A, B, η διαφορά του A από το B, συµβολίζεται µε A B, και αποτελείται από όλα τα στοιχεία του A που δεν ανήκουν στο B. Τυπικά: A B : {x x A x B} 3/9/2017 31 31

ιαφορά συνόλων - Venn Diagram Το σύνολο A B είναι ότι αποµένει από το Α όταν από αυτό εξαιρέσουµε όλα τα στοιχεία του Β Σύνολο A B Σύνολο A Σύνολο B 3/9/2017 32 32

Παραδείγµατα διαφοράς συνόλων {1,2,3,4,5,6} {2,3,5,7,9,11} = {1,4,6} Z N = {x x ακέραιος αλλά όχι φυσικός} = {, 1, 0, 1, 2, } {1, 2 } = {, 3, 2, 1, 0} 3/9/2017 33 33

Συµµετρική διαφορά συνόλων Για σύνολα A, B, η συµµετρική διαφορά τους, συµβολίζεται µε A B, και αποτελείται από όλα τα στοιχεία της ένωσής τους, αν εξαιρεθούν τα στοιχεία της τοµής τους. Τυπικά: A B : (A B) (A B) 3/9/2017 34 34

Συµπληρώµατα συνόλων Ο δειγµατικός χώρος µπορεί να θεωρηθεί ως σύνολο, έστω U. Για κάθε σύνολο A U, το συµπλήρωµα του A, A, ως προς το U, είναι το U A. Π.χ., Εάν U=N, {3,5} = {1, 2, 4,6,7,...} 3/9/2017 35 35

Αµοιβαία ξένα σύνολα Έστω n σύνολα Α i, 1=1, 2,, n Τα σύνολα Α i ονοµάζονται αµοιβαία ξένα αν και µόνο αν i j, (Αi Αj = ) 3/9/2017 36 36

ιαµέριση ενός συνόλου Α Έστω n µη κενά σύνολα Α i, i=1, 2,, n. Τα σύνολα Α i αποτελούν µία διαµέριση του συνόλου Α αν και µόνο αν: n (1) A = Ai i= 1 (2) Ta Α i είναι αµοιβαία ξένα σύνολα Α 2 Α Α 4 Α 1 Α3 3/9/2017 37 37

Ταυτότητες A = A = A U A U = U A = A A = A = A A A B = B A ( A ) = A A B = B A A (B C)=(A B) C A (B C)=(A B) C 3/9/2017 38 38

Αντικ.: µε, µε, A = A = A U A U = U, A = A A = A = A A µε F, U µε T ( A ) = A A B = B A, A B = B A A (B C)=(A B) C, A (B C)=(A B) C 3/9/2017 39 39

Νόµος DeMorgan για σύνολα Ακριβώς ανάλογος µε (και αποδείξιµος από) τον νόµο DeMorgan για προτάσεις. A B = A B A B = A B 3/9/2017 40 40

Παράδειγµα χρήσης αρχής εγκλεισµούαποκλεισµού, διαφοράς συνόλων και De Morgan Πόσοι ακέραιοι από το 1 έως το 1000 δεν είναι πολλαπλάσια ούτε του 10, ούτε του 4, ούτε του 15; 3/9/2017 41 41

Παράδειγµα Πόσοι ακέραιοι από το 1 έως το 1000 δεν είναι πολλαπλάσια πολλαπλάσια ούτε του 10, ούτε του 4, ούτε του 15; Έστω Σ= {οι ακέραιοι από το 1 έως το 1000} Έστω Α= {τα πολλαπλάσια του 10} Έστω Β= {τα πολλαπλάσια του 4} Έστω Γ= {τα πολλαπλάσια του 15} Τι θέλουµε να υπολογίσουµε; 3/9/2017 42 42

Παράδειγµα Θέλουµε να υπολογίσουµε την ποσότητα: Όµως Α Β Γ Α Β Γ = Α Β Γ = Σ ( Α Β Γ) Α Β Γ = Σ ( Α Β Γ ) = Σ Α Β Γ γιατί ισχύει η τελευταία ισότητα; 3/9/2017 43 43

Παράδειγµα Εποµένως, Α Β Γ = Σ Α Β Γ = Σ ( Α + Β + Γ Α Β Α Γ Β Γ + Α Β Γ ) = Σ ( Α + Β + Γ ) + ( Α Β + Α Γ + Β Γ ) Α Β Γ Α Β = πολλαπλάσια του 20 Α Γ = πολλαπλάσια του 30 Β Γ = πολλαπλάσια του 60 Α Β Γ = πολλαπλάσια του 60 3/9/2017 44 44

Παράδειγµα Αρα, Α Β Γ = Σ ( Α + Β + Γ ) + ( Α Β + Α Γ + Β Γ ) Α Β Γ 1000-( 1000/10 + 1000/4 + 1000/15 ) + ( 1000/20 + 1000/30 + 1000/60 )- 1000/60 =1000-(100+250+66)+(50+33+16)-16=667. 3/9/2017 45 45

Απόδειξη ισότητας συνόλων Για να αποδείξουµε προτάσεις της µορφής E 1 = E 2 (όπου τα E 1, E 2 είναι εκφράσεις συνόλων), υπάρχουν τέσσερις βασικές τεχνικές: 1. Χρήση του πίνακα µελών 2. ιαγράµµατα Venn 3. Απόδειξη ότι E 1 E 2 και E 2 E 1. 4. Χρήση ταυτοτήτων 3/9/2017 46 46

Μέθοδος 1: Πίνακες µελών Κατ αναλογία µε τους πίνακες αληθείας στον προτασιακό λογισµό Στήλες για διαφορετικές εκφράσεις µε σύνολα. Γραµµές για όλους τους συνδυασµούς συµµετοχής στα σύνολα που απαρτίζουν τις εκφράσεις Χρήση 1 για τα µέλη, 0 για τα µη-µέλη. Απόδειξη ισότητας µε σύγκριση στηλών. 3/9/2017 47 47

Παράδειγµα Αποδείξτε ότι (A B) B = A B. A B A B (A B) B A B 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 3/9/2017 48 48

Κι άλλο παράδειγµα Αποδείξτε ότι (A B) C = (A C) (B C). A B C A B (A B) C A C B C (A C) (B C) 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 3/9/2017 49 49

συνέχεια Αποδείξτε ότι (A B) C = (A C) (B C). A B C A B (A B) C A C B C (A C) (B C) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 3/9/2017 50 50

Μέθοδος 2: ιαγράµµατα Venn Αποδείξτε ότι (A B) B = A B Α Β 3/9/2017 51 51

Μέθοδος 2: ιαγράµµατα Venn Αποδείξτε ότι (A B) B = A B Α Β A B = (A B) B 3/9/2017 52 52

Μέθοδος 3: υποσύνολα Παράδειγµα: είξτε ότι A (B C)=(A B) (A C). Μέρος 1ο: είχνω ότι A (B C) (A B) (A C). Υποθέτω x (A (B C)), & δείχνω ότι x ((A B) (A C)). Γνωρίζουµε ότι x A, και είτε x B είτε x C. Περ. 1: x B. Τότε x A B, εποµένως x (A B) (A C). Περ. 2: x C. Τότε x A C, εποµένως x (A B) (A C). Άρα, x (A B) (A C). Άρα, A (B C) (A B) (A C). 3/9/2017 53 53

Μέθοδος 3: υποσύνολα Παράδειγµα: είξτε ότι A (B C)=(A B) (A C). Μέρος 2ο: είχνω ότι (A B) (A C) A (B C). Υποθέτω x ((A B) (A C)) & δείχνω ότι x (A (B C)). Γνωρίζουµε ότι x (A B), ή x (A C). Περ. 1: x (A B). Τότε x A και x (B C), εποµένως x (A (B C)). Περ. 2: x (A C). Τότε x A και x (B C), εποµένως x (A (B C)). Άρα, x (A (B C)). Άρα, (A B) (A C) A (B C). Άρα, A (B C)=(A B) (A C). 3/9/2017 54 54

Μέθοδος 4: χρήση ταυτοτήτων Aπ ευθείας µε ταυτότητες ισότητας συνόλων Είτε µε «µετάφραση» σε προτασιακή λογική, π.χ., δείξτε ότι A (B C) (A B) (A C). Ποιά αντίστοιχη πρόταση θα πρέπει να αποδείξουµε στον προτασιακό λογισµό; 3/9/2017 55 55

Μέθοδος 4: χρήση ταυτοτήτων Είτε απ ευθείας µε ταυτότητες συνόλων Είτε µε «µετάφραση» σε προτασιακή λογική, π.χ., δείξτε ότι A (B C) (A B) (A C). Αρκεί να δείξουµε ότι η πρόταση A (B C) (A B) (A C) αποτελεί ταυτολογία 3/9/2017 56 56

Μέθοδος 4: χρήση ταυτοτήτων Πράγµατι: A (B C) (A B) (A C) (A (B C)) ((A B) (A C) ) (A (B C)) (A (B C)) T 3/9/2017 57 57

ιατεταγµένες n-άδες Για n N, µία διατεταγµένη n-αδα ή µία ακολουθία µήκους n γράφεται ως (a 1, a 2,, a n ). Το πρώτο στοιχείο της είναι το a 1, κλπ. Mπορούµε να έχουµε αντίγραφα στοιχείων H σειρά των στοιχείων έχει σηµασία! (1, 2) (2, 1) (2, 1, 1). 3/9/2017 58 58

Οι διατεταγµένες n-άδες έχουν πολλές εφαρµογές. Για παράδειγµα, Μαθηµατικές δοµές συχνά περιγράφονται µε µία συγκεκριµένη διάταξη που επιτρέπει να ξέρουµε πιο στοιχείο παίζει πιο ρόλο. π.χ., το (N,<) είναι µία συγκεκριµένη δοµή που χρησιµοποιεί το < για να δηµιουργήσει µία διάταξη στο N. 3/9/2017 59 59

Οι σχέσεις εκφράζονται µέσω n-αδων. Π.χ.: < = { (0,1), (1,2), (0,2), ) } Το πρώτο και το δεύτερο όρισµα µιας σχέσης µπορεί να προέρχεται από διαφορετικά σύνολα, π.χ. Προτιµάει_να_βλέπει = {(Κώστας, ειδήσεις), (Νίκος, ποδόσφαιρο), (Μαρία, ταινίες)} 1ο: στοιχεία από το σύνολο των ανθρώπων 2ο: στοιχεία από το σύνολο των προγραµµάτων της TV 3/9/2017 60 60

Καρτεσιανό γινόµενο συνόλων Για σύνολα A, B, το Καρτεσιανό τους γινόµενο είναι το A B : {(a, b) a A b B }. π.χ. {a,b} {1,2} = {(a,1),(a,2),(b,1),(b,2)} Ο ορισµός επεκτείνεται για πολλά σύνολα: A 1 A 2 A n ={(a 1,a 2,...,a n ) a 1 A 1 a 2 A 2 a n A n } René Descartes (1596-1650) 3/9/2017 61 61

Καρτεσιανό γινόµενο συνόλων Για σύνολα A, B A B = A B Σηµειώστε ότι, A,B: A B=B A 3/9/2017 62 62

Καρτεσιανό γινόµενο συνόλων {Κώστας, Μαρία, Νίκος} {Νέα,Ταινίες}= { (Κώστας, Νέα), (Μαρία, Νέα), (Νίκος, Νέα), (Κώστας, Ταινίες), (Μαρία, Ταινίες), (Νίκος, Ταινίες) } 3/9/2017 63 63

3/9/2017 64 64

Αναπαριστώντας σύνολα µε Bit Strings Για ένα δειγµατικό χώρο U µε διάταξη x 1, x 2,, αναπαράσταση ενός πεπερασµένου συνόλου S U σαν το πεπερασµένο bit string B=b 1 b 2 b n όπου i: x i S (1 i n b i =1). Π.χ. U=N, S={2,3,5,7,11}, B=01101010001. Σε αυτή την αναπαράσταση, οι βασικές πράξεις συνόλων υλοποιούνται κατευθείαν µε τις bitwise πράξεις OR, AND, NOT 3/9/2017 65 65

Αναπαριστώντας σύνολα µε Bit Strings Π.χ., {2,3,5,7,11} {1,3,4,9} 01101010001 10110000100 = 11111010101 δηλ. το {1,2,3,4,5,7,9,11} 3/9/2017 66 66

Αξιωµατική θεωρία συνόλων Ένα βασικό αξίωµα: οσµένου ενός κατηγορήµατος P, κατασκεύασε ένα σύνολο που να περιλαµβάνει όλα τα στοιχεία x για τα οποία η xp(x) να είναι αληθής πρόταση. Ωστόσο, η προκύπτουσα θεωρία είναι λογικά ασυνεπής! Αυτό σηµαίνει ότι υπάρχουν κάποιες προτάσεις p για τις οποίες να µπορούµε να δείξουµε ότι και η p και η p προκύπτουν λογικά ώς αποτέλεσµα της θεωρίας µας!... ηλαδή ότι ξεκινώντας από τα αξιώµατα οδηγούµαστε σε αντίφαση! Μια τέτοια θεωρία είναι θεµελιωδώς µη ενδιαφέρουσα, γιατί οποιαδήποτε πρόταση σε αυτή µπορεί (τετριµµένα) να αποδειχθεί 3/9/2017 67 67

Παράδειγµα: Ο κουρέας ξυρίζεται µόνος του ή όχι; Έστω ότι σε µία πόλη ο κουρέας ξυρίζει όλους εκείνους τους άντρες (και µόνο αυτούς) που δεν ξυρίζονται µόνοι τους. Ερώτηση: Ο κουρέας αυτός ξυρίζεται µόνος του ή όχι; Έστω ότι ξυρίζεται µόνος του. Άρα δεν ξυρίζεται µόνος του. Έστω ότι δεν ξυρίζεται µόνος του. Άρα ξυρίζεται µόνος του.!!! 3/9/2017 68 68

Η παράκαµψη του παράδοξου Για να αποφύγουµε την ασυνέπεια, η θεωρία συνόλων πρέπει µε κάποιο τρόπο να τροποποιηθεί... Για περισσότερες πληροφορίες, διαβάστε για το παράδοξο του Russel: https://en.wikipedia.org/wiki/russell's_paradox Bertrand Russell 1872-1970 3/9/2017 69 69

3/9/2017 70 70