ANOVA με δειγματοληψία Το Γραμμικό Πρότυπο = µ τ ε i ij δ όπου = το k-στό δείγμα της j-στής παρατήρησης της i-στής επέμβασης µ = ο μέσος όρος του πληθυσμού τ i = η επίδραση της i-στής επέμβασης ε ij = το τυχαίο (πειραματικό) σφάλμα δ = το σφάλμα δειγματοληψίας Πηγή Παραλλακτικότητας ΒΕ ΘΜΤ Τιμή του F Επεμβάσεις a-1 σ σ n ΜΤ επ / ΜΤ υ πόλοιπο Σφάλμα Δειγματοληψίας Σύνολο * Πρότυπο τυχαίων επιδράσεων a(n-1) an(-1) an-1 e σ e σ σ σ α
Ιδιότητες ANOVA με δειγματοληψία - πάρχουν δύο πηγές παραλλακτικότητας που συνεισφέρουν στην κατάλληλη για συγκρίσεις των μέσων όρων των επεμβάσεων διακύμανση 1. Σφάλμα δειγματοληψίας = παραλλακτικότητα μεταξύ των δειγματοληπτικών μονάδων που δέχθηκαν την ίδια επέμβαση ( σ ). Πειραματικό σφάλμα = παραλλακτικότητα μεταξύ των πειραματικών μονάδων που δέχθηκαν την ίδια επέμβαση ( σ ) σ e - Το πειραματικό σφάλμα (ΜΤ υ ) αναμένεται να είναι μεγαλύτερο από το σφάλμα δειγματοληψίας (ΜΤ )
ANOVA με δειγματοληψία (ίσος αριθμός παρατηρήσεων) Παράδειγμα: Μέτρηση ξηράς ουσίας ανά φυτό σε μία ποικιλία σιταριού. (επεμβάσεις: 3 θερμοκρασίες, πειρ. τεμάχια: δοχεία, επαναλήψεις: 3, δειγματοληψία: 4 φυτά σε κάθε πειρ. τεμάχιο) Θερμοκρασία 8º 1º 16º Αριθμός δοχείου Αριθμός δοχείου Αριθμός δοχείου Φυτό 1 3 1 3 1 3 1 3.5.5 3.0 5.0 3.5 4.5 5.0 5.5 5.5 4.0 4.5 3.0 5.5 3.5 4.0 4.5 6.0 4.5 3 3.0 5.5.5 4.0 3.0 4.0 5.0 5.0 6.5 4 4.5 5.0 3.0 3.5 4.0 5.0 4.5 5.0 5.5 15.0 17.5 11.5 18.0 14.0 17.5 19.0 1.5.0 ij. i.. 44.0 49.5 6.5... =156.0 όπου i = επέμβαση, j = επανάληψη, k = δείγμα 1 Διαμόρφωση της υπόθεσης: 156... ΔΟ = = = 676 an 3(3)(4) H o : μ 1 = μ = μ 3 Η 1 : τουλάχιστον ένας μο διαφέρει από τους υπολοίπους
Παράδειγμα (Συνέχεια) Θερμοκρασία 8º 1º 16º Αριθμός δοχείου Αριθμός δοχείου Αριθμός δοχείου Φυτό 1 3 1 3 1 3 1 3.5.5 3.0 5.0 3.5 4.5 5.0 5.5 5.5 4.0 4.5 3.0 5.5 3.5 4.0 4.5 6.0 4.5 3 3.0 5.5.5 4.0 3.0 4.0 5.0 5.0 6.5 4 4.5 5.0 3.0 3.5 4.0 5.0 4.5 5.0 5.5 15.0 17.5 11.5 18.0 14.0 17.5 19.0 1.5.0 ij. i.. 44.0 49.5 6.5... =156.0 3 ATσ = Y ΔΟ = (3.5 4.0 3.0... 5.5 ) ΔΟ = 71.5 676.0 = 36. 5 4 Yi AT =.. 44 49.5 6.5 επ ΔΟ = 676. 0 n 3(4) 3(4) 3(4) = 691.04 676. 0 = 15. 04
Παράδειγμα (Συνέχεια) Θερμοκρασία 8º 1º 16º Αριθμός δοχείου Αριθμός δοχείου Αριθμός δοχείου Φυτό 1 3 1 3 1 3 1 3.5.5 3.0 5.0 3.5 4.5 5.0 5.5 5.5 4.0 4.5 3.0 5.5 3.5 4.0 4.5 6.0 4.5 3 3.0 5.5.5 4.0 3.0 4.0 5.0 5.0 6.5 4 4.5 5.0 3.0 3.5 4.0 5.0 4.5 5.0 5.5 ij. 15.0 17.5 11.5 18.0 14.0 17.5 19.0 1.5.0 i.. 44.0 49.5 6.5... =156.0 5 6 Yij AT =. 15 17.5 11.5 σπµ ΔΟ =... 676. 0 4 4 4 4 = 699.5 676.0 = 3. 5 ΑΤυ = ATσπµ ΑΤε = 3.5 15. 04 = 8. 08 7 ΑΤδ = ΑΤσ ATσπµ = 36.5 3. 5 = 13. 5
Παράδειγμα (Συνέχεια) 8 Πηγή Παραλλακτικότητας ΒΕ ΑΤ ΜΤ F Επέμβαση (a-1)= 15.04 7.51 5.498* πόλοιπο a(n-1)= 6 8.08 1.368 Σφάλμα δειγματοληψίας an(-1)= 7 13.5 Σύνολο (an-1)= 35 36.5 F0.05:,6 = F 0.01:,6 = 5.14 10.9 Επειδή το F > 5.14, απορρίπτεται η H o : μ 1 = μ = μ 3 σε α = 0.05
ANOVA με δειγματοληψία (διάφορος αριθμός δειγμάτων) ATσ = Y Ο BE = Σύνολο παρατηρήσεων -1 Yi.. ATεπ = Ο BE = Επεμβάσεις -1 r j k Yij. ATσπµ = Ο BE = Πειραματικά τεμάχια -1 k ΑΤυ = ATσπµ ΑΤε ΒΕ = ΒΕΑΤ σπµ ΒΕΑΤ επ ΑΤδ ΑΤσ ATσπµ ΒΕ = ΒΕ AT ΒΕ = σ ΑΤσπµ
ANOVA με δειγματοληψία Το Γραμμικό Πρότυπο Σχέδιο τυχαιοποιημένων πλήρων ομάδων = µ τ β ε δ i j ij όπου = η παρατήρηση στο k-στό δείγμα της j-στής ομάδας της i-στής επέμβασης µ = ο μέσος όρος του πληθυσμού τ i = η επίδραση της i-στής επέμβασης β j = η επίδραση της j-στής ομάδας ε ij = το τυχαίο (πειραματικό) σφάλμα δ = το σφάλμα δειγματοληψίας Πηγή ΒΕ ΘΜΤ F Παραλλακτικότητας Ομάδες b-1 σ σ a Επέμβαση a-1 σ e σ e b σ β σ α ΜΤεπ/ΜΤυ πόλοιπο Σφάλμα δειγματοληψίας Σύνολο (a-1)(b-1) ab(-1) ab-1 σ σ e σ
Σχέδιο τυχαιοποιημένων πλήρων ομάδων Ιδιότητες ANOVA με δειγματοληψία - Όπως και στο ΕΤΣ, υ πάρχουν δύο πηγές παραλλακτικότητας που συνεισφέρουν στην κατάλληλη για συγκρίσεις των μέσων όρων των επ εμβάσεων διακύμανση 1. Σφάλμα δειγματοληψίας = παραλλακτικότητα μεταξύ των δειγματοληπτικών μονάδων που δέχθηκαν την ίδια επέμβαση. Πειραματικό σφάλμα = παραλλακτικότητα μεταξύ των πειραματικών μονάδων που δέχθηκαν την ίδια ε πέμβαση - Ο υπολογισμός των ΒΕ του πειραματικο ύ σφ άλματος γίνεται ως εάν δεν υπήρχε δειγματοληψία, ενώ των ΒΕ του σφάλματος δειγματοληψίας όπως στο ΕΤΣ
Παράδειγμα Σχέδιο τυχαιοποιημένων πλήρων ομάδων Επεμβάσεις Ομάδα Δείγμα Α B C 1 1 78 68 89 1 8 64 87 11. = 160 1. = 13 31. = 176. 1. = 468 1 74 6 88 78 66 9.. 1. = 15. = 18 3. = 180.. = 460 3 1 80 70 90 3 84 60 96 3.. 13. = 164 3. = 130 33. = 186. 3. = 480 476 390 54... = 1408 i.. όπου i = επέμβαση, j = ομάδα, k = δείγμα 1 Διαμόρφωση της υπόθεσης: 1408... ΔΟ = = = 110136. 889 an 3(3)() H o : μ 1 = μ = μ 3 Η 1 : τουλάχιστον ένας μο διαφέρει από τους υπολοίπους
Παράδειγμα (Συνέχεια) Σχέδιο τυχαιοποιημένων πλήρων ομάδων Επεμβάσεις Ομάδα Δείγμα Α B C 1 1 78 68 89 1 8 64 87 11. = 160 1. = 13 31. = 176. 1. = 468 1 74 6 88 78 66 9.. 1. = 15. = 18 3. = 180.. = 460 3 1 80 70 90 3 84 60 96 3.. 13. = 164 3. = 130 33. = 186. 3. = 480... 1408 476 390 54 = i.. 3 ATσ = Y ΔΟ = (78 8 74... 96 ) ΔΟ = 11.111 4 Yj AT =.. 468 460 480 οµ ΔΟ = ΔΟ a = 33.778 3() 3() 3() 5 Yi AT =.. επ n ΔΟ 476 = 3() 390 3() 54 3() ΔΟ = 1936.444
Παράδειγμα (Συνέχεια) Σχέδιο τυχαιοποιημένων πλήρων ομάδων Επεμβάσεις Ομάδα Δείγμα Α B C 1 1 78 68 89 1 8 64 87 11. = 160 1. = 13 31. = 176. 1. = 468 1 74 6 88 78 66 9.. 1. = 15. = 18 3. = 180.. = 460 3 1 80 70 90 3 84 60 96 3.. 13. = 164 3. = 130 33. = 186. 3. = 480... 1408 476 390 54 = i.. 5 Yij AT =. σπµ ΔΟ 160 = 15 164 186... ΔΟ = 003.111 6 ΑΤυ = ATσπµ ΑΤε ΑΤομ = 003.111 1936.444 33. 778 = 3. 889 7 ΑΤδ = ΑΤσ ATσπµ = 11.111 003. 111 = 118. 0
Σχέδιο τυχαιοποιημένων πλήρων ομάδων Παράδειγμα (Συνέχεια) Πηγή Παραλλακτικότητας ΒΕ ΑΤ ΜΤ F Ομάδες (b-1)= 33.778 16.889.054 n Επέμβαση (a-1)= 1936.444 968. 117.76** πόλοιπο (b-1)(a-1)= 4 3.889 8. Σφάλμα δειγματοληψίας (ab-1)-(ab-1)= 9 118.5 Σύνολο (ab-1)= 17 11.111 8 MTπυ (8. LSDΕΠ =.05 t / =.78 ) = 4. 60 n 3* Επέμβαση Β Α C Μέσος 65.0 a 79.3 b 90.3 c