Επιχειρησιακό Πρόγραμμα Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση «Επικαιροποίηση γνώσεων αποφοίτων Α.Ε.Ι.» ΠΕΓΑ_ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ (MIS: 478889) ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 4.2. Τεχνικές ανάλυσης και υπολογισμού κατασκευών, Επίκουρος Καθηγητής Α.Ε.Ι. Πειραιά Τ.Τ. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Πρόγραµµατος «Εκπαίδευση και ια Βίου Μάθηση» και συγχρηµατοδοττειται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταµείο) και από εθνικούς πόρους. Οργανώνεται από το Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε. του Α.Ε.Ι. Πειραιά Τ.Τ., σε συνεργασία με το Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων και το Τμήμα Εκπαιδευτικών Μηχανολόγων Μηχανικών της Α.Σ.ΠΑΙ.ΤΕ.
1. Μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων (FEM) 1.1 Εισαγωγή Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων (finite element method, FEM), είναι μία υπολογιστική τεχνική ανάλυσης τάσεων που δημιουργούνται σε κατασκευές, για τη μελέτη των πεδίων τάσεων που αναπτύσσονται στο προς μελέτη αντικείμενο υπό διάφορες συνθήκες φόρτισης. Η αναλυτική λύση των εξισώσεων με τις οποίες περιγράφονται τα διάφορα τεχνικά προβλήματα είναι δυνατή μόνο σε ειδικές περιπτώσεις, όπου οι καταπονήσεις και τα γεωμετρικά σχήματα είναι πάρα πολύ απλά. Όμως, υπήρχε η ανάγκη να λυθούν και πιο σύνθετα προβλήματα και γι' αυτό το λόγο αναπτύχθηκαν διάφορες προσεγγιστικές μέθοδοι. Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων (ΠΣ) αναπτύχθηκε το 1943 από τον R. Courant, ο οποίος χρησιμοποίησε τη μέθοδο αριθμητικής ανάλυσης κατά Ritz, αλλά γνώρισε μεγάλη ανάπτυξη κατά τη δεκαετία του 1970 λόγω της σημαντικής αύξησης της διαθέσιμης υπολογιστικής ισχύος. Μέχρι τότε εφαρμόζονταν στην αεροναυτική και στην αμυντική και πυρηνική βιομηχανία, αλλά το εύρος χρήσης της ήταν σχετικά περιορισμένο. Την εποχή μας οι διαθέσιμοι υπερυπολογιστές καθιστούν δυνατό τον υπολογισμό ακριβών αποτελεσμάτων για όλων των ειδών τις παραμέτρους. Ενδεικτικό της προόδου της τεχνολογίας είναι το γεγονός ότι οι σημερινοί προσωπικοί υπολογιστές είναι 10 φορές περίπου πιο ισχυροί από τους υπερυπολογιστές της δεκαετίας του 1980. Στην ουσία η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων είναι μια μαθηματική μέθοδος επίλυσης διαφορικών εξισώσεων. Επειδή είναι μια αριθμητική (numerical) μέθοδος, έχει τη δυνατότητα επίλυσης περίπλοκων προβλημάτων που είναι δυνατό να εκφραστούν με τη μορφή διαφορικών εξισώσεων. Τέτοιου είδους προβλήματα παρουσιάζονται σε όλα τα πεδία των φυσικών επιστημών, επομένως η μέθοδος των ΠΣ θεωρητικά δεν έχει όρια στην εφαρμογή της για επίλυση πρακτικών προβλημάτων. Εξαιτίας του υψηλού κόστους της υπολογιστικής ισχύος τα αρχικά χρόνια εφαρμογής τους τα ΠΣ χρησιμοποιούνταν για την επίλυση περίπλοκων προβλημάτων, αλλά τα τελευταία χρόνια χρησιμεύουν στην επίλυση όλων και περισσότερων προβλημάτων σε μεγάλη ποικιλία επιστημών. Αρχικά χρησιμοποιούνταν mainframes, αλλά πλέον υπάρχει λογισμικό που εργάζεται σε προσωπικούς υπολογιστές σε περιβάλλον Windows. Βεβαίως όπως και κάθε άλλη μέθοδος, τα ΠΣ έχουν πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα αλλά με την κατάλληλη εφαρμογή είναι δυνατή η ελαχιστοποίηση των πηγών λάθους και η πληρέστερη εκμετάλλευση των αποτελεσμάτων. [17]
1.2 Μέθοδοι ανάλυσης με τη μέθοδο πεπερασμένων στοιχείων Η μελέτη ενός προβλήματος με ΠΣ συνίσταται στη δημιουργία ενός μοντέλου, ενός υλικού ή μιας κατασκευής, το οποίο αναλύεται στη συνέχεια στον Η/Υ για την εξαγωγή συγκεκριμένων αποτελεσμάτων, τα οποία ερμηνεύουν τις ιδιότητες του ή προβλέπουν την επίδραση συγκεκριμένων συνθηκών. Η μέθοδος χρησιμεύει στην δημιουργία νέων προϊόντων, τα οποία σχεδιάζονται σε Η/Υ και οι ιδιότητες τους μελετώνται λεπτομερώς προτού αυτό αποκτήσει φυσική υπόσταση. Επίσης χρησιμεύει στην τροποποίηση υπαρχόντων υλικών και στην περίπτωση μηχανικών αποτυχιών, χρησιμεύει στην διαπίστωση και διόρθωση του προβλήματος. [17] Χρησιμοποιούνται δύο ειδών αναλύσεις ΠΣ, ανάλογα με το μοντέλο που εφαρμόζεται: Δύο διαστάσεων και τριών διαστάσεων. Η ανάλυση δυο διαστάσεων είναι απλούστερη, έχει μικρότερο κόστος και είναι δυνατό να πραγματοποιηθεί σε απλό Η/Υ αλλά τα αποτελέσματα από την εφαρμογή της είναι λιγότερο ακριβή. Η ανάλυση τριών διαστάσεων, είναι περισσότερο ακριβής στις προβλέψεις της, απαιτεί σημαντική υπολογιστική ισχύ και ειδικό λογισμικό. Η χρήση της είναι ακριβέστερη και είναι περισσότερο απαιτητική στο σχεδιασμό της. Η λογική στην οποία στηρίζεται η μέθοδος των ΠΣ παρουσιάζεται στο παρακάτω παράδειγμα. [17] Η επιμήκυνση της δομής της εικόνας υπό την επίδραση ενός φορτίου εξαρτάται από το μέγεθος της φόρτισης και από τις ιδιότητες του υλικού. Σχήμα 28. Παράδειγμα κατασκευής υπό φόρτιση για μελέτη με την μέθοδο πεπερασμένων στοιχείων. Η φόρτιση που ασκείται ισούται με το γινόμενο της ακαμψίας του υλικού επί την παρεκτόπιση που προκαλεί η δράση της, σύμφωνα με το νόμο του Hooke. 11.3 Πλεγματοποίηση (mesh generation)
Eάν η κατασκευή αποτελείται απο πιο σύνθετες γεωμετρίες, τότε αυτές διαιρούνται σε περισσότερα επιμέρους τμήματα (στοιχεία, elements), τα οποία συνδέονται μεταξύ τους σε σημεία που ονομάζονται κόμβοι (nodes) η συνολική φόρτιση θα ισούται με το άθροισμα του γινομένου [ακαμψία Χ παρεκτόπιση] για κάθε τμήμα. Η διαδικασία δημιουργίας του πλέγματος (mesh generation) ονομάζεται διακριτοποίηση (discretization). [17] Σχήμα 29. Παράδειγμα κατασκευής διαιρεμένο σε τμήματα (elements) που συνδέονται μεταξύ τους με κόμβους (nodes). Tα στοιχεία είναι δυνατό να λάβουν κάθε μορφή, αλλά συνήθως έχουν τη μορφή γνωστών γεωμετρικών σχημάτων, όπως είναι το τρίγωνο, το παραλληλόγραμμο, το τετράγωνο κ.λ.π. [18] Σχήμα 30. Σχήματα που λαμβάνουν τα στοιχεία για την διακριτοποίηση 2D. Στο τρισδιάστατο επίπεδο, οι δομές αυτές είναι δυνατό να παίρνουν τρισδιάστατα σχήματα όπως κύβοι, παραλληλεπίπεδα κλπ. Το μοντέλο των ΠΣ αποκαλείται επομένως απο τα στοιχεία που το αποτελούν διασδιάστατο ή
τρισδιάστατο. Η ανάλυση ΠΣ χρησιμοποιεί ένα περίπλοκο σύστημα σημείων που καλούνται κόμβοι (nodes) που σχηματίζουν ένα δίκτυο που αποκαλείται πλέγμα (mesh). Μια πολύπλοκη κατασκευή, αναλύεται σε ένα πλέγμα πεπερασμένου αριθμού στοιχείων απλού σχήματος. [18] Σχήμα 31. Τμήμα οδοντωτού τροχού που έχει πλεγματοποιηθεί. Το στοιχείο είναι η βασική δομική μονάδα με προκαθορισμένο αριθμό βαθμών ελευθερίας. Το πλέγμα προσομοιάζει με ιστό αράχνης, στον οποίο από κάθε κόμβο εκτείνεται ένα στοιχείο πλέγματος σε κάθε γειτονικό κόμβο. Το πλέγμα προγραμματίζεται ώστε να περιέχει τις δομικές ιδιότητες και τις ιδιότητες υλικού που καθορίζουν με ποιό τρόπο θα συμπεριφερθεί μία κατασκευή υπό ορισμένες συνθήκες φόρτισης. Οι κόμβοι τοποθετούνται με ορισμένη πυκνότητα εντός του υλικού ανάλογα με τα επίπεδα τάσης που αναπτύσσονται σε κάθε συγκεκριμένη περιοχή. Περιοχές με μεγαλύτερη αναμενόμενη τάση θα έχουν μεγαλύτερη πυκνότητα κόμβων από αυτές που η αναμενόμενη τάση είναι μικρότερη. Περιοχές που λαμβάνουν ιδιαίτερη σημασία είναι οι περιοχές στις οποίες είχε διαπιστωθεί σε πειραματικές μελέτες η παρουσία θραύσης ή γωνίες, κενά και περιοχές υψηλής τάσης. Η επιλογή της κατάλληλης πυκνότητας πεπερασμένων στοιχείων του πλέγματος (mesh density) είναι σημαντικός παράγοντας επιτυχίας του μοντέλου, προκειμένου να επιλυθεί το υπό μελέτη πρόβλημα. Eάν το πλέγμα είναι αδρό τότε είναι δυσχερής η σωστή επίλυση του προβλήματος. Αντίθετα, εάν το πλέγμα είναι ιδιαίτερα λεπτομερές και περιέχει μεγαλύτερο αριθμό στοιχείων απ ότι είναι αναγκαίο, τότε το κόστος του υπολογιστικού χρόνου και ο αναγκαίος χρόνος για την ανάλυση είναι δυνατό να υπερβαίνουν το όφελος από την ανάλυση. Είναι χρήσιμη μία σχετική γνώση σχετικά με την κατανομή των τάσεων εντός του υλικού. Υπάρχει ανάγκη λεπτομερούς πλέγματος όταν υπάρχει σημαντική μεταβολή των τάσεων και παραμορφώσεων και αδρού πλέγματος σε περιοχές με σταθερή σχετικά τάση. [18] 11.4 Συνθήκες μελέτης Η παρεκτόπιση των στοιχείων θεωρείται ότι περιγράφεται από απλές πολυωνυμικές εξισώσεις. Οι εξισώσεις ισορροπίας καταγράφονται σε ένα
μαθηματικό πίνακα και επιλύονται από τον Η/Υ. Εφαρμόζοντας τις κατάλληλες συνθήκες περιορισμού (boundary conditions) και τις επιθυμητές φορτίσεις υπολογίζονται οι παρεκτοπίσεις των κόμβων επιλύοντας τις εξισώσεις του πίνακα. Από τις παρεκτοπίσεις των κόμβων υπολογίζονται οι τάσεις και οι παραμορφώσεις που ασκούνται στην κατασκευή ή στο υλικό που μελετάται. Με τη μέθοδο των ΠΣ είναι δυνατή η μελέτη της επίδρασης σημαντικού αριθμού παραμέτρων, όπως είναι η μάζα, ο όγκος, η θερμοκρασία, η ενεργειακή τάση, η παραμόρφωση, η δύναμη, η παρεκτόπιση, η ταχύτητα, η επιτάχυνση κ.λ.π. Είναι επίσης δυνατή η εφαρμογή πολλαπλών συνθηκών στο ίδιο μοντέλο. Κάθε πρόγραμμα ΠΣ συνοδεύεται από μία βιβλιοθήκη στοιχείων, όπως ράβδοι, δοκοί, πλάκες, συμπαγή στοιχεία, ελατήρια κ.λ.π. Είναι επίσης δυνατή η μελέτη υλικών με διαφορετικές ιδιότητες εντός του ίδιου μοντέλου, δηλαδή ισοτροπικών υλικών (με ομοιογενείς ιδιότητες σε όλη τη έκτασή τους), ορθοτροπικών υλικών (οι ιδιότητές τους είναι όμοιες μόνο σε γωνία 90ο) και ανισοτροπικών υλικών (με διαφορετικές ιδιότητες σε διαφορετικές κατευθύνσεις σε όλη την έκτασή τους). Η δομική ανάλυση συνίσταται στη χρήση γραμμικών και μη γραμμικών μοντέλων. Τα γραμμικά μοντέλα χρησιμοποιούν απλές παραμέτρους θεωρώντας ότι το υλικό δεν υφίσταται πλαστική παραμόρφωση. Στα μη γραμμικά μοντέλα πραγματοποιείται φόρτιση πέραν της ελαστικής παραμόρφωσης, δηλαδή το υλικό θεωρείται ότι υφίσταται πλαστική παραμόρφωση, η οποία και μελετάται. Παραδείγμα ανάλυσης με ΠΣ είναι η ανάλυση κόπωσης, με την οποία γίνεται πρόβλεψη της αντοχής μίας κατασκευής σε κυκλική φόρτιση. Τέτοιου είδους ανάλυση αποκαλύπτει τις περιοχές στις οποίες είναι περισσότερο πιθανή η δημιουργία ή η επέκταση μίας ρωγμής. Η ανάλυση με ΠΣ αποτέλεσε τη λύση στο ζήτημα της πρόβλεψης της αστοχίας ενός υλικού εξαιτίας μη γνωστών τάσεων, επιτρέποντας τη μελέτη της κατανομής τάσεων εντός του υλικού, αποκαλύπτοντας την ύπαρξη προβληματικών περιοχών. Η μέθοδος αυτή είναι περισσότερο απλή από την κατασκευή και τον έλεγχο δειγμάτων για κάθε πιθανή περίπτωση. Άλλο παράδειγμα εφαρμογής είναι η ανάλυση της μεταφοράς θερμότητας, με την οποία μελετάται η αγωγιμότητα των υλικών ή των κατασκευών. Ενώ η μέθοδος αναπτύχθηκε και χρησιμοποιήθηκε αρχικά για τις ανάγκες τις αεροπορικής και της πυρηνικής βιομηχανίας η χρήση της μεθόδου εξαπλώθηκε σημαντικά για την επίλυση μεγάλου αριθμού προβλημάτων. 1.5 Υπολογιστικό μέρος Μετά τη δημιουργία του πλέγματος των ΠΣ πραγματοποιείται η ανάλυση. Η ανάλυση των ΠΣ συνίσταται σε τρία κύρια στάδια: το προ-υπολογιστικό το στάδιο επίλυσης το μετα-υπολογιστικό στάδιο.
σε: Tο προ-υπολογιστικό στάδιο (pre-processor stage) της ανάλυσης συνίσταται Ορισμό του τίτλου του προβλήματος Επιλογή των προτιμήσεων(preferences) Ορισμοί τύπου και μορφής των πεπερασμένων στοιχείων (2D & 3D) Καθορισμός των ιδιοτήτων του υλικού (μέτρο ελαστικότητας Young, λόγος Poisson κλπ.) Δημιουργία μοντέλου με ακριβής διαστάσεις Καθορισμός πυκνότητας πλέγματος (mesh density) Δημιουργία πλέγματος. Στο στάδιο της επίλυσης (computational stage) εφαρμόζονται στο μοντέλο οι συνθήκες φόρτισης και περιορισμού (loading and boundary conditions). Στο μετα-υπολογιστικό στάδιο (post-processor stage) γίνεται η ανάλυση των αποτελεσμάτων, τα οποία έχουν τη μορφή πινάκων ή διαγραμμάτων. Το κόστος της ανάλυσης με ΠΣ είναι μικρότερο από την πειραματική δοκιμή υλικών, αλλά δεν είναι και φθηνή. Το κόστος της χρήσης του ειδικού λογισμικού είναι σημαντικό, η χρήση του χρεώνεται σε ετήσια βάση, ενώ η τεχνική υποστήριξη και η εκπαίδευση είναι επίσης ακριβές. Η μέθοδος των ΠΣ είναι ένα πολύ σημαντικό εργαλείο σε όσους ασχολούνται με το βιομηχανικό και μηχανολογικό σχεδιασμό καθώς βοηθά στην δημιουργία δομών οι οποίες παρουσιάζουν βέλτιστες ιδιότητες για την εκάστοτε λειτουργία που τους αναθέτονται. Ο σχεδιασμός ακόμα και των πιο απλών προϊόντων στηρίζεται στη χρήση των ΠΣ αφού τα σχεδιαστικά προβλήματα δεν είναι δυνατό να επιλυθούν φθηνότερα και με μεγαλύτερη ακρίβεια με άλλη διαθέσιμη μέθοδο. Η φυσική εξέταση των υλικών που για δεκαετίες ήταν ο κανόνας θεωρείται πλέον ακριβή και όπου είναι δυνατό αντικαθίσταται με φθηνότερες, αξιόπιστες μεθόδους. Πέραν του τμήματος σχεδιασμού και πρόληψης αστοχιών, η μέθοδος με ΠΣ βρίσκει χρήση και στην μελέτη αστοχιών, πράγμα το οποίο πραγματεύεται η παρούσα μελέτη, με σκοπό την αναπαράσταση των συνθηκών φόρτισης και περιβάλλοντος την στιγμή που προήλθε η αστοχία και η κατανόηση του λόγου που οδήγησε την κατασκευή σε αστοχία.
2. Παράδειγμα εφαρμογής CAE σε ανάλυση οδοντωτού τροχού σε περιβάλλον AutoDesk Inventor Professional 2.1 Εισαγωγή Οι σύγχρονες ανάγκες σχεδιασμού, ανάπτυξης και κατασκευής βιομηχανικών προϊόντων, κατασκευών και πάσης φύσεως μηχανολογικού εξοπλισμού οδήγησαν τους μηχανικούς στην δημιουργία λογισμικών τα οποία να έχουν την δυνατότητα παροχής των απαιτούμενων πληροφοριών στον σχεδιαστή όσων αφορά το προς επεξεργασία εξάρτημα όπως όγκο, βάρος, εμβαδόν (κλπ). Στην συνεχεία τα λογισμικά αυτά εξελίχθηκαν και πλέον προσφέρουν την δυνατότητα στον μηχανικό να προσομοιώσει καταστάσεις όπως η λειτουργία μιας συσκευής, η καταπόνηση ενός εξαρτήματος, η ροή ρευστών και διάφορες άλλες. Αυτό το αποτέλεσμα ήρθε μετά από συνεργασία λογισμικών σχεδιασμού και λογισμικών υπολογισμού τα οποία εφαρμόζουν την μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων. Ένα τέτοιο λογισμικό είναι και το AutoDesk Inventor το οποίο χρησιμοποιήσαμε και διαθέτει όλα τα απαιτούμενα εργαλεία σχεδιασμού καθώς επίσης και υποπρογράμματα υπολογισμού και μοντελοποίησης συγκεκριμένων στοιχείων μηχανών όπως άξονες, γρανάζια, ιμάντες, κοχλιοσυνδέσεις κλπ. Επίσης διαθέτει ένα λογισμικό πεπερασμένων στοιχείων το οποίο αποτελεί περιορισμένη έκδοση του λογισμικού ANSYS το οποίο είναι λογισμικό προσομοίωσης και εξυπηρετεί στην αξιολόγηση των κατασκευών πριν την φάση παραγωγής ή υλοποίησης εξοικονομώντας χρόνο και πόρους από εργαστηριακά πειράματα. 2.1 Το spur gear generator. Είναι ένα υποπρόγραμμα στο οποίο ο μηχανικός θέτει τις κατάλληλες παραμέτρους για τον σχεδιασμό και την ασφαλή λειτουργία ενός ζεύγους οδοντωτών τροχών.
Το Spur Gear Generator έχει δύο σελίδες, στην πρώτη, η οποία εικονίζεται παραπάνω, ο μηχανικός εισάγει τα κατασκευαστικά στοιχεία και το πρόγραμμα επιστρέφει στο περιβάλλον σχεδιασμού ένα ζεύγος οδοντωτών τροχών σε εμπλοκή. Επίσης στην ίδια σελίδα, στα δεξιά, το πρόγραμμα παραθέτει τις διαστάσεις των τριών κύκλων και των δύο τροχών, καθώς και κάποιους συντελεστές διόρθωσης.
Στην δεύτερη σελίδα, εισάγονται τα υπολογιστικά στοιχεία που είναι απαραίτητα για τον έλεγχο λειτουργίας του οδοντωτού τροχού όπως ισχύς, στροφές, ροπή και συντελεστής απόδοσης. Ο μηχανικός έχει την δυνατότητα να επιλέξει την μέθοδο του υπολογισμού βάσει προδιαγραφών και τον δρόμο του υπολογισμού βάσει των διαθέσιμων δεδομένων. (π.χ. ισχύς, στροφές = ροπή). Το πρόγραμμα μας παρέχει ακόμα πληροφορίες για τις δυνάμεις στον αρχικό κύκλο καθώς επίσης και για τους συντελεστές ασφαλείας για τις διάφορες καταπονήσεις, για το υλικό και έχει την δυνατότητα να εκδώσει αναφορά με όλα τα στοιχεία του ζεύγους των τροχών.
Στην συνέχεια, πιέζοντας το πλήκτρο Calculate, το πρόγραμμα επιστρέφει το αποτέλεσμα του σχεδιασμού, δηλαδή αν είναι δυνατή η συνεργασία των δύο τροχών χωρίς κίνδυνο αστοχίας. Θα μπορούσαμε να έχουμε χρησιμοποιήσει έναν οδοντωτό τροχό σχεδιασμένο από αυτό το πρόγραμμα αλλά κάποιοι σχεδιαστικοί περιορισμοί οι οποίοι προέρχονται από την αρχιτεκτονική αυτών των προγραμμάτων δημιουργούσαν διαφοροποίηση στην μορφή του οδόντα και πιο συγκεκριμένα η εξελιγμένη έχει αντικατασταθεί από ένα τόξο κύκλου, αλλά ταυτόχρονα έχουν διασφαλιστεί τα βασικά μεγέθη του οδοντωτού τροχού όπως κύκλος κεφαλής, αρχικός, ποδός και πάχος οδόντα στον αρχικό κύκλο. Αυτή η μορφή του οδόντα μας στερούσε την δυνατότητα σωστού υπολογισμού με την χρήση πεπερασμένων στοιχείων.
Όπως παρατηρούμε, δεν έχει δώσει τις μέγιστες τάσεις στον πόδα, όπως εμείς ζητάμε αλλά τις έχει κατανείμει ομοιόμορφα πάνω στο τόξο παρ όλο που έχουμε καταπονήσει με την ίδια μεθοδολογία, η οποία θα περιγραφεί παρακάτω. 2.2 Σχεδιασμος πραγματικου οδοντωτου τροχου στο AUTODESK inventor professional. Όπως προαναφέραμε το Spur Gear Generator σχεδιάζει τους οδοντωτούς τροχούς αντικαθιστώντας την εξελιγμένη με ένα τόξο κύκλου, πράγμα που μας δίνει εσφαλμένα αποτελέσματα. Προκειμένου να σχεδιασθεί το πιστότερο δυνατόν αντίγραφο οδοντωτού τροχού στο Inventor και να εξασφαλιστούν τα ορθότερα αποτελέσματα κατά την προσομοίωση σχεδιάστηκε εκ του μηδενός οδοντωτός τροχός με οδόντωση εξελιγμένης.
Στην συνέχεια χρησιμοποιώντας τα εργαλεία σχεδιασμού του Inventor δημιουργήσαμε την τελική μορφή των οδόντων κάθε οδοντωτού τροχού. εικ.2.2.α εικ.2.2.β
εικ.2.2.γ εικ.2.2.δ Αρχικά ακολουθώντας τους κανόνες σχεδιασμού της εξελιγμένης σχεδιάζεται η εξελιγμένη από τον βασικό κύκλο (εικ.1). Τα τόξα των κύκλων που ισούνται με τις εφαπτόμενες και μας δίνουν τα σημεία από όπου περνάει η εξελιγμένη υπολογίστηκαν από την σχέση: ra l 180 σε (mm) r = η ακτίνα του βασικού κύκλου. α= η απόσταση σε μοίρες της κάθετης στην εφαπτόμενη από το σημείο έναρξης της εξειλιγμένης. Εν συνεχεία σχεδιάζονται οι κύκλοι του τροχού που οριοθετούν το μέγεθος του οδόντα, κεφαλής και ποδός (εικ.2). Ο αρχικός κύκλος αν και δεν εξυπηρετεί στην δημιουργία ενός κλειστού προφίλ που θα χρησιμοποιηθεί για την κατασκευή του μοντέλου, ωστόσο σχεδιάζεται επειδή εκεί λαμβάνεται το πάχος του οδόντα και χρησιμοποιείται ως εργαλείο εισαγωγής των σημείων από τα οποία θα σχεδιαστεί μια μεσοκάθετως και στην συνέχεια θα καθρεπτιστεί (mirror spline) η εξελιγμένη για να μας δώσει την αντίθετη κατατομή του οδόντα (εικ.3). Από την παραπάνω διαδικασία προκύπτει το πάχος του οδόντα με υπολογισμό της χορδής του τόξου επειδή η απόσταση των σημείων που έχουμε την δυνατότητα να εισάγουμε στο Inventor είναι η κάθετη και δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί το τόξο του κύκλου άμεσα. Έτσι το κίτρινο τόξο κύκλου στην εικόνα 4 είναι η υπολογισθείσα απόσταση από την σχέση: s p 2 ενώ η κόκκινη ευθεία είναι η απόσταση που υπολογίσαμε για το Inventor από την σχέση: c 360l sin 2 σε (mm) Τέλος χρησιμοποιώντας το εργαλείο Trim κόπηκαν οι περιττές γραμμές και παρέμειναν ο κύκλος ποδός, ένα τμήμα του κύκλου κεφαλής και οι δύο αντίθετες εξειλιγμένες καμπύλες.
εικ.2.2.ε Έτσι έχουμε δημιουργήσει δύο προφίλ τα οποία θα χρησιμοποιηθούν παρακάτω για την παρουσίαση του στερεού στην οθόνη. Σημείωση: Η μέγιστη κάθετη απόσταση δύο σημείων ορισμένων (Fix) στην περιφέρεια ενός κύκλου είναι η διάμετρος του κύκλου. 2,3 Το πλάτος και ο αριθμός των οδόντων. Με τον όρο πλάτος εννοούμε την απόσταση από την μία επίπεδη επιφάνεια του οδόντα έως την απέναντι. Για να επιτευχθεί αυτό σε προγράμματα 3D όπως το Inventor χρησιμοποιούμε την εντολή Extrude, με εργαλείο εισαγωγής μία κλειστή περιοχή ή προφίλ, και το πρόγραμμα μας επιστρέφει ένα στερεό όπου οι δύο οριακές του επιφάνειες έχουν το σχήμα του προφίλ εισαγωγής.
Στην συγκεκριμένη περίπτωση εκτελέσαμε την εντολή Extrude δύο φορές, μια για τον κυρίως κύλινδρο του τροχού και μία για τον οδόντα. Στην συνέχεια καμπυλώσαμε τις ακμές του ποδός με την εντολή Fillet και δώσαμε ακτίνα που προέκυψε από την σχέση: m R 6 σε (mm) Κατόπιν έπρεπε να δοθεί ο αριθμός των οδόντων, πράγμα που επετεύχθη με τη εντολή Circular Pattern με εργαλείο εισαγωγής το Extrude του οδόντα και το Fillet στις ακμές του ποδός με αποτέλεσμα την ολοκλήρωση της μορφής του οδοντωτού τροχού. Επί προσθέτως δημιουργήσαμε και μια οπή στο κέντρο του τροχού η οποία εξυπηρετούσε στην φάση του υπολογισμού ως σημείο πάκτωσης, όπως θα δούμε παρακάτω.
2.4 Μοντελοποίηση οδοντωτού τροχού στο Inventor. Με τον όρο μοντελοποίηση εννοούμε την ρύθμιση όλων των παραμέτρων για να καταφέρει το πρόγραμμα να εξάγει όλες της πληροφορίες για το σχεδιαζόμενο αντικείμενο και στη συνέχεια να πραγματοποιηθεί ο υπολογισμός των τάσεων με την μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων. Για να αρχίσει η διαδικασία υπολογισμού, περνάμε σε περιβάλλον Stress Analysis και ξεκινάει η ρύθμιση των παραμέτρων.
2,5 Επιλογή υλικού (Material). Η πρώτη και καθοριστικότερη παράμετρος που καλείται να ρυθμίσει ο μηχανικός, είναι το υλικό από το οποίο θα είναι κατασκευασμένο το σχεδιαζόμενο αντικείμενο, που στην περίπτωση μας είναι ο οδοντωτός τροχός που εξετάζουμε κάθε φορά. Σε αυτά τα προγράμματα η ρύθμιση γίνεται απαιτητή από το πρόγραμμα στην περίπτωση που δεν έχει καθοριστεί το υλικό από την αρχή της διαδικασίας σχεδιασμού. Εν συνεχεία είναι διαθέσιμες όλες η φυσικές ιδιότητες του οδοντωτού τροχού καθώς επίσης και οι ροπές αδράνειας του σώματος το κέντρο βάρους και η πυκνότητα του υλικού.
2.6 Πάκτωση οδοντωτού τροχού (Pin Constrain). Για να πραγματοποιηθεί μια στατική καταπόνηση στο Inventor πρέπει να πακτωθεί το σχεδιαζόμενο αντικείμενο ως προς τους τρεις άξονες του. Υπάρχουνε τρία είδη πακτώσεων στο Inventor, Fix Constrain, Pin Constrain και Frictionless Constrain, που χρησιμοποιούνται κατά περίπτωση. Στην περίπτωση των οδοντωτών τροχών χρησιμοποιούμε την πάκτωση Pin Constrain όπως φαίνεται στο σχήμα, χωρίς κανένα βαθμό ελευθερίας εξασφαλίζοντας με αυτόν τον τρόπο ότι δεν θα περιστραφεί ο οδοντωτός τροχός κατά την εφαρμογή της δυνάμεως αλλοιώνοντας τα αποτελέσματα.
2.7 Εφαρμογή των δυνάμεων (Force). Στην συνέχεια πρέπει να ασκηθεί μια δύναμη στον οδόντα, κατάλληλη, η οποία θα προκαλέσει τις προβλεπόμενες παραμορφώσεις και τάσεις, τις οποίες θα κληθούμε να σχολιάσουμε. Στο Inventor και γενικότερα στα λογισμικά υπολογισμού, υπάρχουν διάφορα είδη φορτίων τα οποία μπορούμε να εφαρμόσουμε στο καταπονούμενο σώμα ανάλογα με το είδος της καταπόνησης που θέλουμε να πραγματοποιήσουμε. Τα συνηθέστερα είναι: Force, Pressure, Bearing Load και Moment τα οποία μπορούν και να συνδυασθούν ώστε να προσομοιωθεί το δυνατόν καλύτερα η φύση της υπό μελέτη καταστάσεως. Στην περίπτωση μας επελέγη η δύναμη (Force), επειδή στόχος μας ήταν να μελετήσουμε την συμπεριφορά του οδόντα και του ποδός αυτού, σε κάμψη.
Η δύναμη με την σειρά της, έχει και αυτή τις παραμέτρους εκείνες οι οποίες πρέπει να ρυθμιστούν για να επιτευχθεί η σωστή εφαρμογή της. εικ.1 εικ.2 Στο πλαίσιο διαλόγου του φορτίου Force στο Inventor καλούμαστε αρχικά να επιλέξουμε το σημείο (Location) εφαρμογής της δύναμης και στην συνέχεια την διεύθυνση (Direction) που αυτή θα έχει χρησιμοποιώντας σαν εργαλείο εισαγωγής ακμές του σχεδιαζόμενου αντικειμένου ή κάποιου επιπέδου (Plane) που έχουμε ορίσει στην περιοχή σχεδιασμού του προγράμματος ή ακόμα και άξονες (Axis). Κατόπιν αυτού εισάγουμε το μέγεθος (Magnitude) της δύναμης σε Newton ή στην μονάδα του συστήματος στο οποίο εργαζόμαστε (εικ.1). Σε κάποιες περιπτώσεις εισάγουμε την δύναμη βάσει συνιστωσών δυνάμεων ενεργοποιώντας την επιλογή Use Vector Components (εικ.2). Αυτό μας εξυπηρετεί όταν επιθυμούμε η εφαρμοζόμενη δύναμη να έχει συγκεκριμένη διεύθυνση την οποία δεν έχουμε την δυνατότητα να δώσουμε από το μοντέλο που έχουμε δημιουργήσει στην οθόνη. Τα αρνητικά πρόσημα δηλώνουν ότι η δύναμη θα είναι αντίρροπη από τους εκάστοτε θετικούς ημιάξονες του καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων του προγράμματος. 2,8 Εφαρμογή στο καταλληλότερο γεωμετρικό στοιχείο. Με τον όρο γεωμετρικό στοιχείο εννοούμε τις ακμές και τις επιφάνειες από τις οποίες αποτελείται ένα αντικείμενο στο Inventor. Η εφαρμογή της δύναμης μπορεί να γίνει σε οποιοδήποτε από αυτά τα δύο καθώς επίσης και σε κόμβους που δημιουργούν μεταξύ τους. Κατά την λειτουργία ενός ζεύγους οδοντωτών τροχών η πραγματική εφαρμογή της δύναμης μεταξύ των οδόντων προκαλεί παραμόρφωση περί του σημείου εφαρμογής και μετατόπιση του οδόντα με αποτέλεσμα να καταπονούνται οι οδόντες
σε κάμψη και πίεση επιφανείας. Η ίδια δύναμη προκαλεί και τις δύο καταπονήσεις με αποτέλεσμα διαφορετική ανάπτυξη τάσεων στις δύο περιοχές, του ποδός (κάμψη) και την περιοχή περί της εφαρμογής της δύναμης (πίεση επιφανείας). Το ιδανικό θα ήταν να δημιουργήσουμε μια επιφάνεια επαφής Hertz στον οδόντα αλλά αυτό θα έδινε μέγιστες τάσεις στην επαφή στην οποία θα εφαρμοζόταν η δύναμη ενώ εμείς επιθυμούμε να ερευνήσουμε τις μέγιστες τάσεις στον πόδα του οδόντα και στην δοκιμή που πραγματοποιήσαμε συνέβη ακριβώς το αυτό. Επομένως έπρεπε να ευρεθεί ένας τρόπος τοποθέτησης της δύναμης για να δημιουργηθεί μια ισοδύναμη κατάσταση η οποία θα μας έδινε το επιθυμητό αποτέλεσμα. Εν πρώτοις εφαρμόσαμε την δύναμη σε ολόκληρη την επιφάνεια του οδόντα αλλάζοντας την γωνία πίεσης. Τότε το φορτίο λαμβανόταν υπόψη από το πρόγραμμα ως ομοιόμορφα κατανεμημένο στην επιφάνεια, δηλαδή σαν να ασκείται η δύναμη από μία κοίλη επιφάνεια ακριβώς ίδιας κατατομής με την κατατομή του οδόντα.
Οι τάσεις τις οποίες λάβαμε από αυτόν τον τρόπο ήταν πολύ μεγαλύτερες από τις αναμενόμενες επειδή ο οδόντας καταπονούνταν ουσιαστικά από ένα σώμα ογκώδες πάνω στην κατατομή του, που σε πραγματικές συνθήκες αυτό δεν ισχύει. Στην συνέχεια καταπονήσαμε σε μία επιφάνεια b που υπολογίσαμε και λάβαμε μέγιστες τάσεις στην επιφάνεια, ως αναμενόταν, αλλά το πρόγραμμα κατένειμε το φορτίο ομοιόμορφα κατά πλάτος και κατά μήκος της επιφάνειας και όχι σύμφωνα με αυτά που ισχύουν από την θεωρία του Hertz αγνοώντας σχεδόν τις γύρω επιφάνειες, ενώ σε πολλές περιπτώσεις, με την παραπάνω μεθοδολογία, δεν λάβαμε καν τάσεις στην περιοχή του ποδός. Επίσης ένα πρόβλημα που προέκυψε από την παραπάνω δοκιμή ήταν ότι σε πολύ μικρές επιφάνειες επαφής το ANSYS αδυνατούσε να δημιουργήσει πλέγμα λόγω της πολύ μικρής διαθέσιμης επιφάνειας στην οποία επενεργούσε η δύναμη. Τέλος δοκιμάσαμε να καταπονήσουμε μια ακμή στην επιφάνεια του οδόντα και εκεί λάβαμε τα επιθυμητά αποτελέσματα. Σε αυτή την περίπτωση το πρόγραμμα κατανέμει την δύναμη ομοιόμορφα κατά μήκος της ακμής και συμπιέζει ελαφρώς την γύρω περιοχή γνωρίζοντας ότι σε μηδενική επιφάνεια δεν αναπτύσσονται τάσεις, αλλά αναπτύσσονται στην γύρω περιοχή και κάμπτεται το σώμα αναλόγως του μεγέθους της δύναμης. Κατόπιν αυτού καταπονώντας σε διάφορα Ry τα οποία είχαμε υπολογίσει σε προηγούμενο κεφάλαιο, παρατηρήσαμε ότι ο οδόντας κάμπτεται και οι μέγιστες τάσεις εμφανίζονται στον πόδα αυτού.
2,9 Split Feature. Το Split είναι ένα εργαλείο το οποίο έχει την δυνατότητα να δημιουργεί νέες επιφάνειες από τις ήδη υπάρχουσες ή να αποσπά τμήματα ενός σώματος και να δημιουργεί νέα που ίσως χρησιμεύσουν στην κατασκευή συναρμολογημάτων (Assembly) ενός συμπαγούς μοντέλου του οποίου ο μηχανικός επιθυμεί να εξάγει τα κατασκευαστικά σχέδια. Σαν εργαλείο εισαγωγής για να πραγματοποιηθεί ο διαχωρισμός, χρησιμοποιούμε ένα επίπεδο ή μία επιφάνεια οποιουδήποτε σχήματος την οποία μπορούμε να κατασκευάσουμε με την εντολή Extrude Surface του Extrude με εργαλείο εισαγωγής ένα ανοικτό προφίλ όπως καμπύλη, ευθεία ή τεθλασμένη γραμμή
ή και τόξο κύκλου το οποίο χρειαστήκαμε εμείς για να διαχωρίσουμε την επιφάνεια στο ύψος Ry το οποίο επιθυμούσαμε κάθε φορά.
2,8 Το σύστημα συντεταγμένων και τοποθέτηση των δυνάμεων βάσει συνιστωσών Ft, Fr. Σφάλμα. Προκειμένου να τοποθετηθεί η δύναμη σε κατάλληλη γωνία, αρχικώς προσπαθήσαμε να ενημερώσουμε το πρόγραμμα για αυτήν χρησιμοποιώντας τις συνιστώσες Ft, Fr της δύναμης σύμφωνα με τον τρόπο που περιγράφεται στην παράγραφο 6.4.3 εικόνα 2. Κατόπιν διαπιστώσαμε ότι ο τρόπος αυτός είναι εσφαλμένος γεγονός που οφείλεται στην μη ταύτιση του πεδίου συντεταγμένων του προγράμματος με το πεδίο συντεταγμένων του οδόντα πάνω στον οποίο εφαρμόζεται η δύναμη. Το πρόγραμμα διατηρεί ένα σταθερό επίπεδο και το οποίο χρησιμοποιήθηκε αρχικά για τον σχεδιασμό του οδόντα κατά το οποίο εφαρμόζει τις δυνάμεις του με αποτέλεσμα όταν ορίζονται δυνάμεις σε αυτό ως χ και y τις τοποθετεί βάσει αυτού και μη λαμβάνοντας υπόψιν την κλίση του οδόντα που συνεπάγεται και αλλαγή στο πεδίο συντεταγμένων. 2,9 Τοποθέτηση της Fn με κατάλληλη γωνία.
Τελικώς ο μόνος τρόπος ώστε να επιλυθεί αυτό το πρόβλημα ήταν ο ορισμός της ακριβής γωνίας της δυνάμεως πράγμα που αποκλείει την πιθανή σύγχυση των επιπέδων αυτών. Προκειμένου να επιτευχθεί αυτό, σχεδιάσαμε μια ευθεία η οποία διέρχεται από το σημείο τομής της εξειλιγμένης καμπύλης με το τόξο ακτίνας Ry το οποίο χρησιμοποιήσαμε για να πραγματοποιηθούν τα περιγραφόμενα στην παράγραφο 6.4.3.2 και στην συνέχεια φέραμε μια κάθετη στην ευθεία αυτή και εφαπτόμενη στο τόξο και χρησιμοποιήσαμε τις δυο κάθετες αυτές ευθείες σαν ένα νέο σύστημα αξόνων με γνώμονα από το οποίο και εξείχθει η ακριβής γωνία αy της δυνάμεως όπως εικονίζεται παρακάτω. 2,10 Διαδικασία ρύθμισης του πλέγματος (Mesh).
Προκειμένου να λάβουμε ακριβή αποτελέσματα σε προγράμματα υπολογισμού και προσομοίωσης όπως το ANSYS χρειάζεται το πλέγμα των πεπερασμένων στοιχείων να είναι το δυνατόν πυκνότερο. Στην περιορισμένη έκδοση του πακέτου δεν είχαμε την δυνατότητα να ρυθμίζουμε ουσιαστικά το πλέγμα αλλά μπορούσαμε να πραγματοποιήσουμε μόνο μια σχετική ρύθμιση και εν συνεχεία το πρόγραμμα αποφάσιζε αυτόματα τον αριθμό των κόμβων και των στοιχείων για τον εκάστοτε οδοντωτό τροχό. Σημειώνουμε δε ότι για δυο διαφορετικές προσομοιώσεις του ιδίου οδοντωτού τροχού ο αριθμός των κόμβων και των στοιχείων διέφερε λόγω της θέσεως του Split το οποίο καθόριζε την προσαρμογή του μαθηματικού μοντέλου στην εκάστοτε κατάσταση.