ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΑΚΟΥΣΤΙΚΗ ΙΙΙ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μάρτιος 4 Σ. Κουζούπης
Εφαρμοσμένη Ακουστική ΙΙΙ -- Σπύρος Κουζούπης -- Έκδοση: 34 ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΑΚΟΥΣΤΙΚΗ ΙΙΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α Α. Εισαγωγή Πολλά αντικείμενα είναι ικανά να δονούνται ή να ταλαντώνονται. Για να γίνει αυτό, ένα σώμα ή ένα αντικείμενο πρέπει να διαθέτει δύο βασικές ιδιότητες. Αυτές είναι: α η ακαμψία ή αλλιώς μία ελαστική συμπεριφορά που θα του επιτρέπει, μέσω μίας δύναμης επαναφοράς, να επανέρχεται στη θέση ισορροπίας του όταν εκτραπεί από αυτή και β η αδράνεια, στην οποία οφείλεται η επαναλαμβανόμενη δίοδος του σώματος από την θέση ισορροπίας του. Η αδράνεια η οποία εκφράζεται μέσω της μάζας, μπορεί να είναι συγκεντρωμένη σε μία θέση (σημείο ή να είναι κατανεμημένη σε όλο το δονούμενο αντικείμενο. Αν είναι κατανεμημένη μιλάμε, κατά περίπτωση, για μάζα ανά μονάδα μήκους, επιφανείας ή όγκου. Δονήσεις συστημάτων με κατανεμημένη μάζα μπορούν να θεωρηθούν ως στάσιμα κύματα. Οι δυνάμεις επαναφοράς εξαρτώνται από την ελαστικότητα ή τη συμπιεστότητα του εκάστοτε υλικού. Τα περισσότερα δονούμενα σώματα υπακούουν το νόμο του Hook, δηλαδή ότι η δύναμη επαναφοράς είναι ανάλογη της μετατόπισης από τη θέση ισορροπίας (εννοείται για μικρές μετατοπίσεις. Στα μουσικά όργανα και γενικότερα στην Ακουστική οι μηχανικές, οι ακουστικές και οι ηλεκτρικές δονήσεις (ταλαντώσεις, αποτελούν το αίτιο των ηχητικών κυμάτων, είναι δηλαδή οι πηγές του ήχου. Αυτό καθιστά επιτακτική την ανάγκη για την αναλυτική μελέτη των απλών δονούμενων συστημάτων καθώς και το πως συμπεριφέρονται όταν δύο ή περισσότερα από αυτά αλληλεπιδρούν μεταξύ τους. Σε πολλές περιπτώσεις π.χ. στα περισσότερα μουσικά όργανα, η παραγωγή του ήχου εξαρτάται από τη συλλογική συμπεριφορά αρκετών δονούμενων στοιχείων, τα οποία μπορεί να είναι ασθενώς ή ισχυρώς συζευγμένα μεταξύ τους. Η σύζευξη αυτή, μαζί με την ενδεχόμενη ύπαρξη ανατροφοδότησης, καθιστά π.χ. ένα μουσικό όργανο να συμπεριφέρεται σαν ένα αρκετά σύνθετο δονούμενο σύστημα παρόλο που τα συνιστώμενα στοιχεία του είναι σχετικά απλοί ταλαντωτές. Α. Απλό Σύστημα Μάζας-Ελατηρίου. Απλή αρμονική κίνηση σε μία διάσταση (Σύστημα ενός βαθμού ελευθερίας. Η απλή αρμονική κίνηση, ως γνωστόν, περιγράφεται από μία ημιτονοειδή συνάρτηση ως προς το χρόνο, δηλαδή: ( Asin( f, όπου το Α εκφράζει τη μέγιστη μετατόπιση της κίνησης και θα αναφερόμαστε σε αυτήν, ως πλάτος της κίνησης. Η συχνότητα f εκφράζει πόσες επαναλήψεις της κίνησης γίνονται στη μονάδα του χρόνου. Η περίοδος της κίνησης δίνεται από τη σχέση: T (A-. f
Εφαρμοσμένη Ακουστική ΙΙΙ -- Σπύρος Κουζούπης -- Έκδοση: 34 Η πιο απλή περιοδική κίνηση είναι αυτή που κάνει μία μάζα (θεωρούμενη ως συγκεντρωμένη σε ένα σημείο, βλέπε και το Σχήμα, η οποία κινείται κατά μήκος μίας ευθείας γραμμής και δέχεται δύναμη η οποία έχει κατεύθυνση προς ένα σταθερό σημείο και είναι ανάλογη της απόστασης από το σημείο αυτό. Η κατάσταση αυτή περιγράφεται από τη σχέση: γνωστή και ως νόμος του Hook, και ισχύει για τα περισσότερα ελατήρια αν δεν υπερεκταθούν. Η εξίσωση της κίνησης προκύπτει αν συνδυάσουμε το νόμο του Hook με το νόμο του Νεύτωνα: ma m. Άρα έχουμε m (A-. η οποία μπορεί να γραφτεί ως ακολούθως, αφού. m (A-.3 Η σταθερά ονομάζεται σταθερά ελατηρίου ή ακαμψία (με μονάδες Nm. Ορίζουμε τη σταθερά, οπότε η εξίσωση της κίνησης γίνεται: (A-.4 m (A-.5 m Σχήμα Η παραπάνω εξίσωση με τη συγκεκριμένη μορφή που έχει, είναι γνωστό ότι επιδέχεται λύσεις της μορφής:
Εφαρμοσμένη Ακουστική ΙΙΙ -- Σπύρος Κουζούπης -- Έκδοση: 34 A cos( (A-.6 ή αλλιώς B cos( C sin( (A-.7 Στις παραπάνω εξισώσεις διακρίνουμε το ως τη γωνιακή συχνότητα του συστήματος. Η φυσική συχνότητα f του απλού ταλαντωτή δίνεται από τη σχέση: f m (A-.8 Με παραγώγιση της μετατόπισης ως προς το χρόνο λαμβάνουμε τις σχέσεις για τη ταχύτητα v και την επιτάχυνση, αντίστοιχα: v A sin( (A-.9 και a A cos( (A-. Τα διαγράμματα για τη μετατόπιση την ταχύτητα και την επιτάχυνση εμφανίζονται μαζί στο ίδιο σχήμα παρακάτω (Σχήμα. (Στη συγκεκριμένη περίπτωση έχουμε A και. 5. Παρατηρούμε τη διαφορά φάσης μεταξύ των τριών καμπυλών καθώς και τη κάθετη γραμμή όπου. Η ταχύτητα προηγείται της μετατόπισης κατά π και η επιτάχυνση προηγείται (ή έπεται κατά π..5 A =, =.5 v a.5 =.5 -.5 v = - -.5 - -.5 4 6 8 4 6 8 = + Σχήμα 3
Εφαρμοσμένη Ακουστική ΙΙΙ -- Σπύρος Κουζούπης -- Έκδοση: 34 Γενικά οι λύσεις των διαφορικών εξισώσεων ης τάξης (όπως η εξίσωση, 3 και 5 παραπάνω, έχουν δύο αυθαίρετες σταθερές οι οποίες προσδιορίζονται κατά περίπτωση από τις αρχικές συνθήκες. Στη περίπτωση που η λύση γράφεται με τη μορφή της εξίσωσης (6 οι δύο σταθερές είναι το A και το. Στη περίπτωση που η λύση γράφεται με τη μορφή της εξίσωσης (7 οι δύο σταθερές είναι το B και το C. Γενικά αν γνωρίζουμε τις δύο τιμές (π.χ. το A και το, είναι εύκολο να προσδιορίσουμε τις τιμές των άλλων σταθερών ( B και το C και αντιστρόφως. Αυτό θα το δούμε σε μία από τις ασκήσεις. Είναι δυνατό όπως είπαμε να εκφράσουμε τις σταθερές συναρτήσει των αρχικών συνθηκών. Γενικά αυτό θα γίνει ως εξής: Θέτοντας η εξίσωση (6 δίνει ( A cos, ενώ θέτοντας η εξίσωση (9 δίνει v v( A sin. Από τις σχέσεις αυτές μπορούμε να λάβουμε σχέσεις για τα A και συναρτήσει των και v : και v A (A-. v an (A-. Αντίστοιχα κάνοντας την ίδια διαδικασία με την εξίσωση (7 και την παράγωγο της λαμβάνουμε για το B και για το C v, οπότε η (7 γίνεται: v cos( sin( (A-.3 Α.3 Μιγαδικά πλάτη - Φάσορες Μία άλλη περιγραφή της αρμονικής κίνησης μπορεί να γίνει μέσω μιγαδικών αριθμών. Με αυτό το τρόπο το πλάτος και η φάση από τις ταλαντούμενες ποσότητες όπως η μετατόπιση και η ταχύτητα περιγράφονται με μιγαδικές ποσότητες. Η εναλλακτική αυτή μέθοδος βασίζεται στη ταυτότητα e cos( sin( όπου είναι η φανταστική μονάδα. Όταν απαιτείται να υπολογίσουμε την αριθμητική τιμή κάποιας φυσικής ποσότητας, τότε νοείται ότι θα λαμβάνουμε το πραγματικό μέρος της αντίστοιχης μιγαδικής. Π.χ. για τη περίπτωση της μετατόπισης η αντίστοιχη μιγαδική ποσότητα θα συμβολίζεται με. Με αυτή τη λογική η σχέση (A-.6 μπορεί να γραφτεί ως: A cos( Re ( ReAe Ae e ReAe Re (A-3. 4
Εφαρμοσμένη Ακουστική ΙΙΙ -- Σπύρος Κουζούπης -- Έκδοση: 34 Τα πλεονεκτήματα αυτής της μεθόδου θα γίνουν πιο φανερά στις περιπτώσεις παρακάτω όπου θα έχουμε οδηγούμενες κινήσεις ταλαντωτών. Είναι επίσης πιο εύκολο στις γραμμικές διαφορικές εξισώσεις να δοκιμάζονται ως λύσεις εκθετικές συναρτήσεις, μετατρέποντας έτσι τις διαφορικές εξισώσεις σε αλγεβρικές. Στις σχέσεις (A-3. παραπάνω η ποσότητα A Ae ονομάζεται μιγαδικό πλάτος της κίνησης και παριστάνει τη μιγαδική μετατόπιση τη χρονική στιγμή. Αν η μιγαδική μετατόπιση γράφεται ως, Ae (A-3. η μιγαδική ταχύτητα θα είναι, ενώ η μιγαδική επιτάχυνση θα είναι: v Ae (A-3.3 Ae (A-3.4 Κάθε μία από τις παραπάνω ποσότητες επειδή είναι συναρτήσεις του χρόνου, μπορεί να θεωρηθεί ως ένα περιστρεφόμενο διάνυσμα (στο μιγαδικό επίπεδο το οποίο ονομάζεται φάσορας. Τα διανύσματα αυτά περιστρέφονται με γωνιακή ταχύτητα και ένα στιγμιότυπο από αυτά φαίνεται στο Σχήμα 3. Η πραγματική τιμή της χρονικής εξάρτησης κάθε ποσότητας προκύπτει από τη προβολή της στον άξονα των πραγματικών αριθμών, καθώς αυτή περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα. Im Re Σχήμα 3 Με την ίδια λογική, μέσω της σχέσης (A-.3 η απόκριση είναι το πραγματικό μέρος (δηλαδή η προβολή στο πραγματικό άξονα των δύο περιστρεφόμενων διανυσμάτων, όπως είναι φανερό από το Σχήμα 4, ενώ η γωνία φάσης μπορεί να θεωρηθεί ως η γωνία που υστερεί η κίνηση σε σχέση με τον όρο του συνημιτόνου. 5
Εφαρμοσμένη Ακουστική ΙΙΙ -- Σπύρος Κουζούπης -- Έκδοση: 34 Im φ ( ω Re v(ω A Σχήμα 4 Α.4 Ενέργεια του ταλαντωτή Η συνολική ενέργεια του ταλαντωτή είναι το άθροισμα της δυναμικής ενέργειας E που απαιτείται για την επιμήκυνση ή τη συμπίεση του ελατηρίου και της κινητικής ενέργειας E της μάζας που συμμετέχει στη κίνηση. Το έργο που απαιτείται για την επιμήκυνση ή τη συμπίεση του ελατηρίου κατά είναι: E (A- 4. Αντικαθιστώντας τη σχέση για το λαμβάνουμε: E A cos ( (A- 4. Η κινητική ενέργεια είναι E m v και χρησιμοποιώντας τη σχέση για τη ταχύτητα λαμβάνουμε: E m A sin ( A sin ( (A- 4.3 Η συνολική ενέργεια προκύπτει ως: E E E A m A mv (A- 4.4 6
Εφαρμοσμένη Ακουστική ΙΙΙ -- Σπύρος Κουζούπης -- Έκδοση: 34 Το V είναι το πλάτος της ταχύτητας. Παρατηρούμε ότι για ένα σύστημα χωρίς αποσβέσεις (απώλειες, η συνολική ενέργεια παραμένει σταθερή και ισούται ή με τη μέγιστη δυναμική ή με τη μέγιστη κινητική ενέργεια. Α.5 Υπέρθεση δύο αρμονικών κινήσεων (σε μία διάσταση Πολλές φορές ένα δονούμενο σύστημα μπορεί να περιγραφεί με ένα γραμμικό συνδυασμό από δονήσεις οι οποίες προκαλούνται από δύο ή περισσότερες διεγέρσεις. Εάν θεωρήσουμε ότι το σύστημα μας είναι γραμμικό, η απομάκρυνση οποιαδήποτε χρονική στιγμή θα είναι το άθροισμα των επί μέρους μετατοπίσεων όπως θα προέκυπταν αν κάθε διέγερση δρούσε μόνη της. Η σημαντική αυτή ιδιότητα ονομάζεται αρχή της υπέρθεσης. Γραμμικό θεωρείται ένα σύστημα όταν η παρουσία μίας δόνησης δεν επηρεάζει την απόκριση του συστήματος σε άλλες δονήσεις. Διαφορετικά, θα λέγαμε ότι αν διπλασιάσουμε τη διέγερση τότε διπλασιάζεται και η απόκριση. Αν δύο αρμονικές κινήσεις οι οποίες έχουν την ίδια συχνότητα συνδυαστούν (δράσουν στο ίδιο σώμα, τότε θα ισχύουν τα ακόλουθα. Οι δύο μετατοπίσεις περιγράφονται από τα, : ( ( A e, A e (A-5. Η σύνθεση των κινήσεων περιγράφεται από την ακόλουθη σχέση: ( ( A e A e e Ae (A-5. Οι σχέσεις για τα A και προκύπτουν γεωμετρικά αν προσθέσουμε τους φάσορες A e A e και, λαμβάνοντας: A ( A (A-5.3 cos cos ( A sin sin ή αλλιώς A A A A A cos( (A-5.3 α και an A sin A A cos A sin cos (A-5.4 Η πραγματική μετατόπιση δίνεται από την Re ( A cos( και είναι μία άλλη αρμονική δόνηση με την ίδια συχνότητα. Η όλη λογική φαίνεται με τους φάσορες στο Σχήμα 5 παρακάτω. Εάν έχουμε να προσθέσουμε παραπάνω από δύο φάσορες, τότε το αποτέλεσμα προκύπτει αν διαδοχικά ενώσουμε το τέλος του ενός με την αρχή του επομένου. Το τελικό πλάτος θα προέλθει ενώνοντας την αρχή των αξόνων με την άκρη του τελευταίου φάσορα, ενώ η γωνία θα είναι αυτή που θα σχηματίζεται με τον οριζόντιο 7
Εφαρμοσμένη Ακουστική ΙΙΙ -- Σπύρος Κουζούπης -- Έκδοση: 34 άξονα και θα περιστρέφεται βέβαια με γωνιακή ταχύτητα. Αν έχουμε n το πλήθος τέτοιους φάσορες, οι αντίστοιχοι τύποι για το πλάτος και τη γωνία θα είναι: A An cosn An sin n, an A A n n sin n cos n (A-5.5 Im A A φ φ A φ Re Σχήμα 5 Η πραγματική μετατόπιση που δίνεται από την Re ( A cos( θα είναι η προβολή του τελικού φάσορα στο πραγματικό άξονα που θα ισούται με το άθροισμα των πραγματικών μερών όλων των συνιστωσών διανυσμάτων: Re ( A cos( A n cos( (A-5.6 Θεωρούμε τώρα τη περίπτωση όπου συνδυάζονται δύο κινήσεις με διαφορετικές συχνότητες. Η συνισταμένη κίνηση τότε θα δίνεται από την: ( ( A e A e (A-5.7 Η προκύπτουσα κίνηση δεν είναι απλή αρμονική και ανάλογα με τη σχέση μεταξύ των και μπορεί να είναι περιοδική ή απεριοδική. Αν ο λόγος είναι ρητός αριθμός η κίνηση είναι περιοδική. Η περίπτωση των διακροτημάτων δημιουργείται όταν οι δύο δονήσεις που συντίθενται έχουν πολύ κοντινές συχνότητες, οπότε δημιουργούνται περιοδικές διακυμάνσεις του πλάτους της τελικής κίνησης. Για να γίνει αυτό φανερό ευκολότερα γράφουμε για μία από τις δύο συχνότητες (δεν παίζει ρόλο για ποιά:, οπότε η (A-5.7 γίνεται: n ( A e A e e ( ( A e A e (A-5.8 8
Εφαρμοσμένη Ακουστική ΙΙΙ -- Σπύρος Κουζούπης -- Έκδοση: 34 Η σχέση αυτή μπορεί να γραφτεί ως, ( ( A( e (A-5.9 όπου (βλέπε ασκήσεις: A( A A A A cos( (A-5. και ( an A sin A A cos A sin( cos( (A-5. Η τελική κίνηση θεωρείται κατά προσέγγιση απλή αρμονική με κυκλική συχνότητα και με πλάτος και φάση οι οποίες μεταβάλλονται αργά με συχνότητα. Το συνολικό πλάτος μεταβάλλεται ανάμεσα στις τιμές A A και A A. Είναι φανερό ότι αν τα πλάτη των δύο συνιστωσών είναι ίδια, το συνολικό πλάτος θα μηδενίζεται κάποιες στιγμές. Η κυματομορφή που προκύπτει μοιάζει με τη περίπτωση της διαμόρφωσης πλάτους, δεν είναι όμως ίδια ακριβώς. Η διαμόρφωση πλάτους προκύπτει από μία μη γραμμική συμπεριφορά ενός συστήματος και δημιουργούνται στο φάσμα συνιστώσες με συχνότητες και ενώ εδώ έχουμε μόνο τις συνιστώσες και. Το φαινόμενο των διακροτημάτων είναι ακουστό και με το ανθρώπινο αυτί όταν δύο παρόμοιοι ήχοι παραπλήσιας συχνότητας συμβάλουν (βλέπε ασκήσεις. Πλάτος.5.5.5 -.5 - -.5 - -.5 3 4 5 6 7 8 9 Σχήμα 5: Τυπικό παράδειγμα διακροτήματος ms 9
Εφαρμοσμένη Ακουστική ΙΙΙ -- Σπύρος Κουζούπης -- Έκδοση: 34 Α.6 Απλό σύστημα με απώλειες Ένα απλό σύστημα μάζας ελατηρίου με απώλειες φαίνεται στο Σχήμα 6 παρακάτω. Το πως μοντελοποιούνται οι απώλειες σε ένα σύστημα εξαρτάται από την εκάστοτε περίπτωση. Μπορεί σε μία περίπτωση να έχουμε απώλειες μέσω τριβής δύο επιφανειών. Άλλη περίπτωση έχουμε όταν ένα υλικό συμπιέζεται, οπότε εμφανίζει εσωτερικές απώλειες που ονομάζονται δομικές αποσβέσεις ή απώλειες υστέρησης. Σε αυτή τη περίπτωση η δύναμη που προκαλεί τις απώλειες είναι ανάλογη της μετατόπισης (έχει όμως διαφορά φάσης 9 ο ως προς τη μετατόπιση. m R Σχήμα 6 Μία άλλη περίπτωση είναι να έχουμε απώλειες μέσω της κίνησης ενός σώματος μέσα σε ένα υγρό (π.χ. παχύρευστο. Σε αυτή τη περίπτωση η δύναμη αντίστασης είναι ανάλογη της ταχύτητας R, όπου R είναι ο συντελεστής απόσβεσης (ή μηχανική αντίσταση. Η δύναμη αντίστασης προστίθεται στην εξίσωση της κίνησης και αυτή γίνεται: m R (A-6. R Γράφοντας και η εξίσωση γίνεται: m m (A-6. Αναζητούμε μιγαδικές λύσεις της μορφής παραπάνω εξίσωση λαμβάνουμε: Ae οπότε αντικαθιστώντας στην ( Ae (A-6.3 Άρα θα πρέπει το οποίο θα ισχύει αν:
Εφαρμοσμένη Ακουστική ΙΙΙ -- Σπύρος Κουζούπης -- Έκδοση: 34 Όπου, (A-6.4 είναι η φυσική συχνότητα (ή ιδιοσυχνότητα για το ταλαντωτή με απόσβεση. Η τιμή της είναι λίγο μικρότερη από την αντίστοιχη του ίδιου ταλαντωτή χωρίς απόσβεση. Η (A-6.4 γράφεται διαφορετικά και ως: R R 4m, (A-6.5 m Η γενική λύση της (A-6. δομείται και από τις δύο τιμές του γ παραπάνω. Η γενική λύση θα έχει τη μορφή: (A-6.6 A e A e Διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις ανάλογα με το αν τα και είναι πραγματικοί ή μιγαδικοί αριθμοί ή είναι ίσοι μεταξύ τους. Στη περίπτωση που έχουμε (4m R οι τιμές για τα και είναι πραγματικοί αριθμοί και το σύστημα δεν εκτελεί ταλάντωση. Απλά η μετατόπιση του φθίνει αργά από την αρχική του θέση στο μηδέν, στη κατάσταση ισορροπίας του. Η περίπτωση όπου (4m R ή ( αναφέρεται ως υπερ-απόσβεση. Η λύση λαμβάνει τη μορφή: A R R 4m m m A e A e e e A e R 4m m (A-6.7 Στη περίπτωση που έχουμε (4m ή ( το σύστημα R παρουσιάζει κρίσιμη απόσβεση. Οι ρίζες και είναι ίσες και δίνουν ως λύση τη σχέση: (A-6.8 ( v e ( A A e 3 Στη περίπτωση που έχουμε (4m R ή ( οι ρίζες και είναι μιγαδικοί αριθμοί και το σύστημα θα ταλαντώνεται με φθίνον πλάτος. Το σύστημα λέγεται ότι παρουσιάζει υπό-απόσβεση και η λύση είναι της μορφής: e ( A e A e (A-6.9 Συχνά ορίζεται και ο λόγος απόσβεσης, ως R οπότε το m γράφεται και ως:.
Εφαρμοσμένη Ακουστική ΙΙΙ -- Σπύρος Κουζούπης -- Έκδοση: 34 Το πραγματικό μέρος της γενικής λύσης (A-6.9, παραπάνω, μπορεί να γραφεί με διαφόρους τρόπους όπως και στην περίπτωση όπου δεν υπάρχει απόσβεση. Οι δύο αντίστοιχες μορφές των (A-.6 και (A-.7 είναι οι ακόλουθες: A e cos( (A-6. ή αλλιώς e ( B cos C sin (A-6. Αν γενικά η αρχική μετατόπιση είναι ( και η αρχική ταχύτητα είναι v( v η (A-6. γίνεται: v e cos sin (A-6. Το πλάτος της ταλάντωσης φθίνει με το χρόνο και δίνεται από την e. Η κίνηση δεν είναι περιοδική (με την αυστηρή έννοια του όρου. Παρ όλα αυτά η περίοδος, όπως προκύπτει από τα σημεία που μηδενίζεται η μετατόπιση, παραμένει σταθερή και ίση με T f. Όσον αφορά τις απώλειες, υπάρχουν και διάφοροι άλλοι τρόποι μέσω των οποίων εκφράζονται αυτές. Αντί για το συντελεστή απόσβεσης R, ή το λόγο απόσβεσης συχνά χρησιμοποιείται ο παράγοντας απόσβεσης,, ή και ο χαρακτηριστικός χρόνος. Ο παράγοντας απόσβεσης ορίζεται ως: W W. (A-6.3 Όπου W. W είναι η ενέργεια η οποία χάνεται σε κάθε κύκλο ταλάντωσης και είναι η ενέργεια η οποία παραμένει μετά από κάθε κύκλο. Άλλοι διαδεδομένοι τρόποι έκφρασης των απωλειών σε ένα δονούμενο σύστημα είναι ο χρόνος ο οποίος απαιτείται για το πλάτος να φτάσει το e του αρχικού πλάτους. Στο χρόνο αυτό (που συμβολίζεται συνήθως με τ, έχουν δοθεί πολλά ονόματα όπως χρόνος μετάπτωσης, χρόνος ημιζωής, χρόνος αποκατάστασης και χαρακτηριστικός χρόνος. Ισχύει: m (A-6.4 R Πολύ συχνά χρησιμοποιείται και ο επονομαζόμενος συντελεστής ποιότητας Q, ο οποίος μπορεί να θεωρηθεί ως ένα μέτρο σύγκρισης της δύναμης επαναφοράς με τη δύναμη απόσβεσης, όπως φαίνεται παρακάτω: Q (A-6.5 R R
Εφαρμοσμένη Ακουστική ΙΙΙ -- Σπύρος Κουζούπης -- Έκδοση: 34 Γενικά σε ένα δυναμικό σύστημα είναι πολύ δύσκολος ο προσδιορισμός με υπολογισμούς των διαφόρων δεικτών της απόσβεσης. Ως εκ τούτου εκτιμάται συνήθως με μετρήσεις. Μία διαδεδομένη τακτική για τη μέτρηση της ιδιότητας αυτής ενός υλικού, είναι να χρησιμοποιείται η μέθοδος του συντονισμού. Θα μιλήσουμε γι αυτό εκτενέστερα παρακάτω όταν αναφερθούμε στα οδηγούμενα συστήματα. Η μέθοδος συνίσταται στη σύζευξη μίας μάζας με το υπό διερεύνηση υλικό. Η απόκριση του όλου συστήματος κοντά στη περιοχή του συντονισμού χρησιμοποιείται για να εξαγάγουμε συμπεράσματα για τις ιδιότητες του υλικού, όπως είναι η ακαμψία (ή ελαστική σταθερά και ο συντελεστής απόσβεσης. Το Σχήμα 7 δείχνει τις τρεις περιπτώσεις υπο-απόσβεσης, υπερ-απόσβεσης και κρίσιμης απόσβεσης. Σε κάθε περίπτωση έχουμε αρχική μετατόπιση και αρχική ταχύτητα v. 5, ενώ οι τιμές για την και το είναι κατά περίπτωση οι ακόλουθες:, a 6 (διακεκομμένη καμπύλη,, a και, a.. 3 - - -3 3 4 5 6 7 8 9 Σχήμα 7 Η ενέργεια του απλού με απόσβεση, όπως είναι λογικό μειώνεται με το χρόνο. Ο ρυθμός με τον οποίο ελαττώνεται με το χρόνο μπορεί να βρεθεί αν υπολογίσουμε τη χρονική παράγωγο της συνολικής ενέργειας: (A-6.6 E E m m R m Η σχέση αυτή δείχνει ότι ο ρυθμός απώλειας της ενέργειας ισούται με το γινόμενο της δύναμης τριβής επί την ταχύτητα. 3
Εφαρμοσμένη Ακουστική ΙΙΙ -- Σπύρος Κουζούπης -- Έκδοση: 34 Α.7 Διάφορα άλλα συστήματα που εκτελούν ταλαντώσεις Εκτός από το σύστημα ελατήριο-μάζα, το οποίο έχουμε ήδη περιγράψει, αυτά που θα ακολουθήσουν είναι γνωστά παραδείγματα συστημάτων τα οποία εκτελούν απλή αρμονική ταλάντωση και έχουν άμεσες αναλογίες με το απλό σύστημα μάζαςελατηρίου με απόσβεση. Τέτοια συστήματα μπορεί να είναι ένα εκκρεμές, μία μικρή κοιλότητα με ένα άνοιγμα που περιέχει αέρα ή ένα ηλεκτρικό κύκλωμα που περιλαμβάνει πηνίο, πυκνωτή και αντίσταση. Απαραίτητη συνθήκη για να ταλαντώνεται ένα σύστημα (να κάνει απλή αρμονική ταλάντωση, είναι η δύναμη που τείνει να επαναφέρει το εκάστοτε σύστημα στη θέση ισορροπίας του, να είναι ανάλογη της απομάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας. Δηλαδή θα πρέπει όπως είπαμε και νωρίτερα να ισχύει μία σχέση της μορφής. Αν μπορέσουμε να προσδιορίσουμε τη σταθερά αναλογίας στην παραπάνω σχέση, τότε μπορούμε να υπολογίσουμε την ιδιοσυχνότητα των ταλαντώσεων, αν ξέρουμε και την ταλαντούμενη μάζα, από τη σχέση: m. Για παράδειγμα ένα πιστόνι (βλ. Σχήμα 8 που η κεφαλή του έχει μάζα m και ο κύλινδρος έχει μήκος L και επιφάνεια διατομής S, έχει ιδιοσυχνότητα (όπως θα αποδειχτεί στην παράδοση, p S f a m L (A-7. όπου p a είναι η μέση ατμοσφαιρική πίεση και C C P V. 4 είναι ο λόγος των ειδικών θερμοτήτων του αέρα, υπό σταθερή πίεση και σταθερό όγκο. L S Σχήμα 8 Η σχέση (A-7. προέκυψε επειδή το pas. Επίσης όπως θα δείξουμε σε άλλη L p ενότητα παρακάτω (Ενότητα Ε, ισχύει c a, όπου το είναι το μέτρο συμπιεστότητας του αέρα οπότε η ακαμψία (η σταθερά αναλογίας, για την περίπτωση του αέρα μέσα στον κύλινδρο γίνεται: 4
Εφαρμοσμένη Ακουστική ΙΙΙ -- Σπύρος Κουζούπης -- Έκδοση: 34 c S c S (A-7. L V Χρησιμοποιώντας λοιπόν τη σχέση λαμβάνουμε την ιδιοσυχνότητα: m και την m S L για την μάζα, f c S (A-7.3 m V L Το αποτέλεσμα αυτό μπορεί να γενικευτεί και στις περιπτώσεις όπου η περιοχή του κύριου όγκου του αέρα έχει ακαθόριστο σχήμα. Στην περίπτωση του συνηχητή Helmholz έχουμε ένα κύριο όγκο αέρα που παρέχει την ελαστικότητα και μία στενότερη περιοχή (π.χ. μία στένωση ή λαιμός μήκους L και εμβαδού διατομής S, στην οποία ο αέρας παίζει το ρόλο της μάζας. H ιδιοσυχνότητα θα δίνεται πάλι από τη σχέση (A-7.3 παραπάνω. Υπάρχουν πάντως και διάφορες διορθώσεις, σύμφωνα με το σχήμα του ανοίγματος που πρέπει να γίνουν στον παραπάνω τύπο, για να ληφθούν υπόψη οι διάφορες απώλειες και οι οποίες εκφράζονται συνήθως μέσω μίας διόρθωσης στο μήκος του λαιμού (βλέπε σχήμα. Ακόμα και για το απλό εκκρεμές, το οποίο αποτελείται από μία μάζα m η οποία κρέμεται από ένα νήμα μήκους l, αποδεικνύεται ότι θα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση (για μικρά πλάτη, και η ιδιοσυχνότητα του θα προκύψει πάλι από την m (βλέπε ασκήσεις. Ομοίως μία στήλη νερού σε σχήμα U αν εκτραπεί από τη θέση ισορροπίας της θα κάνει ταλάντωση (βλέπε ασκήσεις. Α.8 Οδηγούμενο σύστημα μάζας ελατηρίου με απόσβεση Όταν ένας απλός ταλαντωτής οδηγείται από μία εξωτερική δύναμη f ( όπως φαίνεται στο Σχ. 9, η εξίσωση της κίνησης (A-6. γίνεται: m R f( (A-8. H εξωτερική αυτή δύναμη μπορεί να είναι αρμονικά εξαρτώμενη από το χρόνο, μπορεί να είναι κρουστικής φύσεως, ή γενικά μία τυχαία συνάρτηση του χρόνου. Στην περίπτωση που η εξωτερική δύναμη είναι αρμονική: f ( cos(, η οποία εφαρμόστηκε ξαφνικά κάποια στιγμή, η λύση της εξίσωσης (A-8. θα αποτελείται από δύο μέρη: Ένα μέρος που θα περιγράφει την παροδική συμπεριφορά (μεταβατική ή παροδική απόκριση του συστήματος (και θα περιέχει δύο αυθαίρετες σταθερές, οι οποίες θα εξαρτώνται βέβαια από τις αρχικές συνθήκες και ένα μέρος που θα περιγράφει τη σταθερή συμπεριφορά του συστήματος (και θα εξαρτάται μόνο από την και την ω. 5
Εφαρμοσμένη Ακουστική ΙΙΙ -- Σπύρος Κουζούπης -- Έκδοση: 34 6 Σχήμα 9 Για να βρούμε τη λύση στη σταθερή κατάσταση του συστήματος, γράφουμε την αρμονική δύναμη οδήγησης σε μιγαδική μορφή, οπότε η εξίσωση κίνησης γίνεται: e R m (A-8. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και το λόγο απόσβεσης m R οπότε η παραπάνω γράφεται: e (A-8.3 Ζητάμε λύσεις της μορφής Ae, οπότε αντικαθιστώντας λαμβάνουμε: e Ae R m ( (A-8.4 Από την παραπάνω προκύπτει ότι: ( R m A (A-8.5 Άρα, m R m e A e (A-8.6 όπου e. Διαφορετικά η (A-8.6 μπορεί να γραφτεί και ως: e A e ( (A-8.7 m R
Εφαρμοσμένη Ακουστική ΙΙΙ -- Σπύρος Κουζούπης -- Έκδοση: 34 7 Η μετατόπιση είναι ένας μιγαδικός αριθμός (όπως φαίνεται και από τη σχέση A-8.8, παρακάτω η οποία έχει ένα πραγματικό μέρος το οποίο συμβαδίζει με την οδηγούσα δύναμη και ένα φανταστικό μέρος που έχει διαφορά φάσης π με τη δύναμη. e ( ( ( (A-8.8 Σχήμα : Πραγματική και μιγαδική συνιστώσα της μετατόπισης σε σχέση με το διάνυσμα της δύναμης. Βλέπουμε επίσης ότι η απομάκρυνση είναι ανάλογη της εφαρμοζόμενης δύναμης και ο συντελεστής αναλογίας είναι, ( ( H (A-8.9 που είναι η λεγόμενη μιγαδική απόκριση συχνότητας. Στο σχήμα οι φάσορες ΟΑ και ΟΒ δείχνουν την πραγματική και τη φανταστική συνιστώσα της μετατόπισης στο μιγαδικό επίπεδο (ή επίπεδο Argan. Ο φάσορας ΟC δείχνει την ολική μετατόπιση, το πλάτος της οποίας θα δίνεται από την: e } { } ( { (A-8. Η ολική μετατόπιση έπεται του φάσορα της δύναμης κατά μία γωνία θ η οποία δίνεται από την:
Εφαρμοσμένη Ακουστική ΙΙΙ -- Σπύρος Κουζούπης -- Έκδοση: 34 an ( (A-8. Σχήμα : Ο συντελεστής μεγέθυνσης H ( και η φάση της μετατόπισης σε σχέση με τη δύναμη, σαν συνάρτηση του λόγου για διάφορες τιμές του. Η λύση (της σταθερής κατάστασης της (A-8.3 μπορεί τότε να γραφτεί και με την μορφή που ακολουθεί, όπου το θ δίνεται από την (A-8.. e (A-8. { ( } { } ( Η ποσότητα στην αγκύλη της (A-8. είναι το μέτρο της μιγαδικής απόκρισης συχνότητας H ( και ονομάζεται συντελεστής μεγέθυνσης. Είναι ένας αδιάστατος λόγος μεταξύ του πλάτους της μετατόπισης και της στατικής μετατόπισης Παραγώγιση του μας δίνει την ταχύτητα (π.χ. από την (A-8.6: k. 8
Εφαρμοσμένη Ακουστική ΙΙΙ -- Σπύρος Κουζούπης -- Έκδοση: 34 v R e m m ( (A-8.3 Αντίστοιχα μπορεί να προκύψει και η επιτάχυνση a. Η Μηχανική Σύνθετη Αντίσταση Z (ή Μηχανική Εμπέδηση ορίζεται ως Z v R m R X m Z v (A-8.4 Το πραγματικό της μέρος R ονομάζεται Μηχανική Αντίσταση και το φανταστικό της μέρος X m m ονομάζεται Μηχανική Αντίδραση. Προκύπτει (βλέπε ασκήσεις ότι η πραγματική τιμή της μετατόπισης, έχει την μορφή: Re sin ( (A-8.5 Z Z Η ποσότητα s οριζόμενη ως η στατική μετατόπιση είναι η μετατόπιση που παράγεται από μία σταθερή δύναμη μέτρου. Είναι φανερό ότι αυτή θα είναι η μετατόπιση στην οποία θα πλησιάζει ο ταλαντωτής για πολύ χαμηλές συχνότητες. Για αυτό το λόγο και η περιοχή αυτή λέγεται ότι καθορίζεται (κυριαρχείται από το μέτρο της ακαμψίας. Όταν το πλάτος της μετατόπισης γίνεται: Q s s (A-8.6 R m m Παρατηρούμε ότι ο συντελεστής ποιότητας Q είναι ο λόγος του μέτρου της μετατόπισης κατά το συντονισμό προς τη στατική μετατόπιση. Εκφράζει δηλαδή, με αυτή τη λογική, ένα συντελεστή ενίσχυσης. Η γνωστή καμπύλη του συντονισμού εμφανίζεται στο σχήμα. Το πλάτος της καμπύλης 3 B κάτω του μεγίστου το συμβολίζουμε με και ισούται με a όπως θα δείξουμε στην παράδοση. Ο λόγος είναι ίσος με Q. 9
Εφαρμοσμένη Ακουστική ΙΙΙ -- Σπύρος Κουζούπης -- Έκδοση: 34 Σχήμα : Η πραγματική και η φανταστική συνιστώσα της μετατόπισης σαν συνάρτηση του λόγου για διάφορες τιμές του.
Εφαρμοσμένη Ακουστική ΙΙΙ -- Σπύρος Κουζούπης -- Έκδοση: 34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α ----------- ΑΣΚΗΣΕΙΣ ------------------------------- Επανάληψη (Μαθηματικά Ι ---------------------------------- Βρείτε το πραγματικό μέρος, το μέτρο και τη φάση των α y β ( Ae γ e e. ( ( Δοθέντων δύο μιγαδικών αριθμών A Ae και B B e βρείτε α το πραγματικό μέρος του A B β το πραγματικό μέρος του A B γ το πραγματικό μέρος του A επί το πραγματικό μέρος του B δ τη φάση του A B ε τη φάση του A B. 3 Εάν το πραγματικό μέρος του A e είναι A cos( δείξτε ότι το πραγματικό μέρος του δεν είναι ίσο με. 4 Απλοποιείστε τις ακόλουθες εκφράσεις. Δώστε τις απαντήσεις και σε τετραγωνική και σε πολική μορφή. α β γ 4 3e 4e 5 ( 3 3 e 3e 5 Χρησιμοποιείστε φάσορες ώστε να φέρετε τα ακόλουθα στη μορφή: ( A cos( α ( sin(4.5 cos(4 β ( 6 sin( cos( 6 Επαληθεύστε ότι για ένα ταλαντωτή με κρίσιμη απόσβεση η ικανοποιεί την εξίσωση της κίνησης. ( A B e 7 Στον ταλαντωτή με απόσβεση η γενική λύση είναι της μορφής A e cos(. Ο ταλαντωτής ξεκινά από την ηρεμία με θετική ταχύτητα v. Βρείτε το A. 8 Βρείτε την υπέρθεση δύο αρμονικών κινήσεων, όπου η μία είναι και η άλλη ( 4 e. ( 3 3e 9 Δείξτε πως προέκυψαν οι σχέσεις (A-5.3 ή A-5.3 α και (A-5.4. Ομοίως δείξτε πως προέκυψαν οι σχέσεις (A-5. και (A-5.. Βρείτε την υπέρθεση α 5 ταλαντώσεων: ( ( ( 3 ( 4 ( e, e, 3 e, 4e, e 5 3 4 5 5
Εφαρμοσμένη Ακουστική ΙΙΙ -- Σπύρος Κουζούπης -- Έκδοση: 34 β (Λίγο δύσκολο Βρείτε την υπέρθεση ταλαντώσεων όπου ( 4 n ne, n,,. (Εξιδανικευμένο πρόβλημα, θεωρούμε ότι η γραμμικότητα διατηρείται παρά την υπέρθεση τόσων πολλών κινήσεων. Ποιές είναι α ταχύτητες v και v στο πρόβλημα (8 παραπάνω β ποιά είναι η επιτάχυνση της προκύπτουσας κίνησης τη χρονική στιγμή ; 3 Δείξτε πως προέκυψε η σχέση (A-6.. 4 Ομοίως, γράψτε για ευκολία την (A-6.7 ως e A e A e και βρείτε γενικές σχέσεις για τα A, A συναρτήσει των αρχικών συνθηκών, v. 5 Γράψτε ένα απλό πρόγραμμα στον υπολογιστή (με όποιο πρόγραμμα έχετε περισσότερη ευχέρεια, προτιμείστε το Malab, το οποίο να σχεδιάζει την υπέρθεση δύο ταλαντώσεων με διαφορετική συχνότητα σαν συνάρτηση του χρόνου. (Υπόδειξη: Είναι προτιμότερο και γενικότερο να φτιάξετε μία συνάρτηση την οποία θα καλείτε δίνοντας κάθε φορά τα πλάτη, τις φάσεις και τις συχνότητες των δύο ταλαντωτών, καθώς και τη χρονική διάρκεια του γραφήματος ή διαφορετικά να σας ρωτάει όταν τρέχει το πρόγραμμα να εισάγετε με τη σειρά τις τιμές. 6 Γράψτε ένα απλό πρόγραμμα στον υπολογιστή (με όποιο πρόγραμμα έχετε περισσότερη ευχέρεια, προτιμείστε το Malab, το οποίο να σχεδιάζει ένα διακρότημα (όπως αυτό του σχήματος 5 στις σημειώσεις. (Υπόδειξη: Είναι προτιμότερο και γενικότερο να φτιάξετε μία συνάρτηση την οποία θα καλείτε δίνοντας κάθε φορά τα πλάτη, τις φάσεις και τις συχνότητες των δύο ταλαντωτών, καθώς και τη χρονική διάρκεια του γραφήματος. Θα διαφέρει αυτό το πρόγραμμα από το προηγούμενο και αν ναι σε τί; 7 Για τις συστοιχίες μαζών και ελατηρίων που θα δοθούν στην τάξη, να βρείτε τις ιδιοσυχνότητες για κάθε περίπτωση. (Κάθε μάζα και κάθε σταθερά ελατηρίου έχει την ίδια τιμή, m και, αντίστοιχα. 8 Βρείτε κατά προσέγγιση την συχνότητα συντονισμού για α ένα άδειο (μεγάλο μπουκάλι μπύρας β ένα άδειο μικρό μπουκάλι μπύρας. (Τα δεδομένα που θα χρειαστείτε εκτιμείστε τα εσείς. Η ταχύτητα του ήχου στον αέρα είναι c=34 ms. 9 Βρείτε μία σχέση που να δίνει την επιτάχυνση a, στη περίπτωση του απλού ταλαντωτή με απόσβεση, ο οποίος οδηγείται από μία αρμονική δύναμη. Να εξάγετε τη σχέση (A-8.. Γράψτε μία συνάρτηση στο Malab η οποία θα καλείται με όλες τις παραμέτρους που απαιτούνται για να σχεδιάζεται, για κάποιο χρονικό διάστημα T, η γενική λύση (η οποία θα περιλαμβάνει την παροδική (μεταβατική απόκριση (ειδική λύση και τη λύση της σταθερής κατάστασης, στη περίπτωση ενός οδηγούμενου απλού ταλαντωτή με απόσβεση.