ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΕΚΤΗ ΙΑΦΟΡΙΣΜΟΥ ΙΣΟΥ ΚΕΡ ΟΥΣ ΣΕ ΚΑΝΑΛΙΑ ΙΑΛΕΙΨΕΩΝ NAKAGAMI-m

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΕΚΤΗ ΙΑΦΟΡΙΣΜΟΥ ΙΣΟΥ ΚΕΡ ΟΥΣ ΣΕ ΚΑΝΑΛΙΑ ΙΑΛΕΙΨΕΩΝ NAKAGAMI-m άµπλιας Γεώργιος Α.Ε.Μ. : 49 Νάτσας Ναπολέων Α.Ε.Μ. : 480 Επιβλέπων Καθηγητής: κ. Γ. Καραγιαννίδης ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 005

Περίληψη Στην παρούσα διπλωµατική εργασία πραγµατοποιήθηκε ανάλυση και προσοµοίωση ενός δέκτη διαφορισµού ίσης απολαβής (ΕGC), σε περιβάλλον διαλείψεων Nakagami-m. Ο δέκτης ίσης απολαβής δέχεται διαφορετικά σήµατα στην είσοδο (η ισχύς των οποίων είναι εκθετικά κατανεµηµένη), προβαίνει σε εκτίµηση και διόρθωση των αποκλίσεων φάσης τους και τα αθροίζει. Κύριος στόχος ήταν η δηµιουργία γραφικών παραστάσεων για τη µέση πιθανότητα σφάλµατος του συστήµατος αλλά και την πιθανότητα διακοπής επικοινωνίας για διάφορες τιµές του, της παραµέτρου m και του συντελεστή εξασθένησης δ. Η µελέτη έγινε για BPSK, 6- PSK, DPSK και 64-QAM διαµόρφωση σήµατος. Το απαιτούµενο πρόγραµµα υλοποιήθηκε σε MATAB, όπου δηµιουργήθηκε και το κατάλληλο γραφικό περιβάλλον για ευκολότερη χρήση. Η προσοµοίωση αυτή έγινε για µεγάλο αριθµό δειγµάτων, έτσι ώστε να γίνει όσο το δυνατόν πιο ακριβής αναπαράσταση του πραγµατικού συστήµατος. Ένα ακόµη σηµαντικό κοµµάτι της συγκεκριµένης εργασίας ήταν και η εξαγωγή συµπερασµάτων, ενδεικτικών της αποδοτικότητας και της λειτουργίας του συστήµατος. Abstract The objects of this thesis, were the anaysis and simuation of an Equa Gain Combiner Receiver over Nakagami-m fading channes. The Equa Gain Combiner Receiver processes the received repicas (exponentiay decaying), weighs them equay and then sums them. The main target was to provide diagrams which describe the Average Error Probabiity and the Outage Probabiity of the system for various vaues of, of parameter m and of the decay factor δ. The Average Error Probabiity and the Outage Probabiity

were studied for 6-PSK, DPSK, 64-QAM signa moduations. The source code was made in MATAB. Aso, the graphica user interface for this program was made in MATAB. We shoud aso note that the number of the simuated sampes was arge enough, in order to achieve a better rea system modeing. Finay, an other important issue, was to reach concusions about the performance and functionaity of the system. 3

Πρόλογος Η παρούσα εργασία εκπονήθηκε στα πλαίσια διπλωµατικής εργασίας του τµήµατος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Ηλεκτρονικών Υπολογιστών Τοµέας Τηλεπικοινωνιών, της Πολυτεχνικής Σχόλης του Α.Π.Θ. Η εργασία περιλαµβάνει την ανάλυση και προσοµοίωση ενός δέκτη διαφορισµού ίσης απολαβής (EGC) σε περιβάλλον διαλείψεων Nakagami-m. Αρχικά γίνεται µια εισαγωγή στα συστήµατα τηλεπικοινωνιών και ιδιαίτερα στις συνθήκες εξασθένισης που επικρατούν σε αυτά. Λέγοντας συνθήκες εξασθένισης εννοούµε τις διαλείψεις που εµφανίζονται και έχουν ως αντίκτυπο το εκπεµπόµενο σήµα να εµφανίζεται εξασθενηµένο στον δέκτη. Γίνεται λοιπόν µια εκτενής αναφορά στις διαλείψεις και ταξινόµηση τους. Ακόµη παρουσιάζονται οι τεχνικές διαφορισµού που έχουν ως στόχο την καταπολέµηση των διαλείψεων. Στη συνέχεια παρουσιάζονται οι βασικοί δέκτες διαφορισµού (Συνδυαστής Επιλογής, Μεγίστου Λόγου, Ίσης Απολαβής). Γίνεται σύντοµη ανάλυση καθενός από αυτούς και παρουσίαση των πλεονεκτηµάτων και µειονεκτηµάτων τους. Έπειτα αναλύεται ο δέκτης διαφορισµού ίσης απολαβής. Παρουσιάζονται οι βασικότερες συναρτήσεις που περιγράφουν τόσο τη λειτουργία όσο και τη συµπεριφορά του (Average SNR, ABER, ASER, Outage Probabiity). Σηµαντικό κοµµάτι της εν λόγω διπλωµατικής αποτελεί επίσης η προσοµοίωση του δέκτη ίσης απολαβής σε περιβάλλον διαλείψεων Nakagami-m, για µεγάλο πλήθος δειγµάτων, µε σκοπό την όσο το δυνατόν πιο πιστή απεικόνιση του πραγµατικού δέκτη. Με τον τρόπο αυτό γίνεται η εξαγωγή γραφικών παραστάσεων που αφορούν τόσο στην πιθανότητα διακοπής επικοινωνίας όσο και στη µέση πιθανότητα σφάλµατος. Πρέπει ακόµη να σηµειωθεί ότι η µέση 4

πιθανότητα σφάλµατος µελετάται για BPSK, 6-PSK, DPSK, 64-QAM διαµορφωµένα σήµατα πληροφορίας. Τελικά, γίνεται µια προσπάθεια εξαγωγής γενικών συµπερασµάτων, από τα οποία προκύπτει η επίδραση της παραµέτρου m, του πλήθους εισόδων και του συντελεστή εξασθένησης δ στην απόδοση του εξεταζόµενου δέκτη. Στο τέλος της διπλωµατικής εργασίας παρατίθεται ο πηγαίος κώδικας του προγράµµατος που δηµιουργήθηκε για την προσοµοίωση. Εν κατακλείδι, θεωρούµε υποχρέωσή µας να εκφράσουµε τις θερµές µας ευχαριστίες στον Καθηγητή του Α.Π.Θ. κ. Γιώργο Κ. Καραγιαννίδη, για την άριστη συνεργασία που είχαµε, τις γνώσεις που µας προσέφερε, τις πολύ σηµαντικές παρατηρήσεις, υποδείξεις και διορθώσεις που έκανε, συµβάλλοντας έτσι τα µέγιστα στην διεκπεραίωση της διπλωµατικής µας εργασίας. Θεσσαλονίκη, Οκτώβριος 005 άµπλιας Γεώργιος Νάτσας Ναπολέων 5

Περιεχόµενα ο Κεφάλαιο Εισαγωγή. Ιστορική Αναδροµή 8. Οι Επικοινωνίες στα Ασύρµατα Κανάλια. 0 ο Κεφάλαιο Στατιστικά Μοντέλα ιαλείψεων και έκτες ιαφορισµού. Εισαγωγή. Κανάλια ιαλείψεων 4.. ιαλείψεις Πολλαπλών ιαδροµών 4.. Βραχύχρονες ή Ταχείες ιαλείψεις (Fast Fading) 7..3 Μακρόχρονες ή Βραδείες ιαλείψεις (Sow Fading) 0.3 ιαφορισµός.3. Μελέτη του ιαφορισµού.3. Τεχνικές ιαφορισµού 3.3.3 έκτες ιαφορισµού 4.3.3. Συνδυαστής Μέγιστου Λόγου 4.3.3. Συνδυαστής Επιλογής 7.3.3.3 Συνδυαστής Ίσης Απολαβής 8.4 Συµπεράσµατα 30 3 ο Κεφάλαιο Θεωρητική Μελέτη Συστήµατος 3. Εισαγωγή 3 3. έκτης ιαφορισµού Ίσης Απολαβής (EGC) 3 3.. οµή έκτη 3 3.. Μέσο SNR Εξόδου. 33 3..3 Πιθανότητα ιακοπής Επικοινωνίας 34 3..4 Μέση Πιθανότητα Σφάλµατος 35 3..4. ιαµόρφωση BPSK.. 35 3..4. ιαµόρφωση M-PSK 4 3..4.3 ιαµόρφωση DPSK 43 3..4.4 ιαµόρφωση M-QAM 46 6

4 ο Κεφάλαιο Υπολογιστικό Μέρος- Προσοµοίωση 4. Εισαγωγή 47 4. Παρουσίαση Προγράµµατος 49 4.3 Παρουσίαση Αποτελεσµάτων Προσοµοίωσης 5 4.3. Μέση Πιθανότητα Σφάλµατος 5 4.3.. Επίδραση του Πλήθους των Κλάδων 5 4.3.. Επίδραση της Παραµέτρου m 57 4.3..3 Επίδραση του Συντελεστή Εξασθένησης Ισχύος δ 60 4.3. Πιθανότητα ιακοπής Επικοινωνίας 67 4.4 Συµπεράσµατα 7 Παράρτηµα Πηγαίος Κώδικας... 7 Βιβλιογραφία-Αναφορές 83 7

ο Κεφάλαιο Εισαγωγή. Ιστορική Αναδροµή Η ανάγκη επικοινωνίας µε µη σταθερά σηµεία πέραν του οπτικού ορίζοντα και χωρίς την υποστήριξη τηλεπικοινωνιακών καλωδίων για τη µεταφορά της πληροφορίας, δηµιουργήθηκε αµέσως µετά την ανακάλυψη της ασύρµατης µετάδοσης, γύρω στα τέλη του 800. Το πρώτο σύστηµα κινητής τηλεφωνίας εγκαταστάθηκε από τον Marconi το έτος 898 στο νησί Wight της Αγγλίας, για λογαριασµό της Βασίλισσας Βικτορίας. Η κινητή µονάδα ήταν το βασιλικό γιωτ, στο οποίο τοποθετήθηκε ένας VHF ποµποδέκτης µε την κεραία του, αντίστοιχος µε αυτόν της κινητής µονάδας, ο οποίος εγκαταστάθηκε στο παλάτι της Βασίλισσας. Πριν από τον εύτερο Παγκόσµιο Πόλεµο, οι Βρετανοί χρησιµοποιούσαν την κινητή τηλεφωνία για λογαριασµό της αστυνοµίας. Η ζώνη συχνοτήτων που χρησιµοποιούσαν ήταν -3 MHz ενώ το 935, χρησιµοποίησαν συχνότητες στην περιοχή των VHF. Κατά τη διάρκεια του εύτερου Παγκοσµίου Πολέµου, η χρήση των συστηµάτων αυτών επεκτάθηκε στις ένοπλες δυνάµεις και στις υπηρεσίες άµεσου επεµβάσεως (π.χ στην πυροσβεστική υπηρεσία). Ο τύπος της διαµόρφωσης του µεταδιδόµενου σήµατος ήταν ιαµόρφωση Πλάτους (ΑΜ) ενώ εκείνη την εποχή στις Ηνωµένες 8

Πολιτείες της Αµερικής (Η.Π.Α.) δοκιµαζόταν η ιαµόρφωση της Συχνότητας (FM), για την βελτίωση της ποιότητας του λαµβανόµενου σήµατος. Το έτος 945 στο Ηνωµένο Βασίλειο (UK) υπήρχαν περίπου 000 χρήστες των συστηµάτων κινητής τηλεφωνίας και ο αριθµός τους αυξανόταν συνεχώς. Το 947 στα πλαίσια των εργασιών της Internationa Radio Conference η οποία έλαβε χώρα στο Atantic City των Η.Π.Α., πραγµατοποιήθηκε η κατανοµή του ραδιοφάσµατος για τους χρήστες των κινητών επικοινωνιών. Στα πλαίσια της διαχρονικής καταγραφής της κινητής τηλεφωνίας σε παγκόσµιο επίπεδο, δίνονται τα παρακάτω ιστορικά σηµεία της εξέλιξης των κινητών επικοινωνιών στις ΗΠΑ. Το 9 στην αστυνοµία του Detroit εγκαταστάθηκε το πρώτο σύστηµα το οποίο λειτουργούσε στην περιοχή των MHz. Το 940 περίπου, νέες συχνότητες στην περιοχή των 30 και 40 MΗz, καταχωρήθηκαν για τις κινητές επικοινωνίες. Επειδή ο αριθµός των χρηστών που ζητούσαν πρόσβαση στα συστήµατα αυτά συνεχώς αυξανόταν, η Οµοσπονδιακή Επιτροπή Επικοινωνιών των Η.Π.Α. (Federa Communications Commission FCC) παραχώρησε επιπλέον συχνότητες στην περιοχή των 30 και 500 MHz. Τα πρώτα αυτά συστήµατα κινητών επικοινωνιών λειτουργούσαν αυτόνοµα και δεν υπήρχε επικοινωνία µε το τηλεφωνικό δίκτυο της χώρας. Αµέσως µετά το εύτερο Παγκόσµιο Πόλεµο, τα εργαστήρια Be (Be aboratories) δροµολόγησαν ένα πρόγραµµα για παροχή επικοινωνιακών υπηρεσιών µε συστήµατα τα οποία χρησιµοποιούσαν κοινό φορέα (common carrier), προκείµενου να εξυπηρετούνται πολλοί χρήστες µαζί κινούµενοι σε διαφορετικές γεωγραφικές περιοχές. Η υπηρεσία αυτή καταχωρήθηκε στην FCC µε το όνοµα ηµόσια Εσωτερική Υπηρεσία Επίγειων Κινητών Ασύρµατων Επικοινωνιών (Domestic and Mobie Radio Service DPMRS). 9

. Οι Επικοινωνίες στα Ασύρµατα Κανάλια Ο σκοπός οποιουδήποτε συστήµατος επικοινωνιών είναι να µεταφερθούν πιστά οι πληροφορίες µεταξύ της πηγής και του προορισµού. Eξαιτίας της δυναµικής φύσης του ασύρµατου καναλιού, ανεξάρτητα από το θεωρούµενο µοντέλο διαλείψεων, οι διακυµάνσεις της ισχύος του σήµατος λήψης είναι συνήθως έντονες, µε αποτέλεσµα η ποιότητα της επικοινωνίας µεταξύ ποµπού και δέκτη να υποβαθµίζεται. Η απότοµη µεταβολή της στάθµης της ισχύος του λαµβανόµενου σήµατος, η οποία περιγράφεται µε τον όρο διαλείψεις (fading), έχει ως αποτέλεσµα την αύξηση της πιθανότητας εµφάνισης σφαλµάτων στο σήµα αυτό. Προκειµένου να αντισταθµιστεί η εξασθένιση που παρουσιάζεται εξαιτίας του καναλιού και για να εξασφαλιστεί ότι η πληροφορία δεν αποκωδικοποιείται λανθασµένα, η ισχύς µετάδοσης µπορεί να αυξηθεί κατά τη διάρκεια λήψης των ασθενών σηµάτων από την κεραία. Τα περισσότερα όµως ασύρµατα συστήµατα επικοινωνιών είναι χαµηλής ισχύος και δεν έχουν τη δυναµική περιοχή που χρειάζεται για να αντιµετωπίσουν τις διαλείψεις. Αύξηση της αξιοπιστίας σε ένα περιβάλλον διαλείψεων πολλαπλών διαδροµών (mutipath fading) χωρίς αύξηση της ισχύος εκποµπής µπορεί να πραγµατοποιηθεί χρησιµοποιώντας σύστηµα λήψης διαφορισµού κεραιών (antenna diversity systems). Οι πολλαπλές κεραίες στο δέκτη έχουν χρησιµοποιηθεί επιτυχώς για να εξαλείψουν τις διακυµάνσεις της έντασης των σηµάτων, ώστε να µειωθούν οι επιπτώσεις της εξασθένησης των σηµάτων κατά τη διάρκεια των διαλείψεων. Στο σύστηµα λήψης διαφορισµού κεραιών όλα τα στοιχεία των κεραιών λαµβάνουν τα σήµατα. Η χρησιµοποίηση διαφορετικών κεραιών αυξάνει την πιθανότητα ότι ένα ή περισσότερα από τα στοιχεία θα λάβουν τα σήµατα µε την επαρκή ένταση. Η µείωση των περιστατικών εξασθένισης βελτιώνει τη γενική αξιοπιστία των λαµβανόµενων 0

πληροφοριών και εποµένως επιτρέπει µεγαλύτερες αποστάσεις κάλυψης. Στις παρούσες κυψελοειδείς κινητές ραδιοεπικοινωνίες (84-894 MHz), η χρήση των πολλαπλών κεραιών περιορίστηκε σχεδόν αποκλειστικά στους σταθµούς βάσεων που ήταν διαθέσιµη µια αρκετά µεγάλη περιοχή για να τοποθετηθούν διάφορες ογκώδεις κεραίες. Είναι ευρέως γνωστό ότι το µέγεθος της κεραίας είναι άµεσα ανάλογο προς το µήκος κύµατός. Η αύξηση στις συχνότητες επικοινωνίας, ως συνέπεια, συνοδεύθηκε από µια µείωση του µεγέθους των στοιχείων κεραιών. Επιπλέον, στις συχνότητες µεταξύ 850 και990 MHz ή υψηλότερες, έχει γίνει εφικτό να υπάρχουν πολλαπλές κεραίες όχι µόνο στο σταθµό βάσεων αλλά και στην κινητή µονάδα.

ο Κεφάλαιο Στατιστικά Μοντέλα ιαλείψεων και έκτες ιαφορισµού Το κεφάλαιο αυτό διαιρείται σε δύο ενότητες. Στην πρώτη, παρατίθενται βασικές θεωρητικές γνώσεις όπου περιγράφονται τα διάφορα προβλήµατα διάδοσης που υπάρχουν από φυσικής απόψεως, δίνοντας µια σύντοµη περιγραφή τω φυσικών φαινοµένων που εµπλέκονται. Έµφαση δίδεται κυρίως στις ταχείες διαλείψεις λόγω πολυδιόδευσης, γιατί η επίδραση αυτών στο εκπεµπόµενο σήµα είναι το αντικείµενο µελέτης της παρούσας διπλωµατικής εργασίας. Στη δεύτερη ενότητα, περιγράφονται οι πλέον γνωστές τεχνικές και τα βασικά σχήµατα διαφορισµού, στα οποία περιλαµβάνονται οι δέκτες Συνδυαστή Μέγιστου Λόγου, Συνδυαστή Επιλογής και Συνδυαστή Ίσης Απολαβής.. Εισαγωγή Ένα από τα σηµαντικότερα χαρακτηριστικά των καναλιών επικοινωνίας είναι η εξασθένηση, η οποία υποδιαιρείται στην εξασθένηση σκίασης (shadowing fading) και στην εξασθένηση πολλαπλών διαδροµών (mutipath fading). Η εξασθένηση σκίασης είναι το φαινόµενο της ισχνότητας του σήµατος που οφείλεται στα εµπόδια γύρω από τον δέκτη. Η εξασθένηση πολλαπλών διαδροµών

είναι τα αθροιστικά αποτελέσµατα που προέρχονται από διάφορους διασκορπιστές, ανακλαστήρες και διαθλαστήρες που περιβάλλουν τον ποµπό και τον δέκτη. Στο σχήµα. φαίνονται όλες οι µορφές εξασθένησης σε ένα περιβάλλον πολλαπλών διαδροµών. Σχήµα. Ένας ποµπός και ένας δέκτης περιβάλλονται από διάφορα αντικείµενα που προκαλούν ανάκλαση και διασκόρπιση της µεταδιδόµενης ενέργειας, µε αποτέλεσµα διάφορα κύµατα να φθάνουν στο δέκτη από διαφορετικές διευθύνσεις. Το φαινόµενο αυτό ονοµάζεται διάδοση πολλαπλών διαδροµών (mutipath propagation). Η περίπτωση που το απευθείας κύµα δεν µπορεί να φτάσει στο δέκτη ονοµάζεται διάδοση µη οπτικής επαφής (non-ineof-sight, NOS). 3

Συνήθως δεν γίνεται υπολογισµός της ισχύος του σήµατος που φθάνει µέσω πολλαπλών διαδροµών, και αυτό γιατί απαιτείται ακριβής γνώση της θέσης και των ηλεκτροµαγνητικών χαρακτηριστικών όλων των σκεδαστών. Αντίθετα γίνεται µια στατιστική περιγραφή που φυσικά διαφέρει πολύ στην απευθείας και στη µη διάδοση του σήµατος.. Κανάλια ιαλείψεων.. ιαλείψεις Πολλαπλών ιαδροµών Η ασύρµατη επικοινωνία στο περιβάλλον των κινητών επικοινωνιών λαµβάνει χώρα µεταξύ σταθερών σταθµών βάσης και κινητών τερµατικών. Ένα τυπικό µοντέλο ασύρµατης επικοινωνίας στο περιβάλλον των επίγειων κινητών επικοινωνιών αποτελείται αφενός από µια υπερυψωµένη κεραία (ή πολλαπλές κεραίες) σταθµού βάσης και αφετέρου από µια κινητή κεραία (ή κεραίες) στερεωµένη στον ποµποδέκτη του κινητού τερµατικού. Στις περισσότερες εφαρµογές, δεν υπάρχει πλήρης διάδοση οπτικής επαφής µεταξύ της κεραίας του σταθµού βάσης, που είναι γνωστή και ως σηµείο πρόσβασης, και της κεραίας του κινητού τερµατικού, λόγω φυσικών ή τεχνητών εµποδίων. Η διαδροµή διάδοσης αποτελείται από ένα τµήµα οπτικής επαφής (ine-of-sight), σχετικά µικρού µήκους, ακολουθούµενου από πολλά τµήµατα χωρίς οπτική επαφή (non-ight-of-sight). Οι µηχανισµοί που διέπουν τη ραδιοδιάδοση είναι πολύπλοκοι και ποικίλοι και µπορούν να συνοψιστούν σε τρεις βασικούς: την ανάκλαση (refection), τη διάθλαση (diffraction) και τη σκέδαση (scattering). Ανάκλαση πραγµατοποιείται όταν το ηλεκτροµαγνητικό κύµα προσπίπτει σε αντικείµενο µε πολύ µεγαλύτερες διαστάσεις από το µήκος κύµατός του. ιάθλαση συµβαίνει όταν στη φυσική διαδροµή µεταξύ ποµπού και δέκτη παρεµβάλλονται µεγάλες ανοµοιοµορφίες. Σύµφωνα µε το 4

φαινόµενο αυτό, δευτερεύοντα κύµατα ακολουθούν καµπύλη τροχιά γύρω από το εµπόδιο και τελικά ένα ποσοστό του σήµατος φθάνει στο δέκτη, ακόµα και στην περίπτωση που δεν υπάρχει οπτική επαφή (ine-of-sight) µεταξύ ποµπού και δέκτη. Σε υψηλές συχνότητες, το φαινόµενο της διάθλασης εξαρτάται από τη γεωµετρία του αντικειµένου που παρεµβάλλεται, καθώς και από τα φυσικά χαρακτηριστικά του προσπίπτοντος κύµατος. Το φαινόµενο της σκέδασης παρατηρείται όταν το φυσικό µέσο διάδοσης αποτελείται από αντικείµενα µικρότερων διαστάσεων σε σχέση µε το µήκος κύµατος και µε σχετικά µεγάλη πυκνότητα. Στην πράξη, η τροπόσφαιρα, τα πυκνά φυλλώµατα και τα αέρια της ατµόσφαιρας προκαλούν το φαινόµενο της σκέδασης στις κινητές επικοινωνίες. Έχει αποδειχθεί ότι η σκέδαση είναι ο µηχανισµός διάδοσης, που είναι πιο δύσκολο να προβλεφθεί στα ασύρµατα συστήµατα κινητών και προσωπικών επικοινωνιών. Σε τέτοιο περιβάλλον, καθώς το κινητό τερµατικό κινείται σε µια περιοχή, οι ανακλάσεις, οι διαθλάσεις και οι σκεδάσεις που λαµβάνουν χώρα έχουν ως αποτέλεσµα την άφιξη πολλών επίπεδων κυµάτων στο κινητό τερµατικό, από πολλές κατευθύνσεις και µε διαφορετικές καθυστερήσεις. Το φαινόµενο αυτό ονοµάζεται διάδοση µε διαλείψεις πολλαπλών διάδροµων (mutipath fading). Τα πολλαπλά επίπεδα κύµατα συνδυάζονται στην κεραία του δέκτη για να παράγουν ένα σύνθετο λαµβανόµενο σήµα. Η διαδροµή διάδοσης µεταβάλλεται µε την κίνηση του κινητού τερµατικού και/ή την κίνηση των τριγύρω αντικείµενων και του περιβάλλοντος. Το µήκος κύµατος του φέροντος στα λειτουργούντα συστήµατα κινητών επικοινωνιών κυµαίνεται από 5 έως 60 cm. Συνεπώς, µικρές µεταβολές στις καθυστερήσεις λόγω της κίνησης του τερµατικού προκαλούν µεγάλες µεταβολές στις φάσεις των επίπεδων κυµάτων που καταφθάνουν. Αυτές οι µεταβολές φάσης δρουν εποικοδοµητικά ή αρνητικά κατά την ανυσµατική άθροιση των διάφορων συνιστωσών στην κεραία του δέκτη, γεγονός που 5

αποδεικνύεται από τις µεγάλες µεταβολές στο πλάτος και τη φάση του λαµβανοµένου σήµατος. Καθώς το κινητό τερµατικό µετακινείται, οι χωρικές µεταβολές της περιβάλλουσας και της φάσης του λαµβανοµένου συνθέτου σήµατος εµφανίζονται ως χρονικές µεταβολές, ένα φαινόµενο που ονοµάζεται διαλείψεις περιβάλλουσας. Μπορούµε να φανταστούµε ότι στο ασύρµατο περιβάλλον των κινητών επικοινωνιών, το κινητό θα λαµβάνει πολλά ανακλώµενα κύµατα και ένα άµεσο. Τα ανακλώµενα κύµατα που λαµβάνονται από το κινητό θα καταφθάνουν από διαφορετικές γωνίες. Συνήθως το άµεσο κύµα παρουσιάζεται σχετικά πιο ισχυρό, σε σύγκριση µε τα ανακλώµενα. Το µοντέλο που περιγράφει την περίπτωση της οπτικής επαφής λέγεται στατιστικό µοντέλο Rice. Ωστόσο, η σχεδίαση ενός συστήµατος κινητών επικοινωνιών δεν µπορεί να βασίζεται σε αυτή την ιδανική κατάσταση. Βασίζεται σε ασθενή ή έµµεσα κύµατα που υπάρχουν συνήθως στον περίγυρο του δέκτη. Όλα τα ανακλώµενα κύµατα που λαµβάνονται από το κινητό τερµατικό συνδυάζονται ώστε να παρέχουν ένα σήµα πολλαπλών διάδροµων µε διαλείψεις. Μέχρι πρόσφατα όταν ο αριθµός των προσπιπτόντων επίπεδων κυµάτων που κατέφθαναν από διάφορες κατευθύνσεις ήταν αρκούντως µεγάλος και δεν υπήρχε ισχυρή συνιστώσα προερχόµενη από διάδοση οπτικής επαφής, χρησιµοποιούταν η κατανοµή Rayeigh. Η κατανοµή Rayeigh ήταν η πιο συχνά χρησιµοποιούµενη συνάρτηση κατανοµής για τα κανάλια των επίγειων κινητών επικοινωνιών και σε εξωτερικούς και σε εσωτερικούς χώρους. Πολυάριθµα πειραµατικά αποτελέσµατα δείχνουν ότι η κατανοµή Rayeigh αποτελεί ένα αρκούντως ακριβές µαθηµατικό µοντέλο. Στις µέρες µας όµως έχει υπάρξει έντονο ενδιαφέρον για την ανάλυση και τον υπολογισµό της απόδοσης των συστηµάτων των ασύρµατων κινητών επικοινωνιών στα κανάλια εξασθένησης Nakagami-m µε σκοπό να διαµορφωθεί ένα ευρύτερο φάσµα των όρων της εξασθένησης. Πειραµατικές µελέτες έχουν δείξει ότι η 6

κατανοµή Nakagami έχει καλύτερα αποτελέσµατα από τις κατανοµές Rice, Rayeigh και og-norma distribution (ορθοκανονική κατανοµή). Ένα πλεονέκτηµα της κατανοµής Nakagami είναι ότι µπορεί να πάρει τη µορφή της κατανοµής Rayeigh και να διαµορφώσει λιγότερο ή περισσότερο αυστηρές προϋποθέσεις από αυτήν. Συνοψίζοντας, µπορούµε να πούµε ότι, η διάδοση των ηλεκτροµαγνητικών κυµάτων σε περιβάλλοντα κινητών επικοινωνιών χαρακτηρίζεται από τρία επιµέρους φαινόµενα: τις απώλειες διαδροµής (path oss), τη σκίαση (shadowing) και τις διαλείψεις πολλαπλών διαδροµών (mutipath fading). Οι διαλείψεις πολλαπλών διαδροµών περιγράφονται από τις διαλείψεις περιβάλλουσας (κατανοµή πλάτους µη-επιλεκτική ως προς τη συχνότητα), την εξάπλωση Dopper (χρονικά µεταβαλλόµενος θόρυβος τυχαίας φάσης) και την εξάπλωση της χρονοκαθυστέρησης (µεταβλητή απόσταση διάδοσης των ανακλώµενων σηµάτων προκαλεί χρονικές µεταβολές στα ανακλώµενα σήµατα)... Βραχύχρονες ή Ταχείες ιαλείψεις (Fast Fading) Το ραδιοσήµα παρουσιάζει µια τυχαία µεταβολή του πλάτους του λόγω των πολλών διαφορετικών οδών που ακολουθεί (πολυοδικό φαινόµενο mutipath phenomenon) µέχρι τη λήψη του από το δέκτη. Αυτές οι ταχύτατες µεταβολές στο πλάτος του ραδιοσήµατος αναφέρονται σαν Ταχεία Εξασθένηση (Fast Fading) ή Πολυοδική Εξασθένηση (Mutipath Fading). Η Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας (pdf) του πλάτους του ραδιοσήµατος κατά την Ταχεία Εξασθένηση που ακολουθεί κατανοµή Rayeigh περιγράφεται από τη σχέση: P (y) f y y exp ( -. x0 x 0 ) (.) 7

όπου x 0 η µέση τιµή της ισχύος του σήµατος y το πλάτος του σήµατος Πρέπει να σηµειωθεί ότι στις περισσότερες περιπτώσεις δεν ακολουθείται ακριβώς κατανοµή Rayeigh. Αν θεωρήσουµε Μ διαδροµές/κλάδους που ακολουθεί το εκπεµπόµενο σήµα και το λαµβανόµενο σήµα στον κ-οστό κλάδο ακολουθεί κατανοµή Nakagami-m, η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (pdf) θα δίνεται από την εξίσωση: όπου p A ( A k m k k k ) A m k m k κ Ak e Ω ( m k ) Γ Ω k, k,,,m (.) Γ η συνάρτηση Γάµµα m Ω k A k η µέση τιµή της ισχύος στον κ-οστό κλάδο m k ο συντελεστής εξασθένησης Η κατανοµή Rayeigh (Rayeigh distribution) και η µονόπλευρη κατανοµή Gauss (one-sided Gaussian distribution) αποτελούν υποπεριπτώσεις της κατανοµής Nakagami για m και m0.5 αντίστοιχα. Ο συντελεστής εξασθένησης m µπορεί να πάρει οποιαδήποτε πραγµατική τιµή πάνω από 0.5. Ο όρος βραχύχρονες διαλείψεις χρησιµοποιείται για την περιγραφή της απότοµης διακύµανσης του πλάτους ενός ραδιοσήµατος σε βραχύ χρονικό διάστηµα ή σε βραχεία διανυόµενη απόσταση, έτσι ώστε οι επιδράσεις των απωλειών διαδροµής να µπορεί να αµεληθούν. Βραχύχρονες διαλείψεις µπορεί να προκύψουν από τη συµβολή δυο ή περισσότερων εκδοχών του µεταδιδόµενου σήµατος, που φθάνουν στο δέκτη µε µικρές διαφορές καθυστέρησης. Τα σήµατα αυτά, που ονοµάζονται και σήµατα 8

πολλαπλών διαδροµών, συνδυάζονται στην κεραία του δέκτη για να δώσουν ένα συνιστάµενο σήµα του οποίου το πλάτος και η φάση µπορεί να µεταβάλλονται ευρέως, και οι µεταβολές αυτές εξαρτώνται από την κατανοµή της έντασης του πεδίου, τον σχετικό χρόνο διάδοσης των επιµέρους σηµάτων καθώς και από το εύρος ζώνης του µεταδιδόµενου σήµατος. Σχήµα.: Παράδειγµα διαλείψεων τύπου Nakagami (m) Οι βραχύχρονες διαλείψεις οφείλονται κυρίως στις ανακλάσεις πολλαπλών διαδροµών ενός µεταδιδόµενου κύµατος από τοπικούς σκεδαστές, όπως π.χ. σπίτια, κτίρια και άλλα ανθρώπινα δηµιουργήµατα, ή από φυσικά εµπόδια, όπως π.χ. δέντρα που περιβάλλουν ένα κινητό. εν οφείλονται σε φυσικά εµπόδια µεγάλου µεγέθους, όπως π.χ. ένα βουνό ή έναν λόφο µεταξύ εκποµπής και λήψης. Τα τρία κυριότερα φαινόµενα που προέρχονται από τις πολλαπλές διαδροµές είναι: 9

Απότοµες αλλαγές στην ένταση του σήµατος, όταν διανύονται µικρές αποστάσεις ή µεσολαβούν µικρά χρονικά διαστήµατα. Τυχαία διαµόρφωση συχνότητας, που οφείλεται στο γεγονός ότι η ολίσθηση Dopper, για τα διάφορα σήµατα πολλαπλών διαδροµών, είναι διαφορετική. Εξάπλωση χρονοκαθυστέρησης (φαινόµενα ηχούς), που προκαλείται από διαφορετική καθυστέρηση σε κάθε διαδροµή που ακολουθείται από το σήµα. Στην περίπτωση των κινητών επικοινωνιών σε αστικές περιοχές, όπου υπάρχουν πολλά κτίρια, παρατηρούνται διαλείψεις επειδή το ύψος των κεραιών των κινητών τερµατικών είναι πολύ µικρότερο από το ύψος των γύρω κτιρίων, οπότε δεν υπάρχει οπτική επαφή µε το σταθµό βάσης. Ακόµα και όταν υπάρχει διάδοση οπτικής επαφής, υπάρχουν πολλαπλές διαδροµές λόγω ανακλάσεων στο έδαφος και στα γύρω κτίρια. Τα εισερχόµενα στο δέκτη ραδιοκύµατα καταφθάνουν από διαφορετικές κατευθύνσεις µε διαφορετικές καθυστερήσεις διάδοσης. Το σήµα που λαµβάνεται από το κινητό τερµατικό σε οποιοδήποτε σηµείο του χώρου, µπορεί να αποτελείται από µεγάλο αριθµό επίπεδων κυµάτων µε τυχαία κατανεµηµένα πλάτη, φάσεις και γωνίες άφιξης. Αυτές οι πολλαπλές συνιστώσες συνδυάζονται ανυσµατικά στην κεραία του δέκτη, και µπορούν να συντελούν στην εµφάνιση παραµορφώσεων ή διαλείψεων στο λαµβανόµενο σήµα. Ακόµα και αν ο δέκτης είναι ακίνητος, το λαµβανόµενο σήµα µπορεί να εµφανίζει διαλείψεις λόγω της κίνησης του περιβάλλοντος...3 Μακρόχρονες ή Βραδείες ιαλείψεις (Sow Fading) Ταυτόχρονα µε το φαινόµενο της Ταχείας Εξασθένησης συµβαίνει και µια δεύτερη βραδεία µεταβολή του πλάτους του ραδιοσήµατος. Αυτή η µεταβολή αναφέρεται σαν Βραδεία 0

Εξασθένηση (Sow Fading). Η Βραδεία Εξασθένηση είναι αποτέλεσµα των ανακλάσεων του εκπεµπόµενου ραδιοσήµατος σε µεγάλου µεγέθους εµπόδια (µεγάλα κτίρια, βουνά, λόφοι κλπ). Μακρόχρονη διάλειψη είναι ο µέσος ορός του λαµβανοµένου ραδιοσήµατος που εµφανίζει διαλείψεις (εστιγµένη γραµµή στο σχήµα.3). Ονοµάζεται επίσης τοπικός µέσος όρος, επειδή κάθε τιµή του αντιστοιχεί στη µέση τιµή της έντασης του πεδίου σε κάθε σηµείο. Ο µέσος όρος του λαµβανοµένου σήµατος περιέχει συνιστώσες που αφορούν και τις µακρόχρονες και τις βραχύχρονες διαλείψεις. Οι συνιστώσες των µακρύχρονων διαλείψεων, οι οποίες συνεισφέρουν µόνο στις απώλειες διαδροµής, πρέπει να αποµακρυνθούν ώστε να µείνει µόνο ο όρος των βραχύχρονων διαλείψεων, που είναι το αποτέλεσµα των πολλαπλών διαδροµών. Σχήµα.3: Υπολογισµός του τοπικού µέσου όρου

.3 ιαφορισµός.3. Μελέτη του ιαφορισµού Ο διαφορισµός (diversity) είναι µια αποτελεσµατική µέθοδος για την αύξηση του λαµβανόµενου λόγου σήµατος προς θόρυβο σε ένα περιβάλλον διαλείψεων. Το ραδιοκανάλι ποικίλλει µε το χρόνο και κατά περιόδους ένας δέκτης µπορεί να λάβει ένα σήµα όµοιο µε θόρυβο. Με το διαφορισµό ο δέκτης τροφοδοτείται µε σήµατα προερχόµενα από εναλλακτικά µονοπάτια για να εξασφαλίσει ότι το σήµα λαµβάνεται πιστά. Αυτό σηµαίνει ότι ο διαφορισµός απαιτεί έναν αριθµό καναλιών διάδοσης διαθέσιµων να µεταφέρουν όλα το ίδιο µήνυµα αλλά µε διαφορετικά στατιστικά στοιχεία διαλείψεων. Κατάλληλος συνδυασµός των πολλαπλών σηµάτων θα µειώσει εξαιρετικά την εξασθένηση και θα βελτιώσει την αξιοπιστία της µετάδοσης. Κι αυτό γιατί σπάνια συναντάται εξασθένηση ταυτόχρονα, διανύοντας την ίδια χρονική διάρκεια, σε δυο ή περισσότερα κανάλια. Χωρίς τις τεχνικές του διαφορισµού, µε τους περιορισµούς που επιβάλλει ο θόρυβος, ο ποµπός θα έπρεπε να µεταδίδει ένα ισχυρότερο επίπεδο ισχύος προκείµενου να προστατέψει τη σύνδεση στο σύντοµο χρονικό διάστηµα που µεσολαβεί όταν το κανάλι βρίσκεται σε εξασθένηση. Λόγω των περιορισµών µεγέθους, τα στοιχεία των κεραιών σε ένα κινητό τηλέφωνο απέχουν λίγο (λιγότερο από λ). Όταν τα ίδια στοιχεία απέχουν κατά πολύ µικρά διαστήµατα, οι περιβάλλουσες των σηµάτων που λαµβάνονται από τα στοιχεία µπορούν να εµφανίσουν έναν µεγάλο βαθµό συσχετισµού, ή οµοιότητας. Μεγάλος συσχετισµός σηµαίνει ότι όταν µια κεραία λαµβάνει χαµηλό επίπεδο σηµάτων, το δεύτερο στοιχείο πιθανότατα λαµβάνει επίσης υποβιβασµένο επίπεδο σηµάτων. εν είναι επίσης ασυνήθιστο για ένα σύστηµα διαλείψεων κεραιών η χρήση διαφορετικού τύπου

κεραιών στον κάθε κλάδο. Η χρήση µη ταυτόσηµων στοιχείων στον δέκτη (π.χ. κεραίες µε διαφορετικές πολώσεις ή πρότυπα) θα µπορούσε να οδηγήσει σε δυσαναλογίες ισχύος µεταξύ των κλάδων του συστήµατος. Οι κεραίες που είναι διαφορετικές συνήθως λαµβάνουν διαφορετικά µέσα επίπεδα σηµάτων ανάλογα µε το ποια κεραία αντιστοιχεί καλύτερα στο περιβάλλον των λαµβανόµενων σηµάτων..3. Τεχνικές ιαφορισµού Παρακάτω ταξινοµούνται και αναφέρονται επιγραµµατικά οι βασικές µέθοδοι διαφορισµού: ιαφορισµός Χώρου: Ο διαφορισµός χώρου (space diversity) είναι η απλούστερη και πιο δηµοφιλής τεχνική διαφορισµού, αφού δεν απαιτεί ούτε επιπλέον ισχύ εκποµπής, αλλά ούτε επιπλέον εύρος ζώνης και πραγµατοποιείται χρησιµοποιώντας κεραίες λήψης τοποθετηµένες σε ορισµένη απόσταση µεταξύ τους. Έτσι, απόσταση της τάξης µεγαλύτερης από λ/, µε λ το µήκος κύµατος, είναι ικανή συνθήκη για τη λήψη σηµάτων µε πολύ µικρή συσχέτιση. ιαφορισµός Πόλωσης: ιαφορισµός πόλωσης (poarization diversity) µπορεί να πραγµατοποιηθεί όταν το ίδιο σήµα εκπέµπεται από δύο κεραίες διαφορετικής πόλωσης και λαµβάνονται από κεραίες αντίστοιχης πόλωσης, τα λαµβανόµενα σήµατα θα είναι ασυσχέτιστα, αφού αυτά θα έχουν ακολουθήσει διαφορετικές διαδροµές λόγω των διαφορετικών συντελεστών ανάκλασης που θα βλέπουν από µεγάλα εµπόδια. Η τεχνική αυτή δεν απαιτεί επιπλέον χώρο, αλλά περιορίζεται σε µόνο δύο σήµατα εκποµπής, ενώ απαιτεί 3dB περισσότερη ισχύ εκποµπής. ιαφορισµός Συχνότητας: ιαφορισµό συχνότητας 3

(frequency diversity) έχουµε όταν το ίδιο σήµα εκπεµφθεί σε δύο ή περισσότερες συχνότητες. Το µεγάλο µειονέκτηµα της τεχνικής αυτής είναι ότι απαιτείται τόσες φορές µεγαλύτερη ισχύς εκποµπής και εύρος ζώνης, όσο είναι και ο αριθµός των συχνοτήτων που θα χρησιµοποιηθούν. ιαφορισµός Χρόνου: ιαφορισµό χρόνου (time diversity) έχουµε όταν το ίδιο σήµα εκπεµφθεί σε δύο ή περισσότερες χρονικές περιόδους, µε χρονική διαφορά µεγαλύτερη από 0.5/f d, µε f d τη συχνότητα ολίσθησης Dopper. Παρόλο που απαιτείται τόσες φορές µεγαλύτερο εύρος ζώνης, όσο τα εκπεµπόµενα αντίγραφα, ωστόσο η υλοποίηση της τεχνικής αυτής είναι απλή, αφού µπορεί να πραγµατοποιηθεί στη βασική ζώνη. ιαφορισµός Κατεύθυνσης: Ο διαφορισµός κατεύθυνσης (direction diversity) πραγµατοποιείται κατά την εκποµπή του σήµατος από διαφορετικές γωνίες, χρησιµοποιώντας κατευθυντικές κεραίες. Με την τεχνική αυτή µπορεί να περιορισθεί το φαινόµενο Dopper, ενώ µπορεί να εφαρµοσθεί µόνο σε κινητά τερµατικά..3.3 έκτες ιαφορισµού.3.3. Συνδυαστής Μέγιστου Λόγου (ΣΜΛ) Οι δέκτες στους οποίους γίνεται χρήση της τεχνικής Συνδυασµού Μέγιστου Λόγου (Maxima-Ratio Combining, MRC) παρουσιάζουν ιδιαίτερα υψηλό ενδιαφέρον, γιατί σε περιβάλλον χωρίς παρεµβολές παρέχουν τη βέλτιστη απόδοση σε σχέση µε τις διάφορες άλλες γνωστές τεχνικές. Το µειονέκτηµα όµως που παρουσιάζουν είναι αυτό της αυξηµένης πολυπλοκότητας, γιατί για 4

τη σωστή τους λειτουργία απαιτείται άριστη γνώση όλων των παραµέτρων του καναλιού διαλείψεων. Έτσι αυτή η τεχνική µπορεί να χρησιµοποιηθεί σε συνδυασµό µε σήµατα άνισης ενέργειας συµβόλων, όπως σύµφωνα M-QAM και M-PSK, ενώ δεν έχει πρακτική αξία να χρησιµοποιηθεί είτε µε ασύµφωνες, είτε µε διαφορικής ανίχνευσης σύµφωνες ή ασύµφωνες τεχνικές διαµόρφωσης. Στο σχήµα.4 φαίνεται µε τη µορφή µπλοκ διαγράµµατος ένας δέκτης ΣΜΛ βασικής ζώνης µε κεραίες εισόδου. Στο δέκτη τύπου ΣΜΛ, όλα τα σήµατα που λαµβάνονται από τις κεραίες αθροίζονται σύµφωνα, αφού πρώτα πολλαπλασιαστούν µε κατάλληλο µιγαδικό συντελεστή βάρους g και άρα το στιγµιαίο πλάτος του σήµατος εξόδου του δέκτη ΣΜΛ δίδεται από τη σχέση r mrc s i g k * c k (.3) Σχήµα.4: Συνδυαστής Μέγιστου Λόγου µε κεραίες λήψης ενώ η στιγµιαία ισχύς του σήµατος εξόδου θα είναι i P E g * r (.4) mrc s k k 5

Από την ανισότητα Schwartz i g k * r k g k r k (.5) i i προκύπτει ότι η µεγαλύτερη τιµή του πρώτου µέλους της (.5) προκύπτει για g r * (.6) Ο στιγµιαίος Λόγος Σήµατος προς Θόρυβο (ΛΣΘ) στην είσοδο του ΣΜΛ είναι γ r Es / N0 και θεωρώντας ίδια Φασµατική Πυκνότητα Ισχύος (ΦΠΙ) Ν 0 για όλα τα κανάλια εισόδου, ο στιγµιαίος ΛΣΘ στην έξοδο του δέκτη είναι γ mrc i γ i (.7) όπου γ ι ο στιγµιαίος ΛΣΘ στην -ωστή κεραία εισόδου, ενώ ο αντίστοιχος µέσος ΛΣΘ είναι γ γ (.8) mrc Επίσης, είναι χρήσιµο να προστεθεί ότι χρησιµοποιώντας τον ορισµό της Ροπο-Γεννήτριας Συνάρτησης (ΡΓΣ) του γ, δηλαδή i ( s ) exp ( s ) ι M mrc γ (.9) γ * και την (.7), η ΡΓΣ του στιγµιαίου ΛΣΘ στην έξοδο του δέκτη ΣΜΛ δίδεται από τη σχέση () M γ mrc mrc () s M () s i γ i (.0) όπου M είναι η ΡΓΣ του στιγµιαίου ΛΣΘ στην -ωστή κεραία γ εισόδου. Να σηµειωθεί ότι η παραπάνω εξίσωση είναι µια ιδιαιτέρως χρήσιµη σχέση για τη µελέτη επιδόσεων δεκτών ΣΜΛ, αφού προϋποθέτει µόνο τη γνώση της έκφρασης για την ΡΓΣ του στιγµιαίου ΛΣΘ στις εισόδους του δέκτη ΣΜΛ. 6

.3.3. Συνδυαστής Επιλογής (ΣΕ) Μία µικρότερης πολυπλοκότητας κατηγορία δεκτών, αλλά και αντίστοιχα χαµηλότερων συγκριτικά µε τους ΣΜΛ επιδόσεων, είναι αυτή των Συνδυαστών Επιλογής(Seection Combining, SC). Σε αυτού του τύπου τους δέκτες απαιτείται γνώση µόνο των πλατών των λαµβανόµενων σηµάτων εισόδου από τα οποία επιλέγεται το µεγαλύτερο. Ωστόσο, στα µειονεκτήµατά του συγκαταλέγεται ότι απαιτείται ένας ξεχωριστός δέκτης για κάθε επιπλέον κεραία. Στο σχήµα.5 φαίνεται µε τη µορφή µπλοκ διαγράµµατος ένας δέκτης ΣΕ βασικής ζώνης µε κεραίες εισόδου. Αφού το σήµα ληφθεί από κάθε κεραία υπολογίζεται το στιγµιαίο πλάτος κάθε σήµατος εισόδου, οπότε το στιγµιαίο πλάτος στην έξοδο του δέκτη είναι r sc ( ) max (.) r όπου r το στιγµιαίο πλάτος στην -ωστή κεραία εισόδου. Αν όλα τα κανάλια έχουν την ίδια ΦΠΙ N0, τότε η επιλογή µπορεί να γίνει σύµφωνα µε το κανάλι που θα έχει το µέγιστο στιγµιαίο ΛΣΘ εισόδου, δηλαδή γ max ( γ ) sc (.) όπου µε γ συµβολίζεται ο στιγµιαίος ΛΣΘ στην -ωστή κεραία εισόδου. 7

Σχήµα.5: Συνδυαστής Επιλογής µε κεραίες λήψης.3.3.3 Συνδυαστής Ίσης Απολαβής (ΣΙΑ) Παρόλο που οι δέκτες Συνδυασµού Ίσης Απολαβής (Equa- Gain Combining, EGC) παρουσιάζουν χειρότερες επιδόσεις σε σχέση µε τους ΣΜΛ, ωστόσο αποτελούν µία ελκυστική λύση σε συνδυασµό µε κάποιο σύµφωνο διαµόρφωσης, λόγω της σχετικά µικρής τους πολυπλοκότητας, αφού δεν απαιτείται η γνώση του πλάτους του σήµατος εισόδου, αλλά µόνο της φάσης. Στο σχήµα.6 φαίνεται µε τη µορφή µπλοκ διαγράµµατος ένας δέκτης ΣΙΑ βασικής ζώνης µε κεραίες εισόδου. Όλα τα σήµατα που λαµβάνονται από τις κεραίες αθροίζονται σύµφωνα, αφού πρώτα πολλαπλασιαστούν µε κατάλληλο µιγαδικό συντελεστή βάρους g και άρα το πλάτος του σήµατος εξόδου του δέκτη ΣΙΑ δίδεται από τη σχέση r egc s i g k * r k (.3) 8

Σχήµα.6: Συνδυαστής Ίσης Απολαβής µε κεραίες λήψης ενώ η ισχύς του σήµατος εξόδου θα είναι i P E g * r (.4) egc s k k Επιλέγοντας την απολαβή σε κάθε κλάδο εισόδου του δέκτη ως g * r (.5) r το στιγµιαίο πλάτος στην έξοδο του δέκτη προκύπτει να είναι r egc r i (.6) Ο στιγµιαίος ΛΣΘ στην είσοδο του ΣΙΑ δίδεται από τη σχέση γ r E s / N 0 και θεωρώντας ίδια ΦΠΙ N 0 για όλα τα κανάλια εισόδου, ο στιγµιαίος ΛΣΘ στην έξοδο του δέκτη δίδεται από τη σχέση γ egc γ ι (.7) i 9

.4 Συµπεράσµατα Ο διαφορισµός είναι µια ικανή τεχνική για να αντιµετωπισθούν οι διαλείψεις στα κινητά τηλεπικοινωνιακά συστήµατα. Με τις τεχνικές του διαφορισµού προσπαθούµε να εκµεταλλευτούµε τους πολλαπλούς κλάδους µέσω των οποίων διαδίδεται το σήµα και στους οποίους έχει συσχετισµένη εξασθένηση. Για να επιτύχουµε την καλύτερη απόδοση διαφορισµού, την πολλαπλή πρόσβαση, τη διαµόρφωση, την κωδικοποίηση και το σχεδιασµό των κεραιών σε µια ασύρµατη σύνδεση πρέπει να είναι όλα πολύ προσεκτικά επιλεγµένα έτσι ώστε να εξασφαλίσουµε ένα αξιόπιστο επίπεδο επικοινωνίας. Επιτυχηµένη εκµετάλλευση του διαφορισµού µπορεί να επιδράσει µε πολλούς τρόπους στα δίκτυα κινητών επικοινωνιών, όπως για παράδειγµα να έχουµε µικρότερες απαιτήσεις ισχύος λόγω µεγαλύτερης κάλυψης. Το µικρό πλάτος της εξόδου βελτιώνει την ποιότητα της φωνής και της απόδοσης της επικοινωνίας. Τέλος, µικρότερα κενά διαλείψεων σηµαίνουν ταυτόχρονα και αυξηµένη χωρητικότητα του συστήµατος και κυρίως στα δίκτυα των κινητών επικοινωνιών. 30

3 ο Κεφάλαιο Θεωρητική Μελέτη Συστήµατος Στο κεφάλαιο αυτό θα πραγµατοποιήσουµε τη θεωρητική µελέτη του συστήµατός µας. Θα αναλυθεί ο δέκτης διαφορισµού ίσης απολαβής παρουσιάζοντας τις βασικότερες συναρτήσεις που περιγράφουν τόσο τη λειτουργία όσο και τη συµπεριφορά του (Μέσο SNR Εξόδου, Μέση Πιθανότητα Σφάλµατος Συµβόλου, Πιθανότητα ιακοπής Επικοινωνίας). Πρέπει να σηµειώσουµε ότι η µέση πιθανότητα σφάλµατος θα µελετηθεί για BPSK, 6-PSK, DPSK, 64-QAM διαµορφωµένα σήµατα πληροφορίας. 3. Εισαγωγή Όπως είναι γνωστό ο δέκτης διαφορισµού EGC στην πράξη χρησιµοποιείται κυρίως µε διαµορφώσεις,όπου τα σύµβολα των σηµάτων είναι ίσης ισχύος (M-PSK), ωστόσο στην ανάλυσή µας θα χρησιµοποιήσουµε και τη διαµόρφωση 64-QAM για να επιβεβαιώσουµε αυτή την επιλογή. Θεωρούµε ότι το µεταδιδόµενο σήµα λαµβάνεται από ανεξάρτητα βραδέως µεταβαλλόµενα Nakagami-m κανάλια διαλείψεων. Όλα οι κλάδοι έχουν την ίδια παράµετρο Nakagami-m (m / ) και διαφορετική µέση ισχύ Ω α. 3

Έτσι η γενικευµένη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας του -στου κλάδου µε πλάτος διαλείψεων α δίνεται από τη σχέση p α ( α ) m m m α mα exp m Ω Γ ( m) Ω, α 0 (3.) Το µοντέλο εξασθένησης ισχύος µπορεί να πάρει διάφορες µορφές εξαρτώµενο από το αν πρόκειται για εσωτερικό ή εξωτερικό περιβάλλον, και για κάθε περιβάλλον, ανάλογα µε τις συνθήκες µετάδοσης. Εµείς θα χρησιµοποιήσουµε εκθετική εξασθένηση ( ( ) ) Ω Ω exp δ,,,..., όπου δ είναι ο συντελεστής εξασθένησης ισχύος. (3.) 3. έκτης ιαφορισµού Ίσης Απολαβής (EGC) 3.. οµή έκτη Ο δέκτης EGC επεξεργάζεται τα λαµβανόµενα σήµατα, τα κάνει συµφασικά και τα αθροίζει. Αξίζει να σηµειωθεί ότι και σε αυτήν την περίπτωση απαιτείται η εκτίµηση της φάσης του φέροντος εφόσον οι συντελεστές βάρους που εφαρµόζονται σε κάθε κλάδο του συνδυαστή είναι µιγαδικές ποσότητες, των οποίων τα πλάτη είναι κανονικοποιηµένα και οι φάσεις τους είναι ίσες µε το αρνητικό της φάσης του φέροντος. Για ισοπίθανα µεταδιδόµενα σύµβολα, αποδεικνύεται ότι ο συνολικός λόγος σήµατος προς θόρυβο (SNR) ανά σύµβολο, γ EGC, στην έξοδο του συνδυαστή EGC δίνεται από τη σχέση α Ε s γ EGC (3.3) Ν όπου Ε s (J) είναι η ισχύς ανά σύµβολο και N είναι η φασµατική πυκνότητα ισχύος του AWGN στην -oστή διαδροµή. 3

3.. Μέσο SNR Εξόδου Θεωρώντας ανεξάρτητες και ασυσχέτιστες διαδροµές και την ίδια φασµατική πυκνότητα ισχύος AWGN Ν ο, o µέσος SNR εξόδου µπορεί να γραφεί από την (3.3) ( ) ( ) Ε Ε + Ω Ν Ε i i j j j i o S EGC α α γ (3.4) η οποία για δ0 γίνεται ( ) ( ) [ ] Γ + Γ + m m m EGC γ γ (3.5) και για την περίπτωση διαλείψεων Rayeigh (m) ( ) + 4 π γ γ EGC (3.6) Για δ>0 χρησιµοποιώντας γεωµετρικά αθροίσµατα αποδεικνύεται από την (3.4) ότι ( ) [ ] ( ) ( ) Γ + Γ + δ δ δ δ δ δ δ δ δ γ γ e e e e e e e m m m e e EGC (3.7) Η οποία για Rayeigh (m) γίνεται ( ) ( ) + δ δ δ δ δ δ δ δ δ π γ γ e e e e e e e e e EGC (3.8) 33

Στο σχήµα 3. απεικονίζεται το κανονικοποιηµένο SNR εξόδου γ EGC / γ του EGC συναρτήσει του αριθµού των κλάδων για διάφορες τιµές της παραµέτρου Nakagami-m και του συντελεστή εξασθένησης ισχύος δ. Αξίζει να προσέξουµε την απώλεια ικανότητας συνδυασµού του δέκτη για δ>0, η οποία γίνεται πιο έντονη καθώς το δ αυξάνει. Σχήµα 3.:Κανονικοποιηµένο SNR εξόδου γ Ε GC /γ δέκτη EGC σε κανάλια Nakagami-m µε εκθετική εξασθένιση ισχύος (a) m4, (b) m, (c) m, (d) m0.5 3..3 Πιθανότητα ιακοπής Επικοινωνίας Ένα ακόµη κριτήριο για την ανάλυση συστηµάτων που λειτουργούν σε περιβάλλον διαλείψεων είναι και η πιθανότητα διακοπής επικοινωνίας, η οποία ορίζεται ως η πιθανότητα, το στιγµιαίο SNR να πέσει κάτω από µια συγκεκριµένη τιµή φράγµατος γ th. 34

P out γ th 0 p γ t ( γ t ) d γ t (3.9) Γνωρίζοντας ότι το στιγµιαίο SNR εξόδου ανά συµβολο στον EGC είναι γ EGC α N o E s όπου θεωρήσαµε ίδια φασµατική πυκνότητα ισχύος AWGN για όλους τους κλάδους διαλείψεων. Καθώς η πιθανότητα διακοπής επικοινωνίας ορίζεται από P out P r { γ EGC γ th 0 } (3.0) και αφού α 0,,,..., η σχέση (3.0) µπορεί να γραφεί P out P r { α α } 0 (3.) t th όπου t α α και α γ /( E / N ). th th s o 3..4 Μέση Πιθανότητα Σφάλµατος 3..4. ιαµόρφωση BPSK Ξεκινάµε την ανάλυσή µας εξετάζοντας την απόδοση του δέκτη EGC όταν µεταδίδονται σήµατα διαµορφωµένα κατά BPSK µέσω ενός καναλιού µε διαδροµές. Θεωρώντας ότι τα πλάτη των διαλείψεων είναι σχέση { } ( ) α, το BER του δέκτη EGC E { α } δίνεται από τη P b 35

P b ( E { α } ) Q( γ EGC ) Eb Q α (3.) N Το µέσο BER, P b (E), προκύπτει ολοκληρώνοντας τη σχέση (3.) µε την κοινή συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας των πλατών των a a a (,,,..., ) διαλείψεων, p a a,... a, και είναι E b Pb ( E)... Q α t α pa, a,..., a ( a, a,..., a ) da da... da (3.3) 0 0 N Το πολλαπλό ολοκλήρωµα της (3.3) συµπτύσσεται σε ένα απλό ολοκλήρωµα, το οποίο είναι E Pb ) t 0 N b ( E ) Q α t p a ( a t da t (3.4) όπου α t α παριστάνει το άθροισµα των πλατών των διαλείψεων µετά το συνδυασµό. Γενικά υπάρχουν δύο δυσκολίες σχετικά µε τον αναλυτικό υπολογισµό του µέσου BER όπως εκφράζεται από την (3.4). Η πρώτη έχει να κάνει µε την απαίτηση να ληφθεί η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της τυχαίας µεταβλητής των διαλείψεων. Όταν τα πλάτη των διαλείψεων θεωρούνται ανεξάρτητα µεταξύ τους, κάτι που συµβαίνει στην περίπτωσή µας, αυτή η συνάρτηση µπορεί να βρεθεί υπολογίζοντας τη συνέλιξη των συναρτήσεων πυκνότητας πιθανότητας των πλατών α, κάτι το οποίο είναι συχνά δύσκολο να πραγµατοποιηθεί. Η δεύτερη δυσκολία έχει να κάνει µε το γεγονός ότι το όρισµα από τον κλασικό ορισµό της συνάρτησης Q εµφανίζεται στο κάτω όριο του ολοκληρώµατος, γεγονός ανεπιθύµητο όταν προσπαθούµε να υπολογίσουµε το µέσο όρο των α t. Για να αποφύγουµε αυτές τις δυσκολίες, χρησιµοποιούµε µια εναλλακτική αναπαράσταση της συνάρτησης Q, η οποία είναι 36

π ( ) Q x x exp dφ; π 0 sin φ x 0 (3.5) Με αντικατάσταση της (3.5) στην (3.3) προκύπτει P b ( E )... 0 0 π π 0 exp E b N a sin a ( a )... p a ( a ) dφda da φ p... da (3.6) Ο εκθετικός όρος στην παραπάνω σχέση δεν µπορεί να αντικατασταθεί από ένα γινόµενο πολλών εκθετικών όρων, ο καθένας από τους οποίους θα περιέχει έναν απλό όρο α, λόγω της παρουσίας των διασταυρούµενων όρων α κ α. Για αυτό το λόγο δεν µπορούµε να αντικαταστήσουµε το πολλαπλό ολοκλήρωµα µε ένα γινόµενο απλών ολοκληρωµάτων, κάτι που είναι δυνατό στην περίπτωση του MRC δέκτη. Αντί αυτού χρησιµοποιούµε στη σχέση (3.4) την εναλλακτική αναπαράσταση της συνάρτησης Q, η οποία µετά την αντιστροφή της σειράς ολοκλήρωσης δίνει το παρακάτω αποτέλεσµα π Α b( E) α ( αt ) dαt dφ t π exp (3.7) 00 sin P αt p φ όπου Α Ε b / N. Παρόλο που µε αυτό τον τρόπο ξεπερνάµε τη δεύτερη δυσκολία βγάζοντας τη τυχαία µεταβλητή των συνολικών διαλείψεων έξω από το κάτω όριο του ολοκληρώµατος και εισάγοντάς την στον ολοκληρωτέο, εξακολουθούµε να αντιµετωπίζουµε το πρόβληµα του καθορισµού της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας της α t. Για να ξεπεράσουµε αυτή τη δυσκολία, αναπαριστούµε την ( ) a a t p t σε όρους της χαρακτηριστικής 37

της συνάρτησης Ψ ( jυ) a t, η οποία εξαιτίας της υπόθεσης των ανεξάρτητων πλατών διαλείψεων γίνεται p α όπου ( jυ) a t t π jυαt jυαt ( α ) Ψ ( jυ) e dυ Ψ ( jυ) e dυ t α t π α (3.8) Ψ είναι η χαρακτηριστική συνάρτηση των πλατών α των διαλείψεων που αντιστοιχούν στην -στή διαδροµή. Αντικαθιστώντας την (3.8) στην (3.7), έχουµε P b π π ( E) Ψ ( jυ) 0 α A α t exp jυα t dαt dυdφ 0 sin φ 44444 44444 3 J ( υ, φ) (3.9) Το ολοκλήρωµα J(υ,φ) µπορεί να ληφθεί σε όρους της συµπληρωµατικής συνάρτησης σφάλµατος erfc() σαν π sinφ sin φ sinφ ( υ, φ) exp υ + erfc j υ J (3.0) Α Α Α ή εναλλακτικά υπολογίζοντας ξεχωριστά το πραγµατικό και το φανταστικό µέρος του, δηλαδή 0 0 Α exp α cos sin φ Α exp α t sin sin φ π sin φ ( υα ) Α Α t αt exp υ t d υsin φ sin ( ) υα Α Α Α t dα t exp υ F ; ; υ sin φ φ 3 sin φ (3.) όπου F (,,) είναι η υπεργεωµετρική συνάρτηση Kummer. Θέτοντας X ( φ ) π sin φ Α υ sin φ 3 sin φ Y (3.) ( υ, φ ) Α F ; ; υ Α µπορούµε να γράψουµε το ολοκλήρωµα J(υ,φ) στην παρακάτω µορφή 38

( υ, φ) [ X( φ) + jy( υ, φ) ] J X ( φ) + Y ( υ, φ) sin φ exp υ Α exp jtan ( υ, φ) sin φ ( ) exp υ φ Α Y X (3.3) Γενικά, η χαρακτηριστική συνάρτηση µιας συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας είναι µια µιγαδική ποσότητα και έτσι το γινόµενο των χαρακτηριστικών συναρτήσεων στην (3.9) θα είναι επίσης µιγαδική ποσότητα. Ωστόσο καθώς το µέσο BER είναι πραγµατικό, αρκεί να λάβουµε υπόψη µόνο το πραγµατικό µέρος στο δεξί µέλος της (3.9), το οποίο οδηγεί στην P π π α 0, ( E) Re Ψ ( jυ) J ( υ φ) dυdφ b Εκφράζοντας τη χαρακτηριστική συνάρτηση ( jυ) Ψ a ( jυ) U ( υ) + jv ( υ) U ( υ) + V ( υ) (3.4) exp j tan Ψ σαν a t V U ( υ) ( υ) (3.5) και αντικαθιστώντας την (3.3) και την (3.5) στην (3.4) προκύπτει (3.6) P b π π sin φ Α ( E) F( υ, φ ) exp υ dυdφ 0 όπου F ( υ, φ ) R( υ, φ ) cos Θ( υ, φ ) R ( υ, φ) X ( φ) + Y ( υ, φ) U ( υ) + V ( υ) Y ( ) ( υ, φ) V ( υ) π υ, φ tan + + + ( ( )) ( ( ) tan ( ) sgny υ, φ sgnv ) X φ U υ Θ ( υ ) (3.7) όπου sgn() δηλώνει τη συνάρτηση προσήµου. 39

Οι σχέσεις (3.6) και (3.7) παρέχουν µία ακριβή αναλυτική έκφραση για την απόδοση µέσου BER για σήµατα BPSK µε δέκτη EGC. H (3.6) απαιτεί τον υπολογισµό της χαρακτηριστικής συνάρτησης του πλάτους α. Συγκεκριµένα η χαρακτηριστική συνάρτηση που αντιστοιχεί στη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας για τις διαλείψεις Nakagami µπορεί να υπολογιστεί σε όρους της παραβολικής κυλινδρικής συνάρτησης D -υ () ( ) ( ) ( ) Ω Ω Γ Γ Ψ 8 exp υ υ υ α m m j D m m j m m (3.8) ή εναλλακτικά υπολογίζοντας ξεχωριστά το πραγµατικό και το φανταστικό µέρος της χρησιµοποιώντας τους µετασχηµατισµούς Fourier ηµιτόνου και συνηµιτόνου ( ) ( ) Ω Α 4 exp υ υ υ m U ( ) ( ) Ω 4 exp υ υ υ m B V (3.9) όπου ( ) Ω Α m m F 4 ; ; υ υ ( ) ( ) Ω Ω Γ + Γ m m F m m m B 4 ; 3 ; υ υ υ (3.30) Έτσι, οι σχέσεις που ορίστηκαν στην (3.7) γίνονται ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ω + Α + m B Y X R 4 exp,, υ υ υ υ φ φ φ υ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( Β Υ + + Α + Θ B X Y sgn, sgn tan, tan, υ φ υ π υ υ φ φ υ φ υ )) (3.3) µε τις Χ(φ) και Υ(υ,φ) όπως ορίστηκαν στην (3.) και Α (υ), Β (υ) όπως ορίστηκαν στην (3.30). Στο σηµείο αυτό βάζουµε τον εκθετικό 40

όρο της R(υ,θ) στον εκθετικό όρο του ολοκληρωτέου της (3.6) και η σχέση που δίνει το µέσο BER γίνεται P b π π o 0 sin φ Α ( ) ( υ Ε F, φ) exp + υ dυdφ Ω 4m (3.3) όπου F 0 (υ,φ) είναι µια κανονικοποιηµένη µορφή της F(υ,φ), η παρακάτω µε R o o ( υ, φ ) R ( υ, φ ) cos Θ( υ, φ ) F (3.33) o (, φ) X ( φ) + Y ( υ, φ) Α ( υ) + Β ( υ) υ (3.34) και Θ(υ,φ) ορίζεται από τη σχέση (3.3). Τέλος, θέτοντας sin φ Ω η ( φ ) + (3.35) Α 4m και κάνοντας την αλλαγή µεταβλητών ολοκλήρωµα είναι της µορφής x η ( ϕ) υ, το εσωτερικό διπλό F o η x ( φ ), e φ x dx (3.36) το οποίο µπορεί να υπολογιστεί εύκολα µε τη µέθοδο ορθογώνιων πολυωνύµων Gauss-Hermite, καταλήγοντας στο επιθυµητό τελικό αποτέλεσµα στη µορφή ενός απλού ολοκληρώµατος του φ µε πεπερασµένα όρια P ( E ) π N p x n Η F x φ dφ n o, π η ( φ ) n η ( φ ) 0 b (3.37) όπου Ν p είναι η τάξη του πολυωνύµου Hermite, Η Np (). Θέτοντας Ν p 0 αρκεί συνήθως για µεγάλη ακρίβεια. Στην (3.37) x n είναι τα µηδενικά και Η Xn είναι οι συντελεστές βάρους του πολυωνύµου Hermite τάξης Ν p, οι οποίοι δίνονται από τη σχέση Η x N N p p Η n N N p p! π ( x ) n (3.38) 4

Σηµειώνουµε ότι αντικαθιστώντας τις (3.33), (3.34), (3.35) στην (3.37) µπορεί να αποδειχθεί ότι εάν Ν Ν 0 τότε το µέσο BER που υπολογίζεται από την (3.37) είναι συνάρτηση µόνο του µέσου SNR/bit/διαδροµή, γ E b / N 0. Ω 3..4. ιαµόρφωση M-PSK Εδώ θα κάνουµε µία επέκταση για µετάδοση Μ-PSK σηµάτων, αφού θυµηθούµε ότι ο ρυθµός σφαλµάτων συµβόλου, SER, κατά τη µετάδοση σε περιβάλλον AWGN δίνεται από τη σχέση όπου g PSK P s ( E α ) π ( M ) g PSK E s t dφ π Μ exp N o φ (3.39) 0 sin π sin και Ε s /N o είναι η σηµατοθορυβική σχέση του M λαµβανόµενου συµβόλου. Για την περίπτωση του δέκτη EGC, παρουσία διαλείψεων, ο SER δίνεται από τη σχέση (3.37) αντικαθιστώντας τον όρο Ε s /N o µε το γ EGC, το οποίο παριστάνει το στιγµιαίο SNR/σύµβολο µετά το συνδυαστή. Ακολουθώντας τα ίδια βήµατα όπως και στην παράγραφο 3..4., είναι εύκολο να δειχτεί ότι ο µέσος SER δίνεται από µία σχέση ανάλογη µε την (3.37), η οποία είναι όπου P s ( E) π π ( M) Μ Np xn x F n o ηpsk( φ) Η, 0 n ηpsk( φ) η PSK sin φ Α ( φ) + PSK Ω 4m φdφ (3.40) Α PSK g PSK N E s (3.4) 4

ενώ όλες οι υπόλοιπες παράµετροι και συναρτήσεις παραµένουν ίδιες µε αυτές που ισχύουν στην περίπτωση του δυαδικού σήµατος. Παρόµοια µε πριν µπορεί επίσης να δειχθεί ότι εάν Ν Ν o, τότε η (3.40) είναι συνάρτηση µόνο του µέσου SNR/σύµβολο/διαδροµή, s N o E / Ω γ. 3..4.3 ιαµόρφωση DPSK Στην έξοδο ενός συνδυαστή EGC, ο στιγµιαίος SNR δίνεται από τη σχέση γx όπου το x ορίζεται ως o b N E x α (3.4) όπου α είναι το πλάτος των διαλείψεων οι οποίες µοντελοποιούνται ως τυχαίες µεταβλητές Rayeigh, Rician ή Νakagami και είναι η τάξη διαφορισµού. Η χαρακτηριστική συνάρτηση του x για διαλείψεις Nakagamim έχει υπολογισθεί και δίνεται από τη σχέση ( ) ( ) + Φ Γ + Γ + Φ + Γ k k k k k k k k k k m k m k x m m m j m j D m k k 4 ; 3, 4 ;, 8 exp λ ω λ ω λ ω λ ω λ ω π ω φ (3.43) όπου m k δηλώνει τη µορφή διαλείψεων του k-οστού κλάδου διαφορισµού, D -ν () είναι η παραβολική κυλινδρική συνάρτηση τάξεως ν, k k k m γ λ µε N 0 E b k k Ω γ να αντιστοιχεί στο µέσο λαµβανόµενο SNR του k-οστού κλάδου ενώ Φ(α, b; c) είναι η υπεργεωµετρική συνάρτηση πρώτου είδους. 43

Μία γενική µορφή της υπό συνθήκη πιθανότητας σφάλµατος είναι η εξής P s η k ( ε γ ) α ( θ ) exp( γb ( θ )) dθ k 0 k k (3.44) όπου α k (θ) και b k (θ) είναι συντελεστές ανεξάρτητοι του γ, οι οποίοι όµως µπορεί να εξαρτώνται από το θ. Αφού γx, µπορούµε να ξαναγράψουµε την (3.44) ως P s ( dθ η u u ) u 0 u ( ε x) α ( θ ) exp x b ( θ ) (3.45) Η µέση πιθανότητα σφάλµατος bit ή συµβόλου (ASER) σε κανάλια διαλείψεων µπορεί να ληφθεί ολοκληρώνοντας το γινόµενο της πιθανότητας σφάλµατος υπό συνθήκη µε τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας, PDF, του πλάτους του σήµατος στην έξοδο του συνδυαστή EGC, δηλαδή P s 0 P s ( ε x) p ( x) dx x (3.46) όπου p x () δηλώνει την PDF της τυχαίας µεταβλητής x. Εάν τα πλάτη των διαλείψεων θεωρηθούν ανεξάρτητα, κάτι που συµβαίνει στην περίπτωσή µας, τότε ο υπολογισµός του ASER χρησιµοποιώντας τη λύση της σχέσης (3.46) απαιτεί τον υπολογισµό ενός πολλαπλού ολοκληρώµατος. Είναι πρακτικότερο να µετασχηµατίσουµε την PDF στο πεδίο συχνοτήτων καθώς η χαρακτηριστική συνάρτηση του x είναι απλώς το γινόµενο µεµονωµένων χαρακτηριστικών συναρτήσεων. Σε κάθε περίπτωση είναι δύσκολο έως αδύνατο να µετατραπεί η χαρακτηριστική συνάρτηση του x, φ x (), ώστε να πάρουµε µία έκφραση κλειστής µορφής για την PDF του x. Για αυτό το λόγο χρησιµοποιήθηκε µια προσέγγιση µε σειρά Fourier. Χρησιµοποιώντας το αντίστροφο µετασχηµατισµό Fourier για την απεικόνιση της PDF και αλλάζοντας τη σειρά της ολοκλήρωσης, η (3.46) γράφεται 44

P s π π 0 P ( ε x) φ ( ω) exp( jωx) s φ () x FT π ( ω) P ( ε x) exp( jωx) * [ P ( ε x) ] φ ( ω) s 0 s x x dω dω dx dx dω (3.47) * όπου η έκφραση δηλώνει το συζυγή µιγαδικό της φ χ χαρακτηριστικής συνάρτησης του x. Στην παραπάνω έκφραση παρακάµφθηκε η ανάγκη υπολογισµού της PDF του x. Χρειαζόµαστε όµως το µετασχηµατισµό Fourier της P s (ε x), ο οποίος ισούται µε G { + jωx} u ( ω) α ( θ ) exp x b ( θ ) u η u u α b η 0 u u 0 u ( θ ) ( θ ) 0 πb u ( θ ) u ω exp 4bu dxdθ 3 + jωφ, ; ω ( θ ) 4b ( θ ) u (3.48) dθ Αντικαθιστώντας την (3.48) στην (3.47) και θέτοντας το φανταστικό µέρος αυτού του ολοκληρώµατος ίσο µε το µηδέν, αφού ο ASER είναι πραγµατικός, λαµβάνουµε µία ακριβή αναλυτική έκφραση υπολογισµού του ASER για δυαδικές και Μ-αδικές διαµορφώσεις µε δέκτη EGC * όπου ψ ( ω) Re a ωg( ω) ϕ ( ω) P s π * ψ { ( ) ( )} ( tanζ ) G ω φx ω dω π sin( ζ ) a π Re 0 0 { } x π dζ (3.49). Παρατηρούµε ότι ο υπολογισµός της (3.49) απαιτεί στις περισσότερες περιπτώσεις τον υπολογισµό ενός διπλού ολοκληρώµατος. Στην περίπτωση του DPSK η πιθανότητα σφάλµατος υπό συνθήκη, P s (ε x), εκφράζεται σε εκθετική µορφή για τον υπολογισµό του στιγµιαίου BER. Η µορφή αυτή είναι P s (ε x)0.5exp(-x ) και ο µετασχηµατισµός Fourier αυτής δίνεται από τη σχέση 45

( ) + 4 exp 0.5 ω ω π ω jf G (3.50) όπου F() δηλώνει το ολοκλήρωµα Dawson, ( ) ( ) ( ) Φ 0 ; 3, exp exp x x dt t x x F π (3.5) To ASER λαµβάνεται αντικαθιστώντας την (3.50) στην (3.49), οπότε προκύπτει µία σειρά ταχέως συγκλίνουσα ( ) ( ) n n k s R n k n k n P + sin 4 tan π π ψ (3.5) όπου R n δηλώνει τον όρο του υπολοίπου. 3..4.4 ιαµόρφωση M-QAM Στην περίπτωση του M-QAM η πιθανότητα σφάλµατος υπό συνθήκη, P s (ε x), εκφράζεται από τη σχέση ( ) ( ) γ γ γ ε p erfc q p erfc q P s ) ( (3.53) όπου M q / και p.5og M/(M-) και ο µετασχηµατισµός Fourier αυτής δίνεται από τη σχέση ( ) + p F p q p q j p p F p F q p F q G 4 4 exp 4 exp 8 exp 4 4 ω π ω ω ω ω ω ω ω π ω ω π ω ω (3.54) Το ASER για την διαµόρφωση M-QAM λαµβάνεται αντικαθιστώντας την (3.54) στην (3.49). 46

4 ο Κεφάλαιο Υπολογιστικό Μέρος- Προσοµοίωση 4. Εισαγωγή Το υπολογιστικό µέρος της παρούσας διπλωµατικής βασίστηκε στην προσοµοίωση του δέκτη EGC σε κανάλια διαλείψεων Nakagami-m κατά τη µετάδοση BPSK, M-PSK (συγκεκριµένα 6- PSK), DPSK και M-QAM (συγκεκριµένα 64-QAM). Η προσοµοίωση γενικότερα διαφόρων συστηµάτων µε τη χρήση ηλεκτρονικού υπολογιστή είναι ένα πολύτιµο εργαλείο στα χέρια των µηχανικών, αφού δίνει τη δυνατότητα εκτέλεσης πειραµάτων και µετρήσεων µε ελάχιστο χρόνο και χρήµα. Πρέπει όµως να γίνει πιστή µοντελοποίηση του εξεταζόµενου κάθε φορά συστήµατος, έτσι ώστε τα προσφερόµενα αποτελέσµατα να προσεγγίζουν όσο το δυνατόν περισσότερο την πραγµατικότητα αλλά και να επιτυγχάνεται ακριβής και ουσιαστική γνώση του αντικειµένου. Η εν λόγω προσοµοίωση πραγµατοποιήθηκε σε περιβάλλον του προγράµµατος MATAB και στο ίδιο πρόγραµµα δηµιουργήθηκε το κατάλληλο γραφικό περιβάλλον για ευκολότερη παρουσίαση των αποτελεσµάτων. 47

Σε κανάλια διαλείψεων Nakagami ο στιγµιαίος λόγος σήµατος γ προς θόρυβο ακολουθεί κατανοµή Γάµµα µε παραµέτρους m,. Για m την προσοµοίωση λοιπόν του στιγµιαίου SNR κάθε κλάδου χρησιµοποιήθηκε η συνάρτηση gamrnd, η οποία δίνει µεταβλητές γ Γάµµα κατανοµής µε όρισµα (m, ). m Ακολούθως υπολογίστηκε ο ολικός στιγµιαίος λόγος σήµατος προς θόρυβο (για διάφορες τιµές του αριθµού κλάδων) µε βάση το γνωστό τύπο γ EGC γ i (4.) i Εισάγοντας την τιµή του λόγου αυτού στη σχέση που ορίζει την πιθανότητα σφάλµατος που αντιστοιχεί σε κάθε διαµόρφωση, υπολογίστηκε η τιµή της. Η παραπάνω διαδικασία εφαρµόστηκε για µεγάλο αριθµό δειγµάτων και στη συνέχεια βρέθηκε η µέση τιµή της πιθανότητας σφάλµατος για όλα τα δείγµατα. Όσον αφορά στην υλοποίηση του προγράµµατος που προσοµοιώνει την πιθανότητα διακοπής επικοινωνίας του συστήµατος τόσο ο στιγµιαίος λόγος σήµατος προς θόρυβο όσο και το ολικό γ EGC υπολογίζονται όπως και πριν. Η διαδικασία ακολουθείται για κάθε ένα δείγµα οπότε τελικά έχουν υπολογιστεί τόσα γ EGC όσα και τα δείγµατα. Εν συνεχεία βρίσκεται πόσα από αυτά είναι µικρότερα από µια συγκεκριµένη τιµή φράγµατος που στη συγκεκριµένη περίπτωση επιλέχτηκε ίση µε, δηλαδή µε 0dB. Η διαίρεση του αριθµού αυτού µε το συνολικό αριθµό δειγµάτων δίνει προφανώς την πιθανότητα διακοπής επικοινωνίας. 48

4. Παρουσίαση Προγράµµατος Τα αρχεία του προγράµµατος σώζονται στο φάκελο Nakagami του φακέλου work. Εκτελώντας παράθυρο της εφαρµογής το αρχείο gui.m εµφανίζεται το Σχήµα 4.: Παράθυρο Γραφικού Περιβάλλοντος Στο σηµείο αυτό δίνεται η δυνατότητα εισαγωγής του αριθµού δειγµάτων, της τιµής της παραµέτρου Nakagami m (θα πρέπει m 0.5 ), του πλήθους των κλάδων (θα πρέπει 6 ) καθώς επίσης και της τιµής του συντελεστή εξασθένησης δ. Όσο περισσότερα τα δείγµατα, τόσο καλύτερα προσεγγίζεται το πραγµατικό σύστηµα και τα αποτελέσµατα είναι πιο αξιόπιστα. Μετά την εισαγωγή των επιθυµητών παραµέτρων και µε το πάτηµα του πλήκτρου RUN εκτελείται το πρόγραµµα, κατά το οποίο τρέχουν όλα τα δείγµατα και προσοµοιώνεται έτσι το µελετούµενο 49

σύστηµα. Κατά την εκτέλεση του προγράµµατος στην οθόνη εµφανίζεται µία µπάρα προόδου του προγράµµατος. Πρέπει να σηµειωθεί ότι το συγκεκριµένο πλήκτρο πρέπει να πιέζεται κάθε φορά που ο χρήστης µεταβάλλει κάποια από τις παραµέτρους. Με το πάτηµα του RUN ενεργοποιούνται παράλληλα και τα πλήκτρα Pout και ASER. Με τα πλήκτρα αυτά δίνεται η επιλογή γραφικής παράστασης. Για την πιθανότητα διακοπής επικοινωνίας (Outage Probabiity) υπάρχει µόνο ένα πλήκτρο Pout, αφού η τιµή της πιθανότητας αυτής είναι ανεξάρτητη από τη διαµόρφωση του µεταδιδόµενου σήµατος. Αντίθετα, όσον αφορά στη µέση πιθανότητα σφάλµατος, για την εµφάνιση της επιθυµητής γραφικής παράστασης πρέπει να επιλεγεί η διαµόρφωση που χρησιµοποιείται. Για το λόγο αυτό πατώντας το πλήκτρο ASER εµφανίζονται στο παράθυρό µας τα πλήκτρα µε τις διαθέσιµες διαµορφώσεις ( BPSK, 6-PSK, DPSK, 64-QAM, A ). Καθένα από τα πλήκτρα αυτά δίνει τη µέση πιθανότητα σφάλµατος για την αντίστοιχη διαµόρφωση σήµατος- µέση πιθανότητα Bit για τις περιπτώσεις BPSK και DPSK (ABER) µέση πιθανότητα σφάλµατος συµβόλου για τις περιπτώσεις 6-PSK και 64- QAM (ASER). Με το πλήκτρο A εµφανίζονται όλες οι διαµορφώσεις µαζί. Με το πλήκτρο END κλείνει η εφαρµογή. 50

Σχήµα 4.: Παράθυρο µε όλες τις διαθέσιµες διαµορφώσεις 4.3 Παρουσίαση Αποτελεσµάτων Προσοµοίωσης Από την εφαρµογή του προγράµµατος που περιγράφηκε συνοπτικά παραπάνω, προκύπτουν αποτελέσµατα ενδεικτικά της ποιότητας του δέκτη EGC που λειτουργεί σε κανάλια διαλείψεων Nakagami-m. Οι προσοµοιώσεις που έχουν γίνει για την παρούσα εργασία είναι µε 0^5 δείγµατα λόγω περιορισµένων δυνατοτήτων του υπολογιστή σε µνήµη. Αυτό έχει σαν συνέπεια οι τιµές που λαµβάνουµε για µεγέθη της τάξης 0^-8 να αποκλίνουν από τις θεωρητικές τιµές κατά ένα µικρό ποσοστό. Ο χρήστης ωστόσο του προγράµµατος έχει τη δυνατότητα να αυξήσει τον αριθµό των δειγµάτων, ώστε να λάβει καλύτερα αποτελέσµατα. 4.3. Μέση Πιθανότητα Σφάλµατος 4.3.. Επίδραση του Πλήθους των Κλάδων 5

Στη συνέχεια παρατίθενται ορισµένες γραφικές παραστάσεις που δείχνουν την ASER για διάφορους τύπους συνδυαστών συναρτήσει του πλήθους των κλάδων. Τα παρακάτω έχουν γίνει και για τους τέσσερις τύπους διαµορφώσεων που µελετάµε BPSK, 6-PSK, DPSK, 64-QAM. Σχήµα 4.3: Πιθανότητα σφάλµατος Bit για BPSK (m0.5, δ0.5) 5

Σχήµα 4.4: Πιθανότητα σφάλµατος Bit για BPSK (m0.5, δ) Σχήµα 4.5: Πιθανότητα σφάλµατος συµβόλου για 6-PSK (m, δ0.5) 53

Σχήµα 4.6: Πιθανότητα σφάλµατος συµβόλου για 6-PSK (m, δ) Σχήµα 4.7: Πιθανότητα σφάλµατος Bit για DPSK (m, δ) 54

Σχήµα 4.8: Πιθανότητα σφάλµατος Bit για DPSK (m, δ) Σχήµα 4.9: Πιθανότητα σφάλµατος συµβόλου για 64-QAM (m4, δ0) 55

Σχήµα 4.0: Πιθανότητα σφάλµατος συµβόλου για 64-QAM (m0.5, δ) Από τις γραφικές αυτές παραστάσεις προκύπτουν κάποια συµπεράσµατα τα οποία είναι άξια σχολιασµού. Το βασικότερο συµπέρασµα είναι ότι η απόδοση του συνδυαστή βελτιώνεται καθώς το πλήθος των κλάδων του αυξάνεται, όσο η τιµή του συντελεστή εξασθένηση ισχύος δ είναι σχετικά χαµηλή(0, 0.5, ). Αντίθετα όταν το δ παίρνει σχετικά υψηλές τιµές (δ), καθώς το πλήθος των κλάδων αυξάνεται, ο δέκτης χάνει τη συνδυαστική του ικανότητα, αφού για µεγάλα εµφανίζει υψηλή πιθανότητα σφάλµατος. Αυτό συµβαίνει γιατί καθώς ο δέκτης χρησιµοποιεί περισσότερους κλάδους, τα σήµατα των οποίων εξασθενίζουν εκθετικά, η ισχύς των τελευταίων σηµάτων εισόδου θα είναι πολύ χαµηλή και στην ουσία θα προσθέτει θόρυβο στο δέκτη, µε αποτέλεσµα να χάνεται η συνδυαστική του ικανότητα. Για παράδειγµα στο σχήµα 4.3 όπου έχουµε διαµόρφωση BPSK βλέπουµε ότι για ABER ίση µε 0^-3 έχουµε βελτίωση ίση µε 5.5dB όταν χρησιµοποιούµε 6 κλάδους σε σχέση µε την περίπτωση των 3 56

κλάδων. Αντίθετα, από το σχήµα 4.4, παρατηρούµε ότι το σύστηµά µας για έξι κλάδους παρουσιάζει µεγαλύτερη πιθανότητα σφάλµατος από αυτή που εµφανίζει για δύο, τρεις, τέσσερις και πέντε κλάδους. Ανάλογα είναι και τα αποτελέσµατα και για τις άλλες διαµορφώσεις. Συγκεκριµένα στο σχήµα 4.9 όπου έχουµε 64-QAM διαµόρφωση βλέπουµε ότι στα 6dB έχουµε βελτίωση της ASER κατά δύο τάξεις µεγέθους όταν χρησιµοποιούµε έξι κλάδους σε σχέση µε την περίπτωση του ενός κλάδου. Από το σχήµα 4.0 όµως βλέπουµε ότι για έξι κλάδους ο δέκτης παρουσιάζει τη µεγαλύτερη πιθανότητα σφάλµατος από όλες τις περιπτώσεις. Το ίδιο συµβαίνει και στο σχήµα 4.6 για 6-PSK ενώ στο σχήµα 4.5 για SNR6dB και 4 η πιθανότητα είναι ίση µε 0.0557 ενώ για είναι 0.099. Ένα ακόµα γεγονός που πρέπει να τονίσουµε είναι ότι για σχετικά µικρά δ η κύρια βελτίωση στην απόδοση του δέκτη παρουσιάζεται όταν χρησιµοποιήσουµε δύο κλάδους αντί για έναν. 4.3.. Επίδραση της Παραµέτρου m Στη συνέχεια παρατίθενται ορισµένες γραφικές παραστάσεις που δείχνουν την ASER για διάφορους τύπους συνδυαστών συναρτήσει της τιµής της παραµέτρου m της κατανοµής Nakagami. Τα παρακάτω έχουν γίνει και για τους τέσσερις τύπους διαµορφώσεων που µελετάµε BPSK, 6-PSK, DPSK, 64-QAM. 57

Σχήµα 4.: Πιθανότητα σφάλµατος Bit για BPSK(δ, 5) Σχήµα 4.: Πιθανότητα σφάλµατος συµβόλου για 6-PSK(δ, 3) 58

Σχήµα 4.3: Πιθανότητα σφάλµατος Bit για DPSK(δ0, 3) Σχήµα 4.4: Πιθανότητα σφάλµατος συµβόλου για 64-QAM(δ0.5, 3) 59

Από τις παραπάνω γραφικές παραστάσεις γίνεται φανερό ότι, καθώς η τιµή της παραµέτρου m αυξάνεται, το σύστηµα επικοινωνίας βελτιώνεται σηµαντικά, αφού προσφέρει αισθητά µικρότερες πιθανότητες σφάλµατος. Όσο ελαττώνεται αυτή η πιθανότητα, τόσο πιο αξιόπιστο θεωρείται το σύστηµα. Συγκεκριµένα από το σχήµα 4., διαµόρφωση BPSK, για µια τιµή του λόγου σήµατος προς θόρυβο ίση µε 0dB η πιθανότητα σφάλµατος για m4 είναι 0.00004, για m είναι 0.0006, για m είναι 0.0076 και για m0.5 είναι 0.00968. Ανάλογα είναι τα αποτελέσµατα και για τις άλλες διαµορφώσεις. Οι διαφορές αυτές είναι ιδιαίτερα σηµαντικές και καθοριστικές στις τηλεπικοινωνίες, για αυτό και λαµβάνονται σοβαρά υπόψη. Επιπλέον πρέπει να τονισθεί και η απαίτηση περισσότερης ισχύος για επίτευξη της ίδιας πιθανότητας σφάλµατος, καθώς η τιµή του m µειώνεται. Από το σχήµα 4.3, διαµόρφωση DPSK, για πιθανότητα 0.00 πρέπει ο λόγος σήµατος προς θόρυβο να παίρνει τιµές 4.dB, 6dB, 9.5dB και 6dB όταν m4,,, 0.5 αντίστοιχα. Ανάλογα είναι τα αποτελέσµατα και για τις άλλες διαµορφώσεις. Εποµένως για µεγαλύτερες τιµές της παραµέτρου m δίνεται η δυνατότητα εξοικονόµησης ενέργειας. Ένα επίσης σηµείο που πρέπει να αναφερθεί είναι ότι η πιθανότητα σφάλµατος για τις διάφορες τιµές της m διαφοροποιείται έντονα για υψηλά σχετικά SNR ενώ για χαµηλές τιµές η συµπεριφορά είναι σχετικά κοντινή. 4.3..3 Επίδραση του Συντελεστή Εξασθένησης Ισχύος δ Στη συνέχεια παρατίθενται ορισµένες γραφικές παραστάσεις που δείχνουν την ASER για διάφορους τύπους συνδυαστών συναρτήσει του συντελεστή εξασθένησης ισχύος δ. Τα παρακάτω έχουν γίνει και για τους τέσσερις τύπους διαµορφώσεων που µελετάµε BPSK, 6- PSK, DPSK, 64-QAM. 60

Σχήµα 4.5: Πιθανότητα σφάλµατος Bit για BPSK(m, 4) Σχήµα 4.6: Πιθανότητα σφάλµατος Bit για BPSK(m, 3) 6

Σχήµα 4.7: Πιθανότητα σφάλµατος συµβόλου για 6-PSK(m0.5, 4) Σχήµα 4.8: Πιθανότητα σφάλµατος συµβόλου για 6-PSK(m4, ) 6

Σχήµα 4.9: Πιθανότητα σφάλµατος Bit για DPSK(m4, ) Σχήµα 4.0: Πιθανότητα σφάλµατος Bit για DPSK(m, 5) 63