Ιστορική εξέλιξη και προβλήματα μάθησης της έννοιας του Κλάσματος Ένα παράδειγμα εννοιολογικής αλλαγής Ματούλα Σταφυλίδου Δρ Ψυχολογίας των Μαθηματικών
Γνώση της ιστορικής εξέλιξης μιας μαθηματικής έννοιας Γνωστική Ψυχολογία: - διερεύνηση των αρχικών ιδεών των παιδιών - ανίχνευση προβλημάτων κατά τη μάθηση Διδακτική των Μαθηματικών: τα επιστημολογικά εμπόδια μπορούν να παραλληλιστούν με τα γνωστικά εμπόδια που αντιμετωπίζουν οι μαθητές
παρανοήσεις - γνωστικά εμπόδια μαθητών για την έννοια του κλάσματος αντιλήψεις που εκφράστηκαν κατά την ιστορική εξέλιξη της έννοιας του κλάσματος
Προβλήματα στη μάθηση των κλασμάτων Μαθητές δεν επιτυγχάνουν μια ολοκληρωμένη εννοιολογική γνώση των κλασμάτων Συστηματικά λάθη - λανθασμένες πεποιθήσεις: ο πολλαπλασιασμός & η διαίρεση Εμπόδιο: η προϋπάρχουσα γνώση για τους φυσικούς οι ιδιότητες των φυσικών αριθμών δεν ισχύουν για όλους τους αριθμούς Έρευνες (1999, 2013) μαθητές/τριες Ε Δημοτικού έως Α Λυκείου
Οι γνώσεις των μαθητών για τους φυσικούς αριθμούς περιορίζουν τις αρχικές τους ερμηνείες για τα κλάσματα τα ερμηνεύουν ως δύο φυσικούς αριθμούς Προσπαθούν να συμβιβάσουν τις αρχικές τους ιδέες με τις νέες πληροφορίες Σταδιακά αναδιοργανώνουν τις αρχικές τους ερμηνείες υιοθετώντας διαφορετικά Επεξηγηματικά Πλαίσια με βάση κάποιες προϋποθέσεις που διαπιστώθηκε ότι ακολουθούν με συνέπεια και που έχουν να κάνουν με: σύμβολο ή σχέση του κλάσματος με τη μονάδα Επεξηγηματικά Πλαίσια: όχι απλές ερμηνείες -εννοιολογικές δομές
Επεξηγηματικά Πλαίσια Α) E.Π. «Κλάσμα ως δύο ανεξάρτητοι φυσικοί αριθμοί» (Β) Ε.Π. «Κλάσμα ως μέρος μιας ακέραιας μονάδας» (Γ) ΕΠ «Κλάσμα ως σχέση δύο αριθμών» (αριθμ/παρον) Μέσω παρανοήσεων και λαθών προσεγγίζουν την επιστημονική έννοια του κλάσματος Οι παρανοήσεις και τα λάθη των μαθητών είναι οι ενδείξεις της προσπάθειά τους να αφομοιώσουν τις νέες πληροφορίες Για την κατάκτηση της απαιτείται ριζική αναδιοργάνωση των ιδεών τους για την έννοια του αριθμού - εννοιολογική αλλαγή -
Ανίχνευση αντιστοιχιών ανάμεσα στις δυσκολίες των μαθητών στην κατανόηση της έννοιας του κλάσματος, και στα στάδια της εξελικτικής της πορείας ως επιστημονικής έννοιας Διερευνούμε συγκεκριμένες χρονικές περιόδους που υπήρξε κάποιου είδους αλλαγή στον τρόπο που αντιλαμβανόταν οι άνθρωποι την έννοια αυτή (εννοιολογικές αλλαγές) & τα προβλήματα που αντιμετώπιζαν
Η ιστορική εξέλιξη της έννοιας του κλάσματος Προϊστορία Αιγύπτιοι-Βαβυλώνιοι (2000 500πΧ) Αρχαίοι Έλληνες-Ελληνιστικά Χρόνια (600πΧ - 300μΧ) Άραβες - Λατίνοι (700μΧ - 1600 μ.χ.) Διαφωτισμός (1600-1900 μ.χ.) (από τον Νewton στον Laplace)
Προϊστορία Πρωτο-Σουμεριακά κείμενα του Uruk (3000 π.χ. περίπου) Πίνακες Συστημάτων μέτρησης /πρωτο-ελαμιτικές πλάκες
Τα πρωτο-ελαμιτικά κλάσματα Μεσοποταμία, 3000 π.χ. περίπου
Αιγύπτιοι - Βαβυλώνιοι (2000 π.χ. 500 π.χ.)
Α. Αιγύπτιοι (2000π.Χ 500πΧ) Η πέτρα του Παλέρμο Η πλέον όψιμη εξέλιξη του γραμμικού μετρικού συστήματος
μισό κύβιτον
από την Πέμπτη Δυναστεία τύποι αρχαϊκών κλασμάτων
Παράδειγμα: το Εναδικά κλάσματα (quantième) Αντιστοιχούν σε κλασματικές μονάδες ισοδυναμεί με το Η έννοια και ο συμβολισμός κοινών κλασμάτων δεν υπάρχει 1 4 παραθέσεις εναδικών κλασμάτων και των η παράθεση = και 3 4 πχ: το μερίδιο γραφέα: άρτοι, στάμνες μπύρα το μερίδιο ενός εργάτη στο ναό: 180 στάμνας μπύρα παραθέσεις: απλά αθροίσματα μεριδίων χωρίς να αναγνωρίζονται ως αυτόνομοι αριθμοί 2 3 1 4 1
Β. Βαβυλώνιοι (2000π.Χ. έως 500π.Χ.) Εξηκονταδικά κλάσματα: Είχαν μορφή ακεραίου και προέκυψαν αρκετά φυσικά καθώς υποδιαιρούσαν τον χρόνο σε 360 μέρες, την ώρα σε 60' και το 1' σε 60'' Το 1/2 ισοδυναμεί με το 30 Το 1/3 με το 20 Το 1/4 με το 15 Το 1/6 με το 10... Οι ακέραιες δηλαδή μονάδες δεν διαφοροποιούνται στο συμβολισμό τους από τις υποδιαιρέσεις τους
Αρχαία Ελλάδα - Ελληνιστικά Χρόνια (600 π.χ. 300 μ.χ.)
Αρχαία Ελλάδα Πυθαγόρειοι (540 450 π.χ.) Δέχονται την ύπαρξη των ακεραίων μόνο αριθμών Πλάτων(388 π.χ.) το αδιαίρετο της μονάδας
λόγος αναλογία (θεωρητική λογιστική-εφαρμογές) μέρη μόρια (πρακτική λογιστική),, επέκταση των αριθμών: β,, γ,, δ το β ή το β τα μέρη δύο ίξ / Lίβίξλόνάχή το 17ο είναι 2 1 2 1 7 3 4 51 6 8 από τα 12 το 17ο είναι γράφαµε σήµερα ως: δηλαδή:, ε... τα δύο τρίτα 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟐 𝟏𝟐 𝟏𝟕 𝟑𝟒 𝟓𝟏 𝟔𝟖 12 1 1 1 1 1 1 = + + + + + 2 12 17 34 51 68 17 "..η λανθάνουσα διαίσθηση των ελληνικών μαθηματικών δεν ήταν arithmetised.. " wler αναφέρει ότι:αριθμητικοποιημένη "... η λανθάνουσα διαίσθηση των ελληνικών (Fowler, 1992)
Μουσικά διαστήματα - Φιλόλαος (450 π.χ.): Το τέταρτο αντίστοιχο του λόγου 4:3 επίτριτον = πάνω σ αυτό ένα τρίτο ή ο μεικτός 1 1/3 Η οκτάβα αντιστοιχεί στο λόγο 9:8 επόγδοο = πάνω σ αυτό ένα όγδοο ή ο μεικτός 1 1/8 Οι λόγοι δεν προσθέτονται και ο πολλαπλασιασμός των λόγων δεν υφίσταται πριν από τα έργα του Απολλώνιου
Στοιχεία του Ευκλείδη (300 π.χ.) Ορισμός του αριθμού: Ἀριθμὸς εστίν τὸ ἐκ μονάδων συγκείμενον πλῆθος. γ'. Μέρος εστίν αριθμός αριθμού ο ελάσσων του μείζονος, όταν καταμετρή τον μείζονa, μέρη δε, όταν μη καταμετρή κα'. Αριθμοί ανάλογόν εισίν, όταν ο πρώτος του δευτέρου και ο τρίτος του τετάρτου ισάκις ή πολλαπλάσιος ή το αυτό μέρος ή τα αυτά μέρη ώσιν (Ευκλείδου Στοιχεία VII) β. Οι κύκλοι προς αλλήλους εισίν ως προς τα των διαμέτρων τετράγωνα (Ευκλείδου Στοιχεία ΧΙΙ)
Αρχιμήδης (287-212 π.χ) Η περίμετρος του κύκλου βρίσκεται ανάμεσα σε φορές τη διάμετρο. και (Κύκλου Μέτρησις, 230 π.χ.) Ο όγκος της σφαίρας είναι τα 2/3 του όγκου του περιγεγραμμένου στη σφαίρα κυλίνδρου Ερατοσθένης (250 π.χ.) (Περί Σφαίρας και Κυλίνδρου) Στην εκτίμηση της λόξωσης της εκλειπτικής αναφέρει ότι είναι 11 φορές των 83 των δύο ορθών γωνιών
Διόφαντος (300 μ. Χ. περίπου) Παραδέχεται έμμεσα ως λύσεις των εξισώσεών του όχι μόνο ακέραιους αριθμούς αλλά και αριθμούς που έχουν τη μορφή κλάσματος Αναφέρεται στη διάσπαση της μονάδας σε δύο αριθμούς των οποίων το άθροισμα ισούται με τη μονάδα. Και σε αυτό το πρόβλημα δεν είναι δυνατόν παρά οι αριθμοί που θα προκύψουν ως λύσεις να είναι μέρη. (Αριθμητικά) Ένα από τα έργα που χάθηκε: "Μοριαστικά" (Περί μορίων-κλασμάτων)
Eπιγραφή - αλγεβρικό πρόβλημα στον τάφο του Διόφαντου (250-300 μ.χ.)
«Σε αυτόν εδώ τον τάφο κείται ο Διόφαντος, τι θαυμαστός τάφος! Και με αριθμητική τέχνη μας λέει ο τάφος την ηλικία του. Το 1/6 της ζωής του εχάρισε ο Θεός να είναι παιδί, το 1/2 δε μετά απ αυτό να βγάλει τρίχες παρά τα μήλα (να είναι, δηλαδή, νεανίας) μετά το επόμενο δε 1/7 νυμφεύθηκε, πέντε δε έτη μετά τον γάμο του εχάρισε υιό. Αλλοίμονο, αργογεννημένο ατυχές παιδί! Στο ήμισυ της ηλικία του πατέρα όταν έφτασε, αφού απέθανε, κρύο πτώμα εκάη, παρηγορώντας δε το πένθος του από τότε επί τέσσερα έτη με την σοφία των αριθμών, έτσι τερμάτισε τον βίο».
Άραβες - Λατίνοι (700μ.Χ. - 1600 μ.χ.)
al-samaw'al:..χρειάζεται μια θεωρία των δεκαδικών κλασμάτων ώστε οι άπειρες διορθώσεις των προσεγγίσεων να γίνονται πιο ξεκάθαρες και πιο εύκολες. Διατριβή (1172 μ.x.) Άραβες Μεταφράζουν κλασικά έργα Ελλήνων συγγραφέων και θέτουν τα θεμέλια της Άλγεβρας Εισάγουν την έννοια και το συμβολισμό του κλάσματος με τη μορφή που το συναντάμε και σήμερα Μεγάλη δυσκολία στους αριθμητικούς υπολογισμούς με κοινά κλάσματα εισαγωγή των δεκαδικών κλασμάτων
Ανθρωπιστική παιδεία: Αναγέννηση: σχολεία abacci επαγγελματική λαϊκή εκπαίδευση λαϊκά συγγράμματα (αριθμητική των εμπόρων) Οι δάσκαλοι της υπολογιστικής στην Ιταλία - πολύ καλή επίδοση στις αριθμητικές πράξεις με αριθμούς εφαρμογές: προβλήματα διαίρεσης στο πλαίσιο των υπολογισμών με διάφορες ποσότητες χρησιμοποιώντας «τη μέθοδο των τριών»
Stevin (1548-1620) Θεσμοθετεί τη γραφή των κλασμάτων σε δεκαδική μορφή Απλοποίηση της πρακτικής αριθμητικής Οι φυσικοί αριθμοί επεκτείνονται στους δεκαδικούς αριθμούς- πλεονεκτήματα (La Disme- Η Δεκάτη) εκαδικοί αριθμοί - υπόσταση μαθηματικής έννοιας: δημιουργείται μια γενική έννοια του αριθμού που εφαρμόζεται στις λύσεις αλγεβρικών προβλημάτων
Μανουήλ Γλυζώνιος (1568) Λογαριαστική ο πολλαπλασιασμός δημιουργεί πάντοτε αύξηση
Διαφωτισμός (1600-1900 μ.χ.) (από τον Νewton στον Laplace)
Ορισμός του κλάσματος ως μαθηματικής έννοιας Elements of Algebra (Euler, 1765) «Αν το πηλίκο δύο αριθμών δεν είναι ακέραιος, τότε υπάρχει ένα ιδιαίτερο είδος αριθμού που ονομάζεται κλάσμα και που δηλώνει ένα τέτοιο πηλίκο» Ορίζει το κλάσμα α β ως: το γινόμενο του ακεραίου α επί την κλασματική μονάδα 1 β Διακρίνει δε τις περιπτώσεις των κλασμάτων, όπως το κλάσμα α α το κλάσμα α β το οποίο είναι ίσο με το 1,, όπου α<β που είναι μικρότερο του 1 και το κλάσμα α, όπου α>β που είναι μεγαλύτερο του 1 και β ονομάζεται καταχρηστικό
Laplace (1795) - École Normale στο Παρίσι (Journal de l École Polytechnique, 1812)...Προηγούμενα θεωρήσαμε τους ακέραιους αριθμούς και τους δεκαδικούς ας εξετάσουμε τώρα τους κλασματικούς αριθμούς γενικά. Εάν θεωρήσουμε μια μονάδα διαιρεμένη σε πολλά ίσα μέρη, ένας ορισμένος αριθμός από αυτά τα μέρη είναι αυτό που ονομάζουμε κλάσμα. Για να το εκφράσουμε, τοποθετούμε κάτω από μια οριζόντια γραμμή τον αριθμό που ορίζει σε πόσα μέρη έχουμε διαιρέσει τη μονάδα, και αυτός ο αριθμός ονομάζεται παρονομαστής, ενώ από πάνω τοποθετούμε τον αριθμό που δείχνει πόσα από τα μέρη αυτά παίρνουμε και ο αριθμός αυτός ονομάζεται αριθμητής. Ως εκ τούτου μπορούμε εύκολα να συμπεράνουμε ότι ένα κλάσμα ισούται με το πηλίκο της διαίρεσης του αριθμητή δια του παρονομαστή,.
Lagrange (1795): Δυσκολία κατανόησης των κλασμάτων & διάταξης κλασμάτων Δεν ισχύει το ίδιο (ό,τι στους ακέραιους) για τα κλάσματα ο νους τα αντιλαμβάνεται πολύ δυσκολότερα από τους ακεραίους αριθμούς όταν λέω ένα δεύτερο αντιλαμβάνομαι το ίδιο πράγμα μοιρασμένο σε δύο μέρη όταν λέω ένα τρίτο, πρέπει να αντιλαμβάνομαι το ίδιο πράγμα μοιρασμένο σε τρία μέρη όσο έχω ένα κλάσμα, είναι εντάξει θα μάθω τι είναι ένα τρίτο σχηματίζοντας την ιδέα ενός πράγματος και χωρίζοντάς το νοητά σε τρία μέρη αλλά όταν θελήσω να τα συγκρίνω, δεν είναι εύκολο και θα δείτε ότι μεταξύ των ανθρώπων που δεν άσκησαν το πνεύμα τους σε υπολογισμούς θα είναι πολύ λίγοι αυτοί που μπορούν να σας πουν αμέσως, πόσο μεγαλύτερο είναι το μισό από το τρίτο, πόσο το τέταρτο είναι μεγαλύτερο από το πέμπτο για παράδειγμα αν για ένα ρούχο χρειάζεται δύο και ένα τρίτο πήχεων ύφασμα, θα θεωρήσετε ότι ένα τρίτο είναι πολύ και θα πάρετε μόνο ένα τέταρτο χωρίς να έχετε ξεκάθαρη ιδέα πόσο μεγαλύτερο είναι το ένα τρίτο από το ένα τέταρτο.
Επιστημονικός ορισμός του ρητού αριθμού Τον 19 ο αιώνα με την αξιωματική θεμελίωση των αριθμοσυνόλων τα κλάσματα και κατ επέκταση οι ρητοί αριθμοί θεμελιώνονται ως στοιχεία ενός καρτεσιανού γινομένου δύο συνόλων Η έννοια γίνεται απόλυτα θεωρητική και εξαφανίζονται οι αναφορές της σε συγκεκριμένες καταστάσεις Στην εκπαίδευση παραμένει η τάση των διδασκόντων να καταφεύγουν στην ερμηνεία του κλάσματος ως μέρους μιας μονάδας
Διαπιστώσεις Διαφορετικές μορφές, χρήσεις και ορισμούς της έννοιας του κλάσματος στις διάφορες χρονικές περιόδους Ποιες οι αντιστοιχίες στις αντιλήψεις των μαθητών;
Κλάσμα: Υποδιαίρεση φυσικών αντικειμένων εναδικά αιγυπτιακά κλάσματα μέρη ή μόρια στην Αρχαία Ελλάδα Εκφράζουν υποδιαιρέσεις φυσικών αντικειμένων χωρίς να αναγνωρίζονται ως αυτόνομοι αριθμοί έχουν οντολογικό χαρακτήρα Ε.Π. «Κλάσμα: Μέρος μιας Ακέραιας Μονάδας» 42,5%(ΣΤ Δημ.) - 40%(Α Γ/σιου) - 35%(Β Γ/σιου) 20%(Α Λυκ.) Δυσκολία κατανόησης καταχρηστικού κλάσματος
Αφηρημένη έννοια του κλάσματος Κλάσμα ως αντιπρόσωπος των κλάσεων ισοδυναμίας ενός καρτεσιανού γινομένου δύο συνόλων Η έννοια του κλάσματος χάνει την οντολογική της υπόσταση Ενώ οι μαθητές κατανοούν την έννοια του κλάσματος ως μέρος μιας ποσότητας, έχουν πρόβλημα να την αντιληφθούν ως έναν αφηρημένο αριθμό που αντιπροσωπεύει το πηλίκο δύο αριθμών. Ε.Π. «Κλάσμα: Σχέση δύο αριθμών» 7,5% (ΣΤ Δημ.) - 22,5% (Α γ/σιου) 32,5% (Β γ/σιου) - 42,5% (Α λυκ.)
Η επίδραση της γνώσης των φυσικών αριθμών στην κατανόηση των κλασμάτων Στην Αρχαία Ελλάδα ιδέες όπως το αδιαίρετο της μονάδας ως αριθμοί αναφέρονται μόνο οι ακέραιοι αντιστοιχούν σε δυσκολίες-εμπόδια που αντιμετωπίζουν και οι σημερινοί μαθητές Δάσκαλοι, από τον 16 ο ακόμη αιώνα, αναφέρονται στα κείμενά τους σε κάποιες από αυτές: ο πολλαπλασιασμός δεν σημαίνει πάντα αύξηση κλάσματα: διαφορετικοί αριθμοί από τους ακέραιους τα κλάσματα δεν διατάσσονται όπως οι ακέραιοι
ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ
η ελλιπής κατανόηση οι διαφορετικές ερμηνείες των μαθητών για την έννοια του κλάσματος διαφορετικές σημασίες, χρήσεις & προβλήματα της έννοιας κατά την ιστορική της εξέλιξη
Η γνώση της ιστορικής εξέλιξης της έννοιας του κλάσματος μπορεί να βοηθήσει τους εκπαιδευτικούς
Να κατανοήσουν καλύτερα τον τρόπο σκέψης των μαθητών Να βοηθήσουν τους μαθητές να αναδιοργανώσουν τις ιδέες τους για την ερμηνεία του κλάσματος Μέσα από δραστηριότητες που να μην στοχεύουν στον εμπλουτισμό απλά των γνώσεών τους αλλά να τους κατευθύνουν σε γνωστικές συγκρούσεις & να τους οδηγούν σε ανατροπή των προηγούμενων πεποιθήσεών τους ώστε να επιτευχθεί η εννοιολογική αλλαγή
Ματούλα Σταφυλίδου sstafyl@gmail.com