Πολυμεταβλητές συναρτήσεις, μερικές παράγωγοι και εφαρμογές τους 9-1-2017
Μερικές παράγωγοι δεύτερης τάξης (1) Έστω z = f x, y x y z x z y = 2 x x2 (διαδοχική μερική παράγωγος) = 2 y y2 (διαδοχική μερική παράγωγος) x z y = 2 x x y (μικτή / σταυρωτή μερική παράγωγος) y z x = 2 x y x (μικτή / σταυρωτή μερική παράγωγος) 9/1/2017 2
Μερικές παράγωγοι δεύτερης τάξης (2) Έστω z = f x, y 2 x x 2 = z xx 2 y y 2 = z yy 2 x x y = z xy 2 x y x = z yx 9/1/2017 3
Παραδείγματα Υπολογίστε όλες τις μερικές παραγώγους 2 ης τάξης των παρακάτω συναρτήσεων z = 2x 2 + 3xy + 5 Q = 10L 0.7 K 0.3 U = x 2 y 5 9/1/2017 4
Διαφορικά και σταδιακές μεταβολές (1) Διαφορικό: απειροστή μικρή μεταβολή στην τιμή μιας μεταβλητής dy = dy dx dx Διαφορικό της y Παράγωγος της y ως προς x Διαφορικό της x 9/1/2017 5
Διαφορικά και σταδιακές μεταβολές (2) Σταδιακή μεταβολή: μικρή μεταβολή στην τιμή μιας μεταβλητής που προκύπτει από μεταβολή στην ανεξάρτητη μεταβλητή Δy = dy dx Δx Σταδιακή μεταβολή της y Παράγωγος της y ως προς x Σταδιακή μεταβολή της x 9/1/2017 6
Διαφορικά συναρτήσεων δύο Έστω z = f x, y μεταβλητών Το ολικό διαφορικό της z ισούται με Μερικό dz = f f διαφορικό dx + x y dy Για μικρές μεταβολές (σταδιακές μεταβολές) ισούται με Δz = f f Δx + x y Δy 9/1/2017 7
Παραδείγματα (1) Τα έσοδα μιας εταιρίας δίνονται από την εξίσωση TR = 5W 2 A 3, όπου W είναι η πληρωμή των αμοιβών των πωλητών και A είναι το ποσό της διαφημιστικής δαπάνης Να βρεθεί το ολικό διαφορικό του TR Χρησιμοποιώντας τα διαφορικά να βρεθεί η προσεγγιστική ποσοστιαία μεταβολή στο TR αν η δαπάνη σε αμοιβές αυξηθεί κατά 5% χωρίς μεταβολή στη διαφημιστική δαπάνη η δαπάνη σε αμοιβές αυξηθεί κατά 5% και η διαφημιστική δαπάνη μειωθεί κατά 2% 9/1/2017 8
Παραδείγματα (2) Έστω η συνάρτηση παραγωγής Q = 10L 0.7 K 0.3, όπου Q η παραγόμενη ποσότητα, L ο αριθμός των μονάδων εργασίας και K οι μονάδες κεφαλαίου Να υπολογιστεί η προσεγγιστική μεταβολή στο Q αν το L αυξηθεί κατά 5% και το Κ μειωθεί κατά 3% 9/1/2017 9
Συναρτήσεις παραγωγής Μια συνάρτηση παραγωγής που χρησιμοποιείται ευρέως στην οικονομική ανάλυση είναι η συνάρτηση παραγωγής Cobb- Douglas, η οποία εκφράζεται στη γενική της μορφή ως Q = AL a K b, όπου L η εργασία, Κ το κεφάλαιο, το Α είναι μια σταθερά και 0 < α < 1, 0 < b < 1, L > 0, K > 0 9/1/2017 10
Οριακά προϊόντα (1) Οριακό προϊόν της εργασίας Q L = MP L = Q L = AaLa 1 K b Όταν το κεφάλαιο διατηρείται σταθερό και αυξάνεται η εργασιακή εισροή, η παραγωγή αυξάνεται 9/1/2017 11
Οριακά προϊόντα (2) Οριακό προϊόν της εργασίας Q LL = MP L L = 2 Q L 2 = a 1 AaLa K b L 2 = a 1 aq L 2 < 0 Όταν το κεφάλαιο διατηρείται σταθερό και αυξάνεται η εργασιακή εισροή, η παραγωγή αυξάνεται αλλά με μειούμενο ρυθμό (ο ρυθμός μεταβολής είναι αρνητικός) 9/1/2017 12
Οριακά προϊόντα (3) Οριακό προϊόν του κεφαλαίου Q Κ = MP Κ = Q Κ = AbLa K b 1 Όταν η εργασία διατηρείται σταθερή και αυξάνεται η κεφαλαιακή εισροή, η παραγωγή αυξάνεται 9/1/2017 13
Οριακά προϊόντα (4) Οριακό προϊόν του κεφαλαίου Q ΚΚ = MP Κ Κ = 2 Q Κ 2 = b 1 AbLa K b K 2 = b 1 bq K 2 < 0 Όταν η εργασία διατηρείται σταθερή και αυξάνεται η κεφαλαιακή εισροή, η παραγωγή αυξάνεται αλλά με μειούμενο ρυθμό (ο ρυθμός μεταβολής είναι αρνητικός) 9/1/2017 14
Οριακά προϊόντα (5) Q ΚL = Q LK = 2 Q K L = AabLa 1 K b 1 > 0 Διπλή ερμηνεία Το οριακό προϊόν της εργασίας αυξάνεται με αύξοντα ρυθμό (ο ρυθμός μεταβολής είναι θετικός) όταν αυξάνεται η κεφαλαιακή εισροή Το οριακό προϊόν του κεφαλαίου αυξάνεται με αύξοντα ρυθμό (ο ρυθμός μεταβολής είναι θετικός) όταν αυξάνεται η εργασιακή εισροή 9/1/2017 15
Σχέση μεταξύ οριακών και μέσων συναρτήσεων παραγωγής (1) Ως προς την εργασία Μέση συνάρτηση APL = Q L = ALa K b Οριακή συνάρτηση MP L = Q L = AaLa 1 K b Σχόλιο MP L = a APL MP L < APL, αφού 0 < α < 1 9/1/2017 16 L
Σχέση μεταξύ οριακών και μέσων συναρτήσεων παραγωγής (2) Ως προς το κεφάλαιο Μέση συνάρτηση APΚ = Q Κ = ALa K b Οριακή συνάρτηση MP Κ = Q Κ = AbLa K b 1 Σχόλιο MP K = b APK MP K < APK, αφού 0 < b < 1 9/1/2017 17 Κ
Συναρτήσεις ζήτησης (1) Έστω ότι διαθέτουμε τα προϊόντα Α και Β των οποίων οι τιμές είναι P A και P B αντίστοιχα και των οποίων οι συναρτήσεις ζήτησης είναι οι Q A = f P A, P B και Q Β = g P A, P B Έχουμε Q Α P A : η οριακή ζήτηση του Α ως προς την τιμή του Q Α P Β : η οριακή ζήτηση του Α ως προς την τιμή του Β Q Β P A : η οριακή ζήτηση του Β ως προς την τιμή του Α Q Β P Β : η οριακή ζήτηση του Β ως προς την τιμή του 9/1/2017 18
Συναρτήσεις ζήτησης (2) Ανάλογα με το είδος της αλληλεπίδρασης μεταξύ των ζητούμενων ποσοτήτων και των τιμών τους τα συσχετιζόμενα προϊόντα Α και Β μπορούν να χαρακτηριστούν ως υποκατάστατα (ανταγωνιστικά) ή ως συμπληρωματικά 9/1/2017 19
Συναρτήσεις ζήτησης (3) Αν Q A και Q B είναι και οι δύο θετικές για P B P A συγκεκριμένες τιμές των P A και P B τότε τα προϊόντα Α και Β είναι υποκατάστατα (ανταγωνιστικά) Ερμηνεία Μια μείωση στην τιμή του Α ή του Β συνοδεύεται από μια αύξηση στη ζήτηση αυτού του προϊόντος και στη μείωση της ζήτησης του άλλου 9/1/2017 20
Συναρτήσεις ζήτησης (4) Αν Q A P B και Q B P A είναι και οι δύο αρνητικές για συγκεκριμένες τιμές των P A και P B τότε τα προϊόντα Α και Β είναι συμπληρωματικά Ερμηνεία Μια μείωση στην τιμή του Α ή του Β συνοδεύεται από μια αύξηση στη ζήτηση και των δύο προϊόντων 9/1/2017 21
Συναρτήσεις ζήτησης (5) Αν Q A P B και Q B P A έχουν αντίθετα πρόσημα, τότε τα προϊόντα Α και Β δεν είναι ούτε συμπληρωματικά ούτε ανταγωνιστικά 9/1/2017 22
Παράδειγμα (1) Αν Q A = 5000 3P A 2 3P B 2 και Q B = 4500 5P A 2 12P B 2 είναι οι συναρτήσεις ζήτησης των προϊόντων Α και Β αντίστοιχα, ζητούνται: 1. Οι τέσσερις συναρτήσεις οριακής ζήτησης 2. Να προσδιοριστεί αν τα προϊόντα αυτά είναι συμπληρωματικά ή υποκατάστατα 9/1/2017 23
Παράδειγμα (2) Αν οι συναρτήσεις ζήτησης για τα προϊόντα 1 και 2 είναι αντίστοιχα οι q 1 = ae xy και q 2 = be x y, a > 0, b < 0 ζητούνται: 1. Οι τέσσερις συναρτήσεις οριακής ζήτησης 2. Να προσδιοριστεί αν τα προϊόντα αυτά είναι συμπληρωματικά ή υποκατάστατα 9/1/2017 24