Επιχειρησιακή Έρευνα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα #: Δυναμικός Προγραμματισμός Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

Σκοποί ενότητας Να γίνει κατανοητή η ανάγκη της χρήσης ειδικών αλγορίθμων για την εύρεση της αποδοτικότερης λύσης σε ένα πρόβλημα

Περιεχόμενα ενότητας Βασικες Αρχές του Δυναμικού Προγραμματισμού Αναδρομικές Ακολουθίες Αριθμών Βήματα του Δυναμικού προγραμματισμού Το πρόβλημα της μεταφοράς Οπισθοδρομική Τεχνική Προδρομική Τεχνική Εφαρμογές

Αναφορές Γ. Πραστάκος. Μαθηματικός Προγραμματισμός για τη λήψη επιχειρηματικών αποφάσεων, Εκδόσεις Σταμούλης, 99. Δ. Ξηρόκωστας, Μη Γραμμικός και Δυναμικός Προγραμματισμός, Συμμετρία, 99. Μ. Παπαγεωργίου, Δυναμικός Προγραμματισμός, Σημειώσεις Πολυτεχνειο Κρήτης

Στοιχεία Δυναμικού Προγραμματισμού Μεθοδολογικό πλαίσιο για την επίλυση προβλημάτων απόφασης που περιλαμβάνουν πολλά στάδια στη διαδικασία τους. Τα στάδια αποτελούν Αλληλοεξαρτώμενα προβλήματα που δημιουργούν ένα μεγαλύτερο και πολυπλοκότερο Η επίλυση ααναφέρεται στην εκτίμηση του βέλτιστου συνδυασμού διαδοχικών αποφάσεων. Δεν υπάρχει αυστηρή φόρμα διατύπωσης των προβλημάτων και της μεθοδολογίας επίλυσης. Γενικά: Διασπάμε το πρόβλημα απόφασης σε επιμέρους (στοιχειώδη) αλληλο-συνδεόμενα υπο-προβλήματα. Επιλύουμε τα επιμέρους και στο τέλος συνθέτουμε σε μια βέλτιστη λύση.

Θεωρητικό Υπόβαθρο Bellman (9) Αρχή της Βελτιστοποίησης Μια βέλτιστη διαδοχή αποφάσεων έχει την ιδιότητα ότι, ανεξάρτητα από τις αρχικές αποφάσεις, οι αποφάσεις που απομένουν πρέπει να συνιστούν μια βέλτιστη στρατηγική (πολιτική) σε σχέση με την κατάσταση που απορρέει από τις αρχικές αποφάσεις Αναδρομικές Σειρές Fibonacci Fn Fn- Fn- Fn- Fn- Fn- Fn- F 0 =0, F =, F =F +F 0, =+0=.. Fn=Fn-+Fn-, n=,.. 8

Σειρές Fibonacci Fo =0 F = F = F0 + F = 0+ = F= F+F = + = F = F+F = + = F = F+F = + = F = F + F = + =8 Αν θέλουμε να υπολογίσουμε το F0 τότε θα πρέπει να ξέρουμε το F9 και το F8. Για να υπολογίσουμε το f9 θα πρέπει να υπολογίσουμε και το F, κ.ο.κ. 9

Χαρακτηριστικά Προβλημάτων Δ.Π.. Ακολουθούμε την διαδοχή της λήψης των αποφάσεων.. Το πρόβλημα διαιρείται σε βήματα (φάσεις). Σε κάθε βήμα πρέπει να ληφθεί μια απόφαση.. Κάθε βήμα έχει ένα ορισμένο αριθμό "καταστάσεων" που συνδέονται με αυτό.. Το αποτέλεσμα μιας απόφασης που λαμβάνεται σε κάθε βήμα συνδέει την παρούσα κατάσταση με μια κατάσταση στο επόμενο βήμα.. Σε κάθε απόφαση υπολογίζεται το κέρδος ή η ζημία.. Η αντικειμενική συνάρτηση, στοχεύει να μεγιστοποιηθεί το συνολικό κέρδος ή να ελαχιστοποιηθεί η συνολική ζημία.. Ο τρόπος με τον οποίο έχουμε βρεθεί σε μια κατάσταση ενός βήματος είναι άσχετος με τις αποφάσεις που θα επακολουθήσουν. Οι αποφάσεις που ακολουθούν εξαρτώνται μόνο από την κατάσταση στην οποία βρισκόμαστε στην παρούσα φάση και όχι από τον τρόπο με τον οποίο βρεθήκαμε σαυτήν την κατάσταση. 0

Παράδειγμα Συντομότερη Διαδρομή από Αφετηρία () σε προορισμό (0) σε ένα δίκτυο 0 κόμβων στο οποίο δίδεται οι χρόνοι μετακίνησης μεταξύ των κόμβων. 8 0 9 Εξαντλητική μελέτη όλων των περιπτώσεων ( Χ Χ Χ Χ μονοπάτια) : 8 Αν έχουμε ν στάδια και κάθε στάδιο μ καταστάσεις τότε έχουμε να μελετήσουμε μ ν μονοπάτια (π.χ. 0 = 9..)

Συμβολισμοί n : ο αριθμός των φάσεων που απομένουν, x n : η μεταβλητή που καθορίζει την απόφαση στη φάση n (από το τέλος). s : η μεταβλητή που καθορίζει την κατάσταση που βρισκόμαστε. f n (s, x n ) : η συνάρτηση που εκφράζει το βέλτιστο αποτέλεσμα για τις n τελευταίες φάσεις μαζί, όταν στη nυοστή - από το τέλος - βρισκόμαστε στην κατάσταση s και παίρνουμε την απόφαση που καθορίζει η μεταβλητή xn. r(x n,s) : το κέρδος ή ζημία που προκύπτει όταν βρισκόμαστε στην κατάσταση s της n-υοστής φάσης και πάρουμε την απόφαση xn. T(x n,s) : η κατάσταση της φάσης n- στην οποία μας οδηγεί η απόφαση xn που λαμβάνεται όταν βρισκόμαστε στην κατάσταση s της nυοστής φάσης. Η αναδρομική σχέση: f (s) max {r(x n,s), f n (T(x n, s))}, x n n - = + Έστω x n η τιμή της x n που δίνει τη βέλτιστη τιμή της f n (s). Εχουμε: f (s) max {f (xn, s), f (xn,s) xn n

Στάδια - Καταστάσεις 8 0 9 Στάδιο n= Στάδιο n= Στάδιο n= Στάδιο n= Στάδιο n= S = S =,, S =,, S = 8, 9 S =0

Οπισθοδρομική Μέθοδος Αρχίζουμε από το τέλος (κόμβος 0) Εναλλακτικές διαδρομές (8)-(0) με κόστος και (9) (0) με κόστος. Πάμε ένα βήμα πίσω. Ελάχιστες Διαδρομές ()-(0), ()-(0), ()- (0). ()-(0) : min{+, +} = ()-(0) : min{+, +} = ()-(0) : min{+, +} = Πάμε ένα βήμα πίσω Ελάχιστες Διαδρομές ()-(0), ()-(0), ()- (0). ()-(0) : min{+, +, +} = 8 9 0 ()-(0) : min{+, +, +} = ()-(0) : min{+, +, +} = 8 Ελάχιστη διαδρομή ()-(0) = (μέσω ή )

Συντομότερη Διαδρομή () 8 9 0

Αλλες δυο λύσεις 8 9 0

Η Μέθοδος σε μορφή Πίνακα (n=) n= Αναδρομική Σχέση F (S, x = κενό) = ds, κενό S \x κενό F* (s ) X* 0 0 0 κενό 8 9 0 Μια μόνο Κατασταση (0)

Η Μέθοδος σε μορφή Πίνακα (n=) N=, F (s,x )=ds x F(s,x)=dsx F*(s) X* S \X 0 8 0 9 0 8 9 0 8

Η Μέθοδος σε μορφή Πίνακα (n=) n=, f (x, s ) =ds x +f (x ) F (s,x )=dsx F *(s ) X * S \x 8 9 + = + = 8 8 + = 9 + = 9 + = += 8 8 9 0 9

Η Μέθοδος σε μορφή Πίνακα (n=) N=, F (x,s ) =ds x +f (x ) F (s,x )=ds x + f *(x ) F *(s ) X * S /X + = + = + =, + = + = 9 + =0 + =8 += 8 += 8, 8,8,0 -> 9 0,9,0 ->,8,0 -> 0

Η Μέθοδος σε μορφή Πίνακα (n=) N=, F (s,x )=ds x F (s,x )=ds x S \X F*(s) X* += += +8=, 8 9 0

Παράδειγμα Μια εμπορική επιχείρηση (super market) σκοπέυει να ανοίξει 9 νέα καταστήματα σε τρεις χώρες. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνονται τα ανεμενόμενα κέρδη σε εκ. ανά χώρα και αριθμό νέων καταστημάτων. Επισης υπάρχει η υποχρέωση να ανοίξει τουλάχιστον δυο καταστήματα σε κάθε χώρα. Να βρεθούν οι κατανομές των καταστημάτων ανά χώρα έτσι ώστε να βελτιστοποιούνται τα αναμενόμενα κέρδη σε εκατομύρια Αρ.Κα/των/ Χώρα 0 8 90 00 0 0 0 0 0 0

Ορισμοί Στάδια του προβλήματος οι χώρες,, Καταστάσεις: s n = Ο αριθμός των καταστημάτων που είναι διαθέσιμα να ανοιχτουν από το ν στάδιο μέχρι το τέλος Μεταβλητές απόφασης: x n ο αριθμός των καταστημάτων που θα ανοίξουν στη χώρα n Εσοδα τ n (x n )- τα προβλεπόμενα Έσοδα από τα x n καταστήματα στη χώρα Αναδρομική Σχέση F n (s n ) = max {(τ n (x n ) + F n+ (S n -x n )} x n, x n S n

Μαθηματική Διατύπωση Max T = Στ n (x n ) n= Με τους περιορισμούς Στ n (x n ) 9 και x n, ακέραιοι n= Αναδρομική Σχέση F n (s n ) = max {(τ n (x n ) + F n+ (S n -x n )} x n, x n S n

Επίλυση Οπισθοδρομική () S F (S ) x 0 0 Για την τρίτη χώρα (n=) Η κατάσταση S μπορεί να είναι (ελαχιστο),,, (μέγιστο, καθώς τουλάχιστον καταστήματα απαιτούνται για τις χώρες και ) Υπολογίζουμε τον πίνακα: Αρ.Κα/των/ Χώρα 0 8 90 00 0 0 0 0 0 0

Στο δεύτερο Στάδιο n=: Επίλυση Οπισθοδρομική () Οι Καταστάσεις,,, και το S =,,, (διότι έχουμε κατ ελάχιστον στην Τρίτη χώρα (επομένως ξεκινάμε από + για το S ), θα πρέπει να περισσέψουν κατ ελάχιστον για την πρώτη χώρα, συνεπώς το μέγιστο μπορεί να είναι S=9-=. Αναδρομική Σχέση f (s,x ) = t (χ ) +f * (s-x) S \ X f* (s ) X * 0+0 = - - - 0+=0 0+0=0 - - 0 0+0= 0+= 0+0=0 -, 0+= 80 0+0=80 0+= 0+0=0 80, S F(S) x 0 0 Αρ.Κα/των/ Χώρα 0 8 90 00 0 0 0 0 0 0

Επίλυση με οπισθοδρομική () N= Μια κατάσταση για το s = 9 Ενδεχόμενες καταστάσεις για χ =,,, Αναδρομική Σχέση f (s,x ) = t (χ ) +f * (s -x ) S\x f *(x ) X * 9 0+80 = 0 8+=0 90+0=0 00+= 0 S \ X F*(s) X* - - - 0 0 - - 0 0 -, 80 80 0 80, Αρ.Κα/των / Χώρα 0 8 90 00 0 0 0 0 0 0

Αποτελέσματα Βέλτιστη λύση x =, S = S = τότε x = ή χ = Αν χ = τότε χ αν χ = τότε χ =. Κατονομή βέλτιστων λύσεων Χ =, Χ = χ = Χ =, χ =, χ = Βέλτιστα Έσοδα: 0 8

Παράδειγμα () Μια επιχείρηση επιθυμεί να προχωρήσει σε διαφημιστικά καμπάνια για ένα νέο προϊόν. Εχει τη δυνατότητα να διαφημισθεί σε τρια εναλλακτικά μέσα (Α, Β και Γ). Το κόστος της Διαφήμισης είναι 00, 00 και 00 για τα μέσα Α, Β και Γ αντίστοιχα. Ο Συνολικός προϋπολογισμός που διατίθεται είναι 000. Τα αναμενόμενα καθαρά έσοδα από τη διαφήμιση ανά αριθμό διαφημίσεων και μέσο ανέρχονται σε Αρ.Διαφ/Μέσα Α Β Γ 00 00 000 800 00 00 900 00 00 000 00 00 Να υπολογιστεί η κατανομή των διαφημίσεων ώστε να μεγιστοποιουνται τα καθαρά έσοδα 9

Ορισμοί S n : Το ποσό που μένει διαθέσιμο από το προϋπολογισμό στα n τελευταία έτη. Τ n (x n ): Τα κέρδη από xn διαφημίσεις στο μέσα n (A n=, B n=, Γ n=) C n : Το κοστος μιας διαφήμισης στο μέσο n F (s) : Το κέδρος της επιχείρησης από τη διάθεση s ποσού για διαφήμιση στο μέσο n= Και F n (s) = max(τ n (x n ), + f n- (S-c n x n ) Κόστος Διαφήμισης 00 00 00 Αριθμός Διαφημίσεων Α - Β - Γ - 0 0 0 0 00 00 000 800 000 00 900 00 00 000 00 00 Συνολικό Ποσό Διαφήμισης 000 0

Προδρομική Μέθοδος Ομοια διαδικασία με αυτή της Οπισθοδρομικής Μεθόδου. Διαφοροποιήσεις σχετικά με την αναδρομική συνάρτηση Βήματα: Ξεκινάμε από το πρώτο στάδιο Επιλύουμε το πρόβλημα στυον n στάδιο και χρησιμοποιούμε τα αποτελέσματα για το επόμενο n+ στάδιο Η Βέλτιστη λύση προκύπτει από τη σύνθεση των επιμέρους λύχων στα n στάδια του προβλήματος

Συμβολισμοί n : τα στάδια φάσεις, x n : η μεταβλητή που καθορίζει την απόφαση στη φάση n Πιθανοί προηγούμενοι κόμβοι (με χ* θα συμβολίζουμε τις αποφάσεις που αντιστοιχούν στις βέλτιστες τιμές) s n : η μεταβλητή που καθορίζει την κατάσταση που βρισκόμαστε. f n (s, x n ) : η συνάρτηση που εκφράζει το βέλτιστο αποτέλεσμα για τις n τελευταίες φάσεις μαζί, όταν στη nυοστή - από το τέλος - βρισκόμαστε στην κατάσταση s και παίρνουμε την απόφαση που καθορίζει η μεταβλητή xn. (με f* θα συμβολίζουμε τις βέλτιστες τιμές) r(x n,s) : το κέρδος ή ζημία που προκύπτει όταν βρισκόμαστε στην κατάσταση s της n-υοστής φάσης και πάρουμε την απόφαση xn. Η αναδρομική σχέση: f (s) max {r(x n,s)+ f n (T(x n, s))},

Στάδια - Καταστάσεις 8 9 0 Ξεκινάμε από το Στάδιο και προχωράμε προς το Στάδιο n Στάδιο n= S = Στάδιο n= S =,, Στάδιο n= S =,, Στάδιο n= S = 8, 9 Στάδιο n= S =0

Στάδιο (n=) Πιθανή Κατάσταση: s (Μοναδική) X : Κενό f *() = d, = 0 Είναι Προφανές ότι το ελάχιστο κόστος είναι 0. 8 9 0

N=, F (s,x )=ds x Σε μορφή Πίνακα (n=) F (s,x =κενό) = d κενό,s S \X Κενό F *(s ) X* 0 0 κενό 8 9 0

Στάδιο (n=) Ενδεχόμενες Καταστάσεις: s =,, Μεταβλητή Απόφασης (προηγούμενο στάδιο) x = Βέλτιστες Διαδρομές ( -> ) f * () =d, +f *() = +0 = ( -> ) f * () =d, +f *() = +0 = ( -> ) f * () =d, +f *() = +0 = X * =, για όλες τις διαδρομές 8 9 0

Σε μορφή Πίνακα (n=) N=, F (x,s ) =ds x F (x,s ) =ds x F *(s ) X * S /X 8,8,0 -> 9 0,9,0 ->,8,0 ->

Στάδιο (n=) Ενδεχόμενες Καταστάσεις: s =,, και ενδεχόμενες μεταβλητές απόφασης x =,, Για την κατάσταση s = Βέλτιση διαδρομή F *(s =) = min { d +f *(), d +f *(), d +f *()} = min{+, +, +}= με μεταβλητές απόφασης x * =, Για την κατάσταση s = Βέλτιση διαδρομή F *(s =) = min { d +f *(), d +f *(), d +f *()} = min{+, +, +}= με μεταβλητή απόφασης x * = Για την κατάσταση s = Βέλτιση διαδρομή F *(s =) = min { d +f *(), d +f *(), d +f *()} = min{+, +, +}= 8 με μεταβλητή απόφασης x * =,, 8 9 0 8

Η Μέθοδος σε μορφή Πίνακα (n=) N=, F (x,s ) = ds x +f * (x ) F (x,s ) = ds x +f * (x ) F *(s ) X * S /X +=9 += +=, += += += +=8 +=8 += 8, 8,8,0 -> 9 0,9,0 ->,8,0 -> 9

Στάδιο (n=) Ενδεχόμενες Καταστάσεις: s =8,9 και μεταβλητές απόφασης x =,, Για την κατάσταση s =8 Βέλτιστη διαδρομή F *(s =8) = min { d 8 +f *(), d 8 +f *(), d 8 +f *()} = min{+, +, +8}= 8 με μεταβλητές απόφασης x * = Για την κατάσταση s =9 Βέλτιση διαδρομή F *(s =9) = min { d 9 +f *(), d 9 +f *(), d 9 +f *()} = min{+, +, +8}= με μεταβλητή απόφασης x * = 8 9 0 0

Σε μορφή Πίνακα (n=) n=, f (x, s ) =ds x +f * (x ) f (x, s ) =ds x +f * (x ) F *(s ) X * S \x 8 + =8 + = 8 +8= 8, 9 + = + = +8= 8 9 0

Στάδιο (n=) Ενδεχόμενες Καταστάσεις: s =0 (μία μόνο κατάσταση) και μεταβλητές απόφασης x =8,9 Για την κατάσταση s =0 Βέλτιστη διαδρομή F *(s =0) = min { d 80 +f *(8), d 90 +f *(9} = min{+8, +}= με μεταβλητές απόφασης x * = 8,9. Κόστος Άριστης Διαδρομής : 8 9 0

N=, + F (s,x )=ds x + +f * (x ) Σε μορφή Πίνακα (n=) F (s,x )=ds x + +f * (x ) F*(s) X* S \X 8 9 0 +8= += 8,9 8 9 0

Βέλτιστες Διαδρομές Για τον προσδιορισμό της (των) Βέλτιστης(ων διαδρομής(ών) ξεκινάμε από τοα τέλος (κόμβος 0) Η μεταβλητές x* = 8, 9 σημαίνει ότι στον κόμβο 0 μπορούμε να πάμε μέσω 8 και 9 (με το ελάχιστο κόστος ). Αναζητούμε f *(8) και f *(9) Συνεχίζουμε με το στάδιο n= για κάθε ένα από τα f *(8) και f *(9) και αναζητούμε την άριστη λύση του σταδίου για τους κόσμους 8 και 9. Στον 8 ηγαίνουμε από τον κόμβο ενώ στην 9 από τον κόμβο. Συνεχίζουμε με το στάδιο n= και με έλεγχο των f *() και f *() για τους κόμβους, του ου σταδίου. Στον κόμβο μπορούμε να πάμε από τους και ενώ στον κόμβο απο τον κόμβο. Ακολούθως οι τιμές των f *() και f *() μας οδηούν στον κόμβο. Συνοψίζοντας οι διαδρομές είναι,,, 8, 0 ---,,, 8, 0 και,,, 9, 0 8 9 0

Ασκήσεις () Διαθέτουμε.000.000 Κεφάλαιο και πρέπει να το επενδύσουμε τα επόμενα τρία έτη. Τα αναμενόμενα κέρδη (ανά.000.000) για τα τρία έτη δίνονται στον πίνακα. Κέρδη για Κεφάλαιο που θα επενδυθεί σε κάθε έτος (χιλ ) Ύψος Επένδυσης (εκ. ) Ετος Έτος Έτος Να βρεθεί η κατανομή του κεφαλάιου επένδυσης κατ έτος έτσι ώστε να μεγιστοποιηθεί το κέρδος. 0 0 0 0 0 0 0 0 00 00 0 0 00 0

Ασκήσεις () Μια τσιμεντοβιομηχανία που διαθέτει τρεις υψηκαμίμους έχει δεχθεί μεγάλες παραγγελίες για το επόμενο χρονικό διάστημα με χρονικούς περιορισμους ως προς τις παραδόσεις (σε μήνες). Για το σκοπό αυτό σκοπεύει να προσλαβει επιπλέον ομάδες εργαζομένων προκειμένου να αυξήσει την παραγωγή της και να μειώσει το χρόνο παραγωγής. Στο πίνακα δίνεται η μείωση του χρόνου παραγωγής με βάση τα τρέχοντα επιπεδα με βάση την κατανομή των ομάδων στις τρεις υψηκάμινους (σε εξαμηνιαία βάση). Κέρδος χρόνου σε ημέρες ανά υψηκάμινο Επιπλέον Ομάδες Υψ. Α Υψ. Β Υψ. Γ 0 0 0 0 0 0 Να βρεθεί η κατανομή του ομάδων στις υψηκάμινους έτσι ώστε να μεγιστοποιηθεί το όφελος σε χρόνο. 8 9 9 0

Τέλος Ενότητας