i) Να δείξετε ότι η κίνηση του συστήµατος των δύο σφαιριδίων είναι περιοδική και να υπολογίσετε την περίοδο της.

Ένα σφαιρίδιο Σ 1 µάζας m, είναι στερεωµένο στο άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k, του οποίου το άλλο άκρο είναι ακλόνητο όπως φαίνεται στο σχήµα (α). Το σφαιρίδιο µπορεί να κινείται χωρίς τριβή πάνω σε λείο οριζοντιο επίπεδο το δε ελατήριο είναι οριζόντιο. Κάποια στιγµή που θεωρείται ως αρχή µέτρησης του χρόνου προσπίπτει στο ακίνητο σφαιρίδιο Σ 1 ένα δεύτερο σφαιρίδιο Σ µάζας m, κινούµενο στο οριζόντιο επίπεδο, µε αποτέ λεσµα το ελατήριο να συσπειρώνεται κατά L/, όπου L η απόσταση του σηµείου κρούσεως Ο από το κατακόρυφο τοίχωµα (τ). Όλες οι κρούσεις που συµβαίνουν θεωρούνται απολύτως ελαστικές και βρα χύτατης διάρκειας. i) Να δείξετε ότι η κίνηση του συστήµατος των δύο σφαιριδίων είναι περιοδική και να υπολογίσετε την περίοδο της. ii) Nα σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της κινητικής ενέργειας κάθε σφαιριδίου σε συνάρτηση µε το χρόνο, δινοντας όλες τις απα ραίτητες εξηγήσεις. ΛΥΣΗ: i) Επειδή τα δύο σφαιρίδια έχουν την ίδια µάζα και η κρούση τους στη θέση Ο είναι κεντρική και απολύτως ελαστική, συµβαίνει ανταλλαγή των ταχυτήτων τους. Έτσι το σφαιρίδιο Σ 1 αποκτά αµέσως µετά την κρούση την ταχύτητα v του σφαιριδίου Σ, ενώ το Σ ακινητοποιείται. Στη συνέχει α το Σ 1 εκτελεί υπό την επίδραση της δύναµης του ελατηρίου απλή αρµονι κή ταλάντωση µε κέντρο ταλάντωσης τη θέση Ο, µε µία ακραία θέση Α που απέχει από το Ο απόσταση L/ και µε περίοδο Τ, που δίνεται από τη σχέση: T = m/k (1) Σχήµα α. To σφαιρίδιο αυτό µετά από χρόνο Τ/ θα επιστρέψει στο Ο µε ταχύτητα, - v, όπου θα συµβεί πάλι κεντρική και τελείως ελαστική κρούση µε αποτέ λεσµα το Σ 1 να ακινητοποιηθεί και το Σ θα αποκτήσει ταχύτητα - v µε την

οποία θα συγκρουσθεί τελείως ελαστικά µε το κατακόρυφο τοίχωµα (τ) και θα αναστραφεί η ταχύτητά του, δηλαδή θα γίνει v. Στη συνέχεια κινούµε νο ευθύγραµµα και οµαλά πάνω στο οριζόντιο επίπεδο θα συγκρουσθεί µε το Σ 1 και το φαινόµενο θα επαναληφθεί εξ αρχής. Από την παραπάνω περιγρα φή προκύπτει ότι η κίνηση του συστήµατος είναι περιοδική µε περίοδο Τ * που δίνεται από τη σχέση: T * = T / + t OB T * = T / + L/v () Όµως για το µέτρο της ταχύτητας v ισχύει η σχέση: v = L = " T L = "L T όπου ω η γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης. Έτσι η σχέση () γράφεται: T * = T + L L/ T = T + T T * = T + 4 (1) " # T * = m " + 4 T k # * = + 4 ( ) m k (3) ii) Εάν λάβουµε ως θετική φορά πάνω στη διεύθυνση κίνησης του σφαιριδί ου Σ 1 τη φορά της ταχύτητας v, ως αρχή της αποµάκρυνσής του το Ο και ως αρχή του χρόνου τη στιγµή της πρώτης κρούσεως των σφαιριδίων, τότε η εξίσωση της αποµάκρυνσής του σε συνάρτηση µε το χρόνο έχει τη µορφή: x = (L/)µ "t x =, T/ # t # T * ( ), # t # T/ (4) Σχήµα β.

ενώ η εξίσωση της ταχύτητάς του σε συνάρτηση µε το χρόνο έχει τη µορφή: "µ (t + #/) = L v = L v =, T/ t T * t ( ), t T/ ( * ) + * (5) H κινητική ενέργεια Κ 1 του σφαιριδίου σε συνάρτηση µε το χρόνο είναι: K 1 = m " # L K 1 =, T/ + t + T * ()* (t), + t + T/,. -. / K 1 = L k 8 "# t K 1 =, T/ t T * ( ), t T/ ( ) ( (6) Εξάλλου η κινητική ενέργεια Κ του σφαιριδίου Σ σε συνάρτηση µε το χρόνο δίνεται από τη σxεση: K =, t T/ ) K = m + # L" * (, T/ t T * +, K =, t T/ " K = L k #, T/ t T 8 * (7) Οι γραφικές παραστάσεις των περιοδικών επεκτάσεων των σχέσεων (6) και (7) φαίνονται στο σχήµα (β). P.M. fysikos Oµογενές σώµα σχήµατος ορθογωνίου παραλλη λεπιπέδου, µάζας Μ και ύψους h, ηρεµεί πάνω σε τραχύ οριζόντιο επίπεδο. Κάποια στιγµή επί του σώµατος προσπίπτει µικρό σφαιρί διο µάζας m<m µε ταχύτητα v, της οποίας ο φορέας είναι παράλ ληλος προς τη µεγαλύτερη διάσταση α του σώµατος και διέρχεται από το κέντρο µάζας του C. Έαν η κρούση του σφαιριδίου µε το σώµα είναι απολύτως ελαστική να βρείτε κάτω από ποιά συνθήκη το σώµα ολισθαίνοντας θα σταµατήσει στον ελάχιστο χρόνο και να βρεθεί ο χρόνος αυτός. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: Yποθέτουµε ότι το σώµα µετά την κρούση του µε το σφαιρίδιο ολισθαίνει πάνω στο οριζόντιο έδαφος χωρίς να ανατρέπεται. Οι δυνάµεις που δέχεται είναι το βάρος του w και η πλάγια αντίδραση του εδάφους που αναλύεται στην τριβή ολίσθησης T, αντίρροπη της v και την κάθετη αντίδ ραση N, της οποίας ο φορέας έστω ότι είναι µετατοπισµένος κατά x σε σχέση µε το κέντρο µάζας C του σώµατος (βλέπε σχήµα). Εφαρµόζοντας για το κέντρο µάζας τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νέυτωνα παίρνουµε τη σχέση:

T = ma nmg = ma a = ng (1) όπου a η επιβράδυνση του σώµατος και n o συντελεστής τριβής ολίσθησης µεταξύ αυτού και του οριζοντίου επιπέδου. Όµως το σώµα δεν έχει περιστρο φή περί το κέντρο µάζας του, οπότε η συνολική ροπή των δυνάµεων περί το C είναι µηδενική, δηλαδή ισχύει η σχέση: T h - Nx = nn h - Nx = x = nh () Αλλά η απόσταση x οφείλει να ικανοποιεί τη σχέση x α/, η οποία µε βάση την () γράφεται: x = nh " n " h (3) H (3) εκφράζει ότι η µεγαλύτερη τιµή που επιτρέπεται να λάβει ο συντελε στής τριβής, ώστε το σώµα να ολισθαίνει µε ασφάλεια χωρίς να ανατρέπεται είναι α/h, που σηµαίνει ότι η µέγιστη επιβάδυνση ασφαλούς ολίσθησης έχει µέτρο ίσο µε αg/h. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι για <n<α/h το σώµα ολίσθαίνει χωρίς να ανατρέπεται, για n=α/h ολισθαίνει µε οριακή έναρξη ανατροπής του περί την ακµή του Ο, ενώ για n>α/h το σώµα ολισθαίνει και ταυτόχρονα περιστρέφεται περί την ακµή του Ο. Τέλος ο ζητούµενος ελάχι στος χρόνος ασφαλούς ολίσθησης του σώµατος δίνεται από τη σχέση: t min = V n max g = V hg όπου V η ταχύτητα του σώµατος αµέσως µετά την κρούση, της οποίας το µέτρο είναι: (4) V = mv M + m οπότε η (4) γράφεται: t min = " mv hg # M + m P.M. fysikos

Μία οµογενής σφαίρα µάζας m και ακτίνας R, κυλίεται πάνω σε τραχύ οριζόντιο επίπεδο και κάποια στιγµή φθά νει στην κορυφή Ο κεκλιµένου επιπέδου γωνίας κλίσεως φ ως πρός τον ορίζοντα, το οποίο αποτελεί συνέχεια του οριζόντιου επι πέδου (σχήµα α). Εάν η ταχύτητα του κέντρου της σφαίρας τη στιγ µή που αποκτά επαφή µε την κορυφή Ο είναι v, να βρείτε τις αναγκαίες συνθήκες ώστε η σφαίρα να περιστρέφεται περί την κορυφή του κεκλιµένου επιπέδου χωρίς να ολισθαίνει και να αναπηδά, έως ότου αρχίσει να κινείται µόνο στο κεκλιµένο επίπε δο. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας και η ροπή αδράνειας Ι=mR /5 της σφαίρας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της. ΛΥΣΗ: Υποθέτουµε ότι η σφαίρα περιστρέφεται περί το σηµέιο επαφής της Ο µε την τοµή του οριζόντιου µε το κεκλιµένο επίπεδο και την εξετά ζουµε, όταν η ακτίνα της CΟ σχήµατίζει γωνία θ µε την κατακόρυφη διεύθυνση. Στη θέση αυτή η σφαίρα δέχεται το βάρος της w και µια δύνα µη επαφής, η οποία αναλύεται στην ακτινική συνιστώσα N (κάθετη αντίδρα ση) και την εφαπτοµενική συνιστώσα T (στατική τριβή). Η συνισταµένη της N και της ακτινικής συνιστώσας του βάρους αποτελεί για την κίνηση του κέντρου µάζας C της σφαίρας κεντροµόλο δύναµη, δηλαδή µπορούµε να γράψουµε τη σχέση: mg"# - N = mv R Σχήµα α. mv N = mg"# - R όπου v η ταχύτητα του κέντρου µάζας κατά τη θεωρούµενη χρονική στιγ µή. Εφαρµόζοντας για τη σφαίρα το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας από τη θέση όπου άρχισε η περιστροφή του, (η ακτίνα ΟC του σηµείου επαφής Ο είναι κατακόρυφη) έως τη θέση που το εξετάζουµε, µε επίπεδο αναφοράς της βαρυτικής δυναµικής ενέργειας το οριζόντιο επίπεδο, παίρνουµε τη σχέση: mv + I C + mgr = I O + mgr"# () (1)

όπου Ι C, I Ο η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της C, Ι Ο η ροπή αδράνειάς της ως προς την ακµή Ο και η γωνι ακή ταχύτητα περιστροφής της σφαίρας. Όµως Ι C =mr /5 και Ι Ο =mr /5+ mr = 7mR /5, ενώ λόγω της αρχικής κύλισης της σφαίρας ισχύει ω =v /R, οπότε η () γράφεται: mv + mv 1 + mgr = 7mR 1 + mgr"# 5v + v + 1gR = 7R + 1gR"# v = v + 1 7 gr(1 - "#) (3) διότι ω=v/r. Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (3) παίρνουµε: N = mg"# - m R v + 7gR 1-7gR 1 "# ( * ) N = mg"# - m R v + 7gR 1-7gR 1 "# ( * ) N = 17mg 1 "# - mv R - 7mg 1 (4) Σχήµα. Λίγο πρίν η σφαίρα αρχίσει να κίνειται αποκλειστικά στο κεκλιµένο επίπεδο (σχήµα ) για τη γωνία θ ισχύει θ=φ, οπότε τη στιγµή αυτή η (4) γράφεται: N = 17mg 1 "# - mv R - 7mg 1 (5) Όµως για να είναι υπαρκτή η περιστροφή της σφαίρας περί το Ο πρέπει Ν> για όλες τις θέσεις της, οπότε λόγω της (5) θα έχουµε:

17mg 1 "# - mv R - 7mg 1 > mv R < 17mg 1 "# - 7mg 1 v < gr ( 1 17"# - 7 ) (6) Η σχέση (6) έχει νόηµα εφόσον ισχύει: 17"# - 7 > "# > 7 /17 (7) Oι σχέσεις (6) και (7) αποτελούν τις αναγκαίες συνθήκες, ώστε η σφαίρα περιστρεφόµενη περί την ακµή Ο να συνεχίσει την κίνησή της στο κεκλιµέ νο επίπεδο. P.M. fysikos Οµογενής ράβδος AB µάζας Μ και µήκους L, µπορεί να στρέφεται περί σταθερό οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το µέσο της O. Στο ένα της άκρο Α έχει στερεωθεί µικρή σφαίρα Σ 1 µάζας m και η ράβδος συγκρατείται οριζόντια. Κάποια στιγµή στο άλλο άκρο Β της ράβδου προσπίπτει κατακόρυφα µε ταχύτητα v ένα σφαιρίδιο πυλού Σ µάζας m, το οποίο συγκρούε ται πλαστικά µε τη ράβδο. i) Nα εξετάσετε το είδος της κίνησης του συστήµατος µετά την κρούση και να βρείτε τη δύναµη που δέχεται ο άξονας περιστρο φής της ράβδου. ii) Να εκφράσετε σε συνάρτηση µε το χρόνο το µέτρο της δύναµης που δέχεται η σφαίρα Σ 1 από τη ράβδο. Kατά ποιές χρονικές στιγ µές το µέτρο αυτό µεγιστοποιείται ή ελαχιστοποιείται; Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας και ότι η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της είναι I C =ML /1. ΛΥΣΗ: i) Kατά τον πολύ µικρό χρόνο Δt (Δt ) της πλαστικής κρούσεως της ράβδου µε το σφαιρίδιο Σ η στροφορµή του συστήµατος ράβδος-σφαιρί δια, περί τον άξονα περιστροφής του, διατηρείται σταθερή, διότι η αντίστοι χη συνολική ροπή των εξωτερικών δυνάµεων που δέχεται το σύστηµα είναι µηδενική, δηλαδή ισχύει η σχέση: L λίγο πριν = L αµέσως µετά L λίγο πριν = L αµέσως µετά L mv = I L C + m 4 mv L = " ML 1 + ml # 6mv = L(M + 6m) = 6mv L(M + 6m) (1)

όπου η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του συστήµατος αµέσως µετά την κρούση. Στη συνέχεια η συνολική ροπή των εξωτερικών δυνάµεων εξακο λουθεί να είναι µηδενική που σηµαίνει ότι το σύστηµα θα περιστρέφεται µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα ίση µε. Εξετάζοντας την κίνηση του κέντρου µάζας C του συστήµατος παρατηρούµε ότι η επιτάχυνσή του είναι µηδενική, οπότε σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα µηδενική θα είναι και η συνισταµένη των εξωτερικών δυνάµεων που δέχεται το σύστηµα, δηλαδή θα ισχύει η σχέση: m g + M g + F = F = - (m + M) g () όπου F η δύναµη που δέχεται η ράβδος από τον άξονα περιστροφής. Συµφω να µε τον τρίτο νόµο του Νεύτωνα η δύναµη F που δέχεται ο άξονας περισ τροφής θα είναι αντίθετη της F, δηλαδή θα ισχύει: F = - F = (m + M) g (3) ii) Ύστερα από χρόνο t µετά την έναρξη περιστροφής της ράβδου αυτή θα έχει στραφεί κατά γωνία φ=ωt και το σφαιρίδιο Σ 1 θα δέχεται εκείνη τη στιγµή το βάρος του m g και τη δύναµη F A από τη ράβδο, η δε συνισταµένη F K των δυνάµεων αυτών θα αποτελεί για το σφαιρίδιο κεντροµόλο δύναµη

αφού η κίνησή του είναι οµαλή κυκλική. Θα ισχύει εποµένως συµφωνα µε τον κανόνα του παραλληλογράµµου η σχέση: F A = (mg) + F K - mgf K "#( / - t) F A = m g + (m L/ ) - mg(m L/ )"µt F A = m g + 4 L / 4 - g L"µt (4) Από την (4) προκύπτει ότι το µέτρο της δύναµης F A γίνεται µέγιστο κατα τις χρονικές στιγµές που ισχύει: µ"t = -1 t = 3" + k" t = (1) # 3 " + k ( t = L(M + 6m) " 3 6mv # + k µε k=, 1,, H µέγιστη αυτή τιµή είναι: (F A ) max = m g + 4 L /4 + g L = m (g + L/ ) (F A ) max = m(g + L/ ) (5) Εξάλλου από την (4) προκύπτει ότι το µέτρο της F A γίνεται ελάχιστο κατα τις χρονικές στιγµές που ισχύει: µ"t = 1 t = " + k" t = (1) # 1 " + k ( t = L(M + 6m) " 1 6mv # + k µε k=, 1,, H ελάχιστη αυτή τιµή είναι: (F A ) min = m g + 4 L / 4 - g L = m (g - L/ ) (F A ) min = m g - L/ ) (6) P.M. fysikos Oµογενής κύβος ακµής α και µάζας m, βρίσκε ται πάνω σε τραχύ οριζόντιο επίπεδο εφαπτόµενος µε µια έδρα

του. Ένα σφαιρίδιο από πυλό µάζας m, προσπίπτει κάθετα σε µια κατακόρυφη έδρα του κύβου στο κέντρο αυτής µε ταχύτητα v και προσκολάται στην έδρα. Εάν είναι αδύνατη η ολίσθηση του κύβου, να βρέθει η ελάχιστη τιµή του µέτρου της v για την οποία αυτός ανατρέπεται. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας και ότι η ροπή αδράνειας του κύβου ως προς µια ακµή του ίση µε mα /6. ΛΥΣΗ: Κατά τον πολύ µικρό χρόνο Δt που διαρκεί η κρούση του σφαιριδί ου µε τον κύβο η στροφορµή του συστήµατος σφαιρίδιο-κυβος περί την ακµή Ο περιστροφής του κύβου δεν µεταβάλλεται, Αυτό οφείλεται στο ότι οι αντί στοιχες ωθήσεις των ροπών του βάρους του κύβου και του βάρους του σφαιριδίου περι την ακµή Ο είναι ασήµαντες, ενώ η ροπή της δύναµης επα φής που δέχεται ο κύβος από το οριζόντιο έδαφος είναι µηδενική, καθότι έχει αρχίσει η ανατροπή του κύβου περί την ακµή αυτή. Με βάση τα παρα πάνω µπορούµε να γράψουµε τη σχέση: (O) L "# " = L (O) (µ)*+, µ)-( (O) L "# " (O) = L (µ)*+, µ)-( mv / + = m(oa) " + I O " mv = m" # + 5 4 ( + m 3 " v = 5 4 " + 3 " 6v = 15" + 8" = 6v 3" όπου η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του κύβου περί την ακµή του Ο αµέσως µετά την κρούση του µε το σφαιρίδιο ή το ίδιο κατά την έναρξη της περιστροφής του. Για να ανατραπεί ο κύβος πρέπει η κινητική ενέργεια που αποκτά κατά τον χρόνο Δt να επαρκεί, ώστε η ευθεία ΟC που συνδέει το κέντρο µάζας C του συστήµατος κύβος-σφαιρίδιο να γίνει κατακόρυφη και τη στιγµή που θα συµβεί αυτό η κινητική του ενέργεια Κ τελ να είναι µεγαλύ τερη ή ίση µε µηδέν, δηλαδή πρέπει να ισχύει: K "# () Εφαρµόζοντας για τον κύβο το θεώρηµα κινητικής ενέργειας-έργου µεταξύ της αρχικής του θέσεως αµέσως µετά την κρούση και της θέσεως όπου η ΟC γίνεται κατακόρυφη, παίρνουµε τη σχέση: (1)

() K "# -K = -mg( OC - OB) K "# =K - mg( OC - OB) K "# - mg( OC - OB) K "# mg( OC - OB) (3) όπου Β η προβολή του C πάνω στην κατακόρυφη διεύθυνση. Όµως για την απόσταση ΟC ισχύει: ( OC ) = ( OC ) = " # " + + # 4 = 4 + 9 16 = 4 13 oπότε η (3) γράφεται: I O + m(oa) " mg # 4 13 - # ) ( m " 6 + 5m " 8 # mg ( 13 - ) " 6 + 5" 8 # g ( 13 - ) 3" 4 # 1g 4 ( 13 - ) " 1g 3# (1) ( 13 - ) " 6v # 3 v (min) = ( 1 g 3 3g 3 ( 13 - ) v ( 13 - ) 3"g 3 ( 13 - ) P.M. fysikos Oµογενής δίσκος, µάζας m και ακτίνας R, ισορ ροπεί πάνω σε κεκλιµένο επίπεδο γωνίας κλίσεως φ, συγκρατούµε νος µε τη βοήθεια ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k, όπως φαίνεται στο σχήµα. Ο δίσκος εκτρέπεται από τη θέση ισορροπίας του ώστε το ελατήριο να αποκτήσει το φυσικό του µήκος και στη συνέχεια αφήνεται ελεύθερος. i) Εάν ο συντελεστής οριακής τριβής µεταξύ δίσκου και κεκλιµέ νου επιπέδου είναι n, να βρεθεί η συνθήκη ώστε ο δίσκος να κυλίε ται. ii) Nα εκφράσετε σε συνάρτηση µε το χρόνο την ιδιοστροφορµή του δίσκου, δήλαδή την στροφορµή του λόγω της περιστροφής του περί

τον γεωµετρικό του άξονα. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας και ότι η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς άξονα διερχόµενο από το κέντρο του και κάθετο στο επίπεδό του είναι I=mR /. ΛYΣH: i) Eξετάζουµε τo δίσκο κατά µια τυχαία χρονική στιγµή που η αποµάκρυνση του κέντρου µάζας του C από τη θέση ισορροπίας του O είναι x και δεχόµαστε ότι, τη στιγµή αυτή η ταχύτητα v C του κέντρου µάζας του έχει φορά προς τα πάνω. Eπί του δίσκου ενεργεί το βάρος του w, το οποίο αναλύεται σε µια συνιστώσα w 1 παράλληλη προς το κεκλιµένο επίπεδο και µια συνιστώσα w κάθετη προς αυτό, η πλάγια αντίδραση του κεκλιµένου επιπέδου, η οποία αναλύεται στην κάθετη αντίδραση N και στην στατική τριβή T και τέλος τη δύναµη F " από το τεντωµένο ελατήριο. Θεωρώντας ως θετική φορά κατά τη διεύθυνση του κεκλιµένου επιπέδου, τη φορά της αποµάκρυσης x, έχουµε για την αλγεβρική τιµή της δύναµης επαναφοράς F " που δέχεται ο δίσκος, τη σχέση: F επ = -w 1 + T + F ελ = -w 1 + T + (w 1 - kx) F επ = T - kx (1) Eξετάζοντας την ίδια στιγµή την περιστροφική κίνηση του δίσκου, παίρνου µε, σύµφωνα µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης, τη σχέση: TR = Iω TR = mr ω/ T = mrω/ () όπου ω το µέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης της σφαίρας κατά τη θεωρού µενη χρονική στιγµή. Όµως, λόγω της κύλισης της σφαίρας, ισχύει κάθε στιγµή η σχέση -ω R=a C, όπου a C η αλγεβρική τιµή της επιτάχυνσης a C του κέντρου µάζας της. To αρνητικό πρόσηµο δικαιολογείται από το γεγονός ότι τα διανύσµατα x και a C είναι αντίρροπα*. Άρα η σχέση () γράφεται: T = -ma C / (3) Συνδυάζοντας τις (1) και (3) παίρνουµε τη σχέση: --------------------------------------------------- * Πράγµατι, εάν a C είναι η επιτρόχια επιτάχυνση των σηµείων επαφής του δίσ κου µε το κεκλιµένο επίπεδο, θα ισχύει λόγω της κύλισής του η διανυσµατική σχέση: a C + a = a C + ( " R ) = a C = -( " R )

όπου R το διάνυσµα θέσεως των σηµείων επαφής του δίσκου ως προς το κέντρο µάζας του C. Όµως το εξωτερικό γινόµενο ( " R ), σύµφωνα µε τον κανόνα του δεξιού χεριού, αποτελεί διάνυσµα οµόρροπο του x, οπότε η τελευταία σχέση εγγυάται ότι το διάνυσµα a C είναι αντίρροπο του x. F επ = -ma C / - kx F επ = -F επ / kx 3F επ / = -kx F επ = -(k/3)x (4) H σχέση (4) εγγυάται ότι, η µεταφορική κίνηση της σφαίρας είναι απλή αρµονική ταλάντωση µε σταθερά επαναφοράς D=k/3. Επειδή κατά την έναρξη της ταλάντωσης του δίσκου (t=) το κέντρο µάζας του έχει αποµάκ ρυνση mgηµφ/k και µηδενική ταχύτητα το πλάτος της ταλάντωσης είναι Α=mgηµφ/k. Eξάλλου σύµφωνα µε τη σχέση () το µέτρο της στατικής τρι βής είναι: T = m a C / = F " (4) " / T = k x /3 (5) Όµως η κύλιση του δίσκου επιβάλλει για κάθε -Α x Α τη σχέση: (5) T nmg"# k x /3 nmg"# η οποία για x=α δίνει: ka/3 nmg"# k(mgµ" / k)/3 # nmg" n "µ# /3# n "# /3 (6) Η (6) αποτελεί τη ζητούµενη συνθήκη. ii) Η ιδιοστροφορµή L του δίσκου έχει αλγεβρική τιµή, που κάθε στιγµή δίνεται από τη σχέση: L = I = mr / όπου ω η αλγεβρική τιµή της γωνιακής του ταχύτητας. Όµως ισχύει και σχέση ω=v C /R, οπότε η προηγούµενη γράφεται: L = mrv C / L = mra D m "# D m t + ( * ) L = - mra k 3m µ " k # 3m t L = - mrgµ" m 3k µ # k 3m t ( P.M. fysikos