Σύνοψη Προηγούµενου Σχέσεις, Ιδιότητες, Αναπαράσταση Ισοδυναµίες, Μερικές ιατάξεις Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ανακλαστικές (, ) R Συµµετρικές (, ) R = (, ) R Αντισυµµετρικές (, ) R (, ) R = = Μεταβατικές (, ) R (, ) R = (, ) R Αναπαράσταση µε Πίνακες 0 Συνολοθεωρητικές Πράξεις (και µε Πίνακες). Σύνθεση Σχέσεων (και µε Πίνακες). υνάµεις Σχέσεων και Μεταβατικότητα. Κλειστότητες Σχέσεων (ανακλαστική, συµµετρική, µεταβατική) Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις / 8 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις / 8 Σχέσεις Ισοδυναµίας Σχέσεις Ισοδυναµίας η R είναι σχέση ισοδυναµίας αν: 0 0 0 0 0 0 0 0 Ανακλαστική, Μεταβατική, Μη Συµµετρική η R είναι ανακλαστική η R είναι συµµετρική η R είναι µεταβατική 0 0 0 0 0 0 0 0 Ανακλαστική, Συµµετρική, Μη Μεταβατική Συχνά γράφουµε για να δηλώσουµε ισοδυναµία του µε το. Σχέση Ισοδυναµίας: f f Π.χ., η (διµελής) σχέση R, συµβολοσειρών που έχουν ίδια τα τρία τελευταία σύµβολα, είναι σχέση ισοδυναµίας. Σε µια σχέση ισοδυναµίας δύο στοιχεία ενός συνόλου «σχετίζονται» αν µοιράζονται κάποια κοινές ιδιότητες ή ικανοποιούν κοινές προϋποθέσεις. Τότε τα στοιχεία του συνόλου που συνδέονται µέσω της σχέσης είναι ισοδύναµα ως προς τις κοινές τους ιδιότητες. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις / 8 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις / 8
Ποιές από τις παρακάτω είναι σχέσεις ισοδυναµίας; R = { (, ) : = ή = }, επί του Z. Κλάσεις Ισοδυναµίας Θεωρούµε σχέση ισοδυναµίας R επί συνόλου A Η κλάση ισοδυναµίας του στοιχείου A είναι: R = { (, ) : Z }, επί του R. [] R = { s A : (, s) R } R = { (, ) : = }, επί συµβολοσειρών ελληνικών γραµµάτων R = { (, ) : ο διαιρεί τον } επί του Z +. Θεώρηµα: Εστω R σχέση ισοδυναµίας επί συνόλου A. Για κάθε, A: R [] R = [] R [] [] R = { (, ) : < } επί του R. Είναι ανακλαστική, συµµετρική, αλλά όχι µεταβατική. Π.χ., x =.8, y =.9, z =.: xry, yrz, αλλά (x, z) R. Παράδειγµα: Για την R = { (, ) : = ή = }, επί του Z, ποιά είναι η κλάση ισοδυναµίας ενός ακεραίου; [0] = { 0 } και για κάθε 0: [] = {, } Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 5 / 8 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 6 / 8 Σχέσεις Μερικής ιάταξης Παρατηρήσεις Ορισµός: ιµελής σχέση R επί συνόλου A είναι σχέση µερικής διάταξης αν: Η R είναι ανακλαστική και η R είναι αντισυµµετρική και η R είναι µεταβατική. Συµβολίζουµε µε (A, R) ένα µερικώς διατεταγµένο σύνολο (που είναι «εφοδιασµένο» µε µια µερική διάταξη R επί του A). Ποιές από τις παρακάτω σχέσεις είναι µερικές διατάξεις; Η σχέση επί του συνόλου Z. Σε σχέση µ.δ. δύο στοιχεία σχετίζονται αν το ένα είναι «κατώτερο» του άλλου, σύµφωνα µε ορισµένα κριτήρια. Μπορεί δύο στοιχεία στο σύνολο να µη σχετίζονται στη σχέση µ.δ. Για το λόγο αυτό η διάταξη λέγεται µερική. Το σύνολο A µαζί µε τη σχέση µερικής διάταξης R επί του A λέγεται µερικώς διατεταγµένο σύνολο και συµβολίζεται µε (A, R). Συχνά συµβολίζουµε µια σχέση µερικής διάταξης µε : Η σχέση «ο διαιρεί τον» επί του Z +. Η σχέση επί του P(S), για οποιοδήποτε σύνολο S. Η R επί συνόλου προσώπων: R = {(x, y) : ο x είναι πιο ηλικιωµένος από τον y} «µικρότερο ίσο» από το : «µικρότερο» από το : και «µεγαλύτερο ίσο» από το : Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 7 / 8 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 8 / 8
Αλυσίδες και Αντιαλυσίδες Αλυσίδα: υποσύνολο µ.δ. (A, ), κάθε στοιχεία του οποίου σχετίζονται στην. Λέγεται και ολικώς διατεταγµένο. Κάθε αλυσίδα {,,..., k } µε πεπερασµένο πλήθος k στοιχείων: έχει στοιχείο i που είναι µικρότερο από τα υπόλοιπα, έχει στοιχείο i που είναι µικρότερο από τα υπόλοιπα, εκτός του i, κ.ο.κ. Αντιαλυσίδα: υποσύνολο µ.δ. (A, ), κάθε στοιχεία του οποίου δε σχετίζονται στη ιαγράµµατα Hss Μέθοδος δηµιουργίας διαγράµµατος Hss:. Απεικονίζουµε γραφικά, µε προσανατολισµό ακµών προς τα πάνω.. Αφαιρούµε ακµές που αντιστοιχούν σε R για κάθε A.. Επαναλαµβάνουµε, όσο είναι εφικτό: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Αλυσίδες: {,,, }, {}, {,, }, {,, } Αντιαλυσίδες: {, }, {, }, {}. Σηµαδεύουµε κάθε ακµή που αναπαριστά x y, αν υπάρχει z S ώστε: x z και z y. Αφαιρούµε τις σηµαδεµένες ακµές. 5. Αφαιρούµε τις κεφαλές (κατευθύνσεις) των εναποµείναντων ϐελών. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 9 / 8 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 0 / 8 ιαγράµµατα Hss: Παράδειγµα Το διάγραµµα Hss του µερικώς διατεταγµένου ( {,,, }, ): Παράδειγµα Το διάγραµµα Hss της µερικής διάταξης επί του {,,,, 6, 8, }: {(, ) : ο διαιρεί τον } 8 8 6 6 Βήµα. Βήµα. Βήµα -. Βήµα 5. Αρχικό πλήρες διάγραµµα ιάγραµµα Hss Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις / 8 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις / 8
Παράδειγµα Το διάγραµµα Hss του µερικώς διατεταγµένου (P({,, }), ). Μέγιστα και Ελάχιστα Στοιχεία Σε µερικώς διατεταγµένο σύνολο (A, ): Το A είναι µεγιστικό (mximl) στοιχείο αν δεν υπάρχει A µε. {,, } {,, } ισοδύναµα, αν για κάποιο A, τότε = {, } {, } {, } {, } {, } {, } Το A είναι ελαχιστικό (miniml) στοιχείο αν δεν υπάρχει A µε. ισοδύναµα, αν για κάποιο A, τότε =. Το A είναι µέγιστο (mximum) στοιχείο αν για κάθε A. {} {} {} {} {} {} ιάγραµµα Hss το µέγιστο είναι µοναδικό, αν υπάρχει. Το A είναι ελάχιστο (minimum) στοιχείο αν για κάθε A. το ελάχιστο είναι µοναδικό, αν υπάρχει. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις / 8 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις / 8 Ποια στοιχεία του µερικώς διατεταγµένου συνόλου ({,, 5, 0,, 0, 5}, ) είναι µεγιστικά και ποιά ελαχιστικά; Ποιά από τα παρακάτω µερικώς διατεταγµένα σύνολα έχουν µέγιστο/ελάχιστο στοιχείο; 0 Μεγιστικά:, 0, 5 0 5 Ελαχιστικά:, 5 5 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 5 / 8 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 6 / 8
Ανω και Κάτω Φράγµατα. Στο απεικονιζόµενο µερικώς διατεταγµένο σύνολο: Σε µερικώς διατεταγµένο σύνολο (A, ): Το A είναι άνω φράγµα των στοιχείων του S A, αν για κάθε S. Ποιά τα άνω και κάτω ϕράγµατα των υποσυνόλων: {,, } ; άνω:, f, h, j, κάτω: { j, h } ; άνω δεν έχουν, κάτω:,,,,, f g h j f είναι ελάχιστο άνω φράγµα των στοιχείων του S A, αν δεν υπάρχει άνω ϕράγµα A \ {} των στοιχείων του S µε. Το A είναι κάτω φράγµα των στοιχείων του S A, αν για κάθε S. είναι µέγιστο κάτω φράγµα των στοιχείων του S A αν δεν υπάρχει κάτω ϕράγµα A \ {} των στοιχείων του S A µε. Παρατήρηση: Τα άνω και κάτω ϕράγµατα δεν ανήκουν απαραίτητα στο S A. {,,, } ; άνω: f, h, j, κάτω: Ποιό το µέγιστο κάτω και ελάχιστο άνω ϕράγµα του υποσυνόλου {,, g }; µέγιστο κάτω:, ελάχιστο άνω: g. Να ϐρεθούν το µέγιστο κάτω και ελάχιστο άνω ϕράγµα στο ( Z +, ), των συνόλων: (όπου είναι η σχέση «ο διαιρεί τον» ) {, 9, } και {,,, 5, 0 } Μέγιστοι Κοινοί ιαιρέτες και Ελάχιστα Κοινά Πολλαπλάσια αντίστοιχα. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 7 / 8 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 8 / 8