η Εργασία 005-006 (Καταληκτική ημερομηία αποστολής 5//005) Άσκηση (0 μοάδες). (α) Δείξτε αλγεβρικά πώς βρίσκοται δύο διαύσματα A και B, εά είαι γωστά το άθροισμά τους S και η διαφορά τους D (β) Βρείτε το μοαδιαίο διάυσμα της συισταμέης τω διαυσμάτω r = iˆ+ 4ˆj 5ˆ και r = iˆ+ ˆj+ kˆ k (γ). Δείξτε ότι οι διαγώιοι εός ρόμβου είαι κάθετοι μεταξύ τους. Λύση (α) Ισχύου οι σχέσεις A+ B= S A B= D A= S+ D A= ( S+ D) B = S D B = ( S D) (β) Η συισταμέη τω διαυσμάτω είαι R = r + r = iˆ+ 4ˆj 5kˆ + iˆ+ ˆj+ kˆ = iˆ+ 6ˆj ˆ k ( ) ( ) Το μέτρο του διαύσματος είαι R = R = + + = ( ) 6 7 Επομέως το μοαδιαίο διάυσμα είαι ˆ 6ˆ ˆ ˆ R i + j k ˆ 6 ˆ R = = = i + j k ˆ R 7 7 7 7
(γ) P A Ο B Ο Ο Q R OQ = OP + PQ = A + B OP = OR + RP ή A= B+ RP RP= A B Επομέως, OQ RP = A + B A B = A B = 0 ( ) ( ) αφού A = B επειδή είαι ρόμβος. Συμπερασματικά, τα διαύσματα που παριστού τις διαγώιες του ρόμβου τέμοται κάθετα μεταξύ τους.
Άσκηση (0 μοάδες). (α) Αποδείξτε ότι σε έα τρίγωο ισχύει sin A sin B sin C = = b c Η σχέση αυτή είαι γωστή ως ο Νόμος τω Ημιτόω για Τρίγωα. (β) Προσδιορίστε τις γωίες α, β και γ τις οποίες σχηματίζει έα διάυσμα r = xiˆ+ j ˆ+ zkˆ με τις θετικές κατευθύσεις τω αξόω σε ορθογώιο σύστημα συτεταγμέω και δείξτε ότι cos α + cos β + cos γ = Λύση (α) c Α b Β C Από το σχήμα προκύπτει ότι + b+ c = 0 Σχηματίζουμε το εξωτερικό γιόμεο της σχέσης αυτής διαδοχικά με, b και c ( ) ( ) ( ) + b + c = + b+ c = b+ c = 0 b + b+ c = b + b b+ b c = b + b c = 0 c + b + c = c + c b+ c c = c + c b = 0 Από τις σχέσεις αυτές προκύπτου οι σχέσεις b = c b = b c c = b c Ααπτύσσοτας τα εξωτερικά γιόμεα παίρουμε bsin C = c sin B bsin C = bcsin A c sin B = bcsin A
και τελικά sin A sin B sin C = = b c (β) Από το σχήμα προκύπτει ότι το τρίγωο ΟΑΡ είαι ορθογώιο με ορθή γωία τη OAP x cosα = r και επομέως ισχύει Επίσης από τα ορθογώια τρίγωα OBP και OCP προκύπτου οι σχέσεις z cos β = και cosγ = r r όπου r = r = x + + z Από τις σχέσεις αυτές, υψώοτας στο τετράγωο, προκύπτει η σχέση x z x + + z r cos α + cos β + cos γ = + + = = = r r r r r
Άσκηση (0 μοάδες). (α) Βρείτε τη οξεία γωία μεταξύ τω διαγωίω εός τετραπλεύρου με κορυφές Ο(0,0,0), Α(,,0), Β(4,6,0), C(,,0). Υπόδειξη: Να γίει αρχικά το σχήμα. (β). Δίοται τα διαύσματα A= iˆ ˆj+ 4kˆ και διάυσμα που είαι κάθετο στο επίπεδο τω δύο διαυσμάτω. Λύση (α) B = iˆ+ ˆj kˆ. Βρείτε το μοαδιαίο Β C θ Α Ο Η γωία μεταξύ τω OB και CA υπολογίζεται από τη σχέση ( OB) ( CA) = OB CA cosθ ( OB) ( CA) cosθ = OB CA OB = ( 4 0) iˆ+ ( 6 0) ˆj + ( 0 0) kˆ = 4iˆ+ 6ˆj CA = OA OC = iˆ+ ˆj iˆ+ ˆj = iˆ ˆj Επομέως ( ) ( ) ( iˆ ˆj) ( iˆ ˆj) 4 + 6 4 6 cosθ = = = = 0,4 ( ) ( 5 )( 5) ( 5 )( 5) ( 4 + 6 ) + ( ) θ = rccos 0,4 = 8,87 o (β). Το εξωτερικό γιόμεο τω A και B είαι διάυσμα C κάθετο στο επίπεδο που ορίζου τα διαύσματα αυτά. Υπολογίζουμε το διάυσμα αυτό.
iˆ ˆj kˆ C = A B= 4 = 4 4 iˆ 6 4 ˆj+ + kˆ= 0ˆj+ 5kˆ Το μέτρο του C είαι ίσο προς C = 0 + 5 = 5 = 5 5 ( ) ( ) ( ) Επομέως, το ζητούμεο μοαδιαίο διάυσμα είαι C 0 ˆj+ 5kˆ ˆ uˆ = = = j+ k ˆ C 5 5 5 5
Άσκηση 4 (0 μοάδες). (α) I. Εά A =, B = 4, C = 5 και A+ B+ C = 0 τι μπορεί α λεχθεί για τα διαύσματα A, B, C ; II. Εά A και B είαι διαύσματα που έχου αρχή το σημείο Ο προς τα σημεία Α και Β ατίστοιχα και Ρ είαι το μέσο του διαύσματος B A, βρείτε το διάυσμα OP (β) Αποδείξτε ότι δύο διαύσματα έχου ίσα μέτρα, εά το άθροισμά τους και η διαφορά τους είαι διαύσματα κάθετα μεταξύ τους. (γ) Δίεται ότι A = B = C = και A B+ B C =. Να δειχθεί ότι A= C και τα διαύσματα B και C είαι ατιπαράλληλα. Λύση (α) I. Από τη σχέση A+ B+ C = 0 προκύπτει ότι A+ B= C A+ B A+ B = A + A B cos AB + B = C C = C ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A + B = C + 4 = 5 9+ 6= 5 ABcos ( AB) = 0 cos ( AB) = 0 ( AB) = 90 o Επομέως τα διαύσματα σχηματίζου ορθογώιο τρίγωο.
II. B Β OP Ρ A Α Ο C+ OP= B ( B A) + OP= B OP= B B A = B B+ A= B+ A= A+ B ( ) ( ) (β) Θεωρούμε τα διαύσματα A και B. Το άθροισμά τους είαι A+ B και η διαφορά τους A B. Αφού τα διαύσματα είαι κάθετα, τότε το εσωτερικό τους γιόμεο είαι ίσο προς μηδέ. Επομέως, θα έχουμε. ( A+ B) ( A B) = 0 AA AB + AB BB = A B = 0 A = B (γ) Έχουμε A B + B C = A B cos AB + B C cos BC = ( ) ( ) Επειδή τα μέτρα τω διαυσμάτω είαι ίσα, προκύπτει ότι cos ( AB) + cos ( BC ) = Από τη σχέση αυτή προκύπτει ότι cos ( AB) = cos ( BC ) = και οι γωίες είαι
( AB) = ( BC ) = π Συεπάγεται λοιπό ότι τα διαύσματα A= C και τα διαύσματα B και C είαι ατιπαράλληλα. Άσκηση 5 (0 μοάδες). Εά ˆ ˆ ˆ r = i j+ k, r = iˆ+ ˆj kˆ, υπολογίστε τα, b και c ώστε α ισχύει r = r + br + cr 4 r = ˆ i + ˆj kˆ και r ˆ 4 = iˆ+ ˆj+ 5k Λύση Ζητείται α ισχύει ( ) ( ) ( ˆ) iˆ+ ˆj+ 5kˆ= iˆ ˆj+ kˆ + b iˆ+ ˆj kˆ + c iˆ+ ˆj k = = ( + ) ˆ+ ( + + ) ˆ+ ( ) b c i b c j b c kˆ θα πρέπει λοιπό α επιλυθεί το σύστημα + b c= + b+ c= b c= 5 Η ορίζουσα τω συτελεστώ είαι = 4 και = 5 8 = = 4 b = 5 4 = = 4
5 4 c = = = 4 Τελικά προκύπτει r r 4 = r + r Άσκηση 6 (0 μοάδες). α) Να εξεταστεί α υπάρχου τετραγωικοί πίακες Χ και Υ που επαληθεύου τις ισότητες: X = και Y 0 = 0 α b β) Να υπολογιστεί επαγωγικά η -οστή δύαμη του πίακα Α= 0 b, Rκαι α 0 όπου 0 0 γ) Έστω ο πίακας A = 0.. Να βρεθεί ο πίακας B = A λi όπου λ R και α βρεθού οι τιμές του λ που επαληθεύου τη εξίσωση det( B ) = 0. Οι τιμές αυτές λέγοται ιδιοτιμές του πίακα Α. Για κάθε ιδιοτιμή του πίακα Α (λ i ) α βρεθεί ο x πίακας Χ i που T T ικαοποιεί τη εξίσωση ( A λii ) Xi = 0. Οι πίακες Χ i οομάζοται αριστερά ιδιοδιαύσματα του πίακα Α.. Υπολογίστε το πίακα PAP όπου P ο x πίακας που έχει ως γραμμές X τους πίακες Χ i δηλαδή P= X X 4. Υπολογίστε το πίακα Α * όπου Ν Λύση α) Θέτουμε x X = z ω οπότε έχουμε
x x+ z + ω x+ z = z ω = = x z ω + + + ω = Η λύση του συστήματος αυτού είαι x=α =b z=-α ω=-b με α b οι πίακες της μορφής X = όπου b b, R b, R. Άρα όλοι x Θέτουμε Y = z ω οπότε έχουμε ( x+ ) = x 0 x x 0 x 0 + + + = z ω = 0 z ω z ω = 0 + + ( z+ ω) = 0 z + ω = Το παραπάω σύστημα είαι αδύατο άρα δε υπάρχει πίακας Y που α επαληθεύει τη εξίσωση β) b α b α b α ( + ) Α = = 0 0 0 b b 4 α b α ( + ) α ( + + ) 0 0 0 Α = = Υποθέτουμε ότι ισχύει τότε α v Α = 0 b + + + ( ) (... ) b b α ( + +... + ) α b α α b+ ( + +... + ) 0 0 0 + b ( + +... + + ) + ( ) + ( ) v+ v Α =Α Α= = = α 0 + ( ) Επομέως ο τύπος ισχύει και για το + επομέως ισχύει για κάθε >
γ) λ 0 0 B= A λi = λ λ λ 0 0 [ ] det( B) = λ = ( λ) λ( λ+ ) + = ( λ )( λ + λ+ ) = ( λ )( λ+ )( + ) λ λ Άρα οι ιδιοτιμές είαι οι : λ =, λ =- και λ =- Ιδιοτιμή λ 0 0 x T T ( A λii ) Xi = 0 0 0 0 0 = 0 0 0 0 z 0 x z = 0 z 0 0 0 = = = 0 + z = 0 4z = 0 z = 0 0 4z 4z = 0 Άρα [ ] X = 0 0, R Ιδιοτιμή λ 0 0 x T T ( A λii ) Xi = 0 0 0 0 0 = 0 0 0 0 z x x+ z = 0 x z 0 = = 0 + z = 0 = z 0 z z = 0 Άρα [ ] X =, R Ιδιοτιμή λ
0 0 x T T ( A λii ) Xi = 0 0 0 0 0 = 0 0 0 0 z x x+ z = 0 z x = 0 0 0 = + z = z 0 z z 0 = = Άρα X =, R Ο πίακας P είαι 0 0 P= Η ορίζουσά του και οι ελάσσοες ορίζουσες είαι: 0 0 det( P) = = ( + ) = Θα πρέπει α 0 και α 0 και α 0. Τότε: P = = P = = P = = + =0 0 0 0 0 P = = 0 P = = P = = 0 0 0 0 P = = 0 P = = P = = οπότε ο ατίστροφος είαι:
0 0 0 0 = = 0 0 P 0 0 0 0 0 0 PAP 0 = = 0 0 0 0 0 0 0 λ 0 0 = 0 0 0 λ 0 = 0 0 0 0 λ 0 Παρατηρούμε ότι
0 0 PA P = P( A A ) P = PA P PAP = PAP PAP... PAP = 0 ( ) 0 0 0 ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 Α = P 0 ( ) 0 P= 0 ( ) 0 = 0 0 ( ) 0 0 ( ) 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( + + ) ( ) 0 Άσκηση 7 (0 μοάδες). α) Να λυθού τα συστήματα I. x z = 4 x+ 4 z = x + 4z = II. x+ + z = 4 x+ + z = x+ + z = 4 β) Να λυθεί και α διερευηθεί για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου λ R το σύστημα ( λ + ) x+ + z = λ λx+ ( λ ) + z = λ ( λ+ ) x+ λ+ ( λ+ ) z =
γ) Να λυθεί και α διερευηθεί, για τις διάφορες τιμές τω παραμέτρω b, R, το σύστημα x + b + z = x + b + z = b x+ b+ z = Λύση α) I. Η ορίζουσες του συστήματος είαι: Δ= 4 = 60 4 4 4 4 Δ x = 4 = 80, Δ z = 4 = 60, Δ = = 60 4 4 Επομέως η μοαδική λύση είαι η (,,) II. Οι ορίζουσα του συστήματος είαι: Δ= = και επομέως η μοαδική λύση είαι: 4 4 4 x = = = = z = = 4 4 4 β) Η ορίζουσα του συστήματος είαι λ + Δ= λ λ = λ+ λ λ+ [ ] [ ] ( λ+ ) ( λ )( λ+ ) λ λ( λ+ ) (λ+ ) + λ ( λ )(λ+ ) = ( λ )( λ λ ) ( λ ) ( λ λ ) + + + + = λ + λ λ+ λ + λ 9 λ + + λ 6λ + 6= λ λ λ λ = ( ) Οι υπόλοιπες ορίζουσες είαι:
λ Δ = λ λ = x λ λ+ [ ] [ ] λ ( λ )( λ+ ) λ λ( λ+ ) + λ ( λ ) = λλ + λ λ + λ + λ λ+ = ( ) ( 6 ) 4 6 6 + 6 + + 4 6 + 6= λ λ λ λ λ λ λ + 5 + 9 λ λ λ λ+ λ Δ = λ λ = ( λ+ ) λ+ [ ] [ ] [ ( λ+ ) λλ ( + ) λλλ ( + ) ( λ+ ) + λ 6 λλ ( + ) ]= λ+ λ + λ λ λ + λ λ λ λ = ( )( 6 ) ( ) 6 λ + λ λ+ λ + λ λ + λ λ λ = 6 6 8 9 6 λ + λ 9 λ+ λ Δ = λ λ λ = z λ+ λ [ ] λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ ( + ) ( ) ( + ) + ( )( + ) λ+ λ + λ λ λ + λ λ λ + = ( )( ) ( 6 ) ( ) λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ + 6 + 9 9+ 6 + + + = λ + λ + λ 4 9. Α λ 0, λ τότε το σύστημα έχει μόο μια λύση τη Δ Δ x Δ z x =, =, z= Δ Δ Δ. Α λ=0 τότε Δ = 9, Δ = 9 Δ = 9 και το σύστημα είαι αδύατο x. λ= τότε z = Δ =, x Δ = 4 Δ = z και το σύστημα είαι αδύατο γ) b ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) Δ= b = b b b + b b = b + b b = b [ ] ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) = b + = b + = b +. b 0,,
Τότε Δ 0 και το σύστημα έχει μόο μια λύση: b, b + b x= z = = ( )( + ) b( )( + ). b = 0 Τότε 0 0 Δ = 0 0 = 0, Δ = 0 = ( ) + = +, Δ = 0 0 0 = 0 x z 0 0. Α, τότε αφού δε είαι όλες οι ορίζουσες μηδεικές, το σύστημα είαι αδύατο. b. Α =τότε το σύστημα γίεται: x+ z = x + z = 0 το οποίο είαι αδύατο x+ z =. = Τότε το σύστημα γίεται x + b + z = x + b + z = x+ b+ z = x + b + z = b x + b + z = b x b z b x b z x b z + + = + + = + + = x+ + z = b = Επομέως το σύστημα είαι αδύατο α b εώ για b= έχει άπειρες λύσεις της μορφής ( z,, z) με, z R 4. α=- Τότε b Δ x = b b = b b = b[ ( b ) + ( b+ ) ] = b(b+ 6) = b( b+ ) b Δ = b = ( b ) ( ) + ( b) = 4b+ + + b= b+ 6 = ( b+ ) b Δ z = b b = b b = b[ ( b) ( b) + (+ ) ] = b b(4 + b + b+ ) = b( b+ ) Δεδομέου ότι b 0 (η περίπτωση b=0 έχει εξεταστεί) συμπεραίουμε ότι α b - τότε το σύστημα είαι αδύατο. Α b=- τότε το σύστημα έχει άπειρες λύσεις. Το σύστημα γίεται:
x + z = x + z = x z x = z x+ 4+ z = x+ 4+ z = x+ 4+ z = x z = x = z = z Επομέως το σύστημα έχει άπειρες λύσεις της μορφής (, z z,) z με z R Άσκηση 8 (0 μοάδες). α) Δίεται η εξίσωση x -0x + λ με ρίζες ρ, ρ. Υπολογίστε το λ. i) α οι ρίζες είαι πραγματικές ii) α οι ρίζες είαι ίσες iii) α οι ρίζες είαι ατίστροφες iv) α μία ρίζα είαι κατά 4 μεγαλύτερη από τη άλλη v) α ισχύει ρ - 4ρρ + ρ = 50 vi) α ρ =λ και τις ρίζες ρ, ρ vii) α ρ + ρ - 5(ρ + ρ ) < 0 β) Να βρείτε το κ R ώστε η ελάχιστη τιμή της παράστασης κ(-x) +(-κ) x α είαι όσο το δυατό μεγαλύτερη. γ) Δίεται η συάρτηση = x + (p+ )x+ p. Να καθορίσετε τις τιμές του p για τις οποίες η γραφική της παράσταση. εφάπτεται στο άξοα xx b. έχει άξοα συμμετρίας το c. έχει για κορυφή έα σημείο με τεταγμέη 4 Λύση α) i) Η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές εά Δ 0 ( 0) 4 λ 0 00 4λ 0 λ 5 λ 5 5 λ 5 ii) Έχει ρίζες ίσες εά λ = 5 λ=± 5 iii) Α οι ρίζες ρ, ρ είαι ατίστροφες θα ισχύει ρ ρ =. Από τους τύπους του Viet ισχύει ρ ρ =λ και άρα λ = λ=± iv) Έστω ότι η ρίζα ρ είαι κατά 4 μεγαλύτερη της ρ τότε θα είαι ρ = ρ +4 (). Από τους τύπους του Viet έχουμε επίσης ρ + ρ =0 () και ρ ρ =λ ()
Άρα από το σύστημα τω () () () λ = λ=± Τελικά ρ =7, ρ =, λ =± v) Από τους τύπους του Viet έχουμε ( ) ρ + ρ =0 και ρ ρ =λ οπότε η σχέση ρ -4ρρ + ρ = 50γίεται διαδοχικά ρ-4ρρ + ρ = 50 ρ + ρ -4ρρ = 50 [ ρ + ρ - ρ ρ]-4ρρ = 50 ( ) ( ) 0 λ 4λ = 6 00 6λ 4λ = 50 0λ = 50 λ = 5 λ=± 5 vi) επειδή μια ρίζα της εξίσωσης x -0x+ λ είαι η ρ=λ α θέσουμε στη εξίσωση όπου x=λ αυτή επαληθεύεται δηλαδή έχουμε λ -0λ+ λ = 0 λ 0λ= 0 λ( λ 5) = 0 λ= 0 ή λ = 5 α λ=0 τότε η εξίσωση x -0x + λ =0 γίεται x -0x =0 x= 0 ή x= 0 α λ=5 τότε τότε η εξίσωση x -0x + λ =0 γίεται x -0x + 5 = 0 η οποία έχει Δ=0 δηλαδή έχει ρίζες ίσες με β 0 ρ= ρ = = = 5 α vii) Από τους τύπους του Viet έχουμε ρ + ρ =0 και ρ ρ =λ οπότε η σχέση ρ + ρ - 5(ρ + ρ ) < 0 γίεται ( ) ( ) ( ) ρ + ρ - 5(ρ + ρ ) < 0 ρ + ρ ρρ ρ+ ρ 5 ρ+ ρ < 0 0 λ 0 5 0 < 0 000 0λ 50 < 0 0λ + 750 < 0 λ > 5 λ> 5 λ< 5ήλ> 5 β) Η παράσταση γίεται κ(-x) +(-κ) x =κ(-x+x )+x -κx = x -κx+κ η οποία είαι τριώυμο ως προς x και επειδή α=>0 το τριώυμο έχει ελάχιστο που ισούται με -Δ 4κ -4κ =- =-κ + κ 4α 4 αλλά και η παράσταση αυτή είαι τριώυμο ως προς κ: -κ +κ=0 και επειδή α=-<0 έχει μέγιστο ότα β κ = - κ= κ= α ( ) Άρα για τη τιμήη κ=/ η ελάχιστη τιμή της παράστασης είαι όσο το δυατό μεγαλύτερη.
γ). Η γραφική παράσταση είαι παραβολή και εφάπτεται στο άξοα xx μόο α Δ=0 δηλαδή ( ) (p+ ) 4p = 0 p = 0 p = b. Η παραβολή έχει άξοα συμμετρίας το μόο ά η συάρτηση είαι άρτια δηλαδή α ισχύει f(-x)=f(x) x Rδηλαδή x (p+ )x + p = x + (p+ )x + p (p+ )x = 0 που θα ισχύει x Rάρα και για x 0μόο α p= -. c. Η κορυφή της παραβολής είαι το σημείο M β β,f α α δηλαδή το p+ p+ σημείο M,f p Άρα θα πρέπει f + =-4 που γράφεται p p + + + (p+ ) + p = 4 (p+ ) (p+ ) + 4p = 6 p p 5 = 0 Η τελευταία εξίσωση έχει ρίζες p =- και p =5. Άσκηση 9 (0 μοάδες). α) Δίοται οι εξισώσεις x -4αx-0= 0 () x + x - (α +) = 0 () με α R Να βρείτε το α και τις ρίζες της εξίσωσης () α γωρίζετε ότι μία ρίζα της () είαι ίση με το άθροισμα τω τετραγώω τω ριζώ της (). x -x+ β) Να δείξετε ότι το κλάσμα παίρει θετικές τιμές x +x+ διάστημα στο οποίο αυτές περιέχοται. x R και α βρείτε το Λύση α) Έστω x, x οι ρίζες της () τότε έχουμε
β γ x + x = ( x+ x) xx = = ( ) [ ( α+ )] = 4+ α + = 6+ α α α Αλλά α ρ είαι μία ρίζα της (0 θα έχουμε ρ = x + x ρ= α + 6 Επειδή η ρ είαι ρίζα της () θα τη επαληθεύει δηλαδή ( ) ( ) α + 6 4α α+ 6 0 = 0 4α + 4α + 6 8α 4α 0 = 0 ( ) α 4 + 6= 0 α 4= 0 α= ή α = ) ότα α= οι () και () γίοται x -8x-0=0 () x +x-=0 (4) οι ρίζες της () είαι 8± 64+80 x =0 x, = = x = - οι ρίζες της (4) είαι - ± 4 + x = x, = = x = - b) ότα α =- οι () και () γίοται x +8x-0=0 (5) x +x+=0 (6) οι ρίζες της (5) είαι -8 ± x = x, = = x = -0 οι ρίζες της (6) είαι - ± 4-4 - x, = = =-διπλή ρίζα - β) Ο αριθμητής του κλάσματος είαι πάτοτε θετικός γιατί Δ =(-) -4 =-<0 και α=>0. Όμοια ο παροομαστής του κλάσματος είαι πάτοτε θετικός γιατί Δ = - 4..=-<0 και α=>0 Άρα το κλάσμα είαι πάτοτε θετικό γιατί είαι πηλίκο δύο θετικώ αριθμώ x Για α βρούμε τις τιμές του κλάσματος θέτουμε R
x -x+ = ( x + x+ ) ( x x+ ) = 0 x + x+ x + x = 0 x + x+ x x 0 ( ) ( ) + + + = και επειδή x R πρέπει ( ) ( )( ) Δ 0 + 4 0 ( ) + + 4 + 0 + + 4 + 0 + 0 0 Το τριώυμο έχει Δ=0-4(-)(-)=00-6=64>0 και α=-<0 άρα γίεται θετικό ετός του διαστήματος τω ριζώ 0+ 8 0 8 0 8 = = = ± ± 6 6, = = ( ) 6 0 8 8 = = = 6 6 Επομέως + 0 0 x -x+ Άρα x + x+ Άσκηση 0 (0 μοάδες) α) Δίεται η συάρτηση f : R R + με τύπο f ( x) = x x. Να εξετάσετε α η f είαι ατιστρέψιμη. x για x< 0 β) Θεωρούμε τη συάρτηση f : R R με τύπο f( x) = x+ λ για x 0 I. Να προσδιοριστεί ο λ R, ώστε η f α είαι ατιστρέψιμη II. Να προσδιοριστεί η ατίστροφη συάρτηση Λύση α) Ο τύπος της f γράφεται:
4x α x< 4x+ x< f( x) = 4x α x< x α x x+ α x Για α είαι ατιστρέψιμη η συάρτηση θα πρέπει α είαι «-» και «επί». Παρατηρούμε ότι α x (, )τότε f( x) (0, + ) α x [,) τότε f( x) [0,6) που είαι υποσύολο του (0, + ) Άρα για κάποιο x q του διαστήματος (, ) θα δίει τη ίδια τιμή με έα x από το [,). Πράγματι πχ f(0)=f()= άρα η f δε είαι «-» οπότε δε είαι ατιστρέψιμη. β) Θα εξετάσουμε α είαι «επί» Για κάθε x που αήκει στο πεδίο ορισμού της f έχουμε: x < 0 x > 0 x < 0 x < x 0 x+ λ λ f( x) λ f( x) λ Για α είαι η συάρτηση «επί» θα πρέπει λ λ Θα εξετάσουμε α είαι «-». Για κάθε ζευγάρι από άισα στοιχεία x, x (,0) έχουμε x x x x x x f( x ) f( x. Για κάθε ζευγάρι από άισα στοιχεία x, x [ 0, ] x x x + λ x + λ f( x ) f( x ) ) + έχουμε. Για κάθε ζευγάρι από άισα στοιχεία x < 0, x 0 έχουμε f( x) < και f( x) λ. Επομέως θα πρέπει α ισχύει λ λ Άρα τελικά λ= x με (,0) (,] Επομέως ο τύπος της συάρτησης γίεται f( x) = x + με [0, + ) [, + ) και έχουμε: x για x< 0 για < < = x= x+ για x 0 για <