Teodo HUIDU onel IN PLEE EZLVTE DE ENIĂ ecenz ştnţfcă: Pof. d. n. Ncole Enescu Pof. d. n. Ion Ş
PLEE EZLVTE DE ENIĂ Descee IP blotec ntonle omâne HUIDU, TED Pobleme ezolte de mecncă / Teodo Hudu, onel n. - Tâoşte : Edtu ce, 6p; 5cm - (Unest) blo. ISN 97-85 - 6-5 I. n, onel 5(76) onsle edtol: h VLD Tehnoedcte computeztă: onel IN - Tote deptule sunt ezete utolo
PLEE EZLVTE DE ENIĂ UPINS PEŢĂ PITLUL I STTI PUNTULUI TEIL Elemnte de bză dn teo ectolo. ezumt.. Sttc punctulu mtel. Pobleme dn teo ectolo... educee unu sstem de foţe concuente coplne. Pobleme ezolte.. educee unu sstem de foţe concuente spţle. Pobleme ezolte Echlbul punctulu mtel lbe ş supus l leătu. om leătulo ezumt. Echlbul punctulu mtel lbe. Pobleme ezolte.5 Echlbul punctulu mtel supus l leătu dele ş ele. Pobleme ezolte Pobleme popuse PITLUL II EDUEE SISTEEL DE ŢE educee stemelo de foţe plcte soldulu d. ezumt.. educee sstemelo coplne de foţe ş cuplu. Pobleme ezolte.. educee sstemelo de foţe plele. Pobleme ezolte... educee sstemelo spţle de foţe ş cuplu. Pobleme ezolte PITLUL III ENTE DE SĂ SI ENTE DE EUTTE ente de msă ş cente de eutte. ezumt. entul de msă pentu be omoene. Pobleme ezolte.. entul de msă pentu plăc omoene. Pobleme ezolte.. entul de msă pentu copu omoene. Pobleme ezolte. PITLUL IV EHILIUL ŢEL PLITE SLIDULUI IID Teoemele echlbulu foţelo plcte soldulu d. ezumt.. Echlbul soldulu d lbe sub cţune unu sstem spţl de foţe... Echlbul soldulu d de tp plcă su bă supus l leătu sub cţune unu sstem copln de foţe. PITLUL V EHILIUL SISTEEL DE PUI Teoemele echlbulu foţelo plcte sstemelo de copu. ezumt 5.. Echlbul sstemelo plne de copu de tp bă. Pobleme ezolte 5.. Echlbul sstemelo plne de copu cu fâne de tp sbot, tmpon su bndă. Pobleme ezolte PITLUL VI INZI U ZĂELE Echlbulu foţelo plcte nzlo cu zăbele. ezumt
PLEE EZLVTE DE ENIĂ nz cu zăbele. Pobleme ezolte. PITLUL VII EHILIUL IEL ENE Echlbul felo omoene. ezumt. Pobleme ezolte de echlbul felo omoene PITLUL VIII INETI IŞĂII SLUTE PUNTULUI TEIL Pobleme ezolte de cnemtc mşcă bsolute punctulu mtel PITLUL IX DINI IŞĂII SLUTE PUNTULUI TEIL Pobleme ezolte de dnmc mşcă bsolute punctulu mtel PITLUL X INETI IIDULUI ŞI SISTEEL DE IIDE Pobleme ezolte de cnemtc dulu ş sstemelo de de Pobleme popuse PITLUL XI INETI IŞĂII ELTIVE PUNTULUI TEIL Pobleme ezolte de cnemtc mşcă bsolute punctulu mtel Pobleme popuse PITLUL XII DINI IŞĂII ELTIVE PUNTULUI TEIL Pobleme ezolte de dnmc mşcă bsolute punctulu mtel Pobleme popuse PITLUL XIII DINI IIDULUI ŞI SISTEEL DE IIDE Pobleme ezolte de dnmc dulu ş sstemelo de de Pobleme popuse PITLUL XIV ENIĂ NLITIĂ Pncpul luculu mecnc tul ş pncpul lu d lembet. Pobleme ezolte Ecuţle lu Lne de speţ dou. Pobleme ezolte.
PLEE EZLVTE DE ENIĂ 5 PEŢĂ cestă luce este ezulttul epeenţe utolo în pede cusulu de ecnc teoetcă, studenţlo cultăţlo de nnee dn cele două cente uneste: Unestte Petol-ze Ploeşt ş Unestte Vlh Tâoşte. Luce cupnde cptole ş nume: Sttc punctulu mtel, Elemente de bză dn teo ectolo, educee foţelo plcte soldulu d, ente de msă ş cente de eutte, Echlbul foţelo plcte soldulu d, Echlbul sstemelo de copu, nz cu zăbele ş Echlbul felo omoene, nemtc punctulu mtel, Dnmc punctulu mtel, nemtc mşcă elte punctulu mtel, Dnmc mşcă elte punctulu mtel, nemtc dulu ş sstemelo de de, Dnmc dulu ş sstemelo de de, Elemente de mecncă nltcă. Pmele şpte cptole conţn câte un scut ezumt de teoe pentu înţeleee poblemelo ezolte ş ce sunt în cod cu Pom nltcă cusulu de ecncă pedt studenţlo în nul I ş II l fcultăţle tehnce. S-u pezentt cnc lotm de ezole uno pobleme de Sttcă cu jutoul pomulu cosoft EXEL, cu cîte un eemplu concet pentu fece cz. Unele plcţ sunt nspte dn pctc nneescă, ltele u fost cete de uto de- lunul nlo, c subecte de emen. ceste u un d de dfcultte medu, fnd ccesble studenţlo dn n I ş II de l poflule mecnc, metluc, electc, etc. om de pezente clă pune în edenţă epeenţ în cttte cu studenţ, fece cptol fnd bne fundmentt ş uşo de smlt. cest culeee este ezulttul colboă fuctuose dnte do uto de fomţ dfete: un mtemtcn ş un nne mecnc. uto speă că pezente sub cestă fomă poblemelo ş temelo plcte f utlă tât pentu peăte emenulu de ecncă (pentu studenţ nlo I ş II) pecum ş pentu toţ ce nteesţ în ezole uno plcţ pctce de ecncă. uto doesc să mulţumescă tutuo studenţlo ş colelo pentu obseţle, suestle, dăule pe ce le-u dus în tmp ş ce u contbut l pţ lucă sub cestă fomă. De semene mulţumm călduos sponsolo ce u contbut l pţ ceste edţ, ş pe ce î suăm tât de ecunoştnţ nostă cât m les de ce benefclo ceste lucă. Tâoşte uto
PLEE EZLVTE DE ENIĂ 7 PITLUL I STTI PUNTULUI TEIL EZUT DE TEIE. ăm scle ş ectole În ecnc teoetcă se opeeză cu măm scle (de eemplu: ms, tmpul, lunme, etc) ş cu măm ectole (de eemplu: foţ, momentul une foţe în pot cu un punct, cuplul de foţe, tez, cceleţ, mpulsul, momentul cnetc, etc). Vectoul este o enttte mtemtcă ccteztă pn: punct de plcţe, decţe (supot), sens (oente) ş măme (scl, modul) În funcţe de punctul de plcţe se deosebesc: ecto lbe ce u punctul de plcţe ounde în spţu ş sunt cctezţ de te pmet scl ndependenţ (espect, poecţle ectoulu pe cele te e de coodonte); ecto lunecăto -u punctul de plcţe stut pe o deptă dn spţu ş sunt cctezţ de cnc pmet scl ndependenţ (espect, poecţle ectoulu pe cele te e de coodonte ş coodontele punctulu de ntesecţe l supotulu său cu plnul ); ecto leţ - u punctul de plcţe f în spţu ş sunt cctezţ de şse pmet scl ndependenţ (espect poecţle ectoulu pe cele te e ş coodontele punctulu de plcţe). b. Epes nltcă unu ecto lbe ş unu eso Se consdeă un sstem ctezn de e z ând eso, j, k pentu ce se cunosc poecţle,, z, le ectoulu pe cele te e. Epes nltcă ectoulu este: j k. () z ăme ectoulu este pn defnţe număul pozt nott cu : () z osnuş decto unhulo ectoulu cu decţle celo e sunt: cos(, ) ; cos(, j ) ; cos(,k ) z z ()
PLEE EZLVTE DE ENIĂ 8 Vesoul ectou este pn defnţe un ecto unt, ând măme elă cu, ceeş decţe ş sens cu ecto : es z u j k () z k ) j z z b) k j.. (,,z ) z k c) j (,,z ) Un ecto pote f defnt pn cele două etemtăţ le sle ând coodontele (,,z ) ş (,,z ), ş e epes nltcă: ( ) ( ) j ( z z )k (5) Epes nltcă esoulu ectoulu confom () este: ( ) ( ) j ( z z )k es (6) ( ) ( ) ( z z ) bseţe În czul dulu supus l leătu, ecţunle sunt necunoscute le pobleme (deoece nu se cunoşte măme ş sensul lo): pentu ezole pobleme se lee un sens oece le ecţun; dcă dn clcul ezultă un numă pozt, tunc sensul les este coect; dcă dn clcul ezultă un numă net, sensul el este opus celu les. c. Podusul scl do ecto. Poecţ unu ecto pe o ă Dându-se un sstem de e ctezn z ş ecto ş b ând epesle nltce: j k, b b b j b k, se defneşte z podusul scl l celo do ecto, număul (pozt su net): b b cos(,b ) (7) Epes nltcă podusulu scl este: b b b b (8) z z
PLEE EZLVTE DE ENIĂ 9 u jutoul podusulu scl se pote epm cosnusul unhulu dnte ce do ecto ; dn elţle (7) ş (8) ezultă: cos(,b ) b b b b z z (9) b z b b bz u jutoul podusulu scl se pote epm nltc poecţ unu ecto, pe o decţe oenttă ând esoul: u cos cosβ j cos γ k, () stfel: u p u cos cosβ z cos γ () Ţnând sem epes (), poecţ ectoulu decţ ectoulu b b b j b k se sce : b z j k pe b b b z z p u b b () b z d. Podusul ectol do ecto, podusulu mt ş podusulu dublu ectol te ecto Se consdeă un sstem ctezn de e z ş ecto ş b ând epesle nltce: j z k ş espect b b b j b k. Se z defneşte podusul ectol l celo do ecto c b, un ecto ând umătoele cctestc: măme su modulul el cu plelomulu fomt dn ce do ecto ş b : c b sn(,b ) decţ - pependculă pe plnul plelomulu fomt dn ce do ecto şb : c (,b )(f..). sensul - dt de eul buhulu dept su tedul fomt dn ce te ecto, b ş c (f..). c b.. c b..
PLEE EZLVTE DE ENIĂ Podusul ectol do ecto ş b e epes nltcă: j k c b c ( b z b b z b b z z ) ( b z, su : b z ) j ( b b )k () Podusul mt te ecto, b ş c este pn defnţe podusul scl dnte ectoul ş ectoul ( b c ): ( b c ) (,b,c ) c c c b b b () z z Podusul mt espectă umătoe eulă ( pemutălo ccule): su ( b c ) b ( c ) c ( b ) (,b,c ) ( b,c, ) ( c,,b ) (5) Podusul mt epezntă olumul plelppedulu ând c much concuente înt-un âf, pe ce te ecto (f..) Podusul dublu ectol te ecto, b ş c este pn defnţe podusul ectol dnte ectoul ş ectoul ( b c ) ş se detemnă cu jutoul fomule: ( b c ) ( c ) b ( b ) c (6). PEŢII U VETI PLEE EZLVTE.. Se consdeă ecto ând umătoele epes nltce fţă de un sstem de e z: j k ; b 5 j k ; c j Se cee să se clculeze: b ; p ; b ; b ; cos(,b ); c ( b );c ( b ) b Poblem s- ezolt folosnd elţle pezentte în ezumtul de teoe cu jutoul pomulu cosoft-ecel confom lotmulu pezentt în contnue.
PLEE EZLVTE DE ENIĂ LITUL DE LUL PENTU PUL IST EXEL ŞI EZULTTELE ŢINUTE PENTU PLE.. DTE DE INTE DTE DE IEŞIE D E H I J K L N. z b b b z c c c z b c b SQT(^ ^^) SQT(D^ E^^) SQT(^ H^I^) - 5 -,76 6,,6 7 *D *E * N P S p b ( b ) *D/K*E/K */K/K ( b ) ( b ) z b *-*E *D-* *E-*D SQT(^ P^^),9-9 -8,99 T U V W X cos(,b ) c ( b ) [ c ( b )] [ c ( b )] [ c ( b )] z /(J*K) *H*PI* H*-I*P I*-* *P-H*,9 5 onfom ezulttelo dn tbel, mămle ceute sunt: b 7 ; b 9 8 j k ; b, 99; cos(,b ), 9; c ( b ) ; c p, 9; b ( b ) j 5k.. Se consdeă punctele (,-,), (,,), (,5,6). Se cee: să se epme nltc ecto s, podusul lo scl l ectolo s, să se clculeze unhule celo do ecto. Poblem s- ezolt folosnd elţle pezentte în ezumtul de teoe cu jutoul pomulu cosoft-ecel, confom lotmulu pezentt în contnue.
PLEE EZLVTE DE ENIĂ LITUL DE LUL PENTU PUL IST EXEL ŞI EZULTTELE ŢINUTE PENTU PLE.. DTE DE INTE DTE DE IEŞIE D E H I J K L N. z z z ( ) ( ) ( ) z D- E- - - 5 6 6 - N P S T ( ) ( ) ( ) z -D H-E I- SQT(J^K^ L^) SQT(^N^ ^) S J*K*N L* S/(P*) 5 6, 5,77 - -,57 onfom ezulttelo dn tbel, epesle nltce le celo do ecto, podusul lo scl ş unhul dnte ecto, confom ezulttelo dn tbel sunt: 6 j k ; ; j 5k cos, 57 PLEE PPUSE celş enunţ c l pobleme.. pentu ecto:... j k ; b j k ; c j... j k ; b j k ; c j k..5. k ; b 5 j k ; c j..6. ; b 5 j k ; c j k..7. j k ; b 5 j k ; c j..8. 9 j k ; b 6 j k ; c 6 j k celş enunţ c l pobleme.. pentu punctele:..9. (,,), (,,6), (-,5,8).... (,-5,), (,,-), (,5,).... (,-,), (7,,-), (,,6).... (,-6,), (8,,), (,5,6).
PLEE EZLVTE DE ENIĂ. EDUEE ŢEL NUENTE PLNE PLEE EZLVTE... Se consdeă un punct mtel sup cău cţoneză un sstem de foţe coplne { } ( f....) ând modulele ş decţle fţă de,.. π π π dte de: 8, ;, π;, ;, Se cee să se detemne ezultnt celo ptu foţe (c măme, decţe ş sens). ezole: Pentu detemn ezultnt celo ptu foţe dn f.... se plcă teoem poecţlo pe ele sstemulu : măme poecţe ezultnte după cele două decţ ş este elă sum mămlo poecţlo foţelo: X Y π π π X cos cos π cos cos ( 6 π π π Y sn sn π sn sn ) Epes nltcă ezultnte celo te foţe ş măme e sunt dte de: X Yj ( 6 ) j ; X Y Decţ ş sensul ezultnte sunt dte de măme unhulu pe ce cets îl fce cu (f...b) : t Y X 6, 58;, 5........b
PLEE EZLVTE DE ENIĂ.. sup unu punct mtel cţoneză foţele concuente ş coplne { } ând,.. mămle, decţle ş sensule dn f.s....... Se cunosc: π, ;, π 6 π π 6, ; ; Se cee: Epes nltcă ezultnte foţelo ş unhul pe ce îl fce cest cu. ăspuns: P Pj ; π 6 Poblem s- ezolt ş cu jutoul pomulu cosoft-ecel, confom lotmulu pezentt în contnue. LITUL DE LUL PENTU PUL EXEL ŞI EZULTTE ŢINUTE PENTU PLE.. DTE DE INTE D E H N. / / / / 6,99 6,88 π/6 π π/ -π/ DTE DE IESIE J K L N X/ Y/ / t (d) *cose*cos *cosd*cosh,6 ( ) *sne*sn *snd*snh SQT (J^K^) K/J ct - -,577 -,56 (-π/6)
PLEE EZLVTE DE ENIĂ 5. EDUEE ŢEL NUENTE SPŢILE PLEE EZLVTE... sup unu punct mtel cţoneză un sstem de foţe concuente { } ând modulele:, 5, 7, 5,.. ş decţle dte de muchle su donlele unu plelpped deptunhc c în f. S..( ) ; se cunosc:,, ' 6. Se cee să se detemne ezultnt foţelo (măme, decţ ş sensul). z ezole: Epesle nltce le celo ptu foţe fţă de sstemul de efenţă z les ( ) sunt: es es c j zc k z c c c j c k... es es 5k 6k es es 7 8k ( 6 ) j es es 5 8j ( ) Epes nltcă ezultnte este: 7 j 9k Poecţle ezultnte pe ele sstemulu de coodonte z sunt: X7, Y, Z9. ăme ezultnte este dtă de: X Y Z. Decţ ş sensul ezultnte este dtă de unhule pe ce le fce cu ele sstemulu de coodonte: cos, ; 77, 5 cosβ cos γ, 8;, 9; β γ 7, 69, 87
PLEE EZLVTE DE ENIĂ 6 PLEE PPUSE... sup unu punct mtel cţoneză foţele concuente ând mămle: 68,, 7, 6. { },.. decţle ş sensule fnd dte de muchle su donlele plelppedulu deptunhc dn f... ( ); se cunosc:, 8, '. Se cee epes nltcă ezultnte foţelo ş unhule pe ce îl fce cest cu ele de coodonte. 8 56j 6k ; 6, 959; 785, ; β, 7 ; γ 7, 78 ; z...... celş enunţ c l poblem.. (f...) cu dtele: 9,,,,,, '5. z... 6 j k ; 578, ; 67, 6, β 75, 85, γ 7, 5 Poblem.. s- ezolt ş cu jutoul pomulu cosoft-ecel, confom lotmulu pezentt în contnue.
PLEE EZLVTE DE ENIĂ 7 LITUL DE LUL PENTU PUL IST EXEL PENTU PLE.. DTE DE INTE D E H I J K L N. / / z / / / z / / / z / / / z / / 8 8,7 DTE DE IESIE N P Q S / / / (es ) (es ) (es ) z /[SQT(^ ^^)] /[SQT(^ ^^)] /[SQT(^ ^^)] 7,,76 6,97,5 T U V W X Y (es ) (es ) (es ) z (es ) (es ) (es ) z D/SQT(D^ E^^) E/SQT(D^E /SQT(D^E ^^) ^^) /[SQT(^ H^I^)] H/[SQT(^ H^I^)] I/[SQT(^ H^I^)],8,557,5,96 Z D E (es ) (es ) (es ) z X/ Y/ Z/ J/SQT(J^ K^L^) K/SQT(J^K ^L^) L/SQT(J^ K^L^) *QN*T *WP*Z *N*U *XP* *SN*V *YP* 8 56 6 H I / β γ SQT(^D^ E^) ccos(/) ccos(d/) ccos(e/) 6,959 7,85,7 7,78
PLEE EZLVTE DE ENIĂ 8.. STTI PUNTULUI TEIL EZUT DE TEIE. Pncpul plelomulu nd dte două foţe s ce cţoneză sup unu punct mtel lbe, pncpul plelomulu postuleză că efectul celo două foţe este celş cu l une foţe ezultnte, ce este donl me plelomulu ând c ltu foţele s (f...) Sunt lble umătoele elţ: ; sn sn( β ) snβ cos ; t β sn ; cos b. Teoem poecţlo nd dt un sstem de foţe, concuente înt-un punct dn spţu, { } cest se educe (su este.,... n echlent) în punctul cu o foţă ezultntă, ce se obţne plcând succes pncpul plelomulu enunţt m sus: n Dcă se noteză cu X, Y, Z, poecţle une foţe oece sstemulu ş cu X, Y, Z poecţle foţe ezultnte pe ele tedulu totoonl dept z, tunc sunt lble umătoele elţ: X n X ; Y n Y ; Z n Z. ceste elţ teoem poecţlo ce se enunţă stfel: poecţ ezultnte pe o decţe oece este elă cu sum poecţlo tutuo foţelo sstemulu după ce decţe. Sunt lble umătoele elţ: β X Yj Zk X... Y Z ( X ) ( ) ( ) Y Z. c. om leătulo Dcă sup unu punct dn spţu supus l leătu cţoneză un ( cău ezultntă se noteză cu ), confom ome sstem de foţe { }.,... n
PLEE EZLVTE DE ENIĂ 9 leătulo oce leătu eometce pot f întotdeun supmte ş înlocute cu le foţe coespunzătoe ( căo ezultntă se noteză cu ). Dn punct de edee eometc punctul mtel pote f consdet c un punct mtel lbe, dn punct de edee mecnc constânele u fost înlocute cu foţe de leătuă. Teoem echlbulu puctulu mtel supus l leătu: condţ necesă ş sufcentă pentu c unpunct mtel să ămână în echlbu sub cţune foţelo eteoe ş de leătuă este c ezultnt lo să fe nulă: le le le le X X ; Y Y ; Z Z ; Dn punct de edee l ntu foţelo de leătuă, leătule punctulu mtel pot f leătu făă fece(dele) ş leătu cu fece (ele). b. Echlbul punctulu mtel supus l leătu cu fece Un punct mtel flt pe o supfţă cu fece nu păăs pozţ de epus tât tmp cât ezultnt foţelo plcte se flă în nteoul conulu de fece (ând după noml l supfţă ş unhul l âf ϕ). oţ de fece T espectă umătoele le le fecă uscte (lele lu UL):. modulul foţe de fece T m este popoţonl cu ecţune nomlă N; b. modulul T m depnde de ntu copulo ş de ste supfeţelo de contct: T m µn unde µ tϕ este coefcentul de fece de lunece, ϕ este unhul de fece; c. modulul T m nu depnde de măme supfeţe de contct. Sensul foţe de fece de lunece se opune totdeun tendnţe de deplse. PLEE EZLVTE... Se consdeă o sfeă de eutte ce se ezemă făă fece pe un pln înclnt cu unhul ş este pnsă pnt-un f de un punct ; ful fce cu etcl unhul β ( ez f....). Se cee să se detemne măme ecţun nomle N ş tensun dn f S. ezole: Ecuţ ectolă de echlbu după ntoducee foţelo de leătuă (confom ome leătulo) se sce : S N ()
PLEE EZLVTE DE ENIĂ leând ele ş în mod conenbl (f...b) ş poectând pe ceste ecuţ ectolă de echlbu, se obţn ecuţle: X N cos S snβ (b) Y N sn S cosβ Înmulţnd, pm ecuţe cu cosβ ş dou cu snβ ş însumându-le membu cu membu se obţne: snβ N ; cos( β ) cos S (c) cos( β ) β β S N d ) β S β b) N. b.......... Se consdeă o blă de eutte ce se ezemă pe supfţ une sfee de ză, fnd letă cu un f de lunme l de punctul f flt l dstnţ d, fţă de supfţ sfee (f...). Se cee măme tensun dn f S ş ecţun N. ezole: Ecuţ ectolă de echlbu se sce: S N () Dcă se ntoduc unhule ş β ş se le conenbl ele ş (c în f.s.5..b) condţ de echlbu se sce: X S sn N snβ Y S cos N cosβ ultplcând pm ecuţe (b) cu cosβ ş dou cu snβ ş însumându-le membu cu membu se obţne: sn snβ N ; S (c) sn( β ) sn( β ) (b)
PLEE EZLVTE DE ENIĂ Dn teoem snusulo plctă în tunhul, em: l d sn snβ l ; sn β sn sn( β ) sn( β ) d sn( β ) d dec se obţne: N d ; l S d (d)... Se consdeă un nel de eutte neljblă ce se ezemă cu fece (coefcentul de fece fnd µ) pe un semcec de ză. De nel sunt lete două fe ce tec făă fece pn nelele fe ş (f...). L cpetele felo sunt lee două copu de eutăţ ş. Se cee să se detemne potul eutăţlo / pentu c nelul să ămână în epus pentu un unh θ dt. ezole: ) Se consdeă m întâ că nelul e tendnţ de lunece spe punctul (f....b); se le c e de coodonte tnent ş noml l cec în punctul θ Ecuţ de echlbu se sce: S S T N ; ()... su în poecţ pe e: S b. θ T S N θ/ θ θ X S cos S sn T θ θ Y S sn S cos N ondţ fzcă fecă este: Tendnt de msce... c. (b) T µ N. (c) Dn ecuţle (b) ezultă: θ θ θ θ T S cos S sn ; N S sn S cos (d) S θ S N T θ/ Tendnt de msce
PLEE EZLVTE DE ENIĂ ce ntoduse în (c) ş ţnînd sem că tensunle dn f pentu cele două mu le fulu u mămle S ş S, conduc l: θ θ sn µ cos (e) θ θ cos µ sn b. Se consdă cum celltă tendnţă de lunece nelulu spe punctul (f....c), ecuţle de echlbu se scu nlo cu cele dn pmul cz, schmbând semnul dn fţ lu µ ş sensul neltăţ (e) θ θ sn µ cos (f) θ θ cos µ sn Dec lole pe ce le pote lu potul /, sunt cupnse în ntelul: θ θ θ θ sn µ cos sn µ cos, () θ θ θ θ cos µ sn cos µ sn ce se m sce sub fom: θ θ t ϕ t ϕ (h)... Se consdeă un nel de eutte neljblă ce se ezemă cu fece pe un cec de ză. De nel sunt lete două fe ce tec pn două nele fe în ş făă fece. L cpetele felo sunt lete două copu de eutăţ ş (c în f...). Se cee potul / pentu c punctul să ămână în epus în pozţ dtă de unhul θ, dcă se consdeă cunoscute coefcentul de fece µ ş θ. θ.... ezole:. Se consdeă m întâ că nelul e tendnţ de lunece spe punctul (f....b); se le c e de coodonte tnent ş noml l cec în punctul Ecuţ de echlbu se sce: S S T N ; ()
PLEE EZLVTE DE ENIĂ π/-θ/ S b. θ T S.... su în poecţ pe e: θ π θ X S cos S cos( ) T (b) θ π θ Y S sn S sn( ) N condţ fzcă fecă: T µ N, (c) Înlocund în (c) epesle lu N ş T ezultte dn ecuţle (b) em: θ π θ θ π θ S cos S cos( ) µ S sn S sn( ) (d) ş ţnînd sem că tensunle dn f pentu cele două mu le fulu u mămle: S ş S se obţne: π θ π θ cos( ) µ sn( ) (e) θ θ cos µ sn b) Se consdeă celltă tendnţă de lunece nelulu (spe, f...c), ecuţle de echlbu se scu nlo, obţnându-se, pn schmbe semnulu dn fţ lu µ ş sensulu neltăţ (e) elţ: π θ π θ cos( ) µ sn( ) (f) θ θ cos µ sn ondţ fnlă de echlbu dec se sce: π θ π θ π θ π θ cos( ) µ sn( ) cos( ) µ sn( ) () θ θ θ θ cos µ sn cos µ sn ( ) ( ) cos π / θ / ϕ su fom echlentă: cos θ / ϕ N θ/ Tendnţ de msce π/-θ/ cos S c. θ S N T θ/ ( π / θ / ϕ) cos( θ / ϕ) Tendnţ de msce (h)
PLEE EZLVTE DE ENIĂ..5. uls de eutte se pote depls cu fece pe b etclă, coefcentul de fece de lunece fnd cunoscut: µ uls este letă de eutte pn ntemedul unu f ş unu scpete făă fece. Se cunosc: ş h (f...5.). Se cee eutte pentu c echlbul să bă loc în pozţ dn fuă. Tendnţ de lunece S T N Tendnţ de lunece S T N...5. b. c. ezole: ) ţă de sstemul de e, pentu tendnţ de deplse culse în jos (f...5.b) foţele ce cţoneză sup culse sunt ndcte în fuă; ecuţle de echlbu în poecţ pe cele două e se scu: X N sn Y T cos () T µn, condţ fzcă fecă (b) ţnând sem că tensune dn f este S, ezultă: (c) cos µ sn b) Pentu tendnţ de deplse în sus culse (f...5.c) foţ de fece T cţoneză în sens nes fţă de pmul cz, ecuţle de echlbu se scu nlo cu cele dn pmul cz, schmbând în elţ (c) semnul dn fţ lu µ ş sensul neltăţ: cos µ sn (d) ondţ fnlă de echlbu se sce: (e) cos µ sn cos µ sn su sub fom echlentă:
PLEE EZLVTE DE ENIĂ 5 h h µ h h µ (f) PLEE PPUSE..6. Se consdeă un nel de eutte neljblă ce se ezemă cu fece (µ coefcentul de fece) pe un semcec de ză. De nel sunt lete: un cop de eutte ş două fe ce tec făă fece peste nelele fe ş (f...6). L cpetele felo sunt lete două copu de eutăţ ş. Se cee potul eutăţlo / pentu c nelul să ămână în epus pentu unhul θ dt. θ θ...6...7..7. Se consdeă un nel de eutte neljblă ce se ezemă cu fece (µ coefcentul de fece) pe un sfet de cec de ză. De nel sunt lete: un cop de eutte ş două fe ce tec făă fece peste nelele fe ş (f...7). L cpetele felo sunt lete două copu de eutăţ ş. Se cee potul eutăţlo / pentu c nelul să ămână în epus pentu unhul θ dt...8. Se consdeă un nel de eutte neljblă ce se ezemă cu fece (µ coefcentul de fece) pe un sfet de cec de ză. De nel sunt lete două fe ce tec făă fece peste nelele fe ş. L cpetele felo sunt lete două copu de eutăţ ş, ful ce susţne copul de eutte fnd tecut cu fece (µ coefcentul de fece) peste un clndu f (ϕπ/)(f...8). Se cee potul eutăţlo / pentu c nelul să ămână în epus pentu unhul θ dt.
PLEE EZLVTE DE ENIĂ 6 θ µ ϕ µ...8..9. Se consdeă un nel de eutte neljblă ce se ezemă cu fece (µ coefcentul de fece) pe un sfet de cec de ză. De nel sunt lete două fe ce tec făă fece peste nelele fe ş. L cpetele felo sunt lete două copu de eutăţ ş, ful ce susţne copul de eutte fnd tecut cu fece (µ coefcentul de fece) peste un clndu f (ϕπ/)(f...9). Se cee potul eutăţlo / pentu c nelul să ămână în epus pentu unhul θ dt. µ µ ϕ θ...9
PLEE EZLVTE DE ENIĂ 7 PITLUL II EDUEE ŢEL PLITE SLIDULUI IID EZUT DE TEIE. omentul une foţe în pot cu un punct noţune fote mpotntă utlztă în ecnc copulu d este cee de moment l une foţe fţă de un punct oece (foţ este plctă înt-un punct oece dn spţu ) ce se defneşte pn : ( ) Dn defnţ podusulu ectol dtă în cptolul I, ezultă că momentul une foţe fţă de un punct, este un ecto plct în punctul, pependcul pe ecto s, sensul său fnd detemnt de sensul de otţe l lu, după eul şuubulu dept măme s dtă de: ( ) sn d unde: este unul dnte s d este dstnţ de l punctul l supotul foţe (bţul foţe, ez f. S.). Dcă punctul este one sstemulu ctezn de e, punctul e coodontele (,,z) epes nltcă foţe este: X Yj Zk, tunc epes nltcă momentulu foţe fţă de este: ( ( ) d.s. ) X j Y k z ( Z zy ) ( zx Z Z ) j ( Y X )k omponentele lu ( ) : L Z zy ; zx Z; N Y X, epezntă momentul foţe fţă de cele te e,, z (ş cum ezultă dn pful umăto). b. omentul une foţe în pot cu o ă oece
PLEE EZLVTE DE ENIĂ 8 ltă noţune mpotntă utlztă în ecnc copulu d este cee de moment l une foţe fţă de o ă, ce se defneşte c poecţ momentulu foţe fţă de un punct, ce pţne e, pe cestă ă: ( ) p ( ) δ ( ) δ ( ) unde: X ( ) b Y δ es bj c z Z ck Se obseă că dcă concde cu : δ es momentul foţe în pot cu este: ( ) nlo: zx Z ; Y X N; z β ( ).S. δ Z zy L. c. Tosoul de educee l unu sstem de foţe înt- un punct Dcă se consdeă o foţă plctă înt-un punct l unu d, efectul ceste foţe este celş cu efectul celo două elemente de educee foţe întun punct : foţ ş momentul foţe în pot cu punctul ( ): plct n plcte n ( ) Dcă se consdeă un sstem de foţe plcte în punctele ( ),, n ş se fce educee pentu fece foţă sstemulu în punctul, pn însume foţelo ş momentelo concuente ezultte se obţne un sstem echlent cu sstemul dt fomt dn două elemete (f.s.): n - ezultnt: n.s. n - omentul ezultnt: n ( ) n.
PLEE EZLVTE DE ENIĂ 9 Peeche fomtă dn s se numeşte tosoul de educee l sstemulu de foţe în punctul : τ. d. Toso mnml. centlă Dcă se consdeă un lt punct ' în ce se fce educee sstemulu de foţe (' ) ezultnt n nu se.s. n n modfcă (pmul nnt) momentul ezultnt se modfcă confom elţe: ' ' ' Dec toso de educee în ş ' se scu: τ : ; τ ' : ' ' Dcă se înmulţeşte scl elţ de m sus cu, se obţne: ' ct ; constnt cest se numeşte tnomul nnt (l dole nnt). Dcă se împte tnomul nnt l modulul ezultnte se obţne poecţ momentulu ezultnt pe decţ ezultnte: / Pentu numte puncte de educee dn spţu, tosoul de educee este fomt dn do ecto coln ( ; ) ş se numeşte toso mnml: τ mn : ; ă centlă epezntă locul eometc l punctelo dn spţu unde făcând educee sstemulu de foţe, ezultnt ş momentul ezultnt sunt do ecto coln; centlă este dtă de ecuţle: L Z zy zx Z N Y X X Y Z su sub fom pmetcă: ρ o λx (YN Z ) / λ λy ( ZL XN ) / z λz ( X YL ) /
PLEE EZLVTE DE ENIĂ.. EDUEE SISTEEL DE ŢE PLNE PLEE EZLVTE... sup cdulu deptunhul dn fu... ând ltule,, cţoneză foţele coplne: unhul π / ş c în f.... Se ce : ) Tosoulul de educee în punctul. ) Ecuţ supotulu ezultnte, pn tăetu. ezole : ) Se scu epesle nltce le ectolo foţe: ( cos ) ( sn ( cos ) ( sn ) j ( ) j j ) ( j ) înclnte cu () D Q (, /) D centl\........b P (/,) ezultnt sstemulu este: Σ j (b) omentul ezultnt fţă de este: (c) Σ ( ) D j k j ( j ) ( j ) ( ) k Tosoulul de educee în punctul este dec: j k X ; Y, Z L ; N (d)
PLEE EZLVTE DE ENIĂ L Z zy zx Z N Y X ) Ecuţ e centle: X Y Z pentu lole de m sus se sce: z z (e) z centlă este o deptă defntă pn tăetule e: P(/,) ş Q(,/) (f) Sstemul de foţe este echlent cu tosoul τ(, ) de educee în punctul, su sstemul de foţe este echlent cu o ezultntă uncă stută pe centlă (întucât în cest cz:, su ).... Se consdeă o plcă deptunhulă ând ltule, (f....) sup căe cţoneză un cuplu în ş foţe coplne espect în,,, înclnte cu: ; π / ; π / ; π ş ând modulele dte: ; ; ;. Se cee : ) Tosoul de educee în punctul. ) Ecuţ e centle pn tăetu ( P, Q ) ) u ce este echlent sstemul? ezole. Epesle nltce le foţelo, cuplulu ş momentelo fţă de sunt: p p ; X ( Y cos j; ) ( sn k ; ( ) ( Y X )k p P p p p Intoducând lole ezultă: j; p p p p P p ) j j ; ( ) ; ( ) ; ( ) 5k ; ( ) 8k ; k ()... (b)
PLEE EZLVTE DE ENIĂ ezultnt sstemulu este pn ume: Σ p p X Σ p p cos omentul ezultnt fţă de este: Σ ( p ) k p p Y Σ sn (c). Ecuţ e centle pentu sstemul de foţe dt este: N Y X : (e) centlă este defntă pn tăetule (f S...): P(N/Y,) P ; P s Q(,-N/X) Q ; Q /; (f). Sstemul de foţe este echlent cu tosoul de educee în punctul : τ (, ) su cu o ezultntă uncă stută pe centlă (întucât în czul unu sstem copln de foţe:, su ). p p p (d) Q(,/) centlă P(,).... PLEE PPUSE Se consdeă plc plnă ând fom ş dmensunle dn fuă (f......6.) sup căe cţoneză un cuplu ş foţe coplne espect în,,, înclnte ând modulele ş decţle dte. Se cee : ) Tosoul de educee în punctul ; ) Ecuţ e centle ş tse e pn tăetu ;
PLEE EZLVTE DE ENIĂ 5 7... Dte: ; ; ;... Dte: 5; 5 ;...5 Dte: 5 ; 5; ; Dte: ; ; ;...6 ; 5 5 e p...8 Dte: 5p; e p Dte: 5p; p;...7 p p e e
PLEE EZLVTE DE ENIĂ EZULTTELE PLEEL PPUSE N. pobl. Tosoul în τ Ecuţ e centle Punctele de ntes. ş.., 8, j,-,8- P(-.5,) τ : Q(,,9)....5..6..7..8 k j τ : k j τ : k j - P(/,) τ : k Q(,/) p p j P(,) τ : pk p p j τ : 5, pk Q(,,) - P(/,) Q(,-/) P(,) Q(,/) Q(,/) 5-5-,5 P(-,875,)... LITUL DE LUL UTILIZT PENTU PUL EXEL ŞI EZULTTELE ŢINUTE lotmul de clcul în EXEL pentu dtele concete le pobleme DTE DE INTE D E H I J K L N. / / / cos sn / / / cos sn / / /.88.77.77.6 DTE DE IEŞIE N P Q S T U V W cos sn / / / cos sn / X/ Σ cos / Y/ Σ sn / *DH*I *N*S *EH*J **T.77 -.77 - - X Y Z D E Σ sn / Σ cos / oz / (Σ sn - Σ cos )/ P / Q / J / J / Jz / (- J *Y J *X)/ oz / **E*H*J **D*H*I K**P**T L**NQ**S X - Y U Z / W -Z / V -*WD*VZ
PLEE EZLVTE DE ENIĂ 5 8 -.5 5 7.. EDUEE SISTEEL DE ŢE PLELE PLEE EZLVTE.. Se consdeă un cub de ltuă sup cău se pcă un sstem de cnc foţe plele etcle,,,, 5 espect în punctele: (,,); (,,); ( /,, ); ( /, /, ); 5( /,, / ) ( ez f....). oţele u celş modul:. Se cee : ) Tosoulul de educee în ; ) Ecuţ e centle; ) Pozţ centulu foţelo plele. z 5 z entul ectolo plel (/, /, /) 5 5.... P(/,/,) centl\....b ezole: ) Epesle nltce le ectolo ş le ezultnte cesto, sunt: k, 5 k k X Y ; Z Epes nltcă momentulu ezultnt este: 5 Σ ( ) 5 5 j L ; ; N. (b) ) Ecuţ enelă e centle se sce: z (c) Întucât pentu tote sstemele de foţe plele em îndeplntă condţ:, su sstemul se educe l o ezultntă stută pe centlă ce este plelă cu foţele (cu z). ( f....b). ()
PLEE EZLVTE DE ENIĂ 6 entul ectolo foţă plel (ξ, η, ζ) se detemnă cu jutoul elţlo: 5 Σ Σ Σ z, ζ (d) 5 Σ Σ Σ ξ, η 5 5 5 5 Înlocund lole coespunzătoe, centul ectolo plel e coodontele : ξ, η, ζ,, (e) 5 5 z... 6 6... Se consdeă un cub de ltuă sup cău se pcă un sstem de 6 foţe în centele feţelo cubulu de ltuă ând decţ lu,,,, (f...) de module: ; ; ; ; 5; 6 5 6 Se cee : ) Tosoulul de educee în ; ) Ecuţ e centle; ) entul foţelo plele ezole: ) Epesle nltce le ectolo plel ş le ezultnte cesto, sunt: cos es ( Σ cos ) es () unde esoul decţe se sce: es Epes nltcă momentulu ezultnt este: 5 Σ ( ) ( es ) ( ) ( j z k ) ( z L Z zy zx Z N Y X ) Ecuţ e centle: X Y Z ) entul ectolo foţă plele (ξ, η, ζ) se detemnă cu jutoul elţlo: 5 Σ Σ Σ z, ζ (b) 5 Σ Σ Σ ξ, η 5 5 5 5 )
PLEE EZLVTE DE ENIĂ 7 LITUL DE LUL UTILIZT PENTU PUL EXEL ŞI EZULTTELE ŢINUTE DTE DE INTE D E H I J N. / / z / / cos / / z / / cos - K L N P Q S T U / / z / / cos / / z / / cos 5 / - V W X Y Z D E 5 / z 5 / 5 / cos 5 6 / 6 / z 6 / 6 / cos 6 / / z / 5 6 - DTE DE IEŞIE H I J K L Σ cos / Σ cos / Σ z cos / es es *D*E*I*JK*N*P*S *D*E*I*JL*N*Q* *TU*X*YZ**D S*TV*X*Y**D *D*EH*I*J*N** S*TW*X*Y**D E/SQT(E^ ^^) /SQT(E^ ^^) -8 -,5775 N P Q z es z / X/ Y/ Z/ / Z Σ cos / Σ cos /. /. / z. / - Σ z cos / /SQT(E^^ ^) D*EI*JN*S* TX*Y*D N*K N*L N* *I - L*J,5775 - -,5775 -,5775 -,5775-8,89 T U V W X Y / Σ z cos /- - z Σ cos / z / Σ cos / - Σ cos /. / (X. Y. Z. z )/ (efce) ξ/ η/ ζ/ K*J - *H L*H - K*I *P*TQ*U H/N I/N J/N 5,775,9 8 - S-u obţnut dec umătoele ezultte pentu poblem..:
PLEE EZLVTE DE ENIĂ 8 ) Tosoul de educee în :, 577, 577j τ : (c) 8, 8 5, 77j, 9k ) Ecuţ e centle: 8, 8, 577, 577z 5, 77, 577z, 577, 577, 577 (d), 9, 577, 577, 577 Întucât pentu tote sstemele de foţe plele em:, su sstemul se educe l o ezultntă stută pe centlă ce este plelă cu foţele (cu z). ) entul foţelo plele e coodontele: ( 8,, ) ξ 8, η, ζ (e) PLEĂ PPUSĂ.. Se consdeă sstem de foţe plele etcle,,, ce se plcă espect în punctele: (,,); (,,); (,-,); (-,5,); (f....). oţele u modulele: 5 ; ; ;. Se ce: 9 )Tosoulul de educee în ; )Ecuţ e centle ş pozţ centulu foţelo plele. z ezultte: )Tosoul de educee în : τ... 6k : 8j )Ecuţ e centle ş centul ectolo plel: ; ; ; ; 6 6
PLEE EZLVTE DE ENIĂ 9.. EDUEE SISTEEL SPŢILE DE ŢE ŞI UPLUI. PLEE EZLVTE.. Se consdeă un cub d de ltuă, sup cău cţoneză foţele:,,, c în fu... ămle cesto foţe sunt cunoscute:,,. Se ce: ) Tosoul de educee în punctul ; ) Tosoul de educee în punctul '; ) Ecuţ e centle; ) u ce este echlent sstemul? z z centl D(/, /,)........b ezole: ) Epesle nltce le ectolo foţă se scu stfel: j k es ( j k ) es ; es j; k X Y, Z es k () ş epesle nltce le ectolo moment: ( ( ( ) j ) k j ( j k ) k j ) L,, N ) omentul ezultnt în punctul se clculeză cu jutoul elţe: (b)
PLEE EZLVTE DE ENIĂ j ( j k ) k ( j ) (c) Ecuţ e centle se sce: L Z zy zx Z N Y X X Y Z,,z (d) ş este o deptă pependculă pe plnul (plelă cu z) ce ntesecteză în punctul D(/, /, ). ) Întucât o o su, sstemul se educe l un ecto unc stut pe centlă. Pn ume sstemul de foţe (,,, ) plcte în,,, este echlent cu:. un toso (, o ) plct în ; b. o ezultntă uncă plct înt-un punct oece de pe centlă.... Se consdeă plelppedul deptunhc d cu ltule:,, ' sup cău cţoneză foţele,,, după decţle donlelo espect (f...). oţele u mămle:, 7 Se cee: ) Tosoul de educee în ; ) Ecuţ e centle; ) L ce se educe sstemul? z.... z centl\....b D(/,, ) ezole:
PLEE EZLVTE DE ENIĂ ) Epesle nltce le celo ptu foţe sunt: j k es ( k ) () k es 7 ( k 7 ) j k es ( j k ) () k es 7 ( k ) 7 Epesle ezultnte ş l momentulu ezultnt în punctul o f: Σ 8k X Y, Z 8 (b) Σ ( ) j k j k j k j k 96 7j L 96, 7, N ( c ) ) Ecuţ e centle se sce: 96 8 7 8 8 (d),, z bt, dec centlă este plelă cu z fnd ch de smete plelppedulu, (ez f....b). o Ecuţ e centle sub fomă ectolă se sce: ρ λ; su j k j zk λ( j k ) λ 7 Dec ecuţle pmetce le e centle se scu:
PLEE EZLVTE DE ENIĂ 67 λ; λ; z λ (e) 7 7 7 ) Întucât o o,sstemul se educe l o ezultntă uncă stută pe centlă, (ez f....b).... Se consdeă sstemele fomte dn te foţe,, ş te cuplu,, ce cţoneză sup unu plelpped ând fom ş z dmensunle peczte în f...; oente foţelo,, este dtă de ecto, D, E, oente celo te cuplu este după cele te e de coodonte (,, z). Se du modulele cesto foţe ş cuplu: ; 5; ; ; ; z Să se detemne:. Tosoul de educee l sstemulu, în punctul ;. Tosoul mnml;. Ecuţ e centle; z (,,) (,,) E(,,) D(,,) (,,) z (,,)... Pentu ceee lotmulu de clcul în EXEL pentu poblem... s- u utlzt umătoele elţ: Epesle nltce le celo ptu ecto:
PLEE EZLVTE DE ENIĂ es esd; ( ) ( ) j ( z ( ) ( ) ( z ese; es Epesle nltce le momentelo celo foţe în pot cu : ( ) Z z Y z X Z Y ( ) z z ( ) ( ) ( ) X ( Z zy ) ( z X Z ) ( Y X ) ( Z z Y ) ( z X Z ) ( Y X ) )k ; ) () (b) ( ) E E E E E E E omponentele tosoulu de educee l sstemulu în punctul : X Yj Zk ; L j Nk (c) omponentele tosoulu mnml: X Yj Zk (d) mn omponentele podusulu ectol : (YN ZN ) ( ZL XN ) j ( X YL )k (e) dn ecuţ ectolă e centle: ρ j zk / λ (f) ( ) ezulttele clculelo confom elţlo de m sus sunt:. Tosoul de educee în punctul : ( j k ) τ : ( 6k ). Tosoul mnml: ( j k ) τmn : mn, 588, 588j, 588k. Ecuţ e centle sub fomă pmetcă: 8 λ; λ;z λ 7 7 elţle de m sus se eăsesc în umătoul lotm de clcul: () (h) () LITUL DE LUL UTILIZT PENTU PUL EXEL ŞI EZULTTELE ŢINUTE DTE DE INTE D E H I J K L N. / / z / / / z / / / z / D / D / z D / N P Q S T U V X Y Z
PLEE EZLVTE DE ENIĂ E / E / z E / / / z / / / / / es es es z,69 5 DTE DE IEŞIE (es) (es) (es) z (D-)/SQT((D-)^ (E-)^(-)^) (E-)/SQT((D-)^ (E-)^(-)^) (-)/SQT((D-)^ (E-)^(-)^) -,6 -,696,696 E (es) (es) (es) z (J-)/SQT((J-)^ (K-H)^(L-I)^) (K-H)/SQT((J-)^ (K-H)^(L-I)^) (L-I)/SQT((J-)^ (K-H)^(L-I)^),8,6 H I J (es) (es) (es) z (P-)/SQT((P-)^ (Q-N)^(-)^) (Q-N)/SQT((P-)^ (Q-N)^(-)^) (-)/SQT((P-)^ (Q-N)^(-)^) K L N P X/ Y/ Z/ / ( /) ( /) *SE* T H*U *S*T I*U *S*T J*U K^L^ ^ S(*- *) S(*- *) 7 9 - Q S T U V ( /) Z ( /) ( /) ( /) z ( /) ( /) S(*- *) T(H*- I*) T(I*E- *) T(*- H*E) U(N*J- *I) U(*H- *J) -6-9 - - W X Y Z ( /) z L/ ( /) / ( /) N/ ( /) z. / U(*I- N*H) U X*V PSVY *V QTW Z*V K*XL*Y*Z - -6-6 D E ( mn /) ( mn /) ( mn /) z ( /) ( / ) ( *K/N *L/N */N L*Z- *Y *X- K*Z / ) z K*Y- L*X -,588 -,588 -,588-8 PLEE PPUSE
PLEE EZLVTE DE ENIĂ 5 Se consdeă un plelpped d, sup cău cţoneză foţele:,,, c în fule... ămle cesto foţe sunt cunoscute. Se ce: ) Tosoul de educee în punctul ; ) Tosoul de educee în punctul '; ) Ecuţ e centle sub fomă pmetcă; z... Dte : ; ; 5; e zultte : k ; c' ; ; z λ j k ; j k ; z...5 Dte : ; ; e zultte : ; 5 k ; c' 8j; 8j; ; ; z λ z...6 Dte : ; ; ezultte: ; 6j; c' 8j; j 6k; λ ; 8 6λ; z 7
PLEE EZLVTE DE ENIĂ 6 z...7 Dte : 6; ; ; ezultte: 5 6k; 8j; c' 8 j 5k; ; 8; z 6λ z...8 Dte : ezultte: ; ; k; c' k; ; j; λ; 8; z λ z...9 Dte : 7; ; ; e zultte : ; c' j 6k ; λ; ; z j; z... Dte : 6; ; 5; e zultte: k ; c' 6 j k ; 6; ; z λ j k ;
PLEE EZLVTE DE ENIĂ 7 PITLUL III ENTUL SEL - ENTE DE EUTTE EZUT DE TEIE entul de eutte pentu un sstem d contnuu de puncte mtele e ectoul de pozţe ρ ş coodontele ( ξ, η, ζ ), dte de elţle: dm dm dm zdm ( D ) ( D ) ( D ) ( D ) ρ ; ξ, η, ζ dm dm dm dm ( D ) ( D ) Se deosebesc umătoele czu ptcule:. În czul plăclo omoene (dmµ S d, µ S constnt), epesle ectoulu de pozţe ş coodontele centulu de eutte sunt dte de elţle: d d d zd ( S ) ( S ) ( S ) ( S ) ρ ; ξ, η, ζ. d d d d ( S ) ( S ) b. În czul belo omoene (dmµ l ds, µ l constnt) epesle ectoulu de pozţe ş coodontele centulu de eutte sunt dte de elţle: ds ds ds zds ( l ) ( l ) ( l ) ( l ) ρ ; ξ, η, ζ ds ds ds ds ( l ) ( l ) Dcă un sstem (contnuum mtel) se compune dnt-un numă p de subssteme (S ), (S ),...,(S p ) ând msele:,,..., p ş centele de msă (,,..., p ) ând ecto de pozţe: ρ, ρ, ρ,... ρ p, tunc ectoul de pozţe l centulu de msă l copulu se detemnă cu elţ: ρ p ; ξ, η, ζ, p p p p ρ p Dcă un sstem mtel este ezulttul elmnă dnt-un sstem (S ) de msă ş centu de msă, unu sstem (S ) de msă ş centu de msă, tunc ectoul de pozţe l centulu de msă este dt de: ρ ρ ρ ; ξ ( l ) ( D ) ( S ) p, η [] l ( D ) ( S ) p z, z z ζ
PLEE EZLVTE DE ENIĂ 8 În tbelul umăto sunt dte fomule pentu clculul centelo de eutte le uno copu omoene uzule: N. ct. Tpul copulu omoen u oodontele centulu de eutte omoenă de lunme L (ξ,η) L L ξ ; η omoenă: c de cec de ză ş (ξ,η) semdeschdee sn ξ ; η Plcă omoenă în fomă de secto ccul de ză ş semdeschdee (ξ,η) sn ξ ; η Plcă omoenă în sn fomă de sement de ξ cec de ză ş (ξ,η) sncos semdeschdee η 5 Plcă omoenă pln în fomă de tunh D (ξ,η) ξ η D ; D ; 6 op omoen conc de înălţme h ' z (ξ,η,ζ) h ξ ; h ζ η ; 7 op omoen semsfec de ză ' z (ξ,η,ζ) ξ ; ζ 8 η ;
PLEE EZLVTE DE ENIĂ 9.. ENTUL DE SĂ PENTU E ENE PLEE EZLVTE..... Se consdeă o bă omoenă, de fom unu câl pln (în plnul c în f...), pentu ce se cunosc dmensune, zele semceculo ş lunmle belo. Se ce coodontele centulu de msă l câlulu (ξ,η), în pot cu stemul de e dt. ezole: âlul se compune dn ptu semente de bă smple: două semente sub fomă de semcec ând centele de msă notte cu (, ), (, ), espect lunmle L ş L două semente depte ând centele de msă (, ), (, ) espect lunmle L,L. ţă de stemul de e, coodontele centulu de msă (ξ,η) l câlulu, se clculeză cu fomulele : Σ L Σ L ξ, η. () Σ L Σ L Pentu sementul de bă () em: π sn sn, (b) π π π π L π Pentu sementul de bă () em: (, ) (c) L Pentu sementul de bă () em: π sn sn, (d) π π π π L π
PLEE EZLVTE DE ENIĂ 5 opul n. Pentu sementul de bă () em:,, L (, ). Se ntoduc lole clculte în fomulele lu ξ ş η obţnându-se: ( π ) ( π ) ξ ; η, ( π ) ( π ) celş ezultt se obţne cu jutoul umătoulu tbel: om copulu L L L π (e) (f) π (π ) π 8 π π π 8 6 Σ (π) (π ) (π )... z.. Se consdeă un cdu spţl fomt dn be omoene sudte ş dspuse în pot cu sstemul de e z, c în f.... Se cunosc dmensune, zele semceculo (lunmle belo). Se cee pozţ centulu de msă l cdulu în pot cu sstemul de e les ezole: Pentu cele de cec pozţle centelo de msă sunt dte de: π sn sn sn, () π π π
PLEE EZLVTE DE ENIĂ 5 oodontele centelo de msă le sementelo de bă ş lunmle cesto o f:,, ;,, ; L L ; ;,, ; π π ( π ),, π π L ; ( π ) π ; L π Pentu detemne coodontelo centulu de msă l cdulu spţl (ξ,η,ζ) plcă fomulele: Σ L Σ L Σ L z. (c) Σ L Σ L Σ L ξ, η, ζ Înlocund lole se obţn coodontele centulu de eutte : 5 π π ξ, η, ς. (d) ( π ) ( π ) ( π ) (b) celş ezultt se obţne completând umătoul tbel: op n. om copulu z L z L L L z z z π π π z π ( π ) ( π ) ( π) ( π) π π Σ (π) 5 ( π) π
PLEE EZLVTE DE ENIĂ 5 S.. ENTUL DE SĂ PENTU PLĂI ENE PLEE EZLVTE.. Se consdeă o plcă plnă omoenă ând fom dn f.... Se cunoşte dmensune. Se cee să se detemne pozţ centulu de msă (ξ,η ) l plăc fţă de sstemul de e consdet în f.... ezole Plc omoenă se compune dn păţ smple ând centele de msă (, ) ş le (,,,) c în f.... Ţnând sem de elţ ce dă pozţ centul unu secto ccul de ză ş unh l centu, em: π π sn sn ; () π π π π oodontele centulu de msă l plăc fţă de sstemul de e se detemnă cu jutoul elţlo: ξ, η (b) Pentu fece dn cele ptu plăc smple: plc (deptunhul ), plc (secto ccul de ză ), plc (tunhul, ce se decupeză) ş plc (secto ccul de ză, ce se decupeză) em:... / ; ; 6 / π; / π; 9π (c) / 8 ; / ; 8 / ; / π; π / Înlocund în elţle lu ξ ş η de m sus se obţne: ( 69π ) ( 7π 7 ) ξ, η,su ξ, 667; η, 58. (d) ( 7π ) ( 7π ) L celş ezultt se june completând umătoul tbel :
PLEE EZLVTE DE ENIĂ 5 opul n. u 6 9 9 π 9 ( π ) 9 ( π ) π π 8 8 8 8 π π π Σ 7π 69π 7π 7 6. S.... Se consdeă o plcă plnă omoenă ând fom dn f.... pentu ce se cunoşte dmensune. Se cee să se detemne pozţ centulu de msă (ξ,η ) l plăc fţă de sstemul de e consdet. ezole oodontele centulu de msă l plăc fţă de sstemul de e z se detemnă cu jutoul elţlo: ξ, η () Ţnând sem de elţ ce dă pozţ centul unu secto ccul de ză ş unh l centu, em: π π sn sn 8 6 ; (b) π π π π
PLEE EZLVTE DE ENIĂ 5 Pentu plc smplă (deptunhul 6 ): ; ; (c) Pentu plc smplă (secto ccul de ză ): ; 8 / π; π (d) Pentu plc smplă (tunhul, ce se decupeză): / ; 8 / ; (e) Pentu plc smplă (secto ccul de ză, ce se decupeză): 6 6 / π; 6 / π; π (f) Înlocund în elţ de m sus se obţne: 6 π ( π ) ξ, 57 ; η, 96 () ( π ) ( π ) L celş ezultt se june dcă se completeză umătoul tbel : u n. om 7 8 6 π 8 8π ( 8π ) π 8 6 π 6 6 6 π π ( π 6 ) 6 (π) 78 8π 8 π
PLEE EZLVTE DE ENIĂ 55.. Se consdeă o plcă omoenă de fom unu pătt de ltuă dn ce se decupeză un tunh soscel de înălţme h c în f.... Se cee să se detemne înălţme tunhulu soscel stfel încât centul de msă (ξ,η ) să concdă cu îful tunhulu. h ezole: ţă de sstemul de e dn f..., coodontele centelo de eutte pentu pătt ş pentu tunh sunt: (, /), (,h/) () le coespunzătoe sunt: h,. (b)... oodont centulu de eutte după se detemnă cu jutoul elţe: η. (c) ondţ ηh conduce l umătoe ecuţe de dul II în h: ± h 6h ând soluţle: h, (e) Întucât h<, e sens num h, 6 (f) PLEE PPUSE Pentu plăcle plne omoene ând fom ş dmensunle c în fule.... se cee să se detemne pozţ centulu de eutte (ξ,η) în pot cu sstemul de e consdet.......5
PLEE EZLVTE DE ENIĂ 56...6...7 6 6 6...8...9 6 6......
PLEE EZLVTE DE ENIĂ 57 6 6...... ĂSPUNSUI N.p. ξ η.. ( π ) ( π ), 896 8 ( π )..5 ( 8 5π) ( 9 π), 5 ( 7π) ( 7π)..6 ( 56 6π) ( 88 9π), 56 ( π) ( π)..7 ( 6 9π) ( π), 6 ( π) ( π)..8 ( 5 8π ) ( 5 8π), 65 ( 56 π) ( 56 π), 665, 8 678, 75,, 6..9 5, 656 ( π).......... ENTUL DE SĂ PENTU PUI ENE PLEE EZLVTE.. Se consdeă un cop omoen tdmensonl cu o ă de smete, ând fom dn f..., fomt dnt-o semsfeă de dmetu Dmm ş un clndu de înălţme h5mm ş dmetu d mm. Se cee să se detemne pozţ centulu de eutte l ntulu (,,ζ) în pot cu sstemul de e consdet în fuă.
PLEE EZLVTE DE ENIĂ 58 d z D... h ezole Pentu sstemul de e z consdet în f... centele de eutte le celo două copu smple se flă pe de smete z; stfel: pentu semsfeă: D πd z V ; () 8 6 pentu clndu: h z,, V πd h. (b) V z Vz ( D 8d h ) ζ (c) V V 6( D d h ) Se obţne: ζ -,977 cm (d)... Se consdeă un cop omoen tdmensonl cu o ă de smete fomt dnto semsfeă ş un con c în f.... Se cunoşte z semsfee ş bze conulu. Se cee înălţme h conulu stfel încât centul de eutte l copulu să concdă cu centul bze conulu (su cu one sstemulu de e ) z ezole: V onul ş semsfe u centele de eutte ş pe z ând coodontele : h h z, z () 8 Volumele celo două copu smple sunt: π V h ; V π (b) oodont centulu de eutte după z se... detemnă cu jutoul elţe: V z Vz h ζ (c) V V h Impunând condţ:, dcă ζ ezultă: h cu soluţle h ±, e sens num h, 7 (e) (d)
PLEE EZLVTE DE ENIĂ 59 PITLUL IV EHILIUL ŢEL PLITE SLIDULUI IID EZUT DE TEIE. Teoemele enele le echlbulu dulu lbe În czul dulu lbe, echlbul este elzt dcă ş num dcă tosoul de educee l sstemulu de foţe ce cţoneză sup lu, înt-un punct, este nul: X, Y, Z τ L,, N unde: X,Y, Z sunt poecţle foţelo eteoe pe ele sstemulu ctezn,, espect z;, z - coodontele punctulu de plcţe l foţe L Σ ( Z -z Y ), Σ (z X - Z ), N Σ ( Y - X ) - poecţle momentelo foţelo eteoe pe ele sstemulu ctezn,, espect z; Dcă sstemul de foţe ce cţoneză sup dulu lbe este copln (de eemplu:se flă în plnul ) tunc ecuţle de m sus den: τ X, Y N b. Teoemele enele le echlbulu dulu supus l leătu Dcă dul este supus l leătu (pn leătu se înţelee un numă de constâne eometce ce se plcă dulu ce duc l mcşoe număulu de de de lbette - pentu dul lbe cest numă este 6), se plcă om leătulo ce postuleză că: oce leătuă eometcă pote f întotdeun supmtă ş înlocută cu elemente mecnce coespunzătoe (ce pot f foţe su momente-cuplu de leătuă) numte ecţun. Dcă se noteză tosoul foţelo de leătuă cu: ş tosoul foţelo eteoe (plcte) cu: tunc echlbul dulu este elzt dcă ş num dcă : τ le τ le le
PLEE EZLVTE DE ENIĂ 6 τ τ le le le le X X, Y Y le L L, le le,, Z N Z N Leătule dele uzule le dulu sunt : ezemul smplu (pndee cu f) tculţ sfecă tculţ clndcă (tculţ plnă) le le încste. Pn supme une leătu, confom ome leătulo se ntoduc elemente mecnce coespunzătoe tpulu de posbltăţ de mşce supmte: foţe dcă sunt supmte tnslţ, cuplu dcă sunt supmte otţ. ceste elemente sunt necunoscute le pobleme dte. Dcă dul este supus uno leătu ele (cu fece) tunc l condţle de echlbu de m sus (cele 6 ecuţ enele) se m duă elţ/elţle coespunzătoe tpulu de leătuă cu fece estent ş nume: fece de lunece dn cuplele de lunece: fece de ostoole dn cuplele de ostoole: fece de pote dn poţ l: fece dn lăele cu lunece: N ; p µ f µ. T µ N ; m sn ; În tote czule leătulo cu fece, ceste foţe /cuplu se opun totdeun tendnţe copulu de eecut oce fel de mşce... EHILIUL IIDULUI LIE SU ŢIUNE UNUI SISTE SPŢIL DE ŢE PLEE EZLVTE... Se consdeă o plcă omoenă în fomă de plelpped deptunhc cu muchle, 6,, fltă în echlbu sub cţune eutăţ pop, foţe P cunoscute c decţe sens ş modul ş foţelo ( ),,..6, cunoscute c decţe ş sensu d necunoscute c modul (f...). Se ce mămle foţelo pentu c echlbul foţelo să bă loc. ezole: Epesle nltce le ectolo foţe fţă de sstemul de e sunt:
PLEE EZLVTE DE ENIĂ 6 P 6 z... 5 6 D P Pj; k ; 5 k ; ; ( P ) ' P ( k ) Pj Pk P 5 k 6 k ; 6 j; () Epesle nltce le momentelo cesto foţe în pot cu sunt: ( ) D ( j, 5k ) ( k ) j ( ) k j ( ) ( ) ( 6j ) k j 6 6j k 6 (b) ( ( 5 ( 6 ) ' ) ' ) 6 ( 6j k ) 6 k j 5 k j 5 j k 6 Ecuţle ectole de echlbu le dulu lbe ( ; ), scse în poecţ pe cele te e le sstemulu totoonl z sunt: X Y 6 Z L P 6 P 5 N P 6 5 6 6 6 ezolând cest sstem de 6 ecuţ cu 6 necunoscute ezultă: 5 6 5 (c) / P / 6; ; P / 6; ; / ; P. (d).. EHILIUL IIDULUI SUPUS L LEĂTUI SU ŢIUNE UNUI SISTE DE ŢE PLNE PLEE EZLVTE.. Se consdeă o bă omoenă de lunme l ş eutte ce se ezemă cu cpătul pe un peete etcl în punctul D pe o muche fă stută l dstnţ fţă de peetele etcl (f....). Leătule dn ş D sunt făă fece. Se ce: ) unhul θ pe ce îl fce b cu ozontl pentu echlbu; ) mămle ecţunlo dn ş D.
PLEE EZLVTE DE ENIĂ 6 ezole Se lee sstemul de efenţă conenbl ş confom ome leătulo se ntoduc în ş D foţele de leătuă N s N (f....b). Ecuţle de echlbu foţelo ce cţoneză sup be scse în poecţ pe cele te e sunt: X : Y : z : N N D N D snθ cosθ l cosθ N Pmele două ecuţ conduc l: D cosθ () sn θ N D, N (b) cos θ cos θ ce ntoduse în ecuţ te conduc l: cos l Echlbul este posbl dcă: l θ, su θ ccos (c), su l (d) l Înlocund loe unhulu θ în epesle ecţunlo N ş N D se obţne: N N D l, l l (e) N D l θ () N D D (b) D... θ.. Se consdeă o bă omoenă de lunme l ş eutte ce se ezemă cu cpătul în colţul fomt de un peete ozontl ş unul etcl, în punctul D se ezemă pe o muche fă stută l dstnţ fţă de peetele etcl (f....). Leătu dn D este făă fece. Se ce mămle ecţunlo dn ş D. ezole Se lee sstemul de efenţă c în f....b ş confom ome leătulo se ntoduc în ş D foţele de leătuă N s N D
PLEE EZLVTE DE ENIĂ 6 l D θ l D θ N D Ecuţle de echlbu foţelo ce cţoneză sup be în poecţ pe cele t e se scu: X H N sn θ Y z V N D D l cos θ N cos θ D cos θ Dn ecuţ te se obţne: l N D cos θ dn pmele două ecuţ ezultă componentele ecţun dn : l H snθ cos θ; l V cos θ. Dec măme ecţun dn este: ()... l l H V sn θ cos θ cos θ H V (b) () (b) (c) (d) l.... D θ.. Se consdeă o bă omoenă de lunme l ş eutte ce se ezemă cu cpătul pe o ctte semclndcă de ză, în punctul D pe much fă ctăţ (f....). ezemăle dn ş D sunt făă fece. Se ce: ) unhul θ pe ce îl fce b cu ozontl pentu echlbu; ) mămle ecţunlo dn ş D.
PLEE EZLVTE DE ENIĂ 6 N X Y z : : : l N N sn θ sn θ N D l cos θ N cos θ D cos θ ezole Se lee sstemul de efenţă conenbl ş confom ome leătulo se ntoduc în ş D foţele de leătuă N s N D (f....b). Ecuţle de echlbu foţelo ce cţoneză sup be se scu: Dn pm ş te ecuţe se obţn mămle ecţunlo N D....b N s N : l N sn θ; N D (b) Înlocund ceste lo în ecuţ (b) ezultă ecuţ de. II: cos θ l cos θ (c) l ± l ând soluţle: cos θ. (d) 8 Întucât poblem e sens dcă : θ π /, este lblă do soluţ l l poztă. ondţ de echlbu se sce: l (e) 8 θ D ().. Se consdeă o plcă tunhulă omoenă de eutte stută în pln etcl, ce se ezemă în pe un peete etcl în punctul este tcultă de medul f (dmensunle plăc ş dstnţ de l tculţe l peetele etcl sunt dte în f....). Leătule dn ş sunt făă fece. Se ce mămle ecţunlo dn ş. ezole Se lee sstemul de efenţă conenbl ş confom ome leătulo se ntoduc în ş foţele de leătuă N, X s Y (f....b). Ecuţle de echlbu foţelo ce cţoneză sup be, în poecţ pe cele te e se scu: X Y z X Y ( N sn θ N cos θ N cos θ sn θ sn θ ) 8 ( sn θ ) ( cos θ ) ()
PLEE EZLVTE DE ENIĂ 65 Y θ ()... Dn te ecuţe () se obţne : cos θ N ; 8 sn θ 8 Înlocund cestă loe în pm ş dou ecuţe () ezultă: X V θ cos sn θ cos θ ; 8 sn θ 8 cos θ sn θ cos θ 8 8 Dn tunhul se detemnă : cos θ ; sn θ. oodontele centulu de eutte l plăc (, ) se detemnă cu jutoul elţlo: ;, (d) unde: 6 ; 9 π / ; / ; / ; Înlocund ezultă: ; / π ( 8 π ) 5, 785;, (f) ( π ) ( π ) Dec lole ecţunlo după înlocue pmetlo de m sus sunt: N, 6; X, 97; Y, () θ X N (b) (b) (c) (e)
PLEE EZLVTE DE ENIĂ 66..5 Se consdeă o plcă tunhulă omoenă de eutte, stută înt-un pln etcl, ce se ezemă în pe much unu peete etcl, în punctul este letă de medul f pnt-o tculţe clndcă (dmensunle plăc ş dstnţ de l tculţe l peetele etcl sunt dte f...5.). Leătule dn ş sunt făă fece. Se ce mămle ecţunlo dn ş. 9 θ () 5...5 N θ (b) Y X ezole Se lee sstemul de efenţă conenbl ş se ntoduc în ş foţele de leătuă N, X s Y (confom ome leătulo, f...5.b). Ecuţle de echlbu foţelo /momentelo în poecţ pe cele te e sunt: X Y z X Y N cos θ N sn θ 5 ( sn θ ) Dn dou ecuţe se obţne : Dn te ecuţe se obţne : ( cos θ ) cos θ sn θ N ; 5 5 Înlocund cestă loe în pm ecuţe ezultă: X cos θ cos θ 5 sn θ ; 5 () Y sn θ (b) Dn tunhul se detemnă lole : cos θ ; sn θ. (e) 5 5 Pozţ centulu de eutte l plăc tunhule (, ) se detemnă cu jutoul elţlo: ;, (f) (c) (d)
PLEE EZLVTE DE ENIĂ 67 unde: 7 ; 9π / ; ; 6; / π; 9 / π Înlocund ezultă: 76 9π, 577; 5, 876 (h) π π Vlole ecţunlo după înlocue pmetlo de m sus sunt: N, 59; X, 9; Y,. () 8 ()..6. Se consdeă un cdu let de medul f pnt-o tculţe clndcă ş un ezem, sup cău cţoneză un sstem de foţe, cuplu ş scn dstbute unfom c în f...6.. Se cunosc:, q,, q, q. Se ce mămle ecţunlo dn ezemul ş tculţ. q H V e N ()...6 (b) ezole Se lee conenbl sstemul de efenţă ş se ntoduc în ş foţele de leătuă N, H s V (confom ome leătulo, f...6.b). Scn unfom dstbută q se înlocueşte cu o foţă echlentă concenttă e ce cţoneză l mjlocul dstnţe pe ce este scn dstbută: e q. Ecuţle de echlbu foţelo ce cţoneză sup be, în poecţ pe cele te e se scu: X Y H V cos sn N ( N cos ) z ezolând cest sstem ezultă: N e N cos e sn ( cos θ ) cos 5 5 q; H cos q; V sn cos q cos () (b)
PLEE EZLVTE DE ENIĂ 68..7 Se consdeă un cdu pln let l medul f pnt-o tculţe clndcă ş un ezem, sup cău cţoneză un sstem de foţe, cuplu ş scn dstbute unfom ş tunhul, c în f...7.. Se cunosc:, q, p, p, p, p. Se ce mămle ecţunlo dn ş. p p...7. ezole Se lee sstemul de efenţă cu one în punctul (, f...7.b). Se înlocuesc leătule ş cu ecţunle coespunzătoe V, H, V ş scnle dstbute cu foţele echlente coespunzătoe ec ş ec. ec ec V H V...7.b Pentu detemne ecţunlo V, H, V se scu : ecuţ de echlbu momentelo foţelo ş cuplulo: Σ V..-.-- ec.8- ec. () ecuţ de echlbu foţelo după decţ : ΣX H - ec (b) ecuţ de echlbu foţelo după decţ : ΣY V V - - - ec (c) Se obţn umătoele ezultte:v p; H 5, p; V 7,6 p (d)