Tema: şiruri de funcţii

Transcript

1 Tem: şiruri de fucţii. Clculţi limit (simplă) şirului de fucţii f : [ 0,], f ( ) R Avem lim f ( 0) = ir petru 0, vem lim f ( ) Î cocluzie, dcă otăm f: [ 0, ], f ( ) =, = 0 =, = +, tuci lim f f =.. Arătţi că şirul de fucţii f: [ 0, ) R, f( ) = este uiform coverget + + Limit simplă (puctulă) şirului de fucţii este lim f ( ) = ; î cocluzie, dcă s otăm f : [ 0, ) R, f ( ) =, tuci f f. Arătăm că limit este uiformă, ir petru cest observăm că: f ( ) f ( ) = + <, su, echivlet, ( ) ( ) sup f f + < Deorece 0,, idepedet de rezultă că limit este uiformă.. Arătţi că şirul de fucţii f: R R, f( ) = rctg u este uiform coverget. π π Petru < 0,lim f ( ) =, petru > 0,lim f ( ) = şi lim f ( ) 0 = 0. π, < 0 s Î cocluzie, dcă otăm f: R R, f ( ) = 0, = 0, tuci f f. π, > 0 Utilizăm firmţi: limit uiformă uui şir de fucţii cotiue este o fucţie cotiuă. Observăm că fucţi f u este cotiuă deci covergeţ u pote fi uiformă. 0 = + 4. Arătţi că şirul de fucţii f :(, ), f ( ) R u este uiform coverget. Şirul este coverget puctul (simplu) l fucţi costtă f: (, ), f ( ) Covergeţ depide îsă de deorece + < > ε ε 0 R =. + = + ir. Se observă cu uşuriţă că petru ε şi ε dte, eistă > 0 stfel îcât ieglitte u mi este devărtă, respectiv petru cre ε. ε Î coseciţă, covergeţ u este idepedetă de deci u este uiformă.

2 . Clculţi lim 0 + d = + Şirul de fucţii f [ ] f ( ) : 0,, fucţi costtă f: [ 0, ] R, f ( ) = 0. R este coverget puctul (simplu) l Covergeţ este uiformă deorece f ( ) f ( ) = + 0,, idepedet de. Petru clculul efectiv l limitei di euţul problemei folosim propriette: lim b ( ) = lim ( ), deci lim f d f d 6. Clculţi lim e d b Şirul de fucţii [ ] ( ) :,, fucţi costtă f: [, ] R, f ( ) = d = f f = e R este coverget puctul (simplu) l Covergeţ este uiformă deorece f ( ) f ( ) 4 = e e 0,, idepedet de. Petru clculul limitei folosim ceeşi propriette c l eerciţiul terior, deci lim e d = lim e d = 0. Este de remrct fptul că itegrl u pote fi clcultă direct deorece fucţi u re primitive eprimbile pri fucţii elemetre.

3 . Seri de fucţii ( )!! 0 Demostrţie. ( + ) Tem: serii de fucţii este uiform covergetă pe [, ] Utilizăm criteriul geerl l lui Cuchy: ( ) ( ) ( + p +! ) + + ( + )! ( ) + p + p ( + p + )! p = = 0,, + + p + p, şi idepedet de p deci seri este uiform bsolut + + idepedet de [ ] covergetă. si. Seri de fucţii este uiform bsolut covergetă pe R Demostrţie. Utilizăm criteriul lui Weierstrss si. Seri de fucţii [ r, r], r < 0, R este covergetă Demostrţie. Utilizăm criteriul lui Dirichlet este uiform bsolut covergetă pe orice itervl de form + r s = r+ + r = r < r deci este mărgiit = este mooto descrescător şi coverget l Seri de fucţii ( ) [ r, r], r < 0 este uiform covergetă pe orice itervl de form Demostrţie. Utilizăm criteriul lui Leibitz ( ) = este descrescător petru fit, + îcepâd de l u rg, ( + ), şi ume de îdtă ce r + +

4 . Clculţi: ( ) , (, ) Arătăm că seri de fucţii pote fi derivtă terme cu terme pe orice itervl de form [ rr, ], r<. Petru cest rătăm că tât cest, cât şi seri formtă cu derivtele fucţiilor (dică seri dtă î euţ) sut uiform covergete. Seri este uiform covergetă î bz criteriului lui Weierstrss deorece r ir seri geometrică r este covergetă petru r <. Seri formtă cu derivtele fucţiilor, ( + ) +... este de semee uiform covergetă î bz criteriului lui Weierstrss deorece ( ) + ( + ) r ir seri + r+ r ( + ) r +... este covergetă î bz criteriului ( ) rportului: lim r + + = r <. ( + ) Petru clculul efectiv l sumei seriei observăm că sum prţilă + s ( ) = = este uiform covergetă l fucţi seriei di euţ se v obţie pri derivre,dică: ( ) 6. Clculţi: z , z [ 0, ) pe [ ] 0, deci sum z z Am văzut dej că seri de fucţii este uiform covergetă 0, r, r <, î coseciţă pote fi itegrtă terme cu terme pe orice itervl z d z z 0 [ 0, z], z<, şdr sum seriei este = l( ) = l ( ) 0

5 Tem: mulţime de covergeţă seriilor de puteri. Determiţi mulţime de covergeţă seriei de puteri Determiăm rz de covergeţă utilizâd corolrul teoremei Cuchy + ( + ) Hdmrd ω = lim = lim = lim = şi ρ = =, deci seri este bsolut ( + ) ω covergetă petru (, ) şi uiform bsolut covergetă pe orice itervl [ rr, ] (, ). Petru = seri devie cre este covergetă (seri rmoică geerliztă cu α = ). ( ) Petru = seri devie cre este bsolut covergetă (seri modulelor este ect ce terioră). A =,. Mulţime de covergeţă este [ ]. Determiţi mulţime de covergeţă seriei de puteri Determiăm rz de covergeţă utilizâd corolrul teoremei Cuchy + + Hdmrd ω = lim = lim = lim + = şi ρ = = ; seri este bsolut ω covergetă pe (, ) şi uiform bsolut covergetă pe orice itervl [ rr, ] (, ). Leibitz ( Petru = seri Petru = seri este divergetă (seri rmoică geerliztă cu α = ). ( ) este mooto descrescător şi coverget l 0). Mulţime de covergeţă este A = [, ). este bsolut covergetă î bz criteriului lui

6 . Determiţi mulţime de covergeţă seriei de puteri! Determiăm rz de covergeţă utilizâd corolrul teoremei Cuchy + ( + )!! Hdmrd ω = lim = lim = lim = lim ( + )! + = 0 şi ρ =, deci seri este! bsolut covergetă petru R şi uiform bsolut covergetă pe orice itervl de form [ r, r]. Mulţime de covergeţă este A=R. 4. Determiţi mulţime de covergeţă seriei de puteri Determiăm rz de covergeţă utilizâd corolrul teoremei Cuchy + + ( + ) Hdmrd ω = lim = lim = lim( + ) + şi ρ = 0, Mulţime de covergeţă este A = { 0 }.. Determiţi mulţime de covergeţă seriei de puteri Determiăm rz de covergeţă utilizâd corolrul teoremei Cuchy + + Hdmrd ω = lim = lim = şi ρ =. deci seri este bsolut covergetă petru r. [, r],, şi uiform bsolut covergetă pe orice itervl de form Petru = seri devie cre este divergetă. Petru = seri ( ) este divergetă Mulţime de covergeţă este A,. =

7 Tem: dezvoltre î serie fucţiilor. Dezvoltţi î serie, după puterile lui, fucţi f : R R, f ( ) = e Utilizăm dezvoltre î serie Tylor. ( ) Derivtele sut f ( ) = e şi sut mărgiite pe orice mulţime [ r, r] deorece r e e, [ r, r] deci fucţi se dezvoltă î serie Tylor pe orice mulţime de form [ r, r], dică petru orice R. ( ) Avem f ( 0) = deci seri Tylor socită fucţiei dte, petru = 0, este e = !!!. Dezvoltţi î serie, după puterile lui, fucţi f: R R, f ( ) = si Utilizăm dezvoltre î serie Tylor. ( k ) k Derivtele fucţiei sut f ( ) ( ) ( k + ) k = si şi f ( ) = ( ) cos şi sut mărgiite pe R deci fucţi se dezvoltă î serie Tylor pe R. ( k) ( k + ) k Avem f ( 0) = 0 şi f ( 0) = ( ) deci seri Tylor socită petru = 0 este 7 9 si = + +!!! 7! 9!.... Dezvoltţi î serie, după puterile lui, fucţi f: R { } R, f ( ) = + Utilizăm seri biomilă petru α = :..., (, ) + = + 4. Dezvoltţi î serie, după puterile lui, fucţi f: (, ) R, f ( ) = l( + ) Derivt fucţiei este f ':(, ) R, f '( ) = cre m văzut că se dezvoltă î + serie Tylor după puterile lui (, ): + = +..., pe cre o itegrăm terme cu terme şi rezultă ( ) l + = +... Pe de ltă prte, ştim că +... = l deci (, ], (, ).

8 . Dezvoltţi î serie, după puterile lui, fucţi f: R R, f ( ) = rctg Derivt fucţiei este f ': R R, f '( ) = cre se dezvoltă î serie Tylor + după puterile lui : 4 6 = +..., + pe cre o itegrăm terme cu terme şi rezultă rctg = +..., (, ). Pe de ltă prte,, şi coform teoremei II- lui Abel: A, deci [ ) π 4 = Dezvoltţi î serie, după puterile lui, fucţi f : R {,} R, f ( ) = + 6 Descompuem + 6 = şi dezvoltăm fiecre terme folosid seri biomilă, stfel: ( )( ) ( ) ( ) = = = =,!! 0, ; Dezvoltre se pote obţie şi porid de l seri geometrică: ( ) = =,,. 0 Alog, cel de-l doile terme este: ( ) = 0,,, deci ( ) ( ) ( ) ( ) + 6 =,,, =,. 0 f f = + 7. Dezvoltţi î serie, după puterile lui, fucţi :, R, ( ) Puem î evideţă fctorul stfel îcât să putem utiliz dezvoltre î serie biomilă: + = ( ) + = + ( ) = !! ( ) ( ) + ( )...! ( ) ( ) +... =, 7,