3. Metode de calcul pentru optimizarea cu restricţii

Transcript

1 3. Metode de calcul pentu optzaea cu estcţ În cazul estenţe uno estcţ se folosesc atât etode de calcul bazate pe tansfoă ale pobleelo cu estcţ în poblee faă estcţ, cât ş etode specfce; în cadul abelo cateo de etode, o potanţă deosebtă o au condţle Kuhn-ucke. Folosea ultplcatolo Laane pentu ezolvaea pobleelo cu estcţ de tp ealtate este lustată în paaaful 3., condţle Kuhn-ucke sunt enunţate în paaaful 3., utlzaea funcţlo de penalzae pentu ezolvaea pobleelo cu estcţ de tp ealtate ş nealtate este pezentată în paaaful 3.3, a cele a utlzate etode specfce de ezolvae a pobleelo cu estcţ sunt lustate în paaaful Folosea ultplcatolo Laane pentu ezolvaea pobleelo de opt cu estcţ de tp ealtate În cazul căută eteulu de eeplu, a aulu) une funcţ cteu de n vaable f ) f,, ) 3.) n cu estcţ de tp ealtate h ) h,, K, ), 3.) n,,..., cu < n), se deonstează [B5] că punctul,, K, n cae azează funcţa cteu 3.), cu espectaea estcţlo 3.), poate f obţnut pn optzaea azaea) făă estcţ a funcţe L, ) L,, K, n,,, ) f,, n ) + h,, n ) 3.3) Funcţa L,, K,,,, ) este denută funcţe Laane sau n laanean), a scala,,... sunt nuţ ultplcato Laane [B5]. Eteul în eeplul consdeat în contnuae, eteul este un a) funcţe Laane se obţne pn nteedul condţlo.) aplcate aceste funcţ, espectv L / L / 3.4)... L / n Condţle.) ăân valable, întucât se caută eteul făă estcţ al funcţe L, ). Metoda ultplcatolo Laane ezolvă dec poblee de opt cu estcţ de tp ealtate pn tansfoaea lo în poblee de opt făă estcţ, dec pnt-o tansfoae RE, enţonată în paaaful..3. Pentu lustae, se consdeă [Căl79] azaea funcţe cteu dn.9) f, ) f, l) π l, 3.5) - epezentând voluul unu ezevo clndc - în condţle estcţe cae ezultă dn.3) espectv h, ) h, l) π l + π l S. 3.6) Aplcând 3.3) se obţne L,, ) L, l, ) f, ) + h, ) 3 -

2 f, l) + h, l) π l + π l + π ). 3.7) S Pentu ăsea valolo opte opt ş l opt se anulează devatele paţale ale funcţe L,, ) în apot cu ş, confo cu 3.4), ezultând dn 3.7): L / L / π l + πl + 4π) 3.8) L / L / l π + π 3.9) Dn 3.9) se obţne 3.) a dn 3.8) ezultă: l + l +, espectv l 3.) + Înlocund 3.) în 3.) se obţne 4 l 4, 3.) dn 3.) ş 3.) ezultând l, 3.3) epese cae vefcă ş elaţa.33) dnte valole opte. Înlocund 3.) ş 3.) în estcţa 3.6) se obţne 6π + 8π S, de unde ezultă valoaea ultplcatoulu Laane: S ± 3.4) 4 π Întucât aza ş înalţea l tebue să satsfacă ş condţle de poztvtate.3) ş.3), dn 3.) ş 3.) ezultă că în 3.4) tebue adoptată valoaea S 3.5) 4 π cae - pn înlocue în 3.) ş 3.) - asuă obţneea valolo opte poztve: S S opt, l opt 4 3.6) 4 π 4 π Metoda ultplcatolo Laane poate f utlzată ş în cazul estcţlo de tp nealtate, cu condţa ca acestea să fe în pealabl aduse la foa uno estcţ de tp ealtate; o aseenea schbae a foe estcţlo poate f obţnută pn nteedul uno vaable aulae. Astfel, pesupunând că se uăeşte azaea funcţe cteu f,, K, n ) cu estcţle nealtate de foa.36),, K, ),,..., p, 3.7) n aceste estcţ pot f tansfoate în estcţ ealtate pn ntoduceea uno vaable aulae k,,..., p), scnd p ealtăţ de foa k, 3.8) + acestea epezentând estcţle ealtate coespunzătoae estcţlo nealtate dn 3.7). 3 -

3 Dn 3.7) ş 3.8) se constată că satsfaceea ealtăţlo 3.8) asuă ş satsfaceea nealtăţlo 3.7), întucât k > dacă k. Restcţle ealtate 3.8) pet folosea etode ultplcatolo Laane pentu ăsea optulu funcţe cteu. În ult an a căpătat o utlzae a laă aşa nuta etodă a laaneanulu etns [Căl79], [B5] - enţonată în paaaful în cadul căea se cobnă pncpul ultplcatolo Laane cu pncpul funcţlo de penalzae, epuse în paaaful Condţle Kuhn-ucke Condţle Kuhn-ucke au o potanţă deosebtă în cazul optză cu estcţ de tp nealtate. În pezenţa acestu tp de estcţ, elaţa.) nu a este valablă, după cu va ezulta ş dn eeplul cae uează F. 3.); pesupunând că eteul este un n, condţle Kuhn-ucke afă că pn deplasae dn punctul de opt în oce decţe adsblă - espectv în oce decţe cae nu detenă încălcaea veune estcţ - funcţa cteu nu poate desceşte. Evdent, dacă dn a esta veo decţe adsblă în cae funcţa cteu a desceşte, atunc nu a a f punctul de n. Acest paaaf nu îş popune să peznte deonstaţa condţlo Kuhn-ucke, c nua să lusteze foulaea lo pn nteedul eeplulu dn [Căl79]; deonstaţa poate f ăstă în [Las75], [B5]. Pesupunând că se cee nzaea funcţe cteu f ) f, ) ) + ) 3.9) cu estcţle, ) 3.) ş, ) +, 3.) în F. 3. sunt epezentate în planul, ) cubele cculae de nvel - obţnute ca în F.. - pecu ş paabola P ş deapta D, coespunzătoae cazulo ltă ale estcţlo 3.) ş 3.), espectv coespunzătoae ealtăţlo 3.) +, 3.3) cae pot f puse sub foa, 3.4) ) Deapta D este detenată de ntesecţa dnte planul, ) ş planul pn cae este 3 epezentată în R funcţa, ) +, 3.6) a paabola P este detenată de ntesecţa dnte planul, ) ş supafaţa pn cae este 3 epezentată în R funcţa, ). 3.7) Dn 3.) ezultă că punctele cae coespund condţe 3.8) consttute doenul adsbl în planul, ), a punctele cae coespund condţe 3-3

4 < 3.9) coespund doenulu ntezs, întucât încalcă estcţa 3.); în F. 3., doenul ntezs este doenul dn afaa doenulu adsbl. În od analo este haşuat doenul >, epezentând doenul ntezs de estcţa 3.). + C D - + C C 3 C 4 Doenul adsbl ' ) E f ) f ) ' ) C 5 C 6 M P - F. 3. Rezultă că, dn punct de vedee al espectă abelo estcţ 3.) ş 3.), doenul adsbl dn F. 3., nclude ş poţunle afeente dn paabola P ş deapta D. Întucât valole funcţe cteu f, ) scad dnspe cuba cculaă, de nvel C spe cuba C 6, pentu a atne valoaea zeo în punctul de n M, cu coodonatele,, se constată, că - în condţle espectă estcţlo - punctul cae asuă cea a că valoae a funcţe cteu este punctul E, cu coodonatele, de la ntesecţa depte D cu paabola P), acesta epezentând soluţa a poblee de optzae cu estcţ. După cu s-a enţonat ş la începutul acestu paaaf, se constată că în E nu ae loc elaţa.), cae este valablă nua în punctul M, însă acesta nu apaţne doenulu adsbl. În F. 3. sunt epezentaţ vectoul adentulu f ) în punctul E vecto pependcula pe tanenta la cuba cculaă, de nvel C, dec având decţa aze ceculu ş sensul spe cubele de nvel cu valo descescătoae C ) ş vectoul - f ), de sens opus, pelunea acestu vecto tecând pn punctul M. Obsevaţe. Dn oce punct consdeat făcând abstacţe de estenţa estcţlo) pelunea ocău vecto - f ) tece pn nul făă estcţ M, datotă faptulu că cubele de nvel sunt cculae. Acest consdeent conduce la concluza că în cazul uno cube de nvel cculae, etoda cele a a pante, cu aleeea decţe nţale p - f ) dn.6), conduce înt-un snu pas până la nul făă estcţ, întucât pn deplasaea pe această decţe se aune în n ş nu tebue căutată o altă decţe. Pe această bază a fost elaboată etoda adentulu conuat scalat [Căl79], cae este ndcată atunc când pn 3-4

5 opeaţ de odfcae a scale - de scalae - cubele de nvel de anute foe de eeplu, elpse) pot f tansfoate în cecu. ot în F. 3. sunt epezentaţ ş vecto adent a estcţlo ' ) ş ' ), ultul fnd pependcula în E pe deapta D ş având sensul spe zona ntezsă dec sensul ceşte valolo funcţe, ) + ), a pul fnd pependcula în E pe tanenta la paabola P ecuaţa tanente în E la cuba fnd ) având sensul spe zona ntezsă, espectv sensul ceşe funcţe, ). Esenţa condţlo Kuhn-ucke constă în epaea faptulu că vectoul - f ) tebue să se ăseasca înte vecto ' ) ş ' ) - folosnd o foulae a uoasă: tebue să se ăsească în conul conve eneat de vecto ' ) ş ' ) - espectv tebue să epeznte o cobnaţe lnaă a acesto vecto, de foa ' ' f ) ) + ) 3.3) unde, epezntă ultplcato Laane a estcţlo. Înt-adevă, dn punct de vedee al estcţe ), decţle adsble p sunt cele cae fac unhu a a de 9 cu vectoul ' ), a dn punct de vedee al estcţlo ), decţle adsble p sunt cele cae fac unhu a a de 9 cu vectoul ' ), întucât aceşt vecto sunt pependcula pe tanenta ş deapta D ş dec oce decţe cae face unhu până la 9 cu vecto ' ) sau ' ) conduce la deplasă spe zona ntezsă; ca uae, nua decţle p cae fac unhu a a de 9 cu ab vecto ' ) ş ' ) epezntă decţ adsble. Confo cu.3), pentu ca vectoul decţe adsble p să facă unhu a a de 9 cu vecto ) ş ) sunt necesae condţle ' ' ' ) p < ; ' ) p <. 3.3) Pe de altă pate, dn elaţa.3) a ezultat că pentu ca o decţe p să asue desceşteea funcţe cteu f) este necesa ca vectoul p să facă un unh a c de 9 cu ' vectoul adent f. Ca uae, dacă sunt espectate condţle Kuhn-ucke ş vectoul - f ) se ăseşte înte vecto ' ) ş ' ) - confo elaţe 3.3) ş F atunc nu va esta nc o decţe p cae să facă un unh de până la 9 cu vectoul - f ) ş în acelaş tp să poată face unhu de peste 9 cu ab vecto ' ) ş ' ) deoaece oce decţe p cae face unhu a a de 9 cu ab vecto ' ) ş ' ) va face un unh a ae de 9 ş cu vectoul - f ), aflat înte ce do vecto), dec nu va esta nc o decţe adsblă cae să conducă la desceşteea funcţe cteu: în consecnţă, punctul E epezntă punctul de opt n) cu estcţ. ecând la cazul eneal n-densonal în pezenţa a estcţ, condţa 3.3) capătă aspectul ' f ) ) 3.3) cu. Condţa ca vectoul - f ) să se ăsească înte vecto ' ) ş ' ) este evdent echvalentă cu condţa ca vectoul f ) să se ăsească înte vecto - ' ) ş - ' ), dec condţa eneală 3.3) poate f pusă ş sub foa 3-5

6 ' f ) [ )], 3.33) cu. Pe lână elaţa 3.3) sau 3.33), foulaea condţlo Kuhn-ucke nclude ş o elaţe de foa ) 3.34) eplcată în [Las75]. Condţle Kuhn-ucke sunt foloste în nueoase etode de optzae cu estcţ pentu eneaea de decţ de deplasae spe opt de eeplu, în etoda poecţe adentulu, enţonată în paaaful 3.4) sau pentu stablea uno cte de ope a căută atunc când vefcaea condţlo Kuhn-ucke atestă atneea optulu Folosea funcţlo de penalzae pentu optzaea cu estcţ Metoda funcţlo de penalzae pete tansfoaea pobleelo de optzae cu estcţ ealtate ş nealtate în poblee de optzae făă estcţ. Astfel, pesupunând că se uăeşte nzaea funcţe cteu f), cu estcţle h ),,,..., 3.35) ş ),,,..., 3.36) - estcţ de tpul.84) ş.86) - se poate obţne o vaantă a funcţlo de penalzae tansfoând în pealabl estcţle nealtate 3.36) în estcţ ealtate cu autoul uno vaable aulae k, scnd estcţle ealtate echvalente l ) ) k, 3.37) tansfoae analoaă cu cea dn 3.8), ntevennd însă senul nus datotă deoseb dnte 3.7) ş 3.36), espectv dnte caacteul estcţlo nealtate) ş cautând apo nul făă estcţ al funcţe Φ, f ) + c ϕ[ h )] + c ψ[ l )]. 3.38) unde funcţle ϕ [ h )] ş ψ [ l )] sunt funcţ de penalzae, cae tebue să satsfacă anute condţ, a c > ş c > sunt facto de pondeae. În cel a splu caz se poate adopta ϕ [ h )] [ h )] 3.39) ψ [ l )] [ l )] 3.4) ş elaţa 3.38) capătă foa Φ, f ) + c[ h )] + c [ l )] 3.4) Dn 3.4) se constată că dacă estcţle 3.35) ş 3.37) sunt satsfăcute - ceea ce înseană că sunt satsfăcute estcţle nţate 3.35) ş 3.36) - atunc funcţle Φ, ş f) devn eale ş dec nzaea funcţe Φ, asuă nul funcţe cteu f). Dacă unele dn estcţle 3.35) sau 3.37) sunt încălcate ş dacă sunt alese valo sufcent de a pentu facto de pondeae c ş c atunc, cha la abate c ale funcţlo h ) ş l ) de la valoaea zeo ezultă ceşte a ale valo funcţe Φ, - dec nu se poate obţne un n al aceste funcţ - ş pn uae pocesul de căutae este foţat să 3-6

7 evnă în doenul în cae estcţle sunt espectate. O vaantă a funcţlo de penalzae utlzată elatv fecvent a fost elaboată de Facco ş McCock [Căl79]. Consdeând nzaea funcţe cteu f), cu estcţle ), 3.4) se caută pnt-un poces secvenţal nzaea făă estcţ a funcţe Φ, β) f ) + β 3.43) ) unde pocesul de nzae se epetă pentu dfete valo descescătoae ale factoulu β β > β > L > βk > ). Dn 3.43) se constată ca nul functe Φ, β) va ezulta în nteoul doenulu adsbl deltat de estcţle 3.4), întucât pe fontea acestu doenu se obţne ) ş funcţa Φ, β) tnde să cească spe nfnt, dec nu poate ezulta un n. Întucât etoda pesupune apopeea de opt dn nteoul doenulu adsbl deltat de estcţ, punctul nţal al pocesulu secvenţal tebue să se ăsească în nteoul doenulu adsbl; căutaea unu punct dn doenul adsbl este pezentată în [B5]. Datotă caacteulu secvenţal, etoda a fost denută "tehnca de nzae secvenţală făă estcţ" în lba enleza: sequental unconstaned nzaton technque SUM). În ult an, etoda funcţlo de penalzae a fost cobnată cu etoda ultplcatolo Laane în cadul etode laaneanulu etns [Căl79]; pentu nzaea une funcţ cteu f) cu estcţle ),,,..., 3.44) se folosesc vaable aulae ş se tansfoă, poblea dată, înt-o pobleă de nzae a functe f) cu estcţle echvalente l ) ) + k, 3.45) optul fnd obţnut pn nzaea făă estcţ a funcţe L, k,, f ) + l ) + c ϕ[ l )] f ) + [ ) + k ] + cϕ[ ) + k ] 3.46) această funcţe epezentând laaneanul etns. Functa ϕ este o funcţe de penalzae ş dn 3.46) se constată că în epesa laaneanulu etns ntevn atât teen coespunzăto etode ultplcatolo Laane - de tpul celo dn 3.3) - cât s teen coespunzăto funcţlo de penalzae, de tpul celo dn 3.38) Metode specfce de optzae cu estcţ Metodele de optzae cu estcţ enţonate în acest paaaf sunt denute specfce în sensul că nu fac apel la tansfoă ale pobleelo de optzae cu estcţ în poblee de optzae făă estcţ. Pncpalele etode specfce se bazează pe eneaea decţlo adsble, espectv a decţlo caactezate de faptul că efectuaea uno deplasă c nu încalcă estcţle. Dacă o astfel de deplasae asuă ş o apopee de ete de eeplu, asuă cşoaea funcţe cteu în cazul căută unu n), atunc decţa adsblă este o decţe adsblă ş 3-7

8 utlzablă. Cele a fecvent foloste etode bazate pe eneaea decţlo adsble sunt cele elaboate de Zoutendk ş de Rosen. În cadul etode Zoutendk [Căl79], pentu nzaea funcţe cteu f) cu estcţ de foa ),,,..., 3.47) se eneează decţ adsble p, cae - confo celo enţonate în paaaful 3. - tebue ' să facă unhu a a de 9 cu toţ adenţ estcţlo ), espectv tebue să satsfacă elaţ de foa 3.3): ' ) p <,,,...,. 3.48) Pe de altă pate, pentu ca decţle adsble să fe ş utlzable, ele tebue să asue desceşteea funcţe cteu f), dec tebue să satsfacă o condţe de foa.3) f p f ) p <. 3.49) Ca uae, etoda nclude un alot cae la fecae teaţe selectează o decţe adsblă ş utlzablă, asuând satsfaceea abelo elaţ 3.48) ş 3.49), dec conducând totodată la desceşteea funcţe cteu ş la depătaea de anţele doenlo ntezse, fate pn estcţle 3.47). În cadul etode Rosen [Căl79], decţle adsble sunt obţnute pn nteedul utlză condţlo Kuhn-ucke, cae ntevn ş în cteul de ope a pocesulu de căutae la atneea optulu. Metoda este ndcată îndeoseb pentu cazul estcţlo lnae ),,,...,, 3.5) cae pot f puse sub foa a b, 3.5) espectv a b. 3.5) Ecuaţle cae coespund lte doenlo adsble defnte de estcţle 3.5) au aspectul a b ş coespund uno hpeplane. Decţle de căutae sunt eneate teatv pn poecţa vectoulu - f k ) pe ntesecţa hpeplanelo cae tec pn punctul cuent k, a dacă pn k nu tec aseenea hpeplane când punctul se ăseşte în nteoul doenulu adsbl) decţa deplasă este consttută cha de adentul cu sen schbat - f k ). Datotă pocedeulu de eneae a decţlo, etoda este denută etoda poecţe adentulu Folosea condţlo Kaush-Kuhn-ucke pentu optzaea cu estcţ Pentu ezolvaea pobleelo de optzae convee cu estcţ de tp nealtate se poate folos etoda Kaush-Kuhn-ucke KK) [B5]. Această etodă apaţne etodelo de poaae nelnaă ş ofeă un opt lobal în doenul adsbl al funcţe cteu coespunzătoae poblee foulate. Foulaea poblee. Fe ˆ un punct dn spaţul n R ş f : Un ˆ,ε) R,,,, funcţ contnue de n vaable defnte pe o sfeă deschsă cu centul în ˆ, astfel încât f ˆ),,. Să se detene nul funcţe f, cu estcţle f ),,. 3-8

9 Soluţa poblee utlzează etoda ultplcatolo Laane ş este dată de: eoea Kaush-Kuhn-ucke. Se defneşte funcţa L,) L,, K,,,,, ) n f ), cu,,, K, ) 3.53) nută funcţe Laane ataşată poblee foulate, în cae,,, sunt ultplcato Laane. Pesupune că toate funcţle f ),, sunt dfeenţable în ˆ. Condţle Kaush-Kuhn-ucke ăân valable în punctul ˆ pentu o selecţe nenulă a ultplcatolo Laane, cu, dacă sunt îndeplnte uătoaele condţ: a) L, ) n condţa Laane de staţonattate); b),, condţle de neneatvtate); f ˆ),, condţle de staţonattate copleentaă lpsă de enee) Obsevaţe. Dfeenţa esenţală faţă de condţle Laane constă în ne-neatvtatea ultplcatolo Laane. Pentu o condţe de staţonattate copleentaă, de eeplu a - a condţe, pesupune două cazu: fe, fe f ˆ). Rezultă astfel un total de cazu. Înante de a pezenta sufcenţa condţlo KK foulate a sus, pecză că un n punct R se nueşte punct Slate dacă f ) <,,. Sufcenţa condţlo KK. ) Condţle KK sunt sufcente pentu optaltate, cu condţa ca. Ma eact, dacă condţle KK sunt valable înt-un punct ˆ pentu o selecţe a ultplcatolo Laane, cu, atunc ˆ este un punct de n. ) Pesupune că estă un punct Slate. Dacă condţle KK sunt valable pentu o selecţe a ultplcatolo Laane, atunc nu poate f zeo. Pentu clatate, în cele ce uează vo pezenta câteva eeple de aplcae a teoee KK. Eeplul 3.. Să se ăsească punctul, ) cel a apopat de punctul, 3) cu condţle ca: a) sua coodonalelo acestua să nu depăşească valoaea, b) valoaea absolută a pe coodonate să nu depăşească valoaea. Soluţe. Poblea poate f odelată ca o pobleă de nzae cu estcţ de tp nealtate, astfel: să se nzeze funcţa f ) ) + 3 cu estcţle ) h ) +, h ) 4. Pentu ezolvaea poblee utlză teoea KK. Defn funcţa Laane L,) ) + 3 )+ + ) + 4) 3.54) ) în cae vo consdea Atenţe, punctul, ) este un punct Slate). Condţle KK: L / ) ) L / 3) ), 3.57) + ) 3.58) 4) 3.59) Cazul : constânele puse nu sunt etanşe, adcă + ş 4. În < < 3-9

10 această stuaţe condţle KK anteoae se escu sub foa:, ), 3) dn cae ezultă punctul, 3 cae însă nu este un punct adsbl, întucât nu satsface condţa +. Cazul : nua a doua constânee este etanşă, adcă + < ş 4. În această stuaţe condţle KK defnte a sus se escu sub foa:,, 4, 3), ) + dn cae ezultă punctul, 3 cae însă, ca ş în cazul, nu este un punct adsbl. Cazul 3: nua pa constânee este etanşă, adcă + ş 4 <. În această stuaţe condţle KK defnte a sus se escu sub foa:,, +, ) +, 3) +, dn cae ezultă punctul /, 3/, cu 3. Acesta este un punct adsbl satface estcţle puse) ş epezntă un punct de opt lobal. Dec, /, 3/, pentu cae f n f /, 3/ ) 9/., La acest pas ne pute op, deoaece a ăst o soluţe cae este uncă. Unctatea soluţe ezultă dn convetatea stctă a funcţe obectv. Condţle KK sunt satsfăcute pentu uătoaele valo ale ultplcatolo Laane:, 3,. Eeplul 3.. Să se ăsească punctul, ) cae este cel a apopat de punctul de coodonae, 3) cu condţle ca: a) valoaea pe coodonate să fe cel puţn, b) punctul, ) se află pe un cec cu centul în one ş de ază. Soluţe. Poblea poate f odelată ca o pobleă de nzae cu estcţ de tp nealtate, astfel: să se nzeze funcţa f ) ) + 3) cu estcţle h ) + 4, h ). Pentu ezolvaea poblee utlză eoea KK. Defn funcţa Laane L,) ) + 3 )+ + 4) + ) 3.6) ) în cae vo consdea Atenţe, punctul 3/, ) este un punct Slate). Condţle KK: L / ) + 3.6) L / 3) + 3.6), 3.63) + 4) 3.64) ) 3.65) Cazul : constânele puse nu sunt etanşe, adcă + 4 < ş <. În această stuaţe condţle KK anteoae se escu sub foa:, ), 3) dn cae ezultă punctul, 3 cae însă nu este un punct adsbl, întucât nu satsface estcţa + 4 <. Cazul : nua a doua constânee este etanşă, adcă + 4 < ş. În această stuaţe, condţle KK defnte a sus se escu sub foa: 3 -

11 ,,, 3), ) dn cae ezultă punctul, 3, cae însă, ca ş în cazul, nu este un punct adsbl ş a ult, <. Cazul 3: nua pa constânee este etanşă, adcă + 4 ş <. În această stuaţe condţle KK defnte a sus se escu sub foa:,, 4 +, ) +, 3) +, dn cae ezultă punctul 4/ 3, 6 / 3, cu 3 ) / >. Acesta este un punct adsbl satface estcţle puse) ş epezntă un punct de opt lobal. Dec, 4/ 3, 6 / 3, pentu cae 4 / 3, 6 / 3) 3 ) f n f. Condţle KK sunt satsfăcute pentu uătoaele valo ale ultplcatolo Laane:, 3 ) / >,. Obsevaţe. Se putea ee ş pe ntuţe, în sensul că punctul căutat tebue să se ăsească pe cecul + 4, a coodonata să satsfacă condţa <, cae de fapt epezntă cazul 3 pezentat a anteo. 3 -