Numere complexe. a numerelor complexe z b b arg z.

Transcript

1 Numere complexe Numere complexe Forma algebrcă a numărulu complex este a b unde a ş b sunt numere reale Numărul a se numeşte partea reală a numărulu complex ş se scre a Re ar numărul b se numeşte partea magnară a numărulu complex ş se scre b Im Smbolul se numeşte untate magnară ş Numerele complexe b b a b ş a b sunt egale dacă ş numa dacă a a Numărul complex a b se numeşte număr conjugat numărulu a b ar numărul a b se numeşte număr opus lu a b Fe a b ş a b două numere complexe Suma dferenńa produsul ş câtul ( ) a numerelor complexe ş se calculeaă conform formulelor: a a ) ( b b ) () ( a a ) ( b b ) () ( a a b b ) ( a b b a ) () ( ( a b)( a b aa bb ab ab () a b a b a b ) OperaŃle de adunare ş înmulńre a numerelor complexe sunt comutatve ş asocatve înmulńrea este dstrbutvă fańă de adunare odulul numărulu complex egaltăńle ş a b este numărul Se va folos notańa r Argumentul numărulu complex a a r a b Argumentul numărulu complex se noteaă Dn egaltăńle () reultă a b a b Au loc a b este numărul determnat dn egaltăńle b b sn () r a b arg a r b r sn () ş obńnem forma trgonometrcă a numărulu complex a b : r( sn) () Argumentul prncpal aparńne ntervalulu ( ] arg al numărulu complex este acea valoare a lu care

2 Numere complexe Între mulńmea numerelor complexe C ş mulńmea punctelor (raelor-vectoare) ale planulu înestrat cu un sstem de axe ortogonale xoy se stableşte o bjecńe astfel: a b ( a b) O { a b} Această bjecńe permte ca numerele complexe să fe nterpretate ca puncte ale planulu de coordonate sau ca rae-vectoare O (ve fgura) Axa magnară ( a b) r b O a Axa reală odulul r al numărulu complex a b se nterpreteaă ca lungmea segmentulu O (lungmea vectorulu O ) unde ( a b) ar argumentul numărulu complex este egal cu mărmea unghulu dntre drecńa potvă a axe abscselor ş semdreapta O odulul ş argumentul determnă numărul complex în mod unvoc Numărul complex nu are argument dar are modulul egal cu ero Orce două argumente ale numărulu complex dferă prntr-un număr multplu al lu Pentru orce numere complexe r( sn) r ( sn) r ( sn ) au loc relańle: r r Z r r (( ) sn( )) (9) r ( r ( ) sn( )) n (8) () n r ( n sn n) (formula lu ovre) () Rădăcna de ordnul n n N* n a numărulu complex este numărul complex u cu propretatea u n Toate rădăcnle ecuańe u n se noteaă prn n Dacă r( sn) atunc fecare dn cele n rădăcn n se obńn dn formula:

3 Numere complexe n pentru n n r sn () n n ExercŃ reolvate Să se calculee suma dferenńa produsul ş câtul numerelor complexe ş a) ; b) ; c) SoluŃ Aplcând formulele ()-() avem: a) ( ) ( ) ( ) ( ) ; ( ) ( ) ( ) ( ( )) ; ( ) ( ) ( ( )( )) ( ( ) ( ) ) 8 ; ( ( ) ) ( ( ) ) b) ; 8 ; ; c) ; - -; -9; Să se calculee: a) ; d) ( ) ( ) SoluŃ b) ; ( )( ) ( )( ) a) ( )( ) ( ) ( )( ) 8 b) ( ) 8 ( ) ( 8)( ) 8 ( )( ) c) ; ( )( )

4 Numere complexe ( ) c) ( )( ) ( ) ( ) d) ( ) ( ) [( )( )] SoluŃ Să se smplfce fecare dn expresle: a) ; b) ; c) 9 ; d) 8 Avem ( ) ( ) 8 ( ) prn urmare puterle naturale ale lu sunt egale cclc cu ş Astfel pentru n n N n n n De ac: a) ; b) ; 9 9 c) ; 8 d) Să se determne numerele reale x ş y astfel încât au loc egaltăńle: a) y; x x b) ( )( x ) ( )( x y ) 8 ; c) ( x y)(x y) y ; d) x xy y ( x y) SoluŃ Utlând defnńa egaltăń a două numere complexe în fecare ca se obńne ş se reolvă un sstem de două ecuań cu două necunoscute În caul a) avem Răspuns: x y x x y y x x În caul b) efectuând operańle avem x y x x y 8 x x x y y

5 Numere complexe Răspuns: x; y În caul c) smlar b) se obńne 9x y y x 9x 9 y y x y Răspuns: x y sau x y În caul d) avem x y x y x y ( x y) x y xy x y xy x y xy x y xy( x y) xy( x y) x x y y xy x y Răspuns: x y sau x y Să se reolve în C ecuańa: a) ( ) ; b) ( ) ; c) ( ) ; d) ( ) ( ) SoluŃ EcuaŃa de gradul al dolea a b c unde a b c sunt numere complexe are b b ac b b ac rădăcnle unde b ac ş a a b ac sunt rădăcnle pătrate ale numărulu complex b ac În caul a) ( ) ( ) ( ) ş Dec S { } În caul b) ( ) ş Dec S { } În caul c) ( ) Dec S { }

6 Numere complexe În caul d) ( ) 8 Dec S { 8 ; } SoluŃ Să se determne opusul conjugatul ş nversul numărulu complex: a) ; b) ; c) Fe numărul complex a b Cum opusul lu este a b conjugatul lu a b este a b ş nversul lu este avem: a b a b a) opusul lu este conjugatul lu este nversul lu este b) opusul lu este conjugatul lu este nversul lu este ( )( ) c) avem respectv ş astfel opusul conjugatul ş nversul lu sunt Să se determne valorle reale ale lu a ş b astfel încât numerele complexe a b b ş b a să fe: a) opuse; b) egale; c) conjugate SoluŃ Screm numărul sub forma algebrcă b ( a ) De ac reultă: a) a a b b b a b Răspuns: Numerele ş sunt opuse pentru a ± b) a a b b a b b b Răspuns: Numerele ş sunt egale pentru a ± b

7 Numere complexe c) a b b a a b b Răspuns: Numerele ş sânt conjugate pentru a ± b 8 Să se scre sub formă trgonometrcă numărul: a) ; b) ; c) ; d) α sn α < α < SoluŃ r a) sn b) sn c) Calculăm modulul numărulu : ( ) 8 ( ) ( ) ( ) Găsm arg conform egaltăńlor (): ( ) De ac obńnem sn ( ) o Prn urmare conform formule () ( ) sn sn α sn α snα(snα α) d) deoarece α r snα snα De ac snα( snα α) snα α sn α SoluŃ 9 Să se calculee: a) 8 8; b) ; c) ; d) Fe ş rădăcnle pătrate ale numărulu complex a b Dacă b > atunc avem:

8 Numere complexe 8 a Dacă b < atunc avem: a a a () a a () În caul a) avem În caul b) avem În caul c) avem ( )( ) ( )( ) ş ( )( ) În caul d) 9 (8 ) (8 ) ş SoluŃ Să se calculee: a) ; b) ; c) a) Screm numărul complex ( ) în forma trgonometrcă Avem ş arg( ) De ac sn În conformtate cu formula () sn unde Notând aceste rădăcn prn avem: sn sn sn

9 Numere complexe 9 sn sn Răspuns: S b) Analog sn ş conform formule () sn unde Pentru obńnem ( ) ( ) ( ) sn sn Pentru obńnem sn sn ( ) ( ) ( ) Pentru obńnem sn sn Pentru obńnem sn sn sn Dec cele patru rădăcn de ordnul patru ale numărulu complex sunt ( ) ( ) 8 ± ( ) ( ) 8 ± Imagnle numerelor sunt punctele dn fgura alăturată

10 Numere complexe y O x Ele sunt vârfurle pătratulu înscrs în cercul de raa ş centrul O enńonăm că m ( AO ) ObservaŃe Cele patru rădăcn se pot obńne ş astfel: ± Conform formulelor () ± ± ( ) Conform aceleaş formule () ( ) ± ( ( ) ) ± Conform formulelor () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ± ± ± ( ( ) ) c) Forma trgonometrcă a numărulu este Dec sn De ac reultă că arg Deoarece conform formule () cele tre rădăcn de ordnul tre ale lu obńn dn formula se

11 Numere complexe sn pentru trebue să calculăm ş sn având valorle lu ş sn Folosm formula lu ovre ş screm sn sn sn Explctăm partea stângă utlăm defnńa egaltăń a două numere complexe ş obńnem sstemul: sn sn sn sn ÎmpărŃm ecuańa a doua parte cu parte la prma ş obńnem ecuańa sn sn sn Aceasta se reduce la o ecuańe omogenă de gradul tre care se reduce la ecuańa tg tg tg Dntre rădăcnle tg 8 tg ş 8 tg ale aceste ecuań doar tg verfcă condńa Dn tg reultă ş sn În fne revenm la formula pentru calcularea ş obńnem: sn sn

12 Numere complexe sn Imagnle numerelor respectv punctele sunt vârfurle trunghulu echlateral înscrs în cercul de raă ş centru O y O x ExercŃ propuse Fnd dat numărul complex să se determne: a) opusul lu; b) nversul lu; c) conjugatul lu; d) Re ; e) Im ; f) ; g) arg Să se calculee: a) ( ) ( ); b) ( )( ); c) ( )( ) ( ); 9 ( )( ) d) ; e) ; f) ( )( ) Să se determne a b R astfel încât au loc relańle: a) a b ( a b ) ; b) a b a b ; c) b b a a Să se reolve în C ecuańle: a) ; b) 8 ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) ( ) ; h) ( ) ; ) ; j) ; ) ; l) Să se scre în formă trgonometrcă numerele: a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) 8 Să se calculee ştnd că 8 Să se determne mulńmea punctelor planulu complex care sunt magn ale numerelor complexe x y ce verfcă relańle:

13 Numere complexe a) ; b) ; c) arg ; d) < < 9; e) ; f) < ; g) 8 Să se calculee: a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) 9 Un trungh echlateral are două vârfur în punctele ş Să se afle al trelea vârf Să se determne numărul complex de modul maxmal astfel încât are loc relańa: