Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange Ν. Παναγιωτίδης Έστω σύστημα δυο συγκλινόντων ραγών σε σχήμα Χ που πάνω τους κυλίεται σφαίρα ακτίνας. Θεωρούμε σύστημα συντεταγμένων με οριζόντιους τους άξονες και. Το επίπεδο των ραγών θεωρείται κάθετο στο επίπεδο. Επίσης οι ράγες θεωρούνται συμμετρικές ως προς το επίπεδο και η τομή τους είναι στην αρχή Ο. Έστω η απόσταση του σημείου επαφής της σφαίρας σε μια ράγα από την αρχή. Οι αρχικοί μας στόχοι είναι να υπολογίσουμε το διάνυσμα θέσης του κέντρου της σφαίρας και τη μέγιστη τιμή του ώστε η σφαίρα να είναι σε επαφή με τις ράγες. Στη συνέχεια θα υπολογίσουμε την μεταφορική και περιστροφική ενέργεια, την δυναμική ενέργεια και τελικά την συνάρτηση Lagrange. Έστω το μοναδιαίο διάνυσμα στην κατεύθυνση του. Το είναι μοναδιαίο διάνυσμα και ανήκει στο επίπεδο, επομένως μπορεί να γραφεί στη μορφή: (1) για κάποια τιμή του πραγματικού. Ο προσδιορισμός του προσδιορισμό του. ανάγεται, επομένως, στον Έστω το μοναδιαίο στην κατεύθυνση της μιας ράγας. Το έχει τη μορφή: (2) όπου οι συντελεστές,,, τα κατευθύνοντα συνημίτονα του, ικανοποιούν τη σχέση: Έστω η γωνία μεταξύ του και του. Από τη γεωμετρία του σχήματος (φανταστείτε το) ισχύει: (3) Αλλά επίσης ισχύει: (4) Αντικαθιστώντας στην (4) τις (1) και (2): 1
(5) Έστω ο αριθμός για τον οποίο ισχύει: (6) και (7) Ας γράψουμε την (5) στη μορφή: (8) ή, χρησιμοποιώντας μια γνωστή τριγωνομετρική ταυτότητα: (9) Ισχύει επίσης η ταυτότητα: (10) Αντικαθιστώντας τις (3) και (9) στην (10): (11) Και, λύνοντας την (11) ως προς : (12) όπου: 2
(13) Επειδή και είναι οι συνιστώσες του στους άξονες και, η είναι, απλά, η πολική γωνία του. Αλλά: (14) Έχοντας προσδιορίσει το από τις (12) και (13), το προσδιορίζεται από την (1). Το προσδιορίζεται από τη σχέση: (15) Έχουμε, επομένως, προσδιορίσει το. Η (12) μπορεί να απλοποιηθεί δεδομένου ότι τα,, είναι τα κατευθύνοντα συνημίτονα της μιας ράγας (τα κατευθύνοντα συνημίτονα της άλλης ράγας είναι,, ). Το είναι το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ της ράγας και του άξονα, δηλ το αζιμούθιο του : (16) Επομένως: (17) και η (12) γίνεται: (18) Η απόλυτη τιμή του ορίσματος πρέπει να είναι, επομένως: (19) Υψώνοντας στο τετράγωνο: 3
καταλήγουμε στη σχέση: (20) Αν η (20) δεν ισχύει, η σφαίρα «θα πέσει» από τις ράγες. Σύμφωνα με τον ορισμό της ταχύτητας: (21) Επειδή εύκολα καταλήγουμε στη σχέση: (22) Ορίζοντας ένα νέο μοναδιαίο διάνυσμα, το, που είναι κάθετο στο, από τη σχέση: (23) εύκολα καταλήγουμε στη σχέση: (24) Η (21) τώρα γίνεται: (25) Η προσδιορίζεται από την (18) ως: (26) και η (25) γίνεται: 4
(27) Αφού τα διανύσματα και είναι κάθετα, η είναι ίση με το άθροισμα των τετραγώνων των συντελεστών τους, δηλαδή: (28) Επομένως η μεταφορική κινητική ενέργεια της σφαίρας είναι: (29) Η δυναμική ενέργεια της σφαίρας είναι: Αλλά: (30) Άρα και η γίνεται: (31) Τώρα είναι η ώρα να υπολογίσουμε την περιστροφική κινητική ενέργεια. Καθώς η σφαίρα κυλίεται χωρίς ολίσθηση πάνω στις ράγες, τα σημεία επαφής της με τις ράγες έχουν μηδενική ταχύτητα. Η ταχύτητα αυτή προκύπτει σαν άθροισμα της μεταφορικής ταχύτητας της σφαίρας και της περιστροφικής ταχύτητας που αλλάζει από σημείο προς σημείο. Έστω το διάνυσμα θέσης ως προς το κέντρο της σφαίρας ενός σημείου της επιφανείας της και το διάνυσμα της γωνιακής ταχύτητας της σφαίρας. Η γραμμική ταχύτητα του σημείου είναι: (32) Έστω και τα μοναδιαία διανύσματα της μιας και της άλλης ράγας. Επειδή τα σημεία επαφής της σφαίρας με τις ράγες απέχουν από την αρχή αμφότερα, τα δύο διανύσματα 5
που συνδέουν το κέντρο της σφαίρας με τις δυο επαφές είναι τα και. Αν η μεταφορική ταχύτητα της σφαίρας, οι ταχύτητες των σημείων επαφής είναι και αντίστοιχα. Αυτές πρέπει να είναι μηδέν, επομένως: (33) (34) Ας ορίσουμε ένα νέο διάνυσμα: (35) και ας πάρουμε το ημιάθροισμα των (33) και (34): (36) Τα διανύσματα, και ανήκουν στο επίπεδο. Ας πάρουμε τώρα την διαφορά των (33) και (34): (37) Αφού το έχει την κατεύθυνση του άξονα, η (37) μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι η είναι κι αυτή στον άξονα. Άρα και η (36) τώρα γράφεται: (38) απ την οποία προκύπτει: (39) ο όρος γράφεται: (40) Το διπλό ανυσματικό γινόμενο αναλύεται ως εξής: 6
(41) αφού τα διανύσματα και είναι κάθετα. Από τις (40) και (41) έχουμε: Επομένως η (39) γίνεται: (42) Αν είναι η γωνία ανάμεσα στις ράγες, εύκολα βρίσκουμε ότι και η (42) γίνεται: (43) Επίσης, όπως πολύ εύκολα επιβεβαιώνεται αν κοιτάξουμε τις σχέσεις του Μέρους Ι, (44) και η (43) γίνεται: (45) στην οποία μπορούμε να αντικαταστήσουμε το με και το με σύμφωνα με την (18): που με μερικές απλοποιήσεις γίνεται: ή, χρησιμοποιώντας μια τριγωνομετρική ταυτότητα: 7
και, αν επιλύσουμε ως προς : (46) Ή, αντικαθιστώντας το από την (28): (47) Μπορούμε τώρα να αντικαταστήσουμε την (47) στην έκφραση για την περιστροφική κινητική ενέργεια: (48) Προσθέτοντας στην την μεταφορική κινητική ενέργεια (Εξ. (29)) και αφαιρώντας την δυναμική ενέργεια (Εξ. (31)), προκύπτει η Lagrangian σαν συνάρτηση της γενικευμένης συντεταγμένης και της γενικευμένης ταχύτητας : Από την οποία προκύπτει η ΔΕ Euler-Lagrange. 8