ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΟΥ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΜΕΣΟΥ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εξ. ιδ. 04 Καθηγητής Ι. Βαρδουλάκης, Σ.Ε.Μ.Φ.Ε. :00 µ.- 5:00 µ.µ., Τετάρτη 7 Αυγούστου 00 Γκ. 04, 05, 8, 0, 07, 07, 08 Θέµα : ίδεται το πεδίο ταχυτήτων σε δυο διαστάσεις ( + t) x, ( t)y x y + Βρείτε την εξίσωση της γραµµής ροής που τη χρονική στιγµή t 0 διέρχεται από το σηµείο P (, ). Θέµα. Ενας διδιάστατος πίδακας ύδατος προσκρούει πάνω σε ένα επίπεδο πέτασµα o υπό γωνία θ ( 0 < θ 90 ). Το πλάτος του πίδακα είναι και η ταχύτητά του είναι. Να βρεθεί η γωνία θ, για την οποία τα πάχη των δύο στρωµάτων ύδατος, και στα οποία διασπάται ο πίδακας και τα οποία ρέουν παράλληλα προς το πέτασµα ικανοποιούν τη σχέση,. Επίσης να υπολογισθεί στη περίπτωση αυτή η ορθή δύναµη N, που ασκείται επί του πετάσµατος ανά µονάδα µήκους καθέτως προς το επίπεδο του σχήµατος. ίδονται: 5. m / και 5.. Η επίδραση της βαρύτητας και του ιξώδους του ύδατος θεωρούνται αµελητέες. Μηχανική Συνεχούς Μέσου, Εξέταση Αυγούστου 00
Θέµα. Θεωρούµε ότι στο πρόβληµα κυκλοφοριακής ροής ρ + C t ρ ( ρ) 0 η σχέση ταχύτητας-πυκνότητας ρ V ( ρ) ρ Να υπολογισθεί και να σχεδιασθεί την κατανοµή της πυκνότητας ρ ρ(x,t) για την παρακάτω αρχική συνθήκη 0.5 ρ ρ(x,0) 0.5 ρ x < 0 x > 0 για τη χρονική στιγµή t. min Μηχανική Συνεχούς Μέσου, Εξέταση Αυγούστου 00
Μηχανική Συνεχούς Μέσου, Εξέταση Αυγούστου 00
4 Λύσεις Θέµα : Αναγνωρίζουµε τα χαρακτηριστικά του υγρού και του πεδίου ροής. Η ροή είναι µή µόνιµη και διδιάστατη. Οι σχέσεις που ισχύουν για το ρευστό είναι: u Εξίσωση συνέχειας: + 0 () y Εξίσωση γραµµής ροής: x y () u Η εξίσωση συνέχειας V 0 δεν ικανοποιείται. Αυτό δεν σηµαίνει ότι δεν είναι µία ροή πραγµατικού ρευστού. Μάλλον σηµαίνει ότι δεν είναι ένα ασυµπίεστο ρευστό. Θα υποθέσουµε ότι το πρόβληµα είναι µία αυστηρώς µαθηµατική άσκηση. (α) Για να βρούµε την εξίσωση της γραµµής ροής, αντικαθιστούµε την κατάλληλη ταχύτητα στην εξίσωση () και έχουµε: x y + y ( t) x ( + t) ( + t) ln x ( + t) ln y + lnc Για να υπολογίσουµε τη σταθερά, χρησιµοποιούµε την αρχική συνθήκη: 0 ln + lnc Τακτοποιώντας τους όρους και παίρνοντας τους αντιλογαρίθµους έχουµε: ln x + t ln y + t ln y x + t + t ή ( ) + t x t y + Μηχανική Συνεχούς Μέσου, Εξέταση Αυγούστου 00
5 Θέµα : Θεωρούµε τον όγκο αναφοράς του ρευστού µεταξύ των διατοµών (), () και () () Στην είσοδο () η διατοµή είναι S, η πίεση p και η ταχύτητα e Οι αντίστοιχες τιµές στις εξόδους είναι : () S, p και () coθe + inθ e () () S, p και coθ e inθ e Μηχανική Συνεχούς Μέσου, Εξέταση Αυγούστου 00
6 Οι παροχές στις διατοµές εισόδου και εξόδου είναι αντιστοίχως q q q () n () n () n ρ ρ ρ () () () ( e ) ρ (coθ e ( coθ e + inθ e inθ e ) ρ ) ρ Οι αντίσοιχες συνολικές παροχές στις αντίστοιχες θέσεις είναι: Q ρ Q ρ Q ρ Οπότε από την εξίσωση συνεχείας της ροής έχουµε Q + () Q + Q Για την εκτροπή της ροής ο σωλήνας ασκεί στο συγκεκριµένο όγκο αναφοράς του ρευστού την δύναµη (δράση-actio) A Ninθ e Ncoθ e η οποία υπολογίζεται από την εξίσωση ποσότητας κινήσεως q nis fiv pnis ( V) (V) ( V) () () () () () () q n S + qn S + qn S ρ + ρ θ ρ θ co co q nis ( V) () () () () () () q + + n S qn S qn S 0 + ρ inθ ρ inθ f V i 0 (V) Μηχανική Συνεχούς Μέσου, Εξέταση Αυγούστου 00
7 p ( )S + p co θ S + p( co θ)s + N in θ p + p co θ p co θ + N in θ pni S ( V) p(0)s + p in θs + p( in θ)s + N( co θ) p in θ p in θ Nco θ Με την παρατήρηση ότι, p p p p 0 () ref παίρνουµε () () () () () () q n S + qn S + qn S N in θ ρ + ρ θ ρ θ co co pnis q nis ( V) Nco θ ( V) () () () () () () q + + n S qn S qn S 0 + ρ inθ ρ inθ Αρα ( ) : ρ + ρ co θ ρ co θ N in θ () + ( ) : ρ in θ ρ in θ Nco θ ρ ρ Ncot θ (4) + Οπότε η Εξ. () δίνει: ρ ( ρ ρ ) co θ + N in θ co θ co N + N in θ N in θ N θ + in in θ θ N in θ ρ in θ (5) Η Εξ. (4) γράφεται, co θ ρ ρ ρ co θ Σύνοψη: (6) + () Μηχανική Συνεχούς Μέσου, Εξέταση Αυγούστου 00
8 co θ (6) Η εξίσωση Bernoulli µεαταξύ των διατοµών () και (): () και (): p p + ρ p + ρ + ρ p + ρ οπότε λόγω της Εξ. () (7) Εξ. (): + Εξ. (6): coθ ( + coθ) ( coθ) Γιά 0.5 o co θ, θ 70.5 in θ 9 N ρ 0.94 0 kg m m 5 0.5m kn 5. m Μηχανική Συνεχούς Μέσου, Εξέταση Αυγούστου 00
9 Θέµα. ίδεται η σχέση ταχύτητας-πυκνότητας ρ V ( ρ) ρ οπότε, Q ( ρ) ρv( ρ) ρ ρ ρ C ( ρ) Q ρ ρ ρ Θεωρούµε την συνθήκη Rankine Hugοnιot πού συνδέει τις τιµές της πυκνότητας και ταχύτητας εκατέρωθεν της ασυνέχειας µε την ταχύτητα µετάδοσης της c [q] [ ρ] Η συνθήκη Rankine-Hugoniot σηµαίνει ότι όταν εκατέρωθεν µιας επιφάνειας (γραµµής εν προκειµένω) x D(t) εµφανίζονται άλµατα στην πυκνότητα και στη ροή, τότε η επιφάνεια αυτή κινείται µε ταχύτητα c. Οπότε έχουµε c [Q( ρ)] [ ρ [ ρ] ρ ] [ ρ] Με δεδοµένη την αρχκή κατανοµή ρ 0.5 ρ ρ(x,0) + ρ 0.5 ρ x < 0 x > 0 και Μηχανική Συνεχούς Μέσου, Εξέταση Αυγούστου 00
0 ρ ρ + 0.5ρ ( ρ ) 0. 065ρ + 0.5ρ ( ρ ) 0. 5ρ [ ρ ] 0.5ρ [ ρ ] 0.875ρ 0.875 c 0.5 0.5 Οπότε για τη χρονική στιγµή απόσταση, t. min το κρουστικό κύµα έχει διανυσει την x c t 0.5 t 0.5 (.min) 0.5 ( min) Μηχανική Συνεχούς Μέσου, Εξέταση Αυγούστου 00
ΘΕΜΑ : Η θεωρία κυκλοφοριακής ροής βασίζεται στην εξίσωση ρ ( ρ) + 0 t (). Χαρακτηρίσατε στα πλαίσια της Μηχανικής του Συνεχούς Μέσου την εξίσωση αυτή και περιγράψατε µαθηµατικά πώς και κάτω από ποιές προϋποθέσεις προκύπτει αυτή η εξίσωση.. Υποθέτουµε ότι κάτω από κανονικές συνθήκες η εµπειρική σχέση ταχύτητας-πυκνότητας κυκλοφοριακής ροής είναι κατά προέγγιση η εξής: ρ km car V, 80., ρ 50. () ρ hr km Να υπολογισθούν η πυκνότητα κυκλοφοριακής ροής που αντστοιχούν στη βέλτιστη ροή οχηµάτων. ρ m και η ροή m q,. Με βάση την καταστατική σχέση (), η Εξ. () µετασχηµατίζεται στην εξίσωση κυκλοφοριακής ροής. Να διατυπωθεί εν προκειµένω η εξίσωση αυτή και να χαρακτηρισθεί. 4. Με ποιά ταχύτητα µεταδίδονται γραµµικά κύµατα πυκνότητας στη κατάσταση βέλτιστης ροής. Απαντήσεις. Η εξισώση ρ ( ρ) + 0 t () είναι µία εξίσωση διατήρησης της µάζας σε ένα Συνεχές Μέσο εφοδισµένο µε πυκνότητα ρ (x,t) και ταχύτητα (x,t) των υλικών του σηµείων. Η εξίσωση αυτή προκύπτει από την αρχή διατήρηση της µάζας, m (t) b ρ (x,t) x a m m t 0 b ρ + ( ρ) x 0 t a Μηχανική Συνεχούς Μέσου, Εξέταση Αυγούστου 00
Αν δεχθούµε πώς η παραπάνω καθολική έκφραση της αρχής διατήρησης της µάζας ισχύει γιά κάθε υποδιάστηµα ( c,) [a,b] τότε από αυτή προκύπτει η τοπική έκφραση της αρχής διατήρησης της µάζας, Εξ. (). Αρα προϋπόθεση για την συνεπαγωγή αυτή είναι στο θεωρούµενο διάστηµα οι συναρτήσεις ρ (x,t) και (x,t) να είναι παραγωγίσιµες (και κατά συνέπεια συνεχείς).. Η παροχή, δίδεται από τη σχέση: q Q( ρ) ρ ρv( ρ) ρ ρ ρ ρ 00 ρ ρ + 50 50 ρ ρ ρ ρ [car / hr] Q ρ ρ ρ 0 ρ ρ m ρ car 75. km Qm Q( ρm ) ρ 4 car 50 80 000. 4 km ρ 4 Μηχανική Συνεχούς Μέσου, Εξέταση Αυγούστου 00
. Eξίσωση κυκλοφοριακής ροής: Από την εξίσωση διατήρησης της µάζας και τη καταστατική σχέση για τη ταχύτητα παίρνουµε ρ q + 0 t, q Q( ρ) ρ Q ρ + 0 t ρ την εξίσωση κυκλοφοριακής ροής, ρ ρ + c 0 t όπου Q c C( ρ) ρ ρ ρ Αρα, µεταβολές στην πυκνότητα κυκλοφοριακής ροής υπακούουν σε µια οιονεί γραµµική διαφορική εξίσωση µε µερικές παραγώγους ως προς x και t. Στη θεωρία διαφορικών εξισώσεων µια τέτοια εξίσωση ταξινοµείται ως εξίσωση υπερβολικού τύπου, και περιγράφει φυσικά φαινόµενα που έχουν κυµατικό χαρακτήρα τα δε αντίστοιχα κύµατα λέγονται είτε υπερβολικά ή κινηµατικά. Η ποσότητα c είναι η ταχύτητα µεταδόσεως των µικρών διαταρχών πυκνότητας. 4. Παρατηρούµε ότι για ρ ρm c 0 Αρα στη κατάσταση βέλτιστης ροής µικρές διαταραχές της πυκνότητας δεν µεταδίδονται. Μηχανική Συνεχούς Μέσου, Εξέταση Αυγούστου 00
4 ΘΕΜΑ : Ο πειραµατικός σωλήνας του σχήµατος, κυλινδρικής διατοµής, περιέχει σύνθετο πορώδες υλικό µήκους L 5. και ύδωρ µε διαφορά υδραυλικού ύψους h. Το σύνθετο υλικό αποτελείται από τον εξωτερικό κοίλο κυκλικό ( ) 4 κύλινδρο µε συντελεστή διαπερατότητας k w 0 και εµβαδόν διατοµής A 6. και από τον εσωτερικό κύλινδρο µε συντελεστή διαπερατότητας ( ) k w 0 και εµβαδόν διατοµής A 0.8. Η συνολική, µόνιµη lt παροχή του ύδατος είναι Q 0.4. min. Να υπολογισθεί η πτώση υδραυλικού ύψους h κατά µήκος του δοκιµίου.. Να υπολογισθούν σε ποσοστά της συνολικής παροχής οι µερικές παροχές Q και Q διαµέσου του διαπερατού πυρήνα () και του σχετικά λιγότερο διαπερατού περιβάλλοντος αυτόν κοίλου κυλίνδρου (), αντιστοίχως. Απαντήσεις. Παρατηρούµε ότι η πτώση πιέσεως κατά µήκος και των δύο σωλήνων είναι κοινή (διάταξη παράλληλη), οπότε βάσει του νόµου του Darcy έχουµε: Q ( h k ) w A L Μηχανική Συνεχούς Μέσου, Εξέταση Αυγούστου 00
5 Q ( h k ) w A L Με δεδοµένη τη συνολική παροχή Q Q + Q παίρνουµε, Q ) ) h ( A k + A k ) QL ( ( w w h L ( ) ( ) A k w + A k w Με βάση τα αριθµητικά δεδοµένα παίρνουµε: Q lt 0.4 min 000 0.4 60 ec 6.67 6.67 5. h 4 6. 0 + 0.8 0.. 86.5 0.0006 + 0.008 0.0086 8.6m (.9 atm). Οπότε οι µερικές παροχές είναι, ( ) h 4 Q A k w 6. 0 L 60 lt lt 0.487 0.09 000 min min 86.5 5. 0.487 Q / Q 7.% ( ) h Q A k w 0.8 0 L 60 lt lt 6.8 0.708 000 min min 86.5 5. Q / Q 6.8 9.7% Μηχανική Συνεχούς Μέσου, Εξέταση Αυγούστου 00