Εισαγωγή στη Στατιστική Μάθημα του Β Εξαμήνου ΜΕΡΟΣ IV:ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ-ΤΑΣΗ- ΕΠΟΧΙΚΟΤΗΤΑ-ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΑΓΙΟΥ ΝΙΚΟΛΑΟΥ Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Εισαγωγή στη Στατιστική Μάθημα του Β Εξαμήνου ΜΕΡΟΣ IV:ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ-ΤΑΣΗ- ΕΠΟΧΙΚΟΤΗΤΑ-ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ Παλινδρόμηση Συσχέτιση Ανάλυση Χρονολογικών Σειρών Τάση Εποχικότητα IV.1

ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΑΙ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ Η παλινδρόμηση ασχολείται με τη μελέτη διμεταβλητών ή πολυμεταβλητών στατιστικών πληθυσμών (π.χ. ύψος Χ και βάρος Υ ατόμων) Με την παλινδρόμηση εξετάζουμε αν υπάρχει σχέση εξάρτησης μιας μεταβλητής Υ που ονομάζεται εξαρτημένη μεταβλητή από μια μεταβλητή Χ που ονομάζεται ανεξάρτητη μεταβλητή. Εκτός από την ύπαρξη της σχέσης μας ενδιαφέρει και ο «βαθμός» (ένταση) της συσχέτισης. Για τη μελέτη της σχέσης δύο μεταβλητών υπάρχουν δύο βασικές μέθοδοι: Η Ανάλυση Παλινδρόμησης με χρήση μιας Εξίσωσης Παλινδρόμησης Η Συσχέτιση με τον ποσοτικό προσδιορισμό του βαθμού εξάρτησης και της μορφής της (θετική ή αρνητική). Χρησιμοποιούμε συνήθως τον συντελεστή Συσχέτισης και τον Συντελεστή Προσδιορισμού. IV.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ ΚΑΙ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Έστω ότι έχουμε μετρήσει το Ύψος και Βάρος δείγματος 30 ατόμων, αν θεωρήσουμε ότι το ΥΨΟΣ κάθε ατόμου είναι στον Χ-άξονα και το Βάρος του στον Υ-άξονα, δημιουργούμε το παρακάτω γράφημα (κάθε σημείο αντιστοιχεί σε ένα άτομο): «Νέφος» σημείων-δεδομένων ΕΠΟΜΕΝΗ ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ IV.3

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ ΚΑΙ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Παρατηρούμε ότι ο «κανόνας» είναι το «λογικό», ότι ψηλότερα άτομα είναι και βαρύτερα. Επομένως υπάρχει μια «σχέση» μεταξύ του Ύψους (μεταβλητή Χ) και Βάρους (μεταβλητή Υ) των ανθρώπων. ΥΨΟΣ ΒΑΡΟΣ 180 65 171 60 169 49 166 5 177 47 167 55 17 57 179 6 18 64 176 58 170 64 17 55 17 60 163 48 174 56 166 57 177 63 173 6 168 48 174 58 170 66 17 53 177 65 175 61 178 67 171 57 178 57 176 5 166 56 178 67 Ο κανόνας μπορεί να φανεί στο γράφημα σαν μια ανοδική γραμμή IV.4

ΚΕΡΔΗ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ ΚΑΙ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ ΠΩΛΗΣΕΙΣ (ΤΖΙΡΟΣ) ΚΑΙ ΚΕΡΔΗ της APPLE nc (008-14) ΕΤΟΣ ΠΩΛΗΣΕΙΣ ΚΕΡΔΗ 014 183 40 013 171 37 01 157 4 011 108 6 010 65 14 009 43 8 008 37 6 Η σχέση των μεταβλητών είναι ανάλογη, άνοδος της μίας οδηγεί σε άνοδο και της άλλης. 45 40 35 30 ΠΩΛΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΚΕΡΔΗ APPLE nc (σε δις $) Στις μεταβλητές Πωλήσεις και Κέρδη είναι προφανές ότι οι Πωλήσεις είναι η ανεξάρτητη (Χ-άξονας) και τα Κέρδη η εξαρτημένη (Υ-άξονας) 5 0 15 10 5 0 0 50 100 150 00 ΠΩΛΗΣΕΙΣ IV.5

ΑΝΕΡΓΙΑ% ΑΝΕΡΓΙΑ% ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ ΚΑΙ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ 3 ΕΛΛΑΔΑ: ΜΕΣΟ ΕΘΝΙΚΟ ΕΙΣΟΔΗΜΑ (GDP/capta) και ΠΟΣΟΣΤΟ ΑΝΕΡΓΙΑΣ ΕΤΟΣ 008 009 010 011 01 013 014 GDP/capta ($) 3087 3049 8901 6675 546 5666 66 ΑΝΕΡΓΙΑ (%) 7.8 9.6 1.7 17.9 4.4 7.5 6.5 ΕΘΝΙΚΟ ΕΙΣΟΔΗΜΑ ΚΑΙ ΑΝΕΡΓΙΑ% (ΕΛΛΑΔΑ 008-14) 30.0 5.0 0.0 15.0 10.0 5.0 ΕΘΝΙΚΟ ΕΙΣΟΔΗΜΑ ΚΑΙ ΑΝΕΡΓΙΑ% (ΕΛΛΑΔΑ 008-14) 30.0 5.0 0.0 15.0 10.0 5.0 0.0 0 10000 0000 30000 40000 ΜΕΣΟ ΕΘΝΙΚΟ ΕΙΣΟΔΗΜΑ 0.0 4000 6000 8000 30000 3000 ΜΕΣΟ ΕΘΝΙΚΟ ΕΙΣΟΔΗΜΑ Παρατηρούμε ότι η άνοδος του Μέσου Εθνικού Εισοδήματος οδηγεί σε μείωση (χαμηλές τιμές) της Ανεργίας. Επομένως η «σχέση» των μεταβλητών είναι αντιστρόφως ανάλογη, μείωση του ενός οδηγεί σε αύξηση του άλλου και το αντίστροφο Το δεξιό γράφημα αποτελεί «μεγέθυνση» του αριστερού στις τιμές του Χ-άξονα, δείτε την κλίμακα αξόνων. IV.6

ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ ΚΑΙ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ??? Τέλεια Θετική Συσχέτιση Θετική Συσχέτιση Το Υ αυξάνει καθώς αυξάνει το Χ Χαμηλή συσχέτιση Χ και Υ ασυσχέτιστα Αρνητική Συσχέτιση Το Υ μειώνεται καθώς αυξάνει το Χ Τέλεια Αρνητική Συσχέτιση Για να εξετάσουμε γραφικά τη μορφή σχέσης δύο μεταβλητών, σε γράφημα Χ-Υ χρησιμοποιούμε τη μια μεταβλητή για τις τιμές των σημείων στο Χ άξονα και την άλλη στον Υ άξονα IV.7

ΔΙΜΕΤΑΒΛΗΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Η εξίσωση της γραμμικής παλινδρόμησης είναι: Yˆ a bx Ονομάζεται εξίσωση απλής γραμμικής παλινδρόμησης, γιατί μαθηματικά είναι μια ευθεία γραμμή στο επίπεδο Χ-Υ. Τα a, b είναι οι άγνωστοι συντελεστές της παλινδρόμησης Η σταθερά b είναι ο συντελεστής κλίσης της ευθείας παλινδρόμησης Αν b>0 η εξάρτηση Χ-Υ είναι θετική (ευθεία ανοδική), Αν b<0 η εξάρτηση Χ-Υ είναι αρνητική (ευθεία καθοδική) Για να υπολογίσουμε τα a, b χρησιμοποιούμε τη μέθοδο των Ελαχίστων Τετραγώνων, θέτοντας σαν κριτήριο την ελαχιστοποίηση του σφάλματος μεταξύ εκτιμήσεων γραμμικής παλινδρόμησης για τα Υ και πραγματικών τιμών Υ IV.8

ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ (1) 1 1 ) ( ˆ ) ( n n bx a Y Y Y e Y Y e ˆ Το σφάλμα e της γραμμικής παλινδρόμησης στο σημείο Υ είναι η διαφορά των τιμών: Επειδή έχουμε Ν δεδομένα (σημεία) επιθυμούμε να ελαχιστοποιήσουμε το άθροισμα των N σφαλμάτων. Επειδή τα σφάλματα μπορεί να είναι θετικά ή αρνητικά είναι αναγκαίο να ελαχιστοποιήσουμε το Άθροισμα Τετραγώνων των Σφαλμάτων (Ελάχιστα Τετράγωνα: Least Squares): Για τα ελαχιστοποιηθεί η παραπάνω σχέση πρέπει οι μερικές παράγωγοι ως προς τις άγνωστες παραμέτρους a, b να είναι μηδέν, από τη συνθήκη αυτή προκύπτουν εξισώσεις με αγνώστους: 0 ) ( ) ( 1 n n bx a Y a bx a Y IV.9 0 ) ( ) ( 1 n n bx a Y X b bx a Y ΕΠΟΜΕΝΗ ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ

ΠΩΛΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ () Η λύση του προηγούμενου συστήματος εξισώσεων με αγνώστους είναι: b X Y nxy a ybx X nx Επομένως με δεδομένα τις τιμές των μεταβλητών Χ και Υ, με τις παραπάνω σχέσεις υπολογίζουμε τις τιμές των συντελεστών a και b της γραμμικής παλινδρόμησης. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ y =.9649x + 711 R = 0.8934 ΔΙΑΦΗΜΙΣΗ Γραμμική Παλινδρόμηση 6000 5000 4000 3000 000 1000 0 0 00 400 600 800 1000 100 1400 1600 ΔΙΑΦΗΜΙΣΗ Στο γράφημα τα σημεία των μεταβλητών Διαφήμισης και Πωλήσεων έχουν ενωθεί με «ομαλή» γραμμή, η ευθεία είναι η γραμμή παλινδρόμησης IV.10

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Πίνακας για τον υπολογισμό των a, b ΠΩΛΗΣΕΙΣ 6000 5000 4000 3000 000 y =.9649x + 711 R = 0.8934 ΕΤΟΣ ΠΩΛΗΣΕΙΣ Υ ΔΙΑΦΗΜΙΣΗ Χ XY Χ Υ 1985 1050 16 170100 110500 644 1986 160 85 359100 1587600 815 1000 0 Γραμμική Παλινδρόμηση 0 00 400 600 800 1000 100 1400 1600 ΔΙΑΦΗΜΙΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ a, b: ΔΙΑΦΗΜΙΣΗ Σύμφωνα με τους τύπους για τα a, b της γραμμικής παλινδρόμησης στον πίνακα με τα δεδομένα (3 πρώτες στήλες) υπολογίζουμε τις 3 επόμενες ΧΥ, Χ, Υ ώστε να υπολογίσουμε στη συνέχεια τα αθροίσματα των στηλών και τελικά την τιμή του b και a από τους τύπους της προηγούμενης διαφάνειας. 1987 1470 540 793800 160900 91600 1988 160 61 563760 4665600 6811 1989 1950 360 70000 380500 19600 1990 400 690 1656000 5760000 476100 1991 370 495 1173150 5616900 4505 199 3150 948 98600 99500 898704 1993 3570 70 570400 1744900 518400 1994 4410 1140 507400 19448100 199600 1995 4500 1395 677500 050000 194605 1996 5610 1560 8751600 3147100 433600 Σ 33900 8556 31031010 118533600 841444 Μέσο 85 713 ΕΠΟΜΕΝΗ ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ IV.11

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ a, b ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ ΕΤΟΣ b a ΠΩΛΗΣΕΙΣ Υ ΔΙΑΦΗΜΙΣΗ Χ XY Υ Χ 1985 1050 16 170100 110500 644 1986 160 85 359100 1587600 815 1987 1470 540 793800 160900 91600 1995 4500 1395 677500 050000 194605 1996 5610 1560 8751600 3147100 433600 Αθρ. Σ 33900 8556 31031010 118533600 841444 Μέσο 85 713 X Y X ybx nxy nx Οι μαθηματικοί τύποι για τον υπολογισμό των a, b περιλαμβάνουν τους όρους: Άθροισμα Γινομένων ΣΧ ι Υ ι, μέσοι ഥx ഥy, Άθροισμα Τετραγώνων ΣΧ ι επομένως θα πρέπει να υπολογιστούν από τα δεδομένα (μεταβλητές) αυτές οι ποσότητες, ώστε στη συνέχεια με αντικατάσταση να υπολογιστούν τα a, b. Επομένως στον πίνακα που παρουσιάζει τα δεδομένα: ΠΩΛΗΣΕΙΣ Υ και ΔΙΑΦΗΜΙΣΗ Χ, δημιουργούμε 3 νέες στήλες τις Χ*Υ, Χ,Υ και υπολογίζουμε τα αντίστοιχα αποτελέσματα για κάθε γραμμή. Προσθέτουμε στον πίνακα μια νέα γραμμή για να υπολογίσουμε τα αθροίσματα στηλών (Σ), για τους μέσους ഥx ഥy προφανώς διαιρούμε το άθροισμα με το N. 31031010 1*713*85 b 841444 1*(713) a 85.965*713 711.0 ΕΠΟΜΕΝΗ ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ.965 IV.1

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΕΚΤΙΜΗΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ Μετά τον υπολογισμό των συντελεστών a=.965, b=711 της γραμμικής παλινδρόμησης, μπορούμε από την εξίσωση της παλινδρόμησης να υπολογίσουμε τις εκτιμήσεις Y και τα σφάλματα e από τις εξισώσεις: Yˆ a bx e Y Yˆ ΕΤΟΣ ΠΩΛΗΣΕΙΣ Υ ΔΙΑΦΗΜΙΣΗ Χ Εκτιμήσεις Y Σφάλμα e 1985 1050 16 1191.3-141.3 1986 160 85 1556.0-96.0 1987 1470 540 31.1-84.1...... 1995 4500 1395 4847.1-347.1 1996 5610 1560 5336.3 73.7 Y ˆ a bx 711.965* Επομένως στον πίνακα για το 1985 θα έχουμε: Εκτίμηση Y =711+.965*16=1191.3 Για το 1986: Y =711+.965*85=1556.0 e Y Yˆ X Επομένως στον πίνακα για το 1985 θα έχουμε: Σφάλμα e =1050-1191.3=-141.3 Για το 1986: e =160-1556.0=-96.0 IV.13

ΕΞΙΣΩΣΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ Χ ΩΣ ΠΡΟΣ Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΕΥΚΟΛΑ ΝΑ ΑΝΑΣΤΡΕΨΟΥΜΕ ΤΗ ΣΕΙΡΑ Χ,Υ Η εξίσωση της γραμμικής παλινδρόμησης του Χ ως προς Υ είναι: Xˆ a b Y Ονομάζεται εξίσωση απλής γραμμικής παλινδρόμησης του Χ ως προς Υ. Τα a, b είναι οι άγνωστοι συντελεστές της παλινδρόμησης Η σταθερά b είναι ο συντελεστής κλίσης της ευθείας παλινδρόμησης Για να υπολογίσουμε τα a, b χρησιμοποιούμε τη μέθοδο των Ελαχίστων Τετραγώνων, θέτοντας σαν κριτήριο την ελαχιστοποίηση του σφάλματος μεταξύ εκτιμήσεων γραμμικής παλινδρόμησης για τα Χ και πραγματικών τιμών Χ Με ίδιο τρόπο με τη γραμμική παλινδρόμηση Υ ως προς Χ με τη μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων υπολογίζουμε τα a, b : b n n X Y Y X Y Y a xby IV.14

ΔΙΑΦΗΜΙΣΗ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ Χ ΩΣ ΠΡΟΣ Υ Στους τύπους της προηγούμενης διαφάνειας παρατηρούμε ότι το μόνο επιπλέον που χρειαζόμαστε (σε σχέση με τον υπολογισμό των a, b) είναι το Άθροισμα Τετραγώνων ΣΥ ι Σύμφωνα με τους τύπους για τα a, b της γραμμικής παλινδρόμησης δημιουργούμε το παρακάτω γράφημα, όπου το R είναι ίδιο αλλά η εξίσωση της ευθείας αλλάζει γιατί έχουμε τώρα νέες τιμές a, b 1600 1400 100 y = 0.3013x - 138.8 R = 0.8934 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ (X-Y) 1000 800 600 400 00 0 ΠΩΛΗΣΕΙΣ Γραμ. Πλαινρόμηση (Χ-Υ) 0 1000 000 3000 4000 5000 6000 ΠΩΛΗΣΕΙΣ IV.15

ΤΥΠΙΚΟ ΣΦΑΛΜΑ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ s yx Η ποιότητα της παλινδρόμησης εξαρτάται από την «συγκέντρωση» των δεδομένων (σημείων) γύρω από τη γραμμή παλινδρόμησης. Το μέτρο διασποράς των τιμών Υ ι γύρω από τη γραμμή της παλινδρόμησης ονομάζεται τυπικό σφάλμα εκτίμησης της εξαρτημένης μεταβλητής και είναι: s YX ( Y ˆ Y ) n n Στον παρονομαστή χρησιμοποιούμε το n- γιατί έχουμε βαθμούς ελευθερίας (εκτίμηση συντελεστών a, b της εξίσωσης παλινδρόμησης). Η διακύμανση (διασπορά) των δεδομένων γύρω από τη γραμμή της παλινδρόμησης είναι το s. Για το προηγούμενο παράδειγμα με βάση την παραπάνω σχέση βρίσκουμε: s YX =49.5178935=49.5 Y b Δηλαδή «τυπικά» (κατά μέσο όρο) κάθε εκτίμηση έχει σφάλμα 49.5 μονάδες Y X Y IV.16

ΔΙΜΕΤΑΒΛΗΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ Η εξάρτηση μεταξύ δύο μεταβλητών X Και Υ μπορεί να μετρηθεί με την συσχέτιση. Ο ποσοτικός προσδιορισμός γίνεται με το Συντελεστή Συσχέτισης (Correlaton Coeffcent) r: n X Y X Y Cov( X r r b b n X X n Y Y Var( X ) Var( Y), Y) Όπου η Cov(X,Y) είναι η Συνδιακύμανση των μεταβλητών Χ, Υ Ο συντελεστής συσχέτισης r μετρά την ένταση της εξάρτησης μεταξύ των μεταβλητών Χ κα Υ (για γραμμικής μορφής σχέση εξάρτησης) Ισχύει -1 r 1 και αν r > 0 έχουμε θετική συσχέτιση (αυξάνονται ή μειώνονται και οι μεταβλητές), αν r < 0 αρνητική συσχέτιση (όταν η μία αυξάνεται η άλλη μειώνεται και αντίστροφα) Όταν το r 0 τότε έχουμε ασυσχέτιστες μεταβλητές Οι τιμές του Υ δεν επηρεάζονται από τις τιμές του Χ Όταν το r -1 έχουμε ισχυρή αρνητική συσχέτιση Όταν η Χ αυξάνει η Υ μειώνεται ανάλογα (σε ίδιο ποσοστό) Όταν το r 1 έχουμε ισχυρή θετική συσχέτιση Όταν η Χ αυξάνει η Υ αυξάνει ανάλογα (σε ίδιο ποσοστό) IV.17

ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΥ Ο συντελεστής προσδιορισμού (Coeffcent of Determnaton) είναι το τετράγωνο του συντελεστή συσχέτισης και συμβολίζεται με r ή συνήθως R : R ( Yˆ ( Y y) y) b b από τον ορισμό είναι φανερό ότι 0 R 1 (αφού -1 r 1 ) Όσο πλησιάζει στη μονάδα τόσο καλύτερη είναι η προσαρμογή της γραμμής παλινδρόμησης στα δεδομένα. Ο R ερμηνεύεται σαν το ποσοστό της συνολικής μεταβλητικότητας της μεταβλητής Υ που οφείλεται στην επίδραση των τιμών της Χ. Η διαφορά 1- R εκφράζει το ποσοστό της μεταβλητικότητας που οφείλεται σε άγνωστους παράγοντες (δηλ. εκτός της ανεξάρτητης μεταβλητής Χ που χρησιμοποιούμε και γνωρίζουμε). ΕΠΟΜΕΝΗ ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ IV.18

ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΥ R Για το παράδειγμα των δεδομένων Διαφήμισης και Πωλήσεων υπολογίσαμε ότι b=.965 και b =0.301 Ο συντελεστής προσδιορισμού (Coeffcent of Determnaton) R : r R ( Yˆ ( Y y) y) b b 0.89465 Η τιμή R =0.89 είναι υψηλή και επομένως θεωρούμε ότι μεταξύ Διαφήμισης και Πωλήσεων υπάρχει ισχυρή θετική συσχέτιση. Προφανώς στη συσχέτιση μεταβλητών δεν έχει σημασία η σειρά (ανεξάρτητη-εξαρτημένη) γιατί συσχετίζουμε τις μεταβλητές. Επομένως η παλινδρόμηση Υ ως προς Χ και Χ ως προς Υ έχουν τα ίδια r και R. Προσέξτε ότι το b είναι η κλίση της ευθείας Υ ως προς Χ ενώ b η κλίση της ευθείας Χ ως προς Υ. IV.19

ΠΩΛΗΣΕΙΣ ΔΙΑΦΗΜΙΣΗ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΥ R παλινδρόμηση Υ ως προς Χ και Χ ως προς Υ Για το παράδειγμα των δεδομένων Διαφήμισης και Πωλήσεων υπολογίσαμε ότι b=.965 και b =0.301 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ (X-Y) 6000 5000 y =.9649x + 711 R = 0.8934 1600 1400 100 y = 0.3013x - 138.8 R = 0.8934 4000 1000 3000 800 000 600 1000 0 Γραμμική Παλινδρόμηση 0 00 400 600 800 1000 100 1400 1600 ΔΙΑΦΗΜΙΣΗ ΔΙΑΦΗΜΙΣΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΠΩΛΗΣΕΙΣ (Υ) ΩΣ ΠΡΟΣ ΔΙΑΦΗΜΙΣΗ (Χ) 400 00 0 ΠΩΛΗΣΕΙΣ Γραμ. Πλαινρόμηση (Χ-Υ) 0 1000 000 3000 4000 5000 6000 ΠΩΛΗΣΕΙΣ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΔΙΑΦΗΜΙΣΗ (Υ) ΩΣ ΠΡΟΣ ΠΩΛΗΣΕΙΣ (Χ) Μαθηματικά είναι εφικτό και χωρίς πρόβλημα να «κάνουμε» οποιαδήποτε παλινδρόμηση από τις, είτε Πωλήσεις ως προς Διαφήμιση, είτε Διαφήμιση ως προς Πωλήσεις. ΑΛΛΑ αν λάβουμε την οικονομική πραγματικότητα, γνωρίζουμε ότι η Διαφήμιση επηρεάζει τις Πωλήσεις (και για το λόγο αυτό οι επιχειρήσεις «πληρώνουν» διαφημίσεις για να αυξήσουν τις πωλήσεις τους) ΕΠΟΜΕΝΩΣ Η «ΣΩΣΤΗ» ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΕΊΝΑΙ ΠΩΛΗΣΕΙΣ ΩΣ ΠΡΟΣ ΔΙΑΦΗΜΙΣΗ IV.0

ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Αν υποθέσουμε ότι η εξαρτημένη μεταβλητή Χ 1 δέχεται επιδράσεις από περισσότερες της μιας ανεξάρτητες μεταβλητές Χ, Χ 3, Χ 4, τότε η σχέση εξάρτησης ονομάζεται πολλαπλή παλινδρόμηση και συσχέτιση και έχει εξίσωση πολλαπλής παλινδρόμησης της μορφής: Xˆ a b X b X b X 1 1 13 Γραφικά η πολλαπλή παλινδρόμηση είναι μια επιφάνεια στο χώρο (ενώ η απλή μια ευθεία στο επίπεδο). Με τη μέθοδο Ελαχίστων Τετραγώνων μπορούμε να υπολογίσουμε τους άγνωστους συντελεστές, όπως και στη γραμμική παλινδρόμηση. Περισσότερες λεπτομέρειες για Απλή και Πολλαπλή Γραμμική Παλινδρόμηση στο μάθημα Οικονομετρία. 3 14 4... IV.1

ΠΩΛΗΣΕΙΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Αν αντί για την εξίσωση της ευθείας γραμμής χρησιμοποιήσουμε την εξίσωση κάποιας άλλης καμπύλης έχουμε μη γραμμική παλινδρόμηση Εκθετική Παλινδρόμηση: Y=aX b Υπερβολική Παλινδρόμηση: Y=1/(a+bX ). Γενικότερα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε οποιαδήποτε εξίσωση καμπύλης που «φαίνεται» σε γράφημα ότι μπορεί να προσεγγίζει τα δεδομένα μας ικανοποιητικά (δηλ. τα δεδομένα μας δείχνουν να «ακολουθούν» την μορφή της συγκεκριμένης καμπύλης). 7000 6000 5000 4000 3000 000 1000 0 y =.9649x + 711 R = 0.8934 ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΔΙΑΦΗΜΙΣΗ Γραμμική Παλινδρόμηση Power (ΔΙΑΦΗΜΙΣΗ) Expon. (ΔΙΑΦΗΜΙΣΗ) 0 00 400 600 800 1000 100 1400 1600 ΔΙΑΦΗΜΙΣΗ Μπορούμε να αξιολογήσουμε την ποιότητα οποιασδήποτε παλινδρόμησης με το συντελεστή προσδιορισμού R. IV.

ΑΝΑΛΥΣΗ ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΕΙΡΩΝ Χρονολογική Σειρά ή Χρονοσειρά (Tme Seres) είναι μια σειρά τιμών που παίρνει μια μεταβλητή σε διαδοχικά χρονικά διαστήματα (όχι απαραίτητα ίσα διαστήματα). Μια Χρονοσειρά μπορεί να είναι συνεχής (π.χ. θερμοκρασία αίθουσας διδασκαλίας) ή ασυνεχής (π.χ. τροχαία ατυχήματα σε μια πόλη). Συνεχής σημαίνει ότι «διέρχεται» μεταξύ όλων των «ενδιάμεσων» τιμών που παρατηρούμε (δηλ. δεν κάνει «άλματα»). Ασυνεχής σημαίνει ότι δεν ισχύει το παραπάνω. Στόχος της Ανάλυσης των Χρονολογικών Σειρών είναι συνήθως η πρόβλεψη. Θεωρούμε ότι μια χρονοσειρά αναπαριστά την εξέλιξη ενός φαινομένου που μας ενδιαφέρει. π.χ. με τον αριθμό των αφίξεων επιβατών στα αεροδρόμια Ηρακλείου και Χανίων «μετράμε» τον τουρισμό στην Κρήτη. IV.3

1970 197 1974 1976 1978 1980 198 1984 1986 1988 1990 199 1994 1996 1998 000 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ 14,000 1,000 10,000 ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΤΟΥΡΙΣΜΟΥ (# επισκεπτών) ΤΟΥΡΚΙΑ ΚΥΠΡΟΣ ΠΟΡΤΟΓΑΛΙΑ ΑΙΓΥΠΤΟΣ ΕΛΛΑΔΑ 3,000,000,800,000,600,000,400,000 ΑΦΙΞΕΙΣ ΣΤΟ ΑΕΡΟΔΡΟΜΙΟ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ (1985-) y = 88481x + 949843 R = 0.9134 8,000,00,000 6,000 4,000,000,000,000 1,800,000 1,600,000 1,400,000 1,00,000 ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Lnear (ΔΕΔΟΜΕΝΑ) 0 1990 1991 199 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 000 1,000,000 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 ΘΑΝΑΤΟΙ ΣΤΗΝ ΕΛΛΑΔΑ (1970-001) 10,000 100,000 80,000 60,000 40,000 0,000 0 IV.4

ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΕΙΡΩΝ Συνιστώσες χρονοσειρών είναι οι παράγοντες που διαμορφώνουν τις τιμές τους. Κυριότερες συνιστώσες μιας Χρονολογικής Σειράς είναι: Μακροχρόνια Τάση (Trend): Τ Μπορεί να είναι Τάση: Ανοδική, Καθοδική, Σύνθετη Κυκλικές Διακυμάνσεις (Cyclcal Fluctuatons): C Εποχικές Διακυμάνσεις (Seasonal Fluctuatons): S (εβδομαδιαία, μηνιαία, 3μηνιαία δεδομένα) Άρρυθμες ή Τυχαίες Κινήσεις (Irregular-Random Movements): I Η Ανάλυση Χρονολογικών Σειρών ασχολείται με τον προσδιορισμό και διαχωρισμό (decomposton) κάθε συνιστώσας σε μια Χρονοσειρά. Προσθετικό Υπόδειγμα: Υ=T+S+C+I Πολλαπλασιαστικό Υπόδειγμα: Y=TxSxCxI Τα υποδείγματα είναι πρακτικά ισοδύναμα, γιατί αν λογαριθμήσουμε το ο προκύπτει το 1 ο IV.5

ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΑΣΗΣ Λόγοι για προσδιορισμό Τάσης χρονοσειράς Προβολή στο μέλλον (Πρόβλεψη) Διαχωρισμός και Απαλοιφή συνιστώσας Τάσης Για σύγκριση με Τάση άλλης χρονοσειράς Μέθοδοι προσδιορισμού Τάσης Χάραξη με το χέρι σε διάγραμμα (χωρίς υπολογισμούς) Μέθοδος Μέσων Σημείων Μέθοδος Κινητών Μέσων Όρων Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων (Γραμμική Τάση ή άλλη Παλινδρόμηση με κάποια μαθηματική εξίσωση-μοντέλο) IV.6

ΜΕΘΟΔΟΣ ΚΙΝΗΤΩΝ ΜΕΣΩΝ ΟΡΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΠΩΛΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΚΙΝΗΤΟΙ ΜΕΣΟΙ ΟΡΟΙ 6000 5000 4000 3000 000 1000 0 ΠΩΛΗΣΕΙΣ 3 per. Mov. Avg. (ΠΩΛΗΣΕΙΣ) 0 4 6 8 10 1 14 Υπολογίζουμε για κάθε τιμή των δεδομένων μας το μέσο όρο προηγούμενων τιμών π.χ. για κινητό μέσο όρο 3 περιόδων για το Y 3,ΚΜ(3) =(Y 1 +Y +Y 3 )/3 ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑΤΑ: Μπορεί να «ακολουθεί» τη μορφή των δεδομένων ακόμα και σε «πολύπλοκες» μορφές (εξομάλυνση). Είναι πολύ απλή η σχέση υπολογισμού και η εφαρμογή της μεθόδου. IV.7

ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΑΣΗΣ ΜΕ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ Χρησιμοποιούμε την εξίσωση γραμμικής παλινδρόμησης των δεδομένων μας με το χρόνο: Y t =a+bt Από το σύστημα εξισώσεων της παλινδρόμησης έχουμε: b n ty t ( ) n( t ) t Y a b n n t Y 7000 6000 5000 4000 3000 000 1000 0 ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΠΩΛΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΤΑΣΗ y = 386.43x + 313.18 R = 0.938 ΠΩΛΗΣΕΙΣ Lnear (ΠΩΛΗΣΕΙΣ) 0 4 6 8 10 1 14 16 Οι απαραίτητοι υπολογισμοί είναι μια απλοποιημένη μορφή της Γραμμικής Παλινδρόμησης που έχουμε ήδη παρουσιάσει. Για λόγους απλότητας στην εξαρτημένη μεταβλητή του χρόνου στον Χ-άξονα χρησιμοποιούμε τιμές 0,1,,3, ή 1,,3,4, IV.8

ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΕΠΟΧΙΚΟΤΗΤΑΣ Υπολογίζουμε τους συντελεστές εποχικότητας ή δείκτες εποχικότητας (seasonal ndexes) S Είναι απαραίτητο να έχουμε αρκετά δεδομένα ώστε να έχουμε πολλές εποχές (συνήθως ένα έτος ονομάζεται μια εποχή) Οι συντελεστές που υπολογίζουμε είναι μέσοι όροι των συντελεστών για πολλά έτη Στο γράφημα παρουσιάζεται μια Χρονοσειρά μηνιαίων δεδομένων για 4 έτη ΕΠΟΜΕΝΗ ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ IV.9

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΠΟΧΙΚΟΤΗΤΑΣ (1) Υπολογισμός του συνόλου κάθε έτους και του μέσου κάθε μήνα ΜΗΝΑΣ 1991 199 1993 1994 ΙΑΝ 1634 1908 388 08 ΦΕΒ 1586 1851 55 1794 ΜΑΡ 131 1709 84 17 ΑΠΡ 1464 1815 400 1657 ΜΑΪ 1316 1640 019 185 ΙΟΥΝ 1315 1493 1986 13 ΙΟΥΛ 110 1471 1790 189 ΑΥΓ 100 1349 1487 17 ΣΕΠ 150 1588 1566 148 ΟΚΤ 1545 185 1918 157 ΝΟΕ 1766 178 1978 17 ΔΕΚ 1767 477 1875 1873 ΣΥΝΟΛΟ 17374 1304 416 19018 ΜΗΝΙΑΙΟΣ ΜΕΣΟΣ 1447.83 1775.33 018.00 1584.83 ΕΠΟΜΕΝΗ ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ IV.30

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΠΟΧΙΚΟΤΗΤΑΣ () Υπολογισμός του ποσοστού κάθε μήνα στο μηνιαίο μέσο του έτους και του μέσου των μηνών για την εύρεση των συντελεστών S 1991 199 1993 1994 ΑΘΡΟΙΣΜΑ S ΙΑΝ 11.86% 107.47% 118.33% 131.37% 470.04% 117.51% ΦΕΒ 109.54% 104.6% 15.1% 113.0% 45.13% 113.03% ΜΑΡ 91.4% 96.6% 113.18% 108.65% 409.34% 10.33% ΑΠΡ 101.1% 10.3% 118.93% 104.55% 46.83% 106.71% ΜΑΪ 90.89% 9.38% 100.05% 81.08% 364.40% 91.10% ΙΟΥΝ 90.83% 84.10% 98.41% 83.4% 356.75% 89.19% ΙΟΥΛ 83.57% 8.86% 88.70% 81.33% 336.47% 84.1% ΑΥΓ 8.88% 75.99% 73.69% 80.6% 31.8% 78.0% ΣΕΠ 86.34% 89.45% 77.60% 90.10% 343.49% 85.87% ΟΚΤ 106.71% 10.80% 95.04% 99.19% 403.74% 100.94% ΝΟΕ 11.98% 1.68% 98.0% 108.65% 451.33% 11.83% ΔΕΚ 1.04% 139.5% 9.91% 118.18% 47.66% 118.17% ΣΥΝΟΛΟ 100% 100% 100% 100% 100% ΜΗΝΙΑΙΟΣ ΜΕΣΟΣ 100% 100% 100% 100% IV.31

ΑΠΑΛΟΙΦΗ ΕΠΟΧΙΚΟΤΗΤΑΣ Αν διαιρέσουμε κάθε τιμή της χρονοσειράς με το αντίστοιχο Συντελεστή Εποχικότητας S (για τον κάθε μήνα του έτους) θα προκύψει μια Χρονοσειρά απαλλαγμένη από τις εποχικές διακυμάνσεις (Από-εποχικοποιημένα δεδομένα). ΜΗΝΑΣ 1991 199 1993 1994 ΙΑΝ 1390.5 163.7 03. 1771.8 ΦΕΒ 1403.1 1637.6 33.9 1587. ΜΑΡ 190.9 1670.0 31.9 168.7 ΑΠΡ 137.0 1700.9 49.1 155.8 ΜΑΪ 1444.6 1800. 16. 1410.5 ΙΟΥΝ 1474.4 1674.0 6.8 148.3 ΙΟΥΛ 1438.5 1748.8 18.0 153.4 ΑΥΓ 1534.4 175.0 1901.4 166.5 ΣΕΠ 1455.6 1849.3 183.6 166.9 ΟΚΤ 1530.7 1808.1 1900. 1557.4 ΝΟΕ 1565. 1930.3 1753.0 156. ΔΕΚ 1495.4 096. 1586.8 1585.1 ΕΠΟΜΕΝΗ ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ IV.3

ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΜΕ ΕΠΟΧΙΚΟΤΗΤΑ - ΑΠΑΛΟΙΦΗ Σύμφωνα με το Πολλαπλασιαστικό Υπόδειγμα: Y=TxSxCxI στη Χρονοσειρά μας παραμένουν οι υπόλοιπες συνιστώσες εκτός της S (εποχικότητα). IV.33

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ Στις παρακάτω διαφάνειες δίνονται οι εκφωνήσεις ασκήσεων (παραδειγμάτων) στα 3 βασικά θέματα της ενότητας Παλινδρόμηση-Συσχέτιση Τάση Εποχικότητα Σε κάθε προτεινόμενη άσκηση δίνονται υποδείξεις και οι τιμές των λύσεων. Οι υπολογισμοί που πρέπει να γίνουν αναλύονται στις προηγούμενες διαφάνειες της ενότητας. IV.34

ΒΑΡΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ 1 1. Δίνονται τα δεδομένα Ύψους και Βάρους για δείγμα 30 ατόμων. (Α) Υπολογίστε την κατάλληλη Παλινδρόμηση και (Β) τον Συντελεστή Προσδιορισμού ΥΨΟΣ 180 171 169 166 177 167 17 179 18 176 170 17 17 163 174 166 177 173 168 174 170 17 177 175 178 171 178 176 166 178 ΒΑΡΟΣ 65 60 49 5 47 55 57 6 64 58 64 55 60 48 56 57 63 6 48 58 66 53 65 61 67 57 57 5 56 67 Απάντηση: Η «σωστή» παλινδρόμηση είναι ΒΑΡΟΣ ως προς ΥΨΟΣ, γιατί το Βάρος ενός ατόμου σχετικά εύκολα αλλάζει με την διατροφή ενώ το Ύψος είναι αδύνατο να αλλάξει! Επομένως ανεξάρτητη μεταβλητή το Ύψος και εξαρτημένη το Βάρος Η εξίσωση παλινδρόμησης φαίνεται στο γράφημα, όπως και το R. Για τους υπολογισμούς βλέπε αντίστοιχες διαφάνειες 70 65 60 55 50 45 ΣΧΕΣΗ ΥΨΟΥΣ ΜΕ ΒΑΡΟΣ 30 ΑΤΟΜΩΝ y = 0.638x - 5.37 R² = 0.871 163; 48 170; 66 178; 178; 67 67 177; 65 170; 64 180; 65 177; 63 18; 64 173; 6 175; 61 179; 6 171; 17; 60 60 174; 176; 58 58 171; 166; 57 17; 57 57 174; 56 178; 57 166; 56 167; 55 17; 55 17; 53 176; 5 166; 5 169; 49 168; 48 177; 47 40 160 165 170 175 180 185 ΥΨΟΣ IV.35

ΚΕΡΔΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ. Δίνονται τα δεδομένα Πωλήσεων και Κερδών της APPLE nc την περίοδο 008-014. (Α) Υπολογίστε την κατάλληλη Παλινδρόμηση και (Β) τον Συντελεστή Προσδιορισμού Απάντηση: Η «σωστή» παλινδρόμηση είναι ΚΕΡΔΗ ΠΡΟΣ ΕΣΟΔΑ, τα κέρδη εξαρτώνται από τα έσοδα το αντίστροφο είναι παράλογο! Επομένως ανεξάρτητη μεταβλητή τα ΕΣΟΔΑ και εξαρτημένη τα ΚΕΡΔΗ Η εξίσωση παλινδρόμησης φαίνεται στο γράφημα, όπως και το R. Για τους υπολογισμούς βλέπε αντίστοιχες διαφάνειες 45 40 35 30 5 0 15 10 5 0 ΠΩΛΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΚΕΡΔΗ APPLE nc (δις $) y = 0.4x - 1.76 R² = 0.96 0 50 100 150 00 ΕΣΟΔΑ IV.36

ΑΝΕΡΓΙΑ% ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ 3 3. Δίνονται τα δεδομένα Μέσου Εθνικού Εισοδήματος και Ανεργίας % για την Ελλάδα 008-014. (Α) Υπολογίστε την κατάλληλη Παλινδρόμηση και (Β) τον Συντελεστή Προσδιορισμού ΕΤΟΣ 008 009 010 011 01 013 014 GDP/capta ($) 3087 3049 8901 6675 546 5666 66 ΑΝΕΡΓΙΑ (%) 7.8 9.6 1.7 17.9 4.4 7.5 6.5 Απάντηση: Η «σωστή» παλινδρόμηση είναι ΑΝΕΡΓΙΑ ΠΡΟΣ Μ.Ε.Ε., τουλάχιστο οικονομικά αυτή είναι η σχέση, η πτώση του Μ.Ε.Ε. αυξάνει την Ανεργία Επομένως ανεξάρτητη μεταβλητή το Μ.Ε.Ε. και εξαρτημένη η ΑΝΕΡΓΙΑ Η εξίσωση παλινδρόμησης φαίνεται στο γράφημα, όπως και το R. Για τους υπολογισμούς βλέπε αντίστοιχες διαφάνειες 30.0 5.0 0.0 15.0 10.0 5.0 0.0 ΕΘΝΙΚΟ ΕΙΣΟΔΗΜΑ ΚΑΙ ΑΝΕΡΓΙΑ% (ΕΛΛΑΔΑ 008-14) y = -0.0034x + 113.5817 R² = 0.9134 0 5000 10000 15000 0000 5000 30000 35000 ΜΕΣΟ ΕΘΝΙΚΟ ΕΙΣΟΔΗΜΑ IV.37

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΑΣΗΣ 1 4. Δίνονται τα δεδομένα Α.Ε.Π. για την Ελλάδα 007-013. (Α) Υπολογίστε την Γραμμική Τάση και (Β) τον Συντελεστή Προσδιορισμού Απάντηση: Η εξίσωση Γραμμικής Τάσης φαίνεται στο γράφημα, όπως και το R. Στο γράφημα η τάση έχει υπολογιστεί με σειρά χρόνου 007,008, y = -10.036x + 96.14 R² = 0.800 Για τους υπολογισμούς βλέπε αντίστοιχες διαφάνειες 350 300 50 00 150 100 50 Α.Ε.Π. ΕΛΛΑΔΑΣ (δις $) y = -10.036x + 96.14 R² = 0.800 0 007 008 009 010 011 01 013 IV.38

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΑΣΗΣ 5. Δίνονται τα δεδομένα μέσης Τουριστικής Δαπάνης στην Ελλάδα 005-013. (Α) Υπολογίστε την Γραμμική Τάση και (Β) την πρόβλεψη (εκτίμηση) της Δαπάνης για το 014-15-16. έτος 005 006 007 008 009 010 011 01 013 Δαπάνη ( ) 753 749 70 747 73 657 663 670 68 Απάντηση: Η εξίσωση Γραμμικής Τάσης φαίνεται στο γράφημα, όπως και το R. Στο γράφημα η τάση έχει υπολογιστεί με σειρά χρόνου 1,, Επομένως οι προβλέψεις για τα έτη θα δίνονται από την εξίσωση y = 6.503x - 3.8667 και θα είναι: 14 15 16 646. 634 6 Για τους υπολογισμούς βλέπε αντίστοιχες διαφάνειες 800 700 600 500 400 300 00 100 0 Μέση Δαπάνη Τουριστών ( ) y = -1.083x + 767.53 R² = 0.710 0 4 6 8 10 1 14 IV.39

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΑΣΗΣ 3 6. Δίνονται τα δεδομένα Πωλήσεων της Google nc 005-014. (Α) Υπολογίστε την Γραμμική Τάση και (Β) την πρόβλεψη (εκτίμηση) των Πωλήσεων για τα έτη 015-16-17. ΕΤΟΣ 014 013 01 011 010 009 008 007 006 005 ΠΩΛΗΣΕΙΣ (δις $) 66 56 50 38 9 4 17 11 6 Απάντηση: Η εξίσωση Γραμμικής Τάσης φαίνεται στο γράφημα, όπως και το R. Στο γράφημα η τάση έχει υπολογιστεί με σειρά χρόνου 1,, Επομένως οι προβλέψεις για τα έτη θα δίνονται από την εξίσωση y=6.503x-3.8667 για χ=11, 1, 13 και θα είναι: 015 016 017 67.64 74.14 80.64 Για τους υπολογισμούς βλέπε αντίστοιχες διαφάνειες 100 90 80 70 60 50 40 30 0 10 0 ΠΩΛΗΣΕΙΣ Google nc y = 6.503x - 3.8667 R² = 0.9673 0 4 6 8 10 1 14 16 40

ΑΣΚΗΣΗ ΕΠΟΧΙΚΟΤΗΤΑΣ 1 7. Δίνονται τα δεδομένα Πωλήσεων επιχείρησης για 4 έτη κατά εποχή (Α) Υπολογίστε τους συντελεστές εποχικότητας και (Β) την πρόβλεψη (εκτίμηση) των Πωλήσεων κάθε εποχής για το επόμενο έτος αν στο σύνολό τους είναι 150. εποχή ετος1 ετος ετος3 ετος4 Άνοιξη 36 40 40 37 Καλοκαίρι 4 3 3 33 Φθινόπωρο 15 18 0 1 Χειμώνας 5 30 33 31 Απάντηση: Υπολογίζουμε τους Συντελεστές Εποχικότητας στους παρακάτω πίνακες: Μέσος 4 ετών κάθε εποχής ετος1 ετος ετος3 ετος4 Άνοιξη 36 40 40 37 Καλοκαίρι 4 3 3 33 Φθινόπωρο 15 18 0 1 Χειμώνας 5 30 33 31 άθροισμα 100 10 15 1 Διαιρούμε με το σύνολο έτους (άθροισμα) ετος1 ετος ετος3 ετος4 S Ανοιξη 36.0% 33.3% 3.0% 30.3% 3.9% Καλοκαίρι 4.0% 6.7% 5.6% 7.0% 5.8% Φθινόπωρο 15.0% 15.0% 16.0% 17.% 15.8% Χειμώνας 5.0% 5.0% 6.4% 5.4% 5.5% Σύνολο 100% 100% 100% 100% (Β) Αν το σύνολο των πωλήσεων του επόμενου έτους είναι 150, θεωρούμε ότι η κατανομή των πωλήσεων στις 4 εποχές θα είναι σύμφωνα με τους συντελεστές εποχικότητας και επομένως: Πωλήσεις Άνοιξης=150*3.9%=49.37, Πωλ. Καλ.=150*5.7%=38.74, Για τους υπολογισμούς βλέπε αντίστοιχες διαφάνειες IV.41