ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική

Transcript

1 ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 6: Ανάλυση γραμμικού υποδείγματος Πολυμεταβλητή παλινδρόμηση (2 ο μέρος) Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ Webpage: 1

2 Περιεχόμενο ενότητας 1. Ανάλυση της διακύμανσης στο υπόδειγμα πολλαπλής γραμμικής παλινδρόμησης 2. Συντελεστής πολλαπλού προσδιορισμού R 2 3. Η σχέση μεταξύ της στατιστικής F και του συντελεστή πολλαπλού προσδιορισμού R 2 4. Μερικοί συντελεστές συσχέτισης 5. Κριτήρια επιλογής υποδειγμάτων της παλινδρόμησης 6. Έλεγχος γραμμικών σχέσεων μεταξύ των συντελεστών της παλινδρόμησης 2

3 1. Ανάλυση της διακύμανσης στο υπόδειγμα πολλαπλής γραμμικής παλινδρόμησης Η συνολική μεταβλητότητα της εξαρτημένης μεταβλητής δίνεται από: T t=1 (Y t Y) 2 = T t=1 ( Y t Y) 2 + T t=1 (Y t Y t ) 2 SST = SSR + SSE SST: συνολική μεταβλητότητα ή συνολικό άθροισμα τετραγώνων SSR: μεταβλητότητα που ερμηνεύεται από την παλινδρόμηση ή άθροισμα τετραγώνων της παλινδρόμησης SSΕ: μεταβλητότητα που δεν ερμηνεύεται από την παλινδρόμηση ή άθροισμα τετραγώνων των καταλοίπων 3

4 Η ανάλυση των ποσοτήτων SSR και SSE που προκαλούν την συνολική μεταβλητότητα της Υ, είναι γνωστή ως ανάλυση της διακύμανσης στο πολλαπλό υπόδειγμα της παλινδρόμησης ή ANOVA (analysis of variance). Οι βαθμοί ελευθερίας για τα αθροίσματα είναι αντίστοιχα: T 1: για το SST = T t=1 (Y t Y) 2 ένας βαθμός ελευθερίας χάνεται για τον υπολογισμό του μέσου όρου Y T (k + 1): για το SSR = T t=1 ( Y t Y) 2, διότι το υπόδειγμα έχει (k + 1) άγνωστες παραμέτρους ( β 0, β 1, β k ) k: για το SSΕ = t=1 T (Y t Y t ) 2, διότι το υπόδειγμα έχει k ανεξάρτητες μεταβλητές 4

5 Ανάλυση της διακύμανσης του πολλαπλού υποδείγματος παλινδρόμησης (ANOVA). Πηγή διακύμανσης Άθροισμα τετραγώνων Βαθμοί ελευθερίας Μέσα αθροίσματα τετραγώνων Παλινδρόμηση SSR = ( Y t Υ) 2 k SSR k F = Κατάλοιπα Σύνολο SSE = (Y t Υ) 2 Τ (k + 1) SSE T (k + 1) SST = (Y t Υ) 2 Τ 1 F SSR k SSE T (k + 1) = ΜSSR MSSE Μέσα αθροίσματα τετραγώνων (mean sum of squares): ΜSSR: SSR k, ΜSSE: SSE T (k+1) 5

6 Με την στατιστική F ελέγχουμε την στατιστική σημαντικότητα όλων των συντελεστών του πολλαπλού υποδείγματος παλινδρόμησης με τη μηδενική υπόθεση να διαμορφώνεται ως Η 0 : β 1 = = β k = 0. Επίσης με την στατιστική F ελέγχουμε την στατιστική σημαντικότητα του πολλαπλού συντελεστή προσδιορισμού, δηλαδή εξετάζουμε την μηδενική υπόθεση Η 0 : R 2 = 0: O συντελεστής προσδιορισμού είναι στατιστικά σημαντικός σε επίπεδο σημαντικότητας α (συνήθως α = 0. 05), αν F > F k,t k+1,a. Αν F μικρό, τότε μεταξύ των ανεξάρτητων μεταβλητών και της εξαρτημένης μεταβλητής υπάρχει ασθενής συσχέτιση. Αν F μεγάλο, τότε μεταξύ των ανεξάρτητων μεταβλητών και της εξαρτημένης μεταβλητής υπάρχει ισχυρή συσχέτιση. 6

7 2. Συντελεστής πολλαπλού προσδιορισμού R 2 O συντελεστής προσδιορισμού είναι ένα μέτρο της ικανότητας προσαρμογής του υποδείγματος και ορίζεται ως αναλογία της μεταβλητότητας της εξαρτημένης μεταβλητής Υ που ερμηνεύεται από την παλινδρόμηση προς την συνολική της μεταβλητότητα: R 2 = t=1 Τ t=1 Τ = 1 ( Y t Y) 2 SSR = (Y t Y) 2 SST = 1 SSE SST = Τ 2 Τ 2 t=1 e t t=1 e t T t=1 Y t Y 2 = 1 T T t=1 Y t Y 2 T = 1 Var(e t) Var(Y t ) όπου Var(e t ), Var(Υ t ) είναι οι διακυμάνσεις των καταλοίπων και της μεταβλητής Υ. 7

8 To R 2 επηρεάζεται από το πλήθος των ανεξάρτητων μεταβλητών. Αν το δείγμα είναι μικρό και το πλήθος των ανεξάρτητων μεταβλητών μεγάλο, τότε η εκτίμηση του R 2 δεν είναι καλή. Διορθωμένος (προσαρμοσμένος) συντελεστής προσδιορισμού Αν αντικαταστήσουμε τις διακυμάνσεις με τις αντίστοιχες αμερόληπτες εκτιμήσεις τους, τότε: R 2 = 1 Var e t Var Y t = 1 = 1 Τ t=1 e t 2 T k + 1 T t=1 Y t Y 2 = 1 T 1 T 1 T k + 1 (1 R2 ) T 1 T k + 1 T t=1 Τ t=1 e t 2 Y t Y 2 8

9 To R 2 είναι κατάλληλο μέτρο για την σύγκριση υποδειγμάτων με διαφορετικό αριθμό ανεξάρτητων μεταβλητών και διαφορετικό πλήθος δειγμάτων. Παρατηρήσεις Οι συντελεστές R 2 και R 2 μετρούν την καλή προσαρμογή της γραμμής παλινδρόμησης του δείγματος. Ο διορθωμένος συντελεστής R 2 παίρνει τιμές μικρότερες από το R 2 : R 2 < R 2. Είναι 0 R 2 1, ενώ το R 2 παίρνει και αρνητικές τιμές. 9

10 3. Η σχέση μεταξύ της στατιστικής F και του συντελεστή πολλαπλού προσδιορισμού R 2 Είναι: F = Αν R 2 0 τότε F 0. Αν R 2 1 τότε F. R 2 k 1 R 2 T (k + 1) F k,t k+1,a 10

11 4. Μερικοί συντελεστές συσχέτισης Ο συντελεστής συσχέτισης r μεταξύ δύο μεταβλητών Χ και Υ δείχνει τον βαθμό της ταυτόχρονης μεταβολής των δυο μεταβλητών του απλού γραμμικού υποδείγματος του πληθυσμού και παίρνει τιμές από 1 έως +1. Ορίζεται ως: r = cov(x, Y) σ X σ Y cov(x, Y): η συνδιακύμανση των Χ και Υ σ X, σ Y : τυπικές αποκλίσεις των Χ και Υ Αν σε ένα πολλαπλό γραμμικό υπόδειγμα παλινδρόμησης ορίσουμε ως r ij τον απλό συντελεστή συσχέτισης μεταξύ των μεταβλητών του ανά δύο, τότε όλοι οι απλοί συντελεστές συσχέτισης δίνονται από την μήτρα συσχετίσεων: 11

12 R = r YY r YX1 r YXk r X1 X 1 r X 1 X k r Xk X 1 r Xk X k r X1 Y r Xk Y Η μήτρα συσχετίσεων είναι συμμετρική ως προς την κύρια διαγώνιο της και όλα τα στοιχεία της διαγώνιου είναι ίσα με μονάδα. Ο απλός συντελεστής συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών δεν λαμβάνει υπόψιν τις πιθανές σχέσεις των μεταβλητών αυτών ως προς μια άλλη Τρίτη μεταβλητή. Δηλαδή, δεν μετράει την αληθινή συσχέτιση μεταξύ των δυο μεταβλητών του πολλαπλού γραμμικού υποδείγματος, όταν υπάρχει και κάποια άλλη μεταβλητή που συσχετίζεται με αυτές τις δυο μεταβλητές. Στην περίπτωση αυτή χρησιμοποιούμε τους μερικούς συντελεστές συσχέτισης (partial correlation coefficient). 12

13 Στα πολλαπλά γραμμικά υποδείγματα μπορούμε να προσδιορίσουμε την καθαρή μεταβλητότητα της εξαρτημένης μεταβλητής που οφείλεται σε κάθε ανεξάρτητη μεταβλητή ξεχωριστά, χωρίς την επίδραση των υπόλοιπων ανεξάρτητων μεταβλητών. Η μέτρηση της καθαρής μεταβλητότητας της ανεξάρτητης μεταβλητής, π.χ. X 1, επί της εξαρτημένης μεταβλητής Υ γίνεται με τον μερικό συντελεστή συσχέτισης. Σε ένα πολλαπλό γραμμικό υπόδειγμα με τρεις μεταβλητές (μια εξαρτημένη μεταβλητή Υ και δύο ανεξάρτητες X 1, X 2 ), οι μερικοί συντελεστές συσχέτισης δίνονται από τους παρακάτω τύπους: 13

14 r YX1,X 2 = r YX2,X 1 = r YX 1 r YX2 r X1 X 2 1 r2 X1 X 2 1 r2 YX2 r YX 2 r YX1 r X1 X 2 1 r2 X1 X 2 1 r2 YX1 μερικός συντελεστής προσδιορισμού μεταξύ Υ και X 1, όταν η X 2 παραμένει σταθερή μερικός συντελεστής προσδιορισμού μεταξύ Υ και X 2, όταν η X 1 παραμένει σταθερή r X1 X 2,Y = r X 1 X 2 r X1 Yr X2 Υ 1 r2 X1 Υ 1 r2 X2 Y μερικός συντελεστής προσδιορισμού μεταξύ X 1 και X 2, όταν η Υ παραμένει σταθερή r YX1, r YX2, r X1 X 2 : οι απλοί συντελεστές συσχέτισης μεταξύ των μεταβλητών 14

15 Οι μερικοί συντελεστές προσδιορισμού παίρνουν τιμές από 1 έως +1. Όταν ο μερικός συντελεστής συσχέτισης είναι ίσος με μηδέν, τότε λέμε ότι δεν υπάρχει καμία γραμμική συσχέτιση μεταξύ των μεταβλητών, όταν οι άλλες μεταβλητές είναι σταθερές. Συγκεκριμένα, αν ο μερικός συντελεστής συσχέτισης r YX1,X 2 είναι κοντά στο ένα, τότε λέμε ότι υπάρχει ισχυρή γραμμική συσχέτιση μεταξύ των μεταβλητών Υ και X 1, για αυτό και η μεταβλητή X 1 είναι απαραίτητη στο υπόδειγμα. Αν ο μερικός συντελεστής συσχέτισης r YX2,X 1 είναι κοντά στο ένα (ή στο 1), τότε λέμε ότι υπάρχει ισχυρή γραμμική συσχέτιση μεταξύ των μεταβλητών Υ και X 2, για αυτό και η μεταβλητή X 2 είναι απαραίτητη στο υπόδειγμα. 15

16 Έλεγχος μερικών συντελεστών προσδιορισμού Θέλουμε να ελέγξουμε την σημαντικότητα των μερικών συντελεστών συσχέτισης του πληθυσμού με την στατιστική t statistic. H 0 : r X1 X 2,Y = 0 H 1 : r X1 X 2,Y 0 Απορρίπτουμε την Η 0 όταν t X1 X 2,Y t T k+1, a 2 (πίνακες t κατανομής). 16

17 5. Κριτήρια επιλογής υποδειγμάτων της παλινδρόμησης Ο συντελεστής προσδιορισμού R 2 μετράει την αναλογία της συνολικής μεταβλητότητας στην εξαρτημένη μεταβλητή που ερμηνεύεται από την παλινδρόμηση. Άρα ένας δείκτης που χρησιμοποιούμε για την σύγκριση υποδειγμάτων είναι το R 2 ή ο προσαρμοσμένος συντελεστής προσδιορισμού R 2. Όταν όμως υπάρχουν δύο υποδείγματα των οποίων οι εξαρτημένες μεταβλητές τους αποτελούν απλός διαφορετικές συναρτησιακές μορφές, π.χ. Y t = β 0 + β 1 X 1t + β 2 X 2t + e t και lny t = β 0 + β 1 lnx 1t + β 2 lnx 2t + e t, τότε δεν μπορούμε να συγκρίνουμε τα υποδείγματα με βάση το R 2 ή το R 2. 17

18 Κριτήρια σύγκρισης υποδειγμάτων που λαμβάνουν υπόψιν το μέγεθος του δείγματος και τον αριθμό των ανεξάρτητων μεταβλητών: Κριτήριο του Akaike AIC = 2LL Κριτήριο του Schwarz SC = 2LL T T + 2k T + klnt T Κριτήριο των Hannan και Quinn HQ = 2LL T + 2kln(lnT) T όπου LL = Τ [1 + ln 2π + ln( e t 2 )] (log likelihood) 2 T Με βάση τα παραπάνω κριτήρια, επιλέγουμε εκείνο το υπόδειγμα που έχει την μικρότερη τιμή στα κριτήρια αυτά. Οι τιμές των κριτηρίων μπορεί να είναι και αρνητικές. Όλα τα κριτήρια δεν υποδεικνύουν πάντα το ίδιο βέλτιστο υπόδειγμα. 18

19 6. Έλεγχος γραμμικών σχέσεων μεταξύ των συντελεστών της παλινδρόμησης Πολλές φορές σε ένα πολλαπλό γραμμικό υπόδειγμα της παλινδρόμησης, οι συντελεστές του πρέπει να ικανοποιούν έναν ή περισσότερους γραμμικούς περιορισμούς. Έστω το γραμμικό πολλαπλό υπόδειγμα παλινδρόμησης Y t = β 0 + β 1 X 1t + β 2 X 2t + β 3 X 3t + e t και έστω ότι θέλουμε να ισχύει ο περιορισμός β 2 = β 3 ή β 2 β 3 = 0. Στην περίπτωση αυτή πρέπει να ελέγξουμε την υπόθεση Η 0 : β 2 = β 3 ή β 2 β 3 = 0 Η 1 : β 2 β 3 ή β 2 β

20 Αν αντικαταστήσουμε τον περιορισμό στο γραμμικό πολλαπλό υπόδειγμα παλινδρόμησης, τότε θα έχουμε: Y t = β 0 + β 1 X 1t + β 2 X 2t + β 3 X 3t + e t (β 2 = β 3 ) Y t = β 0 + β 1 X 1t + β 2 X 2t + β 2 X 3t + e t Y t = β 0 + β 1 X 1t + β 2 (X 2t + X 3t ) + e t Y t = β 0 + β 1 X 1t + β 2 Ζ t + e t Δηλαδή δημιουργούμε ένα νέο υπόδειγμα που είναι συνεπές με τον περιορισμό που θέλουμε να ισχύει και το ονομάζουμε υπόδειγμα με περιορισμό, ενώ το αρχικό μας υπόδειγμα είναι το υπόδειγμα χωρίς περιορισμό. Για να ελέγξουμε αν ισχύει ή όχι ο περιορισμός στο υπόδειγμα, ακολουθούμε τα εξής βήματα: 20

21 Εκτιμούμε με τη μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων το αρχικό υπόδειγμα χωρίς περιορισμούς και υπολογίζουμε το άθροισμα των τετραγώνων των καταλοίπων SSE. Εκτιμούμε με τη μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων το υπόδειγμα με περιορισμούς και υπολογίζουμε το άθροισμα των τετραγώνων των καταλοίπων SSE. SSE SSE ν Υπολογίζουμε τη στατιστική F = SSE, T (k+1) όπου ν ο αριθμός των περιορισμών που θέλουμε να ελέγξουμε. Αν F > F ν,t k+1,a απορρίπτουμε την Η 0, οπότε λέμε ότι δεν ισχύει ο περιορισμός μας στο υπόδειγμα. 21

22 Παράδειγμα Συνάρτηση παραγωγής Cobb-Douglas Q: παραγωγή L: εργατικό δυναμικό Κ: κεφάλαιο : διαταρακτικός όρος Q t = β 0 L t β 1 K t β 2 e t Λογαριθμούμε την συνάρτηση, και προκύπτει το γραμμικό υπόδειγμα χωρίς περιορισμούς: lnq t = lnβ 0 + β 1 lnl t + β 2 lnk t + t 22

23 Αν υπάρχουν σταθερές αποδόσεις τότε: β 1 + β 2 = 1 (περιορισμός) Γραμμικό υπόδειγμα με περιορισμούς: lnq t = lnβ 0 + β 1 lnl t + β 2 lnk t + t (β 2 = 1 β 1 ) lnq t = lnβ 0 + β 1 lnl t + (1 β 1 )lnk t + t lnq t = lnβ 0 + β 1 lnl t + lnk t β 1 lnk t + t lnq t lnk t = lnβ 0 + β 1 lnl t lnk t + t ln Q t K t = lnβ 0 + β 1 ln L t K t L t + t Για να ελέγξουμε αν ισχύει ο περιορισμός, υπολογίζουμε το άθροισμα των τετραγώνων των καταλοίπων των δύο υποδειγμάτων. Αν F > F ν,t k+1,a απορρίπτουμε την Η 0, οπότε λέμε ότι δεν ισχύει ο περιορισμός μας στο υπόδειγμα (για ν = 1 περιορισμό). 23

24 Άσκηση Δίνονται στοιχεία σχετικά με τη ζήτηση του χρήματος στην Ελληνική οικονομία (Lecture6_exercise.xls) για την περίοδο , όπου συμβολίζουμε με Μ1 την ζήτηση χρήματος, GDP το ακαθάριστο εγχώριο προϊόν και r% το επιτόκιο. 1. Να εκτιμηθεί η συνάρτηση της ζήτησης του χρήματος της Ελληνικής οικονομίας. 2. Να κατασκευάσετε ένα 95% διάστημα εμπιστοσύνης για τους συντελεστές β 0, β 1, β 2 της γραμμής παλινδρόμησης του πληθυσμού. 3. Να ελεγχθεί η συνάρτηση της ζήτησης του χρήματος σε επίπεδο σημαντικότητας 5% ως προς την ποιότητα των αποτελεσμάτων της. 4. Να ελεγχθεί σε επίπεδο σημαντικότητας 5% αν η ζήτηση του χρήματος επηρεάζεται ταυτόχρονα από το ακαθάριστο εγχώριο προϊόν και το επιτόκιο. 24

25 5. Να συγκρίνεται το πολλαπλό υπόδειγμα ζήτησης με το υπόδειγμα ζήτησης με μόνη ερμηνευτική μεταβλητή το ακαθάριστο εγχώριο προϊόν. 6. Αν στην αρχική συνάρτηση της ζήτησης του χρήματος χρησιμοποιήσουμε ως εξαρτημένη μεταβλητή την lnm 1, να βρείτε ποια από τις δύο αυτές συναρτήσεις είναι η καλύτερη. Σύμφωνα με την Οικονομική θεωρία, το πρόσημο του επιτοκίου πρέπει να είναι αρνητικό. 7. Να εκτιμηθούν οι απλοί και μερικοί συντελεστές συσχέτισης και να ελέγξετε τη σημαντικότητα τους. 8. Ποια από τις δύο ερμηνευτικές μεταβλητές συμβάλλει περισσότερο στη μεταβλητότητα της ζήτησης του χρήματος. 9. Να βρεθεί η μήτρα συνδιακυμάνσεων και να γίνει έλεγχος της σημαντικότητας συνδιακυμάνσεων. 25

26 1. H συνάρτηση της ζήτησης του χρήματος της Ελληνικής οικονομίας είναι Υ t = GDP t r t 26

27 2. To 95% διάστημα εμπιστοσύνης για τους συντελεστές β 0, β 1, β 2 της γραμμής παλινδρόμησης του πληθυσμού είναι αντίστοιχα: 1628, 169 < β 0 < 252, , < β 1 < , 0839 < β 2 < 137,

28 3. Να ελεγχθεί η συνάρτηση της ζήτησης του χρήματος σε επίπεδο σημαντικότητας 5% ως προς την ποιότητα των αποτελεσμάτων της. Στατιστικά σημαντικοί οι συντελεστές του υποδείγματος πολλαπλής γραμμικής παλινδρόμησης (Prob. < 0.05) Συντελεστής προσδιορισμού R 2 =0,897 (κοντά στο 1) άρα καλή προσαρμογή του υποδείγματος στα δεδομένα Τυπικό σφάλμα s e = Μικρό σφάλμα 28

29 3. (συνέχεια) Η 0 : R 2 =0 Στατιστική F= Μεγάλη τιμή της F άρα το ποσοστό της μεταβλητότητας της ζήτησης Μ1 που εξηγείται από την παλινδρόμηση είναι μεγάλο σε σχέση με το άθροισμα των τετραγώνων των καταλοίπων Prob. = < 0.05 άρα η Η 0 απορρίπτεται 29

30 4. Να ελεγχθεί αν η συνάρτηση της ζήτησης του χρήματος επηρεάζεται ταυτόχρονα από το ακαθάριστο εγχώριο προϊόν και το επιτόκιο. Η 0 : β 1 = β 2 = 0 Στατιστική F= Prob. = < 0.05 άρα η Η 0 απορρίπτεται 30

31 5. Να συγκρίνεται το πολλαπλό υπόδειγμα ζήτησης με το υπόδειγμα ζήτησης με μόνη ερμηνευτική μεταβλητή το ακαθάριστο εγχώριο προϊόν. 31

32 5. (συνέχεια) Συγκρίνουμε τα υποδείγματα με βάση τον προσαρμοσμένο συντελεστή προσδιορισμού R 2, καθώς δεν έχουν τον ίδιο αριθμό μεταβλητών. Καλύτερο υπόδειγμα είναι αυτό με το μεγαλύτερο R 2. Συγκρίνουμε τα υποδείγματα με βάση τα κριτήρια Akaike (AIC), Schwarz (SC) και των Hannan και Quinn (HQ). Καλύτερο υπόδειγμα είναι όποιο έχει την μικρότερη τιμή στα κριτήρια αυτά. Καλύτερο υπόδειγμα Κριτήριο Πολλαπλό γραμμικό υπόδειγμα Απλό γραμμικό υπόδειγμα με ερμηνευτική μεταβλητή την GDP R AIC SC HQ

33 6. Στην αρχική συνάρτηση της ζήτησης του χρήματος, χρησιμοποιήσουμε ως εξαρτημένη μεταβλητή την lnm 1 : lnm 1 = β 0 + β 1 GDP t + β 2 r t Οπότε εκτιμάμε την γραμμή παλινδρόμησης του δείγματος: lnm 1 = GDP t r t 33

34 6. (συνέχεια) Το υπόδειγμα αυτό δεν συμφωνεί με την Οικονομική Θεωρία γιατί το πρόσημο του επιτοκίου πρέπει να είναι αρνητικό. Άρα το αρχικό πολλαπλό γραμμικό υπόδειγμα είναι πιο κατάλληλο. Διαφορετικά, αν θέλαμε να συγκρίνουμε με το αρχικό υπόδειγμα με αυτό δεν θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε το R 2 ή το R 2, αλλά μόνο τα κριτήρια AIC, SC, HQ. 34

35 7. Oι απλοί συντελεστές συσχέτισης και η σημαντικότητα τους: r M1,GDP = 0, 875 Ισχυρή θετική συσχέτιση Prob. = 0, 000 < 0, 05 Στατιστικά σημαντικός ο συντελεστής συσχέτισης r M1,r = 0, 399 Ασθενής αρνητική συσχέτιση Prob. = 0, 0045 < 0, 05 Στατιστικά σημαντικός ο συντελεστής συσχέτισης r GDP,r = 0, 043 Μη συσχετισμένες μεταβλητές Prob. = 0, 7653 > 0, 05 Μη στατιστικά σημαντικός ο συντελεστής συσχέτισης 35

36 7. (συνέχεια) Oι μερικοί συντελεστές συσχέτισης και η σημαντικότητα τους: View Covariance Analysis - 36

37 7. (συνέχεια) Oι μερικοί συντελεστές συσχέτισης και η σημαντικότητα τους: r M1 GDP,r = 0, 936 Ισχυρή θετική συσχέτιση (Prob. = 0, 000) r M1 r,gdp = Μέτρια αρνητική συσχέτιση (Prob. = 0, 000) r GDP r,m1 = 0, 691 Μέτρια συσχετισμένες μεταβλητές (Prob. = 0, 000) 37

38 8. Ποια από τις δύο ερμηνευτικές μεταβλητές συμβάλλει περισσότερο στη μεταβλητότητα της ζήτησης του χρήματος: Αποφασίζουμε με βάση τους μερικούς συντελεστές συσχέτισης, όπου ελέγχουμε την συσχέτιση της εξαρτημένης μεταβλητής με κάθε μια από τις ανεξάρτητες μεταβλητές, αφαιρώντας την επίδραση των υπολοίπων ανεξάρτητων μεταβλητών: r M1 GDP,r = 0, 936 Ισχυρή θετική συσχέτιση (Prob. = 0, 000) r M1 r,gdp = Μέτρια αρνητική συσχέτιση (Prob. = 0, 000) Και οι δυο ανεξάρτητες μεταβλητές συσχετίζονται γραμμικά με την εξαρτημένη μεταβλητή αλλά η μεταβλητή GDP συμβάλλει περισσότερο στην μεταβλητότητα της Υ καθώς r M1 GDP,r > r M1 r,gdp. 38

39 9. Να βρεθεί η μήτρα συνδιακυμάνσεων και να γίνει έλεγχος σημαντικότητας των συνδιακυμάνσεων. View Covariance Analysis - cov M1, GDP = Στατιστικά σημαντική ( 0) (Prob. = 0, 000) cov M1, r = 3134, 351 Στατιστικά σημαντική (Prob. = 0, 000) cov GDP, r = 6819, 988 Μη στατιστικά σημαντική (Prob. = 0, 7653 > 0, 05) 39

40 Βιβλιογραφία Χρήστου Κ. Γεώργιος (2007) Εισαγωγή στην Οικονομετρία, Τόμος 1, Εκδότης: Γ. ΔΑΡΔΑΝΟΣ - Κ. ΔΑΡΔΑΝΟΣ Ο.Ε. Stock H. James, Watson W. Mark, επιμέλεια Πραγγίδης Ιωάννης - Χρυσόστομος (2017) Εισαγωγή στην Οικονομετρία, Εκδότης: Γ. ΔΑΡΔΑΝΟΣ - Κ. ΔΑΡΔΑΝΟΣ Ο.Ε. Χρήστου Κ. Γεώργιος (2006) Εισαγωγή στην Οικονομετρία Ασκήσεις, Εκδόσεις Gutenberg. Δριτσάκη Ν. Χάιδω, Δριτσάκη Ν. Μελίνα (2013) Εισαγωγή στην Οικονομετρία με τη Χρήση του Λογισμικού EViews, Κλειδάριθμος ΕΠΕ Εκδόσεις. 40