Network Analysis, CPM and PERT Assignment 2 - Λύσεις Άσκηση 1 - CPM Μια εταιρία έχει αναλάβει την ανάπτυξη ενός μεγάλου πληροφοριακού συστήματος. Το όλο έργο απαιτεί για την ολοκλήρωσή του την υλοποίηση 12 δραστηριοτήτων. Οι σχέσεις μεταξύ των δραστηριοτήτων καθώς και η διάρκεια της κάθε μιας, δίνονται στον ακόλουθο πίνακα: Κωδικός Δραστηριότητας Προηγείται των Διάρκεια 100 201, 202 12 101 301 13 102 203, 204 9 201 302 10 202 301 21 203 301 8 204 303, 304 15 301 401 23 302 401 11 303 401 10 304-10 401-9 1. Ποια είναι η κρίσιμη διαδρομή και ποιος ο χρόνος περάτωσης του έργου; 2. Αν η δραστηριότητα 202 καθυστερήσει κατά 6 ημέρες τί θα γίνει και γιατί; 3. Αν η δραστηριότητα 102 απαιτήσει 12 ημέρες για την υλοποίησή της αντί για 9, τί θα συμβεί και γιατί; Σε σύσκεψη που έγινε μετά την πάροδο 16 ημερών από την έναρξη του έργου διαπιστώθηκαν τα ακόλουθα: Οι δραστηριότητες 100, 101 και 102 είχαν πραγματοποιηθεί σύμφωνα με τον αρχικό προγραμματισμό. Οι δραστηριότητες 201 και 202 είναι σε εξέλιξη και απαιτούν ακόμα 6 και 10 ημέρες αντίστοιχα για να ολοκληρωθούν. Οι δραστηριότητες 203 και 204 ομοίως είναι σε εξέλιξη και απαιτούν ακόμα 3 και 21 ημέρες αντίστοιχα για να τελειώσουν. Για την 303 έγινε νέα εκτίμηση της διάρκειάς της και υπολογίστηκε ότι απαιτεί 12 ημέρες, για να υλοποιηθεί. Για τη δραστηριότητα 304 αποφασίστηκε ότι μπορεί να υλοποιηθεί μέσα σε 5 ημέρες, ενώ οι υπόλοιπες δραστηριότητες υπολογίζεται ότι θα εκτελεστούν σύμφωνα με τον αρχικό προγραμματισμό. 1 Σ ε λ ί δ α
4. Ποια είναι η νέα κρίσιμη διαδρομή και ποιος ο νέος χρόνος περάτωσης του έργου; Λύση 1. Το διάγραμμα δικτύου παρουσιάζεται παρακάτω. 0 12 12 22 22 33 100 12 201 10 302 11 0 12 35 45 45 56 F 0 F 23 F 23 12 33 202 21 12 33 F 0 dummy 0 13 33 56 56 65 65 65 101 13 301 23 401 9 Finish 0 20 33 33 56 56 65 65 65 F 20 F 0 F 0 F 0 0 9 9 17 24 34 102 9 203 8 304 10 16 25 25 33 55 65 F 16 F 16 F 31 9 24 24 34 204 15 303 10 31 46 46 56 F 22 F 22 Κατά το forward pass υπολογίζονται οι ενωρίτεροι χρόνοι έναρξης και πέρατος κάθε δραστηριότητας καθώς και ο συνολικός χρόνος περάτωσης του έργου. Με το backward pass υπολογίζονται οι αργότεροι χρόνοι έναρξης και πέρατος κάθε δραστηριότητας καθώς και το συνολικό περιθώριο ΣΠ (float/slack) για κάθε δραστηριότητα. Δραστηριότητες με μηδενικό ΣΠ είναι κρίσιμες, δηλαδή δεν έχουν το περιθώριο να καθυστερήσουν. Σύμφωνα λοιπόν με το διάγραμμα η κρίσιμη διαδρομή του έργου είναι 100 202 301 401 ενώ ο συνολικός χρόνος περάτωσης του έργου είναι οι 65 ημέρες. 2. Παρατηρούμε πως η δραστηριότητα 202 είναι κρίσιμη με διάρκεια 21 ημέρες. Αυτό σημαίνει πως έχει μηδενικό ΣΠ, επομένως αν καθυστερήσει, καθυστερεί και όλο το έργο. Για να απαντήσουμε στην ερώτηση θα πρέπει να ξανασχεδιάσουμε το διάγραμμα δικτύου θεωρώντας ως νέα διάρκεια της 202 τις 27 ημέρες. 2 Σ ε λ ί δ α
0 12 12 22 22 33 100 12 201 10 302 11 0 12 41 51 51 62 F 0 F 29 F 29 12 39 202 27 12 39 F 0 dummy 0 13 39 62 62 71 71 71 101 13 301 23 401 9 Finish 0 26 39 39 62 62 71 71 71 F 26 F 0 F 0 F 0 0 9 9 17 24 34 102 9 203 8 304 10 22 31 31 39 61 71 F 22 F 22 F 37 9 24 24 34 204 15 303 10 37 52 52 62 F 28 F 28 Επομένως παρατηρούμε πως η νέα διάρκεια του έργου είναι 71 ημέρες. Παρατηρούμε πως η κρίσιμη διαδρομή δεν άλλαξε. Ωστόσο άλλαξαν τα συνολικά περιθώρια κάποιων δραστηριοτήτων. Για παράδειγμα το νέο ΣΠ της 204 είναι 28 ημέρες (από 22 που είχε αρχικά). Επίσης άλλαξε το συνολικό περιθώριο της 203 από 16 ημέρες σε 22 ημέρες κτλ. 3. Η δραστηριότητα 102 έχει ΣΠ 16 ημέρες. Αυτό σημαίνει πως έχει περιθώριο να καθυστερήσει 16 ημέρες χωρίς να επηρεάζει τη συνολική διάρκεια του έργου. Επομένως αν η διάρκεια της δραστηριότητας αυξηθεί κατά 3 ημέρες (12-9) η συνολική διάρκεια του έργου παραμένει ίδια, δηλαδή 65 ημέρες. 4. Για να απαντήσουμε στο ερώτημα θα πρέπει να επιλύσουμε ξανά το διάγραμμα δικτύου διαγράφοντας από το δίκτυο δραστηριότητες που έχουν ολοκληρωθεί (δηλαδή τις 100, 101, 102) καθώς και τις εξαρτήσεις αυτών και αναθεωρώντας τις διάρκειες των δραστηριοτήτων σύμφωνα με την εκφώνηση. Το νέο διάγραμμα που προκύπτει είναι το εξής: 3 Σ ε λ ί δ α
0 6 6 17 201 6 302 11 16 22 22 33 F 16 F 16 0 10 202 10 0 10 F 0 dummy 10 33 33 42 42 42 301 23 401 9 Finish 0 10 33 33 42 42 42 F 0 F 0 F 0 0 3 21 26 203 3 304 5 7 10 37 42 F 7 F 16 0 21 21 33 204 21 303 12 0 21 21 33 F 0 F 0 Παρατηρούμε ότι πλέον υπάρχουν δύο κρίσιμες διαδρομές 202-301-401 και η 204-303-401. Η νέα διάρκεια του έργου είναι 16 + 42 58 ημέρες. Άσκηση 2 - PERT Μια εταιρία έχει αναλάβει την ανάπτυξη ενός πληροφοριακού συστήματος. Το όλο έργο απαιτεί για την ολοκλήρωσή του την υλοποίηση 7 δραστηριοτήτων. Η Φάση σχεδίασης ανάπτυξης του πληροφοριακού αυτού συστήματος εκτιμάται ότι περιέχει αστάθμητους παράγοντες. Γι αυτό το λόγο οι επτά δραστηριότητες που την αποτελούν εκτιμήθηκαν με 3 διαφορετικές διάρκειες: την αισιόδοξη (a), την πιο πιθανή (m) και την απαισιόδοξη (b). Οι εκτιμήσεις για τις διάρκειες των δραστηριοτήτων σε εβδομάδες, δίδονται στον ακόλουθο πίνακα: Δραστηριότητα a m b A 1 1 7 B 1 4 7 C 2 2 8 D 1 1 1 4 Σ ε λ ί δ α
E 2 5 14 F 2 5 8 G 3 6 15 Αν γνωρίζουμε ότι οι κρίσιμες δραστηριότητες είναι η Α D F G. Ζητούνται: 1. Ποιος είναι ο αναμενόμενος χρόνος ολοκλήρωσης του έργου; 2. Ποια η πιθανότητα να ολοκληρωθεί το έργο 3 εβδομάδες πιο πριν απ ότι αναμένεται; 3. Αν θέλουμε να έχουμε πιθανότητα μόνο 10% να αποτύχουμε στον προγραμματισμό των ενεργειών μας, τότε πόσο εκτιμάτε ότι πρέπει να διαρκέσει το έργο; Λύση 1. Για να υπολογίσουμε τον αναμενόμενο χρόνο ολοκλήρωσης του έργου θα πρέπει να αθροίσουμε τον αναμενόμενο χρόνο για κάθε κρίσιμη δραστηριότητα. Ο αναμενόμενος χρόνος για μια δραστηριότητα προκύπτει από τον τύπο: Επομένως: texp [a + 4m + b] /6 Δραστηριότητα a m b t exp A 1 1 7 (1+4*1+7)/6 2 B 1 4 7 C 2 2 8 D 1 1 1 (1+4*1+1)/6 1 E 2 5 14 F 2 5 8 (2+4*5+8)/6 5 G 3 6 15 (3+4*6+15)/6 7 Επομένως ο αναμενόμενος χρόνος ολοκλήρωσης του έργου είναι 2 + 1 + 5 + 7 15 ημέρες. 2. Για να απαντήσουμε σε αυτό το ερώτημα θα πρέπει πρώτα να υπολογίσουμε την τυπική απόκλιση που ισούται με την τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης ολόκληρου του έργου. Για να υπολογίσουμε λοιπόν την διακύμανση του έργου θα πρέπει να αθροίσουμε τις διακυμάνσεις κάθε κρίσιμης δραστηριότητας, η οποία και δίνεται από τον τύπο: 5 Σ ε λ ί δ α
Επομένως: v (variance) ((b a) / 6) 2 Δραστηριότητα a m b t exp var A 1 1 7 2 ((7-1)/6) 2 B 1 4 7 C 2 2 8 D 1 1 1 1 ((1-1)/6) 2 E 2 5 14 F 2 5 8 5 ((8-2)/6) 2 G 3 6 15 7 ((15-3)/6) 2 1 0 1 4 Επομένως η διακύμανση του έργου ισούται με 1 + 0 + 1 + 4 6, επομένως η τυπική απόκλιση ισούται με sqrt(6) 2,43 Άρα z (προγραμματιζόμενη διάρκεια αναμενόμενη διάρκεια) / τυπική απόκλιση (12-15)/2.43-3/2,43-1,23 Σύμφωνα με τους πίνακες της κανονικής κατανομής η πιθανότητα που αντιστοιχεί σε z 1,23 είναι 0,8907. Άρα η πιθανότητα το έργο να τελειώσει 3 εβδομάδες νωρίτερα είναι 1 0,8907 0,1093 ή 10,93%. 3. 10% πιθανότητα να αποτύχουμε σημαίνει 90% πιθανότητα να επιτύχουμε. Άρα, πάμε στον πίνακα της κανονικής κατανομής να δούμε σε ποιο z αντιστοιχεί 90% πιθανότητα (για να εφαρμόσουμε στη συνέχεια τον τύπο και να βρούμε την διάρκεια). Με βάση λοιπόν τον πίνακα της κανονικής κατανομής το z που αντιστοιχεί σε 90% πιθανότητα είναι z 1,29 (πιθανότητα 0,9015). Επομένως, αντικαθιστούμε στον παρακάτω τύπο: z (προγραμματιζόμενη διάρκεια αναμενόμενη διάρκεια) / τυπική απόκλιση 1,29 (προγραμματιζόμενη διάρκεια 15) / 2,43 (προγραμματιζόμενη διάρκεια 15) 2,43*1,29 προγραμματιζόμενη διάρκεια 2,43*1,29 + 15 Επομένως για να έχουμε πιθανότητα μόνο 10% να αποτύχουμε στον προγραμματισμό των ενεργειών μας το έργο θα πρέπει να διαρκέσει 18,13 ημέρες. 6 Σ ε λ ί δ α
7 Σ ε λ ί δ α
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Δίνεται ο Πίνακας της Κανονικής Κατανομής, όπως φαίνεται παρακάτω. Δίνονται επίσης οι τύποι: 1. ta [a + 4m + b] /6 2. v (variance) ((b a) / 6) 2 3. σ (standard deviation/τυπική απόκλιση) sqrt(v) 8 Σ ε λ ί δ α