ΑΝΙΧΝΕΥΣΗ ΒΛΑΒΩΝ ΣΕ ΕΔΡΑΝΑ ΟΛΙΣΘΗΣΕΩΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ HILBERT-HUANG

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: ΑΝΙΧΝΕΥΣΗ ΒΛΑΒΩΝ ΣΕ ΕΔΡΑΝΑ ΟΛΙΣΘΗΣΕΩΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ HILBERT-HUANG Φλωροδημήτρης Ιωάννης - Παπασταύρος Δημήτριος Επιβλέπων καθηγητής: Ξένος Θωμάς Θεσσαλονίκη, 2011

Περιεχόμενα Πρόλογος... 6 Κεφάλαιο 1... 7 Πληροφορίες για τα έδρανα ολίσθησης... 7 Εισαγωγή... 7 1.1 Γενικά για τα έδρανα... 7 1.2 Σκοπός και είδη εδράνων... 8 1.3 Χαρακτηριστικά των εδράνων ολίσθησης... 9 1.4 Πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα εδράνων ολίσθησης... 9 1.5 Φθορές στα έδρανα ολίσθησης... 10 1.6 Διάρκεια ζωής εδράνων... 11 1.7 Παράγοντες που προκαλούν φθορά στα έδρανα ολίσθησης... 13 Κεφάλαιο 2... 15 Μετασχηματισμός Hilbert-Huang... 15 2.1 Θεωρητική μελέτη του μετασχηματισμού Hilbert-Huang... 15 2.1.1 Εισαγωγή... 15 2.1.2 Η έννοια της στιγμιαίας συχνότητας και ο μετασχηματισμός Hilbert... 17 2.1.3 Εμπειρική Ανάλυση σε Ενδογενείς Δομικές Συνιστώσες (Empirical Value Decomposition, EMD)... 21 2.1.4 Το πεδίο της συχνότητας διαμέσου του μετασχηματισμού Ηilbert-Huang... 27 2.1.5 Κριτήρια διακοπής του sifting... 28 2.2 Εφαρμογές του μετασχηματισμού Hilbert-Huang... 30 2.2.1 Ημιτονοειδές σήμα δύο συνιστωσών... 30 2.2.2 Ημιτονοειδή σήματα με αλλαγή συχνότητας ή ενδοδιαμόρφωση.... 32 3

2.2.3 Ανάλυση πραγματικών σημάτων διαμέσου του μετασχηματισμού Hilbert-Huang.... 37 2.3 Αφαίρεση του θορύβου (denoising) και αποκάλυψη της κεντρικής τάσης (detrending),με τη χρήση της μεθόδου EMD... 40 2.3.1 Εισαγωγή... 40 2.3.2 Η EMD ως τράπεζα φίλτρων (filter bank)... 40 2.3.3 Διαχωρισμός της κεντρικής τάσης και γκαουσιανού θορύβου... 41 Κεφάλαιο 3... 45 Συνοπτική παρουσίαση άλλων μεθόδων... 45 3.1 Ανάλυση Cepstrum (Λογαριθμικό φάσμα ισχύος)... 45 3.2 Μέθοδος HFRT... 46 3.3 Συνάφεια δεύτερης τάξης (Bicoherence)... 46 3.4 Σύγχρονος Μέσος Όρος... 47 3.5 Χρήση στατιστικών παραμέτρων... 47 3.6 Μετασχηματισμός Κυματιδίου (Wavelet Transorm)... 48 3.7 O Ταχύς Μετασχηματισμός Fourier (FFT)... 51 Κεφάλαιο 4... 52 Πειραματική μελέτη... 52 Εισαγωγή... 52 4.1 Περιγραφή πειραματικής διάταξης... 53 4.2 Πειραματικές μετρήσεις... 61 4.2.1 Αρχικές πειραματικές μετρήσεις με το μετασχηματισμό κυματιδίου (Wavelet) 61 4.2.2 Βασικές πειραματικές μετρήσεις με το μετασχηματισμό Ηilbert-Huang... 70 4.3 Ανάλυση αποτελεσμάτων... 101 4.4 Συμπεράσματα-Επίλογος... 102 Παράρτημα Α... 103 Μηχανολογικά σχέδια πειραματικής διάταξης... 103 Παράρτημα Β... 112 Κώδικας Matlab... 112 1. Εισαγωγή δεδομένων στις βασικές μετρήσεις... 112 2. Συνάρτηση positivefft... 114 3. Υπολογισμός FFT... 115 4. Υπολογισμός μετ/μού Ηilbert-Huang... 116 Βιβλιογραφία... 119 4

Πρόλογος Η χρήση των εδράνων ολίσθησης (κουζινέτων) είναι ευρέως διαδεδομένη σε πολλά είδη μηχανικών συστημάτων υψηλής απόδοσης και βεβαίως υψηλού κόστους, καθώς ένας μεγάλος αριθμός προβλημάτων που προκύπτουν σε τέτοιου είδους συστήματα πηγάζει από αστοχίες στα έδρανα ολίσθησης. Έχει γίνει έρευνα και έχουν αναπτυχθεί διάφορες μέθοδοι πρόβλεψης και διάγνωσης σφαλμάτων των εδράνων ολίσθησης, ιδιαίτερα τις τελευταίες δύο δεκαετίες. Τα περισσότερα μοντέλα διάγνωσης στηρίζονται στη λήψη σημάτων από τη μηχανολογική κατασκευή με χρήση επιταχυνσιόμετρου προσπαθώντας να εκμεταλλευτούν τη διαφορετικότητα μεταξύ των σημάτων που λαμβάνονται από ένα υγιές έδρανο ολίσθησης και αυτών που λαμβάνονται από ένα αντίστοιχο ελαττωματικό. Συγκεκριμένα, μία, ή και περισσότερες, βλάβες εισάγουν ώσεις στο σήμα. Η επεξεργασία των σημάτων με τη σειρά της μπορεί να γίνει με ποικίλες τεχνικές. Στα πλαίσια της παρούσας διπλωματικής εργασίας λαμβάνονται σήματα από μηχανολογική κατασκευή με άξονα που περιστρέφεται πάνω σε απλά έδρανα ολίσθησης, στα οποία προκαλείται τυχαία βλάβη. Τα σήματα επεξεργάζονται αρχικά με Ταχύ Μετασχηματισμό Fourier (FFT) και στη συνέχεια με τον μετασχηματισμό Ηilbert-Huang (HHT), που αποτελεί και την κύρια μέθοδο ανάλυσης της εργασίας αυτής. Στο πρώτο κεφάλαιο παρατίθενται γενικές πληροφορίες που αφορούν τα έδρανα ολίσθησης. Στο δεύτερο και τρίτο ακολουθεί μία σύντομη αναφορά σε τεχνικές ανάλυσης τέτοιου είδους σημάτων και διεξοδική περιγραφή της μεθόδου Hilbert-Huang. Στη συνέχεια, στο τέταρτο κεφάλαιο παρουσιάζεται η πειραματική μελέτη που επιχειρήθηκε και τέλος συνοψίζονται τα συμπεράσματα που προέκυψαν από αυτή. Σε αυτό το σημείο κρίνονται σκόπιμες οι ευχαριστίες προς τον κύριο Ξένο Θωμά, Καθηγητή του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών του Αριστοτέλειου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης, για την ανάθεση και την επίβλεψη της διπλωματικής εργασίας, καθώς και τον κύριο Τσιάφη Ιωάννη, Αναπληρωτή Καθηγητή του Τμήματος Μηχανολόγων Μηχανικών του Αριστοτέλειου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης, για την πολύτιμη βοήθειά του σε θέματα μηχανολογικής φύσης. 6

Κεφάλαιο 1 Πληροφορίες για τα έδρανα ολίσθησης Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται τα έδρανα (ολίσθησης και κύλισης) και γίνεται εκτενέστερη αναφορά στα έδρανα ολίσθησης που ενδιαφέρουν την παρούσα εργασία. Παραβάλλονται διάφορα θετικά και αρνητικά στοιχεία. Στη συνέχεια γίνεται ανάλυση στα υλικά κατασκευής τους, τις φθορές που προκαλούνται σε αυτά και στην προβλεπόμενη διάρκεια ζωής. Τέλος, παρουσιάζονται οι παράγοντες εκείνοι που προκαλούν βλάβες στα έδρανα, καθώς επίσης αναφέρονται συγκεκριμένα είδη βλαβών. 1.1 Γενικά για τα έδρανα Έδρανο στη μηχανολογία λέγεται το στοιχείο μιας μηχανής όπου στηρίζεται ένας άξονας και σκοπεύει στη μεταβίβαση προς το έδαφος ή προς άλλες κατασκευές του φορτίου που εφαρμόζεται σε αυτόν. Τα έδρανα εν γένει χρησιμεύουν σαν «υποδοχείς» των αξόνων και των ατράκτων, ενώ επιτρέπουν τη σχετική κίνηση μεταξύ δύο κομματιών προς μία ή περισσότερες κατευθύνσεις με την ελάχιστη τριβή και παράλληλα αποτρέπουν την κίνηση προς την κατεύθυνση του εφαρμοζόμενου φορτίου. 7

Τα έδρανα λιπαίνονται για να διατηρούνται όσο το δυνατόν πιο χαμηλά οι απώλειες τριβών και οι θερμοκρασίες. Το μέγεθος της τριβής εμφανίζεται είτε ως τριβή κίνησης (που εμποδίζει την αντίθετης κατεύθυνσης σχετική κίνηση δύο επιφανειών), είτε ως τριβή ακινησίας στην περίπτωση που το εμπόδιο της τριβής είναι τέτοιου μεγέθους που καθιστά αδύνατη την κίνηση. 1.2 Σκοπός και είδη εδράνων Σκοπός των εδράνων γενικά είναι να στηρίζουν τις ατράκτους, τους άξονες και γενικά οποιαδήποτε άλλα περιστρεφόμενα ή ταλαντευόμενα στοιχεία μηχανών. Από τις δυνάμεις και ροπές φορτίσεως των στηριζόμενων στοιχείων δημιουργούνται στα έδρανα εγκάρσιες και αξονικές δυνάμεις στηρίξεως. Όταν ένα έδρανο παραλαμβάνει μόνο εγκάρσιες δυνάμεις, τότε ονομάζεται εγκάρσιο έδρανο. Όταν παραλαμβάνει μόνο αξονικές, τότε ονομάζεται αξονικό ή ωστικό έδρανο. Εκείνο το τμήμα ενός στοιχείου που στηρίζεται σε ένα έδρανο είναι πάντοτε κυλινδρικό και ονομάζεται στροφέας. Ενώ ο στροφέας περιστρέφεται ή ταλαντεύεται ανάλογα με την κίνηση του στοιχείου, το έδρανο μένει κατά κανόνα ακίνητο. Μεταξύ στροφέα και εδράνου υπάρχει πάντα μια σχετική κίνηση και επομένως μεταξύ τους αναπτύσσεται πάντα τριβή. Όταν ο στροφέας ολισθαίνει μέσα στο έδρανο, τότε το έδρανο ονομάζεται έδρανο ολισθήσεως. Όταν ο στροφέας κυλίεται πάνω σε σώματα κυλίσεως, τότε το έδρανο ονομάζεται έδρανο κυλίσεως. Επομένως έχουμε τις εξής δύο κατηγορίες εδράνων: - Έδρανα ολισθήσεως ή κουζινέτα (σχήμα 1.1.1(α)) - Έδρανα κυλίσεως ή ρουλεμάν (σχήμα 1.1.1(β)) Σχήμα 1.1.1(α) Έδρανα ολισθήσεως, (β) Έδρανα κυλίσεως 8

1.3 Χαρακτηριστικά των εδράνων ολίσθησης Η εσωτερική διάμετρος του δακτυλίου ενός εδράνου ολίσθησης είναι λίγα δέκατα ή και χιλιοστά του χιλιοστού(mm) ακόμη μεγαλύτερη από την εξωτερική διάμετρο του στροφέα. Ο στροφέας τοποθετείται έτσι εύκολα μέσα στο δακτύλιο, με τον οποίο έχει συναρμογή ελεύθερης ολισθήσεως. Στο διάκενο μεταξύ δακτυλίου στροφέα τοποθετείται λιπαντικό σε στερεή, υγρή ή και αέρια κατάσταση ώστε με τη δημιουργία λιπάνσεως να αποφεύγεται η φθορά ολισθήσεως. Τα τεχνικώς περισσότερο ενδιαφέροντα λιπαντικά είναι τα υγρά και από αυτά τα ορυκτέλαια. Η επιδίωξη του μελετητή ενός εδράνου ολίσθησης είναι η σωστή εκλογή του υλικού και των διαστάσεων του εδράνου και του κατάλληλου λιπαντικού, ώστε αφενός μεν η φθορά να είναι περιορισμένη και αφετέρου δε η θερμότητα που παράγεται με την τριβή να απάγεται στο περιβάλλον, έτσι ώστε να μην καταστραφεί το έδρανο από ενδεχόμενη υπερθέρμανση. Η φόρτιση των εδράνων από ροπές, οι οποίες μπορούν να δημιουργήσουν προβλήματα στη λειτουργία τους, πρέπει οπωσδήποτε να αποφεύγεται. Γι αυτό το λόγο η στήριξη ενός στοιχείου γίνεται πάντοτε τουλάχιστον με δύο ή και περισσότερα έδρανα. 1.4 Πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα εδράνων ολίσθησης - Τα έδρανα ολισθήσεως έχουν συγκριτικά με τα έδρανα κυλίσεως τα εξής πλεονεκτήματα: i. Η σύνθεσή τους είναι πολύ απλή και δεν περιορίζουν τον σχεδιασμό μιας κατασκευής. (Διαιρετά και αδιαίρετα έδρανα). ii. iii. Κατασκευάζονται με πολύ μικρή χάρη και μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την επίτευξη μεγάλης και μέγιστης ακρίβειας κινήσεως των στοιχείων μηχανημάτων. (Έδραση κύριων ατράκτων εργαλειομηχανών μέγιστης ακρίβειας). Όταν λειτουργούν στην περιοχή της υγρής τριβής έχουν πολύ μικρό συντελεστή τριβής (μ) και μηδενική φθορά με αποτέλεσμα η διάρκεια ζωής τους να είναι απεριόριστη. 9

iv. Το υδροδυναμικό ή υδροστατικό στρώμα λιπαντικού, το οποίο σε περίπτωση υγρής τριβής δημιουργείται μεταξύ στροφέα και εδράνου μπορεί να αποσβένει ταλαντώσεις, να απομονώνει θορύβους και να παραλάβει κρουστικά φορτία χωρίς δυσάρεστα επακόλουθα. v. Μπορούν να παραλάβουν πολύ υψηλά φορτία και να λειτουργήσουν σε πολύ υψηλούς αριθμούς στροφών. vi. Είναι λιγότερο ευαίσθητα στη σκόνη και στις άλλες μικροακαθαρσίες. - Τα έδρανα ολισθήσεως έχουν συγκριτικά με τα έδρανα κυλίσεως τα εξής μειονεκτήματα : i. Η σχετικά μεγάλη ποσότητα λιπαντικού, που χρειάζεται για τη σωστή λειτουργία τους. ii. Η ανάγκη υπάρξεως ενός ακόμα υποτυπώδους συστήματος λιπάνσεως. iii. Η ανάγκη τακτικής επιθεώρησης και συντήρησης. iv. Η ανάγκη χρησιμοποιήσεως ειδικών δακτυλίων που μόνο σε ορισμένες διαστάσεις κατασκευάζονται σε σειρά. v. Ο υψηλός συντελεστής τριβής εκκινήσεως (μ0) (εκτός από αυτά που λειτουργούν με υδροστατική λίπανση). 1.5 Φθορές στα έδρανα ολίσθησης Τα έδρανα ολίσθησης αποτελούν εκείνο το μηχανολογικό εξάρτημα των βιομηχανικών εγκαταστάσεων που δέχεται ίσως τις πλέον μακρόχρονες και έντονες δυναμικές καταπονήσεις. Είναι φυσικό λοιπόν να υφίστανται μεγάλη μηχανική φθορά. Τα έδρανα ολίσθησης χρησιμοποιούνται σε μια ευρεία γκάμα μηχανισμών στις βιομηχανικές παραγωγικές διαδικασίες. Για το λόγο αυτό βρίσκονται σε επαφή με μια μεγάλη ποικιλία ρευστών τα οποία έχουν λιγότερο ή περισσότερο διαβρωτικές ιδιότητες, όπως το νερό, τα οξέα, οι βάσεις και διάφορα αέρια. Οι κατασκευαστές έχουν εξοπλίσει τα σύγχρονα έδρανα ολίσθησης με μηχανισμούς στεγανοποίησής τους από τα διαχειριζόμενα στη παραγωγική διαδικασία ρευστά, ωστόσο ορισμένα από αυτά είναι ιδιαίτερα δραστικά και έτσι είναι αναγκαία η λήψη επιπλέον μέτρων. Επειδή στις περιπτώσεις αυτές τα έδρανα ολίσθησης υφίστανται μια σύνθετη καταπόνηση μηχανική και χημική, τα μέτρα αυτά δεν συνίστανται στην επίστρωση με ειδικές ρητίνες της καταπονούμενης σε διάβρωση 10

μεταλλικής επιφάνειας, αλλά μπορεί να αφορούν στη χρησιμοποίηση ειδικών υλικών κατά την κατασκευή των εδράνων ολίσθησης, στην κατάλληλη μηχανική προετοιμασία των καταπονούμενων επιφανειών καθώς επίσης και στη χρησιμοποίηση εξελιγμένων λιπαντικών στα οποία περιλαμβάνονται και στερεά. Οι συνηθέστερες περιπτώσεις βιομηχανικής παραγωγής, όπου απαιτείται η προστασία των εδράνων ολίσθησης από διάβρωση συναντώνται στη χημική βιομηχανία και τη βιομηχανία τροφίμων, στη χαλυβουργία καθώς και στην βιομηχανία κατασκευής ημιαγωγών. Εξαιτίας των παραπάνω είναι σημαντική η προσέγγιση της διάρκειας ζωής τους και η ένταξη των διαδικασιών συντήρησης τους σε ιδιαίτερα μελετημένα προγράμματα διαγνωστικής συντήρησης. Στα έδρανα ολίσθησης η διάρκεια ζωής υπό κανονικές συνθήκες λειτουργίας περιορίζεται είτε από την κόπωση του υλικού είτε από ένα ανώτατο επιτρεπόμενο όριο φθοράς των επιφανειών ολίσθησης με τον άξονα. Η εκλογή του κατάλληλου είδους και μεγέθους του εδράνου καθορίζεται από το είδος και το μέγεθος της φορτίσεως που παραλαμβάνει, από την ταχύτητα περιστροφής του άξονα και τέλος από ειδικές συνθήκες λειτουργίας όπως το είδος λιπάνσεως, τη θερμοκρασία λειτουργίας, τις αυξομειώσεις του ονομαστικού φορτίου κ.τ.λ. Ο υπολογισμός της αντοχής των εδράνων ολίσθησης χωρίζεται σε δύο είδη, στο δυναμικό και το στατικό υπολογισμό αντοχής. Ο υπολογισμός δυναμικής αντοχής εκτελείται στα έδρανα εκείνα, που η ταχύτητα περιστροφής τους είναι μεγαλύτερη από 20 περίπου στροφές ανά λεπτό. Ο υπολογισμός στατικής αντοχής εφαρμόζεται στα έδρανα που είτε δεν περιστρέφονται είτε ο αριθμός στροφών τους είναι μικρότερος από 20 στροφές το λεπτό. Στην παρούσα εργασία είναι κατάλληλη η χρήση των υπολογισμών δυναμικής αντοχής, καθώς ο άξονας του πειράματος περιστρέφεται με 600 Στροφές ανά λεπτό (Σ.Α.Λ.). 1.6 Διάρκεια ζωής εδράνων Ένα έδρανο, που έχει κατασκευαστεί σύμφωνα με τις σχετικές προτυποποιήσεις διαστάσεων και ανοχών, που έχει συναρμολογηθεί με τις σχετικές οδηγίες και τέλος που λιπαίνεται κανονικά και είναι σωστά στεγανοποιημένο ανάλογα με τη λίπανση και τις συνθήκες του περιβάλλοντός του, μπορεί για ένα συγκεκριμένο φορτίο και ένα συγκεκριμένο αριθμό στροφών να λειτουργήσει επί 11

ένα επίσης συγκεκριμένο χρονικό διάστημα, μετά την πάροδο του οποίου εμφανίζονται διάφορα σημεία κοπώσεως, όπως ρωγμές, πόροι και εκκοιλάνσεις μικρού ή και μεγάλου μεγέθους στις καταπονούμενες επιφάνειες των σωμάτων κυλίσεως και των αυλακιών κυλίσεως. Ο συνολικός αριθμός στροφών ή ωρών λειτουργίας ενός εδράνου κυλίσεως, κατά τον οποίο ένα έδρανο μπορεί να λειτουργήσει κανονικά, μέχρι να εμφανιστούν τα πρώτα σημεία κοπώσεως, ονομάζεται διάρκεια ζωής του εδράνου. Σχετικά πειράματα και πάρα πολλά παραδείγματα πρακτικών εφαρμογών έχουν αποδείξει ότι τα έδρανα ολισθήσεως του ίδιου είδους, των ίδιων διαστάσεων, του ίδιου υλικού και των ίδιων ανοχών παρουσιάζουν για τις ίδιες συνθήκες λειτουργίας πολύ μεγάλες διαφορές στη διάρκεια ζωής τους. Για τον υπολογισμό της διάρκειας ζωής των εδράνων έχει καθοριστεί ένα συγκεκριμένο όριο, η ονομαστική διάρκεια ζωής L, που είναι ο αριθμός εκατομμυρίων στροφών, για τον οποίο το 10% ενός μεγάλου πλήθους εδράνων του ίδιου είδους και των ίδιων διαστάσεων εμφανίζουν σημεία κοπώσεως όταν αυτά λειτουργούν με τις ίδιες συνθήκες φορτίσεως. Το υπόλοιπο 90% των εδράνων δεν εμφανίζει σημεία κοπώσεως. Η μέση διάρκεια ζωής L m είναι ο αριθμός των εκατομμυρίων στροφών, για τον οποίο το 50% ενός μεγάλου πλήθους εδράνων του ίδιου είδους και των ίδιων διαστάσεων εμφανίζουν σημεία κόπωσης, όταν λειτουργούν με τις ίδιες συνθήκες φορτίσεως. Η μέση διάρκεια ζωής των εδράνων κυλίσεως είναι περίπου πενταπλάσια της ονομαστικής διάρκειας ζωής. Από το γεγονός αυτό φαίνεται, ότι η διασπορά των πειραματικών αποτελεσμάτων για τη διάρκεια ζωής των εδράνων είναι πολύ μεγάλη. Η πραγματική διάρκεια ζωής ενός εδράνου μπορεί επομένως να είναι πολλαπλάσια της ονομαστικής. Στο σχήμα 1.6.1 φαίνεται η πραγματική διάρκεια ζωής των εδράνων κύλισης. Από τους ορισμούς της ονομαστικής διάρκειας ζωής και της μέσης διάρκειας ζωής μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η ονομαστική διάρκειας ζωής είναι 1 0 6 στροφές. 12

Σχήμα 1.6.1 Πραγματική διάρκεια ζωής των εδράνων ολισθήσεως 1.7 Παράγοντες που προκαλούν φθορά στα έδρανα ολίσθησης Όπως αναφέρθηκε και σε προηγούμενη παράγραφο, τα έδρανα ολίσθησης δεν έχουν άπειρο χρόνο λειτουργίας. Ο χρόνος λειτουργίας τους εξαρτάται από έναν αριθμό παραγόντων, οι σημαντικότεροι από τους οποίους είναι ο τρόπος κατασκευής, ο τρόπος μεταφοράς και αποθήκευσης, ο τρόπος εγκατάστασης και τέλος ο τρόπος λειτουργίας του εδράνου. - Ο παράγοντας της κατασκευής περιλαμβάνει την ανομοιογένεια των υλικών καθώς επίσης και τις κακές ανοχές της κατασκευής. - Ο παράγοντας της μεταφοράς και της αποθήκευσης περιλαμβάνει το κακό πακετάρισμα και τους κραδασμούς κατά τη μεταφορά ή την αποθήκευση. 13

- Ο παράγοντας της εγκατάστασης περιλαμβάνει την παραμόρφωση του εδράνου, τον κακό τρόπο φόρτισης, τις κακές ανοχές και τα σφάλματα ευθυγράμμισης. - Ο παράγοντας της λειτουργίας περιλαμβάνει την υπερφόρτιση, την κακή λίπανση, την παρουσία σκόνης, την παρουσία χημικών αερίων, την υγρασία και την υπερθέρμανση. Οι παραπάνω παράγοντες συναρτήσει του χρόνου οδηγούν στη καταστροφή των εδράνων ολίσθησης. Τα αίτια καταστροφής των εδράνων ολίσθησης είναι η φθορά, η μακροχρόνια λειτουργία, η διάβρωση, η παραμόρφωση, τα σπασίματα, οι ρωγμές και η υπερθέρμανση. 14

Κεφάλαιο 2 Μετασχηματισμός Hilbert-Huang 2.1 Θεωρητική μελέτη του μετασχηματισμού Hilbert-Huang 2.1.1 Εισαγωγή Στο παρόν κεφάλαιο αναλύονται οι μέθοδοι που χρησιμοποιήθηκαν στην παρούσα μελέτη. Η ανάλυση εστιάζεται στο μετασχηματισμό Hilbert-Huang, για τον οποίο παρουσιάζεται όλο το θεωρητικό υπόβαθρο, μιας και εκτός από το γεγονός ότι αποτελεί την βάση της εργασίας, είναι επίσης και μια σχετικά νέα μέθοδο ανάλυσης, η οποία μάλιστα ακόμη εξελίσσεται. Είναι ευρέως γνωστό ότι οι παραδοσιακές μέθοδοι επεξεργασίας σήματος, όπως για παράδειγμα η ανάλυση Fourier, βασίζονται στην παραδοχή ότι τα σήματα που αναλύονται είναι γραμμικά (linear), καθώς επίσης και χρονικά στάσιμα (stationary). Το σημαντικότερο πρόβλημα που εμφανίζεται στην ανάλυση Fourier είναι η χρησιμοποίηση των αρμονικών συνιστωσών (harmonics), προκειμένου να μοντελοποιηθεί ένα μη γραμμικό σήμα. Άμεσο αποτέλεσμα αυτού είναι η εμφάνιση στο φάσμα του σήματος αρνητικών τιμών συχνότητας, η ύπαρξη των οποίων αν και αποδεικνύεται μαθηματικά, δεν παρουσιάζει καμία φυσική σημασία. Ακόμη, οι νέες μέθοδοι επεξεργασίας σήματος που εφαρμόζονται τα τελευταία χρόνια, εστιάζουν κυρίως στην ανάπτυξη αλγορίθμων ικανών να αναλύουν μη γραμμικά ή μη στάσιμα σήματα, αλλά συνήθως όχι σήματα που ανήκουν ταυτόχρονα και στις δύο 15

κατηγορίες. Για παράδειγμα η ανάλυση με τη μέθοδο των κυματιδίων (Wavelets), καθώς και η κατανομή Wagner-Ville (Flandrin 1999, Grochening 2001), εφαρμόζεται με επιτυχία για την ανάλυση μη στάσιμων σημάτων, οι μέθοδοι όμως αυτές ουσιαστικά αποτελούν τεχνικές γραμμικής ανάλυσης. Σε αντίθεση με τις παραπάνω μεθόδους έρχεται ο μετασχηματισμός Hilbert- Huang να βρει λύση για την ανάλυση μη γραμμικών και μη στάσιμων σημάτων. Η μέθοδος της Εμπειρικής Ανάλυσης του σήματος σε Δομικές Συνιστώσες (Empirical Mode Decomposition, EMD), ή αλλιώς ο μετασχηματισμός Hilbert-Huang, είναι μία σχετικά νέα μέθοδος που διατυπώθηκε για πρώτη φορά από τον Δρ. Norden Huang της NASA το 1996. Αν και όχι πλήρως μαθηματικά τεκμηριωμένη, η μέθοδος αυτή παρουσιάζει ιδιαίτερα καλά αποτελέσματα στην ανάλυση μη γραμμικών και μη στάσιμων σημάτων και ιδιαίτερα στην ακριβή απεικόνιση της ενέργειας του σήματος και του συχνοτικού περιεχομένου αυτού σε σχέση με το χρόνο. O μετασχηματισμός Hilbert-Huang είναι μία μέθοδος επεξεργασίας σημάτων που περιλαμβάνει ουσιαστικά δύο φάσεις. Στην πρώτη φάση αναλύεται το πραγματικό σήμα στα δομικά του στοιχεία, τις Intrinsic Mode Functions (IMF), για τις οποίες και χρησιμοποιείται ο όρος Ενδογενείς Δομικές Συνιστώσες. Στη δεύτερη φάση πραγματοποιείται ο μετασχηματισμός Hilbert για κάθε μία από τις IMF, οπότε και προκύπτει για κάθε χρονική στιγμή μία τιμή συχνότητας και μία τιμή πλάτους. Τα αποτελέσματα απεικονίζονται σε δύο διαστάσεις (χρόνος - συχνότητα), με το πλάτος να σημειώνεται με χρωματική διαφορά (σπεκτρόγραμμα). Η απεικόνιση αυτή ονομάζεται φάσμα Hilbert, ενώ αθροίζοντας όλα τα πλάτη των σημάτων για τα οποία αντιστοιχεί στην ίδια χρονική στιγμή η ίδια τιμή συχνότητας, προκύπτει το οριακό φάσμα Hilbert (Marginal Hilbert Spectrum). Το τελικό αποτέλεσμα είναι η δυνατότητα απεικόνισης του φάσματος του σήματος σε συνάρτηση με το χρόνο, με πολύ μεγαλύτερη ακρίβεια σε σχέση με τις παραδοσιακές μεθόδους που προαναφέρθηκαν. Η νέα μέθοδος έχει μελετηθεί εκτενώς σε πειραματικό επίπεδο και χρησιμοποιείται ήδη για την μελέτη φαινομένων που περιγράφονται από μη γραμμικά και μη στάσιμα σήματα, όπως ανάλυση βιοϊατρικών αποτελεσμάτων (εγκεφαλογράφημα, καρδιογράφημα, κτλ), σεισμικά κύματα, μετεωρολογικά δεδομένα, δομικές μετρήσεις, οικονομικά στοιχεία κτλ. Αν και όπως αναφέρθηκε, η διαδικασία της Εμπειρικής ανάλυσης με την οποία προκύπτουν οι IMF πραγματοποιείται πρώτη, για λόγους καλύτερης επεξήγησης παρακάτω αναλύεται πρώτα ο μετασχηματισμός Hilbert. 16

2.1.2 Η έννοια της στιγμιαίας συχνότητας και ο μετασχηματισμός Hilbert Ένα περιοδικό ημιτονοειδές σήμα περιγράφεται στην γενική του μορφή ως ( ) = ( + ) (. ), όπου το πλάτος του σήματος, η θεμελιώδης συχνότητα και η μετατόπιση της φάσης του σήματος που περιγράφει την αρχική θέση του σήματος ως προς το χρόνο. Το αντίστροφο της θεμελιώδους συχνότητας του σήματος χαρακτηρίζει την περίοδο T του σήματος, την χρονική δηλαδή διάρκεια μετά από την οποία το σήμα απλώς επαναλαμβάνεται. Η θεμελιώδης συχνότητα του σήματος επίσης σχετίζεται με την κυκλική συχνότητα αυτού, με τη σχέση ω = 2π. Η παράμετρος ω * t + φ είναι γνωστή ως γωνιακή φάση του σήματος. Έτσι λοιπόν αν θεωρήσουμε ως θ(t) = ω*t + φ, τότε η πρώτη παράγωγος της γωνιακής φάσης ως προς το χρόνο γίνεται θ'(t) = ω. Κατά συνέπεια, στην πιο απλή μορφή ενός σήματος που είναι το περιοδικό ημιτονοειδές σήμα, η κυκλική συχνότητα ω προκύπτει από το ρυθμό μεταβολής της γωνιακής φάσης του σήματος. Υπό την ίδια λογική η μετατόπιση της φάσης του σήματος δίνεται από τη σχέση = ( ) ( ) (. ) Οι προηγούμενες σχέσεις περιγράφουν μαθηματικά το προφανές συμπέρασμα που προκύπτει από το συσχετισμό της γωνιακής φάσης με την ταλάντωση του πλάτους του σήματος. Πράγματι, όσο μεγαλύτερος είναι ο ρυθμός μεταβολής της φάσης του σήματος, σε συνδυασμό με την συνολική εμφάνιση του σήματος ως προς το χρόνο που εκφράζεται με τη γωνιακή φάση αυτού, τόσο μεγαλύτερος είναι ο ρυθμός ταλάντωσης του πλάτους αυτού, μεταξύ τοπικών μεγίστων και ελαχίστων. Έχοντας λοιπόν περιγράψει τη συχνότητα ενός περιοδικού ημιτονοειδούς σήματος ως συνάρτηση της γωνιακής φάσης αυτού, το άμεσο ερώτημα που ανακύπτει είναι το κατά πόσο αυτό μπορεί να γίνει για μία κυματομορφή που δεν εμφανίζει σταθερή μετατόπιση φάσης, αλλά αντίθετα η μετατόπιση της 17

φάσης φ, εκφράζεται ως συνάρτηση του χρόνου φ(t). Έτσι, αν θεωρήσουμε και πάλι τη γωνιακή φάση του σήματος θ( ), ο ρυθμός μεταβολής της γωνιακής φάσης μεταξύ δύο χρονικών στιγμών και, δίνεται από την σχέση ( ) ( ). Στην περίπτωση τώρα που το χρονικό διάστημα Δt=[ ] τείνει στο 0 η παραπάνω σχέση γίνεται ίση με θ (t) ή αλλιώς ισούται με την στιγμιαία συχνότητα του σήματος, κατ αναλογία με τον ορισμό της στιγμιαίας συχνότητας που δόθηκε και για το περιοδικό ημιτονοειδές σήμα. Πρέπει να σημειωθεί ότι ο ορισμός της στιγμιαίας συχνότητας ως η παράγωγος της γωνιακής φάσης ουσιαστικά αποδεικνύει την ακαταλληλότητα του μετασχηματισμού Fourier να περιγράψει το συχνοτικό περιεχόμενο ενός μη στάσιμου σήματος. Πράγματι, κατά το μετασχηματισμό Fourier, η συχνότητα εκφράζεται από συναρτήσεις ημιτόνων ή συνημίτονων σταθερού πλάτους που καλύπτουν όλο το εύρος του σήματος. Επομένως για να περιγραφεί τοπικά το συχνοτικό περιεχόμενο του σήματος απαιτείται τουλάχιστον ένα πλήρες ημίτονο ή συνημίτονο από 0 έως 2π, το οποίο σημαίνει ότι για ένα μη στάσιμο σήμα που η συχνότητα του σήματος μπορεί θεωρητικά να αλλάζει κάθε χρονική στιγμή, δεν είναι δυνατό να περιγραφεί επακριβώς το φάσμα των συχνοτήτων χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό Fourier. Η τυχαία κυματομορφή όπου το πλάτος αλλά και η γωνιακή φάση είναι συναρτήσεις του χρόνου, μπορεί να γραφεί σε καρτεσιανές συντεταγμένες ως: ( ) = ( ) + ( ) (. ) Τότε το πλάτος αυτής δίνεται από τη σχέση: ( ) = ( ) + ( ) (. ) και η γωνιακή φάση ως : ( ) ( ) = ( ) (. ) Θεωρητικά υπάρχουν πάρα πολλοί τρόποι για να εκφραστεί μία τυχαία κυματομορφή σε αναλυτική μορφή. Ένας πολύ καλός τρόπος είναι ο μετασχηματισμός Hilbert που είναι ένας ολοκληρωτικός μετασχηματισμός (integral transform) και προκύπτει από τη συνέλιξη του αρχικού σήματος x(t), με το και 18

επομένως δίνει έμφαση στις «τοπικές» ιδιότητες του σήματος. Συγκεκριμένα, ο μετασχηματισμός Hilbert ορίζεται για ένα οποιοδήποτε σήμα x(t), ως ακολούθως: ( ) = ( ) (. ) όπου το P συμβολίζει την πρωτεύουσα τιμή του Gaushy 1. Έτσι σε πολικές συντεταγμένες το αναλυτικό σήμα γράφεται: ( ) = ( ) ( ) = ( )+ ( ) (. ) Η στιγμιαία συχνότητα προκύπτει παραγωγίζοντας την ανοιγμένη 2 φάση (unwrapped phase) του σήματος, (t), [ ( )] = = ( ) (. ) Ωστόσο, για να προκύψουν σωστά αποτελέσματα για την στιγμιαία συχνότητα του σήματος με τη χρήση του μετασχηματισμού Hilbert, θα πρέπει αφ' ενός μεν το φάσμα του σήματος να είναι πολύ στενό και αφ' ετέρου το σήμα να είναι απαλλαγμένο από DC συνιστώσες και να εμφανίζει συμμετρία ως προς τον άξονα του χρόνου. Ο αριθμός δηλαδή των μηδενισμών του σήματος να είναι ίσος με τον αριθμό των τοπικών ακρότατων (μεγίστων και ελαχίστων) του σήματος ή το πολύ να διαφέρει κατά ένα. Επιπλέον, το πραγματικό μέρος του μετασχηματισμού Fourier του σήματος θα πρέπει να εμφανίζει μόνο θετικές συχνότητες (Boadhash 1992, Titchmarsh 1948). Για παράδειγμα, στην περίπτωση ενός απλού ημιτονοειδούς σήματος x(t) = cos(t), ο μετασχηματισμός Hilbert δίνει H[x(t)] = sin(t), όπως φαίνεται στο σχήμα 2.1. Η απεικόνιση του αναλυτικού σήματος (x,y), είναι ένας κύκλος, όπως προκύπτει από την σχέση (2.7) (σχήμα 2.2). Η στιγμιαία συχνότητα του σήματος είναι όπως είναι αναμενόμενο σταθερή (σχήμα 2.3). Σε περίπτωση όμως που το αρχικό ημιτονοειδές σήμα έχει και μια DC συνιστώσα, δηλαδή x(t) = a + cos(t), τότε αφ' ενός μεν η απεικόνιση του μετασχηματισμού 1 Η πρωτεύουσα τιμή του Gaushy αποτελεί τεχνική ολοκλήρωσης προκειμένου να αντιμετωπιστεί η περίπτωση όπου ο παρονομαστής του κλάσματος γίνει ίσος με το μηδέν. 2 Η ανοιγμένη φάση του σήματος προκύπτει αντικαθιστώντας τις τιμές της γωνιακής φάσης με το συμπλήρωμα τους ως προς 2π όταν υπάρχει μεταβολή σε δύο διαδοχικές τιμές μεγαλύτερη από π. Η τεχνική αυτή εξομαλύνει τις ασυνέχειες στις τιμές της γωνιακής φάσης και δίνει φυσικά αποδεκτές τιμές στιγμιαίας συχνότητας. 19

Hilbert αυτού δίνει έναν κύκλο μετατοπισμένο κατά α (σχήμα 2.2) και αφετέρου η στιγμιαία συχνότητα αυτού δεν είναι πλέον ευθεία γραμμή, ενώ εμφανίζει και αρνητικές τιμές (όταν α<1), που δεν έχουν φυσική σημασία (σχήμα 2.3). Κατά συνέπεια ακόμη και στην πιο απλή μορφή ενός ημιτονοειδούς σήματος, η μη ύπαρξη συμμετρίας δίνει ανεπιθύμητα αποτελέσματα όσον αφορά τον υπολογισμό της στιγμιαίας συχνότητας. Σχήμα 2.1: Ημιτονοειδές σήμα και ο μετασχηματισμός Hilbert αυτού Σχήμα 2.2: Ημιτονοειδές σήμα και ο μετασχηματισμός Hilbert αυτού. 20

Σχήμα 2.3: Στιγμιαία συχνότητα του ημιτονοειδούς σήματος 2.1.3 Εμπειρική Ανάλυση σε Ενδογενείς Δομικές Συνιστώσες (Empirical Value Decomposition, EMD) Η διαδικασία της ανάλυσης του σήματος σε ενδογενείς δομικές συνιστώσες (IMF), αποτελεί την βάση του μετασχηματισμού Hilbert-Huang. Η λογική της μεθόδου βασίζεται στην αρχή ότι σε κάθε τυχαίο σήμα συνυπάρχουν συνιστώσες υψηλής συχνότητας, που επιτίθενται σε συνιστώσες χαμηλής συχνότητας. Είναι προφανές ότι οι ΙMF του σήματος που είναι το τελικό αποτέλεσμα της διαδικασίας πρέπει να πληρούν τα κριτήρια που προαναφέρθηκαν έτσι ώστε οι τιμές στιγμιαίας συχνότητας που προκύπτουν δια μέσου του μετασχηματισμού Hilbert να είναι φυσικά αποδεκτές. Υπό το πρίσμα αυτό ένα σήμα χαρακτηρίζεται ως IMF όταν ισχύουν τα παρακάτω: Ο αριθμός των μεγίστων και ελαχίστων του σήματος είναι ίσος με τον αριθμό των μηδενισμών αυτού, ή διαφέρει το πολύ κατά ένα. Σε οποιοδήποτε σημείο η μέση τιμή που καθορίζεται από τον περιβάλλοντα των μεγίστων και τον περιβάλλοντα των ελαχίστων του σήματος, είναι ίση με το μηδέν. 21

Το αρχικό σήμα υποβάλλεται σε μία επαναλαμβανόμενη διαδικασία γνωστή ως «κοσκίνισμα» (sifting), η οποία ξεκινά με τον εντοπισμό όλων τα τοπικών ακρότατων του σήματος και το διαχωρισμό τους σε μέγιστα και ελάχιστα. Στη συνέχεια με τη χρησιμοποίηση κάποιας τεχνικής παρεμβολής (συνήθως cubic splines), καθορίζεται ο περιβάλλοντας 3 των ελαχίστων, καθώς και ο περιβάλλοντας των μεγίστων του σήματος, χρησιμοποιώντας ως σημεία τα ελάχιστα και τα μέγιστα του σήματος αντίστοιχα. Έτσι, αν για ένα οποιοδήποτε τυχαίο σήμα x(t), ορίσουμε τον περιβάλλοντα των μεγίστων του σήματος μετά την παρεμβολή E max(t) και τον περιβάλλοντα των ελαχίστων E min(t), το άθροισμα ( ) = ( ) + ( ) (. ) δίνει τη μέση τιμή των δύο περιβαλλόντων. Η μέση αυτή τιμή αφαιρείται από το αρχικό σήμα ( ) = ( ) ( ) (. ) και το υπόλοιπο h 1(t) εξετάζεται στη συνέχεια ως προς το αν μπορεί να χαρακτηριστεί ως IMF. Σε περίπτωση που αυτό δεν ισχύει, το h(t) υπόκειται κι αυτό στην διαδικασία εντοπισμού των ακρότατων και αφαίρεσης της μέσης τιμής που προκύπτει από τους δύο περιβάλλοντες, όπως αναφέρθηκε παραπάνω. Έτσι, το νέο υπόλοιπο προκύπτει ως ( ) = ( ) ( ) (. ), του h 1(t). Η διαδικασία συνεχίζεται, έως ότου το υπόλοιπο που θα προκύψει να μπορεί να χαρακτηριστεί ως IMF, δηλαδή ( ) = ( ) ( ) ( ) (. ), όπου k είναι ο αριθμός των επαναλήψεων έως ότου να προκύψει η πρώτη IMF h 1k(t) = IMF1. Πρέπει να σημειωθεί ότι σε κάθε επανάληψη η μέση τιμή των 3 Χρησιμοποιείται παντού ο όρος περιβάλλοντας για να περιγράψει τον Αγγλικό όρο envelope. 22

περιβαλλόντων των ακρότατων πλησιάζει όλο και περισσότερο το μηδέν, αυξάνοντας τη συμμετρία του σήματος προκειμένου αυτό να πληροί τα κριτήρια της IMF. Στα σχήματα 2.4, 2.5 και 2.6 απεικονίζεται διαγραμματικά η διαδικασία του sifting για την πρώτη, δεύτερη και τελευταία επανάληψη, όπου το υπόλοιπο χαρακτηρίζεται πλέον ως IMF. Η πρώτη ενδογενής δομική συνιστώσα αφαιρείται κατόπιν από το αρχικό σήμα και το υπόλοιπο που προκύπτει υποβάλλεται εκ νέου στη διαδικασία του «κοσκινίσματος». Πρέπει να σημειωθεί ότι η πρώτη IMF του σήματος αποτελεί την συνιστώσα που περιέχει τις υψηλότερες συχνότητες, καθότι έχει προκύψει από τα αρχικά ακρότατα του σήματος, των οποίων η ενδιάμεση απόσταση καθορίζει και τις τιμές των μεγαλύτερων συχνοτήτων στο σήμα. Επομένως είναι αντιληπτό ότι όσο η διαδικασία συνεχίζεται και προκύπτουν νέες IMF, τα ακρότατα του σήματος ελαττώνονται, έως ότου ο αριθμός των ακρότατων στο εναπομένων σήμα γίνει μικρότερος του τρία, οπότε και πλέον ο αλγόριθμος διακόπτεται. Μετά από την ολοκλήρωση της διαδικασίας του sifting το αρχικό σήμα μπορεί να γραφεί ως ( ) = + (. ), όπου το αποτελεί το τελικό υπόλοιπο που είτε είναι σταθερά, είτε απλώς ένα μονοτονικό σήμα χωρίς ακρότατα. Ο αριθμός των IMF που προκύπτουν από το μετασχηματισμό Hilbert-Huang είναι περίπου ίσος με, όπου είναι το πλήθος των τιμών του ψηφιοποιημένου σήματος. Στο σχήμα 2.7 απεικονίζεται η συνολική διαδικασία του sifting για μία τυχαία χρονική σειρά 38 σημείων ( ). Η πληρότητα της διαδικασίας αποδεικνύεται μαθηματικά από την εξίσωση (2.13), μπορεί όμως εύκολα να διαπιστωθεί και πειραματικά, καθότι το αλγεβρικό άθροισμα των IMF ενός σήματος δίνει με πολύ μικρό σφάλμα (της τάξης του 10-15 ) το ίδιο το σήμα (σχήμα 2.8). Η πολύ μικρή απόκλιση που παρατηρείται οφείλεται στην διαδικασία της παρεμβολής με τις cubic splines. Ομοίως, η ορθογωνικότητα της διαδικασίας υπολογίζεται με βάση την παρακάτω εξίσωση: = ( ) (. ), όπου και υποδηλώνουν δύο οποιεσδήποτε IMF του σήματος και είναι το πλήθος των IMF χωρίς να υπολογίζεται το υπόλοιπο (residual). 23

Σχήμα 2.4: Σήμα ( ), πρώτη επανάληψη του sifting. 24

Σχήμα 2.5: 2η επανάληψη του sifting. Σχήμα 2.6: Τελευταία επανάληψη του sifting. Το εναπομένων σήμα είναι πλέον IMF 25

Σχήμα 2.7: Απεικόνιση του σήματος ( ) και των ΙΜF συνιστωσών Σχήμα 2.8: Πληρότητα του μετασχηματισμού. Το σήμα ( ) ανασυντίθεται πλήρως μετά την άθροιση των IMF. Το σφάλμα είναι της τάξης του 10-15. 26

2.1.4 Το πεδίο της συχνότητας διαμέσου του μετασχηματισμού Ηilbert-Huang Μετά την ανάλυση του σήματος σε ενδογενείς δομικές συνιστώσες, το φασματικό περιεχόμενο μπορεί να υπολογιστεί εκτελώντας το μετασχηματισμό Hilbert για κάθε μία από τις IMF εξαιρώντας το υπόλοιπο, που είναι σταθερό ή εκφράζει μια σταθερή τάση. Το σήμα τότε μπορεί να γραφεί ως: ( ) = ( ) ( ) (. ), όπου n ο αριθμός των IMF χωρίς το υπόλοιπο και ( ) η συνάρτηση του πλάτους των IMF. Η παραπάνω σχέση δίνει το πλάτος και τη συχνότητα κάθε IMF ως συνάρτηση του χρόνου, το οποίο ουσιαστικά φανερώνει ότι ο μετασχηματισμός Hilbert-Huang αποτελεί γενίκευση του μετασχηματισμού Fourier, ο οποίος απεικονίζει το συχνοτικό περιεχόμενο του σήματος, με σταθερό όμως πλάτος για κάθε αρμονική. Η απεικόνιση του πλάτους συχνότητας χρόνου, για κάθε IMF αποτελεί το φάσμα Hilbert και συνήθως γίνεται σε δύο διαστάσεις (συχνότηταxρόνος), με το πλάτος να απεικονίζεται χρωματικά (Σχήμα 2.9). Επίσης, το άθροισμα του πλάτους για όλα τα σημεία που έχουν ίδια τιμή στιγμιαίας συχνότητας, δίνει το οριακό φάσμα Hilbert (marginal Hilbert spectrum), το οποίο και εκφράζεται μαθηματικά ως: ( ) = (, ) (. ), όπου με H(ω,t) συμβολίζεται το φάσμα Hilbert. 27

Σχήμα 2.9: Το φάσμα Hilbert για το σήμα x(t)=cos(100πt). Το συχνοτικό περιεχόμενο απεικονίζεται με μία ευθεία γραμμή. 2.1.5 Κριτήρια διακοπής του sifting Όπως προαναφέρθηκε, ένα σήμα για να χαρακτηριστεί IMF, θα πρέπει να πληροί το κριτήριο της συμμετρίας ως προς το μηδέν, καθώς επίσης και του μηδενικού μέσου των περιβαλλόντων που ορίζονται από τα ακρότατα αυτού. Παρόλα αυτά, όταν η διαδικασία του sifting επαναλαμβάνεται συνεχώς μέχρι να επιτευχθεί το δεύτερο κριτήριο κυρίως, οδηγεί σε υπερ-ανάλυση (over decomposition) του σήματος και τελικά έχει ως αποτέλεσμα την παραγωγή IMF που δεν έχουν φυσική σημασία. Για το λόγο αυτό απαιτείται ένα κριτήριο διακοπής της επαναληπτικής διαδικασίας, όταν ακόμη τα αποτελέσματα του αλγορίθμου είναι αποδεκτά, σχετικά με την εγκυρότητα των παραγόμενων ενδογενών δομικών συναρτήσεων. Το πρώτο κριτήριο διακοπής του αλγορίθμου προτάθηκε από τον Δρ. N. Huang, κατά τρόπο όμοιο με το κριτήριο σύγκλισης του Gaushy, όπου και ο αλγόριθμος διακόπτεται όταν η τιμή της σταθερής απόκλισης μεταξύ των σημάτων δύο διαδοχικών επαναλήψεων γίνει αρκετά μικρή, όταν δηλαδή: 28

= [ ( ) ( )] ( ) (. ) Η τιμή της σταθερής απόκλισης μεταξύ δύο διαδοχικών επαναλήψεων και που θεωρείται ικανοποιητική για τη διακοπή του sifting είναι μεταξύ του 0,2 και 0,3. Ωστόσο, η παραπάνω εξίσωση τροποποιήθηκε ελαφρώς μετά τις πρώτες δοκιμές του αλγορίθμου, καθότι αν υπάρχουν τοπικά πολύ μικρές τιμές στο σήμα ( ) επηρεάζουν την σταθερή απόκλιση, παράγοντας τιμές κοντά στις επιθυμητές χωρίς ωστόσο το σήμα ( ) να χαρακτηρίζεται ικανοποιητικά ως IMF. Το τροποποιημένο κριτήριο δίνεται από την εξίσωση (2.18), όπου το άθροισμα των τιμών του ( ) στον παρονομαστή, δίνει περισσότερο αποδεκτά αποτελέσματα. = [ ( ) ( )] ( ) (. ) Παρόλα αυτά, ακόμη και στην περίπτωση του τροποποιημένου κριτηρίου, το υποψήφιο IMF σήμα δεν εξετάζεται αν πραγματικά πληροί τα κριτήρια της IMF. Για τον λόγο αυτό ένα εναλλακτικό κριτήριο προτάθηκε από τον Δρ. N Huang, (ο αριθμός S), όπου σύμφωνα με αυτό το sifting διακόπτεται μετά από περίπου 4 έως 8 διαδοχικές επαναλήψεις, από την στιγμή που ο αριθμός των ακροτάτων εξισωθεί με τον αριθμό των μηδενισμών του σήματος ή διαφέρει το πολύ κατά ένα. Σε μετέπειτα μελέτες προτάθηκε ένα περισσότερο ποιοτικό κριτήριο, το οποίο εγγυάται σχεδόν μηδενική μέση τιμή των περιβαλλόντων στο μεγαλύτερο ποσοστό του σήματος όπου κυριαρχούν χαμηλές σχετικά συχνότητες, επιτρέποντας όμως κάποιες τοπικές διακυμάνσεις της μέσης τιμής σε μια περιοχή γύρω από το μηδέν, στα σημεία όπου το σήμα εμφανίζει πολύ υψηλές συχνότητες. Το κριτήριο αυτό εξασφαλίζει μία πιο ρεαλιστική αντιμετώπιση του σήματος, παρέχοντας συνιστώσες με σχεδόν μηδενική μέση τιμή, αποκλείοντας όμως την υπερανάλυση του σήματος. Για τον υπολογισμό του χρησιμοποιείται η διαφορά ( ) = ( ) ( ), που ορίζεται και ως mode amplitude. Ακολούθως ορίζεται η συνάρτηση αξιολόγησης (evaluation function) ως = ( ), όπου m(t) είναι η μέση τιμή των φακέλων των ακροτάτων. Η διαδικασία του sifting συνεχίζεται μέχρι η να γίνει μικρότερη από κάποια προκαθορισμένη τιμή, σε ένα μεγάλο ποσοστό των δειγμάτων του σήματος, επίσης προκαθορισμένο ως. Για το υπόλοιπο ποσοστό των δειγμάτων η απαιτείται να είναι μικρότερη από κάποια ( ) 29

άλλη τιμή, που συνήθως έχει τάξη μεγέθους δεκαπλάσια από την. Οι τιμές των, και που προτείνονται είναι 0,05, 0,5 και 0,05 αντίστοιχα. 2.2 Εφαρμογές του μετασχηματισμού Hilbert-Huang 2.2.1 Ημιτονοειδές σήμα δύο συνιστωσών Το σήμα προς εξέταση αποτελείται από δύο απλά συνημίτονα τα οποία προστίθενται. Έτσι, ( ) = ( ) + ( ). Το σήμα και οι δύο συνιστώσες του (25 και 5Hz αντίστοιχα), απεικονίζεται στο σχήμα (2.10). Ομοίως, στο σχήμα (2.11) απεικονίζεται το αρχικό σήμα με τις δύο IMF. Όπως διαπιστώνεται, το σήμα αναλύεται πλήρως στις δύο συνιστώσες από τις οποίες αποτελείται. Το φάσμα Hilbert καθώς και το φάσμα Fourier των δύο συνιστωσών απεικονίζεται στο σχήμα (2.12). Το φάσμα Hilbert απεικονίζεται κανονικοποιημένο σε δύο διαστάσεις. Σχήμα 2.10: Ημιτονειδές σήμα και οι δύο συνιστώσες. 30

Σχήμα 2.11: Ανάλυση του ημιτονοειδούς σήματος από τον αλγόριθμο. Σχήμα 2.12: Φάσμα Hilbert και Fourier για το ημιτονοειδές σήμα δύο συνιστωσών. 31

2.2.2 Ημιτονοειδή σήματα με αλλαγή συχνότητας ή ενδοδιαμόρφωση. Όπως έχει αναφερθεί, ένα από τα πλεονεκτήματα του μετασχηματισμού Hilbert αποτελεί η δυνατότητά του να απεικονίζει το συχνοτικό περιεχόμενο συναρτήσει του χρόνου, κάτι που δεν είναι δυνατό να γίνει στο μετασχηματισμό Fourier. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να διαπιστώσουμε το συχνοτικό περιεχόμενο του σήματος στο σχήμα 2.13, το οποίο αποτελεί ένα ημιτονοειδές σήμα που είναι μηδενικό για χρόνο 10 δευτερολέπτων, στην συνέχεια γίνεται ίσο με ( ) = ( ), για χρόνο 6,28 δευτερολέπτων, ενώ στη συνέχεια μηδενίζεται και πάλι. Κατ αρχήν όπως φαίνεται στο σχήμα 2.13 ο αλγόριθμος δίνει μόνο μία συνιστώσα που είναι ίση με το ίδιο το σήμα, καθότι τα κριτήρια για IMF πληρούνται ήδη. Το συχνοτικό περιεχόμενο του σήματος μέσω του μετασχηματισμού Hilbert απεικονίζεται στο σχήμα 2.14, όπου επίσης φαίνεται και το φάσμα Fourier. Όπως διαπιστώνεται, το φάσμα Hilbert αποτυπώνει πολύ καλά τον χρόνο όπου γίνεται η αλλαγή συχνότητας, εν αντιθέσει με το φάσμα Fourier που φανερώνει μόνο την ύπαρξη της συχνότητας /, αλλά δεν υπάρχουν πληροφορίες για το χρόνο. Βέβαια στο φάσμα Hilbert είναι φανερό το φαινόμενο Gibbs στις ασυνέχειες του σήματος. Όμοια είναι τα αποτελέσματα όταν το σήμα προς εξέταση αποτελείται από ένα ημιτονοειδές σήμα το οποίο σε κάποια στιγμή του χρόνου αλλάζει συχνότητα. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι το ( ) = ( ) μετά από χρόνο αλλάζει συχνότητα και γίνεται ( ) = ( ). Όπως φαίνεται στο σχήμα 2.15, μιας και το σήμα είναι ήδη IMF ο αλγόριθμος απλώς λειτουργεί ως ταυτότητα, δηλαδή [ ( )] = ( ), όπου είναι ο τελεστής του sifting. Το φάσμα Hilbert και το φάσμα Fourier απεικονίζονται στο σχήμα 2.16. Όπως διαπιστώνεται, το φάσμα Hilbert απεικονίζει παρά τα έντονα Gibbs φαινόμενα το συχνοτικό περιεχόμενο, καθώς και την αλλαγή της συχνότητας συναρτήσει του χρόνου. Το επόμενο σήμα που αναλύθηκε είναι ένα σήμα με ενδοδιαμόρφωση (intrawave modulation), το οποίο προκύπτει από την εξίσωση Duffing, η οποία περιγράφει μαθηματικά ένα εκκρεμές με χαοτική συμπεριφορά. Η εξίσωση που περιγράφει το σήμα είναι ( ) = +. ( ), όπου =, το οποίο προφανώς παρουσιάζει ενδοδιαμόρφωση (Σχήμα 2.17). Ο αλγόριθμος πάλι δίνει μία IMF καθότι το σήμα είναι ήδη εξ ορισμού IMF. Το φάσμα Hilbert απεικονίζεται στο σχήμα 2.18, όπου και είναι φανερή η μη γραμμικότητα λόγω της ενδοδιαμόρφωσης. Η ενδοδιαμόρφωση είναι εμφανής και στο επόμενο σήμα προς εξέταση, του οποίου η εξίσωση δίνεται ως ( ) =. ( ). To σήμα αποτελεί και αυτό IMF (Σχήμα 2.19). Το φάσμα Hilbert απεικονίζεται στο σχήμα 2.20. Στο φάσμα Hilbert 32

είναι εμφανής η ενδοδιαμόρφωση με ταλάντωση της συχνότητας από 0 έως και 0.03Hz. Στο φάσμα Fourier υπάρχει μόνο μία συνιστώσα στα 0.0313Hz. Σχήμα 2.13: Ημιτονοειδές σήμα και ανάλυσή του σε μία IMF Σχήμα 2.14: Φάσμα Fourier και Hilbert. 33

Σχήμα 2.15: Ημιτονοειδές σήμα στο οποίο παρατηρείται αλλαγή συχνότητας σε κάποια χρονική στιγμή Σχήμα 2.16: Φάσμα Hilbert και φάσμα Fourier. H αλλαγή συχνότητας συναρτήσει του χρόνου είναι εμφανής παρά τα έντονα Gibbs φαινόμενα. 34

Σχήμα 2.17: Σήμα με ενδοδιαμόρφωση που προκύπτει απ την εξίσωση Duffing Σχήμα 2.18: Φάσμα Hilbert και φάσμα Fourier για το σήμα με ενδοδιαμόρφωση. Η μη γραμμικότητα του φασματικού περιεχομένου του είναι φανερή. 35

Σχήμα 2.19: Εκθετικό σήμα ( ) =. ( ) με ενδοδιαμόρφωση και η παραγόμενη ΙΜF(ίδιο σήμα) Σχήμα 2.20 Φάσμα Hilbert και Fourier για το εκθετικό σήμα. Παρατηρείται ταλάντωση της συχνότητας από 0 έως 0.03Hz στο φάσμα Hilbert. 36

2.2.3 Ανάλυση πραγματικών σημάτων διαμέσου του μετασχηματισμού Hilbert-Huang. Σήμα καρδιογραφήματος: Το σήμα προς ανάλυση (Σχήμα 2.21), αποτελεί ένα σήμα καρδιογραφήματος στο οποίο υπάρχει έντονος θόρυβος (125V-60Hz) λόγω της γραμμής μεταφοράς του ηλεκτρικού ρεύματος. Στα σχήματα 2.22 και 2.23 απεικονίζεται η ανάλυση σε IMF. Είναι εμφανές ότι η πρώτη IMF απομονώνει σχεδόν το θόρυβο των 60Hz. Αυτό διαπιστώνεται και στα σχήματα 2.24 και 2.25 που απεικονίζεται το φάσμα Hilbert, καθώς και το οριακό φάσμα Hilbert. Σχήμα 2.21: Σήμα καρδιογραφήματος με ισχυρή συνιστώσα θορύβου στα 60Hz. 37

Σχήμα 2.22: Απεικόνιση των τεσσάρων πρώτων IMF για το σήμα καρδιογραφήματος. Σχήμα 2.23: Απεικόνιση των υπολοίπων IMF για το σήμα καρδιογραφήματος 38

Σχήμα 2.24: Το φάσμα Hilbert για το σήμα καρδιογραφήματος Σχήμα 2.25: Το οριακό φάσμα Hilbert για το σήμα καρδιογραφήματος 39

2.3 Αφαίρεση του θορύβου (denoising) και αποκάλυψη της κεντρικής τάσης (detrending),με τη χρήση της μεθόδου EMD 2.3.1 Εισαγωγή Από τη μέχρι τώρα ανάλυση, έχουν γίνει εμφανή τα πλεονεκτήματα του μετασχηματισμού Hilbert-Huang, όσον αφορά την επεξεργασία μη γραμμικών και μη στάσιμων σημάτων. Όπως προαναφέρθηκε, οι εφαρμογές της μεθόδου είναι πάρα πολλές και εστιάζονται σε πολλά διαφορετικά επιστημονικά πεδία. Μία από τις εφαρμογές αυτές αφορά στην επεξεργασία σημάτων τα οποία περιέχουν θόρυβο και ειδικά σε δύο αλληλένδετες λειτουργίες που σχετίζονται με την επεξεργασία των εν λόγω σημάτων. Την αφαίρεση του ανεπιθύμητου θορύβου από ένα σήμα, καθώς και την αποκάλυψη της κεντρικής τάσης ενός σήματος, στο οποίο υπάρχει ισχυρός θόρυβος. Στο παρόν κεφάλαιο επιχειρείται η εφαρμογή της μεθόδου της Εμπειρικής Ανάλυσης για την αποθορυβοποίηση και εμφάνιση της κεντρικής τάσης σημάτων τα οποία εμφανίζουν ισχυρά επίπεδα θορύβου. 2.3.2 Η EMD ως τράπεζα φίλτρων (filter bank) Όπως έχει προαναφερθεί, το τελικό αποτέλεσμα της εμπειρικής ανάλυσης ενός σήματος είναι το σύνολο των ενδογενών συναρτήσεων που ουσιαστικά αποτελούν ένα σύνολο AM-FM διαμορφωμένων σημάτων και των οποίων ο αριθμός των μηδενισμών διαφέρει από τον αριθμό των ακροτάτων το μέγιστο κατά μία μονάδα. Η ιδιότητα αυτή συνεπάγεται ότι ο αριθμός των μηδενισμών κάθε IMF παρέχει πληροφορία σχετικά με τη μέση συχνότητα της υπόψη συνιστώσας. Κατά συνέπεια, αν συμπεριληφθεί και το γεγονός ότι ο αριθμός των μηδενισμών βαίνει μειούμενος σε κάθε συνιστώσα σε σχέση με την προηγούμενή της, προκύπτει το συμπέρασμα ότι η διαδικασία του sifting ενεργεί ως ένα σύνολο ζωνοπερατών φίλτρων σε σειρά, όπου κάθε ένα από αυτά αντιστοιχεί σε μία περιοχή συχνοτήτων, όχι βέβαια κατά ανάγκη διαχωρισμένη από την προηγούμενη και την επόμενή της. Η παραπάνω παρατήρηση αποτέλεσε τη βάση για την ανάλυση του φασματικού περιεχομένου του γκαουσιανού θορύβου από τους Flandrin, Rilling, Concalves, από όπου και πειραματικά διαπιστώθηκε ότι η πρώτη IMF συνιστώσα αποτελεί ουσιαστικά την έξοδο ενός υψηλοπερατού φίλτρου, ενώ οι υπόλοιπες αντίστοιχα προκύπτουν από επικαλυπτόμενα ζωνοπερατά φίλτρα, κατά τέτοιον τρόπο ώστε κάθε επόμενο φίλτρο να έχει εύρος ζώνης ίσο με το μισό του εύρους 40

ζώνης του προηγουμένου του και προς την περιοχή των υψηλότερων συχνοτήτων. Το σύνολο των φίλτρων αυτών αποτελεί μία δυαδική τράπεζα φίλτρων, όπου το σήμα του θορύβου αναλύεται σε περιοχές συχνοτήτων, ξεκινώντας από τις υψηλότερες προς τις χαμηλότερες συχνότητες. 2.3.3 Διαχωρισμός της κεντρικής τάσης και γκαουσιανού θορύβου Σε ένα σήμα όπου εμφανίζονται υψηλά επίπεδα γκαουσιανού θορύβου, ενώ ταυτόχρονα υπάρχει εμφανής κάποια κεντρική τάση, ο θόρυβος ουσιαστικά αποτελεί τις υψηλές συχνότητες, ενώ αντίστοιχα οι χαμηλές αποτελούν την κεντρική τάση. Οι όροι detrending και denoising αντιστοιχούν στις περιπτώσεις ενδιαφέροντος κάθε φορά. Αν δηλαδή ο αντικειμενικός σκοπός είναι να εμφανιστεί η κεντρική τάση αναφερόμαστε σε denoising, ενώ αντίθετα μιλάμε για detrending αν το σήμα ενδιαφέροντος είναι ο θόρυβος. Ουσιαστικά βέβαια πρόκειται για την ίδια διαδικασία. Σύμφωνα με αυτά λοιπόν που προαναφέρθηκαν, ο θόρυβος είναι αναμενόμενο να παρουσιαστεί στις IMF συνιστώσες με τους μεγαλύτερους δείκτες, ενώ στις υπόλοιπες συνιστώσες εμφανίζεται η κεντρική τάση με τη μορφή των χαμηλών συχνοτήτων. Λαμβάνοντας τώρα υπόψη ότι το αρχικό σήμα επανασυντίθεται πλήρως όταν αθροιστούν οι IMF συνιστώσες, το σήμα θορύβου μπορεί να εξαχθεί αθροίζοντας τις πρώτες IMF μέχρι εκείνη την IMF όπου η μέση τιμή της παρουσιάζει απόκλιση από το μηδέν, μιας και ο γκαουσιανός θόρυβος εμφανίζει μηδενική μέση τιμή. Η διαδικασία παρουσιάζεται στο σχήμα 2.26α, όπου απεικονίζεται ένα σήμα χαμηλής συχνότητας ( ) = ( ) + (. ), το οποίο προσομοιάζει την κεντρική τάση, στο οποίο επιτίθεται ένα σήμα γκαουσιανού θορύβου (Σχήμα 2.26β). Η μέση τιμή των IMF απεικονίζεται στο σχήμα 2.27, όπου και διαπιστώνεται η απότομη αύξηση της πάνω από την πέμπτη συνιστώσα. Αθροίζοντας στη συνέχεια τις πέντε πρώτες συνιστώσες προκύπτει το σήμα του θορύβου, ενώ το άθροισμα των υπόλοιπων συνιστωσών δίνει το αρχικό σήμα (σχήμα 2.28). Ο βαθμός ανάκτησης του αρχικού σήματος και η απομάκρυνση του θορύβου μπορεί να εξακριβωθεί υπολογίζοντας τον συντελεστή συσχέτισης του αρχικού σήματος θορύβου, με το σήμα θορύβου που προκύπτει ως το άθροισμα των πέντε πρώτων IMF. Ο συντελεστής αυτός στην προκειμένη περίπτωση προκύπτει ίσος με 0.9815, κάτι που αποδεικνύει την αξιοπιστία της διαδικασίας. Τα παραπάνω αποτελέσματα μπορούν να προκύψουν και με μία ακριβέστερη μέθοδο από στατιστικά δεδομένα που προέκυψαν από την ανάλυση σημάτων θορύβου. Το μοντέλο του γκαουσιανού θορύβου χρησιμοποιείται σε συνδυασμό με το επίπεδο ενέργειας της πρώτης IMF συνιστώσας, η οποία και περιέχει το μεγαλύτερο ποσοστό του θορύβου του σήματος. Στη συνέχεια 41

χρησιμοποιούνται επίπεδα εμπιστοσύνης (confidence intervals) που έχουν προκύψει πειραματικά, με τα οποία καθορίζεται το κατώφλι πάνω από το οποίο η ενέργεια μίας IMF θεωρείται ότι δεν αντιστοιχεί πια σε θόρυβο. Το τελικό αποτέλεσμα προκύπτει και πάλι αθροίζοντας όλες εκείνες τις IMF των οποίων η ενέργεια βρίσκεται κάτω από το επίπεδο εμπιστοσύνης και οι οποίες αναπαριστούν το σήμα θορύβου, ενώ αντίστοιχα οι υπόλοιπες συνιστώσες δίνουν την κεντρική τάση του σήματος. Η διαδικασία απεικονίζεται στο σχήμα 2.29 για το ίδιο σήμα ( ). Όπως διαπιστώνεται, τα αποτελέσματα είναι ακριβώς ίδια όπως και παραπάνω. Σχήμα 2.26: α) Αρχικό σήμα. β) Το σήμα μετά την πρόσθεση γκαουσιανού θορύβου. 42

Σχήμα 2.27: Απεικόνιση της μέσης τιμής κάθε IMF για τον καθορισμό του κριτηρίου απόκλισης από το μηδέν. Σχήμα 2.28: α) Φιλτραρισμένο σήμα που προκύπτει από το άθροισμα των IMF, εκτός των πέντε πρώτων β) Σήμα θορύβου που προκύπτει από το άθροισμα των πέντε πρώτων IMF. 43

Σχήμα 2.29: Το πειραματικό μοντέλο για τον γκαουσιανό θόρυβο. Η ενέργεια των IMF ακολουθεί το μοντέλο του θορύβου μέχρι και την πέμπτη συνιστώσα. 44

Κεφάλαιο 3 Συνοπτική παρουσίαση άλλων μεθόδων 3.1 Ανάλυση Cepstrum (Λογαριθμικό φάσμα ισχύος) Το όνομα Ανάλυση Cepstrum δόθηκε στην τεχνική υπολογισμού μιας συνάρτησης που είναι το φάσμα ενός λογαριθμικού φάσματος. Η λέξη cepstrum λοιπόν, επειδή σημαίνει το φάσμα ενός φάσματος, προέκυψε από τη λέξη spectrum. Κι οι παράμετροι της ανάλυσης cepstrum όμως έχουν τις παρακάτω ονομασίες: Quefrency αντί frequency (συχνότητα) Rahmonics αντί harmonics (αρμονικές) Gamnitude αντί magnitude (πλάτος) Επειδή οι τοπικές βλάβες παράγουν περιοδικά χτυπήματα, το φάσμα τέτοιων δονήσεων περιέχει μια χαρακτηριστική συχνότητα βλάβης και τις αρμονικές της, με το μεγαλύτερο πλάτος να βρίσκεται γύρω από την ενεργοποιημένη ιδιοσυχνότητα (excited resonance frequency). Επειδή όμως η ενέργεια αυτού του σήματος απλώνεται σε μια μεγάλη περιοχή συχνοτήτων μπορεί εύκολα να καλυφθεί από θόρυβο. Συνεπώς η απλή ανάλυση φάσματος δεν είναι ιδιαίτερα αποδοτική. Η ανάλυση cepstrum είναι χρήσιμη στην εύρεση περιοδικοτήτων στο φάσμα, π.χ. τον εντοπισμό οικογενειών των αρμονικών των χαρακτηριστικών συχνοτήτων βλάβης, περιορίζοντας μια ολόκληρη οικογένεια αρμονικών σε μια απλή cepstral γραμμή. Οι μαθηματικές σχέσεις που μας δίνουν το cepstum είναι: ( ) = [ ( ) ] (. ) 45

ή, αλλιώς, ( ) = { [ ( )]}, όπου ( ) = [ ( )] (. ) H μέθοδος αυτή, παρ ότι είναι αποτελεσματική στη διάγνωση της κατάστασης των εδράνων, δεν έχει τύχει ευρείας αποδοχής λόγω της πολυπλοκότητας των υπολογισμών αλλα και της δυσκολίας στην ερμηνεία των αποτελεσμάτων της. 3.2 Μέθοδος HFRT Η μέθοδος HFRT (αναλυτικά High-Frequency Resonance Technique) αποτελεί ίσως έναν από τους καλύτερους διαγνωστικούς αλγορίθμους στο πεδίο των εδράνων. Το σήμα φιλτράρεται έτσι ώστε να αφαιρεθεί ο μηχανικός θόρυβος που βρίσκεται στις χαμηλές συχνότητες και έπειτα υπολογίζεται η περιβάλλουσα (envelope) του καινούργιου σήματος. Η περιοδικότητα του σήματος περιβάλλουσας βρίσκεται είτε με ανάλυση φάσματος είτε με αυτοσυσχέτιση και συγκρίνεται με τις χαρακτηριστικές συχνότητες βλάβης. Αν βρεθεί κάποια ταύτιση, τότε το έδρανο κύλισης θεωρείται ελαττωματικό. Αν και έχει εξαιρετικά αποτελέσματα, ο αλγόριθμος HFRT απαιτεί πολλούς υπολογισμούς. Επίσης, πρέπει να γίνουν αρκετά τεστ έτσι ώστε να βρεθούν οι ιδιοσυχνότητες του εκάστοτε εδράνου, συνεπώς η μέθοδος κοστίζει και από άποψη πρόσθετου εξοπλισμού. 3.3 Συνάφεια δεύτερης τάξης (Bicoherence) Το φάσμα του σήματος ενός ελαττωματικού εδράνου περιέχει μία ή περισσότερες χαρακτηριστικές συχνότητες βλάβης και τις αρμονικές τους, με το μεγαλύτερο πλάτος να βρίσκεται γύρω από τις ενεργοποιημένες φυσικές συχνότητες. Αυτές οι αρμονικές είναι οι όροι Fourier ενός περιοδικού σήματος και συνεπώς έχουν σταθερή φάση μεταξύ τους. Η συνάφεια δεύτερης τάξης υπολογίζει την εξάρτηση της φάσης μεταξύ των αρμονικών της χαρακτηριστικής συχνότητας 46

βλάβης, η οποία αυξάνει όταν το έδρανο κύλισης είναι κατεστραμμένο. Μαθηματικά υπολογίζεται ως εξής: (, ) = [ ( ) ( ) ( + )] [ ( ) ( ) ] [ ( + ) ] (. ) όπου το E[] αποτελεί την αναμενόμενη τιμή και το X(fi) τους μιγαδικούς όρους από το μετασχηματισμό Fourier. Το fi είναι μία από τις αρμονικές των χαρακτηριστικών συχνοτήτων βλάβης. Επειδή η συνάφεια δεύτερης τάξης βασίζεται στη φάση, έχει ικανοποιητικά αποτελέσματα ακόμα και όταν τα χτυπήματα δεν είναι κυρίαρχα στο σήμα. Είναι αποτελεσματικότερη από παραδοσιακές μεθόδους όπως ο HFRT, αλλά είναι πολύ πιο απαιτητική σε υπολογιστικό κόστος και μέγεθος δεδομένων. 3.4 Σύγχρονος Μέσος Όρος Αυτός ο αλγόριθμος χρησιμοποιείται ως μια τεχνική προεπεξεργασίας, με σκοπό τη βελτίωση της αναλογίας σήματος-θορύβου (signal-to-noise ratio). Πρώτα υπολογίζεται η περίοδος των επαναλαμβανόμενων χτυπημάτων αντιστρέφοντας τη χαρακτηριστική συχνότητα βλάβης και έπειτα υπολογίζεται ο μέσος όρος διαδοχικών τμημάτων του σήματος, καθένα με διάρκεια μιας περιόδου. Έπειτα γίνεται η εύρεση του RMS ή χρησιμοποιούνται άλλοι διαγνωστικοί αλγόριθμοι. 3.5 Χρήση στατιστικών παραμέτρων Όταν κάποια περιοδικά χτυπήματα (ringings) εξαιτίας κάποιας τοπικής βλάβης στο έδρανο γίνουν κυρίαρχα, τότε το σήμα αποκτά απότομες κορυφές (ώσεις). Έτσι, έχουν χρησιμοποιηθεί κάποια στατιστικά μεγέθη ως διαγνωστικές παράμετροι με σκοπό την ανίχνευση τοπικών βλαβών στα έδρανα. Κάποιες από αυτές είναι η ενεργός τιμή (RMS), ο παράγοντας τοπικών μέγιστων (Crest factor), η 47

κύρτωση (Kurtosis) και η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (Probability density function). Αφού υπολογιστεί κάποιο από αυτά τα μεγέθη, η τιμή του συγκρίνεται με αντίστοιχες τιμές υγιών εξαρτημάτων. Ένα σημαντικό μειονέκτημα αυτών των μεθόδων είναι ότι αδυνατούν να παρέχουν πληροφορίες για την τοπολογία της βλάβης, αφού δεν εκμεταλλεύονται τις τιμές των χαρακτηριστικών συχνοτήτων βλάβης του εκάστοτε εδράνου. Επίσης, ο παράγοντας τοπικών μέγιστων, η κύρτωση και η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι πιθανό να πέσουν σε τιμές υγιών εδράνων κύλισης σε περίπτωση που οι βλάβες αυξηθούν, κάτι που μας οδηγεί σε λανθασμένα συμπεράσματα. 3.6 Μετασχηματισμός Κυματιδίου (Wavelet Transorm) Ο Μετασχηματισμός Κυματιδίου γράφεται σύντομα WT, από τα αρχικά του αγγλικού του όρου (Wavelet Transform). Λόγω της ικανότητάς του να εξετάζει τα προς ανάλυση σήματα ταυτόχρονα και στο πεδίο του χρόνου και στο πεδίο της συχνότητας βρίσκει εφαρμογή σε πολλούς τομείς κι έχουν δημιουργηθεί πολλές εξελιγμένες μέθοδοι οι οποίες και βασίζονται στην ανάλυση μετασχηματισμού κυματιδίου. Εξάλλου, σήματα που χαρακτηρίζονται ως απεριοδικά, ασυνεχή, με απότομες αλλαγές και θόρυβο μπορούν να αναλυθούν με τον WT. Έτσι λοιπόν χρησιμοποιείται στην ανάλυση φυσικών φαινομένων όπως κλιματικά φαινόμενα, στην αποθορυβοποίηση σεισμικών και αστρονομικών σημάτων, αλλά και στην ανάλυση καρδιολογικών σημάτων, στη συμπίεση βίντεο και σε πολλές άλλες αναλύσεις. Τέλος, ο WT μπορεί να εφαρμοστεί και στην ανάλυση μηχανικών διατάξεων, κάτι που συμβαίνει φυσικά και στην παρούσα διπλωματική εργασία. Τα κυματίδια λοιπόν είναι μικρές κυματοειδείς συναρτήσεις, διάφορες μορφές των οποίων φαίνονται και παρακάτω (Σχήμα 3.1(a)). Κάθε κυματίδιο μπορεί να μεταλλαχθεί με δύο τρόπους: i) μπορεί να μεταφερθεί σε διάφορες περιοχές του προς ανάλυση σήματος (Σχήμα 3.1(b)) και ii) μπορεί να «ανοίξει» ή να «μαζευτεί» (Σχήμα 3.1(c)). Η πληροφορία που υπάρχει στο υπό ανάλυση σήμα μετασχηματίζεται μέσω των κυματιδίων και τελικά παρουσιάζεται σε μια πιο χρήσιμη προς εξέταση και συμπεράσματα μορφή. Ο μετασχηματισμός λοιπόν αυτός είναι ο Μετασχηματισμός Κυματιδίου ή Wavelet Transform (WT). Ο WT λοιπόν είναι η συνέλιξη του κυματιδίου με το σήμα και βασικά υπολογίζει την τοπική ομοιότητα τους. Στο σχήμα 3.2 φαίνεται μια σχηματική αναπαράσταση του WT. Όσο μεγαλύτερη είναι η ομοιότητα του κυματιδίου με το σήμα σε συγκεκριμένη τοποθεσία και κλίμακα, τόσο μεγάλη είναι η τιμή 48

μετασχηματισμού που προκύπτει. Ενδεικτικά, αυτό φαίνεται στην αρχή του σχήματος 3.2. Από την άλλη, αν το κυματίδιο με το σήμα δεν συσχετίζονται αρκετά ικανοποιητικά μεταξύ τους, τότε παίρνουμε μια χαμηλή τιμή μετασχηματισμού, κάτι που φαίνεται και πάλι στο σχήμα. Η τιμή του μετασχηματισμού που λαμβάνεται απεικονίζεται σε ένα δισδιάστατο πεδίο μετασχηματισμού, όπως άλλωστε φαίνεται και στο κάτω μέρος του σχήματος (η μαύρη κουκκίδα). Σχήμα 3.1 (a) Διάφορες μορφές κυματιδίων, (b) Αλλαγή θέσης, (c) Αλλαγή κλίμακας 49

Σχήμα 3.2 Ο WT υπολογίζεται για διάφορες τιμές κλίμακας του κυματιδίου και σε διάφορες τοποθεσίες του σήματος. Έτσι λοιπόν συμπληρώνεται το πεδίο του μετασχηματισμού. Αν αυτή η διαδικασία γίνει με διακριτά βήματα, τότε έχουμε τον λεγόμενο διακριτό μετασχηματισμό κυματιδίου (DWT), ενώ από την άλλη αν γίνει σε συνέχεια, τότε έχουμε τον λεγόμενο συνεχή μετασχηματισμό κυματιδίου (CWT). Βλέπουμε λοιπόν πως με τον σχεδιασμό του μετασχηματισμού κυματιδίου 50

επιτυγχάνεται η συσχέτιση του κυματιδίου με το σήμα, σε διάφορες περιοχές του σήματος και για διάφορες κλίμακες. 3.7 Ταχύς Μετασχηματισμός Fourier (FFT) Αν και ο Ταχύς Μετασχηματισμός Fourier αποτελεί ίσως την πιο διαδεδομένη μέθοδο ανάλυσης σημάτων, υστερεί σημαντικά στην ανάλυση σημάτων σαν κι αυτά που εξετάζουμε στην παρούσα διπλωματική εργασία. Καταρχήν, τα σήματα τα οποία δημιουργούνται από τα έδρανα, τις διατάξεις που είναι τοποθετημένα και τα τυχόντα σφάλματα που έχουν δεν είναι αυστηρώς περιοδικά. Έτσι, το ληφθέν σήμα έχει κάποιο βαθμό τυχαιότητας και θεωρείται κυκλο-στατικό (cyclo-stationary), καθιστώντας τον FFT μη αποδοτικό. Εκτός από τα παραπάνω άλλο πρόβλημα είναι ότι τα σύντομα σε χρονική διάρκεια χτυπήματα λόγω βλαβών απλώνονται σε μια πλατιά ζώνη συχνοτήτων και επομένως μπορούν εύκολα να καλυφθούν από θόρυβο ή άλλα φαινόμενα. *Πρέπει βέβαια να σημειωθεί ότι στην παρούσα διπλωματική εργασία χρησιμοποιήθηκε τόσο ο FFT, έτσι ώστε να έχουμε μια πρώτη εικόνα των σημάτων που λαμβάνουμε, όσο και ο Μετασχηματισμός Κυματιδίου, καταλήγοντας στη μέθοδο του Μετασχηματισμού Hilbert- Huang για εξαγωγή των συμπερασμάτων μας. 51

Κεφάλαιο 4 Πειραματική μελέτη Εισαγωγή Στο παρόν κεφάλαιο επιχειρείται πειραματικά η ανίχνευση βλάβης σε έδρανα ολισθήσεως. Πρώτα γίνεται μια περιγραφή της διάταξης και των οργάνων που χρησιμοποιήθηκαν για τη λήψη των μετρήσεών μας. Στη συνέχεια ακολουθούν κάποιες από τις αρχικές μας ανεπιτυχείς μετρήσεις με τη χρησιμοποίηση του μετασχηματισμού κυματιδίου (wavelet) και ακολούθως οι βασικές πειραματικές μετρήσεις με το μετασχηματισμό Ηilbert-Huang. Τέλος, μετά από αρκετές μετρήσεις σε υγιή και ελαττωματικά έδρανα ακλουθούν τα συμπεράσματα. Σε όλες τις μετρήσεις μας έχουμε συμπεριλάβει, εκτός από τον βασικό μετασχηματισμό, τη χρονοσειρά του σήματος καθώς και τον ταχύ μετασχηματισμό Fourier(FFT) αυτού. 52

4.1 Περιγραφή πειραματικής διάταξης Στην εικόνα 4.1.1 παρουσιάζεται μια εικόνα ολόκληρης της διάταξης, καθώς και τον συστημάτων μετρήσεων. Γενικά ο άξονας περιστρέφεται μέσω ιμάντα και με τις κατάλληλες συσκευές, που θα αναλυθούν στη συνέχεια, παίρνουμε τις μετρήσεις μας. Εικόνα 4.1.1: Πειραματική διάταξη 53

Πιο συγκεκριμένα, η μηχανολογική κατασκευή (άξονας) που χρησιμοποιήθηκε για τις μετρήσεις φαίνεται καλύτερα στην επόμενη εικόνα (4.1.2 (α και β)). 54

Εικόνα 4.1.2 Μηχανολογική κατασκευή (α) Συναρμολογημένη σε λειτουργία (β) Οι δυο κύκλοι δείχνουν τις θέσεις των 2 εδράνων ολισθήσεως στον άξονα Για να εφαρμόζουν τα έδρανα ολισθήσεως στον άξονα κατασκευάστηκε μεταλλικό περίβλημα (φωλιά) γύρω από αυτά όπως φαίνεται και στις επόμενες εικόνες. 55

Εικόνα 4.1.3: Φωλιά (α) χωρίς το κουζινέτο (β) με το κουζινέτο Στην αρχή του πειράματός μας βάλαμε στον άξονα υγιή έδρανα ολίσθησης για να πάρουμε τις μετρήσεις που χρειαζόμασταν (Εικόνα 4.1.4(α)). Κατόπιν, αφαιρέθηκε μόνο το υγιές έδρανο ολίσθησης στο αριστερό μέρος του άξονα 56

(Εικόνα 4.1.4(β)) και τοποθετήθηκε ελαττωματικό για να δούμε τις διαφορές που θα προκύψουν απ τα διάφορα διαγράμματα. Το ελαττωματικό έδρανο χαράχτηκε με λίμα σε διάφορα σημεία όπως φαίνεται και από τις επόμενες εικόνες. Εικόνα 4.1.4(α): Υγιές έδρανο ολίσθησης 57

Εικόνα 4.1.4(β): Ελαττωματικό έδρανο ολίσθησης Οι μετρήσεις έγιναν με τη βοήθεια του επιταχυνσιόμετρου της εταιρείας Bruel & Kjaer και είναι τύπου 4507 B. Οι ακριβείς προδιαγραφές παρατίθενται αναλυτικά σε σύνδεσμο που δίνεται στη βιβλιογραφία [14]. Εικόνα 4.1.5: Επιταχυνσιόμετρο της Bruel&Kjaer τύπου 4507Β 58

Το συγκεκριμένο εξάρτημα κολλούσε με ειδικό κερί πάνω στην κατασκευή όπως φαίνεται και στην εικόνα 4.1.2(α) και συνδεόταν σε φορητό ηλεκτρονικό υπολογιστή με ειδικό προσαρμογέα που φαίνεται στην εικόνα 4.1.6. Η μια άκρη του προσαρμογέα αυτού είναι τύπου BNC ενώ η άλλη τοποθετείται σε μικρόφωνο τύπου stereo. Εικόνα 4.1.6 Προσαρμογέας BNC to MIC-stereo Τα σήματα λαμβάνονταν με τη βοήθεια της κάρτας ήχου του φορητού ηλεκτρονικού υπολογιστή με ανάλυση (resolution) 16bit. Αυτό είναι εφικτό επειδή ουσιαστικά η κάρτα ήχου είναι ένας Analog-To-Digital Converter. Η είσοδός του είναι το αναλογικό σήμα που λαμβάνεται από την υποδοχή του μικροφώνου. Έτσι, επειδή και το επιταχυνσιόμετρο μεταβιβάζει τις μετρήσεις του μέσω αναλογικών ηλεκτρικών σημάτων είναι δυνατή η δειγματοληψία από τη στιγμή που συνδέθηκε με τον κατάλληλο προσαρμογέα. Το λογισμικό που χρησιμοποιήθηκε ήταν το Matlab R2009b. Να τονιστεί ότι είναι απαραίτητο το πρόγραμμα να είναι εξοπλισμένο με το Data Acquisition Toolbox. Τέλος, χρησιμοποιήθηκε το στροφόμετρο Vibroport της εταιρίας Schenck ώστε να κρατάμε τις στροφές του άξονα σταθερές (600 στροφές ανά λεπτό). 59

Εικόνα 4.1.7 : (α) Απεικόνιση των στροφών στη συσκευή (β) λήψη των στροφών του άξονα μέσω δέσμης laser που εφαρμόζεται πολύ κοντά στον άξονα 60

4.2 Πειραματικές μετρήσεις Στην αρχή των πειραματικών μετρήσεων έγινε προσπάθεια να δειχθεί το σφάλμα στα έδρανα ολισθήσεως με τον μετασχηματισμό κυματιδίου. Παρόλο που αυτή η μέθοδος λειτούργησε θετικά στα έδρανα κυλίσεως με βάση προηγούμενες μελέτες 4, στα έδρανα ολισθήσεως φάνηκε να αδυνατεί να δείξει το σφάλμα, όπως θα φανεί και από τα σχήματα στην επόμενη ενότητα. Αντίθετα η μέθοδος μετασχηματισμού Hilbert-Huang λειτούργησε κανονικά και μας έδειξε το σφάλμα στα έδρανα ολίσθησης (Eνότητα 4.2.2). 4.2.1 Αρχικές πειραματικές μετρήσεις με το μετασχηματισμό κυματιδίου (Wavelet) Σε αυτό το σημείο έχουμε τις αρχικές μας μετρήσεις με το μετασχηματισμό κυματιδίου. Tα παρακάτω σχήματα αποτελούνται από την χρονοσειρά του σήματος, τον ταχύ μετασχηματισμό Fourier (FFT) αυτού και τον μετασχηματισμό κυματιδίου. Όπως θα διαπιστώσετε το σχήμα του wavelet των ελαττωματικών εδράνων δεν εμφανίζει επιπλέον συχνότητες όπως θα έπρεπε. Παράλληλα, ο FFT των ελαττωματικών παρουσιάζει διαφοροποιήσεις κοντά στις συχνότητες των 15 ΚΗz αλλά όπως προείπαμε και στη θεωρία ο μετασχηματισμός Fourier δεν αποτελεί αξιόπιστη λύση για την εύρεση των σφαλμάτων. 4 Διπλωματική Καπλάνη-Καραμανίδη με θέμα την εύρεση σφαλμάτων σε έδρανα κυλίσεως με την μέθοδο κυματιδίου (2010) 61

Σχήμα 4.2.1.1(α): Μέτρηση 1 Υγιές (Χρονοσειρά) Σχήμα 4.2.1.1(β): Μέτρηση 1 Υγιές (FFT) 62

Σχήμα 4.2.1.1(γ): Μέτρηση 1 Υγιές (Μετασχηματισμός Wavelet) 63

Σχήμα 4.2.1.2(α): Μέτρηση 1 Ελαττωματικό (Χρονοσειρά) Σχήμα 4.2.1.2(β): Μέτρηση 1 Ελαττωματικό (FFT) 64

Σχήμα 4.2.1.2(γ): Μέτρηση 1 Ελαττωματικό (Μετασχηματισμός Wavelet) 65

Σχήμα 4.2.1.3(α): Μέτρηση 2 Υγιές (Χρονοσειρά) Σχήμα 4.2.1.3(β): Μέτρηση 2 Υγιές (FFT) 66

Σχήμα 4.2.1.3(γ): Μέτρηση 2 Υγιές (Μετασχηματισμός Wavelet) 67

Σχήμα 4.2.1.4(α): Μέτρηση 2 Ελαττωματικό (Χρονοσειρά) Σχήμα 4.2.1.4(β): Μέτρηση 2 Ελαττωματικό (FFT) 68

Σχήμα 4.2.1.4(γ): Μέτρηση 2 Ελαττωματικό (Μετασχηματισμός Wavelet) 69

4.2.2 Βασικές πειραματικές μετρήσεις με το μετασχηματισμό Ηilbert-Huang Σε αυτό το σημείο έχουμε τις βασικές μας μετρήσεις με το μετασχηματισμό Ηilbert-Huang. Tα παρακάτω σχήματα αποτελούνται από την χρονοσειρά του σήματος, τον ταχύ μετασχηματισμό Fourier (FFT) αυτού, τις IMF του σήματος και το φάσμα Hilbert της πρώτης και πιο σημαντικής IMF που προσδιορίζει και το σφάλμα. Σε αυτήν την μέθοδο οδηγηθήκαμε μιας και ο μετασχηματισμός κυματιδίου δεν μας βοήθησε στην απεικόνιση των σφαλμάτων. Σε αυτό το μέρος γίνεται ανάλυση και απεικόνιση των μετρήσεων με διάρκεια 180sec και συχνότητα δειγματοληψίας 65536Hz. Με αυτόν τον τρόπο προέκυψαν 180x65536=11796480 δείγματα για κάθε μέτρηση. Τα δεδομένα αποθηκεύτηκαν απευθείας από την κάρτα ήχου σε πίνακες στο Matlab με τη βοήθεια του Data Acquisition Toolbox. Ο κώδικας με τον οποίο έγινε η δειγματοληψία παρατίθεται στο Παράρτημα Β. Ακολουθούν 5 ζεύγη μετρήσεων υγιών-ελαττωματικών εδράνων ολίσθησης ώστε να έχουμε σίγουρα στοιχεία για την ορθότητα των αποτελεσμάτων μας. Μετά τις δέκα συνολικά μετρήσεις ακολουθούν τα συμπεράσματα και η ανάλυση των αποτελεσμάτων των μετρήσεων αυτών. 70

Σχήμα 4.2.2.1(α) : Χρονοσειρά υγιούς εδράνου Σχήμα 4.2.2.1(β): FFT υγιούς εδράνου 71

Σχήμα 4.2.2.1(γ): ΙΜF 1-4 υγιούς εδράνου Σχήμα 4.2.2.1(δ): ΙΜF 5-8 υγιούς εδράνου 72

Σχήμα 4.2.2.1(ε): ΙΜF 9-11 υγιούς εδράνου Σχήμα 4.2.2.1(στ): Φάσμα Hilbert υγιούς εδράνου 73

Σχήμα 4.2.2.2(α): Χρονοσειρά ελαττωματικού εδράνου Σχήμα 4.2.2.2(β): FFT ελαττωματικού εδράνου 74

Σχήμα 4.2.2.2(γ): ΙΜF 1-4 ελαττωματικού εδράνου Σχήμα 4.2.2.2(δ): ΙΜF 5-8 ελαττωματικού εδράνου 75

Σχήμα 4.2.2.2(ε): ΙΜF 9-11 ελαττωματικού εδράνου Σχήμα 4.2.2.2(στ): Φάσμα Hilbert ελαττωματικού εδράνου 76

Σχήμα 4.2.2.3(α): Χρονοσειρά υγιούς εδράνου Σχήμα 4.2.2.3(β): FFT υγιούς εδράνου 77

Σχήμα 4.2.2.4(γ): ΙΜF1-4 ελαττωματικού εδράνου Σχήμα 4.2.2.4(δ): ΙΜF5-8 ελαττωματικού εδράνου 81

Σχήμα 4.2.2.5(ε) : ΙΜF 9-11 υγιούς εδράνου Σχήμα 4.2.2.5(στ): Φάσμα Hilbert υγιούς εδράνου 85

Σχήμα 4.2.2.6(γ): ΙΜF 1-4 ελαττωματικού εδράνου Σχήμα 4.2.2.6(δ): ΙΜF 5-8 ελαττωματικού εδράνου 87

Σχήμα 4.2.2.8(γ): ΙΜF 1-4 ελαττωματικού εδράνου Σχήμα 4.2.2.8(δ) : ΙΜF 5-8 ελαττωματικού εδράνου 93

Σχήμα 4.2.2.10(γ): ΙΜF 1-4 ελαττωματικού εδράνου Σχήμα 4.2.2.10(δ) : ΙΜF 5-8 ελαττωματικού εδράνου 99

4.3 Ανάλυση αποτελεσμάτων Όπως φαίνεται, τα (α) των σχημάτων απεικονίζουν τις χρονοσειρές. Η διάρκειά τους είναι στα 180 sec.η συχνότητα δειγματοληψίας είναι 65536 Hz,που σημαίνει ότι λήφθηκαν 11.796.480 δείγματα για κάθε μέτρηση. Στα (β) των σχημάτων φαίνονται οι αντίστοιχοι FFT σε db. Αποδεικνύεται ότι στις βασικές αυτές μετρήσεις, λόγω της επαρκούς χρονικής διάρκειας, οι διαφορές μεταξύ των φασμάτων είναι εμφανείς. Οι διαφορές που έχουν ενδιαφέρον είναι οι εξής: στη θέση μίας απλής κορύφωσης που βρισκόταν στα 15000Hz στο υγιές έδρανο κύλισης, τώρα πια έχει αντικατασταθεί από μια ολόκληρη ομάδα συχνοτήτων. Παρ όλα αυτά, η ανάλυση Fourier δεν ενδείκνυται διότι βασίζεται στην παραδοχή ότι τα σήματα είναι γραμμικά και στάσιμα (βλέπε κεφάλαιο 2.1.1). Στα (γ, δ, ε) των σχημάτων έχουμε τις ΙΜF του σήματός μας. Αυτή που μας ενδιαφέρει περισσότερο είναι η πρώτη ΙΜF που βρίσκεται στα (γ) των σχημάτων μας διότι δίνει καθαρότερες ενδείξεις. Επίσης, οι ΙMF υπολογίστηκαν για χρόνο 0.1sec λόγω υψηλής υπολογιστικής πολυπλοκότητας, χρόνος που είναι επαρκής όμως για ασφαλή συμπεράσματα. Παρατηρώντας για παράδειγμα την ΙΜF 1 του σχήματος 4.2.2.2(γ) παρατηρούμε ότι κοντά στα 0.03 sec έχουμε υψηλές διαταραχές. Αντίθετα στα υγιή έδρανα τα σήματα των πρώτων ΙMF είναι πολύ πιο ομαλά από αυτά των ελαττωματικών. Έτσι προσδιορίζεται το σφάλμα στο έδρανο ολίσθησης κατά κύριο λόγο. Στα (στ) των σημάτων έχουμε το φάσμα Ηilbert (Hilbert spectrum) των μετρήσεών μας. Πλέον σ αυτό το σχήμα οι διαφορές υγιών-ελαττωματικών είναι εμφανείς αφού στα ελαττωματικά εμφανίζονται νέες συχνότητες κοντά στην περιοχή των 15000Ηz. Ο μετασχηματισμός κυματιδίου που χρησιμοποιήθηκε αρχικά δεν μας βοήθησε στην εύρεση των σφαλμάτων στα έδρανα καθώς στα σχήματα για υγιές και ελαττωματικά δεν είχαμε τις απαραίτητες ενδείξεις. 101

4.4 Συμπεράσματα-Επίλογος Στα πλαίσια της παρούσας διπλωματικής εργασίας επιχειρήθηκε να γίνει ανίχνευση βλαβών σε ελαττωματικό έδρανο ολίσθησης. Η πειραματική μελέτη πραγματοποιήθηκε σε δύο φάσεις. Στην πρώτη έγινε μια αρχική ανάλυση με τη χρήση του μετασχηματισμού κυματιδίου, χωρίς ωστόσο να επιτευχθεί η εύρεση του σφάλματος. Έτσι, στην τελική ανάλυση επιτεύχθηκε ο ξεκάθαρος πλέον διαχωρισμός του υγιούς με το ελαττωματικό έδρανο κύλισης με τη βοήθεια του μετασχηματισμού Ηilbert-Huang. Τα αποτελέσματα κρίνονται ικανοποιητικά και ο σκοπός της εργασίας θεωρείται ότι ήρθε σε πέρας. Να επισημανθεί ότι οι δυνατότητες του μετασχηματισμού Hilbert-Huang είναι πολύ περισσότερες. Ο αναγνώστης παραπέμπεται στη βιβλιογραφία όπου αναφέρονται εργασίες που κάνουν εκτενέστερη ανάλυση επί του θέματος και εκμεταλλεύονται στο μέγιστο βαθμό τις δυνατότητες του μετασχηματισμού αυτού. 102

Παράρτημα Α Μηχανολογικά σχέδια πειραματικής διάταξης Τα σχέδια που θα ακολουθήσουν παρουσιάζουν τον άξονα με έδρανα κυλίσεως (ρουλεμάν) αντί για έδρανα ολισθήσεως που έχουμε στη δικιά μας εργασία. Παρ όλα αυτά θεωρήθηκε σωστό να χρησιμοποιηθούν ώστε να έχουμε και από μηχανολογική σκοπιά την ανάλυση του άξονα και τον εξαρτημάτων του. 103

Σχήμα 1 Η πειραματική διάταξη που χρησιμοποιήθηκε για τις μετρήσεις αποτελείται από τέσσερα(4) βασικά μέρη. Τον άξονα περιστροφής, στον οποίο και προσαρμόζεται η μορφή της οδηγητικής καμπύλης, τις εδράσεις του άξονα περιστροφής, την επιμέρους διάταξη του ακολούθου και την βάση της όλης διάταξης. Να τονιστεί ότι ο ακόλουθος απομονώθηκε κατάλληλα, καθώς δεν ενδιέφερε το αντικείμενο της διπλωματικής εργασίας. Τα υλικά και οι διαστάσεις των επιμέρους τεμαχίων επιλέχθηκαν έτσι ώστε να ικανοποιείται τόσο η λειτουργικότητα της διάταξης (στιβαρότητα, αντοχή κ.α.), όσο και η οικονομία της κατασκευής. 104

Άξονας περιστροφής Σχήμα 2 Ο άξονας περιστροφής αποτελείται από την άτρακτο, η οποία είναι κατασκευασμένη από υλικό St52 και διαμορφωμένη έτσι που να μπορούν να συναρμολογηθούν τόσο η οδηγητική καμπύλη, τα ένσφαιρα έδρανα κυλίσεως (έδρανα ολίσθησης στην παρούσα εργασία), όσο και η τροχαλία, με την οποία μέσω ενός επίπεδου ιμάντα μεταδίδεται η κίνηση από τον ηλεκτροκινητήρα στην διάταξη. 105

Εδράσεις άξονα περιστροφής Σχήμα 3 Οι εδράσεις του άξονα περιστροφής είναι διαιρούμενα τεμάχια, κατασκευασμένα από υλικό St37 και σε διαστάσεις τέτοιες που να εξυπηρετούν την λειτουργία της διάταξης. Επιλέχθηκε η πλωτή ως μορφή έδρασης, χάριν της απλής κατασκευής και συναρμολόγησης της διάταξης. 106

Διάταξη ακολούθου Σχήμα 4 Η επιμέρους διάταξη με ελατήριο αποτελείται από την έδρα ελατηρίου, την βάση του επίπεδου ακολούθου, τον επίπεδο ακόλουθο και το ελατήριο επαναφοράς, που χρησιμοποιείται για την συνεχή επαφή του ακολούθου με την οδηγητική καμπύλη. Τα δύο πρώτα τεμάχια είναι κατασκευασμένα από St37 και διαμορφωμένα κατάλληλα για την τοποθέτηση και την σωστή ταλαντωτική συμπεριφορά του ελατηρίου. Επιλέχθηκε υλικό GG25 για τον ακόλουθο, για να αποφευχθεί η φθορά λόγω τριβής του υλικού της οδηγητικής καμπύλης κατά την λειτουργία της διάταξης. Τέλος, επιλέχθηκε ένα χαλύβδινο ελατήριο πιέσεως, σύμφωνα με DIN 2098, διάμετρο σύρματος 2mm, μέση διάμετρο 25mm, μήκος 88,5mm και σταθερά ελατηρίου C=0.194 kp/mm. 107

Βάση διάταξης Σχήμα 5 Η βάση της διάταξης είναι μια απλή κατασκευή από υλικό St37, στην οποία βιδώνεται η διάταξη σε τέσσερα σημεία. Η βάση συγκολλείται στο τραπέζι του πειραματικού εργαστηρίου. 108

Κατάσταση τεμαχίων πειραματικής διάταξης α/α τίτλος Αρ. Σχεδίου Υλικό Ποσότητα παρατηρήσεις 1 Κάτω τμήμα έδρασης Μ.Ι.01.01 St 37 2 2 Πάνω τμήμα έδρασης Μ.Ι.01.02 St 37 2 3 Έδρα ελατηρίου Μ.Ι.02.01 St 37 1 4 Βάση ακολούθου Μ.Ι.02.02 St 37 1 5 Επίπεδος ακόλουθος Μ.Ι.02.03 GG25 1 6 Ελατήριο 2 x 25 x 88,5 ΕΜΠΟΡΙΟΥ - 1 7 Κοχλίας Μ 8 (DIN 931) ΕΜΠΟΡΙΟΥ - 4 L=30mm 8 Ροδέλα για Μ8 (DIN 125) ΕΜΠΟΡΙΟΥ - 4 9 Άξονας Μ.Ι.04.00 St 52 1 10 Ρουλεμάν 6302 ΕΜΠΟΡΙΟΥ - 2 11 Γεωμετρική μορφή καμπύλης Μ.Ι.05.00 St 52 1 12 Περικόχλιο ατράκτου ΕΜΠΟΡΙΟΥ - 1 Μ25χ1,5-ΚΜ5 13 Καπάκι (ανοιχτό) Μ.Ι.06.00 St 37 1 14 Καπάκι (κλειστό) Μ.Ι.07.00 St 37 1 15 Κοχλίας Μ4 (DIN 931) ΕΜΠΟΡΙΟΥ - 8 L=10mm 16 Κοχλίας Μ5 (DIN 912)allen ΕΜΠΟΡΙΟΥ - 4 L=30mm 17 Οδηγός-πείρος ΕΜΠΟΡΙΟΥ - 4 18 Τροχαλία ιμάντα Μ.Ι.08.00 St 52 1 19 Περικόχλιο ατράκτου Μ15χ1- ΕΜΠΟΡΙΟΥ - 1 ΚΜ2 20 Βάση διάταξης (Βάση για το Μ.Ι.09.00 St 37 1 τραπέζι) 21 Ροδέλα για Μ5 (DIN 125) - 4 22 Κοχλίας Μ5 (DIN 912)allen L=10mm ΕΜΠΟΡΙΟΥ ΕΜΠΟΡΙΟΥ - 4 109