Σ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Συστήματα αυτομάτου ελέγχου (ΙΙ) Modern Conrol Theory (η Ενότητα: Συστήματα Συνεχούς Χρόνου) Επίλυση εξισώσεων κατάστασης Διδάσκων : Αναπληρωτής Καθηγητής
Έστω το Γ.Χ.Α σύστημα που περιγράφεται από την (πινακοδιαφορική) εξίσωση κατάστασης x &( ) = Ax( ) + Bu( ) Η επίλυση της πινακοδιαφορικής αυτής εξίσωσης δίνει την τιμή της κατάστασης x() σε οπιαδήποτε χρονική στιγμή >= και κατά συνέπεια την τιμή της εξόδου y() μέσω της εξίσωσης y() = Cx() + Du() Η επίλυση της πινακοδιαφορικής εξίσωσης δίνεται από τον τύπο Ήαπότοντύπο x A A( ) ( ) = e x() + e τ Bu( τ ) dτ x( ) = e A( o) x( ) + o e A( τ ) Bu( τ ) dτ Όταν ο αρχικός χρόνος είναι ο = Όταν ο αρχικός χρόνος είναι ο = Ο πίνακας e A ονομάζεται εκθετικός πίνακας ή πίνακας μετάβασης κατάστασης. Μια άλλη ονομασία του είναι επιλυτικός πίνακας (γιατί είναι χρήσιμος στην επίλυση της εξ. Κατάστασης). Δίνεται από την ακόλουθη ανάπτυξη σε σειρά απείρων όρων k k A A e = = + + + + + k!! k! k= Επίλυση των εξισώσεων κατάστασης k k ( I A A... A...) Ή μέσω του αντίστροφου μετασχηματισμού Laplace 3 3 A A A [( si A) ] = I + A + + +... = e Οι τεχνικές επίλυσης των εξ. κατάστασης στοχεύουν στον υπολογισμό του e A - L! 3!
Τρόποι εύρεσης του e A Α. Με τη βοήθεια υπολογιστή (για κάθε χρονική στιγμή ) Χρησιμοποιώντας τη σχέση k k A A e = = + + + + + k!! k! k= k k ( I A A... A...) Για κάθε χρονική στιγμή υπολογίζω τους διαδοχικούς όρους της σειράς μέχρι και τον όρο που δεν επηρεάζει αισθητά το αποτέλεσμα Μπορεί κανείς να γράψει ένα απλό πρόγραμμα γι αυτό τον σκοπό, ή να χρησιμοποιήσει τη συνάρτηση expm του Malab. Π.χ. για τον πίνακα Α >> a=[ ; - -3]; >> =; >> expm(a*) ans = >> = ; >> expm(a*) A = 3 >> =.; >> expm(a*) ans =.999.86 -.7.736 ans =.54.7 -.34 -.987 3
Τρόποι εύρεσης του e A Β. Με τον αλγόριθμο Leverer (αναλυτική λύση) Χρησιμοποιώντας τη σχέση A - - Φ() = e =L [ Φ()] s = L ( si A) n n Υπολογίζω τον πίνακα S F+ S F +... + SFn + Fn adj(si A) Φ(S) = (SI A) = = n n S + α S +... + α S + α de(si A) n- n Από τις επαναληπτικές σχέσεις όπου ίχνος (A) = r(a) = α n = ι ι F =Ι α = -ίχνος(αf ) F =ΑF + α Ι α = -(/)ίχνος (ΑF ) : F n = ΑF n- + α n- Ι α n = -(/n)ίχνος (ΑF n ) και τελική συνθήκη F n+ = ΑF n + α n I= για έλεγχο σφάλματος Στη συνέχεια υπολογίζουμε τον αντίστροφο μετ. Laplace του πίνακα Φ(s) υπολογίζοντας τον αντίστροφο μετ. Laplace κάθε στοιχείου του Κάθε στοιχείο του πίνακα Φ(s) είναι ρητή παράσταση πολυωνιμικών όρων, η οποία θα πρέπει πρώτα να αναλυθεί σε άθροισμα μερικών κλασμάτων 4
Έστω το σύστημα Ένα παράδειγμα dv = C V d d = C Νόμος τάσεων d 3 d V() d + + = b ορίζονται : x () = ()d, x () = x & () = L() = () με x()=x =[,] και u()=v() x() & x() = + u() x() & 3 x() Με τη μέθοδο Leverer έχουμε s (s + )(s + ) (s + )(s + ) = = = Φ(S) (SI A) s+ 3 s 3 + s (s + )(s + ) (s + )(s + ) Φ() = L Φ(S) = e e e e e + e e + e x() Φ()x() Φ() e e e e = = = + 5
Ένα παράδειγμα πράγματι s - = = + + = + + s+ 3 de(si-a) de s(s 3) s 3s s β± β 4αγ 3± = = < α s= s = Άρα χαρακτηριστικό πολυώνυμο P(S)= )=S +3S+=( +=(S+)( +)(S+) +) κατά συνέπεια (leverer). SF+ F Φ(S) = (SI A) = s + 3s+ όπου F =I α = -ίχνος(af )= -ίχνος(a)= 3 3 F = AF+ αi = Α + 3Ι = και α - (AF ) = ίχνος μπορούμε ακολούθως να υπολογίσουμε το F 3 και να επαληθεύσουμε τη σχέση F 3 =Α F + α I = 6
Ακολούθως αναλύουμε το: Φ Φ Φ = lm (S λ )Φ(S) S λ s+ 3 s s lm + + = S - s = s+ s+ s+ 3 s s lm + + = S - s = s+ s+ Ένα παράδειγμα Φ(S) = Φ λ, =, =, S-λ = s+ 3 (s + )(s + ) (s + )(s + ) Δεδομένου ότι Φ(S) = s (s + )(s + ) (s + )(s + ) Άρα Φ(S) s+ s+ s+ s+ = + + s+ s+ s+ s+ Το ίδιο προκύπτει φυσικά αν κάνουμε μερική ανάλυση σε κλάσματα του κάθε όρου του πίνακα Φ(S) ξεχωριστά Φ() e e e e = L {Φ(S)} = e + e e + e 7
Ένα παράδειγμα Η λύση της ομογενούς είναι Φ() e e e e = L Φ(S) = e + e e + e και γενική λύση όπου x() = Φ()x() + Φ( λ)bu(λ)dλ ( λ) ( λ) e e Φ( λ)bu(λ)dλ = u( λ) dλ = ( λ) ( λ) e + e = λ λ e e dλ-e e dλ e + e = λ λ e e dλ + e e dλ e e και x() e x() = x() = e 8
Τρόποι εύρεσης του e A Γ. Με τη μέθοδο των ιδιοτιμών (αναλυτική λύση) βασίζεται στην διαγωνοποίηση του πίνακα Α (ή στον μετασχηματισμό του σε μορφή Jordan) και στις ιδιότητες των συναρτήσεων των πινάκων για τις οποίες ισχύουν: Αν οι πίνακες Α,Β συνδέονται μέσω του μετασχηματισμού ομοιότητας Β=ΜΑΜ - και ισοδύναμα Α=Μ - ΒΜ τότε f(α)=μ - f(β)μ και f(β)= Μ f(α) Μ - Επίσης ισχύει ότι αν ο Α block διαγώνιος ={Α, Α,, Α n } f(a) ={f(α ), f(α ),, f(α n )} Στην περίπτωση που ο Α είναι διαγώνιος = Α d = dag(λ,λ,,λ n ), η παραπάνω σχέση μας δίνει λ e L L λ e L = M O M M M O λn e L A d e Από τις σχέσεις ομοιότητας προκύπτει ότι A A = MAdM A d e = Me M Οι στήλες του πίνακα Μ είναι τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα Α Γιαναβρούμεεύκολατιςιδιοτιμέςκαιταιδιοδιανύσματαενός πίνακα μπορούμε να χρξσιμοποιήσουμε τη συνάρτηση eg του Nalab. Αλλιώς, με το χέρι 9
Τρόποι εύρεσης του e A Για τον υποπίνακα όμως Jordan ισχύει: λ L λ L J = M O M (nxn) M M O L λ n- f(λ ) f (λ ) f(λ ) L! (n-)! f(λ ) L L L f(j ) = M f(λ ) L L L! L L L f(λ ) οι παραγωγήσεις είναι ως προς λ κατά συνέπεια η e J γίνεται: e J n λ λ λ e e L e (n )! n λ λ = e L e (n )! λ L L L e
M λ M λ M K K K M K K = M λ M 4 λ M M 4 K K M K K M λ 6 M λ 7 Έστω λ J Τρόποι εύρεσης του e A τότε: e J λ λ λ e e e λ λ e e λ e = λ 4 λ 4 e e λ 4 e λ 6 e λ 7 e τότε: e A = Se J S - όπου e J ο διπλανός πίνακας και S ο πίνακας με στήλες τα ιδιοδιανύσματα και τα γενικευμένα ιδιοδιανύσματα του Α.
Ένα παράδειγμα 3η μέθοδος (Μέθοδος ιδιοτιμών) Στο παράδειγμα της δεύτερης μεθόδου: ακολουθώντας την 3η μέθοδο, έχουμε: A = 3 Και οι δύο ρίζες του χαρακτηριστικού πολυώνυμου λ = -, λ = - είναι διακριτές Βρίσκουμε την Ax =λ x (λ I-A)x = x = x x +x = x = - x. Έστω x = τότε x x Ομοίως: Ax =λ x (λ I-A)x = = x - = x +x = x = -x αν x = και x = - τοτε x = Σχηματίζουμε τον πίνακα M = [ x x =
Ένα παράδειγμα (μέθοδοσ ιδιοτιμών) M = [ x x = Πιστοποιούμε ότι dem= - AdjM και M = = dem Οπότε: - A d e = = = - e A e Me M - - - - - - -e e e -e e -e = - - - - - - e -e = -e + e -e + e 3
Τρόποι εύρεσης του e A 4η μέθοδος (Μέθοδος Cayley-Hamlon) Το θεώρημα Cayley-Hamlon λέει ότι ο πίνακας Α ικανοποιεί την χαρακτηριστική του εξίσωση, δηλαδή αν S n +α S n- + +α n = η χαρακτηριστική εξίσωση του Α τότε: Α n +α Α n- + +α n I=. Τούτο σημαίνει ότι κάθε πίνακας Α κ με κ n μπορεί να υπολογιστεί συναρτήσει πολυωνύμων πινάκων που περιέχουν δυνάμεις του Α έως και n- τάξης. κ Κατά συνέπεια: n = = κ = κ exp(a) Α C()Α κ= = όπου C (), =,, =,,,n- είναι γραμμικά ανεξάρτητες συναρτήσεις του χρόνου. Επειδή οι πίνακες Α και J συνδέονται με τον μετασχηματισμό ομοιότητας A=SJS - Αυτοί έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυμο και επομένως στις συναρτήσεις exp(a A), exp(j J) τα ίδια C (), δηλαδή: exp(j) n = C ()J = 4
Έχουμε ήδη αναφέρει τη μορφή που έχει ο exp(j J). Για την μορφή του J k δεν έχουμε παρά να υπολογίσουμε το f(j)= J k ακολουθώντας τη μορφή που έχει ο f(j). Έχουμε: κ- κ- κ κλ κ(κ-)λ λ K!! λ = κλ O! κ λ Τρόποι εύρεσης του e A κ κ J (nxn) κ- Έχοντας τις μορφές του J με J =Ι και του exp(j J) λύνουμε το σύστημα με την εξίσωση για τον υπολογισμό του C (). Έχουμε: Ομοίως: -α n I= Α n +α Α n- + + α n- Α -α n Α - = Α n- +α Α n- + + α n- Ι A = [A + α A +... + α I ] (υπολογισμός) του Α - (μπορεί να υλοποιηθεί σε Η/Υ) n n n αn Α n = -[α Α n- + + α n- Α+ α n I] Α n+ = -[ α Α n +α Α n- + + α n Α] = = -(α (α Α n- + +α n- Α+α n I)+ α Α n- + + α n Α) κ.λ.π. κ>n Α κ υπολογίζεται συναρτήσει δυνάμεων του Α όπου = n-. 5
Ένα παράδειγμα Παράδειγμα: (4η μέθοδος) AT Να υπολογισθεί ο e όπου Α = (Ο πίνακας Α είναι ήδη σε μορφή Jordan. Αν δεν ήταν θα ακολουθούσαμε την παρακάτω ανάλυση για να βρούμε τη μορφή Jordan.) Ο πίνακας Α έχει την διπλή ιδιοτιμή λ=+. Άρα n=, m=. p(b) = v = n p= B = (A λi) = (A I) = Άρα υπάρχει ένας μόνο υποπίνακας J που συνδέεται με την λ = και είναι διάστασης. Το ίδιο (δηλαδή η διάστασή του) πιστοποιείται και από το ότι: p = = n-m άρα εδώ σταματάμε και v -v = B = άρα εδώ υπάρχει ιδιοδιάνυσμα v = n p= που ανήκει στο Ν αλλά όχι στο Ν. Απόαυτόγεννιέταιαλυσίδαμήκους. Επίσης v -v =-= =. Άρα υπάρχει Ν το οποίο όμως έχει ήδη προσδιορισθεί από το προηγούμενο βήμα. Επομένως: J = 6
Ένα παράδειγμα μέθοδος Cayley Hamlon Άρα ο e A έχει ίδια C με τον e J και e J = C Ι+ C J e e C + C C = e C C + e = C + C C = e e = C = C e e κατά συνέπεια: A e e e e e e e = CI+ CA = + = e e e e 7
Τρόποι εύρεσης του e A Στην περίπτωση που ο Α έχει διακριτές ιδιοτιμές λ, λ,, λ n, τότε J=dag (λ, λ,,λ n ) και έχουμε: n exp(λ ) = C ()λ κ =,,...,n κ κ = οι παραπάνω n εξισώσεις μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον υπολογισμό των C() και μπορούν να γραφούν με τη μορφή: λ n C() e λ K λ λ n C() e λ λ V όπου V K = = πίνακας Van de Moore M M M λ n C n n () e λn K λn Έστω τώρα το παράδειγμα της μεθόδου Έχουμε: A = 3 και λ =-, λ =- C e C = e e Οπότε: V = και V = Οπότε: C = e C = e e Οπότε: e e e e exp(a) = CI + CA = + e e e + e 3e + 3e e e e e = e + e e + e 8