ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ιούνιος 2010 Επιλεγµένες απαντήσεις και σχόλια

Transcript

1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ιούνιος Επιλεγµένες απαντήσεις και σχόλια Ι.. (Σωστό-Λάθος) με επαρκή αιτιολόγηση α) Για κάθε μητρώο A μεγέθους x μπορείτε να βρείτε ένα αντιστρέψιμο μητρώο X τέτοιο ώστε ΑΧ ΧK, όπου το K είναι διαγώνιο (τα X και K είναι x). ΛΑΘΟΣ π.χ. οποιοδήποτε μητρώο [,;,] έχει μόνον ένα γραμμικά ανεξάρτητο ιδιοδιάνυσμα για τη διπλή ιδιοτιμή (οποιοδήποτε διάνυσμα του μηδενόχωρου του A-I είναι πολλαπλάσιο του [,]). ΣΗΜ. Ειδάλλως όλα τα x μητρώα θα ήταν διαγωνιοποιήσιμα, πράγμα που δεν ισχύει! β) Αν λ είναι ιδιοτιμή ενός μη διαγωνιοποιήσιμου μητρώου B, τότε το λλ 8 θα είναι πάντα ιδιοτιμή του BB 8. ΣΩΣΤΟ οι ιδιοτιμές του πολυωνύμου (εδώ p(z) z z 8 ) μητρώου είναι οι τιμές του πολυωνύμου στις ιδιοτιμές (ή έλλειψη διαγωνιοποιησιμότητας δεν επηρεάζει). Μπορείτε να το αποδείξετε και απευθείας: Αν το λ είναι ιδιοτιμή τότε υπάρχει X τέτοιο ώστε X - AX Μ όπου το M είναι μπλοκ διαγώνιο με ένα τουλάχιστον μπλοκ που είναι άνω τριγωνικό (μπορεί να είναι και βαθμωτός αν το λ είναι ιδιοτιμή με αλγεβρική πολλαπλότητα ίση με ) με τιμή λ στη διαγώνιο. Αλλά γνωρίζουμε ότι αν ένα μητρώο είναι άνω τριγωνικό και υψώσουμε σε δύναμη k, τότε τα διαγώνια στοιχεία υψώνονται και αυτά στην k και το αποτέλεσμα ακολουθεί. γ) Αν το χαρακτηριστικό πολυώνυμο ενός μητρώου είναι λλ 8, τότε το μητρώο δεν είναι αντιστρέψιμο. ΣΩΣΤΟ γιατί οι ιδιοτιμές είναι οι ρίζες του χ.κ και το παραπάνω χ.κ. έχει ρίζα το επομένως το μητρώο έχει μια ιδιοτιμή επομένως δεν είναι αντιστρέψιμο. δ) Αν τα τετραγωνικά μητρώα B και C έχουν ίδιο μέγεθος και διαγωνιοποιούνται με τον ίδιο μετασχηματισμό ομοιότητας, τότε ισχύει επίσης ότι CBBC. ΣΩΣΤΟ Αν X - BX L και X - CXM διαγώνια τότε BC X L X - X M X - X L M X - X M L X - X M X - X L X - CB καθώς LMML επειδή είναι διαγώνια. ε) Αν Α R m n και Β R n k, τότε rnk(ab) rnk(a) (όπου rnk: τάξη μητρώου). ΣΩΣΤΟ Δείχνουμε την πρόταση σε δύο βήματα: (i) rnk(ab) rnk(β) και (ii) rnk(ab) rnk(α). (Σημείωση: οι (i) και (ii) ισοδυναμούν με rnk(ab) min(rnk(a), rnk(b))) (i) Αν rnk(b)k (στήλες ανεξάρτητες), τότε προφανώς rnk(ab) min(m,k) krnk(b). Έστω τώρα rnk(b)<k, δηλ. οι στήλες του Β είναι εξαρτημένες. Υποθέτουμε ότι η στήλη j του Β[ k] (<j k) είναι συνδυασμός προηγούμενων στηλών του, δηλαδή j[ j-]c (c R (j-) ). Τότε στήλη j του ΑΒ Αj Α[ j-]c [Α Αj-]c, δηλαδή η στήλη j του ΑΒ θα είναι ο ίδιος συνδυασμός προηγούμενων στηλών του ΑΒ. Αυτό σημαίνει ότι ο Β δεν μπορεί να έχει παραπάνω στήλες οδηγών, συνεπώς rnk(ab) rnk(β). (ii) Εφαρμόζοντας τη σχέση (i) για τα B Τ και A Τ, έχουμε rnk(b Τ A Τ ) rnk(a Τ ) από την οποία προκύπτει άμεσα το ζητούμενο αφού rnk(b Τ A Τ )rnk((ab) Τ )rnk(ab) και rnk(a Τ )rnk(α).. Για καθένα από τα παρακάτω μητρώα να εξηγήσετε τί από τα παρακάτω θα συμβεί όταν τα πολλαπλασιάσουμε πάρα πολλές φορές με τον εαυτό τους (δηλ. τα υψώσουμε σε πολύ μεγάλη δύναμη). i) Οι τιμές που δεν είναι ήδη μηδέν, θα τείνουν στο. ii) Όλες οι τιμές θα τείνουν στο άπειρο. iii) Οι δυνάμεις δεν αλλάζουν το μητρώο. iv) Τίποτε από τα προηγούμενα. (A) [/5, ;, /], (B) [/, ; /, /], (C) [,, ;,, ;,, ].

2 ΑΠΑΝΤΗΣΗ: (Α) Η συνθήκη ισχύει (μητρώο τριγωνικό επομένως οι ιδιοτιμές είναι στη διαγώνιο και είναι αμφότερες μικρότερες του σε απόλυτη τιμή άρα (i). (B) Εξετάζουμε ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα του μητρώου. Οι ιδιοτιμές του [/, ; /, /] είναι α ± α αβ όπου α/ και β οπότε k k λ., λ.999. Επειδή A XΛ X k k k A λ X (:, ) Y(,:) λ X (:,) Y (,:) και επειδή < αν θέσουμε Y X τότε λ, ο δεύτερος όρος τείνει στο. Επίσης τα ιδιοδιανύσματα (δεξιά και αριστερά) που αντιστοιχούν στο λέχουν όλα τα στοιχεία τους θετικά (ειδικότερα X (:, ) ] [,.], Y(,:) [.5,5. ) οπότε αυτό ισχύει και για το εξωτερικό τους γινόμενο X(:,)Y(,: ) και επομένως ο πρώτος όρος θα τείνει στο άπειρο. Επομένως το άθροισμα των όρων τείνει στο άπειρο, άρα (ii). (C) Εύκολα διαπιστώνετε ότι αν πολλαπλασιάσετε το μητρώο με τον εαυτό του φορές όλα τα στοιχεία μηδενίζονται (το μητρώο λέγεται μηδενοδύναμο). Ἀρα (i) II. Έστω το µητρώο A[B,C;D,E] όπου B[,;,], C[-,-;-,], D[,;,], E[,;,]. ) Να υπολογίσετε την ορίζουσα του A. ) Να χρησιμοποιήσετε τη σύνθετη μορφή για να υπολογίσετε τους παράγοντες Z και G ώστε να ισχύει η ισότητα A[I,;Z,I][B,C;,G], όπου Ι είναι ταυτοτικό μεγέθους x. Προσοχή: Για πλήρη βαθμό είναι απαραίτητο να υπολογίσετε τα στοιχεία των Z και G. ΑΠΑΝΤΗΣΗ ) Το μητρώο είναι και η ορίζουσα εύκολα υπολογίζεται (συμφέρει να επιλέξετε να υπολογίσετε αναπτύσσοντας ως προς μια γραμμή ή στήλη που έχει τα περισσότερα μηδενικά) det(a) -.ΠΡΟΣΟΧΗ ο «χιαστί» υπολογισμός ορίζουσας * δεν επεκτείνεται άμεσα στη μπλοκ μορφή, δηλ. γενικά δεν ισχύει ότι det(a)det(b)det(e)-det(c)det(d) ) Από τη σύνθετη μορφή Z DB και G DB C, οπότε μετά από απλούς υπολογισμούς Z 7, G 4 4

3 III. Δίνονται 7 A και c(,, ), όπου, πραγματικές παράμετροι. ) Για ποιες τιμές των, έχει το σύστημα Axc (i) άπειρες λύσεις, (ii) καμία και (iii) μια μοναδική λύση; ) Στην περίπτωση (i) να βρεθεί ο μηδενοχώρος του A. ) Στην ίδια περίπτωση, να υπολογισθεί η γενική (πλήρης) λύση του συστήματος. Απάντηση: ) Εκτελώντας απαλοιφή στον επαυξημένο [Α ] έχουμε: [ ] [ ] d U A ) ( 4 ) ( 7 Είναι προφανώς rnk(a), συνεπώς: (iii) θα υπάρχει μια μοναδική λύση αν rnk(a) 4 α 4. (i) Θα υπάρχουν άπειρες λύσεις όταν rnk(a )rnk(α), δηλαδή για α4 και: ) ( d d (ii) Δεν θα υπάρχει καμία λύση για α4 και - (ισοδύναμα όταν rnk(a) και rnk(α )). ) Ο μηδενοχώρος N(A) αποτελείται από τις λύσεις του ομογενούς συστήματος Ux, όπου (για α4): U[,, ;, -, -;,, ]. Προφανώς είναι dim(n(a))-rnk(a). Μια βάση του δίνεται από την ειδική λύση s του Ux που προκύπτει θέτοντας x: {-x-, xx} {x-/, x/}. Επομένως s(/, -/, ) και Ν(Α) {μs / μ R}. ) Για τον υπολογισμό της γενικής λύσης, βρίσκουμε τη μερική λύση xμ του Uxd, όπου d(4, -*4, ) (4, -, ). Θέτοντας x λαμβάνουμε: x5, x-. Άρα xμ(-, 5, ). Άρα η γενική λύση xπ δίνεται: xπ (-, 5, ) μ(/, -/, ), για μ R

4 IV. ) Ποια η ανισότητα μεταξύ <u,v> και u v ; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Ανισότητα Cuchy-Schwrtz, <u,v> u v που προκύπτει από τον ορισµό του εσωτερικού γινοµένου, <u,v> u v cosθ u v (θ η γωνία µεταξύ u και v). ) Ποια η προβολή του u(,,) στο w(,,) ; ΑΠΑΝΤΗΣΗ (ww )/(w w) u (w u)/ (w w ) w 8/ w 4/ (,,) ΣΗΜ. Πολλοι που προσπαθήσατε να θυμηθείτε τον τύπο χρησιμοποιήσατε το (εντελώς λάθος) (uu )/(u u) w ή κάτι ενδιάμεσο... Είναι πάντα καλό για απλά θέματα σαν και αυτό (που έχουν προφανή γεωμετρική ερμηνεία) να αναρωτιέσται στο τέλος αν αυτό που γράφεται έχει νόημα. ) Χρησιμοποιούμε 5 διανύσματα και, με όλους τους γραμμικούς συνδυασμούς τους, παράγουμε ένα γραμμικό χώρο Χ. Τι μπορείτε να πείτε για την διάσταση του Χ; ΑΠΑΝΤΗΣΗ αφού ο χώρος παράγεται από 5 διανύσματα, η διάστασή, ας πούμε m, θα είναι m 5 (για παράδειγμα, τα 5 διανύσματα μπορεί να είναι όλα γραμμικά εξαρτημένα, οπότε m). ΣΗΜ:Δείτε και τα σχόλια στο τέλος. 4) Για συναρτήσεις που ορίζονται για x [-,], το εσωτερικό γινόμενο είναι f, g f ( x) g( x) dx. Τότε: α) Για μια συνάρτηση φ, ποιό είναι το μέτρο φ ; ΑΠΑΝΤΗΣΗ φ φ, φ φ ( x) dx ΣΗΜ Αυτό ήταν ερώτηση δώρο... οι περισσότεροι «ξέχασαν» την τετραγωνική ρίζα και φ φ, φ φ ( x) dxή φ < φ, φ > φ ( x) dx έγραψαν ότι β) Βρείτε τρεις συναρτήσεις f, f, f που αποτελούν ορθοκανονική βάση για πολυώνυμα βαθμού. Ξεκινήστε με την f(x) και βρείτε τις f, f. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Οι συναρτήσεις θα είναι f, f υπολογίζονται ως εξής: Κανονικοποιώντας το f x, f x 4 f dx επομένως το κανονικοποιημένο f / 4 και θα έχουμε ότι f α xβκαι χρησιμοποιούμε τις συνθήκες < f, f>, < f, f > οποίες προκύπτει ότι β ενώ για το α ισχύει ότι x dx άρα f x. Τέλος αν θέσουμε f γ x δx ε <, f >, < f, f >, < f, f >. Θέτουμε από τις α επομένως α / και χρησιμοποιήσουμε τους περιορισμούς f ότι γε, δ, ( x ε ) dx γ από τις οποίες προκύπτουν και οι συντελεστές γ, ε του f.

5 V. ίνεται το µητρώο A[-, -; -, -]. ) (α) Ποιές είναι οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα των AA και A A? (β) Από αυτά να υπολογίσετε μητρώα U, Σ, V όπου τα U, V ορθογώνια και Σ διαγώνιο και μη αρνητικό, τέτοια ώστε A U Σ V. ΑΠΑΝΤΗΣΗ AA [5, 5; 5, 5] και A A[,4;4,8]. Θα κάνετε τον υπολογισμό αλλά αξίζει να προσέξετε ότι αφού το A είναι τετραγωνικό, οι ιδιάζουσες τιμές του A και του A είναι ίδιες Επομένως αυτό συμβαίνει και για τις ιδιοτιμές, δηλ. οι ιδιοτιμές του AA είναι ίδιες με τις ιδιοτιμές του A A. (σημ. ότι η μόνη διαφορά μεταξύ των ιδιοτιμών των δύο αυτών αν το A δεν ήταν τετραγωνικό είναι ότι ένα από τα δύο θα έχει επιπλέον μηδενικά. Για παράδειγμα, αν το A είναι διάνυσμα στήλη n στοιχείων, τότε το A A έχει μια μόνον (τετριμμένη) ιδιοτιμή (ο ίδιος ο αριθμός) ενώ το AA έχει για ιδιοτιμές το A A και το (με αλγεβρική πολλαπλότητα n-). Επίσης φαίνεται ξεκάθαρα από τις στήλες και γραμμές των παραπάνω ότι το μητρώο A είναι πρώτης τάξης («βγάζει μάτι» το AA που έχει όλα τα στοιχεία ίδια). Επομένως είναι αναμενόμενο ότι η μικρότερη (εδώ, η δεύτερη) ιδιάζουσα τιμή θα είναι. Ας πάμε στον υπολογισμό - το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του AA είναι (5- λ)(5-λ)-5 λ(λ-) επομένως οι δύο ιδιοτιμές θα είναι και (τη δεύτερη την περιμέναμε) επομένως οι ιδιάζουσες τιμές του A είναι σ, σ. Τα ιδιοδιανύσµατατα του AA είναι οι στήλες του U και τα ιδιοδιανύσματα του A A είναι οι στήλες του V. Λύνουμε τα συστήματα (AA -I) u και AA u (εύκολο λόγω της ειδικής µορφής των µητρώων) και προκύπτει ότι 5 U. Οµοίως από τα συστήματα (A A -I) v και A A v προκύπτει ότι V. ) Από τα στοιχεία των παραγόντων U και V να εξηγήσετε ποια θα είναι η ορθοκανονική βάση για το χώρο στηλών του A u v x/ σ u v x σ v x) σ ( u ΑΠΑΝΤΗΣΗ Απευθείας γράφοντας ότι Ax U Σ V x εποµένως θα είναι η η στήλη του U (και από τους τύπους του Strng καθώς rnk(a). ) ) Επίσης να υπολογίσετε το ψευδοαντίστροφο του A (αρκεί να το γράψετε σε παραγοντοποιημένη μορφή δείχνοντας όμως ξεκάθαρα ποιές είναι οι αριθμητικές τιμές σε κάθε παράγοντα). 4) Τέλος να βρείτε το βαθμωτό σ και τα διανύσματα x και y ευκλείδειου μέτρου το καθένα ώστε να ισχύει A σ xy. uv σ uv ΑΠΑΝΤΗΣΗ (-4): A σ / γιατί σ που απαντά το () ενώ για το (4) ακολουθεί αµεσα ότι A vu [ ]. σ Προσέξτε ότι υπάρχει κάποια ελευθερία στην επιλογή προσήµων των στηλών U, V, δηλ. στην A σ( ± u)( ± v ) σ ( ± u)( ± v ) Επειδή το A έχει αρνητικά στοιχεία, επιλεξαµε το ίδιο να ισχύει για την η στήλη του V. Αυτό όµως δεν είναι υποχρεωτικό. ΒΑΣΙΚΑ ΛΑΘΗ ΣΤΑ ΟΠΟΙΑ ΕΝ ΕΠΡΕΠΕ ΝΑ ΥΠΟΠΕΣΕΤΕ. Στο ερώτηµα ΙΙ, µέρος (), ελάχιστοι χρησιµοποίησαν την πλοκαδική (µπλοκ) µορφή την οποία ζητούσε η εκφώνηση. Πέραν των άλλων, αυτό ανάγκασε αρκετούς να ξοδέψουν περισσότερο χρόνο στο ερώτηµα.

6 . Στο ερώτηµα (V) αρκετοί θεώρησαν ότι το διάνυσµα x είναι ιδιοδιάνυσµα. Έχουµε πει ότι ναι µεν αν x τότε Axλx για οποιοδήποτε λ, αλλά το τετριµµένο αυτό x δεν θεωρείται ιδιοδιάνυσµα παρόλο που χρησιµοποιείται έµµεσα όταν ορίζουµε υπόχωρους ιδιοδιανυσµάτων (ιδιοχώρους) καθώς ένας χώρος για να είναι έγκυρος υπόχωρος πρέπει να περιέχει το. Αυτό όµως είναι άλλο θέµα.... Στο ερώτηµα Ι. όπου έπρεπε να διερευνηθεί η συµπεριφορά µεγάλων δυνάµεων µητρώων, ναι µεν είναι καλό να παρακολουθήσετε τη συµπεριφορά µε µερικούς πολλαπλασιασµούς (τα µητρώα ήταν µικρά και απλά άρα εφικτό) αλλά πολλές φορές αυτό δεν αρκεί, µάλιστα µπορεί να είναι παραπλανητικό. Κλειδί στις περισσότερες περιπτώσεις είναι οι ιδιοτιµές. 4. ΣΤΟΧΟΣ ΕΙΝΑΙ ΝΑ ΦΘΑΣΕΤΕ ΣΤΟ ΣΗΜΕΙΟ ΝΑ ΘΕΩΡΕΙΤΕ ΤΑ ΠΑΡΑΚΑΤΩ «ΑΠΑΡΑ ΕΚΤΑ»:. ΑΛΦΑ-ΒΗΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ: Να νοµίζετε ότι «αν το γινόµενο δύο µητρώων είναι τότε ένα από τα δύο µητρώα πρέπει να είναι». Αυτό ισχύει στην αριθµητική των πραγµατικών και µιγαδικών, όχι όµως για διανύσµατα και µητρώα (αλλοιώς δεν θα είχαµε και την έννοια της ορθογωνιότητας).... Να µην γνωρίζετε πως αν δοθούν k διανύσµατα από τον R n ότι ο χώρος που παράγεται από τους γραµµικούς συνδυασµούς τους είναι ένας διανυσµατικός υπόχωρος του R n διάστασης το πολύ k και όχι ο R k ή κάτι αντίστοιχο. c. ΑΛΦΑ-ΒΗΤΑ ΛΥΚΕΙΟΥ: Να νοµίζετε, όπως έγραψαν αρκετοί στη διαδικασία εύρεσης ιδιοτιµών, ότι το x- είναι η µοναδική (πολλαπλή µε πολλαπλότητα n) ρίζα της εξίσωσης x n...

7