ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες

Transcript

1 Τύποι - Βασικές έννοιες Όρια - Συνέχεια 37. ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Με τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήματος διευκολύνεται ο υπολογισμός ορίων (άλγεβρα ορίων): Αν τα όρια lim f () και lim g() υπάρχουν και είναι πραγματικοί αριθμοί τότε : lim f() + g() = lim f() + lim g() lim k f () = k lim f (), k R lim f () g() = lim f () lim g() ν ( ) lim f () = lim f (), ν Ν με v f lim f () lim =, lim g() g lim g() ν lim f () = lim f () ν lim f () ν lim f () με f() = κοντά στο, v Nμε v.

2 38. Όρια - Συνέχεια Τύποι - Βασικές έννοιες Ορισμός Μια συνάρτηση f ονομάζεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, αν και μόνον αν, ισχύει : lim f = f ( ) Ορισμός Μια συνάρτηση f ονομάζεται συνεχής (στο πεδίο ορισμού της), αν και μόνον αν, είναι συνεχής σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της. Συνέχεια βασικών συναρτήσεων - Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση είναι συνεχής στο R. - Κάθε ρητή συνάρτηση είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της - Οι συναρτήσεις ημ, συν είναι συνεχείς στο R. - Οι συναρτήσεις e, α, ln, log είναι συνεχείς στο πεδίο ορισμού τους, με < α. Πράξεις με συνεχείς συναρτήσεις Αν οι συναρτήσεις f και g είναι συνεχείς σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού τους, τότε και f k οι συναρτήσεις: f + g, f g, λ f( λ R ), ( g ), f, f ( f ), κ Νμε g κ είναι συνεχείς στο. Θεώρημα Bolzano (Θ.Β.) Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν: η f είναι συνεχής στο [α,β] και f (α). f (β) <, f = τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον αβ τέτοιο ώστε δηλαδή υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης f = στο (α,β). Γεωμετρική ερμηνεία Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη μεταξύ των α και β (σχ.). Θεώρημα ενδιάμεσων τιμών (Θ.Ε.Τ) Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν ισχύουν ότι: η f είναι συνεχής στο [α,β] και f α f β τότε για κάθε αριθμό n μεταξύ των f(α), f(β) υπάρχει ένα τουλά- α,β f = n. χιστον τέτοιο ώστε

3 Τύποι - Βασικές έννοιες Όρια - Συνέχεια 39. Γεωμετρική ερμηνεία Η ευθεία y = n όπου n μεταξύ των f ( α ), f ( β ) τέμνει τη γραφική παράσταση της f τουλάχιστον σε ένα σημείο με τετμημένη μεταξύ των α και β. Θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής Αν f είναι συνεχής συνάρτηση στο [α,β] τότε η f παίρνει στο [α,β] μέγιστη τιμή Μ και ελάχιστη, α,β m= f και M = f οπότε: τιμή m, δηλαδή υπάρχουν [ ] τέτοια ώστε = =, για κάθε [ α,β] m f f f M. Ευρεση συνόλου τιμών Όπως ήδη αναφέρθηκε στο πρώτο σχόλιο είναι φανερό ότι το σύνολο τιμών μιάς συνεχούς συνάρτησης f ορισμένης σε κλειστό [ α, β ] είναι το f ( α ),f( β) f β,f α αν η f είναι φθίνουσα. αν η f είναι αύξουσα και Αν η f είναι συνεχής στο ανοιχτό ( α,β ) τότε το σύνολο τιμών της στη περίπτωση που είναι ( + ) α β γνησίως αύξουσα είναι f ( A) im f ( ), im f γνησίως φθίνουσα είναι f( A) = imf( ), imf = ενώ στη περίπτωση που είναι ( + β α ) Αν τέλος, η f είναι συνεχής και ορισμένη στα [ α,β ) ή ( α,β ] τότε (αν f γνησίως αύξουσα) + β α. Ενώ (αν f γνησίως φθίνουσα) το σύνολο τιμών της είναι f( A) = ( imf( ),f( α) ή β f ( β,imf ) ( + )). α το σύνολο τιμών της είναι: f ( A) = f( α, ) imf( ) ή f( Α) = imf(, ) fβ (

4 4. Όρια - Συνέχεια Βήμα ο C C f f µµ Oy. y µ Oy µ µ f µ C C f f µ µ. f y f ( y), µ M (, ) C f, µ (, ) C f -. µ, µ, µµ µ Oy µ : Oy.

5 Βήμα ο Όρια - Συνέχεια 4. C C f f µµ Oy. y µ Oy µ f, µ µ [, ]. : f [, ] f ( ) f ( ), µ µ f ( ) f ( ), (, ), f ( ) µ ( ) f ( ) f ( ). f ( ) f ( ) (. µ ). µ g f, [, ], µ : g [, ] g ( ) g( ), g( ) f ( ) g ( ) f ( ). µ, µ µ µ Bolzano, - (, ), g ) f ( ), f ( ). (

6 Βήμα 3 ο Όρια - Συνέχεια 45.. Να βρεθεί το όριο: Λύση: Για κάθε : im = = ( ) 4 ( ) = = = ( + + ) 4 = = = = = Άρα: im + + = im = ( )( ) = = 4

7 46. Όρια - Συνέχεια Βήμα 3 ο + ( + α) f =. Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α, β αν imf = β.. Θεωρούμε συνάρτηση Λύση: Η f() ορίζεται για [,) (, + ). Επίσης: + + α α f = = + + ( + α) + ( + α) + 4α 4α = = = ( α) ( α) ( 4α 4α ) =. Δηλαδή: ( α) Άρα: f ( α) = 4α + 4α Τότε: [ ] im f α = im 4α + 4α ή β = + 4α α= 4 4α 4α f = α () Από τη σχέση (), για α = έχουμε: f = Άρα: 4 4 β= imf = im = = Έστω z C, z και f:r R συνεχής συνάρτηση. Αν τα επόμενα όρια: zf 4 4 im και αριθμοί, να δείξετε ότι υπάρχει ξ [,] zf + im, υπάρχουν και είναι πραγματικοί τέτοιο ώστε f () ξ =.

8 Βήμα 3 ο Όρια - Συνέχεια 47. Λύση: Έστω zf 4 4 g = () Σύμφωνα με την εκφώνηση το img υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός. Επειδή η συνάρτηση f είναι συνεχής και η συνάρτηση zf 4 είναι επίσης συνεχής,αφού zf 4 = ( f 4) + y f όπου z = + yi με,y R. Από την () παίρνουμε: zf 4 = g + 4 οπότε im zf 4 = im g + 4 = 4 Άρα zf() 4 = 4 (), αφού η zf 4 είναι συνεχής στο. Αν z = α+ βi η σχέση () γράφεται: ( αf() 4) + f() β = 4 f() α f() 8α+ f() β = Τότε ( f() =, άρα ξ= ) ή αf() 8α+ f() β = οπότε: 8α f() = () 3 α + β 4. Έστω συνάρτηση f:r R για την οποία ισχύει: f κάθε R. Δείξτε ότι η f είναι συνεχής στο. Λύση: Για κάθε R, f = (αφού f ( ) + δηλαδή για κάθε R, f. Όμως: im =, im = = f +, για f +, για κάθε R ) Άρα σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής θα ισχύει: imf = () Επίσης από την σχέση της υπόθεσης έπεται ότι: f() = = f + Από τις () και () συμπεραίνουμε ότι η f είναι συνεχής στο. () ()

9 48. Όρια - Συνέχεια Βήμα 3 ο 5. Έστω συνάρτηση f :[ α,β] R με α < συνεχής και τέτοια ώστε: + + = ( ) f α f β f α f β α,β :f = Να δείξετε ότι υπάρχει Λύση: Η σχέση της υπόθεσης γίνεται: f α f β f α f β + + = f α + f β + + f α + f β = f α = ( f ( α) ) + ( f() β + ) = και f () β = Θεωρούμε τη συνάρτηση g = f, [ α,β] Για την g παρατηρούμε ότι: g συνεχής στο [α,β] ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων g( α) = f( α) α = α >, αφού α < g β = f β β = β = β + < () () Άρα σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano: α,β :g = f = f = υπάρχει 6. Να βρείτε τη συνεχή συνάρτηση f:r R Λύση: Για κάθε R: f f με f() > ώστε: f f =, για κάθε R. = + = + f f ( ) f = + () Επομένως και f για κάθε R. Θεωρούμε τη συνάρτηση g = f, R: Για τη g παρατηρούμε ότι: g συνεχής στο R g για κάθε R

10 Βήμα 3 ο Όρια - Συνέχεια 49. g= f > συμπεραί- Επομένως η g διατηρεί πρόσημο στο R και επειδή () () νουμε ότι g >, για κάθε R δηλ. f υποθ. >, για κάθε R. Οπότε λόγω και της () έπεται ότι: f = +, για κάθε R ή ισοδύναμα f = + +, για κάθε R. 7. Έστω f:r R συνεχής συνάρτηση ώστε f() > και f, για κάθε R. Δείξτε ότι: i. f >,για κάθε R. ii. imf ( ) =+ Λύση: i. Θεωρούμε τη συνάρτηση g f g συνεχής στο R, g για κάθε R =, R.Για τη g παρατηρούμε ότι: Επομένως η g διατηρεί πρόσημο στο R και επειδή g () = f () υποθ. >συμπεραί- νουμε ότι g >, για κάθε R, δηλαδή f >, για κάθε R ή f >, για κάθε R ii. Είναι φανερό ότι: για κάθε R, f > και άρα < f <, για * κάθε R. Όμως: im =, im = και επομένως σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής θα έχουμε: im =, οπότε im =+ (αφού >, για κάθε f f( ) R ) f =+. δηλαδή im f 8. Έστω f:r R συνεχής συνάρτηση και τέτοια ώστε < f < +, για κάθε R. Δείξτε ότι: f( R) = R.

11 5. Όρια - Συνέχεια Βήμα 3 ο Λύση: Αρκεί προφανώς να δείξουμε ότι κάθε πραγματικός αριθμός κ είναι τιμή της f. R:f = κ Δηλαδή ότι υπάρχει Προς τούτο θεωρούμε τη συνάρτηση g = f κ, R για την οποία παρατηρούμε ότι: g συνεχής στο [ κ,κ] R υποθ. g κ = f κ κ < κ + κ = υποθ. g κ = f κ κ > Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano: κ,κ R:g = f κ = f = κ ο.ε.δ. υπάρχει 9. Αν για τη συνάρτηση f:r R R Λύση: ισχύει f() = και * να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο. Από τη σχέση της υπόθεσης έπεται ότι: ( )( ) * ή f < για κάθε R, δηλ. f < για κάθε * Oπότε f <, για κάθε R. Άρα f * ή ισοδύναμα < f <, για κάθε R. Όμως: - im( ) im = =, f <, για κάθε f + f f + <, για κάθε R *. R <, για κάθε R Άρα σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής θα ισχύει: imf = () Όμως εξ υποθέσεως είναι f() = () Εκ των () και () έπεται ότι η f είναι συνεχής στο. * *. Έστω f :[ α,β] ένα [ α,β] R συνεχής συνάρτηση. Δείξτε ότι υπάρχει τουλάχιστον τέτοιο ώστε: f( ) f +, για κάθε [ α,β].

12 Βήμα 3 ο Όρια - Συνέχεια 5. Λύση: Η f ως συνεχής στο κλειστό διάστημα [α,β] θα παίρνει μέγιστη τιμή σ αυτό (θεώρημα μέγιστης - ελάχιστης τιμής). Δηλαδή θα υπάρχει τουλάχιστον ένα [ α,β] τέτοιο ώστε: f f( ), για κάθε [ α,β] ή ισοδύναμα f f( ), για κάθε [ α,β] f f( ) Οπότε, για κάθε [ α,β]. +. Έστω f:r R. συνάρτηση και τέτοια ώστε f() < f() < f() 3. Δείξτε ότι η f δεν είναι συνεχής. Λύση: Ισχυριζόμαστε ότι η f είναι συνεχής στο R. Από τις υποθέσεις του προβλήματος έπεται ότι: f συνεχής στο[,3] R f f() 3 f() ( f( ),f() 3) Αρα σύμφωνα με το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών υπάρχει f" " (),3 :f = f =, που είναι άτοπο. Άρα η f δεν είναι συνεχής στο R..Έστω f συνεχής στο R και τέτοια ώστε να ισχύει: f ( + ) + f = ( ),για κάθε R, f f() Λύση: Nα δείξετε ότι υπάρχει ξ (, ) τέτοιο ώστε f () ξ f ( ξ ) = +. θεωρούμε g = f f( + ), που είναι συνεχής στο [, ] και ισχύουν: g = f f και g = f f( 3). Όμως για f + f = f = f. Για = έχουμε από την (): f() 3 + f() = f() 3 = f() = από την () έχουμε : Άρα g = f + f() = f f() και g g = f f () < Άρα σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει ξ στο (,) τέτοιο ώστε: f () ξ f( ξ+ ) = f() ξ = f( ξ+ )

13 5. Όρια - Συνέχεια Βήμα 3 ο 3. Αν f συνεχής στο [, 4 ], τότε υπάρχει: Λύση: ξ (, 4 ): 9f () ξ = f () + 3f () + 4f () 3 Αφού η f είναι συνεχής στο διάστημα [, 4 ] έχει μέγιστο και ελάχιστο δηλ. υπάρχουν, [,4] τέτοια ώστε: f( ε) f f( μ), [,4] Άρα: ε μ ( ε) ( μ) ( ε) ( μ) ( ε) ( μ) f f f f f f f f 3 f Με πρόσθεση κατά μέλη παίρνουμε : ( ε) ( μ) ( ε) ( μ) ( ε) ( μ) f f f 3f 3f 3f 4f 4f 3 4f ( ε) ( μ) 9f f + 3f + 4f 3 9f f( ) ε () + + () f 3f 4f 3 9 ( μ) f Σύμφωνα με το Θεώρημα Ενδιάμεσων τιμών υπάρχει ξ (,4) τέτοιο ώστε: f () + 3f + 4f () 3 f () ξ = 9f () ξ = f () + 3f + 4f () Αν f:r R και για κάθε, δειχθεί ότι η f είναι συνεχής και να βρεθεί το Λύση: Με =, = έχουμε: R είναι f( ) f( ) ( ) να f f( 3) lim f f f f και επειδή lim = lim =, συμπεραίνουμε από το κριτήριο παρεμβολής ότι = = lim f f lim f f. Επειδή το είναι τυχαίο στοιχείο του R η f συνεχής σε κάθε R. Ομοίως με =, = 3έχουμε:

14 Βήμα 3 ο Όρια - Συνέχεια 53. f f( 3) f f( 3) f f( 3) lim + 3 = lim + 3 = συμπε- f f( 3) ραίνουμε ότι: lim = Θεωρούμε συνάρτηση f:r R και επειδή [ ] τέτοια ώστε : f + f = k, k > α. Να δειχθεί ότι η f είναι. f f β. Να δειχθεί ότι η f είναι συνεχής και να βρεθεί το lim. Λύση: α. Έστω f( ) = f( ) f 3 ( ) = f 3 ( ) Επομένως: 3 3 = f( ) f = f f με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε: f + f = f + f k = k = 3 3 που σημαίνει ότι η f είναι β. Απο τις σχέσεις: f + f = k και f + f = k με αφαίρεση κατά μέλη,παίρνουμε: f 3 f 3 ( ) + f f( ) = k( ) f f f + f f + f + f f = k () f f f + f f + f + = k αλλά f + f f + f > (τριώνυμο ως προς το f() με αρνητική διακρίνουσα). Οπότε f( ) f k( ) = f + f f + f + k( ) k f f = = k f + f f + f + k f f k

15 54. Όρια - Συνέχεια Βήμα 3 ο και επειδή lim k = lim k = σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής θα είναι και = = lim f f lim f f Επειδή η f είναι συνεχής στο τυχαίο θα είναι συνεχής στο R. Απο τη σχέση () έχουμε: f f k = () f + f f + f + Επειδή η f είναι συνεχής στο R άρα και στο το ο μέλος της () μας δίνει: lim f ( ) + f ( ) f ( ) + f ( ) + k k k = = f + f f + f + 6f + Άρα από () έχουμε: = f f k lim = 6f + (για = έχουμε:) f f k lim = 6f () +

16 Βήμα 4 ο Όρια - Συνέχεια 55. f. Αν lim = 5, lim g ( + ) = 3, να βρεθεί το : lim f g. Δίνεται η συνάρτηση f α + β, = + + > β α,.αν υπάρχει το limf και η γραφική παράσταση της f περνά απο το σημείο Α(,) να βρεθούν οι τιμές των α και β.

17 56. Όρια - Συνέχεια Βήμα 4 ο 3. Αν f α+ + β 4 = και lim f = να βρεθούν οι αριθμοί 3 α,β R 4. Να βρεθούν τα παρακάτω όρια: α. lim β. lim lim γ. + lim δ.

18 Βήμα 4 ο Όρια - Συνέχεια Να βρεθούν τα όρια των παρακάτω συναρτήσεων: 4. f = ημ, όταν και όταν ± 4 5. f = ημ, όταν και όταν ± 3 3. f = ημ, όταν και όταν ± 6 6. Να βρεθούν τα όρια των συναρτήσεων: f ( ) =, όταν e f ( ) = 5, όταν

19 58. Όρια - Συνέχεια Βήμα 4 ο 7. Να προσδιοριστούν οι αριθμοί α,β R ώστε: + + = 3 lim α+β + 8. Να προσδιοριτεί ο α ώστε η συνάρτηση f = α να έχει όριο καθώς και να βρεθεί η τιμή του ορίου. 9. Έστω α R, f :R R με: α. ( f f) = 4+ 3 και β. ( f f f) = 8+ α για κάθε R. Βρείτε το α R και τη συνάρτηση f.

20 Βήμα 4 ο Όρια - Συνέχεια 59.. Έστω f:r Rτέτοια ώστε για κάθε R 3 : f + 3f = + 3 Δείξτε ότι: α. η f είναι -, β. υπάρχει η f την οποία να βρείτε.. Δίνονται οι συναρτήσεις f,g:r R. Δείξτε ότι: α. Αν f, g είναι - τότε η gof είναι - β. Αν f, g είναι αντιστρέψιμες τότε η gof είναι αντιστρέψιμη και g f = f g

21 6. Όρια - Συνέχεια Βήμα 4 ο. Θεωρούμε τη συνάρτηση f:r R κάθε R, δείξτε ότι: τέτοια ώστε ( f f) = + για α. f()= β. η συνάρτηση g = + f δεν είναι - 3. Δίνεται η συνάρτηση f:r R γνήσια αύξουσα στο R, τέτοια ώστε ( f f) = για κάθε R. Δείξτε ότι f =. 4. Έστω f:r R και lim ( f ) = να βρεθούν αν υπάρχουν τα όρια: +

22 Βήμα 4 ο Όρια - Συνέχεια 6. α. lim f ( ) + β. f + lim + + f ( ) 5. Βρείτε τα α,β,γ R έτσι ώστε: = γ 3 α β lim 3 6. Να βρεθεί το πολυώνυμο Ρ() και το α R αν: lim f ( ) =, lim f ( ) =, limf = 3 και f() = α όπου f =. P

23 6. Όρια - Συνέχεια Βήμα 4 ο 7. Δίνεται η συνάρτηση f = α + β βρείτε τα α,β R έτσι ώστε: lim f = 8. Δίνεται η συνάρτηση f:r R f ημ με limf = f και για κάθε R α. Βρείτε το f(). α + α -β+β -f () β. Αν g( ) =, α,β R. Βρείτε το limg.

24 Βήμα 4 ο Όρια - Συνέχεια Έστω f:r R συνεχής στο =. Αν f lim = 3 f f α. Βρείτε το f(). β. Βρείτε το lim.. Δίνονται f,g:[ α,β] R συνεχείς, με f ([ α,β] ) g( [ α,β] ) υπάρχουν ξ,ξ [ α,β] τέτοια ώστε =. Δείξτε ότι gof ξ fog ξ = ξ ξ.. Δίνεται η συνάρτηση = + με f f α α α α α. Δείξτε ότι η f είναι συνεχής. β. Δείξτε ότι η f είναι γνήσια μονότονη. γ. Λύστε την εξίσωση α + α α = α. δ. Βρείτε το σύνολο τιμών της f. < α, Α = R

25 64. Όρια - Συνέχεια Βήμα 4 ο. Δίνονται οι συναρτήσεις: f = α, g = με < α <. α. Μελετήστε τις f, g ως προς τη μονοτονία. β. Δείξτε ότι οι C f, C g έχουν μοναδικό σημείο τομής. 3. Δίνεται συνάρτηση f :[ α,β] R συνεχής και τα σημεία A α,f ( α ), Ββ,fβ ( ) τα οποία είναι σημεία τομής της C με την διχοτόμο της ης γωνίας των αξόνων. Δείξτε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ( α,β) έτσι f ώστε: () () f ξ β f ξ α = ξ α ξ β

26 Βήμα 4 ο Όρια - Συνέχεια Έστω f :[ α,β] R συνεχής. Αν για κάθε [ α,β] υπάρχει y [ α,β] τέτοιο ώστε f( y) f, να αποδειχθεί ότι υπάρχει ξ [ α,β] ώστε f ( ξ) =. τέτοιο

27 66. Όρια - Συνέχεια Βήμα 5 ο Θέμα ο Α.α. Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β] και f (α) f (β) αποδείξτε ότι, για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και f(β) υπάρχει ένας τουλάχιστον (α,β) τέτοιος ώστε: f ( ) n (Μονάδες 4) β. Ποιο είναι το σύνολο τιμών της f = όταν (,) (Μονάδες ) Β. Αντιστοιχίστε σε καθένα από τα γράμματα Α,Β,Γ,Δ έναν αριθμό ώστε καθένα από τα σχήματα της πρώτης στήλης να ταιριάξει με τις κατάλληλες σχέσεις της δεύτερης στήλης.

28 Βήμα 5 ο Όρια - Συνέχεια 67. Στήλη Α Στήλη Β. im f f ( ) = im f +. im f = im f f ( ) + 3. im f = f ( ) im f + 4. im f im f f ( ) + A B Γ Δ (Μονάδες ) Β. Να χαρακτηρίσετε τις επόμενες προτάσεις με την ένδειξη Σ (Σωστό) ή Λ (Λάθος). α. Αν για μια συνεχή συνάρτηση στο (α,β) ισχύουν: im f () =, im f () = +, + α β τότε η f έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (α,β). (Μονάδες 3) β. Αν η f είναι συνεχής στο [-,] και f(-)=, f()=5, τότε υπάρχει πραγματικός (,), τέτοιος ώστε f = π. (Μονάδες 3) γ. Αν im f () =, im f () = +, τότε το πεδίο τιμών της f είναι το (, + ) + α β (Μονάδες 3)

29 68. Όρια - Συνέχεια Βήμα 5 ο Θέμα Α. Έστω f, g συναρτήσεις συνεχείς στο [α,β] και τέτοιες ώστε f () α < g() α, f () β > g() β. Να αποδείξετε ότι οι καμπύλες με εξισώσεις y = f, y = g τέμνονται τουλάχιστον σε ένα σημείο με τετμημένη ( α,β) (Μονάδες 5) Β. Σε ποιό από τα παρακάτω διαστήματα μπορούμε να ισχυριστούμε ότι υπάρχει 3 σίγουρα λύση της εξίσωσης = + Α. (, ) Β. (, ) Γ. (,) Δ. (, ) Ε. (, 3) (Μονάδες ) Θέμα 3 Α. Να προσδιορίσετε τα,β R Β. Με βάση το διπλανό σχήμα το α ώστε im ( 9 α β) + + im είναι ίσο με: f = (Μονάδες 5) Α. + Β. Γ. Δ. Ε. (Μονάδες )

30 Βήμα 5 ο Όρια - Συνέχεια 69. Θέμα 4 Το ποσοστό επί τοις εκατό του τιμάριθμου μιας χώρας μετά από t χρόνια, δίνεται t + 45 από τον τύπο: f () t =, t. t + 5 α. Πόσο είναι σήμερα ο τιμάριθμος; β. Να εξετάσετε αν στο μέλλον ο τιμάριθμος θα αυξηθεί ή θα μειωθεί. γ. Ποιός θα είναι ο τιμάριθμος μετά από πάρα πολλά χρόνια αν το ποσοστό επί τοις εκατό συνεχίζει να εκφράζεται από τον παραπάνω τύπο; (Μονάδες 5)