Η ΚΥΜΑΤΟΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΘΕΣΗΣ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΟΡΜΗΣ p. Θα βρούμε πρώτα τη σχέση που συνδέει την p με την x. x ΚΑΙ ΣΤΗΝ Έστω η κατάσταση του συστήματός μας μια χρονική στιγμή t 0, που, χωρίς βλάβη της γενικότητας, μπορούμε να θεωρήσουμε χρονική στιγμή μηδέν, δηλαδή t0 0. Ορίζουμε x x : η κυματοσυνάρτηση στην αναπαράσταση θέσης x x χρονική στιγμή t 0. Βλέπουμε ότι η είναι η προβολή της κατάστασης στο τυχαίο ιδιοδιάνυσμα x του τελεστή της θέσης ˆx, τη x (στην αναπαράσταση θέσης). Επειδή ο τελεστής της θέσης είναι ερμιτιανός, τα ιδιοδιανύσματά του αποτελούν βάση στον χώρο των καταστάσεων του συστήματός μας, που όπως ξέρουμε είναι ένας χώρος Hilbert. p p : η κυματοσυνάρτηση στην αναπαράσταση ορμής,, τη Ορίζουμε t. Βλέπουμε ότι η p χρονική στιγμή 0 είναι η προβολή της κατάστασης στο τυχαίο ιδιοδιάνυσμα του τελεστή της ορμής ˆp p (στην αναπαράσταση ορμής). Επειδή ο τελεστής της ορμής είναι ερμιτιανός, τα ιδιοδιανύσματά του αποτελούν βάση στον χώρο των καταστάσεων του συστήματος που εξετάζουμε. d Θυμίζουμε ότι στην αναπαράσταση θέσης x, είναι ˆx x, pˆ i, ενώ στην dx d αναπαράσταση ορμής p, είναι ˆp p, xˆ i. Όπως μπορούμε να δούμε dp εύκολα, και στις δύο αναπαραστάσεις ισχύει ότι xˆ, pˆ i. Η τελευταία σχέση είναι μια τελεστική σχέση, δηλαδή δεν εξαρτάται από τη συγκεκριμένη αναπαράσταση. Με άλλα λόγια, ισχύει σε κάθε αναπαράσταση. p x. Θέλουμε τώρα να συνδέσουμε την με την ˆ, είναι η σχέση πληρότητας των ιδιοδιανυσμάτων (διανυσμάτων βάσης) x όπου x p είναι τα ιδιοδιανύσματα του τελεστή της ορμής στην * p p p dx x x dx x dx x αναπαράσταση θέσης, οι ιδιοσυναρτήσεις της ορμής στην αναπαράσταση θέσης. * Έτσι p dx x p x Θα υπολογίσουμε τώρα τις ιδιοσυναρτήσεις. Είναι pˆ p p p x pˆ p x p p p pˆ x p x pp x Εξίσωση ιδιοτιμών του τελεστή της ορμής Ο τελεστής της ορμής στην αναπαράσταση θέσης
όχι ταυτοτικά μηδενική, αλλιώς δεν θα ήταν ιδιοσυνάρτηση. d p x ip p x ip i p x p dx dx dx d ln dx c d ln p x c ln p x c dx c p x c e e e Ae A0 Παρατηρούμε ότι οι ιδιοσυναρτήσεις Ae δεν είναι τετραγωνικά ολοκληρώσιμες στο. Πράγματι, είναι A0 A 0 dx A dx A x A A Πώς, λοιπόν, θα υπολογίσουμε τη σταθερά A ; Μπορούμε να υπολογίσουμε τη σταθερά A από τη συνθήκη ορθογωνιότητας των ιδιοσυναρτήσεων. Εφόσον ο τελεστής της ορμής είναι ερμιτιανός, τα μη εκφυλισμένα ιδιοδιανύσματά του είναι μεταξύ τους κάθετα. Παρατηρούμε ότι μία τυχαία τιμή της ορμής p ορίζει μονοσήμαντα μία τυχαία ιδιοσυνάρτηση, επομένως δεν υπάρχει εκφυλισμός. Επειδή το φάσμα του τελεστή της ορμής είναι συνεχές, η σχέση ορθογωνιότητας των ιδιοσυναρτήσεών του,, γράφεται Συνθήκη ορθογωνιότητας στο συνεχές φάσμα p p p p p p p p p dx x x p dx p x x p i p i p * * dxp x dxa e Ae A dxe p p A dxe Για να προχωρήσουμε, θα χρησιμοποιήσουμε μια από τις ολοκληρωτικές αναπαραστάσεις της συνάρτησης δ, συγκεκριμένα τη σχέση i p px p p dxe Σημειώστε ότι οι στην τελευταία σχέση οι μεταβλητές x, p δεν είναι εν γένει η ορμή και η θέση, είναι δύο τυχαίες μαθηματικές μεταβλητές. Επίσης, επειδή το εκθετικό πρέπει να είναι αδιάστατο, οι μεταβλητές αυτές θα πρέπει να έχουν αντίστροφες διαστάσεις. x = x, θα είναι Επειδή η συνάρτηση δ είναι άρτια, δηλαδή i p p p p p dxe i p px Επομένως dxe A dxe Σημειώνουμε ότι οι μεταβλητές στο δεξιό ολοκλήρωμα είναι θέση και ορμή, αντίθετα με το αριστερό ολοκλήρωμα που δεν είναι, αφού, όπως είπαμε, πρέπει να έχουν αντίστροφες διαστάσεις ώστε το εκθετικό να είναι αδιάστατο. i p p x
Για να φέρουμε το δεξιό ολοκλήρωμα στη μορφή που είναι το αριστερό, ώστε να τα απαλείψουμε και να υπολογίσουμε τη σταθερά A, κάνουμε αλλαγή μεταβλητής, συγκεκριμένα x x dx dx dx dx. Τα όρια ολοκλήρωσης δεν αλλάζουν, αφού 0, οπότε θα έχουμε x x i p px i p px i p px i p px dxe A dxe A dxe A dxe i p i p dxe A dxe A A Επειδή οι κυματοσυναρτήσεις έχουν συμμετρία φάσης, δηλαδή όταν δύο i κυματοσυναρτήσεις διαφέρουν κατά μια αυθαίρετη μιγαδική φάση e, είναι κβαντομηχανικά ισοδύναμες, μπορώ να επιλέξω η σταθερά A να είναι πραγματική, δηλαδή A. Επομένως e. Η τελευταία εξίσωση μάς δίνει τις ιδιοκαταστάσεις (ιδιοσυναρτήσεις) της ορμής στην αναπαράσταση θέσης x, στη μία διάσταση. p dx x dx x e Έτσι, λοιπόν, * p dx x e () Αυτή είναι η σχέση που συνδέει την κυματοσυνάρτηση στην αναπαράσταση ορμής με την κυματοσυνάρτηση στην αναπαράσταση θέσης, στη μία διάσταση. Με την ίδια λογική, στις τρεις διαστάσεις θα είναι p d r r e όλος ο χώρος ipr () p r για κάθε μία χωρική διάσταση e ipr, οπότε Οι σχέσεις () και (), που μας δίνουν την κυματοσυνάρτηση στην αναπαράσταση ορμής συναρτήσει της κυματοσυνάρτησης στην αναπαράσταση θέσης, στη μία και στις τρεις διαστάσεις αντίστοιχα, παριστάνουν μετασχηματισμούς Fourier. Οι αντίστροφοι μετασχηματισμοί Fourier x dp pe () r d p p e και όλος ο χώρος p ipr (4),
μάς δίνουν την κυματοσυνάρτηση στην αναπαράσταση θέσης συναρτήσει της κυματοσυνάρτησης στην αναπαράσταση ορμής, στη μία και στις τρεις διαστάσεις αντίστοιχα. Ακολούθως, θα περιοριστούμε στη μία διάσταση και θα αποδείξουμε τη σχέση () με δύο τρόπους: i) με τον τρόπο που αποδείξαμε τη σχέση () και ii) με ευθεία απόδειξη, δηλαδή ξεκινώντας από τη σχέση (). Η απόδειξη στις τρεις διαστάσεις γίνεται παρόμοια. i) Ορίσαμε x x. Επομένως θα έχουμε x x x ˆ x dp p p d p p dp p x p p px ˆ, είναι η σχέση πληρότητας των ιδιοκαταστάσεων της ορμής x dp p Όμως, βρήκαμε ότι e. Επομένως x dp pe, που είναι η σχέση (). ii) Ξεκινώντας από τη σχέση (), θα έχουμε p dx xe dpe p dpe dx xe Αλλάζω τη σειρά ολοκλήρωσης dpe dx xe dx x dpe e ixx p dx x dpe dpe p dx x dpe Επομένως Όμως Άρα i xx p iaat p aa dte p i xx p i x x p ix x p dpe dp e dpe x x dpe p dx x x x dx x x x
x dpe p x x dpe p x dp pe Ας δούμε πάλι την x και την p, που είναι η σχέση ()., αυτήν τη φορά ως αναπτύγματα. x x x dp p p d p p dp p x p dp p p x x dp p Βλέπουμε λοιπόν ότι η τυχαία τιμή της γράφεται ως ανάπτυγμα των ιδιοσυναρτήσεων της ορμής, στην αναπαράσταση θέσης. Οι συντελεστές του p. Θυμίζουμε ότι επειδή ο τελεστής της ορμής αναπτύγματος είναι οι τιμές της x είναι ερμιτιανός, οι ιδιοκαταστάσεις του, οι ιδιοσυναρτήσεις της ορμής εν προκειμένω, αποτελούν βάση στον χώρο των κυματοσυναρτήσεων του συστήματος. Έτσι, λοιπόν, μπορούμε να γράψουμε την τυχαία κυματοσυνάρτηση x ως γραμμικό συνδυασμό, ως ανάπτυγμα, των ιδιοσυναρτήσεων της ορμής στην αναπαράσταση θέσης,, με συντελεστές του αναπτύγματος τις τιμές της p. Με την ίδια λογική, p p p dx x x dx x dx x dx x x p p dx x x p Βλέπουμε ότι η τυχαία τιμή της p x x p γράφεται ως ανάπτυγμα των ιδιοσυναρτήσεων της θέσης, στην αναπαράσταση ορμής. Οι συντελεστές του αναπτύγματος είναι οι τιμές της x. Επειδή ο τελεστής της θέσης είναι ερμιτιανός, οι ιδιοκαταστάσεις του, οι ιδιοσυναρτήσεις της θέσης εν προκειμένω, αποτελούν βάση στον χώρο των κυματοσυναρτήσεων του συστήματος. Έτσι, λοιπόν, μπορούμε να γράψουμε την τυχαία κυματοσυνάρτηση p ως γραμμικό συνδυασμό, δηλαδή ως ανάπτυγμα, των ιδιοσυναρτήσεων της θέσης στην αναπαράσταση ορμής, x p, με συντελεστές x του αναπτύγματος τις τιμές της. Ποιες είναι όμως οι ιδιοσυναρτήσεις x p ;
Είναι * * * x p x p p x e e x p e Ιδιοσυναρτήσεις της θέσης στην αναπαράσταση ορμής