x y x z για κάθε x, y, . Ένας δακτύλιος R καλείται μεταθετικός αν

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα Στο κεφάαιο αυτό θα υπενθυμίσουμε τις βασικές έννοιες που αφορούν πρότυπα πάνω από ένα δακτύιο Θα περιοριστούμε στα πέον απαραίτητα για αυτά που ακοουθούν στα άα κεφάαια Η κατευθυντήρια γραμμή είναι να μεετήσουμε δακτυίους μέσω των προτύπων τους Ως ένα πρώτο απούστατο παράδειγμα της γραμμής αυτής δίνουμε ένα χαρακτηρισμό δακτυίων διαίρεσης 11 Βασικές έννοιες Ένας δακτύιος είναι ένα σύνοο R εφοδιασμένο με δύο πράξεις, : R R R και : R R R, έτσι ώστε ) ( R, ) είναι αβειανή ομάδα, ) ( x y) z x ( y z) για κάθε x, y, z R, ) υπάρχει στοιχείο 1 R R με την ιδιότητα 1R x x 1R x για κάθε x R, v) ( x y) z x z y z, x ( y z) x y x z για κάθε x, y, z R Στον παραπάνω ορισμό, θα έμε ότι η πράξη : R R R είναι η πρόσθεση του R και : R R R είναι ο ποαπασιασμός του R Στη συνέχεια θα γράφουμε xy στη θέση του x y και 1 στη θέση του 1 R Ένας δακτύιος R καείται μεταθετικός αν xy yx για κάθε x, y R Στις σημειώσεις αυτές οι δακτύιοί μας θα είναι γενικά μη μεταθετικοί εκτός αν διατυπώνεται σαφώς το αντίθετο Ένα στοιχείο r R ενός δακτυίου R καείται αντιστρέψιμο αν υπάρχει s R με rs sr 1 Το σύνοο των αντιστρέψιμων στοιχείων του R αποτεεί ποαπασιαστική ομάδα Ένας δακτύιος ονομάζεται δακτύιος διαίρεσης αν 1 0 και κάθε r R, r 0, είναι αντιστρέψιμο Σώμα είναι ένας μεταθετικός δακτύιος διαίρεσης Αριστερό ιδεώδες του δακτυίου R είναι μια υποομάδα της ( R, ) που έχει την ιδιότητα rα I για κάθε r R και κάθε α I Αν αντικαταστήσουμε τη συνθήκη ra I με ar I, προκύπτει η έννοια του δεξιού ιδεώδους Αμφίπευρο ιδεώδες είναι ένα αριστερό ιδεώδες που ταυτόχρονα είναι και δεξιό ιδεώδες Στα επόμενα, όταν έμε ιδεώδες εννοούμε αριστερό ιδεώδες Αν το Ι είναι αμφίπευρο ιδεώδες, τότε η αβειανή ομάδα R / I καθίσταται δακτύιος με ποαπασιασμό που ορίζεται από τη σχέση ( r I )( s I ) rs I Ο R / I ονομάζεται δακτύιος πηίκο Μια απεικόνιση δακτυίων f : R S ονομάζεται ομομορφισμός αν f ( r r) f ( r) f ( r), f ( rr ) f ( r) f ( r) για κάθε r, r R και f (1 ) 1 Ο πυρήνας ενός ομομορφισμού f είναι R S Kerf { r R f ( r) 0} και αποτεεί αμφίπευρο ιδεώδες του R Ένας ομομορφισμός δακτυίων έγεται μονομορφισμός (αντίστοιχα, επιμορφισμός) αν είναι 1-1 απεικόνιση (αντίστοιχα, επί) Ένας ομομορφισμός δακτυίων που είναι 1-1 και επί απεικόνιση έγεται ισομορφισμός δακτυίων 111 Ορισμός Έστω R ένας δακτύιος Μια αβειανή ομάδα ( M, ) εφοδιασμένη με μία απεικόνιση R M M, ( r, m) r m, ονομάζεται αριστερό R-πρότυπο αν ισχύουν οι εξής ιδιότητες ) r1 ( r m) ( r1 r ) m για κάθε r 1, r R, m M ) ( r r m r m r m για κάθε r r R, m M 1 ) 1 m1 m ) r m1 1, r R, m m ) r ( r m για κάθε 1, M v) 1 m m για κάθε m M Στον παραπάνω ορισμό θα ονομάζουμε την απεικόνιση R M M, ( r, m) r m τον εξωτερικό

ποαπασιασμό του R Στα παρακάτω θα γράφουμε rm στη θέση του r m Ανάογα ορίζεται και η έννοια του δεξιού R-προτύπου: ο εξωτερικός ποαπασιασμός έχει τη μορφή M R M, ( m, r) mr, και τα αξιώματα ) v) γράφονται στη δεξιά μορφή τους, πχ ( m r ) r1 m ( r r1 ) Στα παρακάτω όταν έμε R-πρότυπο εννοούμε αριστερό R-πρότυπο 11 Παραδείγματα Έστω k ένα σώμα Κάθε k-διανυσματικός χώρος είναι k-πρότυπο Μάιστα οι έννοιες k- διανυσματικός χώρος και k-πρότυπο ταυτίζονται Κάθε αβειανή ομάδα G είναι -πρότυπο με εξωτερικό ποαπασιασμό G G, ( r, m) rm, m m ( r φορές), αν r 0 rm 0, αν r 0 ( r) m, αν r 0 Κάθε ιδεώδες ενός δακτυίου R είναι R-πρότυπο με εξωτερικό ποαπασιασμό τον ποαπασιασμό του R Έστω I ένα ιδεώδες ενός δακτυίου R Η αβειανή ομάδα R / I καθίσταται R-πρότυπο αν ορίσουμε r( a I ) ra I, όπου r, a R (Σημείωση: Γενικά το R / I είναι μόνο πρότυπο και όχι δακτύιος, εκτός αν το I είναι αμφίπευρο ιδεώδες) Έστω f : R S ένας ομομορφισμός δακτυίων Κάθε S-πρότυπο Μ γίνεται R-πρότυπο αν ορίσουμε rm f ( r) m, r R, m M Έστω R ένας δακτύιος Με M (R) συμβοίζουμε το δακτύιο των πινάκων με στοιχεία από το R (ως προς τις συνήθεις πράξεις) Είναι R-πρότυπο με εξωτερικό ποαπασιασμό R M ( R) M ( R), ( r, A) ra, όπου ra είναι ο πίνακας που προκύπτει από τον A αν ποαπασιάσουμε κάθε στοιχείο του με το r Έστω R δακτύιος και V M ( ) 1 R το σύνοο των 1 πινάκων με στοιχεία από το R Το V είναι M (R) -πρότυπο με εξωτερικό ποαπασιασμό M ( R) V V το γινόμενο πινάκων Σ ένα R-πρότυπο Μ εύκοα επαηθεύονται οι σχέσεις: O m O, ro O, ( r) m r( m) rm για κάθε r R και m M R M Έστω Μ, Ν δύο R-πρότυπα Μια απεικόνιση M ) f ( m m) f ( m) f ( m) για κάθε m, m M, και ) f ( rm) rf ( m) για κάθε r R και m M M f : M N ονομάζεται ομομορφισμός R-προτύπων αν Παραδείγματα Αν το k είναι σώμα και U, V είναι k-διανυσματικοί χώροι, τότε ταυτίζονται οι έννοιες ομομορφισμός k-προτύπων U V και k-γραμμική απεικόνιση U V Αν R, τότε ταυτίζονται οι έννοιες ομομορφισμός R-προτύπων και ομομορφισμός (αβειανών) ομάδων Αν R είναι δακτύιος και a R, τότε η απεικόνιση f : R R, f ( r) ra, είναι ομομορφισμός R - προτύπων Αντίθετα, η απεικόνιση f : R R, f ( r) ar, δεν είναι γενικά ομομορφισμός R - προτύπων (γιατί;) a Ένας ομομορφισμός R -προτύπων έγεται μονομορφισμός (αντίστοιχα επιμορφισμός) αν είναι 1-1 a a a

3 απεικόνιση (αντίστοιχα επί) Ισομορφισμός R-προτύπων είναι ομομορφισμός R-προτύπων που είναι 1-1 κι επί Για έναν ομομορφισμό R-προτύπων f : M N ισχύει: f μονομορφισμός ker f {0} (άσκηση) Ένα υποσύνοο Ν του R-προτύπου Μ καείται R-υποπρότυπο του Μ (συμβοικά, N M ) αν είναι υποομάδα της Μ και ra N για κάθε r R και a N Για παράδειγμα, αν θεωρήσουμε ένα δακτύιο R ως R-πρότυπο, τότε τα R- υποπρότυπά του είναι τα ιδεώδη του Τα k-υποπρότυπα ενός k-διανυσματικού χώρου είναι οι υπόχωροι του Αν f : M N είναι ένας ομομορφισμός R-προτύπων, ο πυρήνας ker f είναι ένα υποπρότυπο του Μ, και η εικόνα Im f είναι ένα υποπρότυπο του Ν (άσκηση) Είναι σαφές ότι κάθε υποπρότυπο N του R -προτύπου M είναι R -πρότυπο ως προς τον εξωτερικό ποαπασιασμό R N N Έστω M ένα R -πρότυπο και a M Το σύνοο ( a) { ra M r R} είναι ένα υποπρότυπο του M και το καούμε το υποπρότυπο του M που παράγεται από το a Ένα υποπρότυπο N του M ονομάζεται κυκικό αν N ( a) για κάποιο a N Για παράδειγμα, κάθε δακτύιος R είναι κυκικό R -πρότυπο αφού R (1) Τα κυκικά υποπρότυπα του R είναι ακριβώς τα κύρια ιδεώδη του R Αν το Ν είναι υποπρότυπο του Μ, τότε στην αβειανή ομάδα εξωτερικό ποαπασιασμό που ορίζεται από r( m N) rm N, M / N ορίζεται η δομή R-προτύπου με όπου r R, m M Πράγματι, ας δούμε ότι ο παραπάνω εξωτερικός ποαπασιασμός είναι καά ορισμένος Έστω m1 N m N Τότε m1 m N και επειδή N M παίρνουμε r( m1 m ) N, οπότε rm1 N rm N Οι ιδιότητες στον ορισμό του προτύπου επαηθεύονται εύκοα Το M / N ονομάζεται πρότυπο πηίκο και η απεικόνιση f : M m m N M / N είναι επιμορφισμός R-προτύπων που συνήθως ονομάζεται φυσική προβοή ή φυσικός επιμορφισμός Αν Α,Β είναι υποπρότυπα του R-προτύπου Μ, ορίζουμε A B { a b a A, b B} Εύκοα επαηθεύουμε ότι το A B είναι ένα R-υποπρότυπο του Μ Παρατηρούμε ότι αυτή η κατασκευή γενικεύει το άθροισμα ιδεωδών δακτυίου, το άθροισμα υποχώρων διανυσματικού χώρου και το γινόμενο δυο υποομάδων αβειανής ομάδας Κατ αναογία με τους δακτυίους έχουμε: 113 Πρόταση (1ο Θεώρημα Ισομορφισμών Προτύπων) Έστω f : M N ένας ομομορφισμός R- προτύπων Τότε η απεικόνιση f : M / ker f m ker f f ( m) Im f είναι ισομορφισμός R-προτύπων (ο Θεώρημα Ισομορφισμών Προτύπων) Έστω Α,Β υποπρότυπα του R-προτύπου Μ Τότε υπάρχει ισομορφισμός R-προτύπων ( A B) / A B / A B (3ο Θεώρημα Ισομορφισμών Προτύπων) Έστω R-πρότυπα C B A Τότε υπάρχει ισομορφισμός R- προτύπων ( A / C) /( B / C) A / B Απόδειξη ) Εύκοα επαηθεύουμε ότι η απεικόνιση f είναι καά ορισμένος επιμορφισμός R-προτύπων Ισχύει ker f { m ker f f ( m) 0} { m ker f m ker f } {ker f } Άρα ο f είναι ισομορφισμός ) Η απεικόνιση είναι επιμορφισμός R-προτύπων Ισχύει ισομορφισμών προκύπτει f : B ( A B) / A, f ( b A B / A B ( A B) / A ker φ { b B b A A} A B Άρα από το 1ο θεώρημα

) Εφόσον C B η απεικόνιση f : A / C A / B, f ( a C) a B είναι καά ορισμένος επιμορφισμός R-προτύπων Ισχύει ker f { a C a B B} B / C Άρα από το 1ο θεώρημα ισομορφισμών έχουμε ( A / C) /( B / C) A / B 114 Ορισμός Έστω Α ένα R-πρότυπο, όπου το R είναι μεταθετικός δακτύιος Αν το Α είναι δακτύιος με την ιδιότητα r( aa ) ( ra) a a( ra) για κάθε a, a A, r R τότε έμε ότι το Α είναι μια R-άγεβρα Για παράδειγμα, κάθε δακτύιος είναι -άγεβρα Το είναι -άγεβρα Οι 4 πίνακες (k) με στοιχεία από ένα σώμα k αποτεούν k-άγεβρα Ο δακτύιος των πουωνύμων k [x] με συντεεστές από σώμα k είναι ομοίως k-άγεβρα, όπως και κάθε πηίκο του k[ x1,, x ] Ακοουθούν δύο παραδείγματα που είναι σημαντικά για τα επόμενα κεφάαια Παρατήρηση Αν η A είναι R -άγεβρα, τότε ( r1 ) a a( r1 ) για κάθε r R και κάθε a A A A M 115 Παράδειγμα ) (Δακτύιος ομάδας) Έστω G μια ομάδα και k σώμα Με k [G] συμβοίζουμε τον k- διανυσματικό χώρο με βάση τα στοιχεία της G όπου η πρόσθεση και ο εξωτερικός ποαπασιασμός ορίζονται ως εξής: το τυπικό στοιχείο του k [G] συμβοίζεται r, όπου όα σχεδόν τα r g k είναι gg μηδέν - δηαδή όα τα r g είναι μηδέν εκτός ενδεχομένως από ένα πεπερασμένο πήθος Θέτουμε r g rg ( r r) g g g g g gg gg gg r( r g) ( rr ) g gg g gg Ο διανυσματικός χώρος k[ G ] καθίσταται δακτύιος ως προς την πρόσθεση που είδαμε πριν και τον ποαπασιασμό που ορίζεται από όπου t u g h g, hg ugh ( r g)( s h) t u, g h u gg hg ug g r s Η μονάδα του δακτυίου είναι το ουδέτερο στοιχείο 1 G της ομάδας G Με τις πιο πάνω πράξεις, το k [G] γίνεται μια k-άγεβρα Παρατηρούμε ότι κάθε στοιχείο της G είναι αντιστρέψιμο στο δακτύιο [G] g g k Αν η G g g 1,, είναι πεπερασμένη ομάδα τάξης 1, τότε ο δακτύιος k [G] περιέχει διαιρέτες του μηδενός, αφού για παράδειγμα έχουμε 1 (1 )(1 g g g ) 1 g 0 ) (Quateros επί του ) Έστω ένας -διανυσματικός χώρος διάστασης 4 και { 1,, j, k} μια βάση του Ορίζουμε έναν ποαπασιασμό στοιχείων του ως εξής: απαιτούμε το 1 να είναι μοναδιαίο στοιχείο και θέτουμε j k j j k jk kj k k j 1 k j

Ποαπασιάζουμε τυχαία στοιχεία και τον προηγούμενο πίνακα Για παράδειγμα, 5 a b cj dk και a b cj d k, χρησιμοποιώντας επιμερισμό ( 1 )(1 3 j) 1 3 j 6k Λαμβάνουμε έτσι μία - άγεβρα Παρατηρούμε ότι ο δακτύιος είναι δακτύιος διαίρεσης Πράγματι, αν θέτουμε q a b cj dk (ο συζυγής του q) Εύκοα επαηθεύεται ότι qq q a b cj dk, qq a b c d q q Θέτουμε q qq Παρατηρούμε ότι αν q 0, τότε q q 1, δηαδή το q είναι αντιστρέψιμο q q 116 Σημείωση Θα δούμε στο Κεφάαιο 6 ότι οι,, είναι οι μόνες πεπερασμένης διάστασης - άγεβρες με διαίρεση Αν Μ, Ν είναι δύο R-πρότυπα το σύνοο Hom R ( M, N) { f : M N f ομομορφισμός R-προτύπων} είναι αβειανή ομάδα με πρόσθεση που ορίζεται από ( f f )( m) f ( m) f ( m) Δεν είναι γενικά R- πρότυπο Αν M N, το σύνοο Hom R ( M, M ) συνήθως συμβοίζεται με Ed R (M ) (το σύνοο των R- ενδομορφισμών του Μ) και αποτεεί δακτύιο με ποαπασιασμό τη σύνθεση συναρτήσεων Ένα μη μηδενικό R-πρότυπο Μ έγεται από αν δεν υπάρχει υποπρότυπο Ν με την ιδιότητα O N M Παραδείγματα Ένας k -διανυσματικός χώρος είναι από k -πρότυπο αν και μόνο αν έχει διάσταση 1 Για κάθε πρώτο αριθμό p, το -πρότυπο p είναι από, αφού κάθε υποομάδα του τετριμμένη υποομάδα ή η [0],[] p είναι η p Το -πρότυπο 4 δεν είναι από αφού ένα υποπρότυπό του είναι το To -πρότυπο δεν περιέχει από υποπρότυπο, γιατί αν N με Ν από, τότε για κάποια m, {0} θα είχαμε m N και άρα m N Τότε m N και όγω της απότητας θα είχαμε m N Όμως είναι σαφές ότι το m δεν είναι από, καθώς αν m 0, τότε 0 m m Έστω D δακτύιος διαίρεσης και V M ( ) 1 D Ξέρουμε ότι το V είναι M ( D) -πρότυπο με εξωτερικό ποαπασιασμό το γινόμενο πινάκων Θα δείξουμε ότι το V είναι από M ( D) - πρότυπο Έστω E M ( D) ο πίνακας με 0 παντού εκτός από τη θέση (, j ) όπου υπάρχει το j στοιχείο 1 Έστω E M ( ) 1 D ο πίνακας στήη με 0 παντού εκτός από τη θέση όπου υπάρχει το στοιχείο 1 Έστω U V και v1 v v j U με v 0 Τότε v j 0 για κάποιο j Από τον v ποαπασιασμό πινάκων έπεται ότι για κάθε ισχύει E v v E Άρα j j Συνεπώς d1e1 de U για κάθε d,, 1 d D Άρα V U και V U E v E v U 1 ( j j ) Δακτύιοι διαίρεσης εμφανίζονται συχνά ως ενδομορφισμοί απών προτύπων όπως δείχνει το επόμενο αποτέεσμα

6 117 Λήμμα (Λήμμα του Schur) Έστω Μ ένα από R-πρότυπο Τότε ο Ed R (M ) είναι δακτύιος διαίρεσης Απόδειξη Έστω f EdR ( M ), f 0 (Υπάρχει τέτοιο f αφού M 0, πχ f 1M ) Επειδή ker f M, ισχύει ker f 0 Επειδή Im f 0, ισχύει Im f M Άρα ο f είναι ισομορφισμός οπότε είναι αντιστρέψιμο στοιχείο του δακτυίου Ed R (M ) Το ακόουθο αποτέεσμα υποδεικνύει τη σημασία των δακτυίων M ( k ) 118 Πρόταση Έστω k ένα σώμα και Α μια k-άγεβρα με dm Τότε ο δακτύιος Α είναι ισόμορφος με υποδακτύιο του M ( k ) Απόδειξη Έστω a A και f : A A, x ax Τότε f Ed ( A) και η απεικόνιση a A Ed ( A), a f, είναι μονομορφισμός δακτυίων Συνεπώς ο Α είναι ισόμορφος με υποδακτύιο k a του Ed ( A ) Επιέγοντας μια βάση του διανυσματικού χώρου Α, αμβάνουμε έναν ισομορφισμό k δακτυίων Ed ( A) M ( k) k Μια απεικόνιση R-αγεβρών είναι ομομορφισμός R-αγεβρών αν είναι ταυτόχρονα ομομορφισμός δακτυίων και R-προτύπων Ανάογα ορίζεται η έννοια του ισομορφισμού R -αγεβρών Μια R-υποάγεβρα μιας R-άγεβρας A είναι ένας υποδακτύιος του A που είναι και R -υποπρότυπο του A Για παράδειγμα, η υποάγεβρα της που αποτεείται από τα q a b cj dk για τα οποία b c d 0 είναι ισόμορφη με το Ομοίως η -υποάγεβρα της που αποτεείται από τα q a b cj dk για τα οποία c d 0 είναι ισόμορφη με το To κέντρο μιας R-άγεβρας Α είναι η R-υποάγεβρα C( A) { x A ax xa για κάθε a A} Για παράδειγμα, το κέντρο της M ( k ), όπου το k είναι σώμα, είναι a 0 C( M ( k)) M ( k) 0 a a 0 a b Πράγματι, είναι σαφές ότι M ( k) C( M ( k)) 0 a Έστω C( M ( k)) Τότε έχουμε c d a b 1 0 1 0 a b a b 0 1 0 1 a b c b 0 c d 0 0 0 0 c d Επίσης a d c d 0 0 0 0 c d 1 Άθροισμα και Γινόμενο Προτύπων, Ακριβείς Ακοουθίες Αν ( M ) Λ είναι μια οικογένεια R-προτύπων, τότε το σύνοο των ακοουθιών ( x ) Λ, με x M, είναι ένα R-πρότυπο με πρόσθεση και εξωτερικό ποαπασιασμό που ορίζονται από τις σχέσεις ( x ) Λ ( y ) Λ ( x y ) Λ, r( x ) Λ ( rx ) Λ Το συμβοίζουμε με M και το ονομάζουμε το ευθύ γινόμενο των και M M M, 1 στη θέση του Λ a k Λ Στην περίπτωση που το Λ είναι πεπερασμένο, Λ { 1,,, }, θα γράφουμε Ορίζουμε τώρα ένα υποπρότυπο του M Έστω από εκείνες τις ακοουθίες k A M Αν επιπέον M1 M M, θα γράφουμε και Λ Λ Λ Λ M M το υποσύνοο του M που αποτεείται ( x ) όπου x 0 εκτός το πού ένα πεπερασμένο πήθος Λ Λ

Ονομάζεται ευθύ άθροισμα των M Λ Έστω Λ M Στην περίπτωση που το Λ είναι πεπερασμένο ισχύει βέβαια 7 M Λ ( N ) μια οικογένεια R-υποπροτύπων του R-προτύπου Μ Θα έμε ότι το Μ είναι το εσωτερικό ευθύ άθροισμα των N, Λ, αν κάθε x M γράφεται μοναδικά ως άθροισμα της μορφής x y y t, με y N, t 1 Στην περίπτωση αυτή θα γράφουμε N N 1 Σημείωση Η χρήση του ίδιου συμβοισμού Λ δημιουργεί σύγχυση γιατί το εσωτερικό ευθύ άθροισμα των Λ N για δύο διαφορετικά πράγματα δεν πρέπει να N (όταν ορίζεται) είναι ισόμορφο με το ευθύ γινόμενο των N (που πάντα ορίζεται) Αν X M είναι ένα υποσύνοο του R-προτύπου Μ, με X συμβοίζουμε το υποπρότυπο του Μ, X r x r x M t 1, r R, x } Ονομάζεται δε το υποπρότυπο του Μ που παράγει το Χ { 1 1 t t t M Ταυτίζεται με την τομή όων των υποπροτύπων του Μ που περιέχουν το Χ (γιατί;) Αν οικογένεια υποπροτύπων του Μ, το υποπρότυπο N Λ που παράγουν τα N, ( N ) είναι μια Λ Λ, συμβοίζεται με N Ισχύει N x x t 1, x N } Για παράδειγμα, έχουμε m d, όπου Λ Λ d ( m, ) (άσκηση) { 1 t 11 Πρόταση Έστω ( N ) Λ μια οικογένεια R-υποπροτύπων του R-προτύπου Μ Τότε ισχύει M N αν και μόνο αν ) M N Λ ) για κάθε, και Λ ισχύει N 0 N μ μ Απόδειξη Έστω x M και N 1 y 1 y 1 ( y t y t ) ( y t x y y y y, όπου y ) t 1 μ1 Συνεπώς αν ισχύουν οι συνθήκες () και () αμβάνουμε αν N 0, τότε θα είχαμε N μ μ εκφράσεις για το y, άτοπο 1 N y y y με μ t 1 t Αν ισχύει η συνθήκη (), παίρνουμε t M Λ y Λ, y N Τότε y y 1 1 N Το αντίστροφο είναι επίσης άμεσο: y N και, δηαδή θα είχαμε δύο 1 Πρόταση Έστω Μ,Ν R-πρότυπα και ( M ) Λ, ( N ) Λ οικογένειες R-προτύπων Τότε υπάρχουν ισομορφισμοί αβειανών ομάδων ) Hom R M, N HomR ( M, N ) Λ ) Λ Hom R M, N HomR ( M, N ) Λ Λ Απόδειξη () Έστω ( g ) Λ HomR ( M, N), όπου g HomR ( M, N) Έστω g : M N η Λ Λ

8 απεικόνιση που ορίζεται από g ( x ) Λ g ( x ) Ο ορισμός έχει νόημα γιατί x 0 για όα τα Λ Λ εκτός από ένα πεπερασμένο πήθος Η g είναι βέβαια ομομορφισμός R-προτύπων, g Hom R M N, Λ Έστω Ψ : Hom M N Hom M N R (, ) R,, ( g g Λ ) Λ Είναι ομομορφισμός αβειανών ομάδων Λ Στην αντίθετη κατεύθυνση ορίζουμε κάθε Φ : HomR ( M, N) HomR ( M, N), f ( f ) Λ, όπου για Λ f ( x ) f (,0, x,0,) και το x M βρίσκεται στην συνιστώσα του (, 0, x,0,) M Η Φ είναι ομομορφισμός αβειανών ομάδων και ισχύει απεικονίσεις Συνεπώς Φ είναι ισομορφισμός ) Παρόμοια με την () Λ Λ Φ Ψ και Ψ Φ είναι οι αντίστοιχες ταυτοτικές Σημείωση Δεν ισχύει γενικά ότι Hom R M, N Hom( M, N) (Άσκηση 1) Λ Λ 13 Πρόταση Έστω Μ ένα R-πρότυπο Υπάρχει ισομορφισμός R-προτύπων Hom R ( R, M ) M Απόδειξη Πρώτα παρατηρούμε ότι η αβειανή ομάδα Hom R ( R, M ) είναι (αριστερό) R-πρότυπο, ( rf )( r ) f ( rr ) Εύκοα επαηθεύεται ότι η απεικόνιση Φ : HomR ( R, M ) f f (1) M είναι ομομορφισμός R-προτύπων Επίσης η απεικόνιση Ψ : M Hom ( R, M ), Ψ ( m)( r) rm είναι ομομορφισμός R-προτύπων Ισχύει Ψ Φ 1 ( R, M ), Φ Ψ 1M, και άρα ο Φ είναι ισομορφισμός Hom R R Για παράδειγμα, αν G είναι αβειανή ομάδα, τότε υπάρχει ισομορφισμός ομάδων Hom (, G) G Έστω f : L M, g : M N ομομορφισμοί R-προτύπων Η ακοουθία f L M N έγεται ακριβής στο Μ αν ισχύει ker g Im f (Παρατηρούμε ότι στην περίπτωση αυτή έχουμε g f 0, γιατί η τεευταία σχέση είναι ισοδύναμη με τη Im f ισχυρότερο Πιο γενικά, μια ακοουθία R-προτύπων και R-ομομορφισμών έγεται ακριβής αν είναι ακριβής σε κάθε Μια ακριβής ακοουθία της μορφής 1 M M M 1 1 M f g ker g Όμως η ακρίβεια στο M μας έει κάτι f 0 f g L M N 0 έγεται βραχεία Ένα παράδειγμα είναι 0 0, όπου η απεικόνιση είναι ο ποαπασιασμός με το m και η φυσική προβοή Παρατηρούμε ότι ο f είναι μονομορφισμός, γιατί ker f Im(0 L) 0 Επίσης ο g είναι επιμορφισμός, γιατί Im g ker( N 0) N Ισχύει (όγω του 1ου θεωρήματος ισομορφισμών) m N Im g M / ker g M / L, δηαδή N M / L Αντίστροφα, αν L είναι υποπρότυπο του Μ, παίρνουμε μια ακριβή ακοουθία 0 L M M / L 0, όπου α( x) x, β( y) y L για x L, y M (Ο β είναι ο φυσικός επιμορφισμός) Συνεπώς βέπουμε ότι μια βραχεία ακριβής ακοουθία αποτεεί έναν τρόπο καταγραφής του 1ου θεωρήματος ισομορφισμών α β

Αν f L M είναι μονομορφισμός, παίρνουμε την ακριβή ακοουθία f β 0 L M M / Im f 0, όπου β είναι ο φυσικός επιμορφισμός Αν M g N είναι επιμορφισμός, παίρνουμε την ακριβή ακοουθία 0 ker g M N 0, όπου α( x) x είναι η φυσική εμφύτευση α β 9 α β 14 Πρόταση Έστω 0 A B C 0 βραχεία ακριβής ακοουθία R-προτύπων Οι παραπάνω συνθήκες είναι ισοδύναμες () υπάρχει R-ομομορφισμός α : B A με την ιδιότητα α α 1A () υπάρχει R-ομομορφισμός β : C B με την ιδιότητα β β 1C () η εικόνα Im a είναι ευθύς προσθετέος του Β Απόδειξη ( ) () Σύμφωνα με την Πρόταση 11 αρκεί να δείξουμε ότι B Im α kerα και Imα kerα 0 Έστω b B Γράφουμε b α α( ( b α α( ) Ισχύει βέβαια α α( Im α Επειδή α ( b α α( ) α( α α α( α ( α( 0, ισχύει b α a( ker α Άρα B Im α kerα Έστω τώρα x Im α kerα Τότε α ( x) 0 και x α( y) για κάποιο y A Συνεπώς έχουμε α ( α( y)) 0, δηαδή y 0 οπότε x 0 Άρα Imα kerα 0 ( ) () Έστω B Im α N για κάποιο υποπρότυπο Ν του Β Αν b B, τότε b α( x) y για κάποιο x A, y N Επιπέον τα x, y είναι μοναδικά ορισμένα γιατί ο α είναι μονομορφισμός και Imα N 0 Θέτουμε α : B A, α ( x, που είναι καά ορισμένος R-ομομορφισμός Ισχύει βέβαια α α 1A ( ) () Θα δείξουμε ότι B ker β Im β απ όπου προκύπτει το ζητούμενο γιατί ker β Im α Έστω b B Γράφουμε και παρατηρούμε ότι και b ( b β β( ) β β( b β β( ker β (αφού β( b β β( ) β( β β β( β( β( 0 ) β β( Im β Αν x ker β Im β, τότε β ( x) 0 και επειδή x β(y) για κάποιο C, έχουμε β β( y) 0, δηαδή y 0 ( ) () Έστω B Im α N για κάποιο υποπρότυπο Ν του Β Τότε B ker β N Ο περιορισμός του β στο Ν είναι ισομορφισμός, για κάποιο ζητούμενο β N : N C Πράγματι, αφού B ker β N, ο β N είναι επί Αν β ( y) 0 y N, τότε y ker β και άρα y 0, αφού ker β N 0 Θέτοντας β β N προκύπτει το Μια βραχεία ακοουθία που ικανοποιεί μια συνθήκη της προηγούμενης πρότασης καείται διασπώμενη, και θα έμε ότι η βραχεία ακοουθία διασπάται Στην περίπτωση που η ακριβής ακοουθία 0 A B C 0 διασπάται, ισχύει B A C Πράγματι, από την απόδειξη της Πρότασης 14 έχουμε B ker β Im β Ισχύει A Imα και C Im β γιατί οι α και β είναι μονομορφισμοί 15 Παραδείγματα Η ακριβής ακοουθία -προτύπων 0 m 0, m όπου η απεικόνιση είναι ποαπασιασμός με το m {0}, δεν διασπάται όταν m 1 (γιατί;) m

10 Έστω k ένα σώμα Τότε κάθε ακριβής ακοουθία k-διανυσματικών χώρων πεπερασμένης διάστασης 0 3 V 1 V V 0 διασπάται, γιατί κάθε σύνοο γραμμικώς ανεξαρτήτων του διανυσμάτων V μπορεί να επεκταθεί σε βάση του V Έστω k ένα σώμα Η ακριβής ακοουθία 0 x k[ x] k 0 διασπάται, αν θεωρηθεί ως ακοουθία k-προτύπων: ορίζουμε : k[ x] x, f 0 f1x fr x f1x f r x Τότε ο α είναι ομομορφισμός k-προτύπων και ο περιορισμός του στο x είναι η ταυτοτική απεικόνιση Όμως η παραπάνω ακριβής ακοουθία δεν διασπάται αν θεωρηθεί ως ακοουθία k[x] -προτύπων Πράγματι, έστω : k[ x] x ένας ομομορφισμός k [x] προτύπων που είναι η ταυτοτική απεικόνιση στο x Έστω α ( 1) xf ( x), f ( x) k[ x] Τότε α ( x) xα(1) x f ( x), δηαδή x x f ( x) Φυσικά δεν υπάρχει τέτοιο f (x) 13 Εεύθερα και Προβοικά Πρότυπα Μια οικογένεια κατά μοναδικό τρόπο ως ( e ) στοιχείων ενός R-προτύπου Μ καείται βάση του Μ αν κάθε m M γράφεται Λ m r e, όπου r R είναι όα μηδέν εκτός το πού ένα πεπερασμένο Λ πήθος Ένα R-πρότυπο έγεται εεύθερο αν έχει μια τουάχιστον βάση Για παράδειγμα, το R είναι εεύθερο R-πρότυπο με βάση το σύνοο { 1} Για κάθε 1, το δεν είναι εεύθερο -πρότυπο γιατί a 0 για κάθε a, δηαδή το 0 δεν γράφεται κατά μοναδικό τρόπο όπως απαιτεί ο ορισμός Κάθε k- διανυσματικός χώρος είναι εεύθερο k-πρότυπο Το M (R) είναι εεύθερο R-πρότυπο με μια βάση τα στοιχεία Ej M (R),, j 1,,, όπου E j είναι ο πίνακας με μηδέν παντού εκτός από τη θέση (, j) όπου υπάρχει το 1 131 Πρόταση ) Ένα R-πρότυπο Μ είναι εεύθερο αν και μόνο αν είναι ισόμορφο με ένα πρότυπο της μορφής R, όπου R R για κάθε Λ Λ ) Κάθε R-πρότυπο είναι ομομορφική εικόνα εεύθερου R-προτύπου Απόδειξη ) Αν το Μ είναι εεύθερο με βάση ( e ), τότε ορίζεται ένας ισομορφισμός φ : M m ( r ) Λ R, όπου m r e Αντίστροφα, το R είναι εεύθερο γιατί μία βάση του Λ Λ είναι το σύνοο { ε Λ}, όπου ε είναι η ακοουθία ε ( ε ) μ με ε μ 0 αν μ και ε 1 ) Έστω Λ ένα σύνοο γεννητόρων του Μ, πχ επιμορφισμός M R Λ Λ Λ Λ M Κατά τον προφανή τρόπο ορίζεται ένας 13 Πρόταση Έστω 0 A B C 0 εεύθερο, τότε αυτή διασπάται α β μια ακριβής ακοουθία R-προτύπων Αν το C είναι Απόδειξη Έστω { e } μια βάση του C Επιέγουμε για κάθε Λ ένα στοιχείο b B, έτσι ώστε Λ β( b ) e (ο β είναι επιμορφισμός) Ορίζουμε έναν R-ομομορφισμό β : C B από τις σχέσεις β ( e ) b Ισχύει β β 1C και άρα (Πρόταση 14) η ακοουθία διασπάται

11 Ερχόμαστε τώρα στα προβοικά πρότυπα Θα περιοριστούμε στα πέον απαραίτητα για τα κεφάαια που ακοουθούν 133 Πρόταση Έστω Ρ ένα R-πρότυπο Τα ακόουθα είναι ισοδύναμα: ) Για κάθε ομομορφισμό f : P B R-προτύπων και για κάθε επιμορφισμό R-προτύπων p : A B, υπάρχει ομομορφισμός g : P A R-προτύπων που καθιστά το διάγραμμα μεταθετικό g P f A p B 0 ) Κάθε ακριβής ακοουθία 0 N M P 0 διασπάται ) Το Ρ είναι ευθύς προσθετέος κάποιου εεύθερου R-προτύπου (δηαδή P X Χ, F όπου το F είναι εεύθερο) F, για κάποια R-πρότυπα Απόδειξη ) ) Προκύπτει άμεσα θεωρώντας το διάγραμμα P M p P 0 ) ) Έστω F P 0 επιμορφισμός R-προτύπων, όπου το F είναι εεύθερο (δες την πρόταση 131 )), και N ker( F P) Η ακριβής ακοουθία 0 N F P 0 διασπάται, και άρα F N P ) ) Έστω P X εεύθερο R-πρότυπο για κάποιο R-πρότυπο Χ Θεωρούμε το διάγραμμα R- ομομορφισμών g 1 Ρ Φ P X π P f A p B 0 όπου π( a, x) a και ( a) ( a,0), a P, x X Επειδή το P X είναι εεύθερο, εύκοα διαπιστώνουμε ότι υπάρχει R-ομομορφισμός Φ : P X A που καθιστά μεταθετικό το διάγραμμα (αν ( e ) I είναι μια βάση του P X, ορίζουμε Φ( e ) z, όπου p( z ) f π( e ) ) Τώρα η ζητούμενη απεικόνιση g : P A είναι η σύνθεση Φ P P X A Ένα R-πρότυπο Ρ που ικανοποιεί μια από τις συνθήκες της προηγούμενης πρότασης καείται προβοικό Η πρόταση 13 (ή η απόδειξη της Πρότασης 133) μας πηροφορεί ότι:

134 Πόρισμα Κάθε εεύθερο πρότυπο είναι προβοικό 1 Το αντίστροφο δεν ισχύει Από 3 6 (ως 6 -πρότυπα) συμπεραίνουμε ότι το είναι προβοικό 6 -πρότυπο Όμως δεν είναι εεύθερο 6 -πρότυπο (γιατί;) Η επόμενη πρόταση μας πηροφορεί ότι τα προβοικά πρότυπα συμπεριφέρονται καά ως προς το ευθύ άθροισμα 135 Πρόταση Έστω ( P ) Λ μια οικογένεια R-προτύπων Τότε το P είναι προβοικό αν και μόνο αν κάθε P είναι προβοικό Απόδειξη Αν το P είναι προβοικό, τότε X είναι εεύθερο για κάποιο Χ Άρα κάθε Λ P Λ ευθύς προσθετέος εεύθερου προτύπου Αντίστροφα, αν για κάθε Λ P είναι Λ υπάρχει πρότυπο Χ και εεύθερο πρότυπο F με την ιδιότητα P X F, τότε P X F που είναι εεύθερο R-πρότυπο Λ Λ Λ (πρόταση 131 ) για παράδειγμα) 136 Σημείωση Δεν θα ασχοηθούμε εδώ με τη δυϊκή έννοια του προβοικού προτύπου πέρα από τον ορισμό του: ένα R-πρότυπο Ι έγεται εμφυτευτικό αν κάθε ακριβής ακοουθία R-προτύπων της μορφής 0 I A B 0 διασπάται (σύγκρινε με την Πρόταση 133 )) Στις σημειώσεις αυτές η έννοια του εμφυτευτικού προτύπου εμφανίζεται μόνο στο Θεώρημα 1 14 Λήμμα του Zor και Μέγιστα Ιδεώδη Μια σχέση σε ένα (μη κενό) σύνοο Χ ονομάζεται σχέση μερικής διάταξης αν ) x x x X, ) x y, y z x z, και ) x y, y x x y Το Χ ονομάζεται τότε μερικά διατεταγμένο σύνοο Ένα μερικά διατεταγμένο σύνοο Χ στο οποίο ισχύει η πρόσθετη συνθήκη v) για κάθε είτε y x, ονομάζεται οικά διατεταγμένο Έστω Υ ένα υποσύνοο του μερικά διατεταγμένου συνόου Χ Ένα στοιχείο φράγμα του Υ στο Χ αν y x για κάθε y Y x, y X είτε x y x X ονομάζεται άνω Ένα στοιχείο x X του μερικά διατεταγμένου συνόου Χ ονομάζεται μέγιστο (ή μεγιστικό) αν δεν υπάρχει x X με x x, x x 141 Λήμμα του Zor Έστω Χ ένα μη κενό μερικά διατεταγμένο σύνοο του οποίου κάθε μη κενό οικά διατεταγμένο υποσύνοο έχει ένα άνω φράγμα στο Χ Τότε το Χ έχει ένα τουάχιστον μέγιστο στοιχείο Αποδεικνύεται στη Θεωρία Συνόων ότι το Λήμμα του Zor είναι ισοδύναμο με το Αξίωμα Επιογής Βέβαια εμείς εδώ θα το δεχτούμε ως αξίωμα Ακοουθεί μια τυπική εφαρμογή Θυμίζουμε πρώτα ότι ένα γνήσιο ιδεώδες Ι του R έγεται μέγιστο αν δεν υπάρχει άο ιδεώδες J με την ιδιότητα I J R 14 Πρόταση Κάθε δακτύιος R 0 έχει ένα τουάχιστον μέγιστο ιδεώδες Απόδειξη Έστω Χ το σύνοο των γνήσιων ιδεωδών του R Ισχύει X αφού ( 0) X Έστω Υ ένα μη κενό οικά διατεταγμένο υποσύνοο του Χ (Η σχέση μερικής διάταξης στο Χ είναι η σχέση υποσυνόου) Θέτουμε J I IY

13 και παρατηρούμε ότι είναι ιδεώδες του R Πράγματι, αν a, b J τότε a I1 και b I για κάποια I 1, I Y Επειδή το Υ είναι οικά διατεταγμένο, ισχύει I1 I ή I I1 Συνεπώς a b J Επίσης ra I 1 για κάθε r R Άρα ra J Το J είναι γνήσιο, γιατί αν J R θα είχαμε 1 J, δηαδή 1 I για κάποιο I Y, δηαδή R Y X, άτοπο Άρα το J είναι ένα άνω φράγμα του Υ στο Χ Από το Λήμμα του Zor, το Χ έχει ένα μέγιστο στοιχείο, που φυσικά είναι μέγιστο ιδεώδες 143 Πρόταση Κάθε δακτύιος R 0 έχει ένα τουάχιστον από R-πρότυπο Απόδειξη Έστω Ι ένα μέγιστο ιδεώδες του R (Πρόταση 14) Το R-πρότυπο υποπρότυπό του έχει τη μορφή J / I όπου J I είναι ιδεώδες του R R / I είναι από, γιατί κάθε 15 Δακτύιοι Διαίρεσης Ένας αποτεεσματικός τρόπος μεέτης δακτυίου είναι να εξετάσουμε ιδιότητες των προτύπων του Ένα απούστατο παράδειγμα παρέχει το παρακάτω θεώρημα Κάθε σώμα k έχει την ιδιότητα ότι όα τα k- πρότυπα είναι εεύθερα Ποιοι δακτύιοι έχουν την ιδιότητα αυτή; 151 Θεώρημα Ένας δακτύιος R 0 είναι δακτύιος διαίρεσης αν και μόνο αν κάθε R-πρότυπο είναι εεύθερο Για την απόδειξη, χρειαζόμαστε τον ακόουθο ήμμα Αν Μ είναι ένα R-πρότυπο και X υποσύνοο του M Θέτουμε A( X ) r R rx 0 x X Το A( X ) ονομάζεται ο μηδενιστής του Μ και είναι ιδεώδες του R (άσκηση) Αν το X είναι υποπρότυπο του M, τότε το A( X ) είναι αμφίπευρο ιδεώδες του R (άσκηση) Στην περίπτωση που το σύνοο X { x} έχει μόνο ένα στοιχείο, θα γράφουμε A( x ) στη θέση του A( X ) 15 Λήμμα Έστω M 0 ένα R-πρότυπο, όπου R είναι δακτύιος διαίρεσης Τότε υπάρχει γραμμικά ανεξάρτητο υποσύνοο του Μ μέγιστο ως προς τη σχέση υποσυνόου Απόδειξη Έστω Χ το σύνοο των γραμμικά ανεξάρτητων υποσυνόων του Μ (Ισχύει X μονοσύνοο {a} με a M, a 0, είναι γραμμικά ανεξάρτητο, αφού έχουμε ra 0, r 0 a 1a r 1, γιατί κάθε ( ra) 0 ) Θεωρούμε τη μερική διάταξη στο X που δίνεται από τη σχέση υποσυνόου Έστω Υ ένα οικά διατεταγμένο υποσύνοο του Χ Ορίζοντας Ω A εύκοα επαηθεύουμε ότι το Ω είναι γραμμικά ανεξάρτητο Δηαδή το Ω είναι ένα άνω φράγμα του Υ στο Χ Το ζητούμενο προκύπτει από το Λήμμα του Zor Απόδειξη του Θεωρήματος 151 "" Έστω R δακτύιος διαίρεσης και Μ ένα R-πρότυπο Έστω Β ένα μέγιστο γραμμικά ανεξάρτητο υποσύνοο του Μ (Λήμμα 15) Έστω m M το οποίο δεν γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός των στοιχείων του Β Θα φθάσουμε σε άτοπο, πράγμα που σημαίνει ότι το Β είναι βάση του Μ Το { m} B είναι γραμμικά εξαρτημένο από τον ορισμό του Β Άρα rm r b 0, r 0 για κάποια r R και b B Συνεπώς m r 1 r b 1 r b r, AY

14 που είναι άτοπο "" Πρώτα παρατηρούμε ότι το το R είναι από R-πρότυπο Πράγματι, έστω Ι ένα μέγιστο ιδεώδες του R (Πρόταση 14) Τότε το R-πρότυπο M R / I είναι από Από την υπόθεση είναι και εεύθερο Άρα έχει βάση αποτεούμενη από ένα στοιχείο Συνεπώς M R, δηαδή το R είναι από R-πρότυπο Έστω x R, x 0 Για το κύριο ιδεώδες ( x ) του R έχουμε, όγω της απότητας του R, ( x) R και επομένως υπάρχει y R με yx 1 Μένει να δείξουμε ότι xy 1 Έχουμε yx 1 ( xy 1) x 0 xy 1 A( x) Αά A( x) 0 επειδή το R είναι από R πρότυπο και ο δακτύιος R περιέχει μοναδιαίο στοιχείο Άρα xy 1 0 Έστω R ένας δακτύιος διαίρεσης και M 0 ένα R-πρότυπο Το M είναι εεύθερο σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα Έστω ότι έχει μια βάση με στοιχεία Όπως ακριβώς στη Γραμμική Άγεβρα (δηαδή με τη χρήση του ήμματος της αντααγής ) αποδεικνύεται και εδώ ότι κάθε άη βάση θα έχει στοιχεία Έτσι ορίζεται η τάξη του Μ, που συμβοίζεται dm M ή rkm, ως ο πηθάριθμος μιας βάσης του Στην περίπτωση που το M έχει μια βάση με άπειρα στοιχεία θα γράφουμε dm M Η προηγούμενη ιδιότητα δεν ισχύει για γενικούς δακτυίους όπως δείχνει το επόμενο παράδειγμα 153 Παράδειγμα Έστω R Ed Ως R-πρότυπο, το R είναι εεύθερο μια βάση το μονοσύνοο { 1} Θα κατασκευάσουμε τώρα μια άη βάση του R με δύο στοιχεία! Έστω e,,} η κανονική βάση του σχέσεις ως -πρότυπο, δηαδή 1 (1,0,0,) { 1 e e, e (0,1,0,) κπ Έστω f, g R που ορίζονται από τις e, αν f ( e ) 0, αν 1 0, αν g( e ) e, αν 1 Τότε κάθε φ R γράφεται μοναδικά ως φ αf βg, α, β R (Μάιστα α( e ) φ( e ), ( e ) ( e 1) ) Άρα μία βάση του R είναι το { f, g} Αποδεικνύεται ότι σε μεταθετικούς δακτυίους με 1 η έννοια της τάξης εεύθερου προτύπου είναι καά ορισμένη Ασκήσεις 1 Ένα στοιχείο e R έγεται αυτοδύναμο αν e e Έστω e R αυτοδύναμο στοιχείο που ανήκει στο κέντρο του R Τότε τα κύρια (αριστερά) ιδεώδη (e) και ( 1 e) είναι αμφίπευρα και μάιστα υποδακτύιοι με μοναδιαία στοιχεία Ως δακτύιοι ισχύει R ( e) (1 e) Επίσης το (e) είναι προβοικό R-πρότυπο Έστω e 1,,e αυτοδύναμα στοιχεία του R (δες την προηγούμενη άσκηση) για τα οποία e e j 0 ( j), e C(R) και e 1 e 1 Τότε ως δακτύιοι R R1 R, όπου R ( e ) op 3 Αν R είναι δακτύιος, με R συμβοίζουμε το δακτύιο όπου ως σύνοο R op R, η πρόσθεση είναι αυτή του R αά ο ποαπασιασμός είναι ανάποδα r s sr Δείξετε ότι ) k[ G] op k[ G] (G ομάδα, k σώμα) ) op op op ) M ( R) M ( R )

v) Ed R op ( R) R a b 4 Έστω R M ( ), R a, b Ως -άγεβρες, R b a 5 Έστω m 1 Το - πρότυπο m είναι από αν και μόνο αν ο m είναι πρώτος 6 Έστω R 0 ένας δακτύιος Τα ακόουθα είναι ισοδύναμα ) R είναι δακτύιος διαίρεσης ) κάθε R-πρότυπο είναι εεύθερο ) κάθε κυκικό R-πρότυπο είναι εεύθερο 7 Έστω I, J δυο ιδεώδη του R Τότε υπάρχει ακριβής ακοουθία της μορφής 0 I J R R / I R / J R / I J 0 (Για I J R προκύπτει το κινεζικό θεώρημα υποοίπων) 8 ) Έστω 0 A B C 0 μια ακριβής ακοουθία R-προτύπων Αν τα Α και C είναι πεπερασμένα παραγόμενα, τότε και το Β είναι πεπερασμένα παραγόμενο ) Έστω Μ, Ν υποπρότυπα ενός τρίτου R-προτύπου Αν τα M N και M N είναι πεπερασμένα παραγόμενα, τότε και τα Μ, Ν είναι πεπερασμένα παραγόμενα 9 Έστω V ένα D-πρότυπο πεπερασμένης τάξης, όπου D-δακτύιος διαίρεσης Θέτουμε R Ed (V ) ) Το V είναι R-πρότυπο με εξωτερικό ποαπασιασμό f v f ( v), f R, v V ) Το V είναι από R-πρότυπο ) Υπάρχει ισομορφισμός D Ed (V ), d ποαπασιασμός με το d R 10 Έστω R, S δυο δακτύιοι Θυμίζουμε ότι το κέντρο του R είναι ο υποδακτύιος C( R) { r R rs sr για κάθε s R} ) C( R S) C( R) C( S) ) C( M ( R)) C( R) ) D δακτύιος διαίρεσης C(D) σώμα v) Έστω D ένας δακτύιος διαίρεσης και V 0 ένα D -πρότυπο Τότε C( EdD ( V )) C( D) 11 Έστω Μ ένα R-πρότυπο Τα ακόουθα είναι ισοδύναμα ) Το Μ είναι από ) Για κάθε m M, m 0, M m ) Το M R / I για κάποιο μέγιστο ιδεώδες Ι του R 1 Δείξτε με παράδειγμα ότι γενικά δεν ισχύει Hom R M, N Hom( M, N ) Υπόδειξη: Έστω Λ = Λ Λ, Μ = Ν = R = σώμα Χρησιμοποιήστε το γεγονός ότι αν ένας διανυσματικός χώρος είναι ισόμορφος με τον δυϊκό του, τότε είναι πεπερασμένης διάστασης 13 Έστω k σώμα, G μια πεπερασμένη ομάδα, a G ανήκει στο κέντρο της άγεβρας k[ G ] και C gag 1 g G Δείξτε ότι το στοιχείο 14 Έστω G μια πεπερασμένη κυκική ομάδα τάξης και k ένα σώμα Αποδείξτε ότι υπάρχει k[ x] ισομορφισμός k -αγεβρών k[ G] x 1 15 Αποδείξτε ότι υπάρχει ισομορφισμός δακτυίων Ed M 16 Έστω R ένας δακτύιος Αποδείξτε ότι κάθε αμφίπευρο ιδεώδες του M ( R ) είναι της μορφής M ( I ), D cc c 15

όπου Ι είναι αμφίπευρο ιδεώδες του R 17 Έστω, 0 m Αποδείξτε ότι υπάρχει ισομορφισμός ομάδων Hom m, d, όπου d ( m, ) a 0 0 0 18 Έστω k ένα σώμα, R M ( k) b c και I R b c Εξετάστε αν το I είναι αμφίπευρο ιδεώδες του R Αηθεύει ότι το Ι είναι από R-πρότυπο; Αν όχι, να βρεθεί ένα από R-υποπρότυπο του I 16