ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 7

Transcript

1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : Παρασκευή 22 εκεµβρίου 2017 Ασκηση 1. Εστω f : E F µια απεικόνιση µεταξύ διανυσµατικών χώρων υπεράνω ενίος σώµατος K. δειχθεί ότι η f είναι γραµµική αν και µόνον αν, x, y E, λ K: f( x + λ y) = f( x) + λf( y). Να Ασκηση 2. Εστω C το σώµα των µιγαδικών αριθµών. Θα γράφουµε C C όταν ϑεωρούµε το C ως διανυσµατικό χώρο υπεράνω του C και ϑα γράφουµε C R όταν ϑεωρούµε το C ως διανυσµατικό χώρο υπεράνω του R. (1) Η απεικόνιση : δεν είναι γραµµική. (2) Η απεικόνιση : είναι γραµµική. f : C C C C, f : C R C R, f(z) = z f(z) = z Παραπάνω z συµβολίζει τον συζυγή του µιγαδικού αριθµού z = a + bi, δηλαδή z = a bi. Ασκηση 3. Να εξεταστεί ποιές από τις παρακάτω απεικονίσεις είναι γραµµικές. (1) f : R 2 R 3, f(x, y) = ((2x ) y, x, λ), όπου λ R. a b (2) f : M 2 (R) R 3 [x], f = (d b) (b c)x + ax c d 3. { x 2 (3) f : R 2 R, f(x, y) = y, αν y 0 0, αν y = 0 (4) f : R 2 R 2, f(x, y) = (x + 1, y). (5) f : R R[x], f(r) = ( rx + ) 1. a b (6) f : M 2 (R) R 3, f = ( 2a 1, b, c + d ). c d ( ) z w (7) f : C 2 M 2 (C), f(z, w) =, όπου οι εµπλεκόµενοι διανυσµατικοί χώροι ϑεωρούνται 0 z + iw υπεράνω του C. Ασκηση 4. Εστω f : E F µια γραµµική απεικόνιση µεταξύ K-διανυσµατικών χώρων. απεικόνιση Φ: E F E F, Φ( x, y) = ( x, y f( x)) είναι ισοµορφισµός και να ϐρεθεί η αντίστροφή της. Να δειχθεί ότι η

2 2 Υπενθυµίζουµε ότι αν f : E F είναι µια γραµµική απεικόνιση µεταξύ διανυσµατικών χώρων υπεράνω ενός σώµατιος K, όπου ο E έχει πεπερασµένη διάσταση, τότε η διάσταση dim K Im(f) καλείται η ϐαθµίδα της f και συµβολίζεται µε : r(f) = dim K Im(f) Ασκηση 5. Εστω η γραµµική απεικόνιση f : R 3 R 3 η οποία ορίζεται από τη σχέση : f(x, y, z) = (x + 2y, y z, 2x + 4y) Να ϐρεθεί µια ϐάση του πυρήνα Ker(f) και µια ϐάση της εικόνας Im(f) της f. Ποιά είναι η ϐαθµίδα της f; Ασκηση 6. Να εξεταστεί αν η γραµµική απεικόνιση είναι ισοµορφισµός. f : R n R n, f(x 1,, x n ) = (x 1, x 1 + x 2,, x 1 + x x n ) Ασκηση 7. Θεωρούµε την απεικόνιση D : K[x] K[x], D(P (x)) = P (x) η οποία στέλνει ένα πολυώνυµο P (x) στην παράγωγό του P (x), δηλαδή : D(a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n ) = a 1 + 2a 2 x + 3a 3 x na n x n 1 (1) Να δειχθεί ότι η απεικόνιση D είναι γραµµική, και επάγει µια γραµµική απεικόνιση D : K n [x] K n [x], D(P (x)) = P (x) (2) Να ϐρεθούν ϐάσεις για τον πυρήνα και την εικόνα της D όταν η D ϑεωρηθεί ως γραµµική απεικόνιση Ποιά είναι τότε η ϐαθµίδα της D; (3) Να δειχθεί ότι D n+1 = 0. D : K n [x] K n [x], D(P (x)) = P (x) Ασκηση 8. Εστω ρ 0, ρ 1,, ρ n ανά δύο διαφορετικά στοιχεία ενός σώµατος K. Να δειχθεί ότι η απεικόνιση : f : K n [x] K n+1, f(p (x)) = ( P (ρ 0 ), P (ρ 1 ),, P (ρ n ) ) είναι ισοµορφισµός. Ασκηση 9. Εστω E ένας διανυσµατκός χώρος πεπερασµένης διάστασης υπεράνω του σώµατος K. (1) Αν V είναι ένας υπόχωρος του E, να δειχθεί ότι υπάρχει γραµµική απεικόνιση f : E E έτσι ώστε : Ker(f) = V (2) Αν W είναι ένας υπόχωρος του E, να δειχθεί ότι υπάρχει γραµµική απεικόνιση g : E E έτσι ώστε : Im(g) = W Ασκηση 10. Εστω f : E E µια γραµµική απεικόνιση, όπου ο K-διανυσµατικός χώρος E έχει πεπερασµένη διάσταση.

3 3 (1) Να δείξετε ότι η f είναι µονοµορφισµός αν και µόνον αν η f στέλνει γραµµικά ανεξάρτητα σύνολα διανυσµάτων σε γραµµικά ανεξάρτητα σύνολα διανυσµάτων : C = { e 1, e 2,, e k : γραµµικά ανεξάρτητο σύνολο = f(c) = { f( e 1 ), f( e 2 ),, f( e k ) : γραµµικά ανεξάρτητο σύνολο (2) Να δείξετε ότι η f είναι ισοµορφισµός αν και µόνον αν η f στέλνει τυχούσα ϐάση του E σε ϐάση του E: B = { e 1, e 2,, e n : ϐάση του E = f(b) = {f( e1 ), f( e 2 ),, f( e n ) : ϐάση του E Ασκηση 11. Εστω E ένας διανυσµατικός χώρος πεπερασµένης διάστασης υπεράνω ενός σώµατος K και έστω f : E E µια γραµµική απεικόνιση. Να δειχθεί ότι : και υπάρχει r N: { 0 Ker(f) Ker(f 2 ) Ker(f 3 ) Ker(f k ) Ker(f k+1 ) E Ker(f r ) = Ker(f r+1 ) = Ker(f r+2 ) = Ασκηση 12. Εστω E ένας διανυσµατικός χώρος πεπερασµένης διάστασης υπεράνω ενός σώµατος K και έστω f : E E µια γραµµική απεικόνιση. Να δειχθεί ότι : και υπάρχει s N: E Im(f) Im(f 2 ) Im(f 3 ) Im(f k ) Im(f k+1 ) { 0 Im(f s ) = Im(f s+1 ) = Im(f s+2 ) = Ασκηση 13. Εστω f : E E µια γραµµική απεικόνιση, και έστω B = { e 1, e 2,, e n µια ϐάση του E. (1) Υποθέτουµε ότι : f( e 1 ) = e 2, f( e 2 ) = e 3,, f( e n 1 ) = e n, f( e n ) = e 1 Να δειχθεί ότι : f n = Id E, η f είναι ισοµορφισµός και να ϐρεθεί η αντίστροφή της. (2) Υποθέτουµε ότι : f( e 1 ) = e 2, f( e 2 ) = e 3,, f( e n 1 ) = e n, f( e n ) = 0 Να δειχθεί ότι : f n = 0 και να ϐρεθεί η ϐαθµίδα της f. Ασκηση 14. Να ϐρεθούν ϐάσεις για τον πυρήνα Ker(f) και την εικόνα Im(f) της γραµµικής απεικόνισης : f : R 3 R 3, f(x, y, z) = (x + 2y, y x, x + 2z) Είναι η f ισοµορφισµός Αν η f είναι ισοµορφισµός, να ϐρεθεί η f 1. Ασκηση 15. Θεωρούµε τη γραµµική απεικόνιση : f : R 4 R 3, f(x, y, z, w) = (x z + 2w, 2x + y + 2z, y + 4w) (1) Να ϐρεθούν ϐάσεις για τον πυρήνα Ker(f) και την εικόνα Im(f) της f. (2) Να δειχθεί ότι το διάνυσµα (1, 3, κ) Im(f) κ = 5. (3) Ποια συνθήκη πρέπει να ικανοποιούν τα a, b R έτσι ώστε (1, a, 1, b) Ker(f); Ασκηση 16. Θεωρούµε τη γραµµική απεικόνιση f : R 3 R 3, f(x, y, z) = (x + 3z, 3y + z, x + 6y z) (1) Να ϐρεθούν ϐάσεις για τον πυρήνα Ker(f) και την εικόνα Im(f) της f.

4 4 (2) Να ϐρεθούν οι υπόχωροι f(v) και f 1 (W), όπου : V = { (x, y, z) R 3 x y + 2z = 0 και W = { (x, y, z) R 3 2x 5y + z = 0 Ασκηση 17. Εστω f : E E µια γραµµική απεικόνιση, όπου dim K E <. Εστω ότι f n = 0 και f n 1 0. Αν x E, να δείξετε ότι f n 1 ( x) 0 αν και µόνο αν το σύνολο { x, f( x),, f n 1 ( x) είναι γραµµικά ανεξάρτητο. Ασκηση 18. Θεωρούµε τον 2 2 πίνακα πραγµατικών αριθµών ( ) 1 0 A = 1 1 και έστω η γραµµική απεικόνιση f : M 2 (R) M 2 (R), f(m) = AM MA Να ϐρεθούν ϐάσεις για τον πυρήνα Ker(f) και την εικόνα Im(f) της f. Ασκηση 19. Θεωρούµε τη ϐάση του R 2 [t] και τα διανύσµατα B := { e 1 = 1, e 2 = t, e 3 = t 2 w 1 = 1 + t, w 2 = 3 t 2, w 3 = 4 + 2t 3t 2 του R 2 [t]. Να προσδιορισθεί η µοναδική γραµµική απεικόνιση f : R 2 [t] R 2 [t] έτσι ώστε : f( e i ) = w i, 1 i 3. Ακολούθως να εξετασθεί αν η f είναι ισοµορφισµός. Αν η f δεν είναι ισοµορφισµός να ϐρεθούν ϐάσεις για τον πυρήνα Ker(f) και την εικόνα Im(f) της f. Ασκηση 20. Εστω f, g : E F δύο γραµµικές απεικονίσεις, όπου οι K-διανυσµατικοί χώροι E και F έχουν πεπερασµένη διάσταση, και λ K. (1) (2) { 0, αν λ = 0 r(λf) = r(f), αν λ 0 r(f) r(g) r(f + g) r(f) + r(g) Ασκηση 21. Εστω f : E F και g : F G γραµµικές απεικονίσεις µεταξύ διανυσµατικών χώρων πεπερασµένης διάστασης. Να δειχθεί ότι : (1) r(g f) r(g). (2) (3) Ιδιαίτερα : r(g f) r(f). r(f) r(g f) = dim K ( Im(f) Ker(g) ) r(g f) min { r(f), r(g) (4) Αν η g είναι µονοµορφισµός, τότε : r(f) = r(g f). (5) Αν η f είναι επιµορφισµός, τότε : r(g) = r(g f).

5 5 Ασκηση 22. Εστω f : E E µια γραµµική απεικόνιση, όπου E είναι ένας διανυσµατικός χώρος πεπερασµένης διάστασης υπεράνω ενός σώµατος K. Υποθέτουµε ότι f 2 = 0. Να δειχθούν τα ακόλουθα : (1) Im(f) Ker(f). (2) dim K E 2 dim K Ker(f). (3) dim K E = 2 dim K Ker(f) αν και µόνον αν Im(f) = Ker(f). (4) Αν η διάσταση του E είναι περιττός αριθµός, τότε δεν υπάρχει γραµµική απεικόνιση f : E E έτσι ώστε Im(f) = Ker(f). (5) εν υπάρχει τετραγωνικός πίνακας A M 2n+1 (K) έτσι ώστε το σύνολο λύσεων του οµογενούς γραµµικού συστήµατος (Σ) : AX = 0 να είναι το Λ(Σ) = { AX K 2n+1 X K 2n+1 Ασκηση 23. Εστω f : E E µια γραµµική απεικόνιση, όπου E είναι ένας διανυσµατικός χώρος πεπερασµένης διάστασης υπεράνω ενός σωµατος K. Να δειχθεί ότι τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα : (1) Im(f) = Im(f 2 ). (2) dim K Im(f) = dim K Im(f 2 ). (3) Ker(f) = Ker(f 2 ). (4) dim K Ker(f) = dim K Ker(f 2 ). (5) E = Ker(f) + Im(f). (6) Ker(f) Im(f) = { 0. Αν ισχύει µια από τις παραπάνω ισοδύναµες συνθήκες, τότε : E = Ker(f) Im(f) Ασκηση 24. Εστω f, g : E E δύο γραµµικές απεικόνισεις, όπου E είναι ένας διανυσµατικός χώρος πεπερασµένης διάστασης υπεράνω ενός σωµατος K. Να δειχθεί ότι : f g = Id E = g f = Id E Ισχύει το συµπέρασµα αν ο διανυσµατικός χώρος έχει άπειρη διάσταση ; Ασκηση 25. Εστω E ένας K-διανυσµατικός χώρος υπεράνω ενός σώµατος K. (1) Να δειχθεί ότι κάθε µη-µηδενική γραµµική απεικόνιση f : K E είναι µονοµορφισµός. (2) Να δειχθεί ότι κάθε µη-µηδενική γραµµική απεικόνιση f : E K είναι επιµορφισµός. Ασκηση 26. Εστω f, g : E K δύο µη µηδενικές γραµµικές απεικονίσεις, όπου E είναι ένας διανυσµατικός χώρος πεπερασµένης διάστασης υπεράνω ενός σώµατος K. Ορίζουµε µια νέα απεικόνιση ως εξής : h : E K 2, x h( x) := ( f( x), g( x) ) Να δείξετε τα ακόλουθα : (1) Η απεικόνιση h είναι γραµµική. (2) Ker(h) = Ker(f) Ker(g). (3) Im(h) = K 2 (δηλαδή η h είναι επιµορφισµός) αν και µόνον αν Ker(f) + Ker(g) = E. (4) Η h είναι ισοµορφισµός αν και µόνον αν E = Ker(f) Ker(g). Ασκηση 27. Εστω E ένας διανυσµατικός χώρος υπεράνω εµνός σώµατος K και έστω f : E E µια γραµµική απεικόνιση έτσι ώστε : f 2 = Id E. Αν E + = { x E f( x) = x και E = { x E f( x) = x

6 6 Να δειχθεί ότι τα υποσύνολα E + και E είναι υπόχωροι του E και : Να δοθεί παράδειγµα τέτοιας γραµµικής απεικόνισης. E = E + E Ασκηση 28. Εστω E ένας K-διανυσµατικός χώρος υπεράνω ενός σώµατος K. Να δειχθεί ότι υπάρχει ένας ισοµορφισµός K-διανυσµατικών χώρων E = L(K, E) Ασκηση 29. Εστω E ένας K-διανυσµατικός χώρος πεπερασµένης διάστασης υπεράνω ενός σώµατος K. Να δειχθεί ότι υπάρχει ένας ισοµορφισµός διανυσµατικών χώρων E = L(E, K) Ο K-διανυσµατικός χώρος L(E, K) καλείται ο δυϊκός χώρος του E και συµβολίζεται µε : E = L(E, K) ή Ê = L(E, K) τα δε στοιχεία του, δηλαδή οι γραµµικές απεικονίσεις f : E K καλούνται γραµµικές µορφές. Ετσι για κάθε K-διανυσµατικό χώρο E ορίζεται ο δυϊκός του K-διανυσµατικός χώρος E. Ιδιαίτερα ορίζεται ο δυϊκός χώρος E = (E ) του δυϊκού χώρου E, ο οποίος καλείται ο διπλά δυϊκός χώρος του E. Ασκηση 30. Εστω E ένας διανυσµατικός χώρος πεπερασµένης διάστασης υπεράνω του σώµατος K. Τότε η απεικόνιση Ω: E E, x Ω( x): E K, Ω( x)(f) = f( x) είναι ένας ισοµορφισµός.