ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ηλεκτρισμός & Μαγνητισμός Επίλυση κυκλωμάτων εναλλασομένου ρεύματος Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Ν. Νικολής
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.
Ηγεωμετρικήμέθοδος Η επίλυση ενός κυκλώματος AC με την γεωμετρική μέθοδο βασίζεται στην κατασκευή του κατάλληλου διανυσματικού διαγράμματος. Σημειώσατε ότι για εξαρτήματασυνδεδεμένασεσειράήπαράλληλα,τομέγεθοςαναφοράςθαείναι τοπλάτοςτουρεύματοςήτηςτάσης,αντίστοιχα.γιαπαράδειγμα, Παράδειγμα Στα άκρα του κυκλώματος RLC σειράς του Σχήματος, εφαρμόζεται τάση. Το συνολικό ρεύμα έχει την μορφή. Να υπολογίσετε το,, την συνολική εμπέδιση Ζ, και την μέση ισχύ που καταναλώνεταιστηνr.ναδιερευνήσετετηνεξάρτησητωνμεγεθώναυτώναπό τηνκυκλικήσυχνότηταω. Ν.Γ.Νικολής,ΔιαλέξειςΗλεκτρισμούκαιΜαγνητισμού(2015)
Γνωρίζουμεότι Απότοδιανυσματικόδιάγραμμαβλέπουμεότι Δηλαδή, Άρα, Z = V 0 = R 2 ωl 1 I 0 ωc 2 Απότοδιανυσματικόδιάγραμμα,ηδιαφοράφάσηςείναι Άρα, tanφ = ωl 1 ωc R Παρατηρούμεότι Z = Z(ω). Διερεύνηση Ν.Γ.Νικολής,ΔιαλέξειςΗλεκτρισμούκαιΜαγνητισμού(2015)
Ησυνολικήεμπέδησηγίνεταιελάχιστηόταν ω 0 L = 1 ω 0 C ω 2 0 = 1 LC,δηλαδή όταν ω 0 = 1 LC Ηω 0 ονομάζεταικυκλικήσυχνότητασυντονισμούτουκυκλώματος. Στησυνέχεια,παρατηρούμεότιγιαV 0 = σταθ.,τοπλάτος I 0 = V 0 R 2 ωl 1 = I 2 0(ω) ωc Στη συχνότητα συντονισμού, το πλάτος του ρεύματος γίνεται μέγιστο, ίσο με I 0 = V 0.Ειδικότερα,εάν το γίνεταιάπειρο. R Γιατηνφάση φ,όπου tanφ = ωl 1 ωc έχουμεότι R Ν.Γ.Νικολής,ΔιαλέξειςΗλεκτρισμούκαιΜαγνητισμού(2015)
o Όταν ωl > 1 ωc ω > 1 LC = ω 0 φ > 0 και όταν ω, το φ π 2. o ΌτανωL = 1 ωc ω = 1 LC = ω 0 φ = 0. o ΌτανωL < 1 ωc ω < ω 0 φ < 0καιότανω << ω 0,τοφ π 2. Το διανυσματικό διάγραμμα για συχνότητα μικρότερη, ίση ή μεγαλύτερη από τηνσυχνότητασυντονισμούφαίνεταιστοεπόμενοσχήμα.σεκάθεπερίπτωση, το κύκλωμα παρουσιάζει επαγωγική, ωμική και χωρητική συμπεριφορά, αντίστοιχα. ΗμέσηισχύςπουκαταναλώνεταιστηνRείναι Ν.Γ.Νικολής,ΔιαλέξειςΗλεκτρισμούκαιΜαγνητισμού(2015)
P = 1 I V = 1 I V 2 2 0 0 2 0R = 1 0 2 Z 2 R = 1 V 2 R 2 0 R 2 + ωl 1 ωc Η σχέση αυτή εκφράζεται καλύτερα συναρτήσει της συχνότητας συντονισμού, αφού ωl 1 ωc Έχουμε 2 1 = ωl 1 ω 2 LC P = 1 V 2 ω 2 R 2 0 ω 2 R 2 + L 2 ω 2 2 ( ω 0 ) 2 = ω 2 L 2 1 ω 2 0 ω 2 2 = L2 2 ω ω 2 2 ( ω 2 0 ),όπουω 2 0 = 1 LC. Ημέσηισχύςγίνεταιμέγιστηκαιίσημε P 0 = 1 2 V 02 Rστησυχνότητασυντονισμού. Ηκαμπύλη P = P(ω)γίνεταιστενότερηκοντάστηνω 0 όσομικρότερηείναιηrή γιαμεγάλεςτιμέςτουl. Ένα μέτρο του εντοπισμού της καμπύλης ισχύος κοντά στην συχνότητα συντονισμούδίδεταιαπότονσυντελεστήποιότητας Ν.Γ.Νικολής,ΔιαλέξειςΗλεκτρισμούκαιΜαγνητισμού(2015) Q 0 = ω 0 Δω όπου Δω είναι το πλάτος της καμπύλης ανάμεσα στις δύο τιμές της ω που αντιστοιχούν στο μισό της μέγιστης τιμής P 0. Επομένως, ο συντελεστής ποιότηταςεκφράζειποσοτικάπόσοστενήείναιηκαμπύληισχύοςστηνπεριοχή τουσυντονισμού.όσομεγαλύτεροςείναιοq 0 τόσομικρότεροείναιτοεύρος. Αποδεικνύεταιότι Δω = R L (βλέπεεπόμενοπρόβλημα). Επομένως,οσυντελεστήςισχύοςτουκυκλώματοςRLCσειράςισούταιμε Q 0 = ω 0L R Βλέπουμε και πάλι (εναλλακτικά) ότι η καμπύλη ισχύος γίνεται πιό στενή (μεγάλο Q 0 )όταντοrείναιμικρόήόταντοlείναιπολύμεγάλο.
Πρόβλημα ΣτοκύκλωμαRLCσειράς,ναδείξετεότιτοεύροςτηςκατανομήςμέσηςισχύος ισούταιμε Δω = R L. P = 1 V 2 ω 2 R 2 0 ω 2 R 2 + L 2 ω 2 2 ( ω 0 ) Δω είναι το πλάτος της καμπύλης ανάμεσα στις δύο τιμές της ω που αντιστοιχούνστομισότηςμέγιστηςτιμήςτης P, Δω = ω 1 ω 2. Έχουμε P max = 1 2 V 0 2 R.Οιτιμέςτων ω, ω θαπροκύψουνωςλύσειςτηςεξίσωσης 1 2 P = 1 P max.έχουμε 2 1 V 2 ω 2 R 2 0 ω 2 R 2 + L 2 ω 2 2 ( ω 0 ) = 1 2 1 V 0 2 2 R Ητελευταίαεξίσωσηέχειρίζες R 2 ω 2 = L 2 ω 2 2 ( ω 0 ) 2 L ω 2 2 ( ω 0 ) = ±Rω Lω 2 ± Rω Lω 0 2 = 0 ω 1 = R + R2 + 4L 2 ω 0 2 2L Ν.Γ.Νικολής,ΔιαλέξειςΗλεκτρισμούκαιΜαγνητισμού(2015) καιω 1 = R + R2 + 4L 2 2 ω 0 2L
Άρα, Δω = ω 1 ω 2 = R L Ν.Γ.Νικολής,ΔιαλέξειςΗλεκτρισμούκαιΜαγνητισμού(2015)
Τέλος Ενότητας
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
Σημειώματα
Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: Έκδοση 1.0 διαθέσιμη εδώ. http://ecourse.uoi.gr/course/view.php? id=1298.
Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Ν. Νικολής. «Ηλεκτρισμός & Μαγνητισμός. Επίλυση κυκλωμάτων εναλλασομένου ρεύματος. Έκδοση: 1.0. Ιωάννινα 2014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://ecourse.uoi.gr/course/view.php?i d=1298.
Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή, Διεθνής Έκδοση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη. [1] https://creativecommons.org/licenses/ by-sa/4.0/