Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης

Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης

3 η Διάλεξη-Περιεχόμενα (1/2) Σημείο ή ζεύγος ισορροπίας κατά Nash Λύση ακολουθιακής κυριαρχίας και σημεία ισορροπίας Nash Αλγοριθμική εύρεση σημείων ισορροπίας Ισορροπία Nash σε συνεχή παίγνια

3 η Διάλεξη-Περιεχόμενα (2/2) Ισορροπία με αμιγείς στρατηγικές σε παίγνια σταθερού αθροίσματος Αλγόριθμος εύρεσης ισορροπίας σε παίγνια σταθερού αθροίσματος. Εξασφαλισμένη έκβαση παιγνίου σταθερού αθροίσματος Στρατηγική MAXIMIN και MINIMAX σε παίγνια σταθερού αθροίσματος

Σημείο ή ζεύγος ισορροπίας κατά Nash (1/4) Υποθέτουμε ότι για ένα παίγνιο 2 παικτών, το οποίο αναλύθηκε από έναν ειδήμονα, μας προτείνεται το ζεύγος στρατηγικών Σ* για τον Ι και Τ* για τον ΙΙ. Υποθέτουμε ακόμη ότι οι 2 στρατηγικές είναι όντως οι καλύτερες για τους 2 παίκτες, αλλά αυτοί δεν μπορούν για κάποιους λόγους να δεσμευθούν αμοιβαία ότι θα τις ακολουθήσουν. Σημείωση: η επόμενη ύλη αφορά σε παίγνια μη σταθερού αθροίσματος, εκτός και αν δηλωθεί ρητά διαφορετικά.

Σημείο ή ζεύγος ισορροπίας κατά Nash (2/4) Ο παίκτης Ι μπορεί να σκεφτεί ως εξής: αν όντως ο αντίπαλός μου επιλέξει την στρατηγική Τ*, τότε εγώ πρέπει να επιλέξω την στρατηγική που μεγιστοποιεί τα κέρδη μου δοθείσης της Τ*. Πρέπει δηλαδή να λύσω το πρόβλημα max Σ (Σ, Τ*). Αν η στρατηγική που μου προτάθηκε, δηλ. η Σ* δεν ταυτίζεται με την λύση του προηγούμενου προβλήματος, πρέπει να αναθεωρηθεί.

Σημείο ή ζεύγος ισορροπίας κατά Nash (3/4) Ανάλογες σκέψεις μπορεί να κάνει και ο παίκτης ΙΙ. Τελικά, για να θεωρηθούν 2 στρατηγικές ως εύλογες για την έκβαση ενός παιγνίου 2 παικτών, υπό την έννοια ότι οι παίκτες δεν θα έχουν κίνητρο να αποκλίνουν από αυτές, θα πρέπει να ισχύουν οι σχέσεις: K I (Σ*, Τ*) >= Κ Ι (Σ, Τ*), για κάθε Σ. K IΙ (Σ*, Τ*) >= Κ Ι (Σ*, Τ), για κάθε Τ. Ένα ζεύγος στρατηγικών Σ*, Τ* που ικανοποιεί τις προηγούμενες σχέσεις ονομάζονται σημείο (ή ζεύγος) ισορροπίας (κατά Nash).

Σημείο ή ζεύγος ισορροπίας κατά Nash (4/4) Περιφραστικά θα μπορούσαμε να πούμε ότι το σημείο ισορροπίας Nash είναι μια ευσταθής έκβαση του παιγνίου, που καθορίζεται από κάποιες συγκεκριμένες στρατηγικές, υπό την έννοια ότι οι παίκτες δεν έχουν κανέναν λόγο να αποκλίνουν από τις στρατηγικές αυτές. Πρόκειται δηλαδή για ένα ιδανικό σημείο για όλους τους παίκτες. Ο ορισμός επεκτείνεται και για Ν παίκτες. Σε ένα παίγνιο μπορεί να υπάρχει ένα, πολλά ή κανένα σημείο ισορροπίας. (Δείτε τα επόμενα παραδείγματα)

1 ο Παράδειγμα ισορροπίας Nash Στην 2 η Διάλεξη, στο 1 ο παράδειγμα, το ζεύγος σ2, τ2 είναι το μοναδικό σημείο ισορροπίας. Η λύση αυστηρής ακολουθιακής κυριαρχίας που αναπτύχθηκε (απαλοιφή της σ1 και στην συνέχεια της τ1) οδηγεί στο σημείο Nash. Όταν η ακολουθιακή λύση είναι αυστηρή, τότε οδηγεί πάντα στο σημείο ισορροπίας.

2 ο Παράδειγμα ισορροπίας Nash Στην 2 η Διάλεξη, στο 2 ο Παράδειγμα, η ακολουθιακή λύση (Βόρεια, Βόρεια) είναι σημείο ισορροπίας Nash. Η λύση ακολουθιακής κυριαρχίας (Βόρεια, Βόρεια), αν και όχι αυστηρή, οδηγεί στο σημείο ισορροπίας. Όταν η ακολουθιακή λύση δεν είναι αυστηρή, ενδέχεται να μην οδηγήσει στο σημείο ισορροπίας.

3 ο Παράδειγμα ισορροπίας Nash (1/2) Δύο εταιρείες εξετάζουν την κάθοδο σε δύο διαφορετικές αγορές Α, Β. Αν και οι δύο κατέλθουν στην ίδια αγορά, τα κέρδη θα είναι αμελητέα και για τις δύο λόγω του ανταγωνισμού. Αν όμως κατέλθουν σε διαφορετικές αγορές δε θα υπάρξει ανταγωνισμός και επομένως θα είναι και οι δύο κερδοφόρες. Δεχόμαστε ότι η αγορά Α είναι πιο προσοδοφόρα από τη Β.

3 ο Παράδειγμα ισορροπίας Nash (2/2) Η κανονική μορφή του παιγνίου είναι: Επιβεβαιώνεται εύκολα ότι υπάρχουν 2 σημεία ισορροπίας: (Α, Β) και (Β, Α). Προφανώς ο παίκτης Ι επιδιώκει το σημείο (Α, Β) ενώ ο ΙΙ επιδιώκει το (Β, Α). Δεν είναι όμως σαφής από την ανάλυση η εξέλιξη του παιγνίου, καθώς στην προσπάθειά τους να εξασφαλίσουν οι παίκτες την αγορά Α, μπορεί να καταλήξουν στο (Α, Α), το οποίο είναι δυσμενές και για τους δύο.

Αλγοριθμική εύρεση σημείου ισορροπίας Σε παίγνια δύο παικτών, ο προσδιορισμός των (τυχόν) σημείων ισορροπίας γίνεται αλγοριθμικάδιαγραμματικά: 1. Για κάθε στρατηγική του Ι υπογραμμίζουμε στον πίνακα του παιγνίου την βέλτιστη επιλογή του ΙΙ, δεχόμενοι ότι ο ΙΙ γνωρίζει την επιλογή του Ι. 2. Επαναλαμβάνουμε, αντιστρέφοντας τους ρόλους των Ι και ΙΙ. 3. Τα στοιχεία με 2 υπογραμμίσεις είναι σημεία ισορροπίας, αφού ικανοποιούν και τις 2 σχέσεις του ορισμού.

4 ο Παράδειγμα ισορροπίας Nash Εκτελώντας τον διαγραμματικό αλγόριθμο, επιβεβαιώστε ότι στο παρακάτω παίγνιο το μοναδικό σημείο ισορροπίας είναι το (Β, Γ). Επιβεβαιώστε ότι δεν υπάρχουν κυριαρχούμενες στρατηγικές.

5 ο Παράδειγμα ισορροπίας Nash Εκτελώντας τον διαγραμματικό αλγόριθμο, επιβεβαιώστε ότι στο παρακάτω παίγνιο το μοναδικό σημείο ισορροπίας είναι το (Α, Β). Για τις κυριαρχούμενες στρατηγικές: η Α του παίκτη Ι κυριαρχείται από την Β (ασθενώς). Η στρατηγική Β του παίκτη ΙΙ κυριαρχείται από την Γ (ασθενώς). Αν προχωρήσουμε στις αντίστοιχες απαλοιφές, τότε το παίγνιο που προκύπτει δεν έχει πλέον το αρχικό σημείο ισορροπίας. Αυτό συνέβη λόγω της απαλοιφής ασθενώς και όχι αυστηρώς κυριαρχούμενων στρατηγικών.

Ισορροπία Nash σε συνεχή παίγνια (1/2) Θυμίζουμε ότι ένα παίγνιο καλείται συνεχές όταν τα σύνολα των στρατηγικών των παικτών του δεν είναι διακριτά αλλά συνεχή διαστήματα, π.χ. [0, 1]. Τα συνεχή παίγνια έχουν πολλές εφαρμογές στην Οικονομική Επιστήμη. Αν τα συνεχή σύνολα στρατηγικών είναι διαφορίσιμα (παραγωγίσιμα) ως προς τις στρατηγικές, τότε η ανάλυση των συνεχών παιγνίων διευκολύνεται με την χρήση του Διαφορικού Λογισμού.

Ισορροπία Nash σε συνεχή παίγνια (2/2) Οι δύο γνωστές συνθήκες που ορίζουν την ισορροπία Nash στα διακριτά παίγνια, στα συνεχή παίγνια διαμορφώνονται ως εξής: 1. 2. Ο προσδιορισμός του σημείου ισορροπίας γίνεται συνήθως με βάση την επίλυση των 2 παραπάνω αναγκαίων σχέσεων.

1 ο Παράδειγμα ισορροπίας συνεχούς παιγνίου (1/4) Έστω οι εξής συναρτήσεις κέρδους σε συνεχές παίγνιο δύο παικτών: Να βρεθεί το σημείο ισορροπίας κατά Nash.

1 ο Παράδειγμα ισορροπίας συνεχούς παιγνίου (2/4) Λύση Από την συνάρτηση κέρδους του παίκτη Ι, παραγωγίζοντας ως προς χ έχουμε: και εξισώνοντας με το 0 λαμβάνουμε: (i)

1 ο Παράδειγμα ισορροπίας συνεχούς παιγνίου (3/4) Από την συνάρτηση κέρδους του παίκτη ΙI, παραγωγίζοντας ως προς y έχουμε: και εξισώνοντας με το 0, λαμβάνουμε: (ii)

1 ο Παράδειγμα ισορροπίας συνεχούς παιγνίου (4/4) Κατά την ισορροπία Nash, οι δύο προηγούμενες σχέσεις (i) και (ii) ισχύουν ταυτόχρονα. Θεωρώντας λοιπόν ότι ορίζουν ένα σύστημα εξισώσεων και επιλύοντάς το, βρίσκουμε τις παρακάτω τιμές των στρατηγικών x και y, οι οποίες ορίζουν το σημείο ισορροπίας κατά Nash στο συνεχές παίγνιο:

2 ο Παράδειγμα ισορροπίας συνεχούς παιγνίου (1/4) Έστω οι εξής συναρτήσεις κέρδους σε συνεχές παίγνιο δύο παικτών: Να βρεθεί το σημείο ισορροπίας κατά Nash.

2 ο Παράδειγμα ισορροπίας συνεχούς Λύση παιγνίου (2/4) Από την συνάρτηση κέρδους του παίκτη Ι, παραγωγίζοντας ως προς χ έχουμε: και εξισώνοντας με το 0, λαμβάνουμε: (i)

2 ο Παράδειγμα ισορροπίας συνεχούς παιγνίου (3/4) Από την συνάρτηση κέρδους του παίκτη ΙI, παραγωγίζοντας ως προς y έχουμε: και εξισώνοντας με το 0, λαμβάνουμε: (ii)

2 ο Παράδειγμα ισορροπίας συνεχούς παιγνίου (4/4) Κατά την ισορροπία Nash, οι δύο προηγούμενες σχέσεις (i) και (ii) ισχύουν ταυτόχρονα. Θεωρώντας λοιπόν ότι ορίζουν ένα σύστημα εξισώσεων και επιλύοντάς το, βρίσκουμε τις παρακάτω τιμές των στρατηγικών x και y, οι οποίες ορίζουν το σημείο ισορροπίας κατά Nash στο συνεχές παίγνιο:

Ισορροπία με αμιγείς στρατηγικές σε παίγνια σταθερού αθροίσματος (1/3) Ότι αναφέρθηκε μέχρι τώρα για την ισορροπία Nash, αφορούσε σε παίγνια μη σταθερού αθροίσματος. Ας θεωρήσουμε ένα παίγνιο 2 παικτών σταθερού αθροίσματος. Έστω i οι στρατηγικές του παίκτη I και j οι στρατηγικές του παίκτη II, με i = 1, 2,.., M και j = 1, 2,.., N Έστω a i,j τα κέρδη του παίκτη Ι αν στο παίγνιο ακολουθηθούν οι στρατηγικές i και j από τους παίκτες I και II αντίστοιχα. Αφού το παίγνιο είναι σταθερού αθροίσματος, τα κέρδη του παίκτη II είναι c - a i,j, με c σταθερά ανεξάρτητη των i και j.

Ισορροπία με αμιγείς στρατηγικές σε παίγνια σταθερού αθροίσματος (2/3) Τα κέρδη και των 2 παικτών είναι γνωστά, αν δοθεί μόνο ο πίνακας των κερδών του παίκτη Ι, ο οποίος έχει διάσταση Μ x N. Για να ικανοποιεί ένα ζεύγος στρατηγικών i, j τις συνθήκες ισορροπίας Nash (που μελετήσαμε για παίγνια μη σταθερού αθροίσματος) θα πρέπει να ισχύουν οι σχέσεις: a i,j a i,j, για κάθε i και c a i,j c - a i,j, για κάθε j Οι παραπάνω σχέσεις συνοψίζονται ως: a i,j a i,j a i,j για κάθε i, j.

Ισορροπία με αμιγείς στρατηγικές σε παίγνια σταθερού αθροίσματος (3/3) Λόγω της προηγούμενης σχέσης, το ζεύγος των στρατηγικών i, j, οι οποίες ορίζουν το σημείο ισορροπίας Nash σε παίγνιο σταθερού αθροίσματος, ονομάζεται και σημείο minimax ή σαγματικό σημείο (η γραφική του παράσταση μοιάζει με σάγμα σέλα) ή απλώς σημείο ισορροπίας. Η ορολογία minimax δικαιολογείται καθώς το σημείο είναι το ελάχιστο ως προς τα στοιχεία της γραμμής i και το μέγιστο ως προς τα στοιχεία της στήλης j.

Αλγόριθμος εύρεσης ισορροπίας σε παίγνια σταθερού αθροίσματος. Ο αλγόριθμος μοιάζει με αυτόν που εφαρμόζεται στα παίγνια μη σταθερού αθροίσματος. 1. Για κάθε γραμμή υπογραμμίζουμε το ελάχιστο στοιχείο της γραμμής. 2. Για κάθε στήλη σημειώνουμε με άνω παύλα το μέγιστο στοιχείο της στήλης. 3. Τα στοιχεία που έχουν ταυτόχρονα και υπογράμμιση και άνω παύλα είναι τα σαγματικά σημεία (σημεία ισορροπίας).

Παραδείγματα εύρεσης ισορροπίας παιγνίων σταθερού αθροίσματος

Παραδείγματα εύρεσης ισορροπίας παιγνίων σταθερού αθροίσματος Υπογραμμίζουμε το ελάχιστο κάθε γραμμής και θέτουμε άνω παύλα στο μέγιστο κάθε στήλης. Παίγνιο 1: Ένα σημείο ισορροπίας, το (1, 2) με κέρδος 2 για τον παίκτη Ι. Παίγνιο 2:Κανένα σημείο ισορροπίας. Παίγνιο 3:Τέσσερα σημεία ισορροπίας: (1,1), (1, 4), (4, 1) και (4, 4). Κέρδος 4 για τον παίκτη Ι. Το στοιχείο (4, 2) έχει επίσης κέρδος 4 χωρίς να είναι σημείο ισορροπίας.

Εξασφαλισμένη έκβαση παιγνίου σταθερού αθροίσματος (1/2) Ορίζουμε ως εξασφαλισμένη έκβαση του παιγνίου για τον παίκτη Ι το V I = max i {min j a i,j }, δηλαδή το μεγαλύτερο στοιχείο μεταξύ των μικρότερων κάθε γραμμής. Αυτό αποτελεί ένα επίπεδο εξασφαλισμένου κέρδους για τον παίκτη Ι. Ομοίως, για τον παίκτη ΙΙ ορίζουμε V II = min j {max i a i,j }, δηλαδή το μικρότερο στοιχείο μεταξύ των μεγαλύτερων κάθε στήλης. Από τις δύο παραπάνω προτάσεις συνεπάγεται ότι για το τελικό αποτέλεσμα του παιγνίου V (δηλαδή για το κέρδος του παίκτη Ι) ισχύει: V I V V II

Εξασφαλισμένη έκβαση παιγνίου σταθερού αθροίσματος (2/2) Από την προηγούμενη ανισότητα προκύπτει ότι : V I V II Επίσης, αν V I = V II τότε υπάρχει σημείο ισορροπίας και αντιστρόφως. Προφανώς αν V I < V II δεν υπάρχει σημείο ισορροπίας.

Στρατηγική Maximin και Minimax σε παίγνια σταθερού αθροίσματος (1/3) Αφού το maximin = minimax υπάρχει σημείο ισορροπίας: (Α2, Β2).

Στρατηγική Maximin και Minimax σε παίγνια σταθερού αθροίσματος (2/3) Παίγνιο με 2 σημεία ισορροπίας: (Α1, Β1) και (Α1, Β2)

Στρατηγική Maximin και Minimax σε παίγνια σταθερού αθροίσματος (3/3) Αφού maximin <> minimax, δεν υπάρχει σημείο ισορροπίας.