ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β H DOS περιγράφει ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΤΡΟΠΩΝ προσιτές σε προσδιορίσουμε ένα τον αριθμό σύστημα και των καταστάσεων είναι αρκετές ιδιότητες ενός συστήματος όπωs: σημαντική DOS που για είναι να - Την ενέργεια στο στερεό Κ6: Ταλαντώσεις πλέγματος ΠΥΚΝΟΤΗΤΑ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ DOS Densit Of States Τα ελεύθερα ηλεκτρόνια στα μέταλλα, Τις οπτικές ιδιότητες (εκπομπή, απορρόφηση), Την συγκέντρωση φορέων ημιαγωγό, Την ακτινοβολία μέλανος σώματος : Κ10 K11:Ηλεκτρόνια αγωγιμότητας Απαρίθμηση τρόπων Για το συνεχές μέσο κάθε μορφή ταλάντωσης =τρόπος =mode Για κατανομή μάζας που είναι διακριτή (= κρύσταλλο) είναι δυνατοί μόνο Στατιστική Φυσική Διαφάνεια 1 διακριτοί ( = αριθμήσιμοι) τρόποι ταλάντωσης. Στατιστική Φυσική Διαφάνεια Καταμετρώντας τους τρόπους και βρίσκοντας την f() Ένας τρόπος δόνησης είναι μια δόνηση ενός δεδομένου κυματοδιανύσματος (), συχνότητας ω και ενέργειας E ω Θέλουμε να μάθουμε πόσοι τρόποι βρίσκονται στο διάστημα μεταξύ ( ω, E, ) και ( ω dω, E de, d )? # τρόπων: dn f ( ) d f ( E) de f ( ) d αρχικά υπολογίζουμε τις επιτρεπόμενες καταστάσεις στον -χώρο f(). (Κατόπιν θα είμαστε σε θέση να υπολογίσουμε την f() και να βρούμε την για το πρότυπο του Debe.) Στατιστική Φυσική Διαφάνεια C Η πυκνότητα καταστάσεων για ένα ελεύθερο σωματίδιο στην 1-D υποθέτουμε ότι ένα σωματίδιο είναι μέσα σε ένα μεγάλο (ενεργειακή κβαντοποίηση) αλλά πεπερασμένο κουτί (φρεάτιο δυναμικού): =0 Για μακροσκοπικό οι ενεργειακές στάθμες είναι πολύ κοντά ημιαστηνάλλη (E ~ 1/ ) και η "συνεχής" περιγραφή λειτουργεί καλά 0 Στατιστική Φυσική Διαφάνεια 4
1-D Η κυμα. εξίσωση του Schrödinger a = Nα φ( ) ( ) ( ) ( ) φ Eφ m μας δίνει τις επιτρεπτές κβαντικές καταστάσεις Πρώτο βήμα: απλοποιούμε το πρόβλημα Oριακές συνθήκες χρησιμοποιώντας οριακές συνθήκες Ι. Σταθερά άκρα ( ) 0 0, Οριακές συνθήκες ίδιες με μιας χορδής με σταθερά άκρα Ι. Σταθερά άκρα Στάσιμα κύματα II.Ταύτιση των άκρων-κυκλική συνθήκη Περιοδικές οριακές συνθήκες Οδεύοντα κύματα Στατιστική Φυσική Διαφάνεια 5 Στάσιμα κύματα Διαφάνεια 6 = 0 Ένα σωματίδιο μέσα σε ένα κουτί μιας () διάστασης n = 0 n n Asin Από τις κυμ.συν παίρνουμε και τις ενεργειακές ιδιοτιμές = 0 n Οι οριακές συνθήκες που ικανοποιούνται ορίζουν το n να είναι ακέραιος αριθμός θετικός αριθμός =0 = n n m n 1,,... n -D Κβαντική στατιστική Φανταζόμαστε το σωματίδιο μας να παγιδεύεται μέσα σε ένα κύβο πλευράς. Οι τρείς διευθύνσεις είναι ανεξάρτητες και έτσι μπορούμε να γράψουμε την κυματοσυνάρτηση σαν το γινόμενο των χωριστών συναρτήσεων. n1 n n i (,, ) Asin sin sin n, n, n 1,,... 1 Αυτό είναι ένα στάσιμο κύμα σε τρεις διαστάσεις Το i στη κυματοσυνάρτηση δηλώνει ένα μοναδικό σύνολο κβαντικών αριθμών (n 1,n,n ) : μια μικροκατάσταση Στατιστική Φυσική Διαφάνεια 8
i ˆ ˆj ˆ κυματοδιάνυσμα πn1 πn πn Όπου iˆ, ˆj, ˆ είναι μοναδιαία διανύσματα κατά μήκος των διευθύνσεων, και Ξαναγράφουμε την κυματοσυνάρτηση σε όρους των συνιστωσών του κυματοδιανύσματος: το μέτρο του φ (,, ) Asin sin sin i κυματοδιανύσματος δίνεται απο: n n n 1 n1 n n Στατιστική Φυσική Διαφάνεια 9 ο όγκος που καταλαμβάνει κάθε σημείο: (/) = / i ˆ ˆj ˆ Για κάθε λύση της εξίσωσης που καθορίζεται από τις τιμές των ακεραίων αριθμών (n 1, n, n ) υπάρχει μια μοναδική κατάσταση και ως εκ τούτου ένα σημείο στο -χώρο Κάθε μια από τις επιτρεπόμενες καταστάσεις του ένός σωματιδίου (κάθε τρόπος ταλάντωσης δηλ.) είναι ένα σημείο στο -χώρο n n n 1 π/ Στατιστική Φυσική Διαφάνεια 11 Αυτό το διάνυσμα θα <<αναπτύσσεται» συνεχώς. +d Ψάχνουμε να βρούμε: # κανονικών τρόπων ταλάντωσης των στασίμων κυμάτων, που έχουν κυματοδιάνυσμα με μέτρο στο διάστημα και +d = Πόσοι τέτοιοι τρόποι (λύσεις) υπάρχουν που να έχουν κυματοδιάνυσμα με μέτρο ανάμεσα στο, +d? = # των πλεγματικών σημείων του χώρου που βρίσκονται σε ένα σφαιρικό φλοιό πάχους d και αφού n i >0 >0, >0 και >0 Μας ενδιαφέρει μόνο το θετικό ογδοημόριο : i ˆ ˆj ˆ Στατιστική Φυσική Διαφάνεια 1
# f ( d ) έ o 1 4 8 d 1 8. o d ΒΑΣΙΚΗ ΣΧΕΣΗ g( d ) g() ή D(): +d πυκνότητα καταστάσεων Στατιστική Φυσική Διαφάνεια 1 Στατιστική Φυσική Διαφάνεια 14 Από το f()d f( ) d d # κανονικών τρόπων ταλάντωσης με συχνότητα ω και ω+dω Η ταχύτητα φάσης των κυμάτων: d f ( ) d d d Η ταχύτητα ομάδας των κυμάτων: f ( ) d d g στα μέσα δίχως διασπορά: υg υ στο f(ω)dω υ ω dω υ g d, ω υ d f ( ) d Από το f()d στα f(p) dp και f(ε)dε p 1 E p m f( p) dp f( ) d 4 h d / D m 1/ f ( ) d d p dp Στατιστική Φυσική Διαφάνεια 15 Στατιστική Φυσική Διαφάνεια 16
Oριακές συνθήκες Ταύτιση των άκρων α = Na II. Κυκλική συνθήκη- Περιοδικές οριακές συνθήκες Οδεύοντα κύματα s+n-1 β s+1 = sa = (s+n)a s+ Υποθέτουμε ότι τα άτομα s και s+n έχουν την ίδια μετατόπιση, το πλέγμα έχει περιοδική συμπεριφορά, όπου το Ν είναι πολύ μεγάλο. (0,, ) (,, ) (,0, ) (,, ) (,,0) (,, ) 1 1 Στατιστική Φυσική Διαφάνεια 17 s n, n, n () r conste. 1 ( n, n, n ) n, n, n 0, 1,,... ir n, n, n () r const. e 1 ( n1, n, n) n1, n, n 0, 1,,... Επίπεδο τρέχον (οδεύον) κύμα με κυματοδιάνυσμα Η πυκνότητα καταστάσεων:. # f ( d ) Στατιστική Φυσική Διαφάνεια 18 ir o 4 d d ΙΔΙΑ Από το f()d f ( d ) f( p) dp f( ) d στa f(p)dp και f(ω)dω d g 4 h g p dp d g Όπου g ένας παράγοντας εκφυλισμού που καθορίζεται από το σύστημα Πυκνότητa καταστάσεων (DOS) σε -D, 1-D και 0-D Στατιστική Φυσική Διαφάνεια 19 Στατιστική Φυσική Διαφάνεια 0
-D: Λεπτά υμένια +d π/ n n 1 O αριθμός καταστάσεων με μέτρο στο διάστημα μέχρι +d: D f ( d ) 1 S 4 S. ί 1d 4 1-D: Λεπτά νήματα Δ=π/ O αριθμός καταστάσεων με μέτρο στο διάστημα +d μέχρι +d: f 1D ( d ) d ί n d 1 D f ( d ) d Για τα ηλεκτρόνια (σωματίδιο μάζας m) p, p m m Sm f ( ) d d D Στατιστική Φυσική Διαφάνεια 1 f 1D d ( d ) Για τα ηλεκτρόνια 1 / 1D m 1/ f ( ) d d Στατιστική Φυσική Διαφάνεια 0-D: Quantum dot η DOS θα περιγράφεται με μια δέλτα συνάρτηση Για τα ηλεκτρόνια 0 D f ( ) d ( E c ) Ηλεκτρονική πυκνότητα κατaστάσεων στάσεων: D m g ( ) g D m ( ) / 1/ 1/ 1D m 1/ ( ) g 0 D g ( ) ( E c ) g() g() g() g() -D -D 1-D 0-D Στατιστική Φυσική Διαφάνεια Στατιστική Φυσική Διαφάνεια 4