Μηχανική του ποδηλάτου σε επίπεδο Λυκείου Μέρος Ι : το ϕρενάρισµα

Μηχανική του ποδηλάτου σε επίπεδο Λυκείου Μέρος Ι : το ϕρενάρισµα Παντελής Κ. Παπαχρήστου e-mail: papach@phys.uoa.gr 16 Μαΐου 2014 1 Εισαγωγή Εχοντας διαπιστώσει ότι πολλοί µαθητές οδηγούν ποδήλατο και ότι το ποδήλατο αποτελεί ένα από τα καλύτερα παραδείγµατα εφαρµογής πολλών εννοιών της Φυσικής στην καθηµερινή Ϲωή, έχω κατά καιρούς εντάξει στη διδασκαλία του µαθήµατος προβλήµατα που αφορούν την οδήγηση ποδηλάτου τόσο στην Α όσο και στη Γ τάξη του Λυκείου. Στην εργασία αυτή προσεγγίζω κάποια Ϲητήµατα της ϕυσικής του ποδηλάτου µε τρόπο τέτοιο ώστε αφ ενός να µπορούν γίνουν κατανοητά από τους πιο απαιτητικούς µαθητές της Γ τάξης του Λυκείου (αλλά και πρωτοετείς ϕοιτητές που µελετούν µηχανική) και αφ ετέρου να τους παρέχουν ένα πεδίο εφαρµογών στην καθηµερινή Ϲωή για έννοιες οι οποίες παρουσιάζονται στεγνά και αποκοµµένες από τις εφαρµογές τους στα αντίστοιχα σχολικά εγχειρίδια. Η εργασία αυτή είναι χρήσιµη κυρίως σε συναδέλφους εκπαιδευτικούς που ϑέλουν να εµπλουτίσουν τη διδασκαλία τους µέ κάποια επιπλέον προβλήµατα τα οποία, χωρίς να ξεφεύγουν πολύ από το πνεύµα των εξετάσεων, κινούν το ενδιαφέρον των πιο απαιτητικών µαθητών προσφέροντάς τους ένα πεδίο εφαρµογών. Τµήµατα της εργασίας µπορούν να χρησιµοποιηθούν στο µάθηµα για να κινήσουν το ενδιαφέρον των µαθητών αλλά και να τεθούν ως προβλήµατα, ϑέµατα εξετάσεων, ϕύλλα εργασίας ή ακόµα να αποτελέσουν ϐάση για ένα «mini-project». Στην ενότητα 2 περιγράφουµε το πρόβληµα που ϑα αντιµετωπίσουµε καθώς και τις παραµέτρους που το αφορούν. Στην ενότητα 3 υπολογίζουµε την επιβράδυνση και τις δυνάµεις στατικής τριβής που ασκούνται στους τροχούς του ποδηλάτου από το έδαφος. Η ενότητα αυτή µπορεί να τεθεί αυτούσια ως πρόβληµα για µαθητές της Γ τάξης του Λυκείου. Στην ενότητα 3 υπολογίζουµε τις κάθετες δυνάµεις που ασκούνται από το έδαφος στους τροχούς του ποδηλάτου. Επιπλέον ϑέτουµε (και απαντούµε) κάποια ερωτήµατα που αφορούν τις συνθήκες ανατροπής προς τα εµπρός (τουµπαρίσµατος) του ποδηλάτου καθώς και τις συνθήκες ολίσθησης των τροχών. Η ενότητα αυτή µπορεί να γίνει κατανοητή από µαθητές της Γ Λυκείου, απαιτεί όµως κάποια κατανόηση της αδρανειακής δύναµης που νιώθει ο αναβάτης ότι δέχεται στο µη αδρανειακό σύστηµα αναφοράς του. Ως εκ τούτου δε µπορεί να τεθεί ως πρόβληµα ή ϑέµα εξετάσεων αλλά µπορεί να δοθεί ως εργασία στους πιο απαιτητικούς µαθητές. Τέλος, στην ενότητα 5 εφαρµόζουµε την ανάλυση που κάναµε στις προηγούµενες ενότητες, επιλύοντας συγκεκριµένα προβλήµατα µε τυπικές α- ϱιθµητικές τιµές. Οι εφαρµογές της ενότητας αυτής µπορούν να δοθούν ως συµπληρωµατικές ασκήσεις στους µαθητές ή και να αποτελέσουν ερωτήµατα που ϑα αντιµετωπίσουν οι µαθητές στα πλαίσια ενός «mini-project». 1

2 Παράµετροι Στην ανάλυσή µας ϑα ϑεωρήσουµε ένα ποδήλατο το οποίο κινείται σε επίπεδο δρόµο και το οποίο επιβραδύνεται καθώς ο αναβάτης επενεργεί στα ϕρένα. Θα αγνοήσουµε την τριβή κύλισης, ο οποία άλλωστε έχει σχετικά πολύ µικρή συνεισφορά σε συνήθεις συνθήκες (κίνηση σε άσφαλτο, καλά ϕουσκωµένα ελαστικά), καθώς και την αντίσταση του αέρα. Οι παράµετροι που ϑα χρησιµοποιθούν στην ανάλυσή µας είναι οι ακόλουθες : η συνολική µάζα m ποδηλάτου και αναβάτη, οι ϱοπές αδράνειας του εµπρός και πίσω τροχού, I f και I r αντίστοιχα, οι ϱοπές που εξασκούνται από τα τακάκια κατά τη διάρκεια του ϕρεναρίσµατος στον εµπρός και πίσω τροχό, τ f και τ r αντίστοιχα, η ακτίνα R των τροχών, ο συντελεστής τριβής µ των ελαστικών µε το οδόστρωµα, η απόσταση L µεταξύ των κέντρων των τροχών, το ύψος h στο οποίο ϐρίσκεται το κέντρο µάζας του συστήµατος ποδηλάτου-αναβάτη και η οριζόντια απόσταση l µεταξύ του κέντρου µάζας και του κέντρου του µπροστινού τροχού. Οι παράµετροι L, h και l ϕαίνονται στο σχήµα 1, όπου µε CM σηµειώνεται το κέντρο µάζας του συστήµατος ποδηλάτου-αναβάτη. 3 Υπολογισµός της επιβράδυνσης και των στατικών τριβών Στην ενότητα αυτή ϑα υπολογίσουµε την επιβράδυνση ϑεωρώντας ότι ο αναβάτης επενεργεί και στα δύο ϕρένα µε ϱοπές τ f και τ r και ότι οι τροχοί δεν ολισθαίνουν. Σε επόµενη ενότητα ϑα ϑεωρήσουµε και τις συνθήκες ολίσθησης. Στο σχήµα 2 ϕαίνονται οι τροχοί του ποδηλάτου καθώς και οι δυνάµεις τριβής σε αυτούς : οι στατικές τριβές T 1 και T 2 µεταξύ τροχών και οδοστρώµατος καθώς και οι τριβές ολίσθησης µεταξύ των τακακιών και των τροχών F f και F r. Εφ όσον το ποδήλατο επιβραδύνεται, για να έχουµε ϑετικό πρόσηµο για την επιτάχυνση (επιβράδυνση), ϑα ϑεωρήσουµε για τις δυνάµεις ως ϑετική ϕορά αντίθετη της ταχύτητας (δηλαδή προς τα αριστερά) και για τις ϱοπές στους τροχούς ϑετική ϕορά αντίθετη της ϕοράς των δεικτών του ϱολογιού. Με a συµβολίζουµε την επιβράδυνση και µε α τη γωνιακή επιβράδυνση. Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα για τη µεταφορική κίνηση του συστήµατος ποδηλάτουαναβάτη µας δίνει : F = ma T1 + T 2 = ma. (1) Παρατηρήστε ότι στην τελευταία εξίσωση δεν εµφανίζονται οι δυνάµεις F f και F r καθώς είναι εσωτερικές δυνάµεις ως προς το σύστηµα ποδηλάτου-αναβάτη. Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα για την περιστροφική κίνηση του µπροστινού και του πίσω τροχού αντίστοιχα µας δίνει : τ f T 1 R = I f α (2) και τ r T 2 R = I r α. (3) 2

Σχήµα 1: Οι παράµετροι L, h και l. Με CM σηµειώνεται το κέντρο µάζας ποδηλάτου-αναβάτη. Σχήµα 2: Οι δυνάµεις τριβής T 1, T 2 στον µπροστινό και πίσω τροχό αντίστοιχα ϕαίνονται µε τα µαύρα ϐέλη. Οι δυνάµεις F f και F r που ασκούνται από τα τακάκια στον µπροστινό και πίσω τροχό αντίστοιχα ϕαίνονται µε τα κόκκινα διακεκοµµένα ϐέλη. 3

Λαµβάνοντας υπόψη και τη συνθήκη µη ολίσθησης a = αr (4) έχουµε ένα σύστηµα 4 εξισώσεων (1,2,3,4) µε 4 αγνώστους (T 1,T 2, a, α). Λύνοντας την (2) ως προς T 1 και λαµβάνοντας υπόψη την (4) παίρνουµε : T 1 = τ f R I f a R 2. (5) Οµοίως, λύνοντας την (3) ως προς T 2 και λαµβάνοντας υπόψη την (4) παίρνουµε : T 2 = τ r R I ra R 2. (6) Αντικαθιστώντας τις T 1 και T 2 από τις (5) και (6) στην (1) λαµβάνουµε την επιβράδυνση a: τ f R I f a R 2 + τ r R I ra (τ f + τ r ) /R R 2 = ma a = m + I. (7) f + Ir R 2 R 2 Αντικαθιστώντας την επιβράδυνση από την (7) στις (5) και (6) λαµβάνουµε αντίστοιχα : και T 1 = τ f R I f (τ f + τ r ) ( m + I f T 2 = τ r R I r (τ f + τ r ) ( m + I f ) (8) + Ir R R 2 R 3 2 ) + Ir R 2 R 2 Στο σηµείο αυτό µπορούµε να κάνουµε τις ακόλουθες παρατηρήσεις : R 3. (9) 1. Αν ϑεωρήσουµε ότι όλη η µάζα του τροχού είναι συγκεντρωµένη στην περιφέρειά του και ότι τα τακάκια ασκούν δύναµη επίσης στην περιφέρεια του τροχού, τότε οι ϱοπές αδράνειας είναι ίσες µε m w R 2, όπου m w η µάζα κάθε τροχού, και επιπλέον οι ϱοπές τ f και τ r είναι ίσες µε F f R και F r R αντίστοιχα. Εποµένως, η εξίσωση (7) γράφεται στην απλούστερη µορφή : a = F f + F r m + 2m w. (10) Η εξίσωση αυτή µοιάζει µε το δεύτερο νόµο του Νεύτωνα, µε τη διαφορά ότι ο παράγοντας αδράνειας στον παρονοµαστή είναι µεγαλύτερος από τη συνολική µάζα του συστήµατος. Η διαφορά είναι ίση µε τις µάζες των τροχών. ηλαδή, οι F f και F r µπορούµε να πούµε ότι κάνουν τη δουλειά του σταµατήµατος του ποδηλάτου, αλλά «νιώθουν» περισσότερη αδράνεια από τη συνολική µάζα καθώς έχουν να επιβραδύνουν επιπλέον και την περιστροφική κίνηση των τροχών. 2. Οι στατικές τριβές T 1 και T 2 δεν έχουν πάντοτε τη ϕορά που ορίσαµε ως ϑετική : το δεύτερο µέλος στις εξισώσεις (8) και (9) µπορεί να γίνει και αρνητικό. Επιπλέον, υπάρχουν τιµές του λόγου τ f /τ r που οι T 1 και T 2 µηδενίζονται. Συγκεκριµένα, ϑέτοντας στην (8) το αριστερό µέλος ίσο µε το µηδέν, παίρνουµε ότι η T 1 µηδενίζεται όταν τ f τ r = Οµοίως, από την (9) παίρνουµε ότι η T 2 µηδενίζεται όταν τ r τ f = I f I r + mr 2. (11) I r I f + mr 2. (12) 4

Σχήµα 3: Οι τροχοί του ποδηλάτου, το κέντρο µάζας CM του συστήµατος ποδηλάτου αναβάτη, καθώς και οι δυνάµεις που ασκούνται σε αυτό στο σύστηµα αναφοράς του επιβραδυνόµενου αναβάτη (ϐλ. κείµενο). Τα σηµεία επαφής των τροχών µε το έδαφος σηµειώνονται ως O 1 και O 2 4 Υπολογισµός των κάθετων δυνάµεων από το έδαφος Στην ενότητα αυτή ϑα υπολογίσουµε τις κάθετες δυνάµεις που ασκούνται από το έδαφος στο ποδήλατο στα σηµεία επαφής των τροχών µε το έδαφος. Εδώ είναι πολύ πρακτικό να πραγµατοποιήσουµε την ανάλυση στο σύστηµα αναφοράς του επιβραδυνόµενου αναβάτη και να µελετήσουµε τις δυνάµεις που ϑεωρεί ο αναβάτης ότι ασκούνται στο σύστηµα. Εκτός από το ϐάρος, τις στατικές τριβές και τις κάθετες δυνάµεις από το έδαφος (ϐλ. σχήµα 3), ο αναβάτης νιώθει και µια δύναµη προς τα εµπρός. Από την καθηµερινή µας εµπειρία, ξέρουµε ότι όταν ϕρενάρουµε ϑα γείρουµε προς τα εµπρός ως η ϐαρύτητα να µην ήταν κατακόρυφη αλλά να είχε και µια οριζόντια συνιστώσα που έχει µέτρο ma. Στο σχήµα 3 ϕαίνονται οι τροχοί του ποδηλάτου, το κέντρο µάζας του συστήµατος ποδηλάτου-αναβάτη καθώς και οι δυνάµεις που ασκούνται σε αυτό στο σύστηµα αναφοράς του επιβραδυνόµενου αναβάτη. Τα σηµεία επαφής των τροχών µε το έδαφος σηµειώνονται ως O 1 και O 2. Θεωρώντας ότι στο επιβραδυνόµενο σύστηµα ποδηλάτου-αναβάτη το ποδήλατο ισορροπεί, πρέπει η συνισταµένη των ϱοπών όσο και η συνισταµένη των δυνάµεων να είµαι µηδενικές. Θεωρούµε αρχικά τις ϱοπές λαµβάνοντας (αυθαίρετα) ως σηµείο αναφοράς το O 1 και ως ϑετική ϕορά εκείνη των δεικτών του ϱολογιού (επίσης αυθαίρετα). Ως προς το σηµείο αυτό, οι δυνάµεις T 1, T 2 και N 1 έχουν µηδενικούς µοχλοβραχίονες και εποµένως µηδενικές ϱοπές. Αντίθετα οι δυνάµεις N 2, ma και το ϐάρος έχουν αντίστοιχα µοχλοβραχίονες L, h και l. Εποµένως : τ = 0 N2 L + mah mgl = 0. (13) Λύνοντας την παραπάνω εξίωση ως προς N 2 παίρνουµε την κάθετη αντίδραση από το έδαφος 5

στον πίσω τροχό : N 2 = mgl mah. (14) L Η συνθήκη ισορροπίας των δυνάµεων µας δίνει : F = 0 N1 + N 2 = mg (15) από όπου αντικαθιστώντας τη N 2 από την (14) παίρνουµε για τη N 1 : ( N 1 = mg 1 l ) + mah L L. (16) Από τις εξισώσεις (16) και (14) παρατηρούµε ότι όσο πιο µεγάλη είναι η επιβράδυνση, τόσο µεγαλύτερη είναι η N 1 και τόσο µικρότερη είναι η N 2. Στο σηµείο αυτό µπορούµε να ϑέσουµε κάποια ερωτήµατα που αφορούν την ανάλυση των παραπάνω αποτελεσµάτων. Ερώτηµα 1: Υπάρχει κάποια τιµή της επιβράδυνσης για την οποία ο πίσω τροχός χάνει την επαφή του µε το έδαφος; Υπάρχει πράγµατι µια τιµή της επιβράδυνσης, ας τη συµβολίσουµε α 1, για την οποία η N 2 µηδενίζεται και εποµένως ο πίσω τροχός χάνει την επαφή του µε το έδαφος. Αυτή µπορεί να ϐρεθεί από την (14) ϑέτοντας το αριστερό µέλος ίσο µε το µηδέν, από όπου και παίρνουµε : a 1 = gl h. (17) Ερώτηµα 2: Τι ϑα συµβεί αν η επιβράδυνση ξεπεράσει την τιµή α 1 του προηγού- µενου ερωτήµατος; Αν στην εξίσωση (13) ϑέσουµε N 2 = 0 ϐλέπουµε ότι για α > α 1 έχουµε τ > 0, πράγµα που σηµαίνει ότι το ποδήλατο τείνει να περιστραφεί γύρω από το O 1 κατά τη ϕορά των δεικτών του ϱολογιού. Αυτό είναι κάτι που κάθε συνετός αναβάτης γνωρίζει : ένα απότοµο πάτηµα του ϕρένου, δηλαδή µια µεγάλη επιβράδυνση, µπορεί να τουµπάρει το ποδήλατο (αν ϐέβαια υπάρχει αρκετά ισχυρή πρόσφυση µε το έδαφος, δηλαδή αρκετά υψηλός συντελεστή τριβής οδοστρώµατος-ελαστικών, όπως ϑα δούµε σε επόµενη ενότητα). Ερώτηµα 3: Το τουµπάρισµα του ποδηλάτου που αναφέραµε στο προηγούµενο ερώτηµα µπορεί να επιτευχθεί πατώντας οποιοδήποτε από τα δύο ϕρένα ή µονο το µπροστινό; Οπως κάθε έµπειρος αναβάτης ξέρει, µόνο το πάτηµα του µπροστινού ϕρένου µπορεί να τουµπάρει το ποδήλατο. Για να τουµπάρει το ποδήλατο πρέπει η N 2, και κατά συνέπεια η T 2, να γίνουν µηδέν. Ετσι, πατώντας το πίσω ϕρένο, αν η επιβράδυνση έπαιρνε την τιµή a 1, τότε αυτόµατα το ϕρένο ϑα έπαυε να ενεργεί καθώς δε ϑα υπήρχε πλέον τριβή του πίσω τροχού µε το έδαφος. ε µπορούµε λοιπόν να έχουµε ανατροπή του ποδηλάτου πατώντας µόνο το πίσω ϕρένο, γιατί τότε όταν το ποδήλατο πηγαίνει να σηκωθεί προς τα µπρός «χάνουµε» το πίσω ϕρένο και το ποδήλατο σταµατά πλέον να επιβραδύνεται. 6

Ερώτηµα 4: Ποιά είναι η µέγιστη επιβράδυνση που µπορούµε να πετύχουµε πατώντας µόνο το πίσω ϕρένο; Είναι ίση µε την a 1 ; Στην πραγµατικότητα, πατώντας πάντα το πίσω ϕρένο, η επιβράδυνση ούτε καν ϑα ϕτάσει ποτέ την τιµή a 1! Ο λόγος είναι ότι πριν η N 2 µηδενιστεί, ϑα πάρει τιµή τέτοια για την οποία η T 2 ϑα ϕτάσει στη µέγιστη τιµή της, η οποία είναι ίση µε µn 2. Τότε, η επιβράδυνση δε ϑα µπορέσει να αυξηθεί παραπέρα για να πάρει την τιµή a 1 καθώς ο πίσω τροχός ϑα αρχίσει να ολισθαίνει. Η µέγιστη επιβράδυνση λοιπόν που µπορούµε να επιτύχουµε µε το πίσω ϕρένο, ας τη συµβολίσουµε a 2, είναι a 2 < a 1. Στη συνέχεια ας υπολογίσουµε αναλυτικά την επιβράδυνση αυτή a 2. Η µέγιστη επιβράδυνση a 2 επιτυγχάνεται όταν η τριβή T 2 είναι ίση µε τη µέγιστη τιµή της, δηλαδή : T 2 = µn 2. (18) Αν λοιπόν στην παραπάνω σχέση αντικαταστήσουµε τις T 2 και N 2 σα συνάρτηση της επιβράδυνσης, και λύσουµε ως προς αυτή ϑα έχουµε την a 2. Η N 2 σα συνάρτηση της επιβράδυνσης δίνεται από την εξίσωση (14). Η T 2 σα συνάρτηση της επιβράδυνσης, µπορεί να ληφθεί από την (6), όµως αυτή περιέχει και τη ϱοπή τ r. Για να την απαλείψουµε, λύνουµε την (7) ως προς τ r (Θέτοντας επιπλέον τ f = 0 εφ όσον ο αναβάτης χρησιµοποιεί µόνο το πίσω ϕρένο) και παίρνουµε : τ r = ar(m + I r ). (19) R2 Αντικαθιστώντας την τελευταία εξίσωση στην (6) λαµβάνουµε την T 2 σα συνάρτηση µόνο της επιβράδυνσης : T 2 = a(m + I r R 2 ) I ra R. (20) Αντικαθιστώντας την τελευταία εξίσωση και την (14) στην (18) παίρνουµε : a(m + I r R 2 ) I ( ) ra mgl mah R = µ, (21) L από όπου λύνοντας ως προς a λαµβάνουµε την a 2 : a 2 = glmr 2 µ I f L + mlr 2 + hmr 2 µ. (22) Από την τελευταία εξίσωση µπορούµε εύκολα να δούµε ότι a 2 < a 1, καθώς αν διαιρέσουµε τον αριθµητή και τον παρονοµαστή του κλάσµατος µε hmr 2 µ η (22) παίρνει τη µορφή : από όπου είναι ϕανερό ότι a 2 < a 1. a 2 = a 1 I f L+mLR 2 hmr 2 µ + 1, (23) Ερώτηµα 5: Τα παλιά ποδήλατα µε τον τεράστιο µπροστινό τροχό και τη ϑέση οδήγησης πολύ µπροστά (όπως αυτό που ϕαίνεται στο σχήµα 4) τουµπάρουν προς τα εµπρός µε µεγαλύτερη ή µικρότερη επιβράδυνση από ότι τα σύγχρονα ποδήλατα; Από το σχήµα 4 παρατηρούµε ότι η ϑέση οδήγησης είναι πολύ ψηλά, µε αποτέλεσµα το ύψος h του κέντρου µάζας του συστήµατος να είναι πιο ψηλά σε σχέση µε τα σύγχρονα ποδήλατα. 7

Σχήµα 4: Το ποδήλατο γνωστό και ως penny-farthing που κυριαρχούσε τη δεκαετία του 1870 (από το ϐιβλίο Bicycles and tricycles του A. Sharp, εκδ. Longmans-Green, 1896) Επιπλέον, η ϑέση οδήγησης είναι πολύ πιο µπροστά σε σχέση µε τα σύγχρονα ποδήλατα, µε αποτέλεσµα η απόσταση l (ϐλ. σχήµα 1) να είναι σηµαντικά µικρότερη. Με ϐάση τα παραπάνω, από την εξίσωση (17), ϐλέπουµε ότι η a 1 έχει δύο λόγους να είναι µικρότερη σε ένα τέτοιο ποδήλατο από ότι στα σύγχρονα ποδήλατα : το µεγαλύτερο ύψος h και η µικρότερη απόσταση l. Ενα τέτοιο λοιπόν ποδήλατο µπορεί να τουµπάρει µε πολύ µικρότερη επιβράδυνση σε σχέση µε ένα σύγχρονο ποδήλατο. Πράγµατι, εκείνα τα ποδήλατα ήταν πολύ επιρρεπή σε ατυχήµατα. εδοµένης και της κατάστασης των δρόµων τότε, ακόµα και η επιβράδυνση που προκαλούνταν από µια µικρή λακούβα µπορούσε να οδηγήσει σε ανατροπή του ποδηλάτου. 5 Εφαρµογές µε αριθµητικές τιµές Στην ενότητα αυτή ϑα κάνουµε κάποιους αριθµητικούς υπολογισµούς χρησιµοποιώντας κάποιες τυπικές τιµές για τις παραµέτρους του συστήµατος. Συγκεκριµένα οι τιµές που ϑα χρησιµοποιήσουµε είναι οι ακόλουθες : ακτίνα τροχού : R = 0.35m που αντιστοιχεί περίπου σε έναν τροχό µε διάµετρο 28 ίντσες, ϱοπές αδράνειας των τροχών : I f = 0.245 Nm 2, I r = 0.30 Nm 2 (ο πίσω τροχός έχει µεγαλύτερη ϱοπή αδράνειας λόγω του γραναζιού των ταχυτήτων που συνήθως υπάρχει εκεί), τυπικές ϱοπές ϕρεναρίσµατος : τ f = τ r = 2.45 Nm, που αντιστοιχούν σε δύναµη περίπου 10 N από τον αναβάτη στους µοχλούς των ϕρένων (για στεγνούς αλουµινένιους τροχούς και τακάκια), 8

συντελεστής τριβής µεταξύ τροχών και οδοστρώµατος : για στεγνή άσφαλτο µ = 0.8 και για υγρή µ = 0.3, συνολική µάζα ποδηλάτου και αναβάτη : m = 85 Kg, οριζόντια απόσταση µεταξύ των κέντρων των τροχών : L = 1.05 m, ϑέση κέντρου µάζας : h = 0.95 m, l = 70 cm. Εφαρµογή 1: Σε ένα ποδήλατο µε τις παραπάνω παραµέτρους (σε στεγνό δρόµο) να υπολογιστούν η επιβράδυνση, οι κάθετες δυνάµεις από το έδαφος καθώς και οι δυνάµεις τριβής µεταξύ των τροχών και του οδοστρώµατος. Αντικαθιστώντας τις αριθµητικές τιµές στην εξίσωση (7) παίρνουµε α = 0.16 m/s 2. Στη συνέχεια, αντικαθιστώντας την τιµή της επιβράδυνσης που υπολογίσαµε στις εξισώσεις (5) και (6) λαµβάνουµε αντίστοιχα για τις τριβές T 1 = 6.67 N και T 2 = 6.59 N. Για τις κάθετες δυνάµεις N 1 και N 2 χρησιµοποιούµε τις εξισώσεις (16) και (14) από όπου παίρνουµε N 1 = 290.70 N και N 2 = 543.15 N. Εφαρµογή 2: Ποιά είναι η µέγιστη επιβράδυνση που µπορεί να αποκτήσει το ποδήλατο (σε στεγνό πάλι δρόµο) χωρίς κάποιος τροχός να ολισθήσει; Αν κάποιος τροχός ολισθήσει, ϑα είναι ο µπροστινός ή ο πίσω; Θεωρήστε ότι εξασκούµε ίσες ϱοπές στο µπροστινό και το πίσω ϕρένο (τ f = τ r ). Ας υπολογίσουµε αρχικά την επιτάχυνση για την οποία ϑα ολισθήσει ο µπροστινός τροχός. Η συνθήκη για να ολισθήσει ο τροχός είναι : T 1 = µn 1. (24) Για να υπολογίσουµε την επιβράδυνση για την οποία ϑα ισχύσει η συνθήκη, πρέπει να αντικαταστήσουµε τα µεγέθη T 1 και N 1 σα συνάρτηση της επιβράδυνσης στην εξίσωση (24). Η N 1 σα συνάρτηση της επιβράδυνσης δίνεται από την εξίσωση (16). Για να πάρουµε την T 1 σα συνάρτηση της επιβράδυνσης, λύνουµε την εξίσωση (7) ως προς τ f (λαµβάνοντας υπόψη ότι τ f = τ r ) και αντικαθιστούµε στην (5). Συγκεκριµένα, η (7) µας δίνει : Αντικαθιστώντας την τελευταία εξίσωση στην (5) παίρνουµε : τ f = ar 2 (m + I r ). (25) R2 T 1 = a 2 (m + I r R 2 ) I f a R 2. (26) Αντικαθιστώντας τις (26) και (16) στη συνθήκη ολίσθησης (24) παίρνουµε : ( mg a 2 (m + I r R 2 ) I f a R 2 = µ από όπου λύνοντας ως προς a παίρνουµε : a = mgl mah L ), (27) 2R 2 (glmµ glmµ) I f L I r L LmR 2 + 2hmR 2 µ. (28) 9

Αντικαθιστώντας αριθµητικές τιµές στην παραπάνω εξίσωση παίρνουµε a = 11.1 m/s 2. Η αρνητική τιµή που υπολογίσαµε µας δείχνει ότι µε τις συνθήκες και τις αριθµητικές τιµές που ϑεωρήσαµε, ο µπροστινός τροχός δε ϑα ολισθήσει ποτέ. Οµοίως εργαζόµαστε για να υπολογίσουµε την επιβράδυνση για την οποία ϑα ολισθήσει ο πίσω τροχός. Η συνθήκη για να ολισθήσει ο πίσω τροχός είναι : T 2 = µn 2. (29) Η N 2 σα συνάρτηση της επιβράδυνσης δίνεται από την εξίσωση (14). Η T 2 σα συνάρτηση της επιβράδυνσης προκύπτει από τις εξισώσεις (25) (εφ όσον τ f = τ r ) και (6), από όπου παίρνουµε : T 2 = a 2 (m + I r R 2 ) I ra R 2. (30) Αντικαθιστώντας τις (30) και (16) στη συνθήκη ολίσθησης (29) παίρνουµε : a 2 (m + I r R 2 ) I ( ) ra mgl mah R 2 = µ, (31) L από όπου λύνοντας ως προς a παίρνουµε : a = 2glmR 2 µ I f L I r L + LmR 2 + 2hmR 2 µ. (32) Αντικαθιστώντας αριθµητικές τιµές στην παραπάνω εξίσωση παίρνουµε a = 4.28 m/s 2. Η επιβράδυνση για την οποία το ποδήλατο ϑα ανατραπεί δίνεται από την εξίσωση (17), από όπου αν αντικαταστήσουµε αριθµητικές τιµές παίρνουµε a 1 = 10.84 m/s 2. Βλέπουµε λοιπόν ότι εφ όσον a < a 1 ο πίσω τροχός ϑα ολισθήσει πριν η επιβράδυνση πάρει τιµή τέτοια ώστε το ποδήλατο να ανατραπεί. Εφαρµογή 3: Οµοίως µε την εφαρµογή 2 αλλά ϑεωρώντας ότι δεν πατάµε καθόλου το µπροστινό ϕρένο (τ f = 0). Υπολογίζουµε αρχικά την επιβράδυνση για την οποία ϑα ολισθήσει ο µπροστινός τροχός. Από την εξίσωση (5) για τ f = 0 παίρνουµε : T 1 = I f a R 2. (33) Αντικαθιστώντας την απόλυτη τιµή της T 1 από την τελευταία εξίσωση καθώς και τη N 1 από την εξίσωση (16) στη συνθήκη ολίσθησης (24) παίρνουµε : I f a R 2 = µ από όπου λύνοντας ως προς a παίρνουµε : ( mg mgl mah L ), (34) a = R2 µmg(l l) I f L hmµr 2. (35) Αντικαθιστώντας αριθµητικές τιµές στην τελευταία εξίσωση παίρνουµε a = 3.73 m/s 2. Η αρνητική τιµή της επιβράδυνσης µας υποδηλώνει ότι ο µπροστινός τροχός δεν πρόκειται να 10

ολισθήσει ούτε σε αυτή την περίπτωση. Αυτό είναι κάτι που οποιοσδήποτε αναβάτης αναβάτης γνωρίζει : πατώντας το πίσω ϕρένο, δε ϑα ολισθήσει ο µπροστινός τροχός. Οµοίως εργαζόµαστε για να υπολογίσουµε την επιβράδυνση για την οποία ϑα ολισθήσει ο πίσω τροχός. Θέτοντας τ f = 0 στην εξίσωση (7) και λύνοντας ως προς τ r παίρνουµε : οπότε η εξίσωση (6) µας δίνει : τ r = ar(m + I r ), (36) R2 T 2 = a(m + I r R 2 ) I ra R 2. (37) Αντικαθιστώντας την T 2 από την τελευταία εξίωση καθώς και τη N 2 από την εξίσωση(14) στη συνθήκη ολίσθησης (29) παίρνουµε : a = glmr 2 µ I f L + mlr 2 + hmµr 2. (38) Αντικαθιστώντας αριθµητικές τιµές στην τελευταία εξίσωση παίρνουµε a = 2.99 m/s 2. Παρατηρούµε λοιπόν ότι πατώντας µόνο το πίσω ϕρένο, ο πίσω τροχός ϑα ολισθήσει µε επιτάχυνση µικρότερη από όση αν πατούσαµε και τα δύο ϕρένα (ϐλ. προηγούµενη εφαρµογή). Είναι ε- ποµένως προτιµότερο να πατήσουµε και τα δύο ϕρένα παρά µόνο το πίσω, καθώς έτσι είναι µεγαλύτερη η µέγιστη επιβράδυνση που µπορούµε να πετύχουµε. Εφαρµογή 4: Ποιά είναι η µέγιστη επιβράδυνση που µπορούµε να πετύχουµε πατώντας µόνο το µπροστινό ϕρένο (τ r = 0); Είναι µεγαλύτερη ή µικρότερη από εκείνη που µπορούµε να επιτύχουµε µε το πίσω ϕρένο; Οπως έχουµε δει (ϐλ. εξίσωση (17), υπάρχει ένα άνω όριο στην επιβράδυνση που µπορούµε να επιτύχουµε πατώντας το µπροστινό ϕρένο. Με τις αριθµητικές τιµές που έχουµε ϑεωρήσει, η επιβράδυνση αυτή είναι ίση µε a 1 = 10.84 m/s 2 (ϐλ. εφαρµογή 2). Είναι όµως εφικτό το ποδήλατο να ϕτάσει αυτή την επιβράδυνση ή ϑα έχει ολισθήσει ο µπροστινός τροχός πριν η επιβράδυνση ϕτάσει την τιµή αυτή; Για να το δούµε αυτό, ϑα ϑεωρήσουµε πάλι τη συνθήκη ολίσθησης του µπροστινού τροχού (εξίσωση (24». Για να πάρουµε την T 1 σα συνάρτηση της επιβράδυνσης, λύνουµε την εξίσωση (7) ως προς τ f (λαµβάνοντας υπόψη ότι τ r = 0) και αντικαθιστούµε στην (5). Συγκεκριµένα, η (7) µας δίνει : Αντικαθιστώντας την τελευταία εξίσωση στην (5) παίρνουµε : τ f = ar(m + I r ). (39) R2 T 1 = (m + I r R 2 )a I f a R 2. (40) Αντικαθιστώντας την T 1 από την τελευταία εξίσωση στη συνθήκη ολίσθησης (24), καθώς και τη N 1 από την εξίσωση (16) παίρνουµε : (m + I r R 2 )a I ( ) f a R 2 = µ mgl mah mg, (41) L 11

από όπου λύνοντας ως προς a παίρνουµε τελικά : a = gmµr 2 (L l) I r L + mlr 2 hmr 2 µ. (42) Αντικαθιστώντας αριθµητικές τιµές στην τελευταία εξίσωση παίρνουµε για την επιβράδυνση την τιµή a = 8.57 m/s 2, η οποία είναι πολύ µεγαλύτερη από την επιβράδυνση που µπορούµε να επιτύχουµε πατώντας µόνο το πίσω ϕρένο. Βλέπουµε λοιπόν ότι µε τις συνθήκες που έχουµε, το ποδήλατο δε ϑα ανατραπεί. Οταν η επιβράδυνση ϕτάσει την τιµή a = 8.57 m/s 2 ο µπροστινός τροχός ϑα ολισθήσει και δε ϑα µπορέσει η επιβράδυνση να αυξηθεί παραπέρα. Στην πραγµατικότητα ϐέβαια, η επιβράδυνση των 8.57 m/s 2 είναι ήδη ιδιαίτερα µεγάλη και είναι στην περιοχή όπου ο κίνδυνος πλαγιολίσθησης (ντεραπαρίσµατος) είναι µεγάλος, ειδικά αν στρίψουµε έστω και ελάχιστα το τιµόνι. Εποµένως, ένας καλός τρόπος να σταµατήσουµε γρήγορα το ποδήλατο είναι να πατήσουµε το µπροστινό ϕρένο τόσο ώστε «να πάει να σηκωθεί» ο πίσω τροχός προσέχοντας να µη στρίψουµε ούτε ελάχιστα το τιµόνι και πλαγιολισθήσουµε. Η χρήση του µπροστινού ϕρένου για µεγάλες επιβραδύνσεις είναι κάτι που κάνουν µόνο οι έµπειροι αναβάτες. Παρατήρηση : Η πτώση του αναβάτη από το ποδήλατο όταν πατά µε δύναµη το µπροστινό ϕρένο, τις περισσότερες ϕορές οφείλεται όχι στη πλαγιολίσθηση ή την ανατροπή του ποδηλάτου, αλλά στην αδυναµία του ποδηλάτη να κρατηθεί από τα χερούλια του τιµονιού καθώς το ποδήλατο επιβραδύνεται. Οταν το ποδήλατο επιβραδύνεται, ο ποδηλάτης πρέπει να επιβραδυνθεί κι αυτός. Πρέπει λοιπόν να του ασκηθεί µια δύναµη προς τα πίσω, και αυτή είναι η δύναµη που ϑα του ασκήσουν τα χερούλια του τιµονιού όταν εκείνος πιαστεί σωστά από αυτά κατά τη διάρκεια του ϕρεναρίσµατος. Στο µη αδρανειακό σύστηµα αναφοράς του αναβάτη, κατά την επιβράδυνση ο αναβάτης νιώθει µια δύναµη που τον πετάει προς τα εµπρός και αυτή είναι η δύναµη που πρέπει να «αντισταθµίσει» κρατώντας µε δύναµη τα χερούλια του τιµονιού. Για µια µεγάλη επιβράδυνση, π.χ. 7 m/s 2 και µια µάζα αναβάτη ίση µε 75 Kg, η δύναµη αυτή είναι περίπου 7 m/s 2 75 Kg = 525 N, δηλαδή όσο περίπου το ϐάρος ενός σώµατος µάζας 53 Kg! Αυτή είναι και η δύναµη που πρέπει να «µεταφερθεί» από τον ποδηλάτη στα χερούλια ώστα να µην πέσει. Εφαρµογή 5: Σε υγρό δρόµο, όπου ο συντελεστής τριβής µεταξύ των ελαστικών και του δρόµου είναι µ = 0.3, ποιά είναι η µέγιστη επιβράδυνση που µπορούµε να πετύχουµε; Οπως είδαµε στην προηγούµενη εφαρµογή, η µεγαλύτερη επιβράδυνση που µπορούµε να πετύχουµε, είναι εκείνη που πετυχαίνουµε πατώντας µόνο το µπροστινό ϕρένο. Αντικαθιστώντας λοιπόν αριθµητικές τιµές στην εξίσωση (42) παίρνουµε την τιµή a = 1.36 m/s 2, η οποία είναι περισσότερες από 6 ϕορές µικρότερη από εκείνη στο στεγνό δρόµο που υπολογίσαµε στην προηγούµενη εφαρµογή! Ο µπροστινός τροχός ϑα ολισθήσει πολύ πριν «πάει να σηκωθεί» ο πίσω τροχός. Αν λάβουµε υπόψη µάλιστα ότι το νερό µειώνει ανάλογα και το συντελεστή τριβής ανάµεσα στα τακάκια και το στεφάνι του τροχού (δηλαδή πρέπει να ασκήσουµε περίπου 3 ϕορές µεγαλύτερη δύναµη στα χερούλια του ϕρένου για να πετύχουµε την ίδια ϱοπή ϕρεναρίσµατος τ r ή τ f µε εκείνη στο στεγνό δρόµο) τότε καταλαβαίνουµε πόσο δύσκολη είναι η οδήγηση ποδηλάτου υπο ϐροχή και πόσο χαµηλότερες πρέπει να είναι τότε οι ταχύτητές µας αν ϑέλουµε να αποφύγουµε µια πτώση. 12