ΦΥΣΙΚΗ Ι ΤΜΗΜΑ Α Α. Καραμπαρμπούνης, Ε. Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟN ΑΘΗΝΩΝ,, 014 01 015 ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΝΕΥΤΩΝΑ Νόμος της Αδράνειας Αδρανειακό Σύστημα Μάζα και Ορμή Αρχή διατήρησης της Ορμής Δύναμη Δεύτερος Νόμος του Νεύτωνα Τρίτος Νόμος του Νεύτωνα ΕΙΔΙΚΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ΔΥΝΑΜΕΩΝ Βαρυτική Δύναμη Βάρος Κάθετη Δύναμη σε Επιφάνεια Τάση Νήματος Τριβή Οπισθέλκουσα Δύναμη και Οριακή Ταχύτητα Stathis STILIARIS, UoA, 014-015 1
ΦΥΣΙΚΗ Ι ΤΜΗΜΑ Α Α. Καραμπαρμπούνης, Ε. Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟN ΑΘΗΝΩΝ,, 014 01 015 ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΩΝ ALONSO FINN HALLIDAY RESNICK WALKER YOUNG FREEDMAN ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΝΕΥΤΩΝΑ 7.1, 7.,, 7.3, 7.4, 7.5, 7.6, 7.7 5.1, 5., 5.3, 5.4, 5.5, 5.6, 5.8, 5.9 4.1, 4., 4.3, 4.4, 4.5, 4.6 ΕΙΔΙΚΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ΔΥΝΑΜΕΩΝ 5.7 5.1, 5. ΤΡΙΒΗ ΟΡΙΑΚΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ 7.8 6.1, 6., 6.3, 6.4 5.3 Stathis STILIARIS, UoA, 014-015
ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ Ελεύθερο Σώμα: Ένα σώμα που δεν υπόκειται σε καμία αλληλεπίδραση. Στην πραγματικότητα δεν υπάρχει στη φύση ελεύθερο σώμα! Στην πράξη μπορούμε να ορίσουμε σαν ελεύθερο ένα απομονωμένο σώμα α με αμελητέες αλληλεπιδράσεις. Νόμος της Αδράνειας ή Πρώτος Νόμος του Νεύτωνα Ένα ελεύθερο σώμα κινείται πάντοτε με σταθερή ταχύτητα, δηλαδή χωρίς επιτάχυνση. Η αναφορά της κίνησης ή μη ενός σώματος γίνεται σε σχέση με κάποιον παρατηρητή, ο οποίος είναι ο ίδιος ελεύθερο σώμα. Ένας τέτοιος παρατηρητής λέγεται αδρανειακός παρατηρητής και το σύστημα που χρησιμοποιεί καλείται αδρανειακό σύστημα αναφοράς. Stathis STILIARIS, UoA, 014-015 3
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΟΡΜΗ ΣΩΜΑΤΟΣ Γραμμική Ορμή Σώματος: Το γινόμενο μάζας επί την ταχύτητά του. r p r mv Μια αλληλεπίδραση παράγει ανταλλαγή ορμής. Η ολική ορμή ενός απομονωμένου συστήματος σωμάτων παραμένει σταθερή. r r r r p m vi m1v1 + mv + L i const Stathis STILIARIS, UoA, 014-015 4
ΔΕΥΤΕΡΟΣ ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ ΝΕΥΤΩΝΑ Για δεδομένο σώμα, το πηλίκο της συνισταμένης δύναμης προς την επιτάχυνση παραμένει σταθερό. Η συνισταμένη δύναμη σε ένα σώμα είναι ίση με το γινόμενο της μάζας του σώματος επί την επιτάχυνσή του. r F r ma Ο ρυθμός αλλαγής της ορμής ενός σώματος ως προς το χρόνο αποτελεί μέτρο της δύναμης r F r dp dt d dt r (mv) r dv m dt r F r ma Stathis STILIARIS, UoA, 014-015 5
ΤΡΙΤΟΣ ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ ΝΕΥΤΩΝΑ Όταν δύο σώματα αλληλεπιδρούν, οι δυνάμεις που ασκούν τα σώματα το ένα στο άλλο είναι πάντα ίσες σε μέτρο και αντίθετης φοράς. r r F 1 F 1 Stathis STILIARIS, UoA, 014-015 6
ΤΡΙΤΟΣ ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ ΝΕΥΤΩΝΑ Ένα αντικείμενο πάνω στο τραπέζι που ισορροπεί και τα αντίστοιχα ζεύγη των δυνάμεων. W N W N W N ΣΩΜΑ ΓΗ ΤΡΑΠΕΖΙ Stathis STILIARIS, UoA, 014-015 7
ΕΙΔΙΚΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΒΑΡΥΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ ΚΑΘΕΤΗ ΔΥΝΑΜΗ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΤΑΣΗ Stathis STILIARIS, UoA, 014-015 8
ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΝΕΥΤΩΝΑ: ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Κίνηση χωρίς τριβές FN Mg FN Mg 0 FN Mg M T Ma T Ma T mg M + m T mg ma Ma mg ma m a g M + m Stathis STILIARIS, UoA, 014-015 9
ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΝΕΥΤΩΝΑ: ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Μηχανή του Atwood T m1g T mg m1m T m1a T m 1(a + g) m1 + m ma m 1(a + g) mg ma m m1 a g m1 + m Stathis STILIARIS, UoA, 014-015 10 g
ΝΟΜΟΙ ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΝΕΥΤΩΝΑ: ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΝΕΥΤΩΝΑ: ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ + Ν + + + + Ν + + 1 1 1 1 1 1 1 1 m m m sin m g a m gcos g m m ) sin m m (1 T m a m gsin g) m (a m gcos a) m (g T m a m gsin T m gcos N m a m g T θ θ θ θ θ θ θ Κίνηση χωρίς τριβές Stathis STILIARIS, UoA, 014-015 11
ΤΡΙΒΗ Στατική Τριβή f s Τριβή Ολίσθησης f k f μsn s,max f μkn k Stathis STILIARIS, UoA, 014-015 1
ΤΡΙΒΗ Η δύναμη τριβής σε μικροσκοπικό επίπεδο είναι το διανυσματικό άθροισμα πολλών δυνάμεων που δρουν μεταξύ των ατόμων στην επιφάνεια των δύο σωμάτων. Η προέλευση της λοιπόν οφείλεται σε ηλεκτρομαγνητικές αλληλεπιδράσεις. Ενδεικτικός Πίνακας Συντελεστών Τριβής για μερικά υλικά ΥΛΙΚΑ f s f k Ατσάλι με Ατσάλι 0.74 0.57 Αλουμίνιο με Ατσάλι 0.61 0.47 Ο συντελεστής της στατικής τριβής f s είναι μεγαλύτερος του συντελεστή της τριβής ολίσθησης f k. Χαλκός με Ατσάλι Γυαλί με Γυαλί Χαλκός με Γυαλί 0.53 0.94 0.68 0.36 0.40 0.53 Teflon με Teflon 0.04 0.04 Λάστιχο με Σκυρόδεμα (Ξηρό) 1.00 0.80 Λάστιχο με Σκυρόδεμα (Υγρό) 0.30 0.5 Stathis STILIARIS, UoA, 014-015 13
ΚΙΝΗΣΗ ΜΕ ΤΡΙΒΗ f s N Σώμα μάζας m ισορροπεί εξ αιτίας των τριβών σε κεκλιμένο επίπεδο. Εάν φ είναι η οριακή γωνία, πέραν της οποίας το σώμα αρχίζει να ολισθαίνει, τότε ισχύουν: mgsinφ φ Κατά μήκος του κεκλιμένου επιπέδου mgsinφ fs 0 mgcosφ Wmg Κάθετα στο κεκλιμένο επίπεδο N mgcosφ 0 Από τις εξισώσεις αυτές συνάγεται: fs N mgsinφ mgcosφ μ sν mgsinφ N mgcosφ μ smgcosφ mgsinφ N mgcosφ μ s cosφ sinφ N mgcosφ μs tanφ Stathis STILIARIS, UoA, 014-015 14
ΚΙΝΗΣΗ ΜΕ ΤΡΙΒΗ f k Ν C B (m B +m C )g T Α T a Τα σώματα A,B και C είναι συζευγμένα με αβαρές νήμα και τροχαλία και κινούνται με επιτάχυνση a. Ο συντελεστής τριβής κίνησης με το δάπεδο είναι μ k. Να εκφραστεί η επιτάχυνση a συναρτήσει των μεγεθών αυτών. (Θεωρείστε το B+C σαν ένα σώμα). Κίνηση σώματος Α ma g T m Κίνηση συσσωματώματος B+C A a m A g T f (m B k (m + m C B )g + m N C )a T T m A (m g m B + m C A a )a + f k m A g m A a (m B + m C )a + f k a m mag fk + m + m A B C a ma μk(mb + m m + m + m A B C C ) g Στην οριακή περίπτωση που a0, ισχύει: μ k ma m + m B C Stathis STILIARIS, UoA, 014-015 15
ΚΙΝΗΣΗ ΜΕ ΤΡΙΒΗ f s a N Το όχημα επιταχύνεται έτσι ώστε το σώμα μάζας m να καταφέρνει λόγω της τριβής να ισορροπεί στην κατακόρυφη επιφάνεια του οχήματος. Ποια η σχέση της οριακής (ελάχιστης) επιτάχυνσης a με τον συντελεστή στατικής τριβής μ s ; Από την ισορροπία του σώματος έχουμε: Κατά συνέπεια: mg mg f s N ma 0 fs N mg ma μ N s Ν mg ma μ sma N mg mg μ sa N g mg a g μ s Stathis STILIARIS, UoA, 014-015 16
ΟΠΙΣΘΕΛΚΟΥΣΑ ΔΥΝΑΜΗ Όταν ένα σώμα κινείται μέσα σ ένα ρευστό υφίσταται μια δύναμη D που αντιστέκεται στην κίνησή του. Η οπισθέλκουσα αυτή δύναμη εξαρτάται αι από την σχετική ταχύτητα του σώματος στο ρευστό. D 1 CρAv D : Το μέτρο της οπισθέλκουσας δύναμης A : Η ενεργός επιφάνεια διατομής του σώματος, η οποία είναι κάθετη στο σ διάνυσμα της ταχύτητας ρ : Η πυκνότητας του ρευστού C : Ο συντελεστής οπισθέλκουσας δύναμης (τυπικές τιμές 0.40 1.00) Σημείωση: : Ο συντελεστής C είναι καθαρός αριθμός. 1 kg m m [ CρAv ] [ ρ][a][v ] m kg 3 m s s N Stathis STILIARIS, UoA, 014-015 17
ΟΡΙΑΚΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ Κατά την ελεύθερη πτώση σώματος σε βαρυτικό πεδίο αναπτύσσεται, λόγω της οπισθέλκουσας δύναμης από τον αέρα, μια δυναμική ισορροπία κατά κ την οποία η αντίσταση του αέρα εξουδετερώνει τη δύναμη βαρύτητας. v 0 0 v 1 <v ορ D D D mg D mg ma mg v <v ορ mg vv ορ Όταν Dmg, τότε το σώμα πέφτει με σταθερή ταχύτητα, η οποία καλείται οριακή ταχύτητα. mg D mg a 0 v ορ mg CρA Stathis STILIARIS, UoA, 014-015 18
ΟΡΙΑΚΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ D mg ma 1 CρAv mg dv m dt v(t) v ορ t D mg dv dt 0 v ορ mg CρA Stathis STILIARIS, UoA, 014-015 19
ΟΡΙΑΚΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ Σταγόνα βροχής με ακτίνα R1.5 mm πέφτει από ένα σύννεφο που βρίσκεται σε ύψος h100 m πάνω από το έδαφος. Ο συντελεστής οπισθέλκουσας δύναμης C για την σταγόνα είναι 0.60. Υποθέστε ότι η σταγόνα παραμένει σφαιρική καθ όλη τη διάρκεια της πτώσης της. (α) Πόση είναι η οριακή ταχύτητα της σταγόνας; (β) Πόση θα ήταν η ταχύτητα της σταγόνας στο έδαφος εάν δεν υπήρχε η οπισθέλκουσα δύναμη; Δίνονται: πυκνότητα νερού ρ w 1000 kg/m 3, πυκνότητα αέρα ρ a 1. kg/m 3 (α) Η οριακή ταχύτητα υπολογίζεται: v ορ mg CρA 4 3 πr ρ 3 Cρ πr α w g 8Rρ 3Cρ w α g 7.37 m/s 7 km/h (β) Χωρίς την οπισθέλκουσα δύναμη, η σταγόνα από ύψος h στο βαρυτικό πεδίο (g) θα αποκτήσει τελική ταχύτητα: v gh 153.4 m/s 55 km/h Σκεφτείτε πόσο καταστροφική είναι μια τέτοια ταχύτητα! Stathis STILIARIS, UoA, 014-015 0