t-ditribution t X x μ = where x = ν FD ν FD t a (ν) 0 t-ditribution normal ditribution for ν>0 a/ a/ -ta ta
ΒΑΘΜΟΙ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ (freedom degree) Βαθμοί ελευθερίας (ν): ο αριθμός των ανεξάρτητων μετρήσεων του δείγματος (i.e. Μέγεθος δείγματος) μείον τον αριθμό k των παραμέτρων του πληθυσμού που πρέπει να υπολογιστούν από τις μετρήσεις του δείγματος ν=-k
0.89...658...980.358.67 t-ditribution FD a two ided 0. 0.0 0.05 0.0 0.0 one ided 0. 0.05 0.05 0.0 0.005 3.078 6.34.706 3.8 63.657.886.90 4.303 6.965 9.95 3.638.353 3.8 4.54 5.84 4.533.3.776 3.747 4.604 5.476.05.57 3.365 4.03 6.440.943.447 3.43 3.707 7.45.895.365.998 3.499 8.397.860.306.896 3.355.....
x ( ) = X -ditribution σ ν FD ν FD x a(ν) 0 (-a)x00% ax00% x
X -ditribution FD a 0.995 0.0 0.05 0.0 0.005 0.706 3.84 6.635 7.879 0.00 4.605 5.99 9.0 0.597 3 0.07 6.5 7.85.345.838 4 0.07 7.779 9.488 3.77 4.860 5 0.4 9.36.070 5.086 6.750 6 0.676 0.645.59 6.8 8.548 7 0.989.07 4.067 8.475 0.78 8.344 3.36 5.507 0.090.955.....
ΕΛΕΓΧΟΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤΑΣ- TESTS OF SIGIFICACE H 0 : μηδενική υπόθεση (null hypothei) (hypothei under examination) H : εναλλακτική υπόθεση (alternative hypothei) στη στάθμη σημαντικότητας a
ΟΡΟΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Επίπεδο σημαντικότητας -Confidence level (-a)% : αν η Η0 απορριφθεί, τότε η πιθανότητα να είναι σωστή η απόφαση είναι -a (η πιθανότητα η εκτιμώμενη παράμετρος να ανήκει στο διάστημα [-z, z] Στάθμη σημαντικότητας-significance level (a): αν η Η0 απορριφθεί, τότε η πιθανότητα να είναι σωστή η Η0 είναι α% (η πιθανότητα μια εκτιμώμενη παράμετρος να μην ανήκει στο διάστημα [-z, z] (0<a<) -a e.g. a/ a/ a=0.05 μ -z a/ z a/ Confidence interval Confidence limit (-a)=0.95=95%
ΕΛΕΓΧΟΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Δίπλευρος έλεγχος (Two ided tet): όταν εξετάζουμε ισότητα (αν μια παράμετρος είναι ίση με έναν αριθμό) Κριτική περιοχή και στις δύο πλευρές της κατανομής a/ -a a/
Μονόπλευρος έλεγχος (One ided tet): όταν εξετάζουμε ανισότητα (μια παράμετρος είναι μεγαλύτερη ή μικρότερη από έναν αριθμό) a -a Κριτική περιοχή στη μια πλευρά της κατανομής a -a
ΕΛΕΓΧΟΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤΑΣ t-tet: εξετάζουν τη σημαντικότητα της μέσης τιμής χ tet: εξετάζουν τη σημαντικότητα της διασποράς
TESTS OF SIGIFICACE FOR THE MEA VALUE OF A SAMPLE H 0 : x (μέση τιμή δείγματος με μέγεθος )=μ (μέση τιμή του πληθυσμού) H : x μ t = X Rejection of H 0 x μ where x = Rejection of H 0 Δίπλευρος έλεγχος t a (-) από τον πίνακα της t- κατανομής για διπλό έλεγχο Αν -t a (-)<t< t a (- ) H 0 γίνεται αποδεκτή -ta Acceptance of H 0 ta αλλιώς H 0 απορρίπτεται
ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΓΙΑ ΤΗ ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ Μονόπλευρος έλεγχος Find t a before Rejection of Acceptance t a (-) από τον Πίνακα για μονόπλευρο έλεγχο H 0 of H 0 Αν t> t a (-) H 0 αποδεκτή ta αλλιώς H 0 απορρίπτεται. H 0 : x>μ H : x μ. H 0 : x<μ H : x μ Acceptance Αν t<- t of H Rejection of a (-) H 0 0 αποδεκτή -ta H 0 αλλιώς H 0 απορρίπτεται
Αν το δείγμα προέρχεται από κανονικά κατενεμημένο πληθυσμό με γνωστό σ Z-tet ή αν >30 Z = X σ x μ όπου σ x = σ Οπως στο t-tet Αλλά για σταθερό z a Που εξαρτάται μόνο από το a και όχι από τους ΒΕ a=0.0 a=0.05.58.96 (δίπλευρος).33.64 (μονόπλευρος) Δίπλευρος: If -Z a <Z< Z a H 0 αποδεκτή Μονόπλευρος: z>z a or z<-z a αποδεκτή ανάλογα με τη φορά τηυς ανισότητας στο Ho
ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΤΗΣ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ H 0 : =σ H : σ Δίπλευρος έλεγχος x (-a/)(-) x (a/)(-) πίνακα με - ΒΕ από τον x ( ) = σ Αν x (-a/)(-) <X <x (a/)(-) > H 0 αποδεκτή Acceptance of H 0 αλλιώς H 0 απορρίπτεται X (-a/) X a/
ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΤΗΣ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ. H 0 : >σ H : σ Μονόπλευρος x (-a)(-) - β.ε If X >x (-a)(-) > H 0 Acceptance of H 0 από τον πίνακα με i accepted X (-a). H 0 : <σ H : σ If Acceptance of H 0 x a(-) από τον πίνακα με - β.ε X <x a(-) H 0 i accepted X a
ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΤΩΝ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΩΝ ΔΥΟ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΩΝ ΔΕΙΓΜΑΤΩΝ t ample, H 0 : = H : d ample, Δίπλευρος έλεγχος F = > F> F a για βε -(αριθμητής) - (παρονομαστής) από τον πίνακα της F κατανομής Αν F <Fa=0.05 H 0 αποδεκτή Αν F0.05<F <F0.0 H0 πιθανόν να ισχύει Αν F >F0.0 Η0 απορρίπτεται
F-κατανομή βε αριθμητή= Βε =... a() 0.0 0.05 0.0 0.0. a() 0.05 0.05 0.0 0.005 6 648 4050 600. 8.5 38.5 98.5 99 3 0. 7.4 34. 55.6. 4 7.7.. 3.3 5 6.6 0 6.3.8. 6 5.99 8.8 3.7 8.6..... βε παρανομαστή
ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΤΩΝ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΩΝ ΔΥΟ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΩΝ ΔΕΙΓΜΑΤΩΝ H 0 : > H : <= Μονόπλευρος έλεγχος F = > F> F 0.05 για βε -(αριθμητής) - (παρονομαστής) από τον πίνακα της F κατανομής Αν F >F0.05 Η0 απορρίπτεται
ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΩΝ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΔΥΟ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΩΝ ΔΕΙΓΜΑΤΩΝ t ample x,, d ample x,, H 0 : x =x H : x x. Οι διακυμάνσεις είναι στατιστικά ίσες t = ( x ). + ( ). + x ( + ) -t a t a t a (Ν+Ν-) από τον -t Acceptance Πίνακα για δίπλευρο a <t< t a of H έλεγχο 0
ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΩΝ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΔΥΟ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΩΝ ΔΕΙΓΜΑΤΩΝ H 0 : x =x H : x x. Οι διακυμάνσεις δεν είναι στατιστικά ίσες t* = x x * όπου * = + t (Ν-) και t (-) από τον Πίνακα για δίπλευρο έλεγχο -t* a <t< t* a -t* a T* a Acceptance of H 0 t a * = t + + t
ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΩΝ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΤΩΝ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΔΥΟ ΜΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΩΝΔΕΙΓΜΑΤΩΝ t ample x,κ, Κ=,...Ν d ample x,κ, Κ=,...Ν d K =X,K -X,K H 0 : d=0 H : d 0 όπου d = ( x = k x k ) d k K = K = t = d d -t a t a όπου -t Acceptance a <t< t a of H 0 t a (Ν-) από τον Πίνακα για δίπλευρο έλεγχο d = k = ( d k d ) ( )
SAMPLIG Population mean (μ) and tandard deviation (σ) Conider all poible ample of ize that can be drawn from thi population For each ample: x, Sampling ditribution of a parameter P i the ditribution of computed value of P for all ample μ p, σ p (P= x, ) Sampling ditribution i normal if: 30 If the population i normally ditributed
SAMPLIG DISTRIBUTIO OF x Population μ, σ Sample of ize x, σ i known μ x =μ σ σ x = x (μ, σ x ) x μ Z = σ x Standard error σ x =5 σ x =3 σ x =.5 μ μ μ
SAMPLIG DISTRIBUTIO OF x σ i unknown μ x =μ x = x t a (-) X t = SAMPLIG DISTRIBUTIO OF S μ x S X a(-) x ( ) = σ
STADARD ERRORS AD COFIDECE LIMITS Mean of a ample σ σ x = Standard error Confidence limit a) large ample (>30): x ±z c.σ x where z c =.96 for a=0.05 z c =.58 for a=0.0 b) Small ample (<30): x ±t a(-). σ x
STADARD ERRORS AD COFIDECE LIMITS Standard deviation of a ample σ Standard error σ = Confidence limit a) large ample (>30): ±z c.σ where z c =.96 for a=0.05 z c =.58 for a=0.0 b) Small ample (<30): x σ Ν ( a/ )( ) < < x σ Ν (a/ )( )