ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΑΘΗΜΑ 2 ο
Μάθημα 2 ο Αριθμητική επίλυση εξισώσεων (μη γραμμικές) Μέθοδοι με διαδοχικές δοκιμές σε διάστημα (Διχοτόμησης, Regula-Falsi) Μέθοδοι με επαναληπτικούς αναδρομικούς τύπους (Τέμνουσας, Newton, Muller) Σφάλματα
Αριθμητική επίλυση εξισώσεων Παραδείγματα μη γραμμικών εξισώσεων f x x x 5 ( ) 1 0 f x x x 3 ( ) 2 5 0 f x x x x 2 2 ( ) sin( ) 1 0 Είναι φανερό ότι οι παραπάνω εξισώσεις δεν μπορούν να επιλυθούν με τις γνωστές αναλυτικές μεθόδους.
Σύγκλιση Τάξη σύγκλισης Μια μέθοδος συγκλίνει όταν μετά από ένα πεπερασμένο πλήθος βημάτων η προσεγγιστική λύση τείνει στον ίδιο αριθμό (αποτέλεσμα). Τάξη σύγκλισης είναι ο ρυθμός με τον οποίο η μέθοδος συγκλίνει (ταχύτητα).
Σύγκλιση Τάξη σύγκλισης Η μέθοδος συγκλίνει με τάξη σύγκλισης α όταν x 1 lim k x c k a x x k όπου c μια σταθερά. Αν α=1 γραμμική σύγκλιση Αν α>1 υπεργραμμική Αν α=2 τετραγωνική
Αριθμητική επίλυση εξισώσεων Διαδοχική προσέγγιση με δοκιμές Θεώρημα Bolzano Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [a, b] καιισχύειότι f(a) f(b) <0 τότε υπάρχει τουλάχιστον ένας πραγματικός αριθμός x μέσα στο ανοιχτό διάστημα (a, b) ο οποίος θα είναι ρίζα της εξίσωσης f(x)=0.
Αριθμητική επίλυση εξισώσεων Διαδοχική προσέγγιση με δοκιμές Να βρεθεί η ρίζα της εξίσωσης f(x)=0 με f x x x 3 ( ) 1 στο διάστημα ( 1, 1) a 1, b 1 f a f b f a f 1 1 f f b 1 3 3 0
Αριθμητική επίλυση εξισώσεων Διαδοχική προσέγγιση με δοκιμές f x x x 3 ( ) 1 x 0.5 f 0.5 0.375 x 0.7 f 0.7 0.043 x 0.68 f 0.68 0.005568
Αριθμητική επίλυση εξισώσεων 15 10 5 f(x)=x 3 +x+1 0-5 root -10-2 -1.5-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
Αριθμητική επίλυση εξισώσεων 2 1.5 1 0.5 0-0.5-1 root -1.5-2 -1-0.9-0.8-0.7-0.6-0.5
Αριθμητική επίλυση εξισώσεων 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0-0.1-0.2-0.3 root -0.4-0.5-0.65-0.6
Μέθοδος Διχοτόμησης
Μέθοδος Διχοτόμησης (Αλγόριθμος) ΕΙΣΟΔΟΣ: f(x), a, b, tol, N ΒΗΜΑ 1 ο Θέσε i=1 ΒΗΜΑ 2 ο Όταν i<=n εκτέλεσε τα βήματα 3-6 ΒΗΜΑ 3 ο Θέσε x=a+(b-a)/2 ΒΗΜΑ 4 ο Αν f(x)=0 ή (b-a)/2<tol τότε ΕΞΟΔΟΣ:Το x είναι η λύση και τερμάτισε ΒΗΜΑ 5 ο Αν f(a)*f(x)>0 τότε θέσε a=x διαφορετικά b=x ΒΗΜΑ 6 ο Θέσε i=i+1 ΒΗΜΑ 7 ο ΕΞΟΔΟΣ:Η μέθοδος εξάντλησε όλες τις επαναλήψεις και τερμάτισε
Μέθοδος Διχοτόμησης Στο πρώτο βήμα έχουμε b a 1 10 k x a x b tol 2 2 Στο δεύτερο βήμα έχουμε b2 a2 b1 a1 tol 2 4 Γενικά στο n βήμα έχουμε bn an bn 1 an 1 b1 a1 tol 2 n 2 2 2 2 n b a tol
Μέθοδος Διχοτόμησης Παράδειγμα Να βρεθεί ο απαιτούμενος αριθμός επαναλήψεων για την εύρεση ρίζας της εξίσωσης 3 f x x x 1 a 1 b 1 tol 1 10 2 5
Μέθοδος Διχοτόμησης
0 Convegence of x -0.1-0.2-0.3 x -0.4-0.5-0.6-0.7-0.8 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 iterations
1.2 Convegence of f(x) 1 0.8 0.6 f(x) 0.4 0.2 0-0.2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 iterations
Μέθοδος Εσφαλμένης Θέσης (Regula Falsi)
Μέθοδος Εσφαλμένης Θέσης (Regula Falsi) ΕΙΣΟΔΟΣ: f(x), a, b, tol, N ΒΗΜΑ 1 ο Θέσε i=1 ΒΗΜΑ 2 ο Όταν i<=n εκτέλεσε τα βήματα 3-6 ΒΗΜΑ 3 ο Θέσε x=b-(b-a)/(f(b)-f(a))*f(b) ΒΗΜΑ 4 ο Αν f(x)=0 ή (b-a)/2<tol τότε ΕΞΟΔΟΣ:Το x είναι η λύση και τερμάτισε ΒΗΜΑ 5 ο Αν f(a)*f(x)>0 τότε θέσε a=x διαφορετικά b=x ΒΗΜΑ 6 ο Θέσε i=i+1 ΒΗΜΑ 7 ο ΕΞΟΔΟΣ:Η μέθοδος εξάντλησε όλες τις επαναλήψεις και τερμάτισε
ΜΕΘΟΔΟΣ Regula-Falsi
-0.45 Convegence of x -0.5-0.55 x -0.6-0.65-0.7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 iterations
0.4 Convegence of f(x) 0.35 0.3 0.25 f(x) 0.2 0.15 0.1 0.05 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 iterations
Παραδείγματα Να βρεθεί η ρίζα (ρίζες) της συνάρτησης 3 2 f x 64x 176x 140x 25 a 0, b 2, 5δεκαδικά ψηφία Να βρεθεί η ρίζα (ρίζες) της συνάρτησης 3 2 f x 64x 144x 92x 15 a 0, b 2, 5δεκαδικά ψηφία