Aριθμητική Ανάλυση, 4 ο Εξάμηνο Θ. Σ. Παπαθεοδώρου

Transcript

1 Aριθμητική Ανάλυση, 4 ο Εξάμηνο Θ. Σ. Παπαθεοδώρου Άνοιξη 2002 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Τι σημαίνει f ; f 2 ; f 1 ; Να υπολογισθούν αυτές οι ποσότητες για f(x)=(x-α) 3 (β-x) 3, α<β. 2. Διατυπώστε το θεώρημα του Taylor με υπόλοιπο παραγώγου. 3. Υπο ποιές προϋποθέσεις ισχύει; 4. Ποιό το ΘΜΤ (Θεώρημα της Μέσης Τιμής); 5. Ποιά η γεωμετρική ερμηνεία του ΘΜΤ; 6. Ποιά η γεωμετρική ερμηνεία του θεωρήματος Taylor όταν κρατήσουμε 1 ή 2 ή 3 όρους; 7. Ποιό το σφάλμα της προσέγγισης κατά τον Τaylor με πολυώνυμο βαθμού κ (με κ+1 όρους); 8. Ποιός ο τρόπος να απαλλαγούμε από το άγνωστο σημείο ξ που εμφανίζεται στο υπόλοιπο του Θεωρήματος Τaylor, ώστε να φράξουμε το σφάλμα; 9. Φράγμα για το σφάλμα προσέγγισης της πρώτης παραγώγου στο x με τη διαφορά προς τα μπρός [f(x+δx)-f(x)]/δx; 10. Με τη διαφορά προς τα πίσω; 11. Με την κεντρική διαφορά για ισαπέχοντα σημεία; 12. Με την κεντρική διαφορά για μη ισαπέχοντα σημεία; 13. Ας είναι x-α<x<x+β τρία σημεία. Πώς προσεγγίζεται καλύτερα η τιμή f(x) συναρτήσει των τιμών της f στα x-α και x+β; Ειδική περίπτωση α=β=δx; 14. Τρία πάλι σημεία όπως πριν, με α=β=δx; Να βρεθεί προσέγγιση της f (x) συναρτήσει των τιμών f(x-δx), f(x), f(x+δx). Φράγμα για το σφάλμα; 15. Πώς προκύπτει από το ΘΜΤ το παρακάτω Θεώρημα του Rolle ; An η f είναι συνεχής, τότε μεταξύ δύο ριζών της f υπάρχει μια ρίζα της f 16. Ποιο είναι το Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας; 17. Τι είναι γραμμικά ανεξάρτητα στοιχεία σε γραμμικό (διανυσματικό) χώρο; 18. n στοιχεία παράγουν ποιό χώρο; Παράδειγμα γεωμετρίας;

2 19. Γιατί θέλουμε τα n στοιχεία που παράγουν κάποιο χώρο να είναι γραμμικώς ανεξάρτητα; 20. Ποιός ο χώρος που παράγεται από τις συναρτήσεις Β κ (x) = x κ, κ = 0,..., n; 21. Ποιοί οι χώροι C κ (Ω); Μέτρα; 22. Πότε ένας χώρος είναι πυκνός μέσα σε άλλον; 23. Κλασσικό παράδειγμα: Ποιό το θεώρημα του Weierstrass για την προσέγγιση συνεχούς συνάρτησης; 24. Γενικός αλγόριθμος προσέγγισης (με στοιχεία χώρων πεπερασμένης διάστασης) Είσοδος: n < πληροφορίες για την άγνωστη συνάρτηση f Έξοδος: μια συνάρτηση g n, που ανήκει σε χώρο πεπερασμένης διάστασης n και που (ελπίζεται ότι) είναι καλή προσέγγιση στην f. Σχόλιο: για να είναι καλή πρέπει τουλάχιστον lim f - g n = 0 n ακολουθία προσεγγίσεων, κάποιο μέτρο ως προς n, που ελπίζεται ότι όπως.,. 2 συγκλίνει στην f f - gn = μέτρο (μέγεθος) του σφάλματος προσέγγισης. ΒΗΜΑ 1 Επιλέγεται η ακολουθία χώρων Sn πεπερασμένης διάστασης. Ο Sn είναι ο χώρος που παράγεται από τις συναρτήσεις Β 1,...,Β n που τις επιλέγουμε εμείς (άρα τις γνωρίζουμε). Οι Βκ θα είναι γραμμικώς ανεξάρτητες. Πρέπει ο Sn να γίνεται πυκνός στο (μεγάλο) χώρο Χ που ανήκει n άγνωστο f. Τώρα g n = a 1 B a n B n, Όπου οι συντελεστές ak είναι άγνωστοι και πρέπει να βρεθούν. ΒΗΜΑ 2 Εφαρμόζονται οι n πληροφορίες για την f, οπότε κατασκευάζονται n εξισώσεις με άγνωστες τους a 1,, a n ΒΗΜΑ 3 Λύνεται το σύστημα των n εξισώσεων. 25. Η f είναι ορισμένη στο [0, 1]. Έστω Ν φυσικός και έστω σαν h=1/n, x i =ih, i=0,,n. Δίνονται το ολοκλήρωμα της f στο [0, 1], οι τιμές f (0), f (0), f (1), f (1) και οι τιμές f(x i ), i=1,,(n-1). Nα προσεγγισθεί η f. 26. Να εφαρμοσθεί ο γενικός αλγόριθμος για προσέγγιση μιας f όπου δίνονται οι n=2 πληροφορίες, f(-1)=0, f(1)=1 επιλέγοντας Β 1 (x)=1, Β 2 (x)=x 2 (είναι απλές συναρτήσεις και είναι γραμμικώς ανεξάρτητες).

3 27. Να προσεγγισθεί η λύση n της πολύπλοκης διαφορικής εξίσωσης u (x) 3 + 5u (x) u(x) 2 = (sinx) 8 e x, 0<x<1, u(0)=0, u(1)=13 με ένα πολυώνυμο βαθμού n. 28. ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΠΛΗΣ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ. Οι n πληροφορίες που δίνονται για την f είναι οι τιμές της f σε n διαφορετικά σημεία. Άρα δίνονται f(x 1 ),,f(x n ), όπου x 1 < <x n. Ζητείται να βρεθεί μια προσέγγιση για την f. (α) Αν επιλέξουμε προσέγγιση με πολυώνυμο, αυτό θα είναι βαθμού n-1(γιατί;), έστω P n (x) = α 1 + α 2 x + + α n x n-1. (21.α) Έχουμε δηλαδή επιλέξει τώρα Β 1 (x)=1, B 2 (x)=x,, B n (x)=x n-1. Ποιο το σύστημα που παράγεται; Γιατί δεν μας αρέσει; (β) Αν δεν επιλέξουμε τις συγκεκριμένες Β, δηλαδή τώρα P n (x) = α 1 B 1 (x) + + α n B n (x). (21.β) για κάποιες B i (x) (γνωστές μας), ποιό το σύστημα; Πόσο καλό ή κακό είναι; Πότε υπάρχει μια και μοναδική λύση; 29. Μορφή Lagrange. Πάλι απλή παρεμβολή, πάλι προσέγγιση με πολυώνυμο P n (x) (βαθμού n), αλλά αλλάζουμε βάση (αλλάζουμε συναρτήσεις Β) ώστε ο πίνακας που θα προκύψει να είναι διαγώνιος. Άρα πρέπει:!"όλες οι Βi να είναι γραμμικώς ανεξάρτητες και να είναι πολυώνυμα βαθμού n-1 (ώστε να δίνουν P n επίσης πολυώνυμο βαθμού n-1).!"να ισχύει Β i (x j ) =;!"Άρα Β i (x)= (Καλούνται πολυώνυμα Lagrange)!"Άρα P n (x)= 30. Θεώρημα. Yπάρχει ακριβώς ένα πολυώνυμο P n (βαθμού n-1) που λύνει το πρόβλημα της απλής παρεμβολής, δηλ. P n (x i ) = f(x i ) για n διαφορετικά σημεία x i. Απόδειξη; 31. Τέσσερα μειονεκτήματα της μορφής Lagrange: 32. Μορφή Newton. Να επιλεγούν οι Β ώστε ο πίνακας να είναι κάτω τριγωνικός. Ποιά η λύση του συστήματος; Σε τι διαφέρει το νέο πολυώνυμο από αυτό της μορφής Lagrange; 33. Πως ορίζεται η διαιρεμένη διαφορά (δ. δ) της f, τάξης κ-1 σ ένα σύνολο διαφορετικών σημείων τ 1,,τ κ (που δεν είναι αναγκαστικά τα σημεία παρεμβολής x), κ 1. Συμβολισμός [τ 1, τ κ ] f.

4 34. Δείξτε ότι [τ 1,,τ κ ]f = 35. Δείξτε ότι [τ 1, τ κ ] f = P(x) (κ-1) /(κ-1)! για όλα τα x, όπου Ρ το πολυώνυμο παρεμβολής στα τ i. 36. Δείξτε ότι η [τ 1, τ κ ]f είναι συμμετρική συνάρτηση των τ i, ανεξάρτητη δηλαδή από τη σειρά με την οποία εμφανίζονται τα τ i. 37. Λύνοντας το σύστημα που προκύπτει στο 24 παρατηρείστε ότι ισχύει η αναδρομική σχέση [τ 1, τ 2,, τ κ, τ κ+1 ]f= και αποδείξτε την. 38. Έτσι όχι μόνο έχουμε μια αναδρομική σχέση για τον υπολογισμό των δ. δ. αλλά γνωρίζουμε και το ζητούμενο πολυώνυμο στη μορφή Newton P n (x)= Σημειώστε ότι P n= P n-1 + επόμενος όρος 39. H σχέση αυτή δίνει και τον συστηματικό τρόπο παραγωγής των συντελεστών του P n με τον πίνακα δ. δ.: 40. Να λυθεί το πρόβλημα της παρεμβολής με τις συνθήκες x: -1 0 ½ 1 f(x): 0 1 ¾ 4 και για τις τρεις μορφές του πολυωνύμου 41. Έρχεται τώρα και η νέα πληροφορία f(-2) = -23. Να βρεθεί το νέο πολυώνυμο παρεμβολής. 42. Πώς εφαρμόζεται ο κανόνας Horner (πολ/σμός φωλιάς) για τον υπολογισμό της τιμής f(x) δοθείσης της τιμής x; 43. Πώς ορίζονται οι πεπερασμένες διαφορές για πολλαπλά σημεία; 44. Να λυθεί το πρόβλημα της παρεμβολής με της συνθήκες f(1) = 3, f (1) = 2, f (1) = 2, f (1) = 12, f(2) = 0, f (2) = Δίνεται ln(2)= Να βρεθεί η τιμή ln(1.5) με παρεμβολή Hermite στα σημεία 1 και 2

5 46. Ας είναι [a, b] ένα διάστημα που περιέχει τα σημεία τ 1,, τ κ+1 [ π.χ. a=min{τ 1,, τ κ+1 }, b=max{ τ 1,, τ κ+1 }] και fε C (κ) [a, b]. Nα δειχθεί ότι τότε υπάρχει ξε (a, b) τέτοιο ώστε [τ 1,, τ κ+1 ]f = f (κ) (ξ) / κ! 47. Άρα [τ,, τ] f = κ φορές (βλ. και ορισμό που δόθηκε στο 43) 48. Για την παρεμβολή στα σημεία x 1,, x n, που δεν είναι κατ ανάγκην όλα διαφορετικά, και για fε C n [a, b], όπου [a, b] είναι ένα διάστημα που περιλαμβάνει τα x 1,, x n, δείξτε ότι το σφάλμα της παρεμβολής, ε n : = f - P n, δίνεται από τον τύπο ε n (x) = [f (n) (ξ) / n!] (x-x 1 ) (x-x n ) για κάποιο ξε (a, b) 49. Δείξτε ότι το σφάλμα της παρεμβολής δίνεται και από τον τύπο ε n (x) = ([x 1,, x n, x]f) (x-x 1 ) (x-x n ) 50. Aς είναι Ψ n (x):=(x-x 1 ) (x-x n ), όπου ισχύουν οι υποθέσεις του 48. Δείξτε ότι ε n f (n) /n! Ψ n 51. και ότι ε n [ f (n) /n!](b-a) n 52. Πώς συγκρίνονται τα 48 εώς 51 με τα γνωστά αποτελέσματα του θεωρήματος Taylor; 53. Ποιο είναι το αναμενόμενο φράγμα στην παρεμβολή Hermite στο λογάριθμο, όπως στο 45; 54. Γενικότερα, για την παρεμβολή Hermite στα σημεία x 1 <x 2 με h: = x 2 -x 1, να βρεθεί φράγμα για το σφάλμα (με ποιες υποθέσεις για την f;) 55. Ίδιο πρόβλημα αλλά για την απλή παρεμβολή στα σημεία x 1, x Ποιο είναι το μέγιστο σφάλμα στην προσέγγιση f(x1+x 2 ) f(x 1 )+f(x 2 ) 2 2 από 55; από Taylor; 57. Δείξτε ότι το φράγμα στο 54 είναι οξύ 58. Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής της f, όπου f(x)=sin(x), 0 x π/2, στα σημεία 0, π/2. Να βρεθεί φράγμα για το μέγιστο σφάλμα. Στη συνέχεια να επισυναφθούν νέα σημεία 0, π/2 και να βρεθεί το νέο πολυώνυμο και το νέο φράγμα για το σφάλμα 59. Γνωρίζουμε (από π.χ. το 51) ότι όπως μεγαλώνει το πλήθος των σημείων (όπως δηλ. θα μεγαλώνει ο βαθμός του πολυωνύμου) το μέγιστο σφάλμα θα ελαττώνεται. Όμως

6 στην πράξη η προσέγγιση είναι κακή σύμφωνα με το παράδειγμα Runge (ΠR). Τι λέει το ΠR; Ποια τα σημεία Chebyshef και τι προσφέρουν; 60. Ας είναι x 1 =a<x 2 < <x N =b μια ομοιόμορφη διαμέριση του διαστήματος (a, b) (άρα x i =ih, όπου h:=(b-a)/ν; N=αριθμός υποδιαστημάτων, i=0,, N). Aς είναι P n η συνάρτηση - τεθλασμένη γραμμή που συμφωνεί με δοθείσα f στα σημεία x i. Εκφράζουμε το P n στη μορφή P n (x)=α i Β i (χ) + +α n B n (x) όπου θέλουμε α i =f(x i ), I=0,, N. Ποιο το n; Ποιες οι συναρτήσεις βάσης Β i ; Πώς υπολογίζεται το P n (x) για δοθεν x στο [a, b]; Ποιο το φράγμα για το μέγιστο σφάλμα προσέγγισης ε n :=f-p n με ποιες υποθέσεις για την f; Πώς μπορούμε πάντα να βρίσκουμε τις τιμές Β i (x) για οποιοδήποτε i χωρίς να έχουμε ξεχωριστό τύπο για κάθε Β i ; 61. Ίδιο πρόβλημα για παρεμβολή Hermite στο (διπλά πλέον) σημεία x 1,, x n. Για βοήθεια, θεωρείστε πρώτα τα κυβικά πολυώνυμα φ και ψ για sε [0, 1] που ικανοποιούν τις συνθήκες παρεμβολής x: x: φ: ψ: και λάβετε υπ όψιν ότι αν φ*(s):= φ(1-s) και ψ*(s):= ψ(1-s), τότε τα φ*, ψ* ικανοποιούν τις συνθήκες x: x: φ*: ψ*: Έστω f(x)=(x-α) 3 (β-x) 3. Xωρίς παραγωγήσεις βρείτε τις ρίζες της f και των παραγώγων της, ή βρείτε πού περίπου βρίσκονται οι ρίζες αυτές. 63. Δίνεται f(x)=(x-1) 2 (3-x) 2. (α) Με απλή επιθεώρηση, προβλέψτε ακριβώς ή εκτιμήστε περίπου πού βρίσκονται οι ρίζες της f και των παραγώγων της. Στα επόμενα θεωρείστε τα διάστημα [1, 2] χωρισμένο σε Ν=10 υποδιαστήματα, άρα μήκους h=0.1. Τιμή ενδιαφέροντος x=1.36. Οι υπολογισμοί να γίνονται με 6 δεκαδικά ψηφία. (β) Προσέγγιση με πολυώνυμο κατά τμήματα γραμμικά (τεθλασμένες). Ποιός ο τύπος για το πολυώνυμο στο υποδιάστημα ενδιαφέροντος; Ποιά η προσέγγιση στην τιμή f(1.36) που δίνει το πολυώνυμο; Ποιό το σφάλμα; Ποιό το φράγμα για το μέγιστο σφάλμα; (γ) Ίδια ερωτήματα για την προσέγγιση με πολυώνυμο κατά τμήματα με παρεμβολή Hermite. (δ) Να βρεθούν οι προσεγγίσεις f (1.36), f (1.36), f (1.36) και για τα δύο είδη προσεγγίσεων. (ε) Να βρεθεί θεωρητικά η τιμή του ολοκληρώματος της f στο υποδιάστημα ενδιαφέροντος, καθώς και οι αντίστοιχες προσεγγίσεις του από τα ολοκληρώματα του πολυωνύμου και για τα δύο είδη προσέγγισης. Να ελεγχθεί αν τα σφάλματα δεν υπερβαίνουν τα προβλεπόμενα φράγματα.

7 (ζ) Ίδιο πρόβλημα αλλά για όλο το [1, 2], δηλ. τώρα με εφαρμογή του σύνθετου κανόνα του τραπεζίου και του διορθωμένου αντίστοιχα. 64. Βρείτε τύπο για την προσέγγιση της f (x) συναρτήσει των τιμών f(x-α), f(x) και f(x+β). Ποιό το φράγμα για το μέγιστο σφάλμα; Τι συμβαίνει όταν α=β=h; 65. Βρείτε τύπους για την προσέγγιση των f (x), f (x) συναρτήσει των τιμών f(x-h), f (x-h), f(x+h), f (x+h). 66. Έστω f(x) = ημx, 0 x π/2. Υπολογίστε προσεγγιστικά το ολοκλήρωμα Ι(f) της f στο διάστημα ενδιαφέροντος με τους παρακάτω κανόνες 1. Μέσου σημείου 2. Τραπεζίου 3. Simpson 4. Διορθωμένου τραπεζίου 5. Gauss - Legandre βαθμού 2 (με 2 σημεία) 6. Τους αντίστοιχους σύνθετους κανόνες για 2, 3, 4, 5, με Ν=3 υποδιαστήματα και με δεδομένες ως γνωστές τις τιμές που χρειάζονται σε κάθε περίπτωση 7. Ποιό είναι ένα φράγμα για το σφάλμα στις παραπάνω περιπτώσεις και στην 6 γενικά για οποιοδήποτε Ν 2; 67. Έστω f ορισμένη στο [0, 2]. Πόσους και ποιούς κανόνες ολοκλήρωσης μπορείτε να βρείτε που χρησιμοποιούν ως γνωστές τις τιμές f(0), f(0.5), f(1), f(1.5), f(2); 68. Ίδιο με 66 αλλά τώρα δίνονται f(0), f (0), f(1), f (1), f(2), f (2) 69. Ποιά τα φράγματα για τις περιπτώσεις 67, Λύστε αριθμητικά το πρόβλημα συνοριακών συνθηκών u (x) - 12 u(x) = 36x 2 (1-x 2 ) 0<x<1 u (0)=0, u(1)=3, χρησιμοποιώντας πεπερασμένες διαφορές και τα σημεία x i = ih, i=0,,n, με Ν= Τι θα άλλαζε στο σύστημα των εξισώσεων αν αλλάζαμε το x 3 από ¾ σε 0.8; 2 -x 72. Δίνεται f(x)= e και οι τιμές e= , e= Προσεγγίστε την τιμή του 1 f(x)dx, υπολογίζοντας εύκολα όσες άλλες τιμές 0 χρειασθείτε. 1. Από τον κανόνα ορθογωνίου (Απ.: 1) 2. Μέσου σημείου (Απ.: ) 3. Τραπεζίου (Απ.: ) 4. Simpson (Απ.: ) 5. Διορθωμένου τραπεζίου (Απ.: ) 6. Gauss - Legandre 2 σημείων, χρησιμοποιώντας επιπλέον τις τιμές 3 = ( ) 2 -( ) e = , e = (Απ.: ) Ποιά από τις παρακάτω θα δεχόσαστε ότι είναι η ακριβής τιμή του ολοκληρώματος; , , ,

8