ΣΤΥΛΙΑΝΟΥ Η. ΜΑΣΕΝ ΣΠΟΥ ΑΣΤΗΡΙΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΙΙ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 004
.
Περιεχόµενα 1 Εισαγωγή 1 1.1 Οι ϑεµελιώδεις προτάσεις της Κβαντοµηχανικής.............. 1 1. Η εξίσωση του Schrödinger......................... 1..1 Φυσική ερµηνεία της κυµατοσυνάρτησης............... 3 1.. Εξίσωση συνέχειας. Πυκνότητα ϱεύµατος πιθανότητας........ 4 1..3 Συνθήκες που ικανοποιεί η κυµατοσυνάρτηση............ 5 1..4 Χρονική εξέλιξη της κυµατοσυνάρτησης............... 5 1.3 Η εξίσωση του Schrödinger δύο σωµατιδίων................. 6 1.4 Κεντρικά δυναµικά.............................. 8 Στοιχεία Θεωρίας Σκέδασης 13.1 ιάφοροι ορισµοί............................... 14. Η ασυµπτωτική συνθήκη και το πλάτος σκέδασης............. 15.3 Ανάλυση σε µερικά κύµατα - Μετατοπίσεις ϕάσης............. 19.3.1 Ασυµπτωτική συµπεριφορά των ακτινικών κυµατοσυναρτήσεων... 0.3. Προσδιορισµός των ενεργών διατοµών................ 4.3.3 Ιδιότητες του αναπτύγµατος σε µερικά κύµατα........... 6.3.4 Σκέδαση από δυναµικό σκληρής σφαίρας............... 9.3.5 Σκέδαση από τετραγωνικό ϕρέαρ δυναµικού τριών διαστάσεων.... 30.4 Καταστάσεις δέσµιες και συντονισµού.................... 3.4.1 Σκέδαση µε παρουσία δέσµιων καταστάσεων............. 3.4. Καταστάσεις συντονισµού. Τύπος Breit-Wigner........... 34.5 Αριθµητικός προσδιορισµός των µετατοπίσεων ϕάσης............ 37.5.1 Εφαρµογή της Mathematica στη σκέδαση ηλεκτρονίων από άτοµα. 40.5. Εφαρµογή της Fortran στη σκέδαση ηλεκτρονίων από άτοµα.... 48 Αʹ Χρήσιµες σχέσεις και ορισµοί 55 Αʹ.1 Οι εκφράσεις των, και = r p σε καρτεσιανές και σφαιρικές συντεταγµένες................................... 55 Αʹ. Οι σφαιρικές αρµονικές........................... 56 Αʹ.3 Πολυώνυµα Legendre, P n (x)......................... 57 Αʹ.4 Συναρτήσεις Besse.............................. 58 i
ii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ.
Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή Επειδή οι ϐασικές γνώσεις της Κβαντοµηχανικής έχουν ήδη αποκτηθεί στα δύο προπτυχιακά µαθήµατα, ϑα αναφέρουµε τα αξιώµατά της και σχεδόν επιγραµµατικά µερικά χαρακτηριστικά συµπεράσµατα που ϑα µας ϐοηθήσουν ως αναφορές στο κύριο µέρος των σηµειώσεων που είναι το κβαντοµηχανικό πρόβληµα της σκέδασης. 1.1 Οι ϑεµελιώδεις προτάσεις της Κβαντοµηχανικής 1. Σε κάθε κατάσταση ενός ϕυσικού συστήµατος αντιστοιχεί µια (τετραγωνικά ολοκλη- ϱώσιµη) κυµατοσυνάρτηση, δηλαδή ένα διάνυσµα του χώρου Hibert. Η κυµατοσυνάρτηση περιέχει όλες τις πειραµατικά ελέγξιµες πληροφορίες για την κατάσταση του ϕυσικού συστήµατος.. Σε κάθε ϕυσικό µέγεθος αντιστοιχεί ένας ερµιτιανός τελεστής που κατασκευάζεται από την κλασική έκφραση του ϕυσικού µεγέθους µε την αντικατάσταση r r = r και p p = i 3. Η µέση τιµή των αποτελεσµάτων των µετρήσεων ενός ϕυσικού µεγέθους δίνεται από τον τύπο Â = Ψ Â Ψ = Ψ ÂΨdr όπου Â ο τελεστής που αντιστοιχεί στο µέγεθος Α. Οι µόνες δυνατές τιµές που µπορούν να προκύψουν κατά τις µετρήσεις του µεγέθους Α είναι οι ιδιοτιµές του Â. Στην κατάσταση Ψ = n c ny n η πιθανότητα να εµφανιστεί η ιδιοτιµή a n που αντιστοιχεί στην ιδιοσυνάρτηση y n (Ây n = a n y n ) είναι W (a n ) = c n = y n Ψ 4. Η κατάσταση του ϕυσικού συστήµατος µετά από µια µέτρηση δίνεται από την ιδιοσυνάρτηση της ιδιοτιµής που µετρήθηκε. 5. Η χρονική εξέλιξη της κατάστασης ενός κβαντοµηχανικού συστήµατος διέπεται από την εξίσωση του Schrödinger i Ψ t = ĤΨ όπου Ĥ ο τελεστής της Χαµιλτονιανής του συστήµατος. 1
Εισαγωγή 1. Η εξίσωση του Schrödinger Η ϐασική εξίσωση της Κβαντοµηχανικής είναι η εξίσωση του Schrödinger που είναι δια- ϕορική εξίσωση ( Ε) µε µερικές παραγώγους, 1ης τάξης ως προς το χρόνο και ης τάξης ως προς τον χώρο. `Ενα άλλο χαρακτηριστικό της εξίσωσης αυτής είναι ότι περιέχει τη ϕανταστική µονάδα i και εποµένως οι λύσεις της είναι µιγαδικές συναρτήσεις. Για τη γνώση του µικρόκοσµου (άτοµα, πυρήνες κλπ) είναι απαραίτητο να λυθεί αυτή η εξίσωση. Η λύση της εξίσωσης του Schrödinger είναι συχνά ένα πολύ δύσκολο πρόβληµα. Οµως, υπάρχει µια κατηγορία προβληµάτων, που δίνουν πολύτιµες πληροφορίες για την κατάσταση των ατοµικών σωµατιδίων, για τα οποία η εύρεση της λύσης απαιτεί µικρότε- ϱη προσπάθεια. Στα προβλήµατα αυτά, που λέγονται στάσιµα (stationary) προβλήµατα, η ενέργεια είναι σταθερή και οι ϕυσικές ιδιότητες δεν µεταβάλλονται µε το χρόνο. Αυτά τα προβλήµατα ανάγονται στη λύση µιας συνήθους Ε ης τάξης, την ανεξάρτητη από το χρόνο εξίσωση του Schrödinger. Η εξαρτηµένη από το χρόνο εξίσωση του Schrödinger που συσχετίζει το ϱυθµό µεταβολής ενός κβαντικού συστήµατος µε την ολική του ενέργεια (ή ακριβέστερα, µε τον τελεστή του Hamiton) είναι της µορφής όπου Ψ(r, t) i t = ĤΨ(r, t) (1.1) Ĥ = m + V (r, t) (1.) Θα εξετάσουµε την περίπτωση που το δυναµικό V (r, t) δεν εξαρτάται από το χρόνο, δηλαδή V (r, t) = V (r). Με αυτήν την παραδοχή η εξίσωση (1.1) έχει ένα σύνολο λύσεων που µπορούν να αναλυθούν και να δώσουν πληροφορίες για το σύστηµα που εξετάζεται. Οι λύσεις αυτές έχουν τα ίδια χαρακτηριστικά µε τα στάσιµα κύµατα ενός µουσικού οργάνου. ηλαδή, δεν αντιστοιχούν σε οδεύοντα κύµατα αλλά σε δονήσεις κατά τις οποίες το πλάτος ενός δοσµένου χωρικά σχήµατος αυξοµειώνεται µε το χρόνο. `Οταν V (r, t) = V (r), οι λύσεις της (1.1) µπορούν να ϐρεθούν χρησιµοποιώντας τη µέθοδο χωρισµού των µεταβλητών κατά την οποία Ϲητάµε λύσεις της µορφής Ψ(r, t) = T (t)u(r) (1.3) Η αντικατάσταση της (1.3) στην εξίσωση (1.1) µας οδηγεί σε λύσεις της µορφής όπου η u E (r) είναι ιδιοσυνάρτηση της εξίσωσης ιδιοτιµών Ψ E (r, t) = e iet/ u E (r) (1.4) Ĥu E (r) = Eu E (r) (1.5) Η παράµετρος E είναι η σταθερά διαχωρισµού και έχει διαστάσεις ενέργειας, όπως προκύπτει από τη µορφή της (1.4). Αυτή είναι ιδιοτιµή του τελεστή του Hamiton και αντιπροσωπεύει την ολική ενέργεια του συστήµατος. Οι λύσεις της εξίσωσης (1.5) που προκύπτουν από συγκεκριµένες τιµές την ενέργειας λέγονται κυµατοσυναρτήσεις κα- ϑορισµένης τιµής ενέργειας. Η εξίσωση (1.5) λέγεται ανεξάρτητη από το χρόνο (ή στάσιµη) εξίσωση του Schrödinger.
1. Η εξίσωση του Schrödinger 3 Λόγω της µορφής της εξίσωσης (1.1) και της µορφής της λύσης (1.4), οδηγούµαστε στο συµπέρασµα ότι τα στάσιµα κύµατα ταλαντώνονται αρµονικά µε το χρόνο µε συχνότητα που σχετίζεται µε την ολική ενέργεια του συστήµατος ν = ω π = 1 E π 1..1 Φυσική ερµηνεία της κυµατοσυνάρτησης. Επειδή η κυµατοσυνάρτηση Ψ(r, t) είναι µια µιγαδική συνάρτηση δεν είναι δυνατό να δοθεί σε αυτήν άµεση ϕυσική ερµηνεία αφού τα ϕυσικά µεγέθη που µετρώνται είναι πραγµατικοί αριθµοί. `Ετσι αν ϑέλουµε να δοθεί ϕυσική ερµηνεία, αυτή ϑα πρέπει να δοθεί σε παράγωγο µέγεθός της. Μια υπόδειξη για την πιθανή ερµηνεία που µπορεί να δοθεί στο παράγωγο µέγεθος της Ψ(r, t) δίνεται από την κλασική κυµατική ϑεωρία. Είναι γνωστό ότι η πυκνότητα της ενέργειας ενός ηλεκτροµαγνητικού κύµατος είναι ανάλογη του µέτρου της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου, E και του µαγνητικού πεδίου, H. Το ολοκλήρωµα της πυκνότητας της ενέργειας σε όλο το χώρο δίνει την ολική ενέργεια του κύµατος που είναι ανεξάρτητη του χρόνου. Στα υλοκύµατα η κυµαινόµενη ποσότητα είναι η κυµατοσυνάρτηση Ψ(r, t) που είναι µιγαδική συνάρτηση. Το µέτρο της όµως, ή καλύτερα το τετράγωνο του µέτρου της, Ψ(r, t), είναι πραγµατική συνάρτηση και εποµένως ϑα µπορούσε να δοθεί ϕυσική ερ- µηνεία σε αυτό. Είναι λογικό να υποθέσουµε ότι, όπου το Ψ(r, t) παίρνει µεγάλη τιµή εκεί είναι πιθανότερο να ϐρίσκεται το σωµατίδιο παρά όπου αυτό παίρνει µικρές τιµές. `Ετσι, η ϕυσική ερµηνεία που δίνεται στο Ψ(r, t) είναι αυτή της πυκνότητας πιθανότητας. ηλαδή, αν σε ένα σωµατίδιο αντιστοιχεί η κυµατοσυνάρτηση Ψ(r, t) τότε κατά µια µέτρηση της ϑέσης του σωµατιδίου, η πιθανότητα να ϐρίσκεται αυτό τη χρονική στιγµή t στον όγκο dr = dxdydz στο σηµείο r είναι ανάλογη του Ψ(r, t) dr dπ = c Ψ(r, t) dr Η σταθερά αναλογίας c µπορεί να προκύψει από την απαίτηση η πιθανότητα να ϐρεθεί το σωµατίδιο σε όλο το χώρο είναι µονάδα, Π = c Ψ(r, t) 1 dr = 1 c = V Ψ(r, V t) dr οπότε η πυκνότητα πιθανότητας είναι ρ(r, t) = Ψ (r, t)ψ(r, t) Ψ(r, V t) dr Αν οι κυµατοσυναρτήσεις είναι κανονικοποιηµένες, η ρ(r, t) γράφεται: (1.6) ρ(r, t) = Ψ (r, t)ψ(r, t) (1.7) Για να είναι δυνατό να ερµηνευτεί η ρ(r, t) = Ψ Ψ ως πυκνότητα πιθανότητας, ϑα πρέπει ρ(r, t)dr = 1 (1.8) V για κάθε χρονική στιγµή. Αυτό σηµαίνει ότι οι κυµατοσυναρτήσεις Ψ(r, t) πρέπει να είναι τέτοιες ώστε:
4 Εισαγωγή 1. Το ολοκλήρωµα της (1.8) να είναι ανεξάρτητο του χρόνου.. Το ολοκλήρωµα της (1.8) να συγκλίνει. Εποµένως, κατά την επίλυση ενός κβαντοµηχανικού προβλήµατος πρέπει να εξασφαλίζεται ότι η κυµατοσυνάρτηση έχει τέτοια συµπεριφορά ώστε το ολοκλήρωµα της (1.8) να υπάρχει, ή διαφορετικά η Ψ(r, t) πρέπει να είναι τετραγωνικά ολοκληρώσιµη. Σηµείωση 1. Στα πειράµατα σκέδασης γίνονται αποδεκτές και κυµατοσυναρτήσεις που δεν είναι τετραγωνικά ολοκληρώσιµες, όπως για παράδειγµα τα επίπεδα κύµατα: Ψ p (r, t) = α(p)e i (p r Et). Σε αυτήν την περίπτωση ορίζεται η σχετική πυκνότητα πιθανότητας ρ(r, t) = cψ (r, t)ψ(r, t) όπου c σταθερά, η εκλογή της οποίας παραµένει αυθαίρετη. Σηµείωση. Μπορεί να δειχτεί ότι πράγµατι το ολοκλήρωµα της ρ(r, t) σε όλο το χώρο είναι ανεξάρτητο του χρόνου, εφόσον ϐέβαια ισχύουν κατάλληλες συνθήκες ώστε ο τελεστής του Hamiton να είναι ερµιτιανός. 1.. Εξίσωση συνέχειας. Πυκνότητα ϱεύµατος πιθανότητας. Σε διάφορους κλάδους της ϕυσικής, όπως για παράδειγµα στην Υδροδυναµική και στην Ηλεκτροδυναµική, ισχύει µια ϐασική εξίσωση που λέγεται εξίσωση συνέχειας. Στην υδροδυναµική η εξίσωση αυτή εκφράζει τη διατήρηση της µάζας του κινούµενου ϱευστού, ενώ στην ηλεκτροδυναµική εκφράζει τη διατήρηση του ηλεκτρικού ϕορτίου. Μια τέτοια εξίσωση συνέχειας µπορεί να γραφεί για κάθε (ϐαθµωτό) ϕυσικό µέγεθος που διατηρείται. Στην Κβαντοµηχανική ένα ϐαθµωτό µέγεθος είναι η πιθανότητα ρ(r, t)dr. V Περιµένουµε εποµένως να ισχύει µια εξίσωση συνέχειας και στην Κβαντοµηχανική. Η εξίσωση αυτή, αν ορίσουµε ως ϱεύµα πυκνότητας πιθανότητας j(r, t) την ποσότητα είναι της µορφής ( j(r, t) = i m (Ψ Ψ Ψ Ψ ) = Re [Ψ i )] m Ψ = Re[Ψ vψ] (1.9) ρ(r, t) t + j(r, t) = 0 (1.10) Η σχέση αυτή που είναι συνέπεια της εξίσωσης του Schrödinger εκφράζει τον εξής νόµο διατήρησης: Αν η πιθανότητα να ϐρεθεί ένα σωµατίδιο στον όγκο V, ελαττώνεται µε την πάροδο του χρόνου, τότε η πιθανότητα να ϐρεθεί αυτό εκτός του όγκου V αυξάνει κατά το ποσό αυτό. Από τον ορισµό του ϱεύµατος πυκνότητας πιθανότητας, σχέση (1.9), συµπεραίνουµε ότι (όπως και στην υδροδυναµική) αυτό είναι πάλι της µορφής (πυκνότητα) (ταχύτητα) Εποµένως το ϱεύµα πυκνότητας πιθανότητας δεν υπόκειται σε άµεση µέτρηση, όπως συµβαίνει µε την πυκνότητα πιθανότητας, επειδή αυτό προϋποθέτει ταυτόχρονη µέτρηση της ϑέσης και της ορµής, που έρχεται σε αντίθεση µε τις σχέσεις της αβεβαιότητας.
1. Η εξίσωση του Schrödinger 5 1..3 Συνθήκες που ικανοποιεί η κυµατοσυνάρτηση Η µορφή των λύσεων µιας διαφορικής εξίσωσης εξαρτάται άµεσα από τις συνθήκες που πρέπει να ικανοποιεί αυτή. Η Ψ(r, t) που είναι λύση της εξίσωσης του Schrödinger πρέπει να ικανοποιεί ορισµένες συνθήκες που επιβάλλονται σε αυτήν ώστε να εξασφαλίζεται τα ρ(r, t) = Ψ(r, t) και j(r, t) = i m (Ψ Ψ Ψ Ψ ) να έχουν συµπεριφορά που υπαγορεύεται από τη ϕυσική σηµασία ως πυκνότητας πιθανότητας και ϱεύµατος πυκνότητας πιθανότητας, αντίστοιχα. `Ετσι, πρέπει να ισχύουν τα παρακάτω: 1. Η Ψ(r, t) πρέπει να είναι τετραγωνικά ολοκληρώσιµη V Ψ(r, t) dr = πεπερασµένο (1.11) Η συνθήκη αυτή εφαρµόζεται σε προβλήµατα δεσµίων καταστάσεων. ηλαδή, όταν η κίνηση του σωµατιδίου, λόγω των δυνάµεων που εξασκούνται σε αυτό, περιορί- Ϲεται σε ένα ορισµένο τµήµα του χώρου. Συνέπεια της συνθήκης αυτής είναι ο καθορισµός της οριακής συνθήκης σε µεγάλες αποστάσεις. Για να ικανοποιείται η συνθήκη αυτή πρέπει η Ψ(r, t) να τείνει στο µηδέν για µεγάλες αποστάσεις πιο γρήγορα από το r 3/. Από τη συνθήκη (1.11) συνεπάγεται ότι η Ψ(r, t) µπορεί να απειρίζεται για r = 0 όχι όµως πιο γρήγορα από το r 3/. Στα προβλήµατα της σκέδασης χρησιµοποιούνται και µη τετραγωνικά ολοκληρώσι- µες συναρτήσεις. Σε αυτήν την περίπτωση η οριακή συνθήκη για µεγάλες αποστάσεις είναι: η κυµατοσυνάρτηση πρέπει να είναι πεπερασµένη για µεγάλες αποστάσεις. ιαφορετικά, η Ψ(r, t) πρέπει να είναι τετραγωνικά ολοκληρώσιµη σε κάθε πεπερασµένο όγκο.. Η Ψ(r, t) και οι πρώτες µερικές παράγωγοί της πρέπει να είναι συνεχείς συναρτήσεις. Η συνθήκη αυτή για τις µερικές παραγώγους ισχύει όταν το δυναµικό είναι πεπερασµένο (συνεχές ή µη). `Οταν υπάρχει ϐαθµίδα δυναµικού άπειρου ύψους σε µια επιφάνεια, τότε η κυµατοσυνάρτηση είναι µηδέν επάνω σε αυτή, ενώ η συνιστώσα της Ψ κατά µήκος της καθέτου προς την επιφάνεια είναι ακαθόριστη. Οι παραπάνω γενικές συνθήκες επί της Ψ(r, t) συνεπάγονται αντίστοιχες συνθήκες για τις κυµατοσυναρτήσεις u E (r) (και u E (r)) της ανεξάρτητης από το χρόνο εξίσωσης του Schrödinger στην περίπτωση που V (r, t) = V (r). 1..4 Χρονική εξέλιξη της κυµατοσυνάρτησης Πριν κάνουµε κάποια παρατήρηση ενός κβαντοµηχανικού συστήµατος, η κατάσταση του περιγράφεται από µια κυµατοσυνάρτηση που είναι λύση της εξαρτηµένης από το χρόνο εξίσωσης του Schrödinger. Γενικά είναι κάπως απίθανο αυτή να ανήκει σε κάποια συγκεκριµένη ιδιοκατάσταση, αλλά σε κάποια χρονική στιγµή (έστω t = 0) είναι µια επαλληλία (γραµµικός συνδυασµός) των ιδιοκαταστάσεων του τελεστή του Hamiton. ηλαδή Ψ(r, 0) = n α En u En (r), α En = u En (r) Ψ(r, 0) (1.1)
6 Εισαγωγή Το σύµβολο της σειράς στην (1.1) παριστάνει το άθροισµα ως προς όλες τις δέσµιες καταστάσεις και το ολοκλήρωµα ως προς όλες τις καταστάσεις σκέδασης. Κάθε ιδιοκατάσταση u En (r) εξελίσσεται µε την πάροδο του χρόνου ανεξάρτητα από τις υπόλοιπες. Η εξέλιξη αυτή περιγράφεται από την κυµατοσυνάρτηση Ψ En (r, t) = e ie nt/ u En (r) Τη χρονική στιγµή t 0 η πλήρης κυµατοσυνάρτηση είναι Ψ(r, t) = n α En e ient/ u En (r) (1.13) 1.3 Η εξίσωση του Schrödinger δύο σωµατιδίων Ας ϑεωρήσουµε δύο σωµατίδια στο χώρο µε µάζες m 1 και m και διανύσµατα ϑέσης r 1 και r, αντίστοιχα. Η ανεξάρτητη από το χρόνο εξίσωση του Schrödinger του συστήµατος είναι m 1 1u 1 (r 1, r ) m u 1 (r 1, r ) + V (r 1, r )u 1 (r 1, r ) = E 1 u 1 (r 1, r ) (1.14) όπου E 1 είναι η ολική ενέργεια του συστήµατος των δύο σωµατιδίων και ( i = Η παραπάνω εξίσωση για τα δύο σωµατίδια εξαρτάται από έξι συντεταγµένες ϑέσης. Στην περίπτωση που το δυναµικό V (r 1, r ) προκύπτει µόνο από την αλληλεπίδραση των δύο σωµατιδίων, αυτό ϑα εξαρτάται από το διάνυσµα της σχετικής απόστασης r = r 1 r. ηλαδή, V (r 1, r ) = V (r 1 r ). Σε αυτήν την περίπτωση το πρόβληµα απλουστεύεται σηµαντικά αν κάνουµε µετασχηµατισµό στις συντεταγµένες του κέντρου µάζας και της σχετικής ϑέσης των δύο σωµατιδίων x z r 1 m 1 R y Σχήµα 1.1: r r x i, y i, R = (X, Y, Z) = m 1r 1 + m r, r = (x, y, z) = r 1 r (1.15) M όπου M = m 1 + m. Αν ορίσουµε την ανηγµένη µάζα µ = m 1m σύστηµα (1.15) ως προς r 1 και r, ϐρίσκουµε m 1 +m m z i ) και λύσουµε το r 1 = R + µ m 1 r, r = R µ m r (1.16) Στις σχέσεις της (1.16) καταλήγουµε αν λύσουµε τις εξισώσεις της (1.15) ως προς r 1 και r. Είναι καλό να συνηθίζουµε να χρησιµοποιούµε τη Mathematica όχι µόνο για αριθµητικές πράξεις αλλά και για αναλυτικές. `Ετσι, το σύστηµα των δύο εξισώσεων της (1.15) µπορεί να λυθεί ως προς r 1 και r µε τον παρακάτω τρόπο sor1r = Sove[{(m1 r1 + m r)/(m1 + m) == Rcm, r1 r == r}, {r1, r}]//fatten; r1 = Apart[r1/.sor1r[[1]], Rcm]/. (m1 + m) m1 m/mu; r = Apart[r/.sor1r[[]], Rcm]/. (m1 + m) m1 m/mu; Print[ r1 =, r1, r =, r]
1.3 Η εξίσωση του Schrödinger δύο σωµατιδίων 7 Στην πρώτη εντολή χρησιµοποιούµε την εσωτερική εντολή της Mathematica Sove που δίνει τη λύση του συστήµατος υπό µορφή λίστα αντικατάστασης, ενώ µε την εντολή Fatten αφαιρούµε τις εσωτερικές αγκύλες της λίστας αντικατάστασης. Στη δεύτερη και στη τρίτη εντολή αποδίδουµε στις λύσεις του συστήµατος στις µεταβλητές r1 και r. Για την κοµψότητα του αποτελέσµατος χρησιµοποιούµε την εντολή Apart που ξεχωρίζει το κλάσµα στις συντεταγµένες του κέντρου µάζας και της σχετικής κίνησης, ενώ µε την εντολή αντικατάστασης (/.) το αποτέλεσµα ϑα περιέχει την ανηγµένη µάζα. Τέλος η εντολή Print τυπώνει το αποτέλεσµα µε τη µορφή r1 = mu r m1 + Rcm, r r = mu m + Rcm Με τη ϐοήθεια των σχέσεων (1.15) και (1.16) µπορούµε να εκφράσουµε το άθροισµα των τελεστών του Lapace ως προς τις συντεταγµένες των δύο σωµατιδίων σε άθροισµα των τελεστών του Lapace ως προς τις συντεταγµένες του κέντρου µάζας και της σχετικής ϑέσης. Μπορεί να δειχτεί ότι ισχύει η σχέση όπου R = 1 m 1 1 + 1 m = 1 M R + 1 µ r (1.17) ( ) ( X, Y,, r = Z x, y, ) z Με τη ϐοήθεια της (1.17) η εξίσωση (1.14) των δύο σωµατιδίων γράφεται όπου Ĥ R u 1 (r 1, r ) + Ĥru 1 (r 1, r ) = E 1 u 1 (r 1, r ) (1.18) Ĥ R = M R, Ĥ r = µ r + V (r 1 r ) ηλαδή, όταν το δυναµικό εξαρτάται µόνο από τη σχετική ϑέση των δύο σωµατιδίων, τότε ο τελεστής του Hamiton του συστήµατος είναι άθροισµα δύο όρων. Ο ένας µπορεί να ϑεωρηθεί ως ο τελεστής του Hamiton ενός σωµατιδίου µάζας M µε συντεταγµένες τις συντεταγµένες του κέντρου µάζας και ο άλλος ως ο τελεστής του Hamiton ενός σωµατιδίου µάζας µ µε συντεταγµένες τις συντεταγµένες του διανύσµατος της σχετικής ϑέσης. Σε αυτού του είδους τα προβλήµατα µπορούµε να προχωρήσουµε χρησιµοποιώντας τη µέθοδο χωρισµού των µεταβλητών, όπως έγινε στο εδάφιο 1., Ϲητώντας λύση της µορφής u 1 (r 1, r ) = u 1 (R, r) = U(R)u(r) Η αντικατάσταση της u 1 από την παραπάνω σχέση στη διαφορική εξίσωση (1.18) µας οδηγεί στις εξισώσεις ιδιοτιµών Ĥ R U(R) = E R U(R) Ĥ r u(r) = Eu(r), E R + E = E 1 Η πρώτη από αυτές είναι η εξίσωση του Schrödinger ελεύθερου σωµατιδίου µάζας M και ενέργειας E R και η δεύτερη είναι η εξίσωση της κίνησης της σχετικής ϑέσης, που είναι ίδια µε την εξίσωση του Schrödinger ενός σωµατιδίου µάζας µ που κινείται στο δυναµικό V (r) και έχει ενέργεια E = E 1 E R.
8 Εισαγωγή Επειδή η λύση της πρώτης εξίσωσης είναι U(R) = σταθ.e i PR, P = ME R όπου P είναι η ορµή του κέντρου µάζας, η κβαντοµηχανική µελέτη του προβλήµατος που εξετάζουµε ανάγεται στην εύρεση των ιδιοτιµών και ιδιοσυναρτήσεων της εξίσωσης του Schrödinger της σχετικής κίνησης Ĥ r u r (r) = Eu(r), Ĥ r = µ r + V (r) (1.19) `Ασκηση 1.3-1. Με τη ϐοήθεια της Mathematica να δειχτεί η σχέση (1.17). 1.4 Κεντρικά δυναµικά Σε πολλά ϕυσικά συστήµατα, που περιέχουν αλληλεπιδράσεις δύο σωµατιδίων υπάρχει µια επιπλέον απλούστευση που µπορεί να γίνει. Αν τα σωµατίδια δεν έχουν ιδιότητες που σχετίζονται µε κάποια κατεύθυνση του εξωτερικού χώρου, όπως συµβαίνει για παράδειγµα αν αυτά έχουν σπιν, τότε η αλληλεπίδραση των δύο σωµατιδίων εξαρτάται µόνο από τη σχετική απόσταση και δεν εξαρτάται από τη διεύθυνση. ηλαδή η αλληλεπίδραση είναι κεντρική και ισχύει V (r) = V (r). Στην περίπτωση των κεντρικών δυναµικών οι λύσεις της εξίσωσης (1.19) µπορούν να γραφούν µε τη µορφή u km (r) = R k (r)y m (ϑ, ϕ) (1.0) όπου R k (r) οι λύσεις της ακτινικής εξίσωσης του Schrödinger d R k dr + r [ dr k dr + k µ ( + 1) V (r) r ] R k = 0, k = µ E (1.1) και Y m (ϑ, ϕ) οι σφαιρικές αρµονικές που είναι ιδιοσυναρτήσεις του τετραγώνου του τελεστή της στροφορµής ( L ) L Y m (ϑ, ϕ) = ( + 1)Y m (ϑ, ϕ), = 0, 1,... m = 0, ±1, ±,..., ± (1.) Σηµειώνεται ότι ο L δεν εξαρτάται από το δυναµικό και ότι οι σφαιρικές αρµονικές είναι ιδιοσυναρτήσεις και του τελεστή L z (z συνιστώσα του τελεστή της στροφορµής) L z Y m (ϑ, ϕ) = my m (ϑ, ϕ) Οι εκφράσεις των τελεστών L και L z και των σφαιρικών αρµονικών δίνονται στα εδάφια Αʹ.1 και Αʹ.. Στις εξισώσεις (1.1) και (1.) καταλήγουµε αν εφαρµόσουµε τη µέθοδο χωρισµού των µεταβλητών στην εξίσωση του Schrödinger (1.19) Ϲητώντας λύσεις της µορφής (1.0). Αυτό µπορεί να γίνει µε τη Mathematica όπως ϕαίνεται παρακάτω (ϐλέπε και πρόγραµµα
1.4 Κεντρικά δυναµικά 9 01a-radia-eq.nb). ( Α. Εύρεση της ακτινικής εξίσωσης του Schrödinger για κεντρικό δυναµικό ) In[1] := hamitonian[v ]@u := /( µ) ( D[r D[u, r], r]/r + D[Sin[ϑ] D[u, ϑ], ϑ]/(r Sin[ϑ]) + D[u, {φ, }]/(r Sin[ϑ] )) + V u; In[] := ury[r, ϑ, ϕ ] := Rk[r] Ym[ϑ, ϕ]; En = k /( µ); In[3] := SELeft = hamitonian[v]@ury[r, ϑ, ϕ] En ury[r, ϑ, ϕ]; In[4] := SELeft = Expand[ SELeft ( µ/ ) ( r /ury[r, ϑ, ϕ]) ] Out[4] = k r µ r V + Cot[ϑ] Ym(1,0) [ϑ, ϕ] Ym[ϑ, ϕ] + r Rk [r] Rk[r] + Ym(,0) [ϑ, ϕ] Ym[ϑ, ϕ] + r Rk [r] Rk[r] + Csc[ϑ] Ym (0,) [ϑ, ϕ] Ym[ϑ, ϕ] Στην πρώτη εντολή ορίζουµε τη hamitonian ως συνάρτηση των V και u, γράφοντας το σε σφαιρικές συντεταγµένες, ενώ η σύνταξη της ϐοηθάει να τη ϑεωρούµε ως έναν τελεστή που επιδρά σε µια τυχαία κυµατοσυνάρτηση u. Στην επόµενη εντολή ορίζουµε την κυµατοσυνάρτηση ως γινόµενο δύο συναρτήσεων του r και των (ϑ, ϕ) αντίχτοιχα. Με την τρίτη εντολή παριστάνουµε το αριστερό µέρος της εξίσωσης του Schrödinger (1.19) έχοντας µεταφέρει όλους τους όρους αριστερά. Επειδή αυτή η ποσότητα είναι µηδέν, την πολλαπλασιάζουµε, στην επόµενη εντολή, µε τον παράγοντα µ r /ury[r, ϑ, ϕ] (χωρίς το σύµβολο ;) και παίρνουµε την έξοδο Out[4]. Στην έξοδο αυτή ισχύει Csc[ϑ] = 1/Sin[ϑ] και Y (0,) m [ϑ, ϕ] είναι η δεύτερη µερική παράγωγος της Y m [ϑ, ϕ] ως προς ϕ κλπ. Παρατηρούµε ότι η ποσότητα SELeft που ισούται µε µια σταθερά (το µηδέν) είναι άθροισµα διαφόρων όρων. Οι τέσσερεις πρώτοι όροι είναι συναρτήσεις του r και οι άλλοι τρεις είναι συναρτήσεις των ϑ, ϕ. Εποµένως ϑα πρέπει το άθροισµα των τεσσάρων πρώτων όρων να είναι µια σταθερά (έστω λ 1 ) και το άθροισµα των άλλων τριών όρων (που σχετίζονται µε τις γωνίες ϑ, ϕ) να είναι ίσο µε µια άλλη σταθερά (έστω λ ), έτσι ώστε λ 1 + λ = 0. Αν ϑέσουµε λ 1 = ( + 1) τότε λ = ( + 1). Το επόµενο ϐήµα είναι να διαλέξουµε τους τέσσερεις πρώτους όρους και να τους εξισώσουµε µε τη σταθερά λ 1 = ( + 1) και τους άλλους τρεις µε τη σταθερά λ. Αυτό γίνεται στις επόµενες δύο εντολές του προγράµµατος. In[5] := SERadia = Coefficient[SELeft, r] r + Coefficient[SELeft, r ] r ; In[6] := SEAnguar = Simpify[SELeft SERadia]; In[7] := SERadia = Simpify[Expand[ (SERadia ( + 1)) (Rk[r]/r ) ]] == 0 In[8] := SEAnguar = SEAnguar Ym[ϑ, ϕ] == ( + 1) Ym[ϑ, ϕ] Out[7] = (k r r µ V ) Rk[r] + Rk [r] r + Rk [r] == 0 Out[8] = ( Csc[ϑ] Y (0,) m [ϑ, ϕ] + Cot[ϑ]Y (1,0) m [ϑ, ϕ] + Y (,0) m [ϑ, ϕ] ) == ( + 1)Y (,0) m [ϑ, ϕ] Στην εντολή In[5], µε τη ϐοήθεια της εσωτερικής εντολής Coefficient που αποδίδει τους συντελεστές των διαφόρων δυνάµεων του r, διαλέγουµε το ακτινικό µέρος της εξίσωσης του Scrödinger και το αποδίδουµε στην µεταβλητή SERadia. Στην εντολή In[6] ορίζουµε
10 Εισαγωγή το γωνιακό µέρος της εξίσωσης του Scrödinger δίνοντάς του το όνοµα SEAnguar. Στην επόµενη εντολή εξισώνουµε το SERadia µε λ 1 = (+1) και πολλαπλασιάζουµε και τα δύο µέλη της εξίσωσης µε R k [r]/r. Τέλος στην τελευταία εντολή εξισώνουµε το SEAnguar µε λ = ( + 1) και πολλαπλασιάζουµε και τα δύο µέλη της εξίσωσης µε Y m [ϑ, ϕ]. Οι έξοδοι των δύο τελευταίων εντολών, που ϕαίνονται παραπάνω είναι η ακτινική εξίσωση (1.1) και η εξίσωση ιδιοτιµών της στροφορµής (1.). Σηµείωση 1. `Οταν ϑέλουµε να λύσουµε αριθµητικά (ή και αναλυτικά) την ακτινική εξίσωση (1.1), προτιµάµε να λύσουµε την εξίσωση που προκύπτει από αυτήν µε τη ϐοήθεια του µετασχηµατισµού R k (r) = φ k(r) (1.3) r και που έχει τη µορφή d φ k dr + [ k µ ] ( + 1) V (r) φ r k = 0, k = µe (1.4) `Ασκηση 1.4-1. Με τη ϐοήθεια της Mathematica να δειχτεί ότι µε το µετασχηµατισµό R k (r) = φ k (r)/r η ακτινική εξίσωση (1.1) µετασχηµατίζεται στη µονοδιάστατη ακτινική εξίσωση (1.4). Επειδή η.ε. (1.4) έχει τη µορφή της εξίσωσης του Schrödinger ενός µονοδιάστατου προβλήµατος, µε δυναµικό V eff (r) = ( + 1) + V (r) µ r λέγεται συχνά µονοδιάστατη ακτινική εξίσωση. Υπάρχει όµως µια ϐασική διαφορά µεταξύ της εξίσωσης (1.4) και της µονοδιάστατης εξίσωσης του Schrödinger. Η ακτινική συντεταγµένη r δεν µπορεί να πάρει αρνητικές τιµές. `Ετσι, το σηµείο r = 0 είναι ένα οριακό σηµείο της εξίσωσης. Η ακτινική κυµατοσυνάρτηση φ k (r) πρέπει να µηδενίζεται στην αρχή φ k (r) r=0 = 0 (1.5) `Ασκηση 1.4-. α) Να δικαιολογηθεί γιατί η φ k (r) πρέπει να µηδενίζεται για r = 0. ϐ) Με τη ϐοήθεια της Mathematica να δειχτεί ότι η λύση της µονοδιάστατης ακτινικής εξίσωσης (1.4), στην περιοχή που το δυναµικό είναι µηδέν, είναι της µορφής φ k (r) = kr(a j (kr) + B n (kr)) (1.6) όπου j (z) και n (z) οι σφαιρικές συναρτήσεις Besse και Neumann, αντίστοιχα. Σηµείωση. Η κυµατοσυνάρτηση u km (r) = R k (r)y m (ϑ, ϕ) = φ k(r) r Y m (ϑ, ϕ) είναι µια κοινή ιδιοσυνάρτηση των τελεστών Ĥ, L και L z και περιγράφει µια κατάσταση καθορισµένων τιµών ενέργειας, E = k µ, στροφορµής, L = ( + 1) και προβολής της στροφορµής στον άξονα Oz, L z = m. Το ενεργειακό ϕάσµα παρουσιάζει (εν γένει) εκφυλισµό (άπειρης τάξης στην περίπτωση συνεχούς ϕάσµατος ιδιοτιµών της ενέργειας) και κάθε κατάσταση µε σταθερό k και τυχαία m είναι ιδιοσυνάρτηση του Ĥ που ανήκει
1.4 Κεντρικά δυναµικά 11 στην ιδιοτιµή E. Επίσης, κάθε γραµµικός συνδυασµός (επαλληλία) των ιδιοσυναρτήσεων που ανήκουν στις εκφυλισµένες ιδιοτιµές της ενέργειας είναι ιδιοσυνάρτηση του Ĥ που αντιστοιχεί στην ίδια ιδιοτιµή της ενέργειας. ηλαδή, ο γραµµικός συνδυασµός u k (r, ϑ, ϕ) = m C m R k (r)y m (ϑ, ϕ), m (1.7) είναι η γενική λύση της εξίσωσης του Schrödinger, Ĥu k(r) = Eu k (r), που ανήκει στην ιδιοτιµή της ενέργειας E. Η αναπαράσταση της u k (r) µε τη µορφή της (1.7) είναι γνωστή ως ανάπτυγµα σε σφαιρικά κύµατα. Το σφαιρικό κύµα R k (r)y m (ϑ, ϕ) είναι κοινή ιδιοσυνάρτηση των τελεστών Ĥ, L, και L z.
1 Εισαγωγή
Κεφάλαιο Στοιχεία Θεωρίας Σκέδασης `Ενα µεγάλο µέρος των γνώσεων µας για τις πυρηνικές δυνάµεις, σχεδόν όλες οι γνώσεις µας της Φυσικής Στοιχειωδών Σωµατιδίων και ένα σηµαντικό µέρος της δοµής των ατόµων και των µορίων προέρχονται από πειράµατα σκέδασης. `Ενα πείραµα σκέδασης δίνεται περιγραφικά στο Σχήµα.1. `Ενα σωµατίδιο ή πυρήνας, που ονοµάζεται στόχος, ϐρίσκεται σε ηρεµία ως προς το σύστηµα αναφοράς Oxyz του εργαστηρίου. x Ανιχνευτης Μια δέσµη σωµατιδίων που ονοµάζονται ϐλή- µατα, αφού επιταχυνθεί κατάλληλα κινείται ϕ dω κατά τον άξονα z και σκεδάζεται από το στόχο προς διάφορες κατευθύνσεις. Κάθε κατεύθυνση καθορίζεται από την πολική γωνία θ Στοχος z ϑ και την αζιµουθιακή γωνία ϕ. Μια ανιχνευτική διάταξη ανοίγµατος dω µετρά τον αριθ- δεσµη Προσπιπτουσα µό των σκεδαζοµένων σωµατιδίων ανά µονάδα χρόνου στην κατεύθυνση (ϑ, ϕ) µέσα στη y στερεά γωνία dω. Σχήµα.1: Σχηµατική παράσταση Ο αριθµός αυτός είναι εν γένει συνάρτηση ενός πειράµατος σκέδασης. της κατεύθυνσης (ϑ, ϕ) και της ενέργειας του ϐλήµατος. Η συνάρτηση αυτή εξαρτάται επίσης από τη ϕύση της αλληλεπίδρασης ϐλήµατος στόχου. ηλαδή, ο καθορισµός του αριθµού των σκεδαζοµένων σωµατιδίων στις διάφο- ϱες κατευθύνσεις µας δίνει πληροφορίες για τις δυνάµεις αλληλεπίδρασης των διαφόϱων σωµατιδίων. Ανάλογα µε το είδος των σωµατιδίων ϐλήµατος και στόχου και την ενέργεια του ϐλήµατος, διακρίνουµε τη σκέδαση σε ελαστική (eastic scattering) και µη ελαστική σκέδαση (ineastic scattering). Κατά την ελαστική σκέδαση, µετά την αλληλεπίδραση ϐλήµατος στόχου (τελική κατάσταση), έχουµε σωµατίδια του ιδίου είδους µε αυτά της αρχικής κατάστασης. Τέτοια παραδείγµατα είναι η σκέδαση του π + µεσονίου χαµηλής ενέργειας επί πρωτονίου π + + p π + + p και η σκέδαση πρωτονίου χαµηλής ενέργειας από το δευτέριο p + H p + H Στη µη ελαστική σκέδαση τα σωµατίδια της τελικής κατάστασης διαφέρουν από αυτά της αρχικής κατάστασης είτε κατά τον αριθµό είτε κατά το είδος. Αν ο πυρήνας 7 Li 13
14 Στοιχεία Θεωρίας Σκέδασης ϐοµβαρδιστεί µε πρωτόνια χαµηλής ενέργειας αποσυντίθεται σε δύο σωµατίδια α που έχουν κινητική ενέργεια 6 8 MeV το καθένα p + 7 Li 4 He + 4 He Επίσης κατά τη σκέδαση π + µεσονίων επί πρωτονίων είναι δυνατό να παραχθούν και ουδέτερα π 0 µεσόνια π + + p π + + π 0 + p Τέλος κατά τη σκέδαση πρωτονίου ενέργειας µεγαλύτερης των 4.4 MeV επί πυρήνων 1 C είναι δυνατόν να καταλήξουµε σε διεγερµένους πυρήνες άνθρακα p + 1 C p + 1 C.1 ιάφοροι ορισµοί Κατά τη σκέδαση υποθέτουµε ότι η προσπίπτουσα δέσµη είναι µονοχρωµατική (σωµατίδια καθορισµένης ενέργειας και ορµής), ευθυγραµµισµένη (όλα τα σωµατίδια έχουν παράλληλες ορµές), σταθερής πυκνότητας και ότι η διπλή ή πολλαπλή σκέδαση του ϐλήµατος στα σωµατίδια του στόχου είναι αµελητέα. Σύµφωνα µε το Σχήµα.1, αν j = ρv είναι η πυκνότητα ϱεύµατος της προσπίπτουσας δέσµης ( j = N 0 = ο αριθµός των προσπιπτόντων σωµατιδίων ανά µονάδα χρόνου και ανά µονάδα επιφάνειας) και N dω ο αριθµός των ανά µονάδα χρόνου σκεδαζοµένων σωµατιδίων µέσα στη στερεά γωνία dω κατά την κατεύθυνση (ϑ, ϕ), τότε: Ορισµός. ιαφορική ενεργός διατοµή (differentia cross section) λέγεται το µέγεθος dσ(k, ϑ, ϕ) dω = N N 0 (.1) Η διαφορική ενεργός διατοµή είναι συνάρτηση της ορµής p = k του ϐλήµατος και της κατεύθυνσης (ϑ, ϕ). Επειδή οι διαστάσεις των N και N 0 είναι, αντίστοιχα [N] = sec 1 sterad 1 και [N 0 ] = sec 1 cm οι διαστάσεις της διαφορικής ενεργού διατοµής είναι [ ] dσ(k, ϑ, ϕ) = [N] dω [N 0 ] = cm sterad 1 Η ϕυσική σηµασία της dσ προκύπτει από το Σχήµα.1. ηλαδή η dσ ισούται µε εκείνο το εµβαδόν της διατοµής της δέσµης, το οποίο περιέχει τον αριθµό των σωµατιδίων που dω σκεδάζονται από το στόχο µέσα στη στερεά γωνία dω τοποθετηµένης κάθετα στην κατεύ- ϑυνση (ϑ, ϕ). Η dσ καθορίζει τη γωνιακή κατανοµή των σκεδαζοµένων σωµατιδίων. `Οσο dω µεγαλύτερη είναι η dσ τόσο περισσότερα σωµατίδια σκεδάζονται κατά την κατεύθυνση dω (ϑ, ϕ) µέσα στη στερεά γωνία dω. Ορισµός. Ολική ενεργός διατοµή (tota cross section) λέγεται το ολοκλήρωµα της dσ dω ως προς όλες τις κατευθύνσεις του χώρου, δηλαδή
. Η ασυµπτωτική συνθήκη και το πλάτος σκέδασης 15 σ(k) = Ω dσ(k, ϑ, ϕ) dω (.) dω Η σ(k) είναι συνάρτηση µόνο της ορµής, p = k και έχει διαστάσεις µήκους στο τετράγωνο. Συνήθεις µονάδες της ενεργού διατοµής είναι το 1 barn= 10 4 cm, το 1 mbarn= 10 3 barn και το 1 µbarn= 10 6 barn.. Η ασυµπτωτική συνθήκη και το πλάτος σκέδασης Ο ϐασικός σκοπός της ϑεωρητικής ανάλυσης της σκέδασης είναι να υπολογιστεί η δια- ϕορική και η ολική ενεργός διατοµή για δοσµένο δυναµικό αλληλεπίδρασης ϐλήµατος στόχου. Για το δυναµικό αλληλεπίδρασης V (r), η επίλυση του προβλήµατος ξεκινά από την ανεξάρτητη από το χρόνο εξίσωση του Schrödinger για τη σχετική κίνηση, ή µ u(r) + V (r)u(r) = Eu(r) (.3) ( + k ) u(r) = µv (r) u(r), k = µe (.4) όπου µ = m 1m m 1 +m η ανηγµένη µάζα, E η ενέργεια της σχετικής κίνησης (E = p µ ) και p = k η σχετική ορµή του συστήµατος ϐλήµατος στόχου. Ο στόχος πριν από τη σκέδαση ϑεωρείται ακίνητος στην αρχή των αξόνων. Επειδή E > 0 το ενεργειακό ϕάσµα είναι συνεχές και εκφυλισµένο. Εποµένως, ενώ η κυµατοσυνάρτηση u(r) πρέπει να πληρεί τις συνθήκες συνέχειας (u(r) και u(r) συνεχείς συναρτήσεις) όπως και στα προβλήµατα δεσµίων καταστάσεων, το ολοκλήρωµα u(r) dr δεν είναι πεπερασµένο (η u(r) δεν πάει πολύ γρήγορα στο µηδέν όταν r ). Ως προς το σηµείο αυτό υπάρχει ουσιώδης διαφορά στα προβλήµατα σκέδασης από τα προβλήµατα δεσµίων καταστάσεων. Για κάθε τιµή της ενέργειας και εποµένως του k η εξίσωση (.3) έχει µια απειρία λύσεων (οι ϑετικές ενεργειακές ιδιοτιµές του τελεστή του Hamiton είναι απείρως εκφυλισµένες). Χρειαζόµαστε εποµένως µια οριακή συνθήκη (ή ασυµπτωτική συνθήκη) η οποία ϑα επιλέγει µονοσήµαντα µια από τις λύσεις της εξίσωσης (.3) και η οποία ϑα αντιστοιχεί στο συγκεκριµένο πρόβληµα σκέδασης. Η ασυµπτωτική συνάρτηση ϑα πρέπει να περιγράφει, σε µεγάλες αποστάσεις από το στόχο, τόσο τα σωµατίδια της προσπίπτουσας δέσµης που αντιστοιχούν σε επίπεδα κύµατα που κινούνται κατά τη ϑετική ϕορά του άξονα Oz u 1 (r) = e ikz (.5) µ = k όσο και τα σκεδαζόµενα σωµατίδια που αντιστοιχούν σε εξερχόµενα σφαιρικά κύµατα της µορφής u (r) = f(k, ϑ, ϕ) 1 r eikr (.6) Οι κυµατοσυναρτήσεις u 1 (r) και u (r) είναι λύσεις της εξίσωσης (.3) για V (r) = 0, η πρώτη για κάθε z και η δεύτερη για µεγάλες τιµές του r. ηλαδή είναι λύσεις της εξίσωσης ( + k )u(r) = 0 (.7)
16 Στοιχεία Θεωρίας Σκέδασης και ϐρίσκονται αν λύσουµε την εξίσωση (.7) σε καρτεσιανές συντεταγµένες και σε σφαι- ϱικές συντεταγµένες, αντίστοιχα. Αυτό µπορεί να διαπιστωθεί εύκολα µε τη Mathematica (µε τις παρακάτω εντολές του προγράµµατος 0-asympt-so.nb) γράφοντας το αριστερό µέρος της (.3) πρώτα σε καρτεσιανές συντεταγµένες και µετά σε σφαιρικές συντεταγµένες ( Α. Καρτεσιανές συντεταγµένες ) In[1] := hamitonian[v ]@u := /( µ)(d[u, {x, }] + D[u, {y, }] + D[u, {z, }]) + V u In[] := u1[x, y, z ] = Exp[I k z]; e = k /( µ); In[3] := hamitonian[0]@u1[x, y, z] == e u1[x, y, z] Out[3] = True Στην πρώτη εντολή, η συνάρτηση των V και u, hamitonian, παριστάνει το αριστερό µέλος της εξίσωσης του Schrödinger (.3). Στη δεύτερη εντολή ορίζουµε το επίπεδο κύµα u 1 (r) = e ikz και την ενέργεια, ενώ µε την τρίτη εντολή επαληθεύουµε ότι πράγµατι η u 1 (r) είναι ιδιοσυνάρτηση του τελεστή του Hamiton, όπως δηλώνει και ή έξοδος Out[3] = True. ( Β. Σφαιρικές συντεταγµένες ) In[4] := hamitonian[v ]@u := /( µ) ( D[r D[u, r], r]/r + D[Sin[ϑ] D[u, ϑ], ϑ]/(r Sin[ϑ]) + D[u, {ϕ, }]/(r Sin[ϑ] ) ) + V u; In[5] := u[r, ϑ, ϕ ] := f[ϑ, ϕ] Exp[I k r]/r; In[6] := SchrEq = hamitonian[0]@u[r, ϑ, ϕ] e u[r, ϑ, ϕ]//simpify Out[6] = µr 3 eikr Csc[ϑ] ( Csc[ϑ]f (0,) [ϑ, ϕ] + Cos[ϑ]f (1,0) [ϑ, ϕ] + Sin[ϑ]f (,0) [ϑ, ϕ] ) Στην πρώτη εντολή έχει γραφεί η hamitonian σε σφαιρικές συντεταγµένες, ενώ στη δεύτερη εντολή ορίζεται το εξερχόµενο σφαιρικό κύµα της σχέσης (.6). Στην τελευταία εντολή αντικαθιστούµε το σφαιρικό κύµα στην εξίσωση του Schrödinger (.3) για V (r) = 0 (έχοντας µεταφέρει το αριστερό µέλος της στο δεξιό). Η έξοδος της Mathematica (Out[6]) δεν είναι µηδέν όπως ϑα περιµέναµε αλλά µια συνάρτηση των ϑ, ϕ πολλαπλασιασµένη επί r 3. ηλαδή τείνει στο µηδέν για µεγάλα r. Εποµένως, το σφαιρικό κύµα u (r, ϑ, ϕ) είναι µια ασυµπτωτική λύση (για r ) της εξίσωσης του Schrödinger για V (r) = 0. Στην παραπάνω έξοδο της Mathematica ισχύει Csc[ϑ] = 1/Sin[ϑ] και f (0,) [ϑ, ϕ] είναι η δεύτερη µερική παράγωγος της f[ϑ, ϕ] ως προς ϕ κλπ. Η εξίσωση (.7) ικανοποιείται επίσης και από το εισερχόµενο σφαιρικό κύµα 1 r e ikr το οποίο όµως δεν πρέπει να εµφανίζεται στην ασυµπτωτική µορφή επειδή περιγράφει σωµατίδια που κινούνται προς το κέντρο του στόχου. `Ασκηση.-1. Να επαληθεύσετε ότι το εισερχόµενο σφαιρικό κύµα 1 r e ikr είναι λύση της εξίσωσης του Schrödinger για V (r) = 0 και για µεγάλα r. Σύµφωνα µε τα παραπάνω, η ασυµπτωτική µορφή της κυµατοσυνάρτησης σε ένα πρόβληµα σκέδασης είναι της µορφής u(r) = e ikz + f(k, ϑ, ϕ) 1 r eikr, r (.8)
. Η ασυµπτωτική συνθήκη και το πλάτος σκέδασης 17 Αν πολλαπλασιάσουµε την (.8) µε τη χρονική εξάρτηση της κυµατοσυνάρτησης, e iet/ = e iωt, τότε αυτή γράφεται ψ(r, t) = e i(kz ωt) + f(k, ϑ, ϕ) 1 r ei(kr ωt), r (.9) `Οπως ϕαίνεται αµέσως, ο πρώτος όρος της (.9) παριστάνει επίπεδο κύµα που κινείται κατά τον άξονα Oz, δηλαδή ο όρος αυτός αντιστοιχεί στη δέσµη των προσπιπτόντων σω- µατιδίων που έχουν ορµή p = k. Ο δεύτερος όρος παριστάνει ένα εξερχόµενο σφαιϱικό κύµα που αποµακρύνεται από το στόχο. Τα σωµατίδια που αντιστοιχούν σε αυτό έχουν επίσης ορµή p = k (ελαστική σκέδαση) κινούνται όµως κατά διάφορες κατευθύνσεις (ϑ, ϕ). Το πλάτος του σφαιρικού κύµατος που ισούται µε τη συνάρτηση f(k, ϑ, ϕ) µεταβάλλεται µε την κατεύθυνση (ϑ, ϕ). Η συνάρτηση f(k, ϑ, ϕ) που είναι ϐασικής σηµασίας για το ϕαινόµενο της σκέδασης και όπως ϑα δούµε παρακάτω συνδέεται µε τη διαφορική ενεργό διατοµή (δηλαδή µε πειραµατικά µετρούµενο µέγεθος), λέγεται πλάτος σκέδασης (scattering ampitude). Στη συνέχεια ϑα προσπαθήσουµε να εκφράσουµε τη διαφορική ενεργό διατοµή (επο- µένως και την ολική ενεργό διατοµή) ως συνάρτηση του πλάτους σκέδασης. Για το ϱεύµα πυκνότητας πιθανότητας, j 1 (r) της u 1 (r), επειδή u 1 (r) = e ikz έχουµε j 1 (r) = i (u 1 u µ ) [ ( 1 u 1 u 1 = Re u 1 i ) ] u 1 = k µ µ z 0 (.10) όπου Re δηλώνει το πραγµατικό µέρος ενός µιγαδικού αριθµού. Πράγµατι, µε τη ϐοήθεια της Mathematica (ϐλέπε πρόγραµµα 0-asympt-so.nb) έχουµε ( Γ. Ρεύµα πυκνότητας πιθανότητας του επίπεδου κύµατος u 1 = e ikz ) In[7] := u1star[x, y, z ] = u1[x, y, z]/.i I; In[8] := naba@u := {D[u, x], D[u, y], D[u, z]}; In[9] := j1[x, y, z ] = I /( µ) (u1star[x, y, z] naba@u1[x, y, z] Out[9] = { 0, 0, } k µ u1[x, y, z] naba@u1star[x, y, z])//exptotrig Το ϱεύµα πυκνότητας πιθανότητας j 1 (r) παριστάνει τον αριθµό των σωµατιδίων της προσπίπτουσας δέσµης ανά µονάδα χρόνου και ανά µονάδα επιφάνειας. Τον αριθµό αυτόν τον ονοµάσαµε N 0 στην αρχή του εδαφίου.1. `Ετσι, N 0 = j 1 (r) = k µ (.11) r 0 ϕ 0 Για το j (r) που αντιστοιχεί στο εξερχόµενο σφαιρικό κύµα u (r) = f(k, ϑ, ϕ) 1 r eikr r θ θ 0 χρησιµοποιώντας σφαιρικές συντεταγµένες (µε µοναδιαία διανύσµατα r 0, ϑ 0, ϕ 0 ) για το, ϐρίσκουµε ότι x 0 z 0 y0 ϕ Σχήµα.:
18 Στοιχεία Θεωρίας Σκέδασης j (r) = k µ f r r 0, r (.1) Πράγµατι, µε τη ϐοήθεια της Mathematica (ϐλέπε πρόγραµµα 0-asympt-so.nb) έχουµε (. Ρεύµα πυκνότητας πιθανότητας του σφαιρικού κύµατος u = f(k, ϑ, ϕ)e ikr /r ) In[10] := Cear[naba]; In[11] := ustar[r, ϑ, ϕ ] = u[r, ϑ, ϕ]/.{i I, f(k, ϑ, ϕ) fstar(k, ϑ, ϕ)}; In[1] := naba@u := {D[u, r], D[u, ϑ]/r, D[u, ϕ]/(r Sin[ϑ])}; In[13] := j[r, ϑ, ϕ ] = I /( µ) ( ustar[r, ϑ, ϕ] naba@u[r, ϑ, ϕ] u[r, ϑ, ϕ] naba@ustar[r, ϑ, ϕ] )//Simpify In[14] := j[r, ϑ, ϕ ] = j[r, ϑ, ϕ][[1]]/.f[ϑ, ϕ] fstar[ϑ, ϕ] fabs[ϑ, ϕ] Out[13] = { k f[ϑ, ϕ] fstar[ϑ, ϕ] µ r, i ( fstar[ϑ, ϕ] f {1,0} [ϑ, ϕ] f[ϑ, ϕ] fstar {1,0} [ϑ, ϕ] ), µ r 3 i Csc[ϑ] ( fstar[ϑ, ϕ] f {0,1} [ϑ, ϕ] f[ϑ, ϕ] fstar {0,1} [ϑ, ϕ] ) } µ r 3 Out[14] = k fabs[ϑ, ϕ] µ r Η έξοδος της εντολής In[13] είναι ένα διάνυσµα σε σφαιρικές συντεταγµένες. Παρατηρού- µε ότι οι συντεταγµένες ως προς ϑ 0 και ϕ 0 τείνουν στο µηδέν όταν r, πιο γρήγορα από ότι η συντεταγµένη ως προς r 0. Εποµένως για r το j (r) ϑα ισούται µε την ακτινική συντεταγµένη. Για αυτόν το λόγο στην εντολή In[14] διαλέγουµε µόνο το πρώτο στοιχείο της λίστας j[r, ϑ, ϕ] κάνοντας συγχρόνως την αντικατάσταση του γινοµένου f[ϑ, ϕ] fstar[ϑ, ϕ] µε fabs[ϑ, ϕ] που παριστάνει το f(k, ϑ, ϕ). Σε απόσταση r από το στόχο, η στερεά γωνία dω καλύπτει επιφάνεια r dω. Το ϱεύµα πυκνότητας πιθανότητας j (r) πολλαπλασιαζόµενο επί r dω δίνει τον αριθµό των σκεδαζοµένων σωµατιδίων ανά µονάδα χρόνου µέσα στη στερεά γωνία dω, δηλαδή N dω. `Ετσι, NdΩ = j (r) r dω = k µ f dω, r (.13) Εποµένως, σύµφωνα µε τη σχέση (.1), έχουµε dσ(k, ϑ, ϕ) dω = N N 0 = f(k, ϑ, ϕ) (.14) ηλαδή, η διαφορική ενεργός διατοµή ισούται µε το τετράγωνο του µέτρου του πλάτους σκέδασης. Με ολοκλήρωση της (.14) ως προς όλες τις γωνίες παίρνουµε την έκφραση της ολικής ενεργού διατοµής, dσ(k, ϑ, ϕ) π π σ(k) = dω = f(k, ϑ, ϕ) sin ϑdϑdϕ (.15) dω ϑ=0 ϕ=0 Ω
.3 Ανάλυση σε µερικά κύµατα - Μετατοπίσεις ϕάσης 19 Είναι ϕανερό ότι τόσο η dσ όσο και η σ(k) εξαρτώνται από το k και εποµένως από την dω ενέργεια της προσπίπτουσας δέσµης. Σηµείωση. Με τη ϐοήθεια των συναρτήσεων Green µπορεί να δειχτεί ότι η κυµατοσυνάρτηση της σχετικής κίνησης για κάθε σηµείο του χώρου είναι της µορφής u(r) = e ikr 1 e ik r r 4π r r U(r )u(r )dr, U(r) = µ V (r) (.16) Η (.16) είναι η ϑεµελιώδης ολοκληρωτική εξίσωση της σκέδασης. Το πλάτος σκέδασης δίνεται επίσης υπό ολοκληρωτική µορφή f(ϑ, ϕ) = 1 e iqr U(r )u(r )dr (.17) 4π όπου ϑ η γωνία µεταξύ των διανυσµάτων k και k εκ των οποίων το k έχει τη διεύθυνση της προσπίπτουσας δέσµης ενώ το k αντιστοιχεί στη διεύθυνση (ϑ, ϕ) που γίνεται η παρατήρηση της σκεδαζόµενης δέσµης και q = k k. θ k' k Σχήµα.3: q.3 Ανάλυση σε µερικά κύµατα - Μετατοπίσεις ϕάσης Στη συνέχεια ϑα εξετάσουµε τη σκέδαση ενός σωµατιδίου από ένα κεντρικό δυναµικό, V (r) = V (r) και ϑα προσπαθήσουµε να ϐρούµε ένα ανάπτυγµα του πλάτους σκέδασης σε µερικά κύµατα που χαρακτηρίζονται από τον κβαντικό αριθµό ( = 0, 1,, 3,...). Σύµφωνα µε αυτά που αναφέρθηκαν στο εδάφιο 1.4, όταν το δυναµικό είναι κεντρικό, οι λύσεις της εξίσωσης (.3) µπορούν να γραφούν µε τη µορφή u km (r) = R k (r)y m (ϑ, ϕ) (.18) όπου Y m (ϑ, ϕ) οι σφαιρικές αρµονικές και R k (r) οι λύσεις της ακτινικής εξίσωσης Schrödinger d R k dr + r [ dr k dr + k µ ( + 1) V (r) r ] R k = 0 (.19) Επίσης, επειδή το ενεργειακό ϕάσµα παρουσιάζει εκφυλισµό άπειρης τάξης (κάθε κατάσταση µε σταθερό k και τυχαία, m είναι ιδιοσυνάρτηση του Ĥ που ανήκει στην ιδιοτιµή E) η γενική λύση της εξίσωσης του Schrödinger, Ĥu k(r) = Eu k (r) για δοσµένη ενέργεια E είναι ο γραµµικός συνδυασµός u k (r, ϑ, ϕ) = m C m R k (r)y m (ϑ, ϕ), m (.0) Στην περίπτωση κεντρικού δυναµικού, επειδή η διεύθυνση του προσπίπτοντος επίπεδου κύµατος είναι αυτή του z άξονα, το πλάτος σκέδασης αλλά και η κυµατοσυνάρτηση u k δεν µεταβάλλονται κατά τις στροφές ως προς τον άξονα αυτό (το πρόβληµα της σκέδασης έχει κυλινδρική συµµετρία). `Ετσι, ισχύει f(k, ϑ, ϕ) = f(k, ϑ) και u k (r, ϑ, ϕ) = u k (r, ϑ) και εποµένως στη σειρά της σχέσης (.0) συνεισφέρουν µόνο οι όροι µε m = 0 για
0 Στοιχεία Θεωρίας Σκέδασης τους οποίους ισχύει, Y 0(ϑ, ϕ) = +1 P 4π (cos ϑ), όπου P (cos ϑ) το πολυώνυµο Legendre -τάξης. `Ετσι, η (.0) γράφεται u k (r, ϑ) = C R k (r)p (cos ϑ) (.1) =0.3.1 Ασυµπτωτική συµπεριφορά των ακτινικών κυµατοσυναρτήσεων Αν ϑεωρήσουµε ότι το δυναµικό V (r) είναι µικρής εµβέλειας r 0 (V (r) 0 για r r 0 ), η εξίσωση (.19) για r r 0 γράφεται d R k dr + r [ dr k dr + k Η γενική λύση αυτής είναι της µορφής ] ( + 1) R r k = 0, r r 0 (.) R k (r) = A j (kr) + B n (kr), r r 0 (.3) όπου j (kr) και n (kr) οι σφαιρικές συναρτήσεις Besse και Neumann τάξης, αντίστοιχα. Οι συναρτήσεις αυτές σχετίζονται µε τις συναρτήσεις Besse J + 1 (kr) και Neumann N + 1 (kr) = Y + 1 (kr), τάξης + 1, µέσω των σχέσεων π j (z) = z J + 1 (z), n (z) = π z N + 1 (z) (.4) Στη γενική λύση (.3) καταλήγουµε αν εφαρµόσουµε τη µέθοδο Frobenius (ϐλέπε σηµειώσεις Μαθηµατικών Μεθόδων Φυσικής ΙΙ). Μπορούµε όµως να καταλήξουµε εύκολα σε αυτή µε τη ϐοήθεια της Mathematica, χρησιµοποιώντας τις παρακάτω εντολές (ϐλέπε και πρόγραµµα 0-radia-eq.nb). ( Λύση της ακτινικής εξίσωσης για r r 0 ) RadiaEq[V ]@u := D[u, {r, }] + D[u, r]/r + (k ( + 1)/r µ V/ ) u; soution = DSove[RadiaEq[0]@Rk[r] == 0, Rk[r], r]//expanda Rk[r ] = Rk[r]/.Fatten[soution] Rk[r ] = PowerExpand[ Rk[r]/. { BesseJ[ + 1/, k r] SpherBesse[, kr] Sqrt[ k r/π], BesseY[ + 1/, k r] SpherNeumann[, kr] Sqrt[ k r/π] } ] Rk[r ] = Rk[r]/.{ Sqrt[k] Sqrt[/Pi] C[1] A, Sqrt[k] Sqrt[/Pi] C[] B } Στην πρώτη και δεύτερη εντολή ορίζουµε και λύνουµε την ακτινική εξίσωση χρησιµοποιώντας την εσωτερική εντολή DSove. Η DSove αποδίδει τη λύση της διαφορικής εξίσωσης ως µια λίστα αντικατάστασης της µορφής {{ Rk[r] BesseJ[ 1 +, k r] C[1] + BesseY[ 1 }} +, k r] C[] r r
.3 Ανάλυση σε µερικά κύµατα - Μετατοπίσεις ϕάσης 1 όπου C[1] και C[] αυθαίρετες σταθερές και BesseJ[n, z], BesseY[n, z] οι συναρτήσεις Besse και Neumann τάξης n. Στην επόµενη εντολή, µε την εσωτερική εντολή Fatten αφαιρούµε τα εσωτερικά άγκιστρα και αποδίδουµε στη λύση το όνοµα Rk[r]. Στις επό- µενες δύο εντολές αντικαθιστούµε τις συναρτήσεις Besse και Neumann µε τις σφαιρικές συναρτήσεις Besse και Neumann και τα γινόµενα των αυθαίρετων σταθερών µε τις άλλες σταθερές τα αντικαθιστούµε µε τις αυθαίρετες σταθερές A και B. Η έξοδος της τελευταίας εντολής που είναι συµπίπτει µε τη συνάρτηση (.3). A SpherBesse[, k r] + B SpherNeumann[, k r] Επειδή για µεγάλα r οι ασυµπτωτικές µορφές των σφαιρικών συναρτήσεων Besse και Neumann είναι j (kr) r = sin(kr 1π) kr η R k (r) γράφεται Θέτοντας Η R k (r) γράφεται ή R k (r) = A kr R k (r) =, n (kr) r = cos(kr 1 π) kr [ sin(kr 1 π) B ] cos(kr 1 A π) B A = tan δ A cos δ 1 kr sin(kr 1 π + δ ), (.5), r (.6) r R k (r) = C 1 kr sin(kr 1 π + δ ), r (.7) Η έκφραση αυτή της R k (r) είναι η µορφή της ακτινικής κυµατοσυνάρτησης υπό την παρουσία του κεντρικού δυναµικού V (r) µικρής εµβέλειας, αλλά σε µεγάλες αποστάσεις από το στόχο. Η αντικατάσταση της (.7) στη (.1), σύµφωνα µε αυτά που αναφέρθηκαν προηγούµενα, δίνει την ασυµπτωτική µορφή της γενικής λύσης u k (r, ϑ) = =0 C 1 kr sin(kr 1 π + δ )P (cos ϑ), r (.8) Αν υποθέσουµε τώρα ότι το δυναµικό ϐλήµατος - στόχου είναι µηδέν για κάθε r, η εξίσωση (.) ισχύει για 0 r <. Η γενική λύση αυτής είναι η συνάρτηση R (0) k (r) που δίνεται πάλι από το δεξιό µέλος της (.3) για κάθε r. ηλαδή, R (0) k (r) = A(0) j (kr) + B (0) n (kr), 0 r < Επειδή όµως η συνάρτηση n (kr) απειρίζεται για r = 0 ενώ η R (0) k (r) πρέπει να είναι ϕραγµένη, ϑα πρέπει B (0) = 0. ηλαδή, για V (r) = 0 έχουµε R (0) k (r) = A(0) j (kr) (.9)
Στοιχεία Θεωρίας Σκέδασης Η ασυµπτωτική συµπεριφορά της συνάρτησης αυτής είναι R (0) k (r) = A(0) 1 kr sin(kr 1 π), r (.30) Παρατηρούµε ότι οι ακτινικές κυµατοσυναρτήσεις R k (r) και R (0) k (r) διαφέρουν ως προς τον παράγοντα δ. Ο παράγοντας δ = δ (k), που δίνει τη διαφορά (µετατόπιση) ϕάσης µεταξύ των ασυµπτωτικών µορφών της πραγµατικής κυµατοσυνάρτησης και της αντίστοιχης κυµατοσυνάρτησης όταν δεν υπάρχει δυναµικό, λέγεται µετατόπιση ϕάσης (phase shift) του -µερικού κύµατος. Η δ (k) εξαρτάται από τον κβαντικό αριθµό, την ενέργεια του ϐλήµατος και από το δυναµικό. Οι µετατοπίσεις ϕάσης προκύπτουν από τις συνθήκες συνέχειας της κυµατοσυνάρτησης και της παραγώγου της στο σηµείο r = r 0. Πρέπει η λογαριθµική παράγωγος, 1 dr k (r) να είναι συνεχής στο σηµείο R k r = r (r) dr 0. Η R k (r) για r r 0 είναι γνωστή από τη σχέση (.3) ενώ για r r 0 ϐρίσκεται από τη λύση της ακτινικής εξίσωσης του Schrödinger (.19) που αντιστοιχεί σε συγκεκριµένο δυναµικό. `Ασκηση.3.1-1. α) Η ενέργεια της ϐασικής κατάστασης του πυρήνα του δευτερίου (σύστηµα n p) είναι E =.5 MeV. Το σύστηµα n p ϑεωρείται ότι ϐρίσκεται σε δυναµικό της µορφής { V0, r < r V (r) = 0 0, r > r 0 Αν η εµβέλεια των πυρηνικών δυνάµεων είναι r 0 = fm, ποιά είναι η τιµή του V 0 ; Να γίνει η γραφική παράσταση της κανονικοποιηµένης ακτινικής κυµατοσυνάρτησης φ k0 (r) = rr k0 (r). ίνεται ότι η ϐασική κατάσταση του δευτερίου είναι κυρίως µια κατάσταση µε = 0. ϐ) Να γίνει η γραφική παράσταση της φ k0 (r) κατά τη σκέδαση n p όταν η ενέργεια της σχετικής κίνησης είναι E = 10 MeV. Στο ίδιο σχήµα να γίνει και η γραφική παράσταση της (r) = rr(0) φ (0) k0 k0 (r), δηλαδή όταν V 0 = 0 MeV. Ανάλυση του επίπεδου κύµατος σε σειρά πολυωνύµων Legendre Το γινόµενο R (0) k (r)y m (ϑ, ϕ) = A (0) j (kr)y m (ϑ, ϕ) είναι οι κυµατοσυναρτήσεις ενός ελεύ- ϑερου σωµατιδίου µε καθορισµένες ιδιοτιµές E, και m. Επίσης, επειδή το επίπεδο κύµα e ikr είναι η κυµατοσυνάρτηση ενός ελεύθερου σωµατιδίου καθορισµένης ενέργειας, µπο- ϱεί να παρασταθεί ως ένας γραµµικός συνδυασµός των R (0) k (r)y m (ϑ, ϕ). ηλαδή, e ikr = m C (0) m j (kr)y m (ϑ, ϕ) (.31) Στην περίπτωση που e ikr = e ikr cos ϑ = e ikz (κίνηση κατά τον άξονα Oz) η (.31) γράφεται e ikz = e ikr cos ϑ = C (0) j (kr)p (cos ϑ) (.3) ή e ikz = e ikrξ = =0 =0 C (0) j (kr)p (ξ), ξ = cos ϑ (.33)
.3 Ανάλυση σε µερικά κύµατα - Μετατοπίσεις ϕάσης 3 Οι συντελεστές C (0) ϐρίσκονται πολλαπλασιάζοντας εσωτερικά και τους δύο όρους της (.33) επί P (ξ). `Ετσι έχουµε 1 1 P (ξ)e ikrξ dξ = =0 C (0) 1 j (kr) P (ξ)p (ξ)dξ = 1 } {{ } +1 δ =0 + 1 C(0) j (kr)δ ηλαδή 1 1 P (ξ)e ikrξ dξ = + 1 C(0) j (kr) (.34) Η σχέση αυτή ισχύει για κάθε r. Εποµένως, αν υπολογίσουµε την τιµή του ολοκλη- ϱώµατος και του j (kr) για κάποιο r (π.χ. για r ), οι συντελεστές C (0) ϑα ϐρεθούν αµέσως. Το ολοκλήρωµα της (.34) µε κατά παράγοντες ολοκλήρωση, γράφεται 1 1 P (ξ)e ikrξ dξ = 1 ikr P (ξ)e ikrξ 1 1 1 1 P (ξ)e ikrξ dξ ikr 1 Συνεχίζοντας την παραγοντική ολοκλήρωση παρατηρούµε ότι σε κάθε ολοκλήρωση εµ- ϕανίζεται ο παράγοντας 1. `Ετσι, για r οι διάφοροι όροι, που προκύπτουν από ikr την παραγοντική ολοκλήρωση, είναι αµελητέοι σε σχέση µε τον πρώτο. Εποµένως, για r έχουµε 1 P (ξ)e ikrξ dξ = 1 [ P (1)e ikr P ( 1)e ikr] ikr 1 Επειδή όµως, P (1) = 1 και P ( 1) = ( 1) = (e iπ ) = e iπ, ϑα έχουµε 1 1 P (ξ)e ikrξ dξ = 1 [ e ikr e iπ e ikr] = eiπ/ [ e i(kr π/) e i(kr π/)] ikr ikr = i kr sin(kr 1 π), r Η αντικατάσταση της τιµής του ολοκληρώµατος στην (.34) καθώς και η αντικατάσταση της j (kr) από την ασυµπτωτική µορφή της, που δίνεται από την (.5), µας δίνει τους συντελεστές του αναπτύγµατος της (.33) C (0) = i ( + 1) `Ετσι, το ανάπτυγµα του επίπεδου κύµατος e ikz σε σειρά πολυωνύµων Legendre γρά- ϕεται e ikz = e ikr cos ϑ = i ( + 1)j (kr)p (cos ϑ) (.35) =0 Η ασυµπτωτική έκφραση της (.35) προκύπτει µε αντικατάσταση της j (kr) από την (.5) e ikz = e ikr cos ϑ = =0 i ( + 1) 1 kr sin(kr 1 π)p (cos ϑ), r (.36)
4 Στοιχεία Θεωρίας Σκέδασης.3. Προσδιορισµός των ενεργών διατοµών Είδαµε προηγουµένως ότι η ασυµπτωτική µορφή της γενικής λύσης της εξίσωσης του Schrödinger υπό την παρουσία κεντρικού δυναµικού µικρής εµβέλειας είναι (σχέση (.8)) 1 u k (r, ϑ) = C kr sin(kr 1 π + δ )P (cos ϑ), r =0 ενώ η ασυµπτωτική συµπεριφορά της κυµατοσυνάρτησης σκέδασης, είναι u(r) = e ikz + f(k, ϑ) 1 r eikr, r Οι δύο αυτές ασυµπτωτικές µορφές εκφράζουν την κυµατοσυνάρτηση της σχετικής κίνησης των σωµατιδίων στο ίδιο δυναµικό για r. Εποµένως =0 C 1 kr sin(kr 1 π + δ )P (cos ϑ) = e ikz + f(k, ϑ) 1 r eikr Αντικαθιστώντας το e ikz από την (.36) και ϑέτοντας sin t = 1 i (eit e it ), η προηγού- µενη σχέση γράφεται = 1 [ ] C e i(kr 1 π+δ) e i(kr 1 π+δ ) P (cos ϑ) ikr i 1 ] ( + 1) [e i(kr 1 π) e i(kr 1 π) P (cos ϑ) + f(k, ϑ) 1 ikr r eikr =0 =0 Βγάζοντας κοινούς παράγοντες τις συναρτήσεις e ikr και e ikr, έχουµε f(k, ϑ) 1 r eikr = 1 r eikr =0 1 r e ikr =0 1 [ C e iδ i ( + 1) ] e iπ/ P (cos ϑ) ik 1 [ C e iδ i ( + 1) ] e iπ/ P (cos ϑ) (.39) ik Επειδή η σχέση αυτή ισχύει για κάθε ϑ και επειδή στο αριστερό µέρος της δεν υπάρχει όρος e ikr, ϑα πρέπει =0 1 [ C e iδ i ( + 1) ] e iπ/ P (cos ϑ) = 0 ik Για να ισχύει η σχέση αυτή για όλα τα ϑ ϑα πρέπει [ C e iδ i ( + 1) ] e iπ/ = 0 C = i ( + 1)e iδ (.40) Η σύγκριση των όρων µε τον παράγοντα e ikr (της (.39) ) δίνει f(k, ϑ) = =0 1 [ C e iδ i ( + 1) ] e iπ/ P (cos ϑ) ik
.3 Ανάλυση σε µερικά κύµατα - Μετατοπίσεις ϕάσης 5 Αντικαθιστώντας τα C από την (.40) και επειδή e iπ/ = ( i), η παραπάνω σχέση γράφεται f(k, ϑ) = 1 ( + 1)(e iδ 1)P (cos ϑ) (.41) ik =0 Η σχέση στην οποία καταλήξαµε και που αναλύει το πλάτος σκέδασης σε σειρά πολυωνύµων Legendre λέγεται ανάλυση σε µερικά κύµατα (partia wave anaysis). Επειδή e iδ 1 = e iδ (e iδ e iδ ) = ie iδ sin δ η (.41) γράφεται ακόµη f(k, ϑ) = 1 k ( + 1)e iδ sin δ P (cos ϑ) (.4) =0 Από αυτήν προκύπτει αµέσως η διαφορική διατοµή dσ dω = f(k, ϑ) = 1 ( + 1)e iδ sin δ k P (cos ϑ) =0 (.43) Τέλος η ολική ενεργός διατοµή ϑα είναι dσ σ(k) = dω dω = 1 ( + 1)( + 1)e i(δ δ ) sin δ k sin δ Ω Εποµένως π = π k =0 =0 π ϑ=0 =0 =0 P (cos ϑ)p (cos ϑ) sin ϑdϑ ( + 1)( + 1)e i(δ δ ) sin δ sin δ σ(k) = 4π k 1 P (ξ)p (ξ)dξ 1 } {{ } +1 δ ( + 1) sin δ (.44) =0 Καταλήξαµε έτσι στις σχέσεις (.43) και (.44) που συνδέουν τη διαφορική και την ολική ενεργό διατοµή (παρατηρήσιµα µεγέθη) µε τις µετατοπίσεις ϕάσης (ϑεωρητικά υπολογιζόµενα µεγέθη). Χρησιµοποιώντας τα προηγούµενα αποτελέσµατα καταλήγουµε σε µια ακόµη σηµαντική σχέση. Αν στη σχέση (.4) ϑέσουµε ϑ=0, επειδή P (1) = 1, έχουµε f(k, 0) = 1 k ( + 1)e iδ sin δ και Imf(k, 0) = 1 k =0 Η σύγκριση αυτής µε την (.44) δίνει ( + 1) sin δ =0 σ(k) = 4π k Imf(k, 0) (.45) Η σχέση αυτή, που συνδέει το ϕανταστικό µέρος του πλάτους σκέδασης κατά την κατεύθυνση της προσπίπτουσας δέσµης (ϑ = 0) µε την ολική διατοµή της σκέδασης, λέγεται