Ε. Γ. Βιτωράτος. Τμήμα Φυσικής, Πανεπιστήμιο Πατρών (5) ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ι (ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ) Λέμε πως η φυσική είναι μια επιστήμη που ασχολείται με τον εντοπισμό και την ερμηνεία των φυσικών φαινομένων. Συνάμα όμως έχει σαν αντικείμενο και την οργάνωση των γνώσεων, την πρόβλεψη καταστάσεων, μας δίνει τρόπους να συνδέουμε τα πράγματα, να αντιλαμβανόμαστε τις αλληλεξαρτήσεις που υπάρχουν μεταξύ τους, μας βοηθά να κατανοήσουμε τον κόσμο γύρω μας, το κάθε τι που εμπίπτει στις αισθήσεις μας! Η επιστημονική μελέτη οδηγεί στην ανάπτυξη θεωριών που βασίζονται σε θεμελιώδεις φυσικούς νόμους - διατυπωμένους στην γλώσσα των Μαθηματικών - που εκφράζουν την συμπεριφορά των φυσικών συστημάτων. Όταν διαπιστώνεται ασυμφωνία ανάμεσα στη θεωρία και το πείραμα, προτείνονται νέες θεωρίες, οι οποίες κι αυτές δοκιμάζονται για την ερμηνεία που δίνουν και τις επιτυχείς προβλέψεις τους. Έτσι, μια θεωρία ισχύει μέσα σε κάποια πλαίσια, με ορισμένους εριορισμούς! Η Κλασσική Μηχανική - η νευτώνεια μηχανική περιγράφει με ικανοποιητική ακρίβεια, την κίνηση των σωμάτων με σχετικά μικρές ταχύτητες σε σχέση με την ταχύτητα του φωτός. Η κλασσική μηχανική όμως αποτυγχάνει να περιγράψει την κίνηση που γίνεται με ταχύτητα συγκρίσιμη με την ταχύτητα του φωτός. Ακόμη, η κλασσική μηχανική δεν θέτει όριο ταχυτήτων. Τα πειράματα όμως στους επιταχυντές, δείχνουν ότι οι ταχύτητες των σωματιδίων παραμένουν μικρότερες από την ταχύτητα του φωτός. Την αδυναμία αυτή ήλθε να καλύψει η θεωρία της Σχετικότητας, που ανέπτυξε ο Einstein, και περιγράφει με ακρίβεια την κίνηση σωμάτων που κινούνται με ταχύτητες που προσεγγίζουν την ταχύτητα του φωτός. Η θεωρία αυτή έφερε επανάσταση στις παραδοσιακές έννοιες, του χώρου, του χρόνου, της ενέργειας. 1
Ε. Γ. Βιτωράτος. Τμήμα Φυσικής, Πανεπιστήμιο Πατρών (5) Η διατύπωση της θεωρίας της Σχετικότητας, είναι ένα από τα πιο ενδιαφέροντα και εντυπωσιακά κεφάλαια της ιστορίας της επιστήμης. Δείχνει τον εξαιρετικά σημαντικό ρόλο που παίζουν οι προσεκτικές πειραματικές μετρήσεις, η διαίσθηση, η φαντασία που προτρέχει της αποδοχής μιας ευρύτερης νέας αρχής και τελικά η επιβεβαίωση των προβλέψεων της νέας θεωρίας μέσα από νέα πειράματα. Η ειδική θεωρία της σχετικότητας η οποία έχει το επιπλέον χαρακτηριστικό μοναδικό μεταξύ των μεγάλων θεωριών της φυσικής - ότι απαιτεί απλή άλγεβρα και τριγωνομετρία - είχε επαναστατικές συνέπειες στον τρόπο αντιμετώπισης της φύσης. Τώρα, Η Νευτώνια μηχανική που για δύο αιώνες δέσποζε στην ερμηνεία των φαινομένων, αποτελεί ειδική περίπτωση της γενικότερης πλέον θεωρίας της ειδικής σχετικότητας. Ο εικοσιεξάχρονος Einstein, όταν τον Ιούνιο του 195, συνέθεσε την Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας, ήταν άγνωστος στην κοινότητα της Φυσικής. Η εργασία του υπεβλήθη στο περιοδικό Annalen der Physik και συνδεόταν με το βαθύ ενδιαφέρον που είχε για τη θεωρία του Maxwell και με την πεποίθησή του ότι δεν ήταν δυνατό να υφίσταται διαφορά ανάμεσα στους νόμους της μηχανικής και σε εκείνους οι οποίοι διέπουν τα ηλεκτρομαγνητικά φαινόμενα. Στην πορεία του Einstein προς την Σχετικότητα, τα νοητικά πειράματα στάθηκαν πολύ σπουδαιότερα από τα πραγματικά. Υπέβαλλε σε διεξοδική εξέταση έννοιες φαινομενικά στοιχειώδεις, όπως το μήκος, ο χρόνος, η ταχύτητα, η ταυτοχρονία. Προβάλλοντας απλά επιχειρήματα, ο Einstein απέδειξε ότι η ταυτοχρονία δεν επιδέχεται απόλυτο ορισμό, αλλά εξαρτάται από την κινητική κατάσταση των παρατηρητών.
Ε. Γ. Βιτωράτος. Τμήμα Φυσικής, Πανεπιστήμιο Πατρών (5) Η ειδική θεωρία της σχετικότητας βασίζεται σι δύο θεμελιώδη αξιώματα: πρώτον ότι η ταχύτητα του φωτός είναι 3.1 8 m/s και παραμένει ανεξάρτητη από την κίνηση του παρατηρητή ή από την κίνηση της πηγής. Δηλαδή, η ταχύτητα του φωτός είναι η ίδια για όλους τους αδρανειακούς παρατηρητές. Δεύτερον ότι οι νόμοι της φυσικής είναι ίδιοι για όλα τα αδρανειακά συστήματα αναφοράς, δηλαδή οι νόμοι της φυσικής έχουν την ίδια μαθηματική μορφή για όλους τους παρατηρητές που κινούνται με σταθερή ταχύτητα μεταξύ τους. Βέβαια το ότι οι νόμοι της μηχανικής είναι ίδιοι για όλα τα αδρανειακά συστήματα δεν ήταν κάτι καινούργιο. Το πραγματικά νέο στοιχείο ήταν η επέκταση στα ηλεκτρομαγνητικά φαινόμενα. 3
Ε. Γ. Βιτωράτος. Τμήμα Φυσικής, Πανεπιστήμιο Πατρών (5) 4
Ε. Γ. Βιτωράτος. Τμήμα Φυσικής, Πανεπιστήμιο Πατρών (5) Η αναλλοιώτητα μιας εξίσωσης Με τον όρο αναλλοιώτητα μιας εξίσωσης, νοείται ότι η εξίσωση έχει την ίδια μορφή έτσι όπως υπολογίζεται από δύο παρατηρητές, από τους οποίους ο ένας είναι ακίνητος Ο και ο άλλος Ο βρίσκεται σε ένα σύστημα που κινείται με σταθερή ταχύτητα υ ως προς το πρώτο. Στην κλασσική φυσική οι μετρήσεις δύο παρατηρητών συνδέονται μέσω των μετασχηματισμών του Γαλιλαίου. Μετασχηματισμοί του Γαλιλαίου Έστω δύο συστήματα συντεταγμένων: το ΧΥΖ που παραμένει ακίνητο και το ΧΎ Ζ που κινείται με σταθερή ταχύτητα ως προς το πρώτο και κατά διεύθυνση παράλληλη στον άξονα Χ (οι άξονες Χ και Χ παραμένουν παράλληλοι). Δύο παρατηρητές: Ο και Ο στο ακίνητο και το κινούμενο σύστημα αντίστοιχα, είναι εξοπλισμένοι με μετροταινίες και ρολόγια για να μετρήσουν συντεταγμένες και χρονικά διαστήματα. Οι παρατηρητές, και οι δύο, ρυθμίζουν τα ρολόγια τους έτσι ώστε να δείχνουν t = t = se όταν τα δύο συστήματα συμπίπτουν. Ένα σημείο Ρ θα περιγράφεται από την διατεταγμένη τετράδα (x,y,z,t) στο ακίνητο σύστημα ΧΥΖ και από την (x,y,z,t ) στο κινούμενο ΧΎ Ζ. Η σχέση που συνδέει τα (x,y,z,t) με τα (x,y,z,t ) είναι: x = x-ut y = y z = z t = t 5
Ε. Γ. Βιτωράτος. Τμήμα Φυσικής, Πανεπιστήμιο Πατρών (5) Οι σχέσεις αυτές ονομάζονται: Μετασχηματισμοί συντεταγμένων του Γαλιλαίου. Μετασχηματισμοί ταχύτητας του Γαλιλαίου Από τις σχέσεις συντεταγμένων με παραγώγιση παίρνουμε τους μετασχηματισμούς των συνιστωσών της ταχύτητας: dx d dt dx x ( x t) x dt dt dt dt y z y z Μετασχηματισμοί επιτάχυνσης του Γαλιλαίου Από τις σχέσεις που μας δίνουν τους μετασχηματισμούς των συνιστωσών της ταχύτητας, με παραγώγιση παίρνουμε τους μετασχηματισμούς των συνιστωσών της επιτάχυνσης του Γαλιλαίου. a x a y a z a a x y a z Όταν η μορφή μιας εξίσωσης που υφίσταται τους μετασχηματισμούς του Γαλιλαίου καταλήγει τελικά στην ίδια μορφή λέμε πως είναι αναλλοίωτη στους μετασχηματισμούς αυτούς, αν η μορφή της αλλάζει λέμε ότι δεν είναι αναλλοίωτη. Ασκηση Στην αποβάθρα του τρένου στέκεται ο παρατηρητής Α. Τη στιγμή t=, περνάει από μπροστά του ένας παρατηρητής Κ που βρίσκεται σε ένα τρένο που κινείται με ταχύτητα 5 m/s. λεπτά αργότερα ο παρατηρητής Α έχει την πληροφορία πως ένα πουλί που κινείται κατά μήκος των γραμμών προς την ίδια κατεύθυνση όπως το τρένο βρίσκεται 8 μέτρα πιο μακριά. Ποιες είναι οι συντεταγμένες του πουλιού έτσι όπως γίνονται αντιληπτές για τον παρατηρητή K; Λύση: Για τον ακίνητο παρατηρητή Α που βρίσκεται στην αποβάθρα, Η τιμή της μεταβλητής χ είναι 8 m H τιμή της μεταβλητής y καθώς και της μεταβλητής z είναι μηδέν. Η τιμή του χρόνου t είναι δευτερόλεπτα. Ετσι για τον ακίνητο παρατηρητή Α, η διατεταγμένη τετράδα των μεταβλητών (x,y,z,t) είναι 8 μέτρα, μηδέν, μηδέν και δευτερόλεπτα. Δηλ.: (x,y,z,t) = (8,,,) *********************** Ο επιβάτης- παρατηρητής Κ, μετράει την απόσταση x του πουλιού από αυτόν Χρησιμοποιώντας την σχέση: x = x-ut των μετασχηματισμών του Γαλιλαίου βρίσκει: x = 8-5. = 3 m Επομένως, οι συντεταγμένες του πουλιού όπως καθορίζονται από τον κινούμενο παρατηρητή Κ είναι: (x,y,z,t ) = (3,,,) 6
Ε. Γ. Βιτωράτος. Τμήμα Φυσικής, Πανεπιστήμιο Πατρών (5) Άσκηση Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση 1 x y z t η οποία περιγράφει το ηλεκτρομαγνητικό κύμα δεν είναι αναλλοίωτη στους μετασχηματισμούς του Γαλιλαίου. Λύση Η εξίσωση αυτή θα είναι αναλλοίωτη, αν διατηρεί την ίδια μορφή και στην περίπτωση των μεταβλητών x, y, z, t που προκύπτουν με τους μετασχηματισμούς του Γαλιλαίου, Θυμόμαστε ότι οι μετασχηματισμοί του Γαλιλαίου είναι: x = x-ut, y = y, z = z, t = t. Οπότε: x 1 x y z t y z t, 1 και x t Η μερική παράγωγος της φ ως προς χ, θα προκύψει από τον κανόνα της αλυσίδας (hain rule). Ετσι, x y z t x x x y x z x t x και αν εδώ θυμηθούμε τις σχέσεις που προέκυψαν με παραγώγιση από τους μετασχηματισμούς του Γαλιλαίου και τις οποίες επαναλαμβάνω ενδιάμεσα, καταλήγουμε στην σχέση: 1 x y z t x Κατ ακολουθίαν και η δευτέρα παράγωγος του φ ως προς χ, θα ισούται με την δευτέρα παράγωγο του φ ως προς χ [ Δηλαδή Με τον ίδιο τρόπο: Ακόμη: ] x x y y, z z x y z t t x t y t z t t t Αν και εδώ θυμηθούμε ότι: x t Βρίσκουμε: y t z t ( ) 1 x y z t Δηλαδή: ( ) t x t Θέτοντας: gt () t x t t 1 t 7
Ε. Γ. Βιτωράτος. Τμήμα Φυσικής, Πανεπιστήμιο Πατρών (5) υπολογίζουμε την πρώτη παράγωγο της g(x) - επομένως την δεύτερη παράγωγο της φ : Ετσι: g x g t g t t x t t αντικαθιστώντας τα αποτελέσματα από τις αρχικές σχέσεις παραγώγισης και τη συνάρτηση g(x) στην τελευταία σχέση παίρνουμε: ( ) x x t t x t που είναι ίσο με x x t t x t Άρα: t t x t x Αντικαθιστούμε στην αρχική εξίσωση του κύματος τις τιμές των δευτέρων παραγώγων που υπολογίσαμε, Και η κυματική εξίσωση πλέον ως προς x, y, z, t - γίνεται: 1 1 ( ) x y z t x t x Παρατηρούμε ότι η εξίσωση αυτή δεν έχει την ίδια μορφή με την αρχική: 1 x y z t Υπάρχει ένας επιπλέον προσθεταίος στο αριστερό μέλος! Το γεγονός αυτό μας επιτρέπει να συμπεράνουμε ότι η κυματική εξίσωση που προκύπτει από τις εξισώσεις του Maxwell δεν είναι αναλλοίωτη με τους μετασχηματισμούς του Γαλιλαίου. 8
Ε. Γ. Βιτωράτος. Τμήμα Φυσικής, Πανεπιστήμιο Πατρών (5) Η Ταυτοχρονία Έστω ότι συμβαίνουν δύο φωτεινά γεγονότα, σε δύο διαφορετικά σημεία του χώρου τα οποία απέχουν εξ ίσου από έναν παρατηρητή. Κατά κανόνα, λέμε ότι τα δύο αυτά φωτεινά γεγονότα, είναι ταυτόχρονα, όταν τα αντιληφθούμε την ίδια χρονική στιγμή! Δηλαδή, όταν καταγραφούν από τα όργανα που διαθέτουμε την ίδια χρονική στιγμή. O Einstein διατύπωσε την άποψη ότι: οι μετρήσεις χρονικών διαστημάτων εξαρτώνται από το σύστημα αναφοράς στο οποίο γίνεται η μέτρηση. Για να γίνει κατανοητή η πρόταση αυτή, ο Einstein περιέγραψε ένα ιδεατό πείραμα: Το βαγόνι κινείται με σταθερή ταχύτητα υ. Κάποια στιγμή δύο κεραυνοί πέφτουν στα δύο άκρα του βαγονιού. Τα σημάδια που αφήνουν στο βαγόνι τα συμβολίζουμε με Α και Β ενώ τα σημάδια στο έδαφος τα συμβολίζουμε με Α και Β Ο παρατηρητής Ο είναι ακίνητος στο εδαφος στο μέσον της απόστασης ΑΒ Ο κινούμενος παρατηρητής Ο είναι μέσα στο βαγόνι, στο μέσο της απόστασης Α Β. Οι παρατηρητές καταγράφουν τα σήματα των δύο κεραυνών. Στον ακίνητο παρατηρητή Ο, που βρίσκεται στο έδαφος, το φώς των δύο κεραυνών φτάνει την ίδια χρονική στιγμή. Το φώς και από το Α και από το Β κάλυψε ίσες αποστάσεις με την ίδια ταχύτητα. 9
Ε. Γ. Βιτωράτος. Τμήμα Φυσικής, Πανεπιστήμιο Πατρών (5) Ετσι, ο ακίνητος παρατηρητής Ο, βγάζει το συμπέρασμα ότι τα γεγονότα Α και Β συντελέστηκαν ταυτόχρονα. Ας δούμε τι καταλαβαίνει ο παρατηρητής Ο. Πρώτα πρώτα πρέπει να παρατηρήσουμε πως μέχρις ότου τα σήματα φτάσουν στον ακίνητο παρατηρητή, ο κινούμενος έχει μετακινηθεί. Επειδή η κίνηση του βαγονιού γίνεται προς τα δεξιά, το φώς από τον κεραυνό Β έχει ήδη φτάσει, ενώ το φως από τον κεραυνό Α δεν έχει φτάσει ακόμη. Αφού οι δύο παρατηρητές πιστεύουν ότι το φώς κινείται πάντα με την ίδια ταχύτητα, ο κινούμενος παρατηρητής συμπεραίνει πως ο κεραυνός στο Β έπεσε πρίν από τον κεραυνό στο Α. Δηλαδή, ο κινούμενος παρατηρητής πιστεύει πως οι δύο κεραυνοί δεν έπεσαν την ίδια χρονική στιγμή, μ άλλα λόγια, τα δύο γεγονότα στα Α και Β δεν είναι ταυτόχρονα. Συμπέρασμα: Η έννοια του ταυτόχρονου δεν είναι απόλυτη αλλά εξαρτάται από την κατάσταση κίνησης του παρατηρητή. Και οι δύο παρατηρητές περιγράφουν σωστά τα φαινόμενα. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ένα οποιοδήποτε σύστημα αναφοράς που κινείται με σταθερή ταχύτητα για να μελετήσουμε την κίνηση. Σχετικότητα του χρόνου Αν Δt είναι το χρονικό διάστημα μεταξύ της εκπομπής και της λήψης ενός σήματος από έναν παρατηρητή που μετέχει της κίνησης (με ταχύτητα υ) και Δt το χρονικό διάστημα για την ίδια διαδικασία όπως μετρείται από έναν ακίνητο παρατηρητή τα δύο αυτά χρονικά διαστήματα συνδέονται με την σχέση: t t 1 ή 1/ 1/ t 1 t ή Δt=γΔt όπου 1 είναι ένας συντελεστής, πάντα μεγαλύτερος της μονάδας. Δηλαδή το χρονικό διάστημα που μετράει ένας ακίνητος στο έδαφος παρατηρητής είναι μεγαλύτερο εκείνου που μετράει ο παρατηρητής που μετέχει της κίνησης (το ρολόι του πάει αργά). 1
Ε. Γ. Βιτωράτος. Τμήμα Φυσικής, Πανεπιστήμιο Πατρών (5) Ο ακίνητος λοιπόν παρατηρητής μαθαίνει ότι ένα κινούμενο ρολόϊ πάει αργότερα απ ότι το δικό του ρολόι που δεν μετέχει της κίνησης. Το φαινόμενο καλείται διαστολή του χρόνου. Παίρνοντας αφορμή από το γεγονός αυτό ότι δηλαδή τα κινούμενα ρολόγια πάνε αργότερα κατά τον συντελεστή γ, Κάποιοι γενικεύουν λέγοντας πως όλες οι φυσικές διεργασίες συμπεριλαμβανομένων των βιολογικών διαδικασιών εξελίσσονται με αργότερο ρυθμό σε ένα κινούμενο σύστημα! Ιδιόχρονος Εδώ πρέπει να ορίσουμε τον «ιδιόχρονο» που είναι το χρονικό διάστημα ανάμεσα σε δύο γεγονότα που συμβαίνουν στο ίδιο σημείο του χώρου. Με άλλα λόγια, ιδιόχρονος είναι ο χρόνος που μετριέται με ένα μόνο ρολόϊ που είναι ακίνητο σε αυτό το σύστημα. Ασκηση Ένα εκκρεμές έχει περίοδο.se, όπως μετριέται στο αδρανειακό σύστημα αναφοράς του. Ποια τιμή της περιόδου μετράει ένας παρατηρητής που κινείται με ταχύτητα.96 σε σχέση με το εκκρεμές Απάντηση Η περίοδος του εκκρεμούς αυτού, όπως την μετράει ένας παρατηρητής σχετικά κινούμενος ως προς αυτό θα προκύψει από την σχέση: (ο παρατηρητής μπορεί να θεωρηθεί ακίνητος και το σύστημα του εκκρεμούς κινούμενο με την δοθείσα ταχύτητα),.,96 1,916, 784,8 1 1 T 7,1se Βλέπουμε ότι, ο παρατηρητής που κινείται σε σχέση με το εκκρεμές, μετράει μεγαλύτερη χρονική διάρκεια. 11
Ε. Γ. Βιτωράτος. Τμήμα Φυσικής, Πανεπιστήμιο Πατρών (5) Σχετικότητα του Μήκους Ιδιόμηκος, είναι το μήκος ενός αντικειμένου που μετρείται στο σύστημα αναφοράς στο οποίο το αντικείμενο ηρεμεί. Αν L είναι το μήκος ενός αντικειμένου σύμφωνα με έναν παρατηρητή που είναι ακίνητος ως προς το αντικείμενο (ιδιόμηκος) και L το μήκος που μετράει ένας άλλος παρατηρητής που κινείται με ταχύτητα υ ως προς το αντικείμενο και παράλληλα προς τη διάσταση του L, τα δύο μήκη συνδέονται με την σχέση: L L (ο παρατηρητής μπορεί να θεωρηθεί ακίνητος και το σύστημα του αντικειμένου κινούμενο με την δοθείσα ταχύτητα), Δηλαδή, το L είναι μικρότερο από το ιδιομήκος κατά τον παράγοντα 1 1/ Ασκηση Ένα διαστημόπλοιο κινείται προς τη γή με ταχήτητα.97. Το υψόμετρο που μετράει ο πιλότος είναι m. Ποιο είναι το υψόμετρο που μετράει ένας παρατηρητής στη Γή; Απάντηση Εδώ ζητάμε το L, δηλαδή το μήκος ενός αντικειμένου σύμφωνα με έναν παρατηρητή που είναι ακίνητος ως προς το αντικείμενο το ιδιόμηκος. L L 1 ή L,97 1,949, 591, 431 1 Και τελικά το μήκος που μετράει ο παρατηρητής στη Γη είναι: L 8,7m Ασκηση Ένας ακίνητος παρατηρητής μετράει το μήκος ενός διαστημοπλοιου ως προς το οποίο είναι ακίνητος και το βρίσκει 1m. Ποιο είναι το μήκος του διαστημοπλοίου που θα μετρήσει ο παρατηρητής όταν κινούμενο με ταχύτητα.98 περάσει από μπροστά του; Απάντηση: Το μήκος L που θα μετρήσει ο ακίνητος παρατηρητής θα είναι: L L 1 ή,98 L 1 1 1 1,964 1, 396 1,1989 L m Και τελικά: 4 1
Ε. Γ. Βιτωράτος. Τμήμα Φυσικής, Πανεπιστήμιο Πατρών (5) Μετασχηματισμοί Lorentz Εστω S και S δύο αδρανειακά συστήματα. Από αυτά το S κινείται σε σχέση με το S με σταθερή ταχύτητα υ παράλλληλα προς την διεύθυνση x. Θεωρούμε τους άξονες x,y,z του συστήματος παράλληλους προς τους κινούμενους x,y,z του συστήματος S. Αν έχουμε έναν νόμο, για παράδειγμα τoν F=ma στο σύστημα S, τότε ένας ομοίας μορφής νόμος F =m.a θα πρέπει να ισχύει στο σύστημα S. Η ισοδυναμία των αδρανειακών συστημάτων επιτάσσει την δυνατότητά μας να περιγράψουμε το φυσικό φαινόμενο εξ ίσου καλά σε οποιοδήποτε αδρανειακό σύστημα. Η μετάβαση από το ένα σύστημα στο άλλο απαιτεί όπως έχουμε δει σε προηγούμενη ενότητα - την καθιέρωση σχέσεων μετασχηματισμού μεταξύ των συντεταγμένων των δύο συστημάτων S και S. Οι μετασχηματισμοί του Γαλιλαίου δεν επαληθεύονται από τα πειράματα, όταν η σχετική ταχύτητα υ με την οποία κινείται το ένα σύστημα πως προς το άλλο πλησιάζει την ταχύτητα του φωτός. Οι μετασχηματισμοί που είναι κατάλληλοι και ισχύουν για όλες τις σχετικές ταχύτητες και μας δίνουν τη δυνατότητα να περνάμε από το ένα σύστημα S στο άλλο S είναι οι μετασχηματισμοί του Lorentz x =γ (x-υt) y =y z =z t t x 1 1 όπου: >1 13
Ε. Γ. Βιτωράτος. Τμήμα Φυσικής, Πανεπιστήμιο Πατρών (5) οι οποίοι στην περίπτωση που θέλουμε το αντίστροφο, δηλαδή να βρούμε τις συντεταγμένες στο S αν ξέρουμε τις συντεταγμένες στο S είναι: x = γ (x +υt), y =y, z=z, t t x που λέγονται αντίστροφοι μετασχηματισμοί Lorentz και προκύπτουν από τους πρώτους αν αντικαταστήσουμε το υ με υ και τις συντεταγμένες χωρίς τόνο με τις τονισμένες. Ασκηση Να εξετάσετε τους μετασχηματισμούς του Lorentz για υ<< Απάντηση Πράγματι, όταν υ<< lim και 1 lim lim 1 1 Και οι μετασχηματισμοί Lorentz: x =γ (x-υt) y =y z =z t t x 1 με 1 γίνονται: x = (x-υt) y =y z =z t t Που είναι οι μετασχηματισμοί του Γαλιλαίου. 14
Ε. Γ. Βιτωράτος. Τμήμα Φυσικής, Πανεπιστήμιο Πατρών (5) Χρονικά διαστήματα και διαφορές συντεταγμένων Ή διαφορετικά: Υπολογισμός των Δx και Δt από τα Δx και Δt και αντιστρόφως Το χρονικό διάστημα που μεσολαβεί μεταξύ δύο γεγονότων και η διαφορά των συντεταγμένων τους όπως μετρώνται από δύο παρατηρητές ο ένας από τους οποίους είναι σε ένα ακίνητο σύστημα S και ο άλλος μετέχει της κίνησης στο σύστημα S, δίνονται αντίστοιχα από τις σχέσεις: x x t t t x ή τις x x t t t x Ας δούμε πάλι την ταυτοχρονία, την διαστολή του χρόνου και την συστολή του μήκους με την βοήθεια των σχέσεων αυτών 15
Ε. Γ. Βιτωράτος. Τμήμα Φυσικής, Πανεπιστήμιο Πατρών (5) Ασκηση Από τις σχέσεις: x x t t t x Να αποδείξετε ότι η έννοια του ταυτόχρονου είναι σχετική. Απάντηση Αν ο κινούμενος παρατηρητής στο S πιστεύει ότι δύο γεγονότα συνέβησαν ταυτόχρονα, δηλαδή Δt =, από την δεύτερη σχέση βρίσκουμε t x ή x t Δηλαδή το χρονικό διάστημα που μετράει ο παρατηρητής στο S είναι διάφορο του μηδενός. Επομένως συμπεραίνουμε ότι ο παρατηρητής στο S πιστεύει ότι τα δύο γεγονότα δεν ήταν ταυτόχρονα. Ασκηση Από τις σχέσεις : x x t t t x αποδείξτε ότι τα κινούμενα ρολόγια πηγαίνουν πιο αργά από τα ακίνητα. Απάντηση Υποθέτουμε ότι ο παρατηρητής στο κινούμενο σύστημα μετράει σε διαφορετικές στιγμές (Δt ) δύο γεγονότα που συμβαίνουν στο ίδιο σημείο (Δx =). Από την δεύτερη σχέση παίρνουμε: t t ή t t που σημαίνει ότι Δt < Δt. Δηλαδή πράγματι τα ταχέως κινούμενα αντικείμενα «βιώνουν» βραδύτερη ροή του χρόνου συγκριτικά με τα ακίνητα. 16
Ε. Γ. Βιτωράτος. Τμήμα Φυσικής, Πανεπιστήμιο Πατρών (5) Ασκηση: Από τις σχέσεις των μετασχηματισμών Lorentz: x x t t t x ή τις σχέσεις των αντίστροφων μετασχηματισμών Lorentz x x t t t x Να αποδείξετε τη συστολή του μήκους, δηλ. Δx = Δx /γ Απάντηση Έστω ότι ένα αντικείμενο βρίσκεται σε ηρεμία στο κινούμενο σύστημα S και το μήκος του είναι Δx = x - x 1 Ενας παρατηρητής στο S μετράει κάποια χρονική στιγμή τις συντεταγμένες των άκρων του αντικειμένου x και x 1 και το μήκος του Δx = x - x 1 Η πρώτη εξίσωση δίνει Δx = γ.δx οπότε x x Δηλαδή ένα αντικείμενο που κινείται σχετικά με έναν παρατηρητή φαίνεται να έχει συσταλεί κατά τη διεύθυνση της κίνησης- κατά έναν παράγοντα 1 1/ 17
Ε. Γ. Βιτωράτος. Τμήμα Φυσικής, Πανεπιστήμιο Πατρών (5) Αναλλοιώτητα της εξίσωσης του ηλεκτρομαγνητικού κύματος στους μ. Lorentz Ασκηση Να αποδείξετε ότι η εξίσωση του ηλεκτρομαγνητικού κύματος 1 x y z t Είναι αναλλοίωτη στους μετασχησμούς Lorentz. x t xt x, y y, z z, t 1 ( ) 1 ( ) Υπολογίζουμε τις μερικές παραγώγους: x x 1 1 ( ) x t 1 ( ) y z 1 y z t x 1 ( ) x x y y t t y z x z y z t 1 t 1 ( ) Από τα παραπάνω αποτελέσματα και με βάση τον κανόνα της αλυσίδας για την παραγώγιση, βρίσκουμε για την πρώτη παράγωγο: x y z t 1 x x x y x z x t x 1 ( ) x 1 ( ) t Η δευτέρα παράγωγος: 1 4 x 1 ( ) x t x t Με τον ίδιο τρόπο υπολογίζουμε την πρώτη και την δεύτερη παράγωγο ως προς τον χρόνο. Δηλαδή: 1 t 1 ( ) x 1 ( ) t 18
Ε. Γ. Βιτωράτος. Τμήμα Φυσικής, Πανεπιστήμιο Πατρών (5) 1 t 1 ( ) x t x t Οι παράγωγοι ως προς τις μεταβλητές y και z είναι: y y z z Αντικαθιστούμε στην εξίσωση του ηλεκτρομαγνητικού κύματος 1 x y z t και μετά τις διαγραφές των αντιθέτων όρων, παίρνουμε τη σχέση: 1 x y z t η οποία είναι της ίδιας μορφής με την δοθείσα, πράγμα που σημαίνει πως η κυματική εξίσωση είναι αναλλοίωτη στους μετασχηματισμούς Lorentz. Παρατηρητής ακίνητος ως προς το όχημα =(παρατηρητής κινούμενος ως προς το έδαφος) Δt (ιδιόχρονος) «τα ταχέως κινούμενα αντικείμενα «βιώνουν «βραδύτερη ροή του χρόνου συγκριτικά με τα ακίνητα» Παρατηρητής κινούμενος σε σχέση με το όχημα (=παρατηρητής ακίνητος ως προς το έδαφος) Δt L μήκος ως προς παρατηρητή ακίνητο ως προς το αντικείμενο (ιδιομήκος) L μήκος που μετράει παρατηρητής που κινείται με ταχύτητα υ ως προς το αντικείμενο. 19
Ε. Γ. Βιτωράτος. Τμήμα Φυσικής, Πανεπιστήμιο Πατρών (5) ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΑΧΥΤΗΤΩΝ Θεωρούμε τα δύο συστήματα αναφοράς. Το ένα : Χ Ψ Ζ κινείται με ταχύτητα υ κατά τη διεύθυνση του άξονα των x ως προς ένα άλλο σύστημα ΧΨΖ που θεωρούμε ακίνητο. Καθένας παρατηρητής μετράει την ταχύτητα ενός μεμονωμένου σωματιδίου. Έτσι ο παρατηρητής Ο που βρίσκεται στο κινούμενο σύστημα Χ Ψ Ζ μετράει τις συνιστώσες u x, u y, u z αυτού του σώματος, ενώ ο παρατηρητής Ο, που βρίσκεται στο XYZ μετράει u x, u y, u z. Οι δύο αυτές τριάδες των συνιστωσών συνδέονται με τις σχέσεις ux ux ux 1 ή, uy uy, ux 1 uz uz ux 1 ux uy uz ux, uy, uz ux u 1 x ux 1 1 όπου γ η σταθερά που ονομάζεται και παράγοντας Lorentz Πρέπει να επισημάνει κανείς ότι η τιμή της ταχύτητας ενός αντικειμένου έχει έννοια μόνον όταν δίνεται ως προς κάποιο σύστημα αναφοράς. Πράγματι, Όταν τρέχουν δυο αυτοκίνητα προς την ίδια κατεύθυνση με την ίδια ταχύτητα παράλληλα το ένα με το άλλο μπορούν άνετα οι επιβάτες να ανταλλάσσουν αντικείμενα. Το αν τρέχουν με 5 ή με 6 χιλιόμετρα την ώρα έχει έννοια για τον παρατηρητή που είναι ακίνητος στην άκρη του δρόμου. Ασκηση Να εξεταστεί η μη σχετικιστική περίπτωση, κατά την οποία η ταχύτητα u x και η υ είναι πολύ μικρότερες από την ταχύτητα του φωτός. Απάντηση Από τις σχέσεις των μετασχηματισμών έχουμε: ux ux ux 1 Όταν τα u x και υ είναι πολύ μικρότερα της ταχύτητας του φωτός ο παρονομαστής τείνει στην μονάδα. u u Επομένως καταλήγουμε ότι: x x
Ε. Γ. Βιτωράτος. Τμήμα Φυσικής, Πανεπιστήμιο Πατρών (5) Το αποτέλεσμα αυτό είναι ακριβώς εκείνο που δίνουν και οι μετασχηματισμοί του Γαλιλαίου. Ασκηση Να εξεταστούν οι σχετικιστικοί μετασχηματισμοί ταχυτήτων Lorentz στην περίπτωση που u x Απάντηση Η σχέση: γίνεται: ux ux ux 1 1 ux 1 1 Το αποτέλεσμα αυτό δηλώνει ότι όταν ένα σώμα κινείται με ταχύτητα ως προς έναν παρατηρητή ενός συστήματος S, τότε κινείται με ταχύτητα και ως προς έναν άλλο παρατηρητή του συστήματος S ανεξάρτητα από την σχετική ταχύτητα του συστήματος S ως προς το S. Το αποτέλεσμα αυτό επιβεβαιώνει επίσης το δεύτερο αξίωμα του Einstein το οποίο λέει ότι η ταχύτητα του φωτός είναι η ίδια για όλα τα συστήματα αναφοράς. Ασκηση Από τους μετασχηματισμούς συντεταγμένων και χρόνου Lorentz, να γίνει παραγωγή των σχέσεων που δίνουν τους μετασχηματισμούς ταχυτήτων. Απάντηση Ας ξεκινήσουμε από τους μετασχηματισμούς της μεταβλητής χ dx dt dx 1 Διαιρώντας παίρνουμε:, και του χρόνου: dt dx dt 1 dx dx dx dt dt ux u ux dt dx u dt dx 1 1 dt κ.ο.κ x 1
Ε. Γ. Βιτωράτος. Τμήμα Φυσικής, Πανεπιστήμιο Πατρών (5) Προβλήματα ταχυτήτων (μεθοδολογία) Στα προβλήματα ταχύτητας υπάρχουν τρείς παράγοντες που εμπλέκονται. Ένα σώμα Σ του οποίου η ταχύτητα u πρόκειται να μετρηθεί και οι δύο παρατηρητές Ο και Ο. Το σύστημα πάνω στο οποίο βρίσκεται ο παρατηρητής Ο το θεωρούμε ακίνητο. Αυτός μετράει u x u y u z τις συνιστώσες της ταχύτητας του σώματος Σ. Το σύστημα πάνω στο οποίο βρίσκεται ο παρατηρητής Ο το θεωρούμε κινούμενο με ταχύτητα υ ως προς το προηγούμενο πάνω στο οποίο βρίσκεται ο Ο. Ο κινούμενος παρατηρητής μετράει u χ, u y, u z τις συνιστώσες της ταχύτητας του σώματος Σ. Ασκηση: Ενας πύραυλος P E κινείται προς ανατολάς με ταχύτητα,8 και ένας άλλος P W κινείται προς δυσμάς με ταχύτητα,6. Οι ταχύτητες αυτές έχουν μετρηθεί ως προς τη Γη. Ζητείται η ταχύτητα του πυραύλου P E όπως υπολογίζεται από τον παρατηρητή που είναι μέσα στον πύραυλο P W. Λύση Αν θεωρήσουμε τον παρατηρητή Ο στη Γή, τον Ο στον πύραυλο Ρ w και το σώμα Σ στον Ρ ε, τότε η u x η ζητούμενη συνιστώσα ταχύτητας του σώματος Σ που μετράει ο ακίνητος παρατηρητής Ο- θα είναι,8 δηλαδή u x =,8. Η ταχύτητα υ με την οποία κινείται το σύστημα πάνω στο οποίο βρίσκεται ο παρατηρητής Ο ως προς τον Ο είναι,6 δηλαδή υ=-,6 άρα η συνιστώσα ταχύτητας του Σ που μετράει ο Ο είναι:, 6,8 u,8, 6 x ux,946 ux 1 1 Αν τώρα θεωρήσουμε τους παρατηρητές Ο και Ο στους πυραύλους Ρ ε και Ρ w αντίστοιχα και το σώμα Σ στην Γή και εφαρμόσουμε πάλι τη σχέση: ux ux ux 1
Ε. Γ. Βιτωράτος. Τμήμα Φυσικής, Πανεπιστήμιο Πατρών (5) θα έχουμε: u x =,6 u x = -,8 και η ζητούμενη ταχύτητα είναι η υ,8 έτσι θα έχουμε:, 6,946,8 1 Το μείον εμφανίζεται επειδή η υ σε αυτήν τη περίπτωση- είναι η ταχύτητα του παρατηρητή Ο ως προς τον παρατηρητή Ο. Ασκηση: Να υπολογιστεί η ταχύτητα ενός διαστημόπλοιου (Ρ Ν ) που κινείται με ταχύτητα,8 κατά τη διεύθυνση του βορρά όπως μετρείται από έναν παρατηρητή που βρίσκεται σε έναν πύραυλο (Ρ W ) που κινείται δυτικά με ταχύτητα,6 Λύση: Θεωρούμε ότι η διεύθυνση Δύσης Ανατολής συμπίπτει με την διεύθυνση x: Επειδή u x =, u y =,8 και υ=-,6 η σχέση των μετασχηματισμών θα δώσει κατά την διεύθυνση χ: u,6 x ux,6 ux 1 1 ενώ κατά τη διεύθυνση Νότου- Βορρά (διεύθυνση y) θα έχουμε: u y 1,8 1, 6 uy,64 ux 1 1 οπότε, u u u, 6, 64,88 και x y uy,64 tan 1.7 46,8 u,6 x Άσκηση: Ένα σωματίδιο, όπως παρατηρείται από τον παρατηρητή Ο κινείται με ταχύτητα,8 υπό γωνία 3 ο ως προς τον άξονα χ. Ζητείται η ταχύτητα του σωματιδίου όπως αυτή καταγράφεται από έναν παρατηρητή Ο που κινείται με ταχύτητα,6 κατά μήκος του άξονα χ. Λύση Ο ακίνητος παρατηρητής Ο μετράει u x =,8 os3=,693 και u y = (,8) sin3=,4. Επίσης, από τα δεδομένα της άσκησης έχουμε: υ= -,6 Άρα o 3
Ε. Γ. Βιτωράτος. Τμήμα Φυσικής, Πανεπιστήμιο Πατρών (5),6,693 u,693,6 x ux,913 ux 1 1 u u y 1,4 1,6 uy,6 ux,6,693 1 1 Η ταχύτητα θα προκύψει με την εφαρμογή του Πυθαγορείου θεωρήματος x y u u u,913, 6,941 Υπολογίσαμε το μέτρο της ταχύτητας, χρειάζεται και ο προσδιορισμός της διεύθυνσής της στο χώρο, έτσι προχωρούμε στον υπολογισμό της εφαπτομένης της γωνίας θ uy,6, 48 13,9 u,913 x o 4
Ε. Γ. Βιτωράτος. Τμήμα Φυσικής, Πανεπιστήμιο Πατρών (5) H ορμή Ας μελετήσουμε ένα πρόβλημα βολής. Ο παρατηρητής Ο εκτοξεύει ένα βλήμα κατά τη διεύθυνση y. Η ορμή του σώματος όπως την αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής Ο θα είναι: p y =m u y όπου m η μάζα του σώματος όπως μετρείται από τον Ο. Ας θεωρήσουμε τώρα έναν παρατηρητή Ο ο οποίος παρατηρεί τον Ο να κινείται κατά τη διεύθυνση x με ταχύτητα υ. Εφ όσον η βολή έγινε κατά την διεύθυνση του άξονα y (κάθετη προς τη διεύθυνση της κίνησης) οι παρατηρητές συμφωνούν ότι θα βρει και ο ακίνητος παρατηρητής Ο, την ίδια συνιστώσα y της ορμής. Ο ακίνητος παρατηρητής Ο, θα μετρήσει p y = mu y όπου m η μάζα του βλήματος όπως την μετράει ο παρατηρητής Ο. Και επειδή u x =, οι μετασχηματισμοί Lorentz δίνουν: u y uy 1 uy 1 u x 1 έτσι βρίσκουμε ότι: py mu 1 Αν οι παρατηρητές θεωρήσουν ότι m = m p p τότε βρίσκουν ότι y y δηλαδή οι παρατηρητές βρίσκουν αποτέλεσμα αντίθετο των προβλέψεών τους! Αδιέξοδο; 5
Ε. Γ. Βιτωράτος. Τμήμα Φυσικής, Πανεπιστήμιο Πατρών (5) Ούτως εχόντων των πραγμάτων, οι παρατηρητές, ή θα πρέπει να υποθέσουν ότι η διατήρηση της ορμής δεν ισχύει για μεγάλες ταχύτητες ή θα πρέπει να βρούν έναν τρόπο να ορίσουν διαφορετικά την ορμή ενός σώματος ώστε η αρχή διατήρησης της ορμής να ικανοποιείται. Από τον Einstein επιλέχτηκε η δεύτερη λύση. Ετσι, αν η μάζα οριστεί σύμφωνα με τη σχέση: m m u 1 όπου m η μάζα ηρεμίας, αυτή δηλαδή που μετράει ένας παρατηρητής ακίνητος ως προς το σώμα, η αρχή διατήρησης της ορμής ακολουθείται για κάθε παρατηρητή! Ας δούμε την επιβεβαίωση: Πράγματι, ο παρατηρητής Ο που μετέχει της κίνησης (u x =) θεωρεί ότι η μάζα είναι: m m m m u u u u 1 1 1 x y y Ενώ η μάζα του βλήματος όπως τη μετράει ο παρατηρητής Ο (τώρα u x =υ) είναι: m m m m u u u u 1 1 1 x y y αλλά λόγω των μετασχηματισμών Lorentz, η υπόριζη ποσότητα uy 1 uy uy u y 1 1 1 1 1 1 1 m m m έτσι: u y 1 1 1 6
Ε. Γ. Βιτωράτος. Τμήμα Φυσικής, Πανεπιστήμιο Πατρών (5) Έπομένως: p uy 1 m mu m mu 1 u 1 mu y y y y y y u x 1 1 Πράγματι λοιπόν η αρχή διατήρησης της ορμής ισχύει! p 7
Ε. Γ. Βιτωράτος. Τμήμα Φυσικής, Πανεπιστήμιο Πατρών (5) 8
Ε. Γ. Βιτωράτος. Τμήμα Φυσικής, Πανεπιστήμιο Πατρών (5) Κινητική Ενέργεια Στη σχετικιστική Μηχανική, όπως και στην κλασσική μηχανική, η κινητική ενέργεια Κ ενός σώματος είναι ίση με το έργο που κάνει μια εξωτερική δύναμη προκειμένου να αυξήσει την ταχύτητα του σώματος από την τιμή μηδέν μέρχι μια ορισμένη τιμή u. Ετσι η κινητική ενέργεια είναι το ολοκλήρωμα του εσωτερικού γινομένου του ανύσματος της δύναμης F επί την μετατόπιση ds : K uu u F ds Θεωρώντας κίνηση κατά την διεύθυνση χ έχουμε: uu uu uu uu d mu dx dx d mu mdu udm u mudu u dm dt dt u u u u αλλά από τη σχέση : παίρνουμε: m u 1 m m ή m u 1 m m u m m dm u mdm m udu u dm umdu dm Με βάση την τελευταία σχέση το ολοκλήρωμα γίνεται: mm K dm m m mm Δηλαδή K m m Aλλά η κινητική ενέργεια είναι η διαφορά της ενέργειας ηρεμίας Ε από την ολική ενέργεια Ε του κινούμενου σώματος Οπότε: K = E - E m m o 9
Ε. Γ. Βιτωράτος. Τμήμα Φυσικής, Πανεπιστήμιο Πατρών (5) Αν θεωρήσουμε ότι η ενέργεια ηρεμίας είναι η Ε =m καταλήγουμε στην περίφημη εξίσωση του Einstein: Ε=m Που δίνει την ισοδυναμία μάζας και ενέργειας. Δηλαδή «η μάζα ενός σώματος αποτελεί μέτρο του ενεργειακού περιεχομένου». Επίσης βλέπουμε ότι ακόμα κι αν ηρεμεί ένα σώμα έχει ένα ενεργειακό περιεχόμενο Ε =m. Ασκηση u Εξετάστε την κινητική ενέργεια Κ όταν 1 Απάντηση m K E E m u 1 m m m u 8 Αρα: 1 4 u 1 3 1 1 1 u u 1 1 4 K 1 mu 3
Ε. Γ. Βιτωράτος. Τμήμα Φυσικής, Πανεπιστήμιο Πατρών (5) O δεύτερος Νόμος του Νεύτωνα: Στο δεύτερο νόμο του Νεύτωνα που λέει ότι η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται σε ένα σώμα ισούται με τον ρυθμό μεταβολής της ορμής, θα πρέπει να ληφθεί υπ όψη η μεταβολή της μάζας του σώματος έτσι η σχετικιστική γενίκευση του νόμου του Νεύτωνα είναι: F m u dt dt u dt 1 dp d d m u Ασκηση Με τη βοήθεια του δεύτερου νόμου του Νεύτωνα, βρείτε την έκφραση της ταχύτητας για ένα σωμάτιο με φορτίο q που κινείται σε κύκλο ακτίνας R του οποίου το επίπεδο είναι κάθετο στο μαγνητικό πεδίο Β. Απάντηση F F F d m u d 1 1 du dt u u dt u u dt 1 1 1 m u m 3 1 1 u u du u du mu 1 1 m dt dt du m u dt m du u 3 1 dt u u 1 1 Αλλά αφ ενός μεν η ταχύτητα είναι κάθετη στην επιτάχυνση du dt u και αφ ετέρου F qub και Αν αντικαταστήσουμε στην τελευταία σχέση έχουμε: m u qbr qub u 1 u R qbr 1 m 1 m du u dt R 31
Ε. Γ. Βιτωράτος. Τμήμα Φυσικής, Πανεπιστήμιο Πατρών (5) Η σχέση που παίρνουμε στην κλασσική φυσική προκύπτει από την παραπάνω σχέση αν θεωρήσουμε το παρα πολύ μεγάλο οπότε το κλάσμα στην παρένθεση του παρονομαστή τείνει στο μηδέν και η τιμή της τετραγωνικής ρίζας τείνει στη μονάδα. Ασκηση Να βρεθεί η έκφραση του δεύτερου νόμου του Νεύτωνα, όταν μια δύναμη F δρά σε ένα σωματίδιο που έχει μάζα ηρεμίας m παράλληλα στο διάνυσμα της ταχύτητας του. Απάντηση F dp d mu dt dt 1 d mu d u 1 mu 1 dt dt u 1 1 m u u du m du dt dt 3 1 u u 1 1 m u u du m du dt dt 3 1 u u 1 1 m u 1 du dt 3 u u 1 m dt 3 u 1 du 3
Ε. Γ. Βιτωράτος. Τμήμα Φυσικής, Πανεπιστήμιο Πατρών (5) Ασκηση Να υπολογιστεί η κινητική ενέργεια ενός ηλεκτρονίου το οποίο έχει ορμή,1mev/. Δίδονται: η μάζα ηρεμίας του ηλεκτρονίου: m o =9,19.1-31 kg και ταχύτητα του φωτός =,998.1 8 m/s Η κινητική ενέργεια Κ είναι η διαφορά της ενέργειας ηρεμίας Ε ο ενός σωματιδίου από την ολική του ενέργεια Ε. Δηλαδή Κ=Ε-Ε ο (1) Από τη σχέση: Παίρνουμε: m,511mev,511mev,18mev 1,6 m u 1 m mu m m mu m m m u m 4 4 E p E E p E () Υπολογίζουμε τους προσθεταίους του δεύτερου μέλους: MeV p,1 4, 41MeV E m 9,191 kg,998 1 m/ s 31 8 14 8,187 1 J ev 1,6 1 14 8,187 1 1 19 6 1,6 1 1 MeV,511MeV 4 8,187 1 19 E, 61MeV Αντικαθιστώντας στην εξίσωση () έχουμε: E 4,41 MeV o,61mev E 4,671,161MeV Τώρα η αρχική εξίσωση Κ=Ε-Ε δίνει: K,161,511 K 1,65 MeV 33
Ε. Γ. Βιτωράτος. Τμήμα Φυσικής, Πανεπιστήμιο Πατρών (5) Ασκηση Σε μια πλήρως ανελαστική κρούση, ένα σωμάτιο με μάζα ηρεμίας m o και ταχύτητα,8 συγκρούεται με ένα άλλο ακίνητο σωμάτιο που έχει μάζα ηρεμίας m ο. Ποια είναι η τελική ταχύτητα u Τ και η μάζα ηρεμίας Μ του συσσωματώματος; Απάντηση Η ορμή του συστήματος διατηρείται. Δηλαδή η συνολική ορμή του συστήματος μετά την κρούση Ρ Τ θα είναι ίση με την αρχική ορμή Ρ Α. Δηλαδή Ρ Τ =Ρ Α Ή M ut mou A mo (,8 ) 4 m o u 1,8 3 T ua 1 1 Ομοίως η ολική ενέργεια του συστήματος διατηρείται Δηλαδή Ε Τ =Ε Α Ή M m m o o m 3, 67 o m o mo ut ua 1,8 1 1 Διαιρώντας κατά μέλη τις δύο παραπάνω σχέσεις βρίσκουμε: ut 4,363 33,67 Εχοντας υπολογίσει την τελική ταχύτητα του συσσωματόματος υπολογίζουμε την Μ από μία την αρχικών εξισώσεων: Μ =3,4m Aσκηση Ένα ηλεκτρόνιο που ηρεμεί επιταχύνεται και φθάνει σε μια ταχύτητα,6. Να υπολογιστεί η μεταβολή της ολικής ενέργειας του. [Δίνεται για το ηλεκτρόνιο: m MeV ] Απάντηση m u 1 m,511mev,511mev,18mev 1,6,511 Η ενέργεια αυτή είναι στην ουσία η κινητική ενέργεια του σωματιδίου. 34
Ε. Γ. Βιτωράτος. Τμήμα Φυσικής, Πανεπιστήμιο Πατρών (5) Σχετικιστικό Φαινόμενο Doppler Aς θεωρήσουμε ότι μια πηγή S εκπέμπει ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία συχνότητας f, όπως τη μετράει ένας παρατηρητής που είναι ακίνητος, σε σχέση με τη πηγή. Αν τώρα θεωρήσουμε ότι η πηγή κινείται με ταχύτητα υ, παρατηρητής μετράει συχνότητα f που δίνεται από τη σχέση: f f 1 1 os Αν η πηγή κινείται προς τον παρατηρητή, οπότε θ =, η σχέση γίνεται f f Δηλαδή f >f Αν η πηγή απομακρύνεται του παρατηρητή, θ =18, η σχέση γίνεται f f Αν θ =9 Δηλαδή f <f f f 1 Δηλαδή f <f Ασκηση Να υπολογιστεί η ταχύτητα με την οποία απομακρύνεται από τη Γη ένα άστρο που παρουσιάζει μετάθεση προς το ερυθρό Δλ=3 Å, της γραμμής D του Νατρίου (λ =589 Å). Απάντηση Η μετακίνηση είναι προς το ερυθρό, δηλαδή σε μεγαλύτερα μήκη κύματος σε μικρότερες συχνότητες. Από την εξίσωση για το φαινόμενο Doppler f f Παίρνουμε: Δηλαδή Από την οποία παίρνουμε Και λύνουμε ως προς υ, οπότε παίρνουμε 35
Ε. Γ. Βιτωράτος. Τμήμα Φυσικής, Πανεπιστήμιο Πατρών (5) ( ) Αντικαθιστούμε τις τιμές του λ = 589 Å και του λ= λ +3 =59 Å και έχουμε: 59 589,5 (59 589 ) ************************************** 36