ΚΥΜΑΤΑ 1 ΚΔΦ. 2 Ο ΚΤΜΑΣΑ ΔΡΩΣΗΔΙ ΘΔΩΡΙΑ 1. Να δνζεί ν νξηζκόο ηνπ θύκαηνο. Πνην θύκα νλνκάδεηαη αξκνληθό; Πνηεο είλαη νη δπν βαζηθέο θαηεγνξίεο θπκάησλ; 2. ε πνηεο θαηεγνξίεο δηαθξίλνπκε ηα ειαζηηθά θύκαηα α) κε θξηηήξην ην κεραληζκό δηάδνζεο ζην ειαζηηθό κέζν, θαη β) κε θξηηήξην ην κέξνο ηνπ ρώξνπ πνπ δηαδίδνληαη; 3. Αλαθέξεηε κεξηθά είδε θπκάησλ, ηε θύζε ηεο δηαηαξαρήο πνπ πξνθαινύλ θαη ην πηζαλό απνηέιεζκα ηνπο. 4. Να δνζεί ν νξηζκόο ηνπ κήθνπο θύκαηνο. Πνην κέζν νλνκάδεηαη ειαζηηθό; Πνηα ζώκαηα νλνκάδνληαη ειαζηηθά; 5. Αλ έλα θύκα αιιάμεη κέζν δηάδνζεο, ηη από ηα u, ι, f ζα κεηαβιεζεί; 6. Γηαηί ηα ειαζηηθά θύκαηα κεηαθέξνπλ ελέξγεηα θαη όρη ύιε. 7. Ση γλσξίδεηε γηα ηα γξακκηθά θύκαηα, γηα ηα επηθαλεηαθά θύκαηα θαη γηα ηα θύκαηα ρώξνπ; 8. Να βξεζεί ε εμίζσζε ηνπ αξκνληθνύ θύκαηνο. Πόζεο αλεμάξηεηεο κεηαβιεηέο πεξηέρεη απηή; Ση πεξηγξάθεη ε εμίζσζε απηή όηαλ κηα από ηηο δπν απηέο κεηαβιεηέο παξακέλεη ζηαζεξή; 9. Να ππνινγηζηεί ε θάζε ηεο ηαιάλησζεο ελόο ζεκείνπ ηνπ ειαζηηθνύ κέζνπ πνπ απέρεη απόζηαζε x από ηελ πεγή ηνπ θύκαηνο ηε ρξνληθή ζηηγκή t. Από ηη εμαξηάηαη ε θάζε; 10. Ση νλνκάδνπκε ζηηγκηόηππν θύκαηνο; 11. Πόηε έλα θύκα δελ έρεη αξρηθή θάζε θαη πόηε έρεη αξρηθή θάζε; 12. Να βξεζεί ε δηαθνξά θάζεο Γθ πνπ παξνπζηάδνπλ ηε ρξνληθή ζηηγκή t δπν ζεκεία πνπ απέρνπλ κεηαμύ ηνπο απόζηαζε Γx θαη βξίζθνληαη ζε κηα επζεία δηάδνζεο ηνπ θύκαηνο. Πόηε ηα δπν ζεκεία βξίζθνληαη ζε ζπκθσλία θάζεο θαη πόηε ζε αληίζεζε θάζεο; 13. πλδέζηε ην ειεθηξνκαγλεηηθό θύκα κε ην κεραληθό θύκα. 14. Πσο νξίδεηαη ε έληαζε ηνπ θύκαηνο; Να βξεζεί ε ζρέζε κεηαμύ ηεο έληαζεο ηνπ θύκαηνο θαη ηεο απόζηαζεο από ηελ πεγή. 15. Να δνζεί ν νξηζκόο ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο. Πσο παξάγεηαη ην ζηάζηκν θύκα; Να βξεζεί ε εμίζσζε ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο. Έρνπκε κεηάδνζε ελέξγεηαο ζην ζηάζηκν θύκα; Πνηα ζεκεία ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο νλνκάδνληαη δεζκνί θαη πνηα θνηιίεο; Πνηεο είλαη νη ηδηόηεηεο ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο; 16. Ση γλσξίδεηε γηα ηηο θάζεηο ησλ δηάθνξσλ ζεκείσλ ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο; 17. Να αλαθέξεηε ηηο δηαθνξέο ηνπ ηξέρνληνο θαη ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο. ΣΤΠΟΛΟΓΙΟ - ΜΔΘΟΓΟΛΟΓΙΑ - ΠΑΡΑΣΗΡΗΔΙ ΜΗΥΑΝΙΚΟ ή ΔΛΑΣΙΚΟ ΚΤΜΑ Θεκειηώδεο ηύπνο ηεο θπκαηηθήο Δμίζσζε αξκνληθνύ θύκαηνο u=ιf y A2 ( ), T όπνπ 2 ( ) ε θάζε T 2 ή y A ( ut x) y A2 ( T 2 ή y A[ 2 ( ) ] όπνπ ζ είλαη T ε αξρηθή θάζε ηεο πεγήο Γθ=2πd/ι Δμίζσζε αξκνληθνύ θύκαηνο όηαλ ηε ζηηγκή t=0 ε απνκάθξπλζε y ηνπ ζεκείνπ κε x=0 είλαη δηάθνξε ηνπ κεδελόο ) Γηαθνξά θάζεο κεηαμύ δπν ζεκείσλ πνπ απέρνπλ κεηαμύ ηνπο απόζηαζε d Γηαθνξά θάζεο ζε έλα ζεκείν, γηα δπν ρξνληθέο ζηηγκέο t 1 θαη t 2, Γt=t 2 -t 1 Σαρύηεηα ηαιάλησζεο πιηθνύ ζεκείνπ (Ωθύηεηα, εγθάξζηα ηαρύηεηα) Απόζηαζε κεηαμύ δπν ζεκείσλ πνπ βξίζθνληαη ζε ζπκθσλία θάζεο (Γθ=2θπ) Απόζηαζε κεηαμύ δπν ζεκείσλ πνπ βξίζθνληαη ζε αληίζεζε θάζεο (Γθ=(2θ+1)π) Γθ=2πΓt/Σ π=π max ζπλ2π(t/t-x/ι) όπνπ π max =σa d=θι ή d=2θι/2 d=(2θ+1)ι/2 ύκθσλεο πεγέο (ή όκνηεο πεγέο) είλαη νη πεγέο πνπ παξάγνπλ θύκαηα ίδηνπ πιάηνπο, ίδηαο ζπρλόηεηαο θαη κε κεδεληθή δηαθνξά θάζεο.
ΚΥΜΑΤΑ 2 Η ζπρλόηεηα ελόο θύκαηνο παξακέλεη πάληα ζηαζεξή (ίζε κε ηε ζπρλόηεηα ηεο πεγήο), ε ηαρύηεηα όκσο θαη ην κήθνο θύκαηνο κπνξεί λα κεηαβάιινληαη όηαλ ην θύκα πεξλά από έλα ειαζηηθό κέζν ζε έλα άιιν. Η θάζε 2π(t/Σ-x/ι) εθθξάδεηαη πάληα ζε πνιιαπιάζηα ηνπ π θαη δελ αληηθαζηζηνύκε ηελ αξηζκεηηθή ηηκή ηνπ π. Η θάζε θ απμάλεηαη κε ην ρξόλν θαη ειαηηώλεηαη όζν απμάλεη ε απόζηαζε από ηελ πεγή. ΤΠΟΛΟΓΙΜΟ ΣΩΝ ΥΑΡΑΚΣΗΡΙΣΙΚΩΝ ΜΔΓΔΘΩΝ ΣΟΤ ΚΤΜΑΣΟ ΟΣΑΝ ΜΑ ΓΙΝΔΣΑΙ Η ΔΞΙΩΗ ΣΟΤ ΚΤΜΑΣΟ Αληηζηνηρνύκε ηελ εμίζσζε πνπ καο δίλεηαη ζηε γεληθή κνξθή ηεο εμίζσζεο ηνπ θύκαηνο. Αλ ε εμίζσζε πνπ καο δίλεηαη δελ έρεη ηελ θαηάιιειε κνξθή, πξέπεη λα ηε κεηαζρεκαηίζνπκε, ώζηε λα απνθηήζεη ηε κνξθή απηή. ΤΠΟΛΟΓΙΜΟ ΣΗ ΔΞΙΩΗ ΣΟΤ ΚΤΜΑΣΟ ΟΣΑΝ ΜΑ ΓΙΝΟΝΣΑΙ ΣΑ ΥΑΡΑΚΣΗΡΙΣΙΚΑ ΜΔΓΔΘΗ ΣΟΤ ΚΤΜΑΣΟ Από ηα δεδνκέλα ππνινγίδνπκε ην πιάηνο, ηελ πεξίνδν θαη ην κήθνο θύκαηνο θαη ηα αληηθαζηζηνύκε ζηε γεληθή εμίζσζε. ΤΠΟΛΟΓΙΜΟ ΣΗ ΦΑΗ ΟΡΙΜΔΝΟΤ ΗΜΔΙΟΤ ΣΟΤ ΔΛΑΣΙΚΟΤ ΜΔΟΤ Αλ ζηνλ ππνινγηζκό ηεο θάζεο θάπνηνπ ζεκείνπ, πξνθύςεη απηή αξλεηηθή, ηόηε ην θύκα δελ έρεη θηάζεη αθόκε ζην ζεκείν απηό. ΤΜΒΟΛΗ ΚΤΜΑΣΩΝ Έζησ ζε ζεκείν Μ ηνπ ειαζηηθνύ κέζνπ θηάλνπλ δπν θύκαηα από δπν ζύκθσλεο πεγέο. Η νιηθή απνκάθξπλζε ηνπ Μ ηε ρξνληθή ζηηγκή t ζα είλαη ην άζξνηζκα ησλ απνκαθξύλζεσλ πνπ νθείινληαη ζηα δπν θύκαηα ρσξηζηά, δειαδή y=y 1 +y 2 =Aεκ2π(t/T-d 1 /ι)+aεκ2π(t/t-d 2 /ι). Μεηαηξέπνπκε ην άζξνηζκα ζε γηλόκελν κε ηε ζρέζε εκα+εκβ=2ζπλ(α-β)/2εκ(α+β)/2, νπόηε έρνπκε: Δμίζσζε απνκάθξπλζεο ζεκείνπ όπνπ ζπκβάιινπλ δπν θύκαηα από ζύκθσλεο πεγέο Πιάηνο ηαιάλησζεο ζεκείνπ όπνπ ζπκβάιινπλ δπν θύκαηα από ζύκθσλεο πεγέο d t y 2A 2 ( T A' 2A d d ) 2 Α =0 γηα d 2 -d 1 =(2θ+1)ι/2 θ=0,1,2,... Α =2A γηα d 2 -d 1 =θι θ=1,2,... Όηαλ δπν θύκαηα ζπκβάιινπλ, ην πιάηνο ηνπ ζπληζηάκελνπ θύκαηνο ηζνύηαη κε ην δηαλπζκαηηθό άζξνηζκα ησλ πιαηώλ ησλ δπν θπκάησλ. Γηα λα ππνινγίζνπκε ην θύκα πνπ πξνθύπηεη από ηε ζπκβνιή δπν όκνησλ θπκάησλ ρξεζηκνπνηνύκε ηε βαζηθή ηξηγσλνκεηξηθή ζρέζε εκα+εκβ=2ζπλ(α-β)/2εκ(α+β)/2 θαη από ηε ζρέζε πνπ πξνθύπηεη ππνινγίδνπκε ηα ππόινηπα ζηνηρεία ηνπ θύκαηνο. ΣΑΙΜΟ ΚΤΜΑ Δμίζσζε ζηάζηκνπ θύκαηνο Πιάηνο ηαιάλησζεο ζεκείνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο Θέζεηο ησλ δεζκώλ ζην ζηάζηκν θύκα Θέζεηο ησλ θνηιηώλ ζην ζηάζηκν θύκα Απόζηαζε δπν δηαδνρηθώλ δεζκώλ ή δπν δηαδνρηθώλ θνηιηώλ ζην ζηάζηκν θύκα 2x 2t y 2A T 2x A' 2A x=(2θ+1)ι/4 θ=0,1,2,... x=θι/2 θ=0,1,2,... d=ι/2 Γεληθά, όηαλ έλα θύκα πεξλά από έλα κέζν Α ζε έλα κέζν Β ππθλόηεξν ηνπ Α, ηόηε ην αλαθιώκελν θύκα αληηζηξέθεηαη παζαίλνληαο κεηαβνιή θάζεο θαηά π rad, ελώ όηαλ έλα θύκα πεξλά από έλα κέζν Α ζε έλα κέζν Β αξαηόηεξν ηνπ Α, ηόηε ην αλαθιώκελν θύκα δελ αληηζηξέθεηαη. Αλ ην ζηάζηκν θύκα αλαθιάηαη ζην ειεύζεξν άθξν λήκαηνο, ηόηε ζην ζεκείν ηεο αλάθιαζεο ζρεκαηίδεηαη θνηιία, ελώ αλ αλαθιάηαη ζε αθιόλεην ζεκείν, ηόηε ζην ζεκείν ηεο αλάθιαζεο ζρεκαηίδεηαη δεζκόο. [εθηόο ύιεο: Η παξαπάλσ εμίζσζε ηζρύεη όηαλ ε αλάθιαζε γίλεηαη πρ ζην ειεύζεξν άθξν ελόο ζρνηληνύ. Όκσο, όηαλ ε αλάθιαζε γίλεηαη πρ ζην αθιόλεηα ζηεξεσκέλν άθξν ελόο ζρνηληνύ, ηόηε έρνπκε κεηαβνιή ηεο θάζεο ηνπ θύκαηνο θαηά π rad, νπόηε ην πξνο ηα αξηζηεξά θύκα πνπ επηζηξέθεη έρεη εμίζσζε y 2=Aεκ[2π(t/T+x/ι)+π], νπόηε ε εμίζσζε ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο πνπ πξνθύπηεη είλαη ε y=2aεκ(2πx/ι)ζπλ(2πt/σ). Η θύξηα δηαθνξά ησλ εμηζώζεσλ είλαη όηη δίλνπλ δηαθνξεηηθέο ζέζεηο γηα ηνπο δεζκνύο θαη ηηο θνηιίεο ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο.] Σν ζηάζηκν θύκα πξνθύπηεη από ηε ζπκβνιή δπν ζύκθσλσλ θπκάησλ πνπ δηαδίδνληαη κε αληίζεηεο θνξέο.
ΚΥΜΑΤΑ 3 Σν ζηάζηκν θύκα δελ είλαη θύκα, αιιά ηαιάλησζε, όπνπ δπν δηαδνρηθνί δεζκνί ή δπν δηαδνρηθέο θνηιίεο απέρνπλ απόζηαζε d=ι/2. Ο ζρεκαηηζκόο ζηάζηκνπ θύκαηνο ζε έλα ζρνηλί πνπ ην δηεγείξνπκε ηαιαληώλνληαο πρ ην ρέξη καο, είλαη κηα πεξίπησζε ζπληνληζκνύ, όπνπ ν ζπληνληζηήο (ην ζρνηλί) απνξξνθά ελέξγεηα από ηνλ δηεγέξηε (ην ηαιαληνύκελν ρέξη καο). Η ελέξγεηα πνπ δίλεηαη ζε θάζε πεξίνδν ράλεηαη από δηαθόξσλ εηδώλ απνζβέζεηο. Σν κήθνο θύκαηνο ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο, δειαδή ε απόζηαζε κεηαμύ δπν δηαδνρηθώλ δεζκώλ ή δπν δηαδνρηθώλ θνηιηώλ είλαη ι ζη =ι/2. Αλ γλσξίδνπκε ην έλα από ηα δπν ηξέρνληα θύκαηα πνπ δίλνπλ ην ζηάζηκν, ην άιιν ηξέρνλ θύκα είλαη ην αληίζηνηρν όκνηα κε απηό πνπ γλσξίδνπκε, κε κόλε δηαθνξά όηη δηαδίδεηαη κε αληίζεηε θνξά. Έηζη, κε ηε βνήζεηα ηεο ηξηγσλνκεηξηθήο ζρέζεο εκα+εκβ=2ζπλ(α-β)/2εκ(α+β)/2 κπνξνύκε λα βξνύκε ην ζηάζηκν θύκα. Αλ γλσξίδνπκε ηε κνξθή ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο, κε ηε βνήζεηα ηεο ηξηγσλνκεηξηθήο ζρέζεο ζπλαεκβ=1/2[εκ(β+α)+εκ(β-α)] κπνξνύκε λα βξνύκε ηα δπν ηξέρνληα θύκαηα πνπ δεκηνπξγνύλ ην ζηάζηκν θύκα. ΙΓΙΟΣΗΣΔ ΣΑΙΜΟΤ ΚΤΜΑΣΟ ην ζηάζηκν θύκα δελ έρνπκε κεηαθνξά ελέξγεηαο θαη νξκήο (ζπλεπώο ην ζηάζηκν θύκα δελ είλαη θύκα). Κάζε ζσκαηίδην ηνπ ειαζηηθνύ κέζνπ δηαηεξεί ζηαζεξή ηελ ελέξγεηα ηνπ, σο ελέξγεηα ηαιάλησζεο. Σν πιάηνο ηαιάλησζεο είλαη δηαθνξεηηθό (θαη ζηαζεξό) ζε δηάθνξα ζεκεία ηεο επζείαο πνπ ζρεκαηίδεηαη ην ζηάζηκν θύκα. ην ζηάζηκν θύκα δελ έρνπκε κεηαθίλεζε ησλ θάζεσλ. Όια ηα ζεκεία κεηαμύ δπν δηαδνρηθώλ δεζκώλ θηλνύληαη θαηά ηελ ίδηα θνξά, έρνπλ ζε θάζε ρξνληθή ζηηγκή ηελ ίδηα θάζε κεηαμύ ηνπο θαη θηάλνπλ ζπγρξόλσο ζηε ζέζε ηζνξξνπίαο θαη ζηηο ζέζεηο κέγηζηεο απνκάθξπλζεο. Σα ζεκεία πνπ βξίζθνληαη εθαηέξσζελ δεζκνύ θηλνύληαη θαηά ηελ αληίζεηε θνξά θαη έρνπλ ζε θάζε ρξνληθή ζηηγκή αληίζεηε θάζε κεηαμύ ηνπο. Σν κήθνο θύκαηνο ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο, δειαδή ε απόζηαζε κεηαμύ δπν δηαδνρηθώλ δεζκώλ ή δπν δηαδνρηθώλ θνηιηώλ είλαη ι ζηάζηκνπ =ι/2. Η απόζηαζε κεηαμύ ελόο δεζκνύ θαη κηαο θνηιίαο είλαη ίζε κε ι/4. ΓΙΑΦΟΡΔ ΣΑΙΜΟΤ - ΣΡΔΥΟΝΣΟ ΚΤΜΑΣΟ Σξέρνλ Έρνπκε κεηαθνξά ελέξγεηαο θαη νξκήο Όια ηα κόξηα ηνπ ειαζηηθνύ κέζνπ ηαιαληώλνληαη κε ην ίδην πιάηνο ηάζηκν Γελ έρνπκε κεηαθνξά ελέξγεηαο θαη νξκήο Σν πιάηνο ηαιάλησζεο ησλ κνξίσλ ηνπ ειαζηηθνύ κέζνπ εμαξηάηαη από ηε ζέζε ηνπο θαη θπκαίλεηαη από 0 ζην δεζκό έσο 2A ζηε θνηιία Γελ έρεη δηεύζπλζε δηάδνζεο Τπάξρνπλ ζεκεία ηνπ ειαζηηθνύ κέζνπ πνπ παξακέλνπλ αθίλεηα Η θάζε δελ κεηαηνπίδεηαη Έρεη νξηζκέλε δηεύζπλζε δηάδνζεο Όια ηα ζεκεία ηνπ ειαζηηθνύ κέζνπ ηαιαληώλνληαη Η θάζε κεηαηνπίδεηαη κε ηελ ηαρύηεηα δηάδνζεο ηνπ θύκαηνο Σα πιηθά ζεκεία ηνπ ειαζηηθνύ κέζνπ πεξλνύλ από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ζε δηαθνξεηηθέο ρξνληθέο ζηηγκέο Μήθνο θύκαηνο: ι Μήθνο θύκαηνο: ι/2 Γπν ζεκεία ηνπ ειαζηηθνύ κέζνπ πνπ απέρνπλ απόζηαζε κηθξόηεξε από ι έρνπλ δηαθνξά θάζεο πνπ θπκαίλεηαη από 0 σο 2π Σα πιηθά ζεκεία ηνπ ειαζηηθνύ κέζνπ πεξλνύλ ηαπηόρξνλα από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο Γπν ζεκεία ηνπ ειαζηηθνύ κέζνπ πνπ απέρνπλ απόζηαζε κηθξόηεξε από ι/2 έ- ρνπλ ηελ ίδηα θάζε αλ βξίζθνληαη αλάκεζα ζε δηαδνρηθνύο δεζκνύο, ελώ έρνπλ δηαθνξά θάζεο π αλ βξίζθνληαη εθαηέξσζελ δεζκνύ ΗΛΔΚΣΡΟΜΑΓΝΗΣΙΚΟ ΚΤΜΑ
ΚΥΜΑΤΑ 4 Δμηζώζεηο ειεθηξνκαγλεηηθνύ θύκαηνο E Eo2 ( ) T B Bo2 ( ) T Σα κέηξα ηεο καγλεηηθήο επαγσγήο B ηνπ καγλεηηθνύ πεδίνπ θαη ηεο έληαζεο E ηνπ ειεθηξηθνύ πεδίνπ ζπλδένληαη πάληνηε κε ηε ζρέζε Δ/Β=Δ ν /Β ν =c όπνπ c=3.10 8 m/s ε ηαρύηεηα ηνπ θσηόο. ΔΝΣΑΗ ΚΤΜΑΣΟ Η έληαζε ηνπ θύκαηνο εμαξηάηαη από: ηελ απόζηαζε ηνπ ζεκείνπ από ηελ πεγή, θαη από ην πιάηνο, ηε ζπρλόηεηα θαη ηελ ηαρύηεηα ηνπ θύκαηνο θαη από ηελ ππθλόηεηα ηνπ κέζνπ. Έληαζε θύκαηνο I=W/(ΓSΓt)=P/ΓS ρέζε κεηαμύ έληαζεο θαη απόζηαζεο ζηα θύκαηα ρώξνπ Ι 1 /Ι 2 =R 2 ²/R 1 ² ρέζε κεηαμύ έληαζεο, πιάηνπο A, ζπρλόηεηαο f, ηαρύηεηαο u θαη ππθλόηεηαο ξ ηνπ Ι=2π²f²A²ξu ειαζηηθνύ κέζνπ (απόδεημε: Έζησ ζσκαηίδην κάδαο m πνπ εθηειεί Α.Α.Σ. πιάηνπο A θαη ζπρλόηεηαο f. Η νιηθή ελέξγεηα ηαιάλησζεο ηνπ ζσκαηηδίνπ είλαη W=1/2mu ν², δει. W=2π²mf²A². Αλ έρνπκε N ζσκαηίδηα αλά κνλάδα όγθνπ ηνπ ειαζηηθνύ κέζνπ, ηόηε ε νιηθή ελέξγεηα ηαιάλησζεο w ζηε κνλάδα ηνπ όγθνπ ζα είλαη w=n2π²mf²a²=2π²ξf²a², όπνπ ξ=nm ε ππθλόηεηα ηνπ ειαζηηθνύ κέζνπ. Έζησ επηθάλεηα ΓS θάζεηε ζηε δηεύζπλζε δηάδνζεο ηνπ θύκαηνο. ε ρξόλν Γt ην θύκα πνπ πεξλά από ηελ επηθάλεηα απηή εθηείλεηαη ζε όγθν ΓV=uΓSΓt. Η ελέξγεηα W πνπ αληηζηνηρεί ζηνλ όγθν ΓV είλαη απηή πνπ δηέξρεηαη από ηελ επηθάλεηα εκβαδνύ ΓS ζην ρξόλν Γt. Αξα ζα είλαη W=wΓV=2π²ξf²A²uΓSΓt, νπόηε W/ΓSΓt=2π²f²A²ξu, νπόηε ζα είλαη Ι=2π²f²A²ξu.] ΑΚΗΔΙ ΜΗΥΑΝΙΚΟ ή ΔΛΑΣΙΚΟ ΚΤΜΑ 1. Η εμίζσζε ελόο γξακκηθνύ αξκνληθνύ θύκαηνο είλαη y=5εκ(2πt-πx/4) (y ζε cm, x ζε m θαη t ζε s). Να βξεζνύλ: α) ην πιάηνο ηνπ θύκαηνο β) ε ζπρλόηεηα θαη ε πεξίνδνο ηνπ θύκαηνο γ) ε ηαρύηεηα ηνπ θύκαηνο, θαη δ) ην κήθνο θύκαηνο ηνπ θύκαηνο. (Απ.: 5 1 1 8 8) 2. Δγθάξζην θύκα αξρίδεη λα δηαδίδεηαη από ζεκείν Α ειαζηηθνύ κέζνπ ηε ρξνληθή ζηηγκή t=0 κε ηαρύηεηα u=3m/s, πιάηνο A=10cm θαη ζπρλόηεηα f=0,25hz. Να βξεζνύλ: α) ην κήθνο θύκαηνο β) Πνηα ρξνληθή ζηηγκή αξρίδεη λα θηλείηαη έλα ζεκείν Μ ηνπ ειαζηηθνύ κέζνπ, πνπ απέρεη από ην Α απόζηαζε ΑΜ=12m θαη πόζε είλαη ε απνκάθξπλζε ηνπ ηε ρξνληθή ζηηγκή t 2=50s. (Απ.: 12 4 0) 3. Αξκνληθό γξακκηθό θύκα δηαδίδεηαη θαηά ηνλ άμνλα x. Να βξεζεί ε θάζε ελόο ζεκείνπ Μ πνπ απέρεη από ηελ πεγή ηνπ θύκαηνο απόζηαζε α) x=7ι/2 θαη β) x=8ι, ηε ρξνληθή ζηηγκή t=4σ. Ση ζπκπεξαίλνπκε γηα ην δεύηεξν ζεκείν; (Απ.: π -8π) 4. Δλα αξκνληθό θύκα δηαδίδεηαη θαηά κήθνο γξακκηθνύ ειαζηηθνύ κέζνπ κε ηαρύηεηα δηάδνζεο u=1m/s. Αλ ε εμίζσζε ηεο ηαιάλησζεο ηεο πεγήο είλαη y=5εκ20πt (y ζε cm θαη t ζε s), λα βξεζνύλ: α) ε ρξνληθή ζηηγκή t 1 πνπ ζα αξρίζεη λα θηλείηαη έλα ζεκείν Μ ηνπ κέζνπ πνπ απέρεη από ηελ πεγή απόζηαζε x 1=5m θαη β) ε απνκάθξπλζε από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ ζεκείνπ Μ ηε ρξνληθή ζηηγκή t 2=6,775s. (Απ.: 5-5) 5. Η εμίζσζε ελόο γξακκηθνύ αξκνληθνύ θύκαηνο είλαη y=-10εκ2π(10x-5t) (y ζε cm, x ζε m θαη t ζε s). Να βξεζνύλ: α) ε ηαρύηεηα u ηνπ θύκαηνο β) ε απόζηαζε δπν ζεκείσλ πνπ παξνπζηάδνπλ δηαθνξά θάζεο Γθ=3π/4rad γ) ε δηαθνξά θάζεο ελόο ζεκείνπ ηηο ρξνληθέο ζηηγκέο t 1=5s θαη t 2=8s. (Απ.: 0,5 3/80 30π) 6. Δγθάξζην θύκα δηαδίδεηαη θαηά ηε ζεηηθή θνξά ηνπ άμνλα ησλ x κε ηαρύηεηα u=3m/s. Η δηάδνζε αξρίδεη ηε ζηηγκή t=0 ζηε ζέζε x=0. Η πεξίνδνο ηεο πεγήο είλαη T=4s θαη ην πιάηνο ηαιάλησζεο ησλ κνξίσλ ηνπ ειαζηηθνύ κέζνπ είλαη A=50cm. Να βξεζνύλ: α) ε εμίζσζε ηνπ θύκαηνο, β) ε ρξνληθή ζηηγκή ζηελ νπνία αξρίδεη λα ηαιαληώλεηαη ζεκείν ζηε ζέζε x=120m θαη γ) ε απνκάθξπλζε ηνπ ζεκείνπ απηνύ ηε ρξνληθή ζηηγκή 43s. (Απ.: 40-0,5) 7. Δγθάξζην θύκα δηαδίδεηαη θαηά ηε ζεηηθή θνξά ηνπ άμνλα ησλ x. Η δηάδνζε αξρίδεη ηε ζηηγκή t=0 ζηε ζέζε x=0. Σε ρξνληθή ζηηγκή t=t/6s ε απνκάθξπλζε ζεκείνπ ειαζηηθνύ κέζνπ ζηε ζέζε x=4m είλαη ίζε κε ην κηζό ηνπ πιάηνπο ηαιάλησζεο ηνπ. Να βξεζεί ην κήθνο θύκαηνο ι. (Απ.: 48) 8. ηελ ήξεκε επηθάλεηα λεξνύ ξίρλνπκε θαηαθόξπθα 80 ζηαγόλεο/min κε ζηαζεξό ξπζκό. Γεκηνπξγνύληαη έηζη επηθαλεηαθά θύκαηα. Να βξεζεί ε ηαρύηεηα δηάδνζεο ησλ θπκάησλ, αλ δπν δηαδνρηθέο θνηιίεο απέρνπλ κεηαμύ ηνπο απόζηαζε ίζε κε 45cm. (Απ.: 0,6) 9. Καηά κήθνο κηαο επζείαο δηαδίδεηαη θύκα κε κήθνο θύκαηνο ι=3m. Σε ρξνληθή ζηηγκή t δπν ζεκεία Α θαη Β ηνπ κέζνπ έρνπλ θάζεηο θ 1=π/3 θαη θ 2=3π/2 αληίζηνηρα. Να βξεζνύλ: α) ε θνξά δηάδνζεο ηνπ θύκαηνο, θαη β) ε απόζηαζε ΑΒ. (Απ.: ΒΑ 7/4) 10. Η εμίζσζε ελόο γξακκηθνύ αξκνληθνύ θύκαηνο είλαη y=10εκ2π(10t-5x) (y ζε cm, x ζε m θαη t ζε s). Δλα ζεκείν Μ απέρεη απόζηαζε x=10m από ηελ πεγή ηνπ θύκαηνο. Να βξεζεί ζε πνηεο ρξνληθέο ζηηγκέο ε απνκάθξπλζε ηνπ Μ από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ ζα είλαη y=53cm. (Απ.:0,1(k+301/6), k=0,1,2,... 0,1(k+151/3), k=0,1,2,...) 11. Η εμίζσζε ελόο γξακκηθνύ αξκνληθνύ θύκαηνο είλαη y=10εκ2π(5t-2x) (y ζε cm, x ζε m θαη t ζε s). Να βξεζεί πόζν απέρεη από ηελ πεγή ησλ θπκάησλ έλα ζεκείν Μ ηνπ κέζνπ, ην νπνίν ηε ρξνληθή ζηηγκή t=0,5s έρεη απνκάθξπλζε από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ y=52cm. (Απ.: 19/16 11/16 3/16 17/16 9/16 1/16) 12. Δλα εγθάξζην γξακκηθό ειαζηηθό θύκα κε ζπρλόηεηα f=10hz θαη πιάηνο A=1cm δηαδίδεηαη θαηά κήθνο επζείαο x'x κε ηαρύηεηα u=1m/s πξνο ηα δεμηά. Αλ ην θύκα ηε ρξνληθή ζηηγκή t=0 βξίζθεηαη ζηε ζέζε Ο, λα βξεζεί ε απνκάθξπλζε ζεκείνπ Α πνπ βξίζθεηαη αξηζηεξά ηνπ Ο ζε απόζηαζε d=25cm, ηε ρξνληθή ζηηγκή t 1=1,225s. (Απ.: -1) 13. Δγθάξζην εκηηνλνεηδέο θύκα δηαδίδεηαη κε ηαρύηεηα u=100m/s πξνο ηε ζεηηθή δηεύζπλζε ηνπ άμνλα x, κε πιάηνο 20cm θαη ζπρλόηεηα 50Hz. Αλ ηε ρξνληθή ζηηγκή t=0 ε απνκάθξπλζε ηνπ ζεκείνπ ζηε ζέζε x=0 (πεγή) είλαη y=+0,2m, λα βξεζνύλ: α) ε εμίζσζε ηνπ θύκαηνο, θαη β) νη κέγηζηεο ηηκέο ηεο εγθάξζηαο ηαρύηεηαο θαη ηεο εγθάξζηαο επηηάρπλζεο ελόο ηπραίνπ ζεκείνπ ηνπ άμνλα x. (Απ.: y=0,2εκ2π(50t-0,5x+0,25) 20π 2000π²)
ΚΥΜΑΤΑ 5 ΤΜΒΟΛΗ ΚΤΜΑΣΩΝ 14. ε ζεκείν Μ ελόο ειαζηηθνύ κέζνπ θηάλνπλ δπν επηθαλεηαθά θύκαηα πνπ έρνπλ ην ίδην πιάηνο A=5cm θαη ηελ ίδηα πεξίνδν Σ=6s. Σν πξώην θηάλεη από ηελ πεγή Π 1 ζε ρξόλν t 1=2s θαη ην δεύηεξν από ηελ πεγή Π 2 ζε ρξόλν t 2=7s. Να βξεζεί ε απνκάθξπλζε ηνπ ζεκείνπ Μ ηε ρξνληθή ζηηγκή t=10s. (Απ.: 53/2) 15. Γπν ζύγρξνλεο πεγέο εγθάξζησλ θπκάησλ Ο 1 θαη Ο 2 δεκηνπξγνύλ ζηελ επηθάλεηα πγξνύ πνπ αξρηθά εξεκεί αξκνληθά θύκαηα ζπρλόηεηαο f=5hz θαη πιάηνπο A=5mm. Σα θύκαηα δηαδίδνληαη κε ηαρύηεηα u=40cm/s ρσξίο λα ππάξρνπλ απώιεηεο ελέξγεηαο. Δλα ζεκείν Μ ηεο επηθάλεηαο ηνπ πγξνύ απέρεη από ηηο δπν πεγέο απνζηάζεηο d 1=31cm θαη d 2=33cm αληίζηνηρα. Θεσξνύκε t=0 ηε ζηηγκή πνπ νη δπν πεγέο έρνπλ y=0 θαη u>0. Να βξεζνύλ: α) ε εμίζσζε ηεο απνκάθξπλζεο ηεο ζπληζηακέλεο ηαιάλησζεο ζην ζεκείν Μ ζε ζπλάξηεζε κε ην ρξόλν β) ε ρξνληθή ζηηγκή ζηελ νπνία ε απνκάθξπλζε ηνπ ζεκείνπ Μ ζα είλαη y=0 γηα πξώηε θνξά από ηε ζηηγκή πνπ αξρίδεη ε ηαιάλησζε ηνπ. (Απ.: 0,0052εκ10πt 0,9) ΣΑΙΜΟ ΚΤΜΑ 16. ε έλα ζηάζηκν θύκα ηα κόξηα ηνπ κέζνπ ηαιαληώλνληαη κε ζπρλόηεηα f=4hz. Γπν δηαδνρηθέο θνηιίεο απέρνπλ απόζηαζε l=40cm ελώ ην κέγηζην πιάηνο ζηελ θνηιία ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο είλαη Α=10cm. Να βξεζνύλ: α) νη εμηζώζεηο ησλ δπν θπκάησλ πνπ δεκηνπξγνύλ ην ζηάζηκν θύκα, θαη β) ε εμίζσζε ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο. (Απ.: y 1=5εκ2π(4t-x/80) y 2=5εκ2π(4t+x/80) y=10ζπλπρ/40εκ8πt) 17. Γίλεηαη ε εμίζσζε ελόο ζηάζηκνπ θύκαηνο: y=20ζπλπx/3εκ20πt (ην x ζε cm θαη ην t ζε s). Να βξεζνύλ: α) ην πιάηνο, ε ζπρλόηεηα θαη ε ηαρύηεηα ησλ θπκάησλ πνπ από ηε ζπκβνιή ηνπο πξνέθπςε ην ζηάζηκν θύκα β) ε απόζηαζε δπν δηαδνρηθώλ θνηιηώλ, θαη γ) ην κήθνο ι ζη ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο. (Απ.: 10 10 60 3 3) 18. Μηα ρνξδή ηαιαληώλεηαη ζύκθσλα κε ηελ εμίζσζε y=10ζπλ2πx/3εκ50πt (x,y ζε cm, t ζε s). Να βξεζνύλ: α) ην πιάηνο θαη ε ηαρύηεηα ησλ θπκάησλ πνπ ε ζπκβνιή ηνπο κπνξεί λα δώζεη απηήλ ηελ εμίζσζε β) ε απόζηαζε d κεηαμύ δπν δηαδνρηθώλ αθίλεησλ ζεκείσλ ηεο ρνξδήο γ) ε ηαρύηεηα πνπ έρεη έλα ζεκείν ηεο ρνξδήο ηε ρξνληθή ζηηγκή t=4,9s όηαλ x=3cm. (Απ.: 5 75 1,5 500π) 19. Γπν θύκαηα πιάηνπο A θαη ζπρλόηεηαο f=100hz ην θαζέλα, δηαδίδνληαη ζε γξακκηθό ειαζηηθό κέζν κε ηαρύηεηα u=120cm/s κε αληίζεηεο θνξέο. Δλα ζεκείν Α ηνπ ζηάζηκνπ θύκαηνο πνπ δεκηνπξγείηαη έρεη πιάηνο ηαιάλησζεο A. Να βξεζεί ε απόζηαζε ηνπ ζεκείνπ Α από ηνλ πιεζηέζηεξν ζε απηό δεζκό. (Απ.: ±0,1) 20. Γπν εγθάξζηα θύκαηα k 1 θαη k 2 κε πιάηνο ηαιάλησζεο A=5cm, ζπρλόηεηα f=10hz θαη κήθνο θύκαηνο ι=10cm δηαδίδνληαη πάλσ ζε άμνλα Οx. Σν k 1 μεθηλά από ην Ο ηε ρξνληθή ζηηγκή t=0 θαη ην k 2 ηελ ίδηα ζηηγκή από ζεκείν Α, όπνπ ΟΑ=d=20cm. Να γξαθεί ε εμίζσζε ηνπ θύκαηνο πνπ πξνθύπηεη από ηε ζπκβνιή ησλ θπκάησλ, γηα ηα ζεκεία ηνπ άμνλα Οx πνπ βξίζθνληαη αλάκεζα ζηα Ο θαη Α. Να βξεζεί ε απνκάθξπλζε από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ελόο ζεκείνπ πνπ απέρεη από ην Ο x=8,75cm, ηε ρξνληθή ζηηγκή t=37/60s. (Απ.: y=2aζπλ2π(d/2ι-x/ι)εκ2π(t/σ-d/2ι) 106/4) 21. Γπν αξκνληθά θύκαηα πνπ ζπκβάιινπλ πάλσ ζε έλα λήκα, πεξηγξάθνληαη από ηηο ζρέζεηο y 1=0,4εκπ(0,6t+x) θαη y 2=0,4εκπ(0,6t-x) (SI). Να βξεζνύλ: α) ε κέγηζηε απνκάθξπλζε y ζηα ζεκεία x=0,25m θαη x=0,5m, θαη β) νη ηξεηο κηθξόηεξεο ηηκέο ηνπ x πνπ αληηζηνηρνύλ ζε θνηιίεο θαη νη ηξεηο κηθξόηεξεο ηηκέο ηνπ x πνπ αληηζηνηρνύλ ζε δεζκνύο. (Απ.: 0,42 0 0 1 2 0,5 1,5 2,5) ΗΛΔΚΣΡΟΜΑΓΝΗΣΙΚΟ ΚΤΜΑ 22. Δπίπεδν ειεθηξνκαγλεηηθό θύκα έρεη πιάηνο ειεθηξηθνύ πεδίνπ E ν=300n/c θαη ζπρλόηεηα f=10 14 Hz. Να γξαθνύλ νη εμηζώζεηο ησλ E θαη B πνπ πεξηγξάθνπλ ην ειεθηξνκαγλεηηθό θύκα. Γίλεηαη c=3.10 8 m/s. 23. Πεγή ειεθηξνκαγλεηηθώλ θπκάησλ εθπέκπεη θύκαηα κήθνπο θύκαηνο ι, πνπ αληρλεύνληαη από θαηαθόξπθε θεξαία, ε νπνία είλαη ζπλδεκέλε κε θαηάιιειν όξγαλν πνπ δίλεη ελδείμεηο γηα ηελ έληαζε ηεο ειεθηξνκαγλεηηθήο αθηηλνβνιίαο πνπ απνξξνθά ε θεξαία. Πίζσ από ηελ θεξαία ηνπνζεηνύκε κεηαιιηθή επηθάλεηα, κε ην επίπεδν ηεο θάζεην ζην επίπεδν θεξαίαο - πεγήο. Η κεηαιιηθή επηθάλεηα αλαθιά ηα ειεθηξνκαγλεηηθά θύκαηα. Καζώο απνκαθξύλνπκε αξγά ηε κεηαιιηθή επηθάλεηα από ηελ θεξαία, ην όξγαλν δίλεη δηαδνρηθέο ελδείμεηο κέγηζηεο θαη ειάρηζηεο έληαζεο, εμαηηίαο ησλ ζηάζηκσλ θπκάησλ πνπ δεκηνπξγνύληαη. Να βξεζεί ε ζπρλόηεηα ηνπ ειεθηξνκαγλεηηθνύ θύκαηνο, αλ ε κεηαιιηθή επηθάλεηα πξέπεη λα κεηαθηλεζεί θαηά d=1,5cm, ώζηε λα έρνπκε δπν δηαδνρηθέο ελδείμεηο κέγηζηεο έληαζεο. Γίλεηαη c=3.10 8 m/s. (Απ.: 10 10 ) 24. Δλα ειεθηξνκαγλεηηθό θύκα δηαδίδεηαη θαηά κήθνο ηνπ ζεηηθνύ εκηάμνλα Οx ελόο ηξηζνξζνγώληνπ ζπζηήκαηνο αμόλσλ Οxyz. Σν καγλεηηθό πεδίν ηνπ θύκαηνο έρεη ηε δηεύζπλζε ηνπ άμνλα ησλ z θαη ε καγλεηηθή επαγσγή ηνπ πεδίνπ απηνύ ζηελ αξρή Ο ησλ αμόλσλ δίλεηαη από ηελ εμίζσζε B z=5.10-3 εκ2000πt (S.I.). α) Να πξνζδηνξηζηεί ε δηεύζπλζε ηνπ ειεθηξηθνύ πεδίνπ ηνπ θύκαηνο θαη λα γξαθεί ε εμίζσζε ηεο έληαζεο ηνπ ειεθηξηθνύ πεδίνπ ζε έλα ηπραίν ζεκείν ηνπ άμνλα Οx. β) Πνηα είλαη ε κέγηζηε ειεθηξηθή δύλακε πνπ αζθείηαη ζε έλα ζεκεηαθό ειεθηξηθό θνξηίν q=0,026κc πνπ βξίζθεηαη ζε θάπνην ζεκείν ηνπ άμνλα Ox; γ) Πνηα είλαη ε κέγηζηε δύλακε Laplace πνπ αζθείηαη ζε έλα ζεκεηαθό ειεθηξηθό θνξηίν q=1cb πνπ θηλείηαη θαηά κήθνο ηνπ άμνλα Ox κε ηαρύηεηα u=3.10 4 m/s; Γίλεηαη c=3.10 8 m/s, Δ/B=c. (Απ.: 1,5.10 6 εκ2π(1000t-10-5 x/3) 0,039 150) ΔΝΣΑΗ ΚΤΜΑΣΟ 25. εκεηαθή πεγή ηζρύνο εμόδνπ P=100W εθπέκπεη ζθαηξηθά θύκαηα. Να βξεζεί ε έληαζε ησλ θπκάησλ ζε απόζηαζε R=4m από ηελ πεγή. (Απ.: 0,4976) 26. εκεηαθή πεγή εθπέκπεη ζθαηξηθά θύκαηα. Να ζπγθξηζνύλ νη εληάζεηο αλάκεζα ζε δπν ζεκεία πνπ απέρνπλ 50cm θαη 100cm αληίζηνηρα από ηελ πεγή. (Απ.: 4/1) 27. Πνκπόο ξαδηνθσληθνύ ζηαζκνύ εθπέκπεη ηζρύ P=40W νκνηόκνξθα πξνο όιεο ηηο δηεπζύλζεηο. Να βξεζνύλ: α) ζε πνηα απόζηαζε από ηνλ πνκπό ε έληαζε γίλεηαη ίζε κε ην έλα ηέηαξην ηεο έληαζεο ζε απόζηαζε R=1km από ηνλ πνκπό, θαη β) ζε ηη πνζνζηό πξέπεη λα απμεζεί ε εθπεκπόκελε ηζρύο ώζηε λα ηεηξαπιαζηαζηεί ε έληαζε ζηελ απόζηαζε απηή. (Απ.: 2 300%) 28. Πνκπόο ξαδηνθσληθνύ ζηαζκνύ εθπέκπεη ηζρύ P=40πW νκνηόκνξθα πξνο όιεο ηηο δηεπζύλζεηο. Να βξεζνύλ: α) ε έληαζε ηνπ θύκαηνο ζε απόζηαζε R=5km, θαη β) ην πιάηνο ηεο έληαζεο ηνπ ειεθηξηθνύ πεδίνπ ζηηο απνζηάζεηο R 1=10km θαη R 2=15km αλ ην πιάηνο ζηελ απόζηαζε R είλαη E ν. (Απ.: 4.10-7 E ν/2 E ν/3)