ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Ακολουθίες. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα.



Σχετικά έγγραφα
Φυλλάδιο 1 - Σημεία Προσοχής στις Παραγράφους 1.1, 1.2 και 1.3

Παρατήρηση. 1. Το άθροισμα των διανυσμάτων και είναι ανεξάρτητο από το σημείο. 2. Το άθροισμα των διανυσμάτων και μπορεί να βρεθεί να βρεθεί και με

Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση.

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη;

Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

2. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 και του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες, όταν αντιστραφούν τα ψηφία τους; Γ. Αν, Δ. Αν, τότε. τότε.

2.6 ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου

1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη;

Chess Academy Free Lessons Ακαδημία Σκάκι Δωρεάν Μαθήματα. Οι κινήσεις των κομματιών Σκοπός της παρτίδας, το Ματ Πατ Επιμέλεια: Γιάννης Κατσίρης

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή

Αγαπητοί μαθητές, Κάθε κεφάλαιο περιέχει :

2.5 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. 1. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ.Σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις να βρείτε το άθροισμα

Φυσική Β Λυκείου Γενικής

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΣΥΝΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΥΝΑΜΕΩΝ

Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΣΤΟΧΟΙ: Με τη συμπλήρωση του στόχου αυτού θα μπορείτε να: Σχεδιάζετε τρίγωνα, τετράπλευρα και πολύγωνα.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Κ ε φ. 1 Κ Ι Ν Η Σ Ε Ι Σ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

Chess Academy Free Lessons Ακαδημία Σκάκι Δωρεάν Μαθήματα. Ματ με δύο βαριά κομμάτια Ματ με Βασίλισσα Επιμέλεια: Γιάννης Κατσίρης

ΔΥΝΑΜΗ, ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ NEWTON

Μαθηματική Εισαγωγή - Διανύσματα 25/7/2014

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Φυσική γενικής παιδείας

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

Κεφ.3 Δυνάμεις ΓΕΝΙΚΑ. Τα σώματα κινούνται (κεφ.2) και αλληλεπιδρούν. (κεφ.3)

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής κατεύθυνσης Διανύσματα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ

ΜΕΡΟΣ Β 1.4 ΟΜΟΙΟΘΕΣΙΑ ΟΜΟΙΟΘΕΣΙΑ

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ. Γεωμετρικά σχήματα - Η περίμετρος. Ενότητα 8. β τεύχος

Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος.

1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1.

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ

kg(χιλιόγραμμο) s(δευτερόλεπτο) Ένταση ηλεκτρικού πεδίου Α(Αμπέρ) Ένταση φωτεινής πηγής cd (καντέλα) Ποσότητα χημικής ουσίας mole(μόλ)

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

Σημειώσεις Μαθηματικών 1

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο 1ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ 2018 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ. Κινητική του υλικού σηµείου Ερωτήσεις Ασκήσεις

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης

ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd stvrentzou@gmail.com

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

Μονάδες 5,5 γ) Αν τα διανύσματα a, είναι μη μηδενικά και θ είναι η γωνία των a. λ 0. Για ποια από τις παρακάτω τιμές του λ τα διανύσματα a.

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Ονοματεπώνυμο:.. Ημερομηνία:..

Η ΚΙΝΗΣΗ ΣΩΜΑΤΙΟ Ή ΥΛΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ Ή ΣΗΜΕΙΑΚΟ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ

ΦΥΣΙΚΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Γ. Β Α Λ Α Τ Σ Ο Σ. 4ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΑΜΙΑΣ 1. Γιώργος Βαλατσός Φυσικός Msc

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

Διανύσματα ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 6. Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης. Ασκήσεις προς λύση Παράλληλα διανύσµατα. Οµόρροπα διανύσµατα.


Ενότητα: Τετράπλευρα (Ιδιότητες Ταξινόμηση) Keywords: parallelogram, rectangular, rhombus, square, diagonals, height.

Ερωτήσεις: 1. Να αναγνωρίσετε και να ονομάσετε γεωμετρικά σχήματα στα παραπάνω στερεά.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες.

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ. 1. Β.2 Ο ωροδείκτης και ο λεπτοδείκτης ξεκινούν μαζί στις 12:00.

ΣΧΗΜΑΤΑ-ΓΡΑΜΜΕΣ-ΜΕΤΡΗΣΗ Μιχάλης Χριστοφορίδης Ανδρέας Σάββα Σύμβουλοι Μαθηματικών

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΑΝΔΡΕΑ ΕΜΠΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΙΟΥΝΙΟΥ ΧΡΟΝΟΣ : 2 Ώρες Υπογραφή :

1.1 Η Έννοια του Διανύσματος

Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ

Κανονικά πολύγωνα Τουρναβίτης Στέργιος

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό.

GI_V_FYSP_0_3772. ο οδηγός του φρενάρει οπότε το αυτοκίνητο διανύει διάστημα d

β = (9, x) να είναι ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ...Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΣΗΣ...

Θέµατα Καγκουρό 2007 Επίπεδο: 4 (για µαθητές της Γ' τάξης Γυµνασίου και Α' τάξης Λυκείου)

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

Διαίρεση ευθυγράμμου τμήματος σε ν ίσα τμήματα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Να υπολογίζουμε τη λύση ή ρίζα ενός πολυωνύμου της μορφής. Να υπολογίζουμε τη ν-οστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού.

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ

Επιπρόσθετα για την δύναμη. Από το βιβλίο «Concepts in Physics CRM Books Del Mar California Επιλογή μόνον για την εκπαίδευση των φοιτητών

ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΘΕΩΡΙΑ

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η

Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12

Transcript:

Ακολουθίες ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα. Να ορίζουμε τις σχέσεις μεταξύ διανυσμάτων (παράλληλα, ομόρροπα, αντίρροπα, ίσα και αντίθετα διανύσματα). Να προσθέτουμε και να αφαιρούμε διανύσματα. NAP 1

Η Έννοια του Διανύσματος Διερεύνηση (1) Το παιχνίδι του σκακιού παίζεται μεταξύ δύο αντιπάλων που κινούν εναλλάξ τα κομμάτια τους πάνω σε µια τετράγωνη επιφάνεια που λέγεται "σκακιέρα. Ο παίκτης µε τα λευκά κομμάτια αρχίζει το παιχνίδι. Ο αντικειμενικός σκοπός (στόχος) κάθε παίκτη είναι να «επιτεθεί» στον Βασιλιά του αντιπάλου του µε τέτοιο τρόπο, ώστε ο αντίπαλος να µην έχει κίνηση. Στο ξεκίνημα του παιχνιδιού ο ένας παίκτης έχει 16 ανοιχτόχρωμα κομμάτια (τα «λευκά κομμάτια») και ο άλλος έχει 16 σκουρόχρωμα κομμάτια (τα «µαύρα» κομμάτια). ΚΟΜΜΑΤΙΑ ΣΥΜΒΟΛΟ ΑΡΧΙΚΗ ΔΙΑΤΑΞΗ ΣΤΗ ΣΚΑΚΙΕΡΑ Βασιλιάς Βασίλισσα Πύργος Αξιωματικός Άλογο Πιόνι Το κάθε κομμάτι μπορεί να κινηθεί σε μια νέα θέση σύμφωνα με συγκεκριμένους κανόνες (κανονικές κινήσεις) που διέπουν το σκάκι. Στα πιο κάτω σχήματα φαίνονται ο τρόπος που κινούνται η βασίλισσα, ο πύργος, το άλογο και ο αξιωματικός. NAP 2

Η βασίλισσα κινείται σε οποιοδήποτε τετράγωνο οριζόντια, κατακόρυφα και διαγώνια, ο πύργος κινείται σε οποιοδήποτε τετράγωνο οριζόντια και κατακόρυφα, ο αξιωματικός κινείται σε οποιοδήποτε τετράγωνο διαγώνια και το άλογο κινείται σε ένα από τα πλησιέστερα τετράγωνα από αυτό που βρίσκεται, αλλά όχι στην ίδια οριζόντια ή κατακόρυφη ή διαγώνιο. Στη σκακιέρα να τοποθετήσετε μια βασίλισσα στη θέση ( ) και να περιγράψετε την κίνηση της βασίλισσας σε τρεις διαφορετικές θέσεις. Στη σκακιέρα να τοποθετήσετε ένα άλογο στη θέση ( ) και να περιγράψετε την κίνηση του πύργου σε τρεις διαφορετικές θέσεις. Στην σκακιέρα να τοποθετήσετε ένα πύργο στη θέση ( ) και να περιγράψετε την κίνηση του πύργου σε τρεις διαφορετικές θέσεις. Στη σκακιέρα να τοποθετήσετε ένα αξιωματικό στη θέση ( ) και να περιγράψετε την κίνηση του αξιωματικού σε τρεις διαφορετικές θέσεις. Δ NAP 3

Διερεύνηση (2) Να χρησιμοποιήσετε το ψηφιακό εκπαιδευτικό περιεχόμενο «ΛΤ_ΜΑΘ_Β_ΨΕΠ13_Έννοιες διανυσμάτων και πράξεις με διανύσματα_1.1» Να επιλέξετε το εικονίδιο «Εκκίνηση», για να αρχίσει το αυτοκίνητο να κινείται με ορισμένη ταχύτητα και προς ορισμένη κατεύθυνση. Με το εικονίδιο «Εκκίνηση» μπορείτε να σταματήσετε το αυτοκίνητο. Με το δρομέα «Μέτρο» μεταβάλλεται τη ταχύτητα με την οποία κινείται το αυτοκίνητο και με το δρομέα «Διεύθυνση» περιστρέφεται το αυτοκίνητο και καθορίζεται τη πορεία που θα ακολουθήσει. Να επιλέξετε τα εικονίδια, «Τοίχος» και «Βαρέλι» και να οδηγήσετε το αυτοκίνητο ώστε να συγκρουστεί με το βαρέλι, αποφεύγοντας τους τοίχους. Να περιγράψετε την κίνηση του αυτοκινήτου σε κάθε περίπτωση. Μαθαίνω Μονόμετρο μέγεθος λέγεται κάθε μέγεθος που χαρακτηρίζεται μόνο από το μέτρο του. Για παράδειγμα, το μήκος, η μάζα, η θερμοκρασία είναι μονόμετρα μεγέθη. Διανυσματικό μέγεθος λέγεται κάθε μέγεθος που έχει μέτρο και κατεύθυνση. Για παράδειγμα, η ταχύτητα είναι διανυσματικό μέγεθος. Τα διανυσματικά μεγέθη παριστάνονται με διανύσματα τα οποία συμβολίζονται με βέλη έχοντας ένα σημείο που είναι η αρχή και λέγεται σημείο εφαρμογής του διανύσματος και ένα σημείο το τέλος του διανύσματος. Το διάνυσμα το συμβολίζουμε με ή με. α NAP 4

Ένα διάνυσμα έχει τα εξής στοιχεία: Διεύθυνση, την ευθεία που ορίζουν τα άκρα ή οποιαδήποτε άλλη ευθεία παράλληλη προς αυτή. Φορά, που καθορίζεται από το αν το διάνυσμα έχει αρχή το και τέλος το ( ) ή αρχή το και τέλος το ( ). Μέτρο, το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος, το οποίο συμβολίζουμε με. Το μέτρο είναι πάντοτε ένας θετικός αριθμός ή μηδέν. Η διεύθυνση μαζί με τη φορά καθορίζουν την κατεύθυνση ενός διανύσματος Ένα διάνυσμα λέγεται μηδενικό, όταν η αρχή και το τέλος του συμπίπτουν. Το συμβολίζουμε με και έχει μέτρο μηδέν. Παράλληλα ή συγγραμμικά ονομάζονται τα μη-μηδενικά διανύσματα τα οποία έχουν την ίδια διεύθυνση. Τα παράλληλα διανύσματα διακρίνονται σε δύο κατηγορίες: Τα ομόρροπα τα οποία έχουν την ίδια φορά. Τα αντίρροπα τα οποία έχουν αντίθετη φορά. Ίσα είναι τα διανύσματα τα οποία έχουν την ίδια διεύθυνση, την ίδια φορά και το ίδιο μέτρο. Αν είναι δύο ίσα διανύσματα τότε γράφουμε. NAP 5

Δύο διανύσματα είναι αντίθετα, όταν έχουν την ίδια διεύθυνση, το ίδιο μέτρο, αλλά αντίθετη φορά. Για παράδειγμα στο παραλληλόγραμμο τα διανύσματα και είναι ίσα, ενώ τα διανύσματα και είναι αντίθετα. Επίσης ισχύει,, κτλ. Δίνεται το τετράγωνο. Παράδειγμα (α) Να γράψετε δύο διανύσματα τα οποία έχουν ως αρχή το σημείο. (β) Να γράψετε ένα διάνυσμα που να είναι ίσο με το διάνυσμα και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (γ) Να γράψετε τις σχέσεις που Λύση: συνδέουν τα διανύσματα και. (α) Τα διανύσματα και έχουν ως αρχή το σημείο. (β) Το διάνυσμα είναι ίσο με το, γιατί έχουν την ίδια διεύθυνση ως απέναντι πλευρές τετραγώνου, την ίδια φορά και το ίδιο μέτρο ως πλευρές τετραγώνου. (γ) Τα διανύσματα και έχουν την ίδια διεύθυνση και αντίθετη φορά, δηλαδή είναι αντίρροπα και έχουν το ίδιο μέτρο. NAP 6

Δραστηριότητες 1. Ποια από τις πιο κάτω προτάσεις περιγράφει μονόμετρο και ποια διανυσματικό μέγεθος; (α) Ένα καρπούζι ζυγίζει. (β) Η μοτοσυκλέτα έτρεχε με ταχύτητα. (γ) Ο πυρετός μου έφθασε τους. (δ) Το σπίτι του φίλου μου του Αντρέα, βρίσκεται δικό μου. (ε) Το σπίτι του φίλου μου του Αντρέα, βρίσκεται δικό μου. (στ) Κοιμήθηκα μόνο 4 ώρες χθες. μακριά από το Δυτικά από το 2. Δίνεται το παραλληλόγραμμο όπως φαίνεται στο σχήμα. Να χαρακτηρίσετε ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ τις πιο κάτω ισότητες, βάζοντας σε κύκλο τον αντίστοιχο χαρακτηρισμό. (α) ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ (β) ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ (γ) ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ (δ) ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ NAP 7

3. Να βρείτε διανύσματα: (α) που είναι ίσα με το διάνυσμα (β) που είναι αντίθετα με το διάνυσμα. 4. Στο σχήμα οι αποστάσεις μεταξύ όλων των διαδοχικών σημείων είναι ίσες με (α) Να υπολογίσετε το μέτρο των διανυσμάτων: (β) Ποια από τα πιο πάνω διανύσματα είναι μεταξύ τους ίσα και ποια αντίθετα; (γ) Να γράψετε ένα διάνυσμα που είναι αντίρροπο του και έχει μέτρο τριπλάσιο από το μέτρο του. 5. Στο σχήμα δίνεται το εξάγωνο με όλες τις πλευρές ίσες με και τις απέναντι πλευρές του παράλληλες. Αν,,, να γράψετε δύο διανύσματα που: (α) είναι ίσα (β) είναι αντίθετα (γ) είναι παράλληλα με το (δ) είναι αντίρροπα με το (ε) έχουν μέτρο NAP 8

6. Να σχεδιάσετε στο πιο κάτω σχήμα, ένα διάνυσμα που: (α) είναι ίσο με το και αρχίζει από το. (β) είναι αντίθετο του και αρχίζει από το. (γ) έχει μέτρο ίσο με το μέτρο του,χωρίς να είναι ίσο με το και αρχίζει από το. NAP 9

Πράξεις με Διανύσματα Διερεύνηση Δύο παιδιά έχουν δέσει ένα καροτσάκι με δύο σχοινιά, όπως φαίνεται στην εικόνα. Θα τραβήξουν ταυτόχρονα τα σχοινιά για να το μετακινήσουν. Προς ποια κατεύθυνση θα κινηθεί το καροτσάκι; Να χρησιμοποιήσετε το ψηφιακό εκπαιδευτικό περιεχόμενο «ΛΤ_ΜΑΘ_Β_ΨΕΠ13_Έννοιες διανυσμάτων και πράξεις με διανύσματα_3.1» Αφού επιλέξετε το εικονίδιο να παρακολουθήσετε την κίνηση του καροτσιού σε διαδοχικά βήματα. Να περιγράψετε την κίνηση του καροτσιού. Μαθαίνω Δύο διανύσματα λέγονται διαδοχικά διανύσματα, όταν το τέλος του πρώτου διανύσματος είναι η αρχή του δεύτερου. Τα διανύσματα και είναι διαδοχικά. Άθροισμα δύο διαδοχικών διανυσμάτων είναι το διάνυσμα που έχει αρχή την αρχή του πρώτου διανύσματος και τέλος το τέλος του δεύτερου διανύσματος. Το άθροισμα των διανυσμάτων και είναι το διάνυσμα και γράφεται NAP 10

Αν έχουμε να προσθέσουμε περισσότερα από δύο διανύσματα, τα οποία είναι ανά δύο διαδοχικά, όπως φαίνεται στο σχήμα, τότε το άθροισμα τους έχει αρχή την αρχή του πρώτου διανύσματος και τέλος το τέλος του τελευταίου. Το άθροισμα των διανυσμάτων, και είναι το διάνυσμα και γράφεται Για να προσθέσουμε δύο μη διαδοχικά διανύσματα και σχεδιάζουμε τα διανύσματα και τα οποία είναι διαδοχικά. Το άθροισμα των διανυσμάτων και είναι:. Σημείωση: Για να προσθέσουμε δύο διανύσματα και μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο του παραλληλογράμμου και εργαζόμαστε ως εξής: Σχεδιάζουμε τα διανύσματα και, τα οποία να έχουν κοινή αρχή. Σχηματίζουμε το παραλληλόγραμμο που έχει πλευρές τα διανύσματα και. Το διάνυσμα το οποίο έχει ως αρχή την κοινή αρχή των δύο διανυσμάτων και τέλος την απέναντι κορυφή του παραλληλογράμμου είναι το άθροισμα των δύο διανυσμάτων. NAP 11

Διαφορά δύο διανυσμάτων Η διαφορά του διανύσματος από το διάνυσμα συμβολίζεται με και ορίζεται ως το άθροισμα του με το αντίθετο διάνυσμα του. ( ). Παραδείγματα 1. Δίνεται το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Να βρείτε το διάνυσμα που αντιστοιχεί στα πιο κάτω: (α) (β) (γ) (δ) (ε) Λύση: (α) (β) (γ) (δ) ( ) (ε) ( ) NAP 12

2. Δίνονται στο σχήμα τα διανύσματα και. Να σχεδιάσετε τα διανύσματα: (α) (β) Λύση: (α) (β) NAP 13

Δραστηριότητες 1. Στο σχήμα δίνεται το πολύγωνο. Να χαρακτηρίσετε ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ τις πιο κάτω ισότητες, βάζοντας σε κύκλο τον αντίστοιχο χαρακτηρισμό. (ε) ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ (στ) ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ (ζ) ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ (η) ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ (θ) ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ 2. Στο σχήμα να σχεδιάσετε ένα διάνυσμα που να είναι ίσο με: (α) (β) (γ) (δ) (ε) (στ) NAP 14

3. Στο σχήμα δίνονται δύο διανύσματα και. Να εκφράσετε τα πιο κάτω διανύσματα ως άθροισμα ή διαφορά των,. (α) (β) (γ) (δ) (ε) (στ) (ζ) (η) 4. Για καθένα από τα πιο κάτω σχήματα, να εκφράσετε το διάνυσμα ως άθροισμα ή διαφορά των άλλων διανυσμάτων που δίνονται: (α) (β) (γ) NAP 15

5. Στο σχήμα δίνεται το εξάγωνο με όλες τις πλευρές ίσες και τις απέναντι πλευρές παράλληλες. Αν,, και και, να εκφράσετε τα πιο κάτω διανύσματα ως άθροισμα ή διαφορά των. (α) (β) (γ) (δ) (ε) (στ) (ζ) (η) 6. Να σχεδιάσετε ισόπλευρο τρίγωνο και να βρείτε ένα διάνυσμα ίσο με: (α) (β) (γ) (δ) NAP 16

Δραστηριότητες ενότητας 1. Να γράψετε ομοιότητες και διαφορές για τα διανύσματα και. 2. Δίνεται τυχαίο τετράπλευρο. Να αποδείξετε ότι:. 3. Δίνονται τα διανύσματα, όπως φαίνονται στο διπλανό σχήμα. Να σχεδιάσετε τα πιο κάτω διανύσματα σε τετραγωνισμένο χαρτί, επεξηγώντας τη μέθοδο που ακολουθήσατε. (α) (β) (γ) (δ) (ε) (στ) (ζ) NAP 17

4. Στο σχήμα δίνονται δύο τετράγωνα τα και, όπου είναι τα μέσα των, αντίστοιχα. Αν και, να εκφράσετε τα διανύσματα σε συνάρτηση των και. 5. Στο σχήμα δίνεται το τρίγωνο, με, και,. (α) Να εκφράσετε τα διανύσματα και σε συνάρτηση των και. (β) Να δείξετε ότι ( ). 6. Δίνονται τα διανύσματα και, όπως φαίνονται στο σχήμα. Να αποδείξετε ότι, χρησιμοποιώντας τη διαδικασία υπολογισμού του αθροίσματος δύο διαδοχικών διανυσμάτων. NAP 18