!Stato di tensione triassiale!stato di tensione piano!cerchio di Mohr

!Stato di tensione triassiale!stato di tensione piano!cerchio di Mohr Stato di tensione F A = F / A F Traione pura stato di tensione monoassiale F M A M Traione e torsione stato di tensione piano = F / A = M t /W t =16 M t /(π d 3 ) F Nel caso generale lo stato di tensione è triassiale y 1

Stato di tensione in un punto Dall equilibrio alla rotaione si ha: y (d d) dy y (dy d) d = 0 y = y y dy 6 componenti indipendenti y = y = y = y y y y dy d y y y y y d y y y d y d Stato di tensione in un punto D F A = area di BCD F Fy normale n C y y C γ A D A y A β n B cos = l cos β = m cos γ = n y B dy n = componente della tensione normale al piano d A = A l A y = A m A = A n 2

Stato di tensione piano Si consideri il piano RS parallelo all asse e con la normale n inclinata di rispetto all asse Ipotesi: stato piano di tensione R n S y Stato di tensione piano Si consideri il piano RS parallelo all asse e con la normale n inclinata di rispetto all asse Si immagini ora di spostare il punto di vista sull asse Y S n Area = 1 P R X 3

Stato di tensione piano X cos Y S y cos P y sen F Fy Area = 1 R Dall equilibrio alla traslaione si ha: cos + y sen - cos - sen = 0 X Si consideri lo stato tensionale sul piano RS y sin + y cos - sin + cos = 0 moltiplicando la prima per cos e la seconda per sin si ha: cos 2 + y sin cos - cos 2 + - sin cos = 0 y sin 2 + y sin cos - sin 2 + + sin cos = 0 y sen sommando le due equaioni si ottiene: cos 2 + y sin 2 + 2 y sin cos = Stato di tensione piano cos 2 + y sin 2 + 2 y sin cos = ricordando che: sin 2 = 2 sin cos sin 2 = (1 - cos 2) / 2 cos 2 = (1 + cos 2) / 2 l equaione precedente può essere riscritta nella forma seguente: 1/2 [ (1+ cos 2 ) + y (1- cos2)] + y sin 2 = che equivale a: = ½ ( + y ) + ½ ( - y ) cos 2 + y sen 2 4

Stato di tensione piano tornando ora alle due equaioni di equilibrio: cos + y sen - cos - sen = 0 F y sin + y cos - sin + cos = 0 Fy moltiplicando questa volta la prima per sin e la seconda per cos si ha: sin cos + y sin 2 - sin cos - sin 2 = 0 y sin cos + y cos 2 - sin cos + cos 2 = 0 sottraendo le due equaioni si ottiene: ( - y ) sin cos + y ( sin 2 - cos 2 ) - = 0 che equivale a: = ½ ( - y ) sen 2 - y cos 2 Stato di tensione piano Y S Le componenti della tensione e sul piano RS e possono dunque essere espresse in funione delle componenti e y e dell angolo mediente le seguenti relaioni: cos y cos P y sen y sen Area = 1 R X = ½ ( + y ) + ½ ( - y ) cos 2 + y sen 2 = ½ ( - y ) sen 2 - y cos 2 5

Stato di tensione piano L angolo che individua i piani principali può essere ricavato cercando il massimo della funione (): = ½ ( + y ) + ½ ( - y ) cos 2 + y sen 2 ovvero, uguagliando a 0 la derivata d/d d/d = -2 ½( - y ) sin 2 + 2 y cos 2 = 0 ( - y ) sin 2 = 2 y cos 2 e quindi tg 2 = 2 y - y X cos β β S 2 Nel sistema di riferimento orientato secondo le direioni principali le equaioni di equilibrio si possono scrivere come segue: P y sen β R Area = 1 Posto: = ½ ( 1 + 2 ) + ½ ( 1-2 ) cos 2β 1 ½ ( 1 + 2 ) = δ = ½ ( 1-2 ) sen 2β ½ ( 1-2 ) = ρ ( - δ)2 + 2 = ρ 2 6

( - δ )2 + 2 = ρ 2 δ= ½ ( 1 + 2 ) ρ= ½ ( 1-2 ) questa è l equaione di un cerchio nel piano - δ 2 ρ 1 = ½ ( + y ) + ½ ( - y ) cos 2 + y sen 2 = ½ ( 1 + 2 ) + ½ ( 1-2 ) cos 2 Il cerchio di Mohr = ½ ( - y ) sen 2 - y cos 2 = ½ ( 1-2 ) sen 2 2 y ma convenione sui segni delle tensioni y + 2 L angolo che individua il piano principale rispetto alla direione è dato dalla relaione: 1 tg 2 = 2 y ( - y ) 7

Le tensioni principali possono essere ricavate geometricamente dal cerchio di Mohr se sono note le componenti di tensione nel sistema y: y 1 = ½ ( + y ) + {[( - y )/2] 2 + 2 y } 2 = ½ ( + y ) - {[( - y )/2] 2 + 2 y } 2 ma y + y e il massimo valore del taglio è dato da: ma = {[( - y )/2] 2 + 2 y } 1 ma = ( 1-2 )/2 Costruione del cerchio di Mohr Dati: y y y y - y 8

Costruione del cerchio di Mohr Dati: y y y y + - y Costruione del cerchio di Mohr Dati: y y 2 + 1 9

y 2 y 1 y 2 y 1 10

1 2 y 1 y 1 y 2 y 1 11

y y y 2 y 1 Caso della traione pura F A F = F / A ma 45 = 1 12

Caso della torsione pura A M M = (16 M) / (π d 3 ) ma 1 = y 45 Stato di tensione triassiale 2 ma = ± ½ ( 1-3 ) 3 3 1 2 1 1 = ± ½ ( 2-3 ) 2 = ± ½ ( 1-3 ) 3 = ± ½ ( 1-2 ) 13