Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι

Πιθανότητες και Αλγόριθμοι Ανάλυση μέσης περίπτωσης Μελέτα τη συμπεριφορά ενός αλγορίθμου σε μια «μέση» είσοδο (ως προς κάποια κατανομή) Τυχαιοκρατικός αλγόριθμος Λαμβάνει τυχαίες αποφάσεις καθώς επεξεργάζεται την είσοδο έτσι ώστε α) υπολογίζει τη σωστή απάντηση με μεγάλη πιθανότητα, ή β) υπολογίζει πάντα τη σωστή απάντηση αλλά εκτελείται αποδοτικά κατά μέσο όρο

Η συμπεριφορά ενός τυχαιοκρατικού αλγόριθμου εξαρτάται όχι μόνο από την είσοδο αλλά και από τιμές που παράγονται από μία γεννήτρια τυχαίων αριθμών Γεννήτρια τυχαίων αριθμών Έστω ακέραιοι a,b με a b. τυχαία(a,b) : επιστρέφει ακέραιο x τέτοιον ώστε a x b με ίση πιθανότητα επιλογής 1/(b-a+1).

Επίλυση ανταγωνισμού Διεργασίες ενός κατανεμημένου συστήματος προσπαθούν να αποκτήσουν πρόσβαση σε μια βάση δεδομένων Η μπορεί να εξυπηρετεί μόνο μία διεργασία σε κάθε διακριτή χρονική στιγμή (γύρο). Αν δύο ή περισσότερες διεργασίες προσπαθήσουν να προσπελάσουν τη στον ίδιο γύρο τότε μένουν μπλοκαρισμένες σε όλη τη διάρκεια του γύρου Θέλουμε να σχεδιάσουμε έναν αλγόριθμο πρόσβασης στη διεργασίες δεν μπορούν να επικοινωνήσουν μεταξύ τους όταν οι

Επίλυση ανταγωνισμού Τυχαιοκρατικός αλγόριθμός: Κάθε διεργασία προσπαθεί σε κάθε γύρο να αποκτήσει πρόσβαση στη με πιθανότητα Αναλύουμε την κατάσταση της διεργασίας τη χρονική στιγμή Δυνατά γεγονότα η προσπαθεί να προσπελάσει τη τη χρονική στιγμή η δεν προσπαθεί να προσπελάσει τη τη χρονική στιγμή Έχουμε και η καταφέρνει να προσπελάσει τη τη χρονική στιγμή Τα γεγονότα είναι ανεξάρτητα, επομένως

Επίλυση ανταγωνισμού Τυχαιοκρατικός αλγόριθμός: Κάθε διεργασία προσπαθεί σε κάθε γύρο να αποκτήσει πρόσβαση στη με πιθανότητα Αναλύουμε την κατάσταση της διεργασίας τη χρονική στιγμή Δυνατά γεγονότα η καταφέρνει να προσπελάσει τη τη χρονική στιγμή Τα γεγονότα είναι ανεξάρτητα, επομένως Η πιθανότητα να συμβεί το για μεγιστοποιείται

Επίλυση ανταγωνισμού Τυχαιοκρατικός αλγόριθμός: Κάθε διεργασία προσπαθεί σε κάθε γύρο να αποκτήσει πρόσβαση στη με πιθανότητα Αναλύουμε την κατάσταση της διεργασίας τη χρονική στιγμή Δυνατά γεγονότα η καταφέρνει να προσπελάσει τη τη χρονική στιγμή Η πιθανότητα να συμβεί το μεγιστοποιείται για οπότε έχουμε

Επίλυση ανταγωνισμού Τυχαιοκρατικός αλγόριθμός: Κάθε διεργασία προσπαθεί σε κάθε γύρο να αποκτήσει πρόσβαση στη με πιθανότητα Αναλύουμε την κατάσταση της διεργασίας τη χρονική στιγμή Δυνατά γεγονότα η καταφέρνει να προσπελάσει τη τη χρονική στιγμή Η πιθανότητα να συμβεί το μεγιστοποιείται για οπότε έχουμε Επίσης θέλουμε ένα άνω φράγμα για την πιθανότητα του γεγονότος η δεν καταφέρνει να προσπελάσει τη τις χρονικές στιγμές

Επίλυση ανταγωνισμού Τυχαιοκρατικός αλγόριθμός: Κάθε διεργασία προσπαθεί σε κάθε γύρο να αποκτήσει πρόσβαση στη με πιθανότητα Επίσης θέλουμε ένα άνω φράγμα για την πιθανότητα του γεγονότος η δεν καταφέρνει να προσπελάσει τη τις χρονικές στιγμές όπου άρα

Επίλυση ανταγωνισμού Τυχαιοκρατικός αλγόριθμός: Κάθε διεργασία προσπαθεί σε κάθε γύρο να αποκτήσει πρόσβαση στη με πιθανότητα Επίσης θέλουμε ένα άνω φράγμα για την πιθανότητα του γεγονότος η δεν καταφέρνει να προσπελάσει τη τις χρονικές στιγμές Για έχουμε Για έχουμε

Επίλυση ανταγωνισμού Τυχαιοκρατικός αλγόριθμός: Κάθε διεργασία προσπαθεί σε κάθε γύρο να αποκτήσει πρόσβαση στη με πιθανότητα Τέλος, θα υπολογίσουμε ένα άνω φράγμα για την πιθανότητα του γεγονότος το πρωτόκολλο αποτυγχάνει μετά από γύρους (υπάρχουν διεργασίες που δεν κατάφεραν να προσπελάσουν τη βάση δεδομένων) Από το όριο ένωσης (union bound) έχουμε Για έχουμε

Καθολική ελάχιστη τομή Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών Θέλουμε να χωρίσουμε τις κορυφές σε δύο μη κενά σύνολα και έτσι ώστε να ελαχιστοποιείται το βάρος της τομής 12 26 20 10 9 7 17 14 4

Καθολική ελάχιστη τομή Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών Θέλουμε να χωρίσουμε τις κορυφές σε δύο μη κενά σύνολα και έτσι ώστε να ελαχιστοποιείται το βάρος της τομής Θα εξετάσουμε ένα απλό αλγόριθμο «συρρίκνωσης» για την περίπτωση όπου για κάθε ακμή

Καθολική ελάχιστη τομή Αλγόριθμος συρρίκνωσης Σε κάθε βήμα επιλέγει μια ακμή ομοιόμορφα τυχαία και τη συρρικνώνει Συνεχίζει με τον ίδιο τρόπο μέχρι να μείνουν δύο κορυφές

Καθολική ελάχιστη τομή Αλγόριθμος συρρίκνωσης Σε κάθε βήμα επιλέγει μια ακμή ομοιόμορφα τυχαία και τη συρρικνώνει Συνεχίζει με τον ίδιο τρόπο μέχρι να μείνουν δύο κορυφές Μετά τη συρρίκνωση μιας ακμής μπορεί να εμφανιστούν παράλληλες ακμές

Καθολική ελάχιστη τομή Αλγόριθμος συρρίκνωσης Σε κάθε βήμα επιλέγει μια ακμή ομοιόμορφα τυχαία και τη συρρικνώνει Συνεχίζει με τον ίδιο τρόπο μέχρι να μείνουν δύο κορυφές Μετά τη συρρίκνωση μιας ακμής ακμές εξαφανίζονται όλες οι παράλληλες

Καθολική ελάχιστη τομή Ιδιότητα Ο αλγόριθμος συρρίκνωσης επιστρέφει μια ελάχιστη τομή με πιθανότητα Έστω μια ελάχιστη τομή με μέγεθος (δηλαδή υπάρχουν ακμές μεταξύ των συνόλων και ). Έστω το σύνολο των ακμών μεταξύ και.

Καθολική ελάχιστη τομή Ιδιότητα Ο αλγόριθμος συρρίκνωσης επιστρέφει μια ελάχιστη τομή με πιθανότητα Έστω μια ελάχιστη τομή με μέγεθος (δηλαδή υπάρχουν ακμές μεταξύ των συνόλων και ). Έστω το σύνολο των ακμών μεταξύ και. Υπολογίζουμε την πιθανότητα ο αλγόριθμος να επιστρέψει την τομή δηλαδή να μη συρρικνωθεί καμία ακμή του. Εξετάζουμε την πρώτη συρρίκνωση: Το γράφημα πρέπει να έχει ακμές αφού η ελάχιστη τομή έχει μέγεθος (κάθε κορυφή έχει βαθμό και το άθροισμα των βαθμών όλων των κορυφών είναι διπλάσιο του αριθμού των ακμών) Άρα η πρώτη ακμή που συρρικνώνεται ανήκει στο με πιθανότητα το πολύ

Καθολική ελάχιστη τομή Ιδιότητα Ο αλγόριθμος συρρίκνωσης επιστρέφει μια ελάχιστη τομή με πιθανότητα Έστω μια ελάχιστη τομή με μέγεθος (δηλαδή υπάρχουν ακμές μεταξύ των συνόλων και ). Έστω το σύνολο των ακμών μεταξύ και. Υπολογίζουμε την πιθανότητα ο αλγόριθμος να επιστρέψει την τομή δηλαδή να μη συρρικνωθεί καμία ακμή του. Εξετάζουμε την j-οστή συρρίκνωση: Το γράφημα πρέπει να έχει ακμές αφού η ελάχιστη τομή έχει μέγεθος και υπάρχουν κορυφές Άρα η j-οστή ακμή που συρρικνώνεται ανήκει στο με πιθανότητα το πολύ

Καθολική ελάχιστη τομή Ιδιότητα Ο αλγόριθμος συρρίκνωσης επιστρέφει μια ελάχιστη τομή με πιθανότητα Έστω μια ελάχιστη τομή με μέγεθος (δηλαδή υπάρχουν ακμές μεταξύ των συνόλων και ). Έστω το σύνολο των ακμών μεταξύ και. Υπολογίζουμε την πιθανότητα ο αλγόριθμος να επιστρέψει την τομή δηλαδή να μη συρρικνωθεί καμία ακμή του. Συνολικά η πιθανότητα να μη συρρικνωθεί καμία ακμή του επαναλήψεις του αλγόριθμου είναι τουλάχιστον στις

Καθολική ελάχιστη τομή Ενίσχυση της πιθανότητας επιτυχίας Ο αλγόριθμος συρρίκνωσης επιστρέφει μια ελάχιστη τομή με πιθανότητα Έστω ότι εκτελούμε τον αλγόριθμο φορές και κρατάμε την ελάχιστη τιμή που επιστρέφει. Η πιθανότητα αποτυχίας είναι το πολύ

Πρόβλημα πρόσληψης Εξετάζουμε υποψήφιους 1,2,,n διαδοχικά μέχρι να βρούμε τον πιο κατάλληλο βέλτιστος 0 για i 0 έως n αν υποψήφιος i > βέλτιστος τότε βέλτιστος i προσλαμβάνουμε τον βέλτιστο Σε κάθε είσοδο κάνουμε n συγκρίσεις, αλλά πόσες είναι οι προσλήψεις; Έστω ότι θέλουμε να ελαχιστοποιήσουμε τον αριθμό τον προσλήψεων.

Πρόβλημα πρόσληψης Εξετάζουμε υποψήφιους 1,2,,n διαδοχικά μέχρι να βρούμε τον πιο κατάλληλο βέλτιστος 0 για i 0 έως n αν υποψήφιος i > βέλτιστος τότε βέλτιστος i προσλαμβάνουμε τον βέλτιστο Σε κάθε είσοδο κάνουμε n συγκρίσεις, αλλά πόσες είναι οι προσλήψεις; Έστω ότι θέλουμε να ελαχιστοποιήσουμε τον αριθμό τον προσλήψεων. n προσλήψεις στη χειρότερη περίπτωση αναμενόμενη περίπτωση;

Πρόβλημα πρόσληψης βέλτιστος 0 για i 0 έως n αν υποψήφιος i > βέλτιστος τότε βέλτιστος i προσλαμβάνουμε τον βέλτιστο Ανάλυση του αναμενόμενου αριθμού προσλήψεων Ορίζουμε τυχαία μεταβλητή Χ που μετρά τον αριθμό των προσλήψεων. Θέλουμε να υπολογίσουμε την αναμενόμενη τιμή της Χ

Πρόβλημα πρόσληψης βέλτιστος 0 για i 0 έως n αν υποψήφιος i > βέλτιστος τότε βέλτιστος i προσλαμβάνουμε τον βέλτιστο Ανάλυση του αναμενόμενου αριθμού προσλήψεων Ορίζουμε τυχαία μεταβλητή Χ που μετρά τον αριθμό των προσλήψεων. Θέλουμε να υπολογίσουμε την αναμενόμενη τιμή της Χ Για κάθε υποψήφιο έχουμε δείκτρια τυχαία μεταβλητή ο υποψήφιος i δεν προσλαμβάνεται ο υποψήφιος i προσλαμβάνεται oπότε

Πρόβλημα πρόσληψης βέλτιστος 0 για i 0 έως n αν υποψήφιος i > βέλτιστος τότε βέλτιστος i προσλαμβάνουμε τον βέλτιστο Ανάλυση του αναμενόμενου αριθμού προσλήψεων Ορίζουμε τυχαία μεταβλητή Χ που μετρά τον αριθμό των προσλήψεων. Θέλουμε να υπολογίσουμε την αναμενόμενη τιμή της Χ Για κάθε υποψήφιο έχουμε δείκτρια τυχαία μεταβλητή ο υποψήφιος i δεν προσλαμβάνεται ο υποψήφιος i προσλαμβάνεται oπότε Έχουμε

Ιδιότητα: Γραμμικότητα αναμενόμενης τιμής Έστω τυχαίες μεταβλητές Χ και Υ. Ισχύει

Πρόβλημα πρόσληψης βέλτιστος 0 για i 0 έως n αν υποψήφιος i > βέλτιστος τότε βέλτιστος i προσλαμβάνουμε τον βέλτιστο Ανάλυση του αναμενόμενου αριθμού προσλήψεων Ορίζουμε τυχαία μεταβλητή Χ που μετρά τον αριθμό των προσλήψεων. Θέλουμε να υπολογίσουμε την αναμενόμενη τιμή της Χ Για κάθε υποψήφιο έχουμε δείκτρια τυχαία μεταβλητή ο υποψήφιος i δεν προσλαμβάνεται ο υποψήφιος i προσλαμβάνεται oπότε Έχουμε Επιπλέον

Πρόβλημα πρόσληψης βέλτιστος 0 για i 0 έως n αν υποψήφιος i > βέλτιστος τότε βέλτιστος i προσλαμβάνουμε τον βέλτιστο Ανάλυση του αναμενόμενου αριθμού προσλήψεων Ορίζουμε τυχαία μεταβλητή Χ που μετρά τον αριθμό των προσλήψεων. Θέλουμε να υπολογίσουμε την αναμενόμενη τιμή της Χ Για κάθε υποψήφιο έχουμε δείκτρια τυχαία μεταβλητή ο υποψήφιος i δεν προσλαμβάνεται ο υποψήφιος i προσλαμβάνεται oπότε Υπόθεση : Οι υποψήφιοι εισέρχονται σε τυχαία σειρά

Πρόβλημα πρόσληψης βέλτιστος 0 για i 0 έως n αν υποψήφιος i > βέλτιστος τότε βέλτιστος i προσλαμβάνουμε τον βέλτιστο Ανάλυση του αναμενόμενου αριθμού προσλήψεων Ορίζουμε τυχαία μεταβλητή Χ που μετρά τον αριθμό των προσλήψεων. Θέλουμε να υπολογίσουμε την αναμενόμενη τιμή της Χ Για κάθε υποψήφιο έχουμε δείκτρια τυχαία μεταβλητή ο υποψήφιος i δεν προσλαμβάνεται ο υποψήφιος i προσλαμβάνεται oπότε Υπόθεση : Οι υποψήφιοι εισέρχονται σε τυχαία σειρά προσλαμβάνεται αν είναι καταλληλότερος από τους 1,2,3 και 4 1 2 3 4 5

Πρόβλημα πρόσληψης βέλτιστος 0 για i 0 έως n αν υποψήφιος i > βέλτιστος τότε βέλτιστος i προσλαμβάνουμε τον βέλτιστο Ανάλυση του αναμενόμενου αριθμού προσλήψεων Ορίζουμε τυχαία μεταβλητή Χ που μετρά τον αριθμό των προσλήψεων. Θέλουμε να υπολογίσουμε την αναμενόμενη τιμή της Χ Για κάθε υποψήφιο έχουμε δείκτρια τυχαία μεταβλητή ο υποψήφιος i δεν προσλαμβάνεται ο υποψήφιος i προσλαμβάνεται oπότε Έχουμε n-οστός αρμονικός αριθμός

Προσέγγιση αθροίσματος μέσω ολοκληρωμάτων μονότονα αύξουσα

Προσέγγιση αθροίσματος μέσω ολοκληρωμάτων μονότονα αύξουσα: μονότονα φθίνουσα:

Προσέγγιση αθροίσματος μέσω ολοκληρωμάτων μονότονα αύξουσα: μονότονα φθίνουσα: Έχουμε

Το πρόβλημα του συλλέκτη Κάθε κουτί ενός προϊόντος περιέχει ένα δώρο από n διαφορετικά δώρα.

Το πρόβλημα του συλλέκτη Κάθε κουτί ενός προϊόντος περιέχει ένα δώρο από n διαφορετικά δώρα. Το είδος του δώρου μας γίνεται γνωστό μόνο εφόσον ανοίξουμε το κουτί.

Το πρόβλημα του συλλέκτη Κάθε κουτί ενός προϊόντος περιέχει ένα δώρο από n διαφορετικά δώρα. Το είδος του δώρου μας γίνεται γνωστό μόνο εφόσον ανοίξουμε το κουτί. Πόσα κουτιά πρέπει να αγοράσουμε μέχρι να βρούμε όλα τα n δώρα; Χειρότερη περίπτωση; Αναμενόμενη περίπτωση;

Το πρόβλημα του συλλέκτη Αναμενόμενη περίπτωση : Υποθέτουμε ότι κάθε δώρο έχει την ίδια πιθανότητα εμφάνισης σε κάθε κουτί τυχαίες μεταβλητές αριθμός κουτιών που αγοράζουμε μέχρι να βρούμε το i-στο είδος δώρου όταν έχουμε ήδη i-1

Το πρόβλημα του συλλέκτη Αναμενόμενη περίπτωση : Υποθέτουμε ότι κάθε δώρο έχει την ίδια πιθανότητα εμφάνισης σε κάθε κουτί τυχαίες μεταβλητές αριθμός κουτιών που αγοράζουμε μέχρι να βρούμε το i-στο είδος δώρου όταν έχουμε ήδη i-1 1

Το πρόβλημα του συλλέκτη Αναμενόμενη περίπτωση : Υποθέτουμε ότι κάθε δώρο έχει την ίδια πιθανότητα εμφάνισης σε κάθε κουτί τυχαίες μεταβλητές αριθμός κουτιών που αγοράζουμε μέχρι να βρούμε το i-στο είδος δώρου όταν έχουμε ήδη i-1 1 2

Το πρόβλημα του συλλέκτη Αναμενόμενη περίπτωση : Υποθέτουμε ότι κάθε δώρο έχει την ίδια πιθανότητα εμφάνισης σε κάθε κουτί τυχαίες μεταβλητές αριθμός κουτιών που αγοράζουμε μέχρι να βρούμε το i-στο είδος δώρου όταν έχουμε ήδη i-1 1 2 3

Το πρόβλημα του συλλέκτη Αναμενόμενη περίπτωση : Υποθέτουμε ότι κάθε δώρο έχει την ίδια πιθανότητα εμφάνισης σε κάθε κουτί τυχαίες μεταβλητές αριθμός κουτιών που αγοράζουμε μέχρι να βρούμε το i-στο είδος δώρου όταν έχουμε ήδη i-1 1 2 3 4

Το πρόβλημα του συλλέκτη Αναμενόμενη περίπτωση : Υποθέτουμε ότι κάθε δώρο έχει την ίδια πιθανότητα εμφάνισης σε κάθε κουτί τυχαίες μεταβλητές αριθμός κουτιών που αγοράζουμε μέχρι να βρούμε το i-στο είδος δώρου όταν έχουμε ήδη i-1 1 2 3 4 5

Το πρόβλημα του συλλέκτη Αναμενόμενη περίπτωση : Υποθέτουμε ότι κάθε δώρο έχει την ίδια πιθανότητα εμφάνισης σε κάθε κουτί τυχαίες μεταβλητές αριθμός κουτιών που αγοράζουμε μέχρι να βρούμε το i-στο είδος δώρου όταν έχουμε ήδη i-1 1 2 3 4 5 6

Το πρόβλημα του συλλέκτη Αναμενόμενη περίπτωση : Υποθέτουμε ότι κάθε δώρο έχει την ίδια πιθανότητα εμφάνισης σε κάθε κουτί τυχαίες μεταβλητές αριθμός κουτιών που αγοράζουμε μέχρι να βρούμε το i-στο είδος δώρου όταν έχουμε ήδη i-1 1 2 3 4 5 6 7

Το πρόβλημα του συλλέκτη Αναμενόμενη περίπτωση : Υποθέτουμε ότι κάθε δώρο έχει την ίδια πιθανότητα εμφάνισης σε κάθε κουτί τυχαίες μεταβλητές αριθμός κουτιών που αγοράζουμε μέχρι να βρούμε το i-στο είδος δώρου όταν έχουμε ήδη i-1 : συνολικός αριθμός κουτιών 1 2 3 4 5 6 7 8

Το πρόβλημα του συλλέκτη Αναμενόμενη περίπτωση : Υποθέτουμε ότι κάθε δώρο έχει την ίδια πιθανότητα εμφάνισης σε κάθε κουτί τυχαίες μεταβλητές αριθμός κουτιών που αγοράζουμε μέχρι να βρούμε το i-στο είδος δώρου όταν έχουμε ήδη i-1 : συνολικός αριθμός κουτιών Ας υποθέσουμε ότι έχουμε i-1 είδη δώρου. Έστω η πιθανότητα να βρούμε νέο δώρο στο επόμενο κουτί.

Το πρόβλημα του συλλέκτη Αναμενόμενη περίπτωση : Υποθέτουμε ότι κάθε δώρο έχει την ίδια πιθανότητα εμφάνισης σε κάθε κουτί τυχαίες μεταβλητές αριθμός κουτιών που αγοράζουμε μέχρι να βρούμε το i-στο είδος δώρου όταν έχουμε ήδη i-1 : συνολικός αριθμός κουτιών Ας υποθέσουμε ότι έχουμε i-1 είδη δώρου. Έστω η πιθανότητα να βρούμε νέο δώρο στο επόμενο κουτί. Έχουμε

Το πρόβλημα του συλλέκτη Αναμενόμενη περίπτωση : Υποθέτουμε ότι κάθε δώρο έχει την ίδια πιθανότητα εμφάνισης σε κάθε κουτί τυχαίες μεταβλητές αριθμός κουτιών που αγοράζουμε μέχρι να βρούμε το i-στο είδος δώρου όταν έχουμε ήδη i-1 Ας υποθέσουμε ότι έχουμε i-1 είδη δώρου. Έστω η πιθανότητα να βρούμε νέο δώρο στο επόμενο κουτί. Έχουμε

Το πρόβλημα του συλλέκτη Άρα

Το πρόβλημα του συλλέκτη Αναμενόμενη περίπτωση : Υποθέτουμε ότι κάθε δώρο έχει την ίδια πιθανότητα εμφάνισης σε κάθε κουτί τυχαίες μεταβλητές αριθμός κουτιών που αγοράζουμε μέχρι να βρούμε το i-στο είδος δώρου όταν έχουμε ήδη i-1 Ας υποθέσουμε ότι έχουμε i-1 είδη δώρου. Έστω η πιθανότητα να βρούμε νέο δώρο στο επόμενο κουτί. Έχουμε

Το πρόβλημα του συλλέκτη Αναμενόμενη περίπτωση : Υποθέτουμε ότι κάθε δώρο έχει την ίδια πιθανότητα εμφάνισης σε κάθε κουτί τυχαίες μεταβλητές αριθμός κουτιών που αγοράζουμε μέχρι να βρούμε το i-στο είδος δώρου όταν έχουμε ήδη i-1 : συνολικός αριθμός κουτιών

Ρίψη σφαιριδίων σε κάλπες Έχουμε κάλπες στις οποίες τοποθετούμε σφαιρίδια με τυχαίο τρόπο. Α Β Γ Δ Έστω η πιθανότητα ένα σφαιρίδιο να πάει σε μία συγκεκριμένη κάλπη. Έχουμε. Ρίχνουμε σφαίρες. Ποια η πιθανότητα να πάνε ακριβώς σε μία συγκεκριμένη κάλπη; διωνυμική κατανομή

Ρίψη σφαιριδίων σε κάλπες Έχουμε Έστω κάλπες στις οποίες τοποθετούμε σφαιρίδια με τυχαίο τρόπο. η πιθανότητα ένα σφαιρίδιο να πάει σε μία συγκεκριμένη κάλπη. Έχουμε. Ρίχνουμε σφαίρες. Ποια η πιθανότητα να πάνε ακριβώς σε μία συγκεκριμένη κάλπη; διωνυμική κατανομή τυχαία μεταβλητή αριθμός σφαιριδίων σε μία συγκεκριμένη κάλπη

Ρίψη σφαιριδίων σε κάλπες Έχουμε Έστω κάλπες στις οποίες τοποθετούμε σφαιρίδια με τυχαίο τρόπο. η πιθανότητα ένα σφαιρίδιο να πάει σε μία συγκεκριμένη κάλπη. Έχουμε. Ρίχνουμε σφαίρες. Ποια η πιθανότητα να πάνε ακριβώς σε μία συγκεκριμένη κάλπη; διωνυμική κατανομή τυχαία μεταβλητή αριθμός σφαιριδίων σε μία συγκεκριμένη κάλπη αναμενόμενος αριθμός σφαιριδίων σε μία κάλπη

Ρίψη σφαιριδίων σε κάλπες Έχουμε Έστω κάλπες στις οποίες τοποθετούμε σφαιρίδια με τυχαίο τρόπο. η πιθανότητα ένα σφαιρίδιο να πάει σε μία συγκεκριμένη κάλπη. Έχουμε. Ρίχνουμε σφαίρες. τυχαία μεταβλητή αριθμός σφαιριδίων σε μία συγκεκριμένη κάλπη αναμενόμενος αριθμός σφαιριδίων σε μία κάλπη

Ρίψη σφαιριδίων σε κάλπες Έχουμε Έστω κάλπες στις οποίες τοποθετούμε σφαιρίδια με τυχαίο τρόπο. η πιθανότητα ένα σφαιρίδιο να πάει σε μία συγκεκριμένη κάλπη. Έχουμε. Ρίχνουμε σφαίρες. τυχαία μεταβλητή αριθμός σφαιριδίων σε μία συγκεκριμένη κάλπη αναμενόμενος αριθμός σφαιριδίων σε μία κάλπη Ο υπολογισμός με τη βοήθεια δεικτριών τυχαίων μεταβλητών είναι πολύ πιο απλός!

Ρίψη σφαιριδίων σε κάλπες Έχουμε Έστω κάλπες στις οποίες τοποθετούμε σφαιρίδια με τυχαίο τρόπο. η πιθανότητα ένα σφαιρίδιο να πάει σε μία συγκεκριμένη κάλπη. Έχουμε. Ρίχνουμε σφαίρες. τυχαία μεταβλητή αριθμός σφαιριδίων σε μία συγκεκριμένη κάλπη η i-οστη σφαίρα δεν πάει στο συγκεκριμένο κουτί η i-οστη σφαίρα πάει στο συγκεκριμένο κουτί Έχουμε

Πρόβλημα πρόσληψης βέλτιστος 0 για i 0 έως n αν υποψήφιος i > βέλτιστος τότε βέλτιστος i προσλαμβάνουμε τον βέλτιστο Ανάλυση του αναμενόμενου αριθμού προσλήψεων Ορίζουμε τυχαία μεταβλητή Χ που μετρά τον αριθμό των προσλήψεων. Θέλουμε να υπολογίσουμε την αναμενόμενη τιμή της Χ Για κάθε υποψήφιο έχουμε δείκτρια τυχαία μεταβλητή ο υποψήφιος i δεν προσλαμβάνεται ο υποψήφιος i προσλαμβάνεται oπότε Υπόθεση : Οι υποψήφιοι εισέρχονται σε τυχαία σειρά Τι γίνεται όταν η αυτή η υπόθεση δεν ισχύει;

Πρόβλημα πρόσληψης βέλτιστος 0 για i 0 έως n αν υποψήφιος i > βέλτιστος τότε βέλτιστος i προσλαμβάνουμε τον βέλτιστο Ανάλυση του αναμενόμενου αριθμού προσλήψεων Ορίζουμε τυχαία μεταβλητή Χ που μετρά τον αριθμό των προσλήψεων. Θέλουμε να υπολογίσουμε την αναμενόμενη τιμή της Χ Για κάθε υποψήφιο έχουμε δείκτρια τυχαία μεταβλητή ο υποψήφιος i δεν προσλαμβάνεται ο υποψήφιος i προσλαμβάνεται oπότε Υπόθεση : Οι υποψήφιοι εισέρχονται σε τυχαία σειρά Τι γίνεται όταν η αυτή η υπόθεση δεν ισχύει; Εκτελούμε μία τυχαία μετάθεση των υποψηφίων!

Παραγωγή τυχαίας μετάθεσης Θέλουμε μία μέθοδο που να μας δίνει ομοιόμορφα τυχαία μετάθεση n αντικειμένων Κάθε δυνατή μετάθεση πρέπει να εμφανίζεται με πιθανότητα

Παραγωγή τυχαίας μετάθεσης Θέλουμε μία μέθοδο που να μας δίνει ομοιόμορφα τυχαία μετάθεση n αντικειμένων Κάθε δυνατή μετάθεση πρέπει να εμφανίζεται με πιθανότητα Ταξινομική Μετάθεση για i 1 έως n p[i] = τυχαία(1,n) ταξινόμησε τα αντικείμενα με κλειδιά τα p[i]

Παραγωγή τυχαίας μετάθεσης Ταξινομική Μετάθεση για i 1 έως n p[i] = τυχαία(1,n) ταξινόμησε τα αντικείμενα με κλειδιά τα p[i] Ιδιότητα : Η ταξινομική μετάθεση δίνει ομοιόμορφα τυχαία μετάθεση με την προϋπόθεση ότι όλα τα p[i] είναι διαφορετικά

Παραγωγή τυχαίας μετάθεσης Ταξινομική Μετάθεση για i 1 έως n p[i] = τυχαία(1,n) ταξινόμησε τα αντικείμενα με κλειδιά τα p[i] Ιδιότητα : Η ταξινομική μετάθεση δίνει ομοιόμορφα τυχαία μετάθεση με την προϋπόθεση ότι όλα τα p[i] είναι διαφορετικά Απόδειξη Αρκεί να δείξουμε ότι η μετάθεση έχει πιθανότητα. Παρόμοια απόδειξη ισχύει για οποιαδήποτε άλλη μετάθεση.

Παραγωγή τυχαίας μετάθεσης Ταξινομική Μετάθεση για i 1 έως n p[i] = τυχαία(1,n) ταξινόμησε τα αντικείμενα με κλειδιά τα p[i] Θα δείξουμε ότι η μετάθεση έχει πιθανότητα. ενδεχόμενο Η ζητούμενη πιθανότητα είναι

Παραγωγή τυχαίας μετάθεσης Θα δείξουμε ότι η μετάθεση έχει πιθανότητα. ενδεχόμενο Η ζητούμενη πιθανότητα είναι Σε κάθε αντικείμενο αναθέτουμε έναν αριθμό 1 2 3 4 5 6 7 8

Παραγωγή τυχαίας μετάθεσης Θα δείξουμε ότι η μετάθεση έχει πιθανότητα. ενδεχόμενο Η ζητούμενη πιθανότητα είναι Σε κάθε αντικείμενο αναθέτουμε έναν αριθμό αντικείμενο i αριθμός p[i] 1 2 3 4 5 6 7 8 10 301 8 56 128 62 5 240 Ποια είναι η πιθανότητα το αντικείμενο 1 να λάβει τον μικρότερο αριθμό

Παραγωγή τυχαίας μετάθεσης Θα δείξουμε ότι η μετάθεση έχει πιθανότητα. ενδεχόμενο Η ζητούμενη πιθανότητα είναι Σε κάθε αντικείμενο αναθέτουμε έναν αριθμό αντικείμενο i αριθμός p[i] τάξη π[i] 1 2 3 4 5 6 7 8 10 301 8 56 128 62 5 240 3 8 2 4 6 5 1 7 Ποια είναι η πιθανότητα το αντικείμενο 1 να λάβει τον μικρότερο αριθμό

Παραγωγή τυχαίας μετάθεσης Θα δείξουμε ότι η μετάθεση έχει πιθανότητα. ενδεχόμενο Η ζητούμενη πιθανότητα είναι Έχουμε

Παραγωγή τυχαίας μετάθεσης Θα δείξουμε ότι η μετάθεση έχει πιθανότητα. ενδεχόμενο Η ζητούμενη πιθανότητα είναι Έχουμε Άρα

Παραγωγή τυχαίας μετάθεσης Ταξινομική Μετάθεση για i 1 έως n p[i] = τυχαία(1,n) ταξινόμησε τα αντικείμενα με κλειδιά τα p[i] Χρόνος : (για την ταξινόμηση n αριθμών) Ιδιότητα : Η ταξινομική μετάθεση δίνει ομοιόμορφα τυχαία μετάθεση με την προϋπόθεση ότι όλα τα p[i] είναι διαφορετικά Πόσο πιθανό είναι αυτό;

Παραγωγή τυχαίας μετάθεσης Ταξινομική Μετάθεση για i 1 έως n p[i] = τυχαία(1,n) ταξινόμησε τα αντικείμενα με κλειδιά τα p[i] Έχουμε για κάθε ζεύγος Άρα η πιθανότητα να υπάρχει ζεύγος αντικειμένων με τον ίδιο αριθμό είναι

Παραγωγή τυχαίας μετάθεσης Ταξινομική Μετάθεση για i 1 έως n p[i] = τυχαία(1,n) ταξινόμησε τα αντικείμενα με κλειδιά τα p[i] Έχουμε για κάθε ζεύγος Άρα η πιθανότητα να υπάρχει ζεύγος αντικειμένων με τον ίδιο αριθμό είναι Αν επιλέξουμε τότε η πιθανότητα να έχουν όλα τα αντικείμενα διαφορετικό αριθμό είναι τουλάχιστον

Παραγωγή τυχαίας μετάθεσης Επιτόπια Μετάθεση για i 1 έως n εναλλαγή του i-oστού αντικειμένου με αυτό της θέσης τυχαία(i,n) Ιδιότητα : Η επιτόπια μετάθεση δίνει ομοιόμορφα τυχαία μετάθεση k-μετάθεση : ακολουθία k στοιχείων από ένα σύνολο n στοιχείων Αναλλοίωτη συνθήκη (loop invariant): Ακριβώς πριν την (k+1)-οστη επανάληψη τα πρώτα k αντικείμενα που έχουμε διατάξει σχηματίζουν μία δεδομένη k-μετάθεση με πιθανότητα

Παραγωγή τυχαίας μετάθεσης k-μετάθεση = διάταξη k αντικειμένων από n Υπάρχουν δυνατές k-μεταθέσεις Διατάσσουμε τα αντικείμενα με τρόπους Η σειρά για τα τελευταία τη σειρά για τα πρώτα αντικείμενα δεν επηρεάζει

Παραγωγή τυχαίας μετάθεσης Επιτόπια Μετάθεση για i 1 έως n εναλλαγή του i-oστού αντικειμένου με αυτό της θέσης τυχαία(i,n) Ιδιότητα : Η επιτόπια μετάθεση δίνει ομοιόμορφα τυχαία μετάθεση k-μετάθεση : ακολουθία k στοιχείων από ένα σύνολο n στοιχείων

Παραγωγή τυχαίας μετάθεσης Αναλλοίωτη συνθήκη (loop invariant): Ακριβώς πριν την (k+1)-οστη επανάληψη τα πρώτα k αντικείμενα που έχουμε διατάξει σχηματίζουν μία δεδομένη k-μετάθεση με πιθανότητα Απόδειξη με επαγωγή Έστω Ε 1 το ενδεχόμενο οι πρώτες (k-1) επαναλήψεις να έχουν σχηματίσει μία δεδομένη (k-1) μετάθεση. Έστω Ε 2 το ενδεχόμενο οι η k-οστή επανάληψη να επιλέξει ένα δεδομένο στοιχείο.

Όρια Chernoff Τυχαία μεταβλητή όπου είναι ανεξάρτητες δείκτριες τυχαίες μεταβλητές Αν τότε για κάθε Αν τότε για κάθε