אופרטור ה"נבלה" (או דל)

אופרטור ה"נבלה" (או דל) אופרטור זה הוא אופרטור דיפרנציאלי: = ˆx x + ŷ y + ẑ ( ) z = x, y, z ( d כאשר אנחנו מפעילים dx משמעותו נגזרת חלקית (לעומת נגזרת מלאה הסימון x אותו על פונקציה מרובת משתנים, למשל (z f,,x),y אנחנו נגזור אותה לפי x ונתייחס לשאר המשתנים y ו z כאל קבועים. לדוגמא: f (x, y, z) = x 3 + yz 2 + x ln z ( f = 3x 2 + ln z, z 2, 2yz + x ) z אופרטור זה הוא וקטור וכל רכיב שלו הוא למעשה נגזרת על פי אותו רכיב. אופרטורים וקטוריים שונים: גרדיאנט פועל על סקלר באמצעות מכפלה סקלרית f (עליו נפרט) דיברגנס פועל על וקטור באמצעות מכפלה סקלרית A רוטור פועל על וקטור באמצעות מכפלה וקטורית A כשם שנגזרת של פונקציה בעלת משתנה אחד (x) f מתארת את שיפוע הפונקציה בנקודה כלשהי (ובמילים: מתארת את מידת שינוי הפונקציה (x) f כאשר משנים מעט את x), כך הגרדיאנט מתאר את השיפוע/מידת שינוי הפונקציה (z f,x),y בהתאם לשינוי המשתנים y x, ו z בכיוון כלשהו. עבור כיוונים שונים, הפונקציה עשויה להשתנות במידה שונה. על מנת לקבל את גודל השינוי בכיוון מסויים עלינו להטיל אותו בכיוון שבחרנו. במילים אחרות לבצע מכפלה סקלרית בין גרדיאנט הפונקציה f לבין וקטור יחידה בכיוון הנבחר. (להזכירכם, מכפלה סקלרית היא פעולת הטלה בין שני וקטורים). נגדיר וקטור יחידה (גודל 1 עם כיוון כלשהו) ê. אזי, שיפוע הפונקציה בכיוון זה ניתן על ידי: ( f ) ê = f cos θ כאשר θ היא הזווית בין שני הוקטורים. כאשר הגרדינט שווה אפס = 0 f נוכל למצוא נקודת אקסטרמום. כיוון שהגרדיאנט הוא וקטור, נקבל 3 משוואות עבור התאפסותו של כל רכיב. נקודה ) 0 x) 0, y 0, z המקיימת תנאי זה, היא נקודה בה הפונקציה (z f,x),y היא מקסימלית/מינימלית או נקודת פיתול. 1

f = ˆx f x + ŷ f y + ẑ f z גרדיאנט בקורדינטות שונות: קורדינטות קרטזיות z) :(x, y, קורדינטות כדוריות ϕ) :(r, θ, (ב 2 מימדים לוקחים רק את 2 האיברים הראשונים קורדינטות פולריות (θ,r)) f = ˆr r + ˆθ 1 r θ + ˆϕ 1 rsinθ ϕ f = ˆr r + ˆϕ1 r ϕ + ẑ f z קורדינטות גליליות z) :(r, ϕ, 2

שדה וכח חשמלי מהתפלגות רציפה של מטען עבור התפלגות דיסקרטית (מטען נקודתי) הכח והשדה החשמלי ניתנו על ידי: F = E = kqq ( ) r r 2 r r = qe kq ( ) r r 2 r r אולם כעת, המטען שלנו Q עשוי להיות מפולג על ישר, משטח או נפח שאינם נקודתיים ואז החישוב עבור השדה והכח החשמליים הופך יותר מורכב. מה עושים? לוקחים אלמנט קטן של מטען,dQ מתייחסים אליו כאל "מטען נקודתי" ומחשבים את השדה de שהוא יוצר סביבו: de ( ) = kdq r r 2 r r כאשר:. F / E וקטור המיקום בו נרצה לחשב שדה/כח חשמלי r.dq וקטור מיקום התפלגות המטען r אולם, יש לנו כמות גדולה של אלמנטי מטען כאלו. נשתמש בעיקרון הסופרפוזיציה ונסכום אותם לקבלת השדה E מהתפלגות המטען כולה. כיוון שמדובר בהתפלגות רציפה, הסכימה הופכת לאינטגרציה: ˆ ˆ E = de = k r r 2 ( ) r r dq נשים לב כי האינטגרציה היא על dq ולמעשה על כל מה שמסומן בטאג ('), מאחר ואנו "סוכמים" על התפלגות המטען. כעת נציג שיטה מסודרת על פי שלבים לחישוב השדה החשמלי. כדאי להכיר ולהתנסות בדרך זו גם אם אתם מעדיפים להיעזר ב"קיצורי דרך" כפי שהראינו בכיתה. שלבים בפתרון: מתחילים תמיד עם הביטוי: de ( ) ( ) = kdq r r 2 r r = kdq r r 3 r r שלב 1 יש לבטא את dq באמצעות צפיפות המטען המתאימה: dq = λdl (dl צפיפות מטען אורכית (באלמנט אורך λ dq = σds (ds צפיפות מטען משטחית (באלמנט משטח σ dq = ρdv (dv צפיפות מטען נפחית (באלמנט נפח ρ (הערה: חשוב להקפיד לא לשכוח את הטאג ' מכיוון שעליו בלבד אתם מבצעים אינטגרציה) 1

שלב 2 יש לבחור מערכת קורדינטות נוחה (קרטזיות/גליליות/כדוריות). שאלו את עצמכם: האם קיימת סימטריה בבעיה? כלומר, האם השדה/הכח החשמלי בלתי תלויים בקורדינטה כלשהי (כמו זווית, מרחק מהראשית, מרחק מהציר וכו'). האם התפלגות המטען נוחה לתיאור בקורדינטות מסויימות? (כמו דיסקה וגליל בקוא' גליליות, קליפה כדורית בקוא' כדוריות וכו'). שלב 3 לבטא את כל הפרמטרים r dq,,r בנוסחה באמצעות הקורדינטות שנבחרו:,x,y z עבור קרטזיות,r,θ ϕ עבור כדוריות/ספריות,ρ,ϕ z עבור גליליות/צילנדריות (בשני מימדים 2D יש לבחור בין קרטזיות (y,x) לבין פולריות (θ,r)). שלב 4 אם נתבקשתם לחשב שדה/כח חשמלי בכיוון מסויים בלבד או לחילופין זיהתם שאחד מרכיבי השדה/כח או יותר מתאפסים ניתן פשוט להטיל את de בכיוון הרכיב הרצוי. איך עושים זאת? באמצעות מכפלה סקלרית. לדוגמא: נניח ואנו יודעים שמסימטריה השדה הוא בכיוון ẑ, אז נכפול סקלרית בכיוון זה: de z = de kdq ( ) ẑ = r r 2 r r ẑ ( ) r ˆ r ẑ = r r ẑ cos α = cos α אולם עליכם לזכור כי α לא בהכרח מתוארת על ידי הקורדינטות שנבחרו בשלב 2 (לרוב לא), לכן יהיה עליכם לבטא גם את cos α בשלב 3 בנוסף. שלב 5 כל שנותר כעת הוא לבצע אינטגרציה. זכרו, מספר האינטגרלים יהיה כמספר המימדים של התפלגות המטען (אינטגרל יחיד על התפלגות אורכית, אינטגרל כפול על התפלגות משטחית ואינטגרל משולש על התפלגות נפחית). בחירה נכונה של קורדינטות תוביל לכך שקורדינטה אחת אינה תלויה בשניה (גבולות האינטגרציה). במקרה של אינטגרל כפול/משולש אין זה משנה הסדר בו אתם מחשבים את האינטגרלים השונים. משתנה שאינו מופיע בטאג, או לחילופין, האינטגרל אינו מבוצע עליו ספציפי מתייחסים אליו כאל קבוע. זכרו, השדה החשמלי הוא וקטור בעל 3 רכיבים. במידה ולא ביצעתם הטלה לכיוון מסויים יהיה עליכם לעשות אינטגרל על כל רכיב ורכיב בנפרד. חישוב כח הפועל על גוף רציף בביטוי F = q E הנחנו כי המטען Q שיוצר את השדה E הוא בעל התפלגות רציפה. אולם, יתכן מצב בו נרצה לחשב כח כולל על גוף רציף שמצוי בשדה חשמלי. במקרה כזה: df = dqe ˆ F = Edq F = ˆ (ˆ ) k ( ) r r 2 r r dq dq 2

האינטגרל הפנימי הוא פשוט השדה E שחושב. האינטגרל החיצוני הוא פשוט לקחת אלמנט מטען dq שמצוי במיקום r ולכפול את השדה (r ) E באותה נקודה ואז לבצע אינטגרציה על מימדי אותו גוף. תמיד אפשר לחשב קודם את השדה ולהציב את הביטוי המתקבל באינטגרל על הכח. אך גם פה, הסדר אינו משנה. הקפדה על סימון (r ו r ) חשוב ביותר! 3

חוק גאוס שטף חשמלי שטף בהקשר של שדה וקטורי הוא "כמות" השדה הוקטורי העובר דרך משטח מסויים. שטף חשמלי מוגדר כך: ˆ Φ E = E ds S כאשר הסימון מסמל אינטגרל משטחי כלשהו (אינטגרל כפול) והביטוי בתוך האינטגרל S הוא מכפלה סקלרית בין וקטור השדה E בנקודה כלשהי על המשטח לבין אלמנט שטח קטן. ds ds = dsˆn כאשר nˆ הוא וקטור יחידה המצביע לכיוון המאונך למישור אלמנט השטח. חוק גאוס חוק גאוס הוא חוק יסודי באלקטרוסטטיקה. מטענים חשמליים. הוא קושר בין שדה חשמלי לבין התפלגות חוק גאוס סך השטף החשמלי דרך מעטפת סגורה נמצא ביחס ישר למטען החשמלי הכלוא במעטפת. איור = 0 :2 in Φ = 0 Q איור 0 :1 in Φ 0 Q S נציג את החוק בצורתו האינטגרלית: E ds = 4πkQ in = Q in ɛ 0 הסימון הוא אינטגרל על משטח סגור (כזה המכיל נפח). בנוסף, Q in הוא כמות המטען s בתוך המעטפת הסגורה S בלבד (גם אם המרחב מכיל התפלגות מטען נוספת מחוץ למעטפת). אנו נעשה 2 שימושים בחוק גאוס: 1. כאשר נדע את התפלגות המטען q/λ/σ/ρ ונרצה למצוא את השדה החשמלי במרחב. E 2. כאשר נדע את השדה החשמלי E ונרצה למצוא את התפלגות המטען במרחב.q/λ/σ/ρ 1

חוק גאוס תמיד נכון, אולם נוכל להשתמש בו רק במקרים בהם קיימת סימטריה כך שניתן לבחור מעטפת משטחית סגורה (משטח גאוס) שעל גביה E אינו תלוי בקורדינטות המתארות את ds של המעטפת. הנחיות לחישובי שדה חשמלי באמצעות חוק גאוס 1. הגדירו משטח סגור (משטח גאוסי) העובר באזור בו אנו רוצים לחשב את השדה. 2. על המשטח להיות כזה ש: (א) השדה החשמלי יהיה בעל ערך קבוע על פני המשטח הגאוסי. (ב) כיוון השדה החשמלי יהיה ניצב או מקביל למשטחים המרכיבים את המשטח הגאוסי. 3. אם המשטח שנבחר עונה על הדרישות הנ"ל, תוכלו להוציא את E אל מחוץ לאינטגרל המופיע בחוק גאוס. 4. חשבו את כמות המטען הכלואה בתוך המשטח הגאוסי. בבעיות בהן קיימת התפלגות מטען רציפה, החישוב נעשה על ידי ρdv.q in = λdl = σds = 5. הציבו, ומצאו את השדה. דוגמא: מטען נקודתי יוצר שדה התלוי רק במרחק E (r) = kq r 2 ˆr.במקרה כזה, נוכל לבחור מעטפת כדורית ברדיוס ds = r 2 sin θdθdϕˆr r: מה שיוביל ל E ds = E (r) r 2 sin θdθdϕ = E (r) ds = E (r) S S S s E ds = 4πr 2 E (r) S E ds = 4πkQ in S 4πr 2 E (r) = 4πkq E (r) = kq r 2 קיבלנו את התוצאה הצפויה, אך שימו לב שכדי להגיע אליה נעזרנו רק בידיעה שגודל השדה תלוי רק במרחק מהמטען ושכיוונו rˆ. 2

פוטנציאל חשמלי אנרגיה פוטנציאלית חשמלית בפיסיקה 1 למדתם שישנם כוחות משמרים וכוחות אשר אינם משמרים. כח משמר הינו כח שהעבודה שהוא מבצע על גוף לאורך דרך אינה תלויה במסלול שנבחר בין נקודת ההתחלה לבין נקודת הסיום, או לחילופין, העבודה על מסלול סגור תמיד אפס: F dl = 0 עבור כח משמר יכולנו להגדיר אנרגיה פוטנציאלית u בכל נקודה במרחב, וכן הפרש האנרגיה U בין שתי נקודות: ˆB U = u B u A = F dr ˆ r u ( r) = F dr A r 0 כאשר r 0 היא נקודת הייחוס של האנרגיה הפוטנציאלית החשמלית. הכח החשמלי הינו כח משמר ולכן ניתן להגדיר עבורו אנרגיה פוטנציאלית חשמלית. נוכל לבטא את הקשר בין אנרגיה זו לשדה החשמלי: ˆB U = u B u A = ˆB F dr = q E dr A A פוטנציאל חשמלי אם נחלק את המשוואה לעיל בגודל המטען, נקבל את המתח החשמלי V שהוא פשוט הפרשי פוטנציאל חשמלי φ בין שתי נקודות: ˆB V = φ B φ A = E dr ˆ r φ ( r) = E dr A r 0 במילים: הפוטנציאל החשמלי בנקודה r הוא העבודה הדרושה כדי להביא מטען בוחן מאינסוף (או מנק' ייחוס כלשהי אחרת) עד לנקודה r. חשוב מאוד: הפוטנציאל החשמלי הוא רציף תמיד! 1

הקשר בין האנרגיה הפוטנציאלית לכח החשמלי אנלוגי לקשר בין הפוטנציאל החשמלי לשדה החשמלי. מהאמור לעיל, קיים הקשר בין מתח לבין הפרשי האנרגיה החשמלית: U = qv u ( r) = qφ ( r) בדיוק כמו הקשר בין כח לשדה חשמלי F = q E. בחירת נק' ייחוס עבור פוטנציאל חשמלי/אנרגיה חשמלית כזכור מפיסיקה 1, נקודת הייחוס היא שרירותית ופיסיקלית יש משמעות רק להפרשי אנרגיה/פוטנציאל. לרוב הבחירה של נקודת הייחוס בה הפוטנציאל/אנרגיה פוטנציאלית החשמליים מתאפסים היא האינסוף = 0 r. אולם, זאת בחירה נוחה עבור התפלגות מטען סופית כיוון שככל שאנו מתרחקים מהתפלגות המטען השדה ולכן גם הפוטנציאל קטן. לכן הגיוני שהנקודה המרוחקת ביותר תתבטא בשדה ופוטנציאל המתאפסים. במקרה של התפלגות אינסופית (כגון: תיל אינסופי, מישור אינסופי וכו') המטען נמצא גם באינסוף ולכן זו לא תהיה בחירה פיסיקלית להגיד שהפוטנציאל הוא אפס. במקרה זה, נגדיר באופן שרירותי נקודה כזו r 0 ולאחר שנקבל ביטוי עבור (r ) φ נבחר נקודה כזו שהפוטנציאל עבורו "לא יתפוצץ". דרכים לחישוב הפוטנציאל החשמלי ( ) E = kq שדה חשמלי היה ניתן לחשב באמצעות 2 דרכים: הדרך המפורשת r r r r 2 או חוק גאוס במידה וקיימת סימטריה נוחה. E ds = 4πkQin באותו אופן קיימות שני דרכים לחישוב הפוטנציאל החשמלי, דרך מפורשת: ˆ ˆ φ ( r) = E dr kq ( ) = r r 2 r r dr השדה החשמלי בהיותו משמר מאפשר לנו בחירת מסלול dr נוחה. נבחר אותו כך שיהיה בכיוון השדה החשמלי (או מאונך לו בחלקים אחרים) כך שנקבל ביטוי פשוט: ˆ kq φ ( r) = r r 2 dr = kq + C r r (כדי לראות שאכן זהו הפתרון בצעו החלפת משתנה r r = r ואז אחרי האינטגרציה החזירו את המשתנה כפי שהיה מקודם). הקבוע C מופיע כיוון שביצענו אינטגרל לא מסויים וגודלו יקבע בהתאם לנקודת הייחוס שנבחר! הביטוי לעיל נכון עבור מטען נקודתי. עבור התפלגות רציפה הביטוי יהיה פשוט: ˆ kdq φ ( r) = r r 2

זו הנוסחה המפורשת לחישוב פוטנציאל חשמלי. הדרך השניה היא על ידי חישוב אינטגרל מסלולי של השדה: ˆ r φ ( r) = r 0 E dr חישוב פוטנציאל במרחב שניתן לחלקו לתחומים אם יש לפנינו בעיה שניתנת להפרדה לתחומים כאשר בכל תחום השדה הוא שונה חשוב מאוד לשים לב לאופן חישוב הפוטנציאל דרך האינטגרל המסלולי. נניח: { E 1 (r) ; r < R E ( r) = E 2 (r) ; r > R דרך אחת נניח (בלא הגבלת הכלליות) ש R r. 0 > עבור חישוב הפוטנציאל בתחום r: > R ˆ r φ (r > R) = ˆr E dr = E 2 (r) dr r 0 r 0 עבור חישוב פוטנציאל בתחום r: < R ˆ r φ (r < R) = r 0 ˆR E dr = r 0 ˆr E 2 (r) dr R E 1 (r) dr כמובן שזה תלוי היכן בחרתם את נק' הייחוס בבעיה והיכן אתם מעוניינים לחשב את הפוטנציאל. דרך שניה ניתן לחשב כל תחום בנפרד ע"י אינטגרל לא מסויים (ללא גבולות אינטגרציה) ואז יופיע קבוע כל פעם: ˆ φ (r < R) = E 1 (r) dr = φ 1 (r) + C 1 ˆ φ (r > R) = E 2 (r) dr = φ 2 (r) + C 2 כעת עליכם להשתמש ברציפות של הפוטנציאל על הגבול בין התחומים ובנק' הייחוס שנבחרה: r = R φ 1 (R) + C 1 = φ 2 (R) + C 2 r = 0 φ (r 0 ) = φ 2 (r 0 ) + C 2 = 0 3

מוליך בתוך מוליך השדה החשמלי הוא אפס, לכן הפוטנציאל החשמלי הוא קבוע ועלינו למצוא את ערכו מתכונת הרציפות של הפוטנציאל. כאשר אנו מחברים 2 מוליכים, כל אחד עם פוטנציאל קבוע שונה, באמצעות חוט מוליך לאחר זמן (מועט) כלשהו הפוטנציאל על המערכת כולה (2 מוליכים וחוט מוליך) הוא קבוע שעשוי (לרוב) להיות שונה מהפוטנציאל של כל אחד מהמוליכים לפני החיבור. על מנת לאפשר זאת יהיה מעבר מטען ממוליך אחד למשנהו. לסיכום: מגע/חיבור בין 2 מוליכים באמצעות מוליך מוביל לשיוויון פוטנציאלים על המערכת כולה המתנהגת כמוליך אחד. הארקה חיבור בין גוף מוליך כלשהו לבין כדוה"א כך שיש שיוויון פוטנציאלים. לכדוה"א מתייחסים כאל מוליך וכיוון שהרדיוס שלו יחסית מאוד גדול (חשבו פוטנציאל של כדור מוליך) ביחס למטען העודף עליו הפוטנציאל על גביו הוא אפס. מכאן שכאשר מאריקים מוליך, הפוטנציאל עליו משתווה לזה של כדוה"א וגודלו אפס. 4

קבל קבל מורכב משני מוליכים, אשר אינם במגע אחד עם השני, בכל צורה שהיא. כאשר קבל טעון, על כל "לוח" יש את אותה כמות מטען, אך הסימנים הם הפוכים. על לוח אחד מטען Q ועל לוח שני מטען Q. הפוטנציאל על כל לוח הוא אחיד (מאחר ומדובר במוליך), ובין שני הלוחות קיים מתח (הפרש פוטנציאלים) V. המתח V פרופורציוני ל Q כך שמקדם הפרופורציה אינו תלוי באף אחד מהם ולמעשה תלוי רק בגיאומטריה של הקבל. מקדם פרופורציה זה נקרא קיבול ומסומן C: C = Q V הקיבול הוא מדד ליכולתו של הקבל לאגור מטען חשמלי. הקיבול הינו גודל חיובי, וכשאנחנו מציבים Q ו V עלינו להקפיד שאף הם יהיו בערכם החיובי (למרות שהם לא בהכרח כאלו). איך מחשבים קיבול של רכיב? 1. אם יש לנו הפרש פוטנציאלים, אזי יש לנו שדה. מחשבים את השדה E (ישירות/גאוס). + = V (אם אנחנו.2 מחשבים את המתח בין 2 "לוחות" הקבל בעזרת > 0 dr E בוחרים את המסלול מהלוח עם Q ללוח עם Q+, אנו מבטיחים בכך ש 0 > V). 3. מחלקים את Q ב V שנתקבל בסעיף קודם ומוצאים את C הערה: E פרופורציוני למטען Q ולפיכך גם V ומכאן שחלוקה שלו ב Q נותנת תוצאה שאינה תלויה במטען. חיבור קבלים בטור כאשר מחברים,למשל, 2 קבלים בטור כמות המטען עליהם היא שווה Q (שימור מטען). הפרש הפוטנציאלים בין קצה אחד לשניהם שווה לסכום הפוטנציאלים על כל אחד מהם: V = V 1 + V 2 = Q + Q ( 1 = Q + 1 ) = Q C 1 C 2 C 1 C 2 C tot 1 = 1 C tot C i i חיבור קבלים במקביל אם נחבר 2 קבלים אלו במקביל, המתח על כל אחד מהם יהיה שווה, אך המטען לא בהכרח: Q 1 = V C 1 Q 2 = V C 2 Q = Q 1 + Q 2 = V (C 1 + C 2 ) 1

מצד שני המתח על הקיבול הכולל, הוא גם אותו מתח: C tot = Q V = C 1 + C 2 C tot = i C i אנרגיה האצורה בקבל בונים את לוחות הקבל בצורה כזאת שהשדה מחוץ לקבל הוא אפס, לכן האנרגיה האצורה בקבל היא האנרגיה הדרושה ליצירת קבל. נניח ואנו מתחילים מ 2 לוחות ניטרלים ללא כל מטען על גביהם. כעת, ניקח כמות מטען dq קטנה מלוח אחד ללוח שני. מעבר זה דורש עבודה מכיוון שברגע ש"תלשנו" מטען חיובי dq מלוח 1, יצרנו מטען dq המצוי בלוח זה ואשר יוצר פוטנציאל במרחב. כלומר העבודה הדרושה היא לביצוע פעולה זו היא: dw = dqv V = q C העבודה הכוללת הנדרשת להעביר מטען Q מלוח אחד למשנהו ניתנת על ידי אינטגרציה: ˆ W = dw = ˆQ 0 dq q C = 1 Q 2 2 C עבודה זו שווה לאנרגיה החשמלית בקבל: U = 1 Q 2 2 C = 1 2 CV 2 2

גלים אלקטרומגנטיים גל (מימד 1) הפרעה שמתקדמת בזמן ובמרחב. ההפרעה יכולה להיות ניצבת או בכיוון התקדמות הגל. גל המתקדם ימינה vt) f (x גל המתקדם שמאלה vt) f (x + v היא מהירות הגל ו x הוא הקורדינטה שלאורכו הגל מתקדם. זה היה יכול להיות באותה מידה התקדמות לאורך ציר y ו z. משוואת הגלים משוואה דיפרנציאלית מסדר שני אשר מתארת באופן כללי את התנהגותם של גלים שונים. 2 f x 2 = 1 2 f v 2 t 2 כאשר v היא מהירות הגל, והגזירה באגף שמאלי היא לפי הקורדינטה שלאורכו הגל מתקדם. דוגמא לגל שפותר את משוואת הגלים הוא גל הרמוני. S E d A = Q in ɛ 0 B d A = 0 משוואות מקסוול משוואות מקסוול בצורתן הדיפרנציאלית: S C C E d l = dφ B dt B d l = µ 0 I in + µ 0 ɛ 0 ˆ d E dt d A השתיים הראשונות הן משוואת גאוס חשמלי/מגנטי. השלישית הוא פרדאיי והרביעית אמפר. 1

הביטוי השני באגף ימין של חוק אמפר הוא זרם ההעתקה: ɛ 0 ˆ d E dt d A אשר אומר שגם שדה חשמלי שמשתנה בזמן יוצר שדה מגנטי ולא רק התפלגות זרמים. גל אלקטרומגנטי (א"מ) בוואקום גל אלקטרומגנטי בוואקום הוא הפרעה מחזורית הרמונית בשדה החשמלי והמגנטי המתפשטת בזמן ובמרחב. חזית הגל מתקדמת בוואקום במהירות קבועה c. E (x, t) = E 0 sin (kx ωt) ŷ B (x, t) = B 0 sin (kx ωt) ẑ מתוך חוק פרדאיי קיבלתם בכיתה כי יש קשר בין גודל השדה החשמלי לגודל השדה המגנטי: E B = c כאשר c = 3 10 8 m/s היא מהירות האור, המהירות המירבית אשר קיימת בטבע. מחוק אמפר נמצא גם את ערכו של c: c = 1 µ0 ɛ 0 יש קשר בין אורך הגל λ לבין המהירות של הגל v דרך זמן המחזור T: v = λ 2π T = k 2π ω = ω k k = 2π 2π הוא מספר הגל ולעיתים מייצגים אותו λ = ω היא התדירות הזוויתית ו T כאשר כוקטור הגל שכיוונו הוא כיוון התקדמות הגל. בנוסף, השדה החשמלי מאונך לשדה המגנטי ושניהם מאונכים לכיוון התקדמות הגל: E B k וקטור פויינטינג כאשר יש לנו שדות חשמליים ומגנטיים במרחב אנחנו יכולים לדבר על אנרגיה אלקטרומגנטית. כאשר גל אלקטרומגנטי נושא איתו שדה חשמלי ומגנטי ניתן לדבר על שטף אנרגיה אלקטרומגנטית כיוון שהשדות בתנועה, יש אנרגיה א"מ שזורמת במרחב. וקטור פוינטינג מצביע לכיוון אליו 2

האנרגיה זורמת וגודלו הוא ההספק ליחידת שטח שחוצה את המשטח הניצב לוקטור פוינטינג. הוא למעשה מתאר את שטף צפיפות האנרגיה האלקטרומגנטית. S = 1 µ 0 E B [S] = J m 2 s מהגדרת וקטור פויינטינג אנו רואים שהוא מצביע לכיוון התקדמות הגל והם למעשה מהווים שלשה הנשמעת לכלל יד ימין. עבור גל אלקטרומגנטי בואקום: S = 1 µ 0 EB = c µ 0 B 2 = 2cu B S = 1 µ 0 EB = 1 µ 0 c E2 = 1 µ 0 ɛ 0 c ɛ 0E 2 = 2cu E כאשר u E ו u B הם צפיפות האנרגיה (אנרגיה ליחידת נפח) החשמלית והמגנטית בהתאמה. לכן סך צפיפות האנרגיה האלקטרומגנטית במרחב: u EM = u E + u B = S 2c + S 2c = S c U = ˆ (u E + u B ) dv = ɛ 0 2 ˆ E 2 dv + 1 ˆ 2µ 0 B 2 dv נזכור כי: u E = 1 2 ɛ 0E 2 u B = 1 B 2 2 µ 0 3

תורת היחסות הפרטית עקרונות יסוד 1. עקרון היחסות חוקי הפיסיקה אינם משתנים כאשר עוברים ממערכת ייחוס אינרציאלית (מע' ייחוס שאינה מאיצה) אחת למערכת ייחוס אינרציאלית אחרת. 2. אינווריאנטיות מהירות האור מהירות האור קבועה לכל צופה, בלא תלות במהירות היחסית שלו ביחס לגוף שפלט את האור. מכך עולה שהסימולטניות היא לא גודל שנשמר בין מערכות ייחוס אינרציאליות הנעות במהירויות שונות. כלומר, שני צופים הנמצאים בתנועה יחסית ביניהם, ומודדים את אותו צמד אירועים, עשויים שלא להסכים ביניהם בשאלה האם אירועים אלו התרחשו באותם זמנים. טרנספורמציית גלילאו אם קיימות שתי מערכות ייחוס, S ו S כאשר האחרונה נעה במהירות v ביחס לראשונה בכיוון x החיובי, ומתלכדים בזמן = 0 t,t = אז בזמן > 0 :t x = x vt טרנס' זו נכונה עבור מהירויות נמוכות v. c טרנספורמציית לורנץ y = y z = z t = t כאשר המערכת S נעה במהירות גבוהה v הקרובה למהירות האור, אז בזמן t במערכת ייחוס הנעה S: x = γ (x vt) y = y z = z t = γ (t v ) c 2 x הטרנספורציה ההפוכה, בזמן t במערכת ייחוס S: x = γ (x + vt ) t = γ (t + v c 2 x ) 1

למעשה, עדיף לא להיקבע לסימונים של המערכות השונות (עם טאג בלי טאג) ולזכור שאם אנחנו רוצים למדוד במערכת כלשהי אירוע (מיקום, זמן או מהירות) שמתרחש במערכת שנעה במהירות v± אליה, אז הסימון לפני הגודל v יהיה ± בהתאמה. טרנספומציה של הפרשים בין קורדינטות של זוג מאורעות x = γ ( x v t) t = γ ( t v ) c 2 x x = γ ( x + v t ) t = γ ( t + v c 2 x ) בו זמניות במערכות ייחוס שונות אם צופה א' רואה שני אירועים רחוקים זה מזה מתרחשים סימולטנית (באותו זמן), אזי צופה ב' הנע ביחס לצופה א' יראה אותם מתרחשים בזמנים שונים. אם שתי מאורעות קרו בו זמנית ב S, כלומר = 0 t אבל לא באותו מקום 0 x, אז t = γ v c 2 x התארכות הזמן נניח שתי מאורעות קרו באותו מקום ב S, כלומר = 0 x, אבל בזמנים שונים = 0 t. אז t = γ t היות וזה התרחש באותו מקום (כך המצב אם מדובר במערכת המנוחה של הגוף), אז t = t 0 הוא זמן עצמי. t = γ t 0 כלומר, כל מערכת אחרת הנעה במהירות v ביחס למערכת של הגוף עבורו אנו מודדים זמן עצמי (להזכירכם 2 הזמנים שאת הפרשם אנו מודדים חייבים להתרחש באותו המקום), תמדוד זמן יותר ארוך. התקצרות האורך נניח שישנו מקל הנמצא במנוחה ב S ומקביל לצירים x ו x. האורך שנמדוד במערכת המנוחה הוא x. = L 0 במערכת S הנעה ימינה במהירות v, המקל מצוי בתנועה וכדי 2

למדוד אורך צריך למדוד את מיקום שתי הקצוות בו זמנית, כלומר, = 0 t ולכן: x = γ ( x + v t ) L 0 = γl L = L 0 γ כלומר כל מערכת אחרת הנעה במהירות v ביחס למערכת המנוחה של המוט תמדוד אורך יותר קצר מהאורך העצמי שלו L. 0 היחסיות של המהירות אם חלקיק נע במהירות u במערכת ייחוס S אשר נעה במהירות v לאורך ציר x, אז מהירותו u במערכת S היא: u y = y t u x = x t = γ ( x v t x ) γ ( t v c x ) = t v 1 v x 2 c 2 t u x = u x v 1 vu x c 2 עבור רכיב מהירות בכיוון ניצב למהירות היחסית בין המע' אנו נקבל מהחלוקה = : y t u y = u y = 1 γ y t = u y 1 vu x c 2 y γ ( t v c 2 x ) = u z = 1 γ u z 1 vu x c 2 y t γ ( ) 1 v x c 2 t טרנס' הפוכה היא הפיכת הסימן של המהירות מ v ל v. תנע p = mvγ אנרגיה לכל מסה יש אנרגיה גם ללא תנועה הנקראית אנרגית מנוחה: E 0 = mc 2 E = γmc 2 K = E E 0 = (γ 1) mc 2 3