ΡΟΠΗ ΑΓΡΑΝΔΙΑ -ΘΔΜΔΛΙΩΓΗ ΝΟΜΟ ΣΗ ΣΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΗ

ΡΟΠΗ ΑΓΡΑΝΔΙΑ -ΘΔΜΔΛΙΩΓΗ ΝΟΜΟ ΣΗ ΣΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΗ 1.ΡΟΠΗ ΑΓΡΑΝΔΙΑ Α. ΡΟΠΗ ΑΓΡΑΝΔΙΑ ΔΝΟ ΣΔΡΔΟΤ ΩΜΑΣΟ Ω ΠΡΟ ΔΝΑ ΑΞΟΝΑ Έζησ έλα ζηεξεό ζώκα, ην νπνίν ζηξέθεηαη γύξσ από ην ζηαζεξό άμνλα z z, όπσο θαίλεηαη ζην δηπιαλό ζρήκα. Υσξίδνπκε ην ζώκα ζε ζηνηρεηώδε ηκήκαηα κε κάδεο m 1, m, m λ ηόζν κηθξά ώζηε θαζέλα από απηά λα κπνξεί λα ζεσξεζεί πιηθό ζεκείν. Οη κάδεο m 1, m, m λ θηλνύληαη θπθιηθά γύξσ από ηνλ άμνλα, ζε θύθινπο κε αθηίλεο r 1, r, r λ αληίζηνηρα. Ολνκάδνπκε ξνπή αδξάλεηαο Ι ελόο ζηεξενύ ωο πξνο ηνλ άμνλα z z ην άζξνηζκα ηωλ γηλνκέλωλ ηωλ ζηνηρεηωδώλ καδώλ από ηηο νπνίεο απνηειείηαη ην ζώκα επί ηα ηεηξάγωλα ηωλ απνζηάζεωλ ηνπο από ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο. Γειαδή: I = m 1. r 1 + m. r + + m λ. r λ Η ξνπή αδξάλεηαο είλαη κνλόκεηξν κέγεζνο θαη ζην ζύζηεκα S.I. έρεη κνλάδα κέηξεζεο ην 1 N.m Η ξνπή αδξάλεηαο ελόο ζηεξενύ ζώκαηνο νξίδεηαη πάληα σο πξνο έλα άμνλα. Αλ ν άμνλαο πεξηζηξνθήο ηνπ ζώκαηνο αιιάμεη ηόηε ε ξνπή αδξάλεηαο ηνπ ζηεξενύ ζώκαηνο σο πξνο ηνλ άμνλα απηό ζα είλαη δηαθνξεηηθή. Β. ΡΟΠΗ ΑΓΡΑΝΔΙΑ ΔΝΟ ΣΔΡΔΟΤ ΩΜΑΣΟ Ω ΠΡΟ ΔΝΑ ΑΞΟΝΑ Από ηνλ νξηζκό ηεο ξνπήο αδξάλεηαο πξνθύπηεη όηη ε ξνπή αδξάλεηαο ελόο πιηθνύ ζεκείνπ κάδαο m,ην νπνίν θηλείηαη θπθιηθά ζε θύθιν αθηίλαο r σο πξνο ηνλ άμνλα z z πνπ δηέξρεηαη από ην θέληξν ηεο θπθιηθή ο ηξνρηάο θαη είλαη θάζεηνο ζην επίπεδό ηεο, δίλεηαη από ηε ζρέζε: I = m. r ΚΕΦ.4 ΡΟΠΗ ΑΓΡΑΝΔΙΑ- ΘΔΜΔΛΙΩΓΗ ΝΟΜΟ ΣΗ ΣΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΗ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 1

Γ.ΘΔΩΡΗΜΑ STEINER (ΘΔΩΡΗΜΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΑΞΟΝΩΝ) Tν ζεώξεκα παξαιιήισλ αμόλσλ ή ζεώξεκα Steiner ζπλδέεη ηελ ξνπή αδξάλεηαο Ι cm ελόο ζώκαηνο σο πξνο άμνλα πνπ δηέξρεηαη από ην θέληξν κάδαο ηνπ κε ηελ ξνπή αδξάλεηαο Ι ηνπ ζώκαηνο σο πξνο νπνηνδήπνηε άιιν άμνλα, παξάιιειν κε ηνλ πξώην, θαη ν νπνίνο απέρεη απόζηαζε d από απηόλ. Αλ Ι cm είλαη ε ξνπή αδξάλεηαο ελόο ζώκαηνο κάδαο Μ ωο πξνο άμνλα πνπ δηέξρεηαη από ην θέληξν κάδαο ηνπ, ε ξνπή αδξάλεηαο ηνπ ζώκαηνο ωο πξνο έλαλ άμνλα πνπ είλαη παξάιιεινο θαη απέρεη απόζηαζε d από ηνλ πξώην είλαη ίζε κε ην άζξνηζκα ηεο ξνπήο αδξάλεηαο ωο πξνο ηνλ άμνλα πνπ δηέξρεηαη από ην θέληξν κάδαο ηνπ ζώκαηνο θαη ηνπ γηλνκέλνπ ηεο κάδαο ηνπ ζώκαηνο επί ην ηεηξάγωλν ηεο απόζηαζεο d. Γειαδή: I = Ι cm +M.d Η ξνπή αδξάλεηαο ελόο ζώκαηνο σο πξνο άμνλεο παξάιιεινπο κεηαμύ ηνπο, παίξλεη ηελ ειάρηζηε ηηκή ηεο γηα ηνλ άμνλα πνπ δηέξρεηαη από ην θέληξν κάδαο ηνπ ζώκαηνο. Από ηνλ νξηζκό ηεο ξνπήο αδξάλεηαο θαη από ην ζεώξεκα Steiner πξνθύπηεη όηη ε ξνπή αδξάλεηαο ελόο ζώκαηνο πνπ ζηξέθεηαη γύξσ από ζηαζεξό άμνλα εμαξηάηαη: 1. από ηελ νιηθή κάδα ηνπ ζώκαηνο.. από ηελ θαηαλνκή ηεο κάδαο ηνπ ζώκαηνο σο πξνο ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο ηνπ, ε νπνία έρεη λα θάλεη κε ην κέγεζνο θαη ην ζρήκα ηνπ ζώκαηνο. 3. από ηε ζέζε ηνπ άμνλα πεξηζηξνθήο. Όηαλ δύν ή πεξηζζόηεξα ζώκαηα έρνπλ ηνλ ίδην άμνλα πεξηζηξνθήο, ηόηε νη ξνπέο αδξάλεηαο ησλ ζσκάησλ απηώλ σο πξνο ηνλ άμνλα απηό πξνζηίζεληαη όπσο νη κάδεο ηνπο. Γειαδή, ηζρύεη: Ι νι = Ι 1 +Ι +..+Ι λ. ΘΔΜΔΛΙΩΓΗ ΝΟΜΟ ΣΗ ΣΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΗ Α. ΘΔΜΔΛΙΩΓΗ ΝΟΜΟ ΣΗ ΣΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΗ Γηα λα κεηαβιεζεί ε ηαρύηεηα ελόο πιηθνύ ζεκείνπ, πξέπεη λα αζθεζεί ζ απηό δύλακε. Η ζρέζε αλάκεζα ζηελ αηηία (δύλακε) θαη ην απνηέιεζκα (επηηάρπλζε) είλαη: F = m.α Η παξαπάλσ ζρέζε είλαη γλσζηή σο ν ζεκειηώδεο λόκνο ηεο κεραληθήο. Αληίζηνηρνο λόκνο ηζρύεη ζηε ζηξνθηθή θίλεζε ησλ ζηεξεώλ ζσκάησλ. Γηα λα κεηαβιεζεί ε γσληαθή ηαρύηεηα ελόο ζώκαηνο πνπ ζηξέθεηαη γύξσ από ζηαζεξό άμνλα, πξέπεη λα αζθεζεί ζ απηό ξνπή. Η ζρέζε αλάκεζα ζηελ αηηία (ξνπή) θαη ην απνηέιεζκα (γσληαθή επηηάρπλζε) απνηειεί ηνλ ζεκειηώδε λόκν ηεο ζηξνθηθήο θίλεζεο, ν νπνίνο δηαηππώλεηαη σο εμήο: ΚΕΦ.4 ΡΟΠΗ ΑΓΡΑΝΔΙΑ- ΘΔΜΔΛΙΩΓΗ ΝΟΜΟ ΣΗ ΣΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΗ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα

Σν αιγεβξηθό άζξνηζκα ηωλ ξνπώλ πνπ δξνπλ πάλω ζε έλα ζηεξεό ζώκα, ην νπνίν πεξηζηξέθεηαη γύξω από ζηαζεξό άμνλα, είλαη ίζν κε ην γηλόκελν ηεο ξνπήο αδξάλεηαο ηνπ ζώκαηνο ωο πξνο ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο θαη ηεο γωληαθήο επηηάρπλζεο ηνπ ζώκαηνο. η =Ια Β.ΦΤΙΚΗ ΗΜΑΙΑ ΣΗ ΡΟΠΗ ΑΓΡΑΝΔΙΑ Από ηε ζρέζε η =Ια θαίλεηαη όηη, γηα κηα νξηζκέλε ηηκή ηνπ κέηξνπ ηεο ξνπήο η, όζν κεγαιύηεξε είλαη ε ξνπή αδξάλεηαο Ι ηνπ ζώκαηνο, ηόζν κηθξόηεξν είλαη ην κέηξν α ηεο γσληαθήο επηηάρπλζεο πνπ απνθηά ην ζώκα. Αξα, όζν κεγαιύηεξε είλαη ε ξνπή αδξάλεηαο ελόο ζώκαηνο, ηόζν πην δύζθνια αιιάδεη ε πεξηζηξνθηθή θαηάζηαζε ηνπ ζώκαηνο. Η ξνπή αδξάλεηαο εθθξάδεη ζηελ πεξηζηξνθηθή θίλεζε ό,ηη εθθξάδεη ε κάδα ζηε κεηαθνξηθή θίλεζε. Η κάδα εθθξάδεη ζηε κεηαθνξηθή θίλεζε ηελ αληίδξαζε πνπ πξνβάιιεη έλα ζώκα ζε θάζε κεηαβνιή ηεο ηαρύηεηάο ηνπ. Η ξνπή αδξάλεηαο εθθξάδεη ζηελ πεξηζηξνθηθή θίλεζε ηελ αληίδξαζε πνπ πξνβάιιεη έλα ζηεξεό ζώκα ζε θάζε κεηαβνιή ηεο γσληαθή ο ηνπ ηαρύηεηαο. Η κάδα ελόο ζώκαηνο είλαη έλα ζηαζεξό κέγεζνο ελώ ε ξνπή αδξάλεηαο ηνπ ζώκαηνο. εμαξηάηαη θάζε θνξά από ηε ζέζε ηνπ άμνλα πεξηζηξνθήο. Σελ κηθξόηεξε ξνπή αδξάλεηαο έρεη έλα ζώκα σο πξνο άμνλα πνπ πεξλά από ην θέληξν κάδαο ηνπ. Σόηε, γηα κηα νξηζκέλε ηηκή ηνπ κέηξνπ ηεο ξνπήο η, ην κέηξν α = Στ ηεο γσληαθήο επηηάρπλζεο πνπ απνθηά ην ζώκα είλαη Ι cm κέγηζην. Άξα, πνην εύθνια αιιάδεη ε πεξηζηξνθηθή θαηάζηαζε ηνπ ζώκαηνο όηαλ ν άμνλαο πεξηζηξνθήο πεξλά από ην θέληξν κάδαο ηνπ. Γ.ΓΙΔΡΔΤΝΗΗ ΣΗ ΥΔΗ η=ια α. Θέηνληαο ζηε ζρέζε απηή η = 0, παίξλνπκε α =0. Γειαδή, αλ ην αιγεβξηθό άζξνηζκα ησλ ξνπώλ είλαη κεδέλ, ηόηε ε γσληαθή επηηάρπλζε ηνπ ζώκαηνο είλαη κεδέλ θαη ε γσληαθή ηνπ ηαρύηεηα δηαηεξείηαη ζηαζεξή. αλ ην ζώκα αξρηθά δε ζηξέθεηαη (σ = 0), ζα εμαθνινπζήζεη λα κε ζηξέθεηαη αλ ην ζώκα αξρηθά ζηξέθεηαη κε γσληαθή ηαρύηεηα σ, ζα εμαθνινπζήζεη λα ζηξέθεηαη κε ηελ ίδηα γσληαθή ηαρύηεηα σ. (Αξρή ηεο αδξάλεηαο ζηελ ζηξνθηθή θίλεζε). β. Θέηνληαο ζηε ζρέζε απηή η =ζηαζ., παίξλνπκε α = ζηαζ. Απηό ζεκαίλεη όηη, αλ ζε έλα ζώκα πνπ έρεη ηε δπλαηόηεηα λα ζηξέθεηαη γύξσ από ζηαζεξό άμνλα αζθείηαη ζηαζεξή ζπληζηακέλε ξνπή, ην ζώκα ζηξέθεηαη κε ζηαζεξή γσληαθή επηηάρπλζε, δειαδή εθηειεί νκαιά κεηαβαιιόκελε ζηξνθηθή θίλεζε. ΚΕΦ.4 ΡΟΠΗ ΑΓΡΑΝΔΙΑ- ΘΔΜΔΛΙΩΓΗ ΝΟΜΟ ΣΗ ΣΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΗ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 3

γ.αλ η ζηαζ => α ζηαζ. Γει. αλ ζε έλα ζώκα πνπ έρεη ηε δπλαηόηεηα λα ζηξέθεηαη γύξσ από ζηαζεξό άμνλα αζθείηαη ζπληζηακέλε ξνπή πνπ ε ηηκή ηεο κεηαβάιιεηαη, ην ζώκα ζηξέθεηαη κε γσληαθή επηηάρπλζε πνπ ε ηηκή ηεο κεηαβάιιεηαη, δειαδή εθηειεί νκαιά κεηαβαιιόκελε ζηξνθηθή θίλεζε όρη όκσο νκαιή. ηελ πεξίπησζε απηή γηα ηελ ιύζε ησλ αζθήζεσλ εθαξκόδνπκε ελεξγεηαθά ζεσξήκαηα (Θ.Μ.Κ.Δ. ή Α.Γ.Δ.) δ.ο ζεκειηώδεο λόκνο ηεο ζηξνθηθήο θίλεζεο ηζρύεη θαη ζηηο ζύλζεηεο θηλήζεηο ζηηο νπνίεο ην ζώκα θάλεη ηαπηόρξνλα κεηαθνξηθή θαη ζηξνθηθή θίλεζε, όπσο ζηελ θύιηζε ελόο ηξνρνύ. Ο ζεκειηώδεο λόκνο ηεο ζηξνθηθήο θίλεζεο ηζρύεη θαη ζηηο πεξηπηώζεηο πνπ ν άμνλαο πεξηζηξνθήο κεηαηνπίδεηαη, αξθεί απηόο: λα δηέξρεηαη από ην θέληξν κάδαο ηνπ ζώκαηνο, λα είλαη άμνλαο ζπκκεηξία ο ηνπ ζώκαηνο θαη λα κελ αιιάδεη θαηεύζπλζε θαηά ηε δηάξθεηα ηεο θίλεζεο. ΚΕΦ.4 ΡΟΠΗ ΑΓΡΑΝΔΙΑ- ΘΔΜΔΛΙΩΓΗ ΝΟΜΟ ΣΗ ΣΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΗ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 4

Α) ΡΟΠΗ ΑΓΡΑΝΔΙΑ ΠΑΡΑΓΔΙΓΜΑ 1 Σέζζεξα ζώκαηα ακειεηέσλ δηαζηάζεσλ, ην θαζέλα κάδαο m, βξίζθνληαη ζηηο θνξπθέο ελόο ηεηξαγώλνπ, ην νπνίν ζρεκαηίδεηαη από ηέζζεξηο αβαξείο ξάβδνπο, ε θαζεκηά κήθνπο L. Α. Να ππνινγίζεηε ηε ξνπή αδξάλεηαο ηνπ ζπζηήκαηνο, όηαλ απηό ζηξέθεηαη: α. γύξσ από άμνλα πνπ είλαη θάζεηνο ζην επίπεδν ηνπ ηεηξαγώλνπ θαη δηέξρεηαη από ην θέληξν ηνπ. β. γύξσ από άμνλα πνπ ηαπηίδεηαη κε κηα πιεπξά ηνπ ηεηξαγώλνπ. γ. γύξσ από άμνλα πνπ ηαπηίδεηαη κε κηα δηαγώλην ηνπ ηεηξαγώλνπ. Β. ε πνηα πεξίπησζε είλαη πην εύθνιν λα ζέζνπκε ην ζύζηεκα ζε πεξηζηξνθή κε γσληαθή ηαρύηεηα σ ; Απ: Α.α. Ι = ml β. Ι = ml γ. Ι = ml Β.(γ) ΠΑΡΑΓΔΙΓΜΑ Καζέλα από ηα ηέζζεξα πηεξύγηα ηνπ έιηθα ελόο ειηθνπηέξνπ κπνξεί λα ζεσξεζεί νκνγελήο ξάβδνο. Σν κήθνο θάζε πηεξπγίνπ είλαη 6m θαη ε κάδα ηνπ 100kg. Τπνινγίζηε ηε ξνπή αδξάλεηαο ησλ ηεζζάξσλ πηεξπγίσλ σο πξνο ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο ηνπο. Γίλεηαη όηη ε ξνπή αδξάλεηαο νκνγελνύο ξάβδνπ κήθνπο L, σο πξνο άμνλα πνπ δηέξρεηαη από ην θέληξν κάδαο ηεο θαη είλαη θάζεηε ζ' απηή, είλαη I cm = 1 1 ML ΠΑΡΑΓΔΙΓΜΑ 3 Απ: 4800 kg m Έλαο ηξνρόο απνηειείηαη από κηα ιεπηή ζηεθάλε, αθηίλαο R = 0,5 m θαη κάδαο Μ = 8 kg, θαη από έμη ιεπηέο αθηίλεο, κήθνπο L = 0,5 m θαη κάδαο m = 0,6 kg ε θαζεκηά, ζπκκεηξηθά ηνπνζεηεκέλεο. Να ππνινγίζεηε ηε ξνπή αδξάλεηαο, σο πξνο άμνλα πνπ δηέξρεηαη από ην θέληξν ηνπ ηξνρνύ θαη είλαη θάζεηνο ζην επίπεδν πνπ νξίδεη ν ηξνρόο: α. ηεο θπθιηθήο ζηεθάλεο. β. θάζε αθηίλαο. γ. ηνπ ηξνρνύ ζπλνιηθά. Να ζεσξήζεηε όηη ην πάρνο ηεο ζηεθάλεο είλαη ακειεηέν ζε ζρέζε κε ηελ αθηίλα ηεο θαη όηη θάζε αθηίλα ηνπ ηξνρνύ είλαη κηα ιεπηή ξάβδνο. Γίλεηαη όηη ε ξνπή αδξάλεηαο κηαο ιεπηήο ξάβδνπ κάδαο m θαη κήθνπο L, σο πξνο άμνλα πνπ δηέξρεηαη από ην κέζν ηεο θαη είλαη θάζεηνο ζ απηή, είλαη ίζε κε I cm = 1/1 ml. Απ:.α. Ι 1 = kg.m β. Ι =0,05 kg.m γ. Ι =,3 kg.m ΚΕΦ.4 ΡΟΠΗ ΑΓΡΑΝΔΙΑ- ΘΔΜΔΛΙΩΓΗ ΝΟΜΟ ΣΗ ΣΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΗ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 5

Β) ΘΔΜΔΛΙΩΓΗ ΝΟΜΟ ΣΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΗ ηξνθηθή Κίλεζε ελόο ζώκαηνο γύξω από ζηαζεξό άμνλα ΠΑΡΑΓΔΙΓΜΑ 1 Οκνγελήο ξάβδνο, κήθνπο L = 1 m θαη κάδαο Μ = 0,3 kg, είλαη νξηδόληηα θαη κπνξεί λα ζηξέθεηαη γύξσ από ζηαζεξό θαηαθόξπθν άμνλα πνπ δηέξρεηαη από ην άθξν ηεο Ο. ην άιιν άθξν Α ηεο ξάβδνπ είλαη ζηεξεσκέλε ζθαίξα ακειεηέσλ δηαζηάζεσλ, κάδαο m = 0,1 kg. Α. Να ππνινγίζεηε ηε ξνπή αδξάλεηαο ηνπ ζπζηήκαηνο, σο πξνο ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο ηεο ξάβδνπ. Β. Σν ζύζηεκα ηίζεηαη ζε πεξηζηξνθή κε γσληαθή ηαρύηεηα κέηξνπ σ 1 =0rad/s, γύξσ από ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο ηεο ξάβδνπ. α. Να ππνινγίζεηε ην κέηξν ηεο ζηαζεξήο ξνπήο πνπ πξέπεη λα αζθεζεί ζην ζύζηεκα, ώζηε ζε ρξόλν Γt= s ην κέηξν ηεο γσληαθήο ηαρύηεηαο πεξηζηξνθήο ηνπ λα γίλεη σ =10rad/s. β. Αλ ε ξνπή δεκηνπξγείηαη κε ηελ επίδξαζε κηαο νξηδόληηαο δύλακεο ζηαζεξνύ κέηξνπ, ε νπνία είλαη θάζεηε ζηνλ θαηά κήθνο άμνλα ηεο ξάβδνπ, πνηα είλαη ε ειάρηζηε ηηκή ηνπ κέηξνπ ηεο δύλακεο απηήο; Η ξνπή αδξάλεηαο ηεο ξάβδνπ σο πξνο ην θέληξν κάδαο ηεο ξάβδνπ είλαη I cm = 1/1 ml. Απ:Α. I=0,kgm Β.α.η=1 Nm β. F ει =1 N ΠΑΡΑΓΔΙΓΜΑ Αβαξήο ξάβδνο ΑΒ, κήθνπο L, κπνξεί λα ζηξέθεηαη ζε θαηαθόξπθν επίπεδν γύξσ από νξηδόληην άμνλα πνπ δηέξρεηαη από ην άθξν Α. Γύν ζθαίξεο ακειεηέσλ Β δηαζηάζεσλ είλαη ζηεξεσκέλεο επάλσ ζηε ξάβδν. Η κηα ζθαίξα, κάδαο m, βξίζθεηαη ζην κέζνλ Κ ηεο ξάβδνπ, ελώ ε άιιε, κάδαο m, βξίζθεηαη ζην άθξν Β. Αθήλνπκε ηε ξάβδν ειεύζεξε από νξηδόληηα ζέζε. α. Πνηα είλαη ε ξνπή αδξάλεηαο ηνπ ζπζηήκαηνο, σο πξνο ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο ηεο ξάβδνπ; β. Πνην είλαη ην είδνο ηεο θίλεζεο ηεο ξάβδνπ; Να δηθαηνινγήζεηε ηελ απάληεζή ζαο. γ. Πνην είλαη ην κέηξν ηεο γσληαθήο επηηάρπλζεο ηεο ξάβδνπ: ί) ηε ζηηγκή πνπ αθήλεηαη ειεύζεξε. ii) ηε ζηηγκή πνπ γίλεηαη θαηαθόξπθε. Γίλεηαη ε επηηάρπλζε ηεο βαξύηεηαο g. Απ:α. I = 6 ml β.επηηαρπλόκελε κε επηηάρπλζε πνπ ειαηηώλεηαη.γ.i) α 1 =g/3l ii) α =0 ΚΕΦ.4 ΡΟΠΗ ΑΓΡΑΝΔΙΑ- ΘΔΜΔΛΙΩΓΗ ΝΟΜΟ ΣΗ ΣΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΗ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 6

ΠΑΡΑΓΔΙΓΜΑ 3 Μηα oκoγελήο ηξνραιία, κάδαο m = 8 kg θαη αθηίλαο R = 0, m, κπνξεί λα ζηξέθεηαη ρσξίο ηξηβέο γύξσ από ηνλ άμνλα ηεο, ν νπνίνο δηέξρεηαη από ην θέληξν ηεο θαη είλαη θάζεηνο ζην επίπεδό ηεο. Γύξσ από ηελ ηξνραιία είλαη ηπιηγκέλν έλα ιεπηό αβαξέο ζρνηλί. Αζθώληαο ζην ζρνηλί ζηαζεξή δύλακε κέηξνπ F = 16 Ν, ε ηξνραιία αξρίδεη λα πεξηζηξέθεηαη ηε ρξνληθή ζηηγκή t = 0. Να ππνινγίζεηε: α. ην κέηξν ηεο γσληαθήο επηηάρπλζεο ηεο ηξνραιίαο. β. ηε γσλία θαηά ηελ νπνία έρεη πεξηζηξαθεί ε ηξνραιία κέρξη ηε ρξνληθή ζηηγκή t = 3s. γ. ην κήθνο ηνπ ζρνηληνύ πνπ έρεη μεηπιηρζεί κέρξη ηε ρξνληθή ζηηγκή t = 3s. Η ξνπή αδξάλεηαο ηεο ηξνραιίαο γύξσ από ηνλ άμνλα ηεο είλαη: I cm =1/ mr. Απ:α. α = 0 rad/s β: θ=90 rad γ. s=18m ΠΑΡΑΓΔΙΓΜΑ 4 ηελ πεξηθέξεηα ελόο ηξνρνύ, κάδαο Μ= kg θαη αθηίλαο R=0,5m, πνπ ζηξέθεηαη κε γσληαθή ηαρύηεηα σ=100 rad/s γύξσ από ηνλ άμνλά ηνπ αζθείηαη ζηαζεξή δύλακε F, εθαπηνκεληθή ζηνλ ηξνρό. Ο ηξνρόο ζηακαηάεη κεηά από 5s. Να ππνινγίζεηε: α) ηε γσληαθή επηηάρπλζε (επηβξάδπλζε) ηνπ ηξνρνύ. β) ην κέηξν ηεο δύλακεο F. γ)ηελ γσλία πνπ δηαγξάθεη κηα αθηίλα ηνπ κέρξη λα ζηακαηήζεη. H ξνπή αδξάλεηαο ηνπ ηξνρνύ είλαη I= 1 MR Απ : α)α = 0rad/s β) F = l0n γ) ζ=50 rad ΚΕΦ.4 ΡΟΠΗ ΑΓΡΑΝΔΙΑ- ΘΔΜΔΛΙΩΓΗ ΝΟΜΟ ΣΗ ΣΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΗ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 7

ύλζεηε Κίλεζε ελόο ζώκαηνο ΠΑΡΑΓΔΙΓΜΑ 5 ε νκνγελή ηξνραιία, κάδαο Μ = 3 kg θαη αθηίλαο R = 0, m, ηπιίγεηαη αβαξέο ζρνηλί, ηνπ νπνίνπ ην ειεύζεξν άθξν ζηεξεώλεηαη ζε ζηαζεξό ζεκείν. Αθήλνπκε ηελ ηξνραιία ειεύζεξε λα θηλεζεί θαη ζεσξνύκε όηη ην ζρνηλί παξακέλεη ζπλερώο θαηαθόξπθν. Να ππνινγίζεηε: α. Σν κέηξν ηεο επηηάρπλζεο ηνπ θέληξνπ κάδαο ηεο ηξνραιίαο. β. Σν κέηξν ηεο ηάζεο ηνπ ζρνηληνύ. γ. Σν κήθνο ηνπ ζρνηληνύ πνπ ζα έρεη μεηπιηρζεί, όηαλ ε γσληαθή ηαρύηεηα ηεο ηξνραιίαο γίλεηαη σ =0 rad/s. Γίλεηαη όηη ε ξνπή αδξάλεηαο ηεο ηξνραιίαο, σο πξνο ηνλ άμνλα ηεο, είλαη Ι cm = 1/MR θαη όηη ε επηηάρπλζε ηεο βαξύηεηαο είλαη g = 10 m/s. Απ: α. α cm =0/3m/s β. T=10 N γ. l=1,m ΠΑΡΑΓΔΙΓΜΑ 6 ε θύιηλδξν κάδαο m=4kg θαη αθηίλαο R=0,m αζθείηαη δύλακε F= 1Ν ζε απόζηαζε r=0,04 m από ην θέληξν Ο. Να ππνινγίζεηε: α. ηε κεηαθνξηθή επηηάρπλζε α cm ζηελ πεξίπησζε πνπ ν θύιηλδξνο θπιά ρσξίο λα γιηζηξά. β. Σελ ειάρηζηε ηηκή ηνπ ζπληειεζηή ζηαηηθήο ηξηβήο ώζηε ν θύιηλδξνο λα θπιά ρσξίο λα γιηζηξά. Γίλεηαη ε ξνπή αδξάλεηαο ηνπ θπιίλδξνπ σο πξνο ηνλ άμνλα ηνπ I= 1 mr γ. Αλ ε αιιάδεη ζεκείν εθαξκνγήο θαηά κήθνο ηεο θαηαθόξπθεο αθηίλαο πξνο ην πάλσ, λα βξεζνύλ νη ηηκέο πνπ κπνξεί λα πάξεη ν ζπληειεζηήο ζηαηηθήο ηξηβήο Απ : α) α cm =,4 m/s β)0,06 γ) 0 0, (min) 1 ΚΕΦ.4 ΡΟΠΗ ΑΓΡΑΝΔΙΑ- ΘΔΜΔΛΙΩΓΗ ΝΟΜΟ ΣΗ ΣΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΗ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 8

ΠΑΡΑΓΔΙΓΜΑ 7 A.πκπαγήο θαη νκνγελήο θύιηλδξνο, αθηίλαο R θαη κάδαο m, θπιίεηαη ρσξίο λα νιηζζαίλεη θαηά κήθνο πιάγηνπ επηπέδνπ, γσλίαο θ. Να ππνινγίζεηε: α. Σν κέηξν ηεο επηηάρπλζεο ηνπ θέληξνπ κάδαο ηνπ θπιίλδξνπ,θαη ηελ γσληαθή ηνπ επηηάρπλζε. β. Σν κέηξν ηεο ζηαηηθήο ηξηβήο, ε νπνία είλαη ππεύζπλε γηα ηελ θύιηζε ηνπ θπιίλδξνπ. γ. Σνλ ειάρηζην ζπληειεζηή ζηαηηθήο ηξηβήο ηνπ θπιίλδξνπ κε ην πιάγην επίπεδν, ώζηε ν θύιηλδξνο λα θπιίεηαη ρσξίο λα νιηζζαίλεη. Η ξνπή αδξάλεηαο ηνπ θπιίλδξνπ, σο πξνο ηνλ άμνλα ζπκκεηξίαο ηνπ, είλαη Ι cm = 1/ mr θαη ε επηηάρπλζε ηεο βαξύηεηαο είλαη g.γίλνληαη: m=6kg,r=0, m, θ=30 0 B. Αλ ν θύιηλδξνο αθήλεηαη αξρηθά από ύςνο h=7,5 m,λα βξεζεί ε γσληαθή ηνπ ηαρύηεηα θαη ν αξηζκόο ησλ πεξηζηξνθώλ ηνπ όηαλ θηάλεη ζηελ βάζε ηνπ επηπέδνπ. Απ: Α. α. α cm =/3gεκθ =10/3 m/s α, α= cm = R 50 rad /s β. T ζη =1/3mgεκθ=10N γ. κ s(min) =εθθ /3 = 3 3 9 Β. σ=50 rad/s, N = 37.5 πεξηζηξ. ΠΑΡΑΓΔΙΓΜΑ 8 'Έλαο νκνγελήο θπθιηθόο δαθηύιηνο, αθηίλαο R θαη κάδαο m, αλεβαίλεη θαηά κήθνο πιάγηνπ επηπέδνπ, γσλίαο θ, ρσξίο λα νιηζζαίλεη. Σε ρξνληθή ζηηγκή t o = 0 ην κέηξν ηεο ηαρύηεηαο ηνπ θέληξνπ κάδαο ηνπ δαθηπιίνπ είλαη π ν. α. Να απνδείμεηε όηη ε ζηαηηθή ηξηβή κεηαμύ ηνπ δαθηπιίνπ θαη ηνπ επηπέδνπ έρεη θνξά πξνο ηα πάλσ. β. Να ππνινγίζεηε ην κέηξν ηεο γσληαθήο επηβξάδπλζεο ηνπ δαθηπιίνπ. γ. Πνηα ρξνληθή ζηηγκή t 1 ν δαθηύιηνο ζα ζηακαηήζεη ζηηγκηαία; δ. Πόζν δηάζηεκα ζα έρεη δηαλύζεη ν δαθηύιηνο ζην ρξνληθό δηάζηεκα Γt = t l -t 0 ; Η ξνπή αδξάλεηαο ηνπ δαθηπιίνπ σο πξνο άμνλα πνπ δηέξρεηαη από ην θέληξν ηνπ θαη είλαη θάζεηνο ζην επίπεδν πνπ νξίδεη είλαη I cm = mr θαη ε επηηάρπλζε ηεο βαξύηεηαο είλαη g. g εκ θ Απ:β. α γ. R π 1 g εκ θ δ. π0 s g εκ θ t 0 ΚΕΦ.4 ΡΟΠΗ ΑΓΡΑΝΔΙΑ- ΘΔΜΔΛΙΩΓΗ ΝΟΜΟ ΣΗ ΣΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΗ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 9

πλδηαζκόο Κηλήζεωλ ωκάηωλ ΠΑΡΑΓΔΙΓΜΑ 9 Η ηξνραιία ηνπ ζρήκαηνο είλαη νκνγελήο, κάδαο Μ =4 kg θαη αθηίλαο R =0, m, θαη κπνξεί λα ζηξέθεηαη γύξσ από ηνλ άμνλά ηεο ρσξίο ηξηβέο. Σν ζώκα έρεη κάδα m = kg θαη είλαη δεκέλν ζην ειεύζεξν άθξν αβαξνύο θαη κε εθηαηνύ ζρνηληνύ, ην νπνίν είλαη ηπιηγκέλν ζηελ πεξηθέξεηα ηεο ηξνραιίαο. Αλ ην ζώκα αθεζεί ειεύζεξν από ηελ εξεκία, λα ππνινγίζεηε: α. ην κέηξν ηεο επηηάρπλζεο κε ηελ νπνία ζα θηλεζεί ην ζώκα. β. ην κέηξν ηεο ηάζεο ηνπ ζρνηληνύ. γ. ην κέηξν ηεο γσληαθήο ηαρύηεηαο ηεο ηξνραιίαο ηε ζηηγκή πνπ ην ζώκα ζα έρεη θαηέιζεη θαηά h =10m. Η ξνπή αδξάλεηαο ηεο ηξνραιίαο σο πξνο ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο ηεο είλαη Ι = 1/ MR θαη ε επηηάρπλζε ηεο βαξύηεηαο είλαη g = 10 m/s. Να ζεσξεζεί όηη κεηαμύ ζρνηληνύ θαη ηξνραιίαο δελ παξαηεξείηαη νιίζζεζε. Απ:α. α= 5 m/s β.σ=10 Ν γ. σ = 0 rad/s ΠΑΡΑΓΔΙΓΜΑ 10 Έλα ζώκα 1, κάδαο m 1 = kg, εξεκεί πάλσ ζε νξηδόληην επίπεδν, κε ην νπνίν παξνπζηάδεη ζπληειεζηή ηξηβήο νιίζζεζεο κ = 0,5. Σν ζώκα 1 είλαη δεκέλν ζην άθξν αβαξνύο λήκαηνο πνπ πεξλά από ην απιάθη κηαο ηξνραιίαο, αθηίλαο R = 10 cm θαη κάδαο Μ = kg. ην άιιν άθξν ηνπ λήκαηνο είλαη δεκέλν ζώκα, κάδαο m =3 kg. Αλ αθήζνπκε ην ζύζηεκα ειεύζεξν λα θηλεζεί, λα βξείηε: α. ην κέηξν ηεο επηηάρπλζεο θάζε ζώκαηνο, β. ην κέηξν ηεο γσληαθήο επηηάρπλζεο ηεο ηξνραιίαο, γ. ηα κέηξα ησλ δπλάκεσλ πνπ αζθεί ην λήκα ζηα ζώκαηα 1 θαη. Η ξνπή αδξάλεηαο ηεο ηξνραιίαο σο πξνο ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο ηεο είλαη Ι cm = 1/ MR θαη ε επηηάρπλζε ηεο βαξύηεηαο είλαη g = 10 m/s. Να ζεσξεζεί όηη κεηαμύ ζρνηληνύ θαη ηξνραιίαο δελ παξαηεξείηαη νιίζζεζε Απ: α.α 1 = α =10/3m/s β. α=100/3 rad/s γ. F =0Ν ΚΕΦ.4 ΡΟΠΗ ΑΓΡΑΝΔΙΑ- ΘΔΜΔΛΙΩΓΗ ΝΟΜΟ ΣΗ ΣΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΗ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 10

ΑΚΗΔΙ 1.Σέζζεξα ζώκαηα ακειεηέσλ δηαζηάζεσλ, ην θαζέλα κάδαο m, βξίζθνληαη ζηηο θνξπθέο ηεηξαγώλνπ πνπ ζρεκαηίδεηαη από ηέζζεξηο αβαξείο ξάβδνπο, ε θαζεκηά κήθνπο L. Να ππoιoγίζεηε ηε ξνπή αδξάλεηαο ηνπ ζπζηήκαηνο, όηαλ απηό ζηξέθεηαη: α. γύξσ από άμνλα πνπ ηαπηίδεηαη κε κηα δηαγώλην ηνπ ηεηξαγώλνπ. β. γύξσ από άμνλα πνπ δηέξρεηαη από ην κέζν κηαο πιεπξάο θαη από ην θέληξν ηνπ ηεηξαγώλνπ. γ. γύξσ από άμνλα πνπ είλαη θάζεηνο ζην επίπεδν ηνπ ηεηξαγώλνπ θαη δηέξρεηαη από κία από ηηο κάδεο ηνπ ζπζηήκαηνο. Απ:α.I=mL β. I=mL γ..i=4ml.σξία ζώκαηα Γ κε ακειεηέεο δηαζηάζεηο, ην θαζέλα κάδαο m, βξίζθνληαη ζηηο θνξπθέο ελόο νξζνγώληνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ, κε Α = 90, Γ = 30 θαη (ΒΓ) = α. Σν ηξίγσλν ζρεκαηίδεηαη από ηξεηο αβαξείο ξάβδνπο. Να ππνινγίζεηε ηε ξνπή αδξάλεηαο ηνπ ζπζηήκαηνο, όηαλ απηό ζηξέθεηαη: α. γύξσ από άμνλα πνπ ηαπηίδεηαη κε ηελ πιεπξά ΑΓ ηνπ ηξηγώλνπ. β. γύξσ από άμνλα πνπ είλαη θάζεηνο ζην επίπεδν ηνπ ηξηγώλνπ θαη δηέξρεηαη από ην κέζν Μ ηεο πιεπξάο ΒΓ. γ. γύξσ από άμνλα πνπ είλαη θάζεηνο ζην επίπεδν ηνπ ηξηγώλνπ θαη δηέξρεηαη από ηε κάδα πνπ βξίζθεηαη ζηελ θνξπθή ηνπ Β. Απ:α.I=mα /4 β. I= 3mα /4 γ..i= 5mα /4 3.Σξία ζώκαηα ακειεηέσλ δηαζηάζεσλ, ην θαζέλα κάδαο m, βξίζθνληαη ζηηο θνξπθέο ηζνπιεύξνπ ηξηγώλνπ, πιεπξάο α, ην νπνίν ζρεκαηίδεηαη από ηξεηο αβαξείο ξάβδνπο. α Να ππνινγίζεηε ηε ξνπή αδξάλεηαο ηνπ ζπζηήκαηνο: α. σο πξνο ηνλ άμνλα πνπ ηαπηίδεηαη κε κηα δηάκεζν ηνπ ηξηγώλνπ. β. σο πξνο άμνλα πνπ είλαη θάζεηνο ζην επίπεδό ηνπ ηξηγώλνπ θαη δηέξρεηαη από ην ζεκείν ηνκήο ησλ δηακέζσλ ηνπ. γ. σο πξνο άμνλα πνπ είλαη θάζεηνο ζην επίπεδν ηνπ ηξηγώλνπ θαη δηέξρεηαη από κηα από ηηο κάδεο ηνπ ζπζηήκαηνο. Απ:α.I=mα / β. I= mα γ..i= mα ΚΕΦ.4 ΡΟΠΗ ΑΓΡΑΝΔΙΑ- ΘΔΜΔΛΙΩΓΗ ΝΟΜΟ ΣΗ ΣΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΗ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 11

4.Γύν ζώκαηα ακειεηέσλ δηαζηάζεσλ, κε ίζεο κάδεο m 1 = m = m ζπλδένληαη κεηαμύ ηνπο κε αβαξή ξάβδν κήθνπο L. Α. Πνηα είλαη ε ξνπή αδξάλεηαο ηνπ ζπζηήκαηνο, σο πξνο άμνλα πνπ είλαη θάζεηνο ζηε ξάβδν θαη δηέξρεηαη: α. από ηε κάδα m 1. β. από ζεκείν ηεο ξάβδνπ πνπ ηε ρσξίδεη ζε δύν κέξε κε ιόγν κεθώλ L 1 / L = 3 / 1. Β. α. Πνηα είλαη ε ειάρηζηε ξνπή αδξάλεηαο ηνπ ζπζηήκαηνο σο πξνο άμνλα z'z πνπ δηέξρεηαη από θάπνην ζεκείν ηεο ξάβδνπ θαη είλαη θάζεηνο ζηε ξάβδν; β. ε πόζε απόζηαζε από ηε κάδα m πξέπεη λα βξίζθεηαη ν άμνλαο z 'z; Απ:Α. α.i=ml β. I= 5mL /8 B. α.i min = ml / β.x=l/ 5.Έλαο ηξνρόο απνηειείηαη από κηα ιεπηή ζηεθάλε, αθηίλαο R = 0,6m θαη κάδαο Μ = 1 kg, θαη ηέζζεξηο ιεπηέο ξάβδνπο, κήθνπο L = 0,6m θαη κάδαο m = 1 kg ε θαζεκία, ζπκκεηξηθά ηνπνζεηεκέλεο, όπσο θαίλεηαη ζην ζρήκα. Να ππνινγίζεηε, σο πξνο ηνλ άμνλα πνπ δηέξρεηαη από ην θέληξν ηνπ ηξνρνύ θαη είλαη θάζεηνο ζην επίπεδν πνπ νξίδεη, ηε ξνπή αδξάλεηαο α. ηεο θπθιηθήο ζηεθάλεο. β. θάζε ξάβδνπ. γ. ηνπ ηξνρνύ. Η ξνπή αδξάλεηαο θάζε ξάβδνπ σο πξνο άμνλα πνπ δηέξρεηαη από ην θέληξν κάδαο θαη είλαη θάζεηνο ζηε ξάβδν είλαη: I cm = 1/1 ml Απ: α. I J =4,3kgm β. Ι =0,lkgm γ. Ι=4,8kgm 6.Οκνγελήο ξάβδνο ΑΒ, κάδαο Μ = 3 kg θαη κήθνπο L = 1 m, κπνξεί λα ζηξέθεηαη ζε νξηδόληην επίπεδν γύξσ από θαηαθόξπθν άμνλα z 'z, ν νπνίνο δηέξρεηαη από ην άθξν Α. ην κέζν Κ ηεο ξάβδνπ είλαη ζηεξεσκέλν ζώκα, ακειεηέσλ δηαζηάζεσλ, κάδαο m=0,8kg. ην άθξν Β ηεο ξάβδνπ αζθείηαη νξηδόληηα δύλακε κέηξνπ F = 18 Ν, ε νπνία είλαη ζπλερώο θάζεηε ζηε ξάβδν. Να ππνινγίζεηε: α. Σε ξνπή αδξάλεηαο ηνπ ζπζηήκαηνο σο πξνο ηνλ άμνλα z'z. β. Σν κέηξν ηεο γσληαθήο επηηάρπλζεο ηεο ξάβδνπ. γ. Σν κέηξν ηεο γξακκηθήο ηαρύηεηαο ηνπ ζώκαηνο ηε ρξνληθή ζηηγκή t=s. ΚΕΦ.4 ΡΟΠΗ ΑΓΡΑΝΔΙΑ- ΘΔΜΔΛΙΩΓΗ ΝΟΜΟ ΣΗ ΣΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΗ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 1

Η ξνπή αδξάλεηαο ηεο ξάβδνπ σο πξνο άμνλα πνπ δηέξρεηαη από ην θέληξν κάδαο θαη είλαη θάζεηνο ζ' απηή είλαη Ι cm = 1/1ΜL. Απ:α. I=1,kgm β. α = 15 rad/s γ. π=15m/s 7.Οξηδόληηα νκνγελήο ξάβδνο ΑΒ, κάδαο Μ θαη κήθνπο L, κπνξεί λα ζηξέθεηαη ζε θαηαθόξπθν επίπεδν γύξσ από νξηδόληην άμνλα πνπ είλαη θάζεηνο ζηε ξάβδν θαη δηέξρεηαη από ην άθξν Α. Η ξάβδνο, πνπ αξρηθά ζπγθξαηείηαη ζε νξηδόληηα ζέζε, αθήλεηαη ειεύζεξε λα πεξηζηξαθεί πεξί ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο ηεο, ρσξίο ηξηβέο. Σε ζηηγκή ηεο εθθίλεζεο ην κέηξν ηεο γσληαθήο επηηάρπλζεο ηεο ξάβδνπ είλαη α 1 =l5rad/s. Να ππνινγίζεηε: α. Σν κήθνο L ηεο ξάβδνπ. β. Σν κέηξν ηεο γσληαθήο επηηάρπλζεο ηεο ξάβδνπ, ηε ζηηγκή πνπ έρεη ζηξαθεί θαηά γσλία ζ = 60 από ηελ αξρηθή νξηδόληηα ζέζε ηεο. γ. Σν κέηξν ηεο γξακκηθήο επηηάρπλζεο ηνπ άθξνπ Β ηεο ξάβδνπ, ηε ζηηγκή πνπ γίλεηαη θαηαθόξπθε. Η ξνπή αδξάλεηαο ηεο ξάβδνπ σο πξνο άμνλα πνπ είλαη θάζεηνο ζηε ξάβδν θαη δηέξρεηαη από ην θέληξν κάδαο ηεο είλαη Ι cm = 1/1ΜL θαη ε επηηάρπλζε ηεο βαξύηεηαο είλαη g = 10m/s. Απ: α.l=lm β. α = 7,5 rad/s γ. α Β =0 8.Οξηδόληηα νκνγελήο ξάβδνο, κήθνπο L=1m, κπνξεί λα ζηξέθεηαη γύξσ από νξηδόληην άμνλα πνπ δηέξρεηαη από ην έλα άθξν ηεο. Πνηα είλαη ε γσληαθή επηηάρπλζε ηεο ξάβδνπ, ηε ζηηγκή πνπ, από ηελ νξηδόληηα ζέζε, αθήλεηαη ειεύζεξε Ή ξνπή αδξάλεηαο ηεο ξάβδνπ σο πξνο άμνλά πνπ πεξλά από ην θέληξν κάδαο ηεο είλαη I cm = 1 1 ML θαη ε επηηάρπλζε ηεο βαξύηεηαο g=10 m/s. Απ : 15 rad/s 9. Έλαο ηξνρόο κάδαο m=10 kg θαη αθηίλαο R.=0,m έρεη ηε κάδα ηνπ ζπγθεληξσκέλε ζηελ πεξηθέξεηά ηνπ. Ο ηξνρόο ζηξέθεηαη γύξσ από άμνλα θάζεην ζην επίπεδό ηνπ, ν νπνίνο δηέξρεηαη από ην θέληξν ηνπ ηξνρνύ. Η γσληαθή ηαρύηεηα ηνπ ηξνρνύ είλαη σ 0 =80 rad/s Με ηε βνήζεηα νξηδόληηαο ξάβδνπ αζθνύκε ζηνλ ηξνρό θάζε ηε δύλακε F=40 Ν. Αλ ν ζπληειεζηήο ηξηβήο ξάβδνπ θαη ηξνρνύ είλαη κ=0,1 κεηά από πόζν ρξόλν ζα ζηακαηήζεη ν ηξνρόο. Απ : t=40 s ΚΕΦ.4 ΡΟΠΗ ΑΓΡΑΝΔΙΑ- ΘΔΜΔΛΙΩΓΗ ΝΟΜΟ ΣΗ ΣΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΗ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 13

10. Σξνρόο ζηξέθεηαη γύξσ από ηνλ άμνλά ηνπ κε ζπρλόηεηα 10 Ηz. Αλ ζηνλ ηξνρό αζθεζεί ξνπή 0 Νm, ε ζπρλόηεηά ηνπ κεηαβάιιεηαη νκαιά θαη ζε ρξόλν 6s γίλεηαη 70 Ηz. Να ππνινγίζεηε ηε ξνπή αδξάλεηαο ηνπ ηξνρνύ. Απ :I=1/π kgm 11. Σξνρόο κάδαο Μ=1kg θαη αθηίλαο R=0, m ζηξέθεηαη κε ζηαζεξή γσληαθή ηαρύηεηα σ = 100 rad/s. ηνλ ηξνρό αζθείηαη δύλακε ηξηβήο, κέηξνπ 5 Ν, θαηά ηε δηεύζπλζε ηεο εθαπηνκέλεο. Να ππνινγίζεηε ζε πόζν ρξόλν ζα ζηακαηήζεη ν ηξνρόο. Γίλεηαη ε ξνπή αδξάλεηαο ηνπ ηξνρνύ σο πξνο ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο ηνπ Ι =. 1 MR Απ : t= s 1. Δλαο ηξνρόο ζηξέθεηαη γύξσ από ζηαζεξό άμνλα, κε γσληαθή ηαρύηεηα σ 0 =40 rad/s. Η ξνπή αδξάλεηαο ηνπ ηξνρνύ σο πξνο ηνλ άμνλα είλαη Ι=kgm.Κάπνηα ζηηγκή αζθείηαη ζηνλ ηξνρό ξνπή η=0νm, ε νπνία ηνλ επηβξαδύλεη.να ππνινγίζεηε: α. ζε πόζν ρξόλν ζα ζηακαηήζεη ν ηξνρόο, β. ηε γσλία θ πνπ ζα δηαγξάςεη ζπλνιηθά κηα αθηίλα ηνπ ηξνρνύ. Απ : α) t=4 s β)θ=80 rad 13. ηελ πεξηθέξεηα κηαο αθίλεηεο ηξνραιίαο, αθηίλαο 0 cm, είλαη ηπιηγκέλν ζθνηλί. Αζθώληαο ζην ζθνηλί νξηδόληηα δύλακε 0π Ν πεξηζηξέθνπκε ηελ ηξνραιία. Βξέζεθε όηη όηαλ ε ηξνραιία έρεη θάλεη ηέζζεξηο πεξηζηξνθέο έρεη ζπρλόηεηα.f=4 Ηz. Να ππνινγηζηεί ε κάδα ηεο. Γίλεηαη όηη ε ξνπή αδξάλεηαο ηεο ηξνραιίαο σο πξνο ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο ηεο είλαη. 1 I mr Απ: 50 kg 14.Μία αξρηθά αθίλεηε ηξνραιία, κάδαο Μ θαη αθηίλαο R = 0,4 m, κπνξεί λα ζηξέθεηαη ρσξίο ηξηβέο γύξσ από ηνλ άμνλά ηεο. Γύξσ από ηελ ηξνραιία είλαη ηπιηγκέλν ιεπηό αβαξέο ζρνηλί. Με ηε βνήζεηα ηνπ ζρνηληνύ, αζθνύκε ζηελ ηξνραιία εθαπηνκεληθή δύλακε ζηαζεξνύ κέηξνπ F = 10Ν θαη ηελ αλαγθάδνπκε λα πεξηζηξαθεί γύξσ από ηνλ άμνλά ηεο. Σε ζηηγκή πνπ έρεη ζηξαθεί θαηά γσλία ζ=40 rad, ε γσληαθή ηαρύηεηα ηεο ηξνραιίαο έρεη κέηξν σ =0rad/s. Να ππνινγίζεηε: α. ην κέηξν ηεο γσληαθήο επηηάρπλζεο ηεο ηξνραιίαο. β. ην κέηξν ηεο γξακκηθήο επηηάρπλζεο ησλ ζεκείσλ ηεο πεξηθέξεηαο ηεο ηξνραιίαο. γ. ηε κάδα Μ ηεο ηξνραιίαο. Η ξνπή αδξάλεηαο ηεο ηξνραιίαο σο πξνο ηνλ άμνλά ηεο είλαη: I cm = 1/MR. Να ζεσξεζεί όηη κεηαμύ ζρνηληνύ θαη ηξνραιίαο δελ παξαηεξείηαη νιίζζεζε. Απ: α. α =5rad/s β. α ε = m/s γ. Μ = 10 kg ΚΕΦ.4 ΡΟΠΗ ΑΓΡΑΝΔΙΑ- ΘΔΜΔΛΙΩΓΗ ΝΟΜΟ ΣΗ ΣΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΗ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 14

15.Σν κέηξν ηεο γσληαθήο ηαρύηεηαο ελόο ηξνρνύ πνπ ζηξέθεηαη γύξσ από ηνλ άμνλά ηνπ κεηαβάιιεηαη κε ην ρξόλν, όπσο θαίλεηαη ζην δηάγξακκα ηνπ ζρήκαηνο. α. Να απνδείμεηε όηη ν ηξνρόο εθηειεί νκαιά επηβξαδπλόκελε ζηξνθηθή θίλεζε. β. Να ππνινγίζεηε ην κέηξν ηεο γσληαθήο επηβξάδπλζεο ηνπ ηξνρνύ. γ. Να ππνινγίζεηε ην κέηξν ηεο ξνπήο πνπ αζθείηαη ζηνλ ηξνρό, σο πξνο ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο ηνπ. δ. Να ππνινγίζεηε ηνλ αξηζκό ησλ πεξηζηξνθώλ πνπ ζα εθηειέζεη ν ηξνρόο κέρξη λα ζηακαηήζεη. Γίλεηαη ε ξνπή αδξάλεηαο ηνπ ηξνρνύ σο πξνο ηνλ άμνλά ηνπ: I cm = kgm. Απ: β. α = 4 rad/s γ. η=8 N.m δ. N=5/π πεξ 16.Οκνγελήο δίζθνο ζηξέθεηαη γύξσ από άμνλα πνπ δηέξρεηαη από ην θέληξν ηνπ θαη είλαη θάζεηνο ζην επίπεδό ηνπ κε γσληαθή ηαρύηεηα κέηξνπ σ ν. Όηαλ ζηελ πεξηθέξεηα ηνπ δίζθνπ αζθείηαη εθαπηνκεληθά κηα δύλακε F 1 ζηαζεξνύ κέηξνπ, ν δίζθνο αλαγθάδεηαη λα ζηακαηήζεη ζε ρξνληθό δηάζηεκα Γt 1 =4s. Όηαλ ζηελ πεξηθέξεηα ηνπ δίζθνπ αζθείηαη ηαπηόρξνλα κε ηε δύλακε F 1 θαη κηα δεύηεξε δύλακε F ζηαζεξνύ κέηξνπ, πνπ ε ξνπή ηεο σο πξνο ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο ηνπ δίζθνπ έρεη ζηαζεξό κέηξν η F =50Nm, ν δίζθνο αλαγθάδεηαη λα ζηακαηήζεη ζε ρξνληθό δηάζηεκα Γt =4 s. α. Ν α ππoινγίζεηε ην κέηξν ηεο ξνπήο ηεο δύλακεο F 1. β. Αλ είλαη σ ν = 80 rad/s, λα ππνινγίζεηε ηε ξνπή αδξάλεηαο ηνπ δίζθνπ σο πξνο ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο ηνπ. Απ:α. η F1 = 10 N.m β.i cm = 3kgm 17.Οκνγελήο νξηδόληηνο δίζθνο, αθηίλαο R =0,4m θαη κάδαο M=5kg, κπνξεί λα ζηξέθεηαη γύξσ από άμνλα πνπ δηέξρεηαη από ην θέληξν ηνπ Ο θαη είλαη θάζεηνο ζην επίπεδό ηνπ. Πάλσ ζην δίζθν βξίζθεηαη κηθξό ζώκα, κάδαο m = 0, 5 kg, ζε απόζηαζε r = 0, m από ην θέληξν Ο ηνπ δίζθνπ. Ο ζπληειεζηήο ζηαηηθήο ηξηβήο κεηαμύ ηνπ ζώκαηνο θαη ηνπ δίζθνπ είλαη κ ζ = 0,. Κάπνηα ζηηγκή αζθείηαη εθαπηνκεληθά ηεο πεξηθέξεηαο ηνπ δίζθνπ θαη ζε ηπραίν ζεκείν απηήο δύλακε F ζηαζεξνύ κέηξνπ, ε νπνία ηνπ πξνζδίδεη ζηαζεξή γσληαθή επηηάρπλζε κέηξνπ α = 0,8rad/s. Α. Να ππνινγίζεηε: α. ηε ξνπή αδξάλεηαο ηνπ ζπζηήκαηνο, σο πξνο ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο ηνπ δίζθνπ. β. ην κέηξν ηεο δύλακεο F. ΚΕΦ.4 ΡΟΠΗ ΑΓΡΑΝΔΙΑ- ΘΔΜΔΛΙΩΓΗ ΝΟΜΟ ΣΗ ΣΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΗ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 15

Β. Πνηνο είλαη ν ξόινο ηεο ζηαηηθήο ηξηβήο ζην ρξνληθό δηάζηεκα πνπ ην ζώκα δελ νιηζζαίλεη πάλσ ζην δίζθν. Γ. Γηα πνηα ηηκή ηνπ κέηξνπ ηεο ζηαηηθήο ηξηβήο ην ζώκα αξρίδεη λα νιηζζαίλεη πάλσ ζην δίζθν; Η ξνπή αδξάλεηαο ηνπ δίζθνπ σο πξνο ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο ηνπ είλαη I cm = 1/MR θαη ε επηηάρπλζε ηεο βαξύηεηαο είλαη g=10m/s. Απ:Α.α. I=0,4kgm β. F=0,84N Γ. Σ ζη = 1Ν 18'Έλαο ηξνρόο, κάδαο Μ = kg θαη αθηίλαο R = 0,4 m, ζηξέθεηαη γύξσ από ηνλ άμνλά ηνπ κε ζπρλόηεηα f ν = 0π Ηz. Έλα θξέλν πηέδεη ηελ πεξηθέξεηα ηνπ ηξνρνύ κε κηα δύλακε, ε νπνία έρεη κέηξν Ν=10Ν, ελώ ν θνξέαο ηεο δηέξρεηαη από ηνλ άμνλα ηνπ ηξνρνύ. Ο ζπληειεζηήο ηξηβήο νιίζζεζεο κεηαμύ ηνπ θξέλνπ θαη ηνπ ηξνρνύ είλαη κ=0,5. α. Να ππνινγίζεηε ην κέηξν ηεο γσληαθήο επηβξάδπλζεο ηνπ ηξνρνύ. β. Μεηά πόζν ρξόλν από ηελ εθαξκνγή ηνπ θξέλνπ ν ηξνρόο ζα ζηακαηήζεη; γ. Πόζεο πεξηζηξνθέο ζα εθηειέζεη ν ηξνρόο κέρξη γα ζηακαηήζεη; Η ξνπή αδξάλεηαο ηνπ ηξνρνύ σο πξνο ηνλ άμνλά ηνπ είλαη I cm = 1/MR. Απ:α. α = 1,5 rad/s β. t=3s γ. Ν=30π πεξ. 19.Δλα γην-γην απνηειείηαη από έλα κηθξό θύιηλδξν, ζην θπξηό κέξνο ηνπ νπνίνπ έρεη ηπιηρηεί πνιιέο θνξέο έλα ζθνηλί. Κξαηώληαο ην ειεύζεξν άθξν ηνπ ζθνηληνύ θαη αθήλνληαο ηνλ θύιηλδξν λα πέζεη, ην ζθνηλί μεηπιίγεηαη θαη ν θύιηλδξνο πεξηζηξέθεηαη γύξσ από έλα λνεηό νξηδόληην άμνλα, ηνλ ρρ'.να ππνινγίζεηε ηελ επηηάρπλζε ηνπ θέληξνπ κάδαο ηνπ θπιίλδξνπ. Γίλεηαη ε ξνπή αδξάλεηαο ηνπ θπιίλδξνπ I= 1 MR θαη ε επηηάρπλζε ηεο βαξύηεηαο g. Θεσξήζηε όηη ζε όιε ηε δηάξθεηα ηεο θίλεζεο ηoπ θπιίλδξνπ ην ζθνηλί παξακέλεη θαηαθόξπθν. Απ : α cm =g/3 0. ην απιάθη κηάο ηξνραιίαο, έρνπκε ηπιίμεη λήκα. Αθήλνπκε ηελ ηξνραιία ειεύζεξε θαη ζεσξνύκε όηη ην λήκα παξακέλεη ζπλερώο θαηαθόξπθν. Να ππνινγηζηεί: α. ε δύλακε πνπ ηείλεη ην λήκα θαη ΚΕΦ.4 ΡΟΠΗ ΑΓΡΑΝΔΙΑ- ΘΔΜΔΛΙΩΓΗ ΝΟΜΟ ΣΗ ΣΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΗ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 16

β. ν ρξόλνο πνπ απαηηείηαη γηα λα μεηπιηρζεί ην λήκα ηνπ νπνίνπ ην κήθνο είλαη l=4,8m. H κάδα ηεο ηξνραιίαο είλαη Μ=0,3kg θαη ε ξνπή αδξάλεηαο σο πξνο ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο ηεο ππνινγίδεηαη από ηε ζρέζε I= 1 MR Γίλεηαη: g = 10m/s Απ : α) T=1 N β) t=1, s 1.'Έλα γην γην απνηειείηαη από κηθξό θύιηλδξν, κάδαο m θαη αθηίλαο R = 10 cm,, ζην θπξηό κέξνο ηνπ νπνίνπ έρεη ηπιηρηεί πνιιέο θνξέο έλα ζθνηλί. Κξαηώληαο αθίλεην ην ειεύζεξν άθξν ηνπ ζρνηληνύ θαη α- θήλνληαο ηνλ θύιηλδξν λα πέζεη, ην ζθνηλί μεηπιίγεηαη θαη ν θύιηλδξνο πεξηζηξέθεηαη γύξσ από έλα λνεηό νξηδόληην άμνλα, ηνλ x'x. Α. Να ππνινγίζεηε ην κέηξν ηεο επηηάρπλζεο ηνπ θέληξνπ κάδαο ηνπ θπιίλδξνπ. Β. Όηαλ ν θύιηλδξνο έρεη πξαγκαηνπνηήζεη Ν = 6/π πεξηζηξνθέο από ηε ζηηγκή πνπ αθέζεθε ειεύζεξνο, λα ππνινγίζεηε: α. ην κέηξν ηεο γσληαθήο ηαρύηεηαο ηνπ θπιίλδξνπ. β. ην κέηξν ηεο ηαρύηεηαο ηνπ ζεκείνπ ηεο πεξηθέξεηαο ηνπ θπιίλδξνπ, ζην νπνίν ην ζρνηλί εγθαηαιείπεη ηνλ θύιηλδξν. Η ξνπή αδξάλεηαο ηνπ θπιίλδξνπ σο πξνο ηνλ άμνλα x 'x είλαη I cm = 1/mR θαη ε επηηάρπλζε ηεο βαξύηεηαο είλαη g = 10 m/s. Να ζεσξεζεί όηη ζε όιε ηε δηάξθεηα ηεο θίλεζεο ηνπ θπιίλδξνπ ην ζθνηλί παξακέλεη θαηαθόξπθν. Απ:Α. α. α cm = 0/3m/s Β. α. σ= 40rad/s β.π Α =0.Μηα ξπκνύιθα ξπκνπιθεί έλα απηνθίλεην ζε επζύγξακκν νξηδόληην δξόκν, αζθώληαο ζ' απηό ζηαζεξή νξηδόληηα δύλακε κέηξνπ F=400N. Η ζπλνιηθή κάδα ηνπ απηνθηλήηνπ είλαη M=1340kg, ελώ θάζε ηξνρόο ηνπ απηνθηλήηνπ έρεη κάδα m =30kg θαη αθηίλα R. Να ππνινγίζεηε ηελ επηηάρπλζε ηνπ απηνθηλήηνπ. Η ξνπή αδξάλεηαο θάζε ηξνρνύ ηνπ απηνθηλήηνπ σο πξνο ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο ηνπ, είλαη I cm = 1/MR. 3.Ο νκνγελήο ηξνρόο ηνπ ζρήκαηνο έρεη κάδα m = 4kg θαη αθηίλα R. ην ειεύζεξν άθξν ηνπ αβαξνύο ζρνηληνύ, ην νπνίν είλαη ηπιηγκέλν ζηελ πεξηθέξεηα ηνπ ηξνρνύ, αζθνύκε ζηαζεξή νξηδόληην δύλακε κέηξνπ F = 1 Ν, κε απνηέιεζκα ν ηξνρόο λα θπιίεηαη ρσξίο λα νιηζζαίλεη. α. Να δηθαηνινγήζεηε γηαηί ε ζηαηηθή ηξηβή πνπ αζθείηαη ζηνλ ηξνρό από ην νξηδόληην επίπεδν έρεη θνξά πξνο ηα εκπξόο. β. Να ππνινγίζεηε ην κέηξν ηεο επηηάρπλζεο ηνπ θέληξνπ κάδαο ηνπ ηξνρνύ. γ. Να ππνινγίζεηε ην κέηξν ηεο ζηαηηθήο ηξηβήο κεηαμύ ηνπ ηξνρνύ θαη ηνπ επηπέδνπ. Απ:α cm = 3m/s ΚΕΦ.4 ΡΟΠΗ ΑΓΡΑΝΔΙΑ- ΘΔΜΔΛΙΩΓΗ ΝΟΜΟ ΣΗ ΣΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΗ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 17

Γίλεηαη ε ξνπή αδξάλεηαο ηνπ ηξνρνύ σο πξνο ηνλ άμνλά ηνπ I cm = 1/mR. Απ: β. α cm = 4m/s γ. Σ=4Ν 4.Μηα ιεπηή ζηεθάλε, κάδαο m =4kg θαη αθηίλαο R = 0,5 m, θπιίεηαη ρσξίο λα νιηζζαίλεη πάλσ ζε νξηδόληην επίπεδν. Η θίλεζε ηεο ζηεθάλεο εμαζθαιίδεηαη κε ηε βνήζεηα κηαο ιεπηήο ξάβδνπ, ζην άθξν ηεο νπνίαο είλαη πξνζαξκνζκέλνο έλαο πνιύ κηθξόο ηξνρόο πνπ θπιίεηαη πάλσ ζηε ζηεθάλε. Με ηνλ ηξόπν απηό αζθείηαη ζηε ζηεθάλε κηα νξηδόληηα δύλακε F πνπ ν θνξέαο ηεο δηέξρεηαη από ην θέληξν κάδαο ηεο ζηεθάλεο. Α. Αλ ην κέηξν ηεο επηηάρπλζεο ηνπ θέληξνπ κάδαο ηεο ζηεθάλεο είλαη α cm = 5 m/s, λα ππνινγίζεηε: α. ην κέηξν ηεο δύλακεο F. β. ην κέηξν ηεο ζηαηηθήο ηξηβήο Σ κεηαμύ ηεο ζηεθάλεο θαη ηνπ νξηδνληίνπ επηπέδνπ. Β. Αλ ν ζπληειεζηήο ζηαηηθήο ηξηβήο ηεο ζηεθάλεο κε ην νξηδόληην επίπεδν είλαη κ ζ =0,4, πνηα είλαη ε κέγηζηε ηηκή ηνπ κέηξνπ ηεο δύλακεο F, ώζηε ε ζηεθάλε λα θπιίεηαη ρσξίο λα νιηζζαίλεη; Η ξνπή αδξάλεηαο ηεο ζηεθάλεο σο πξνο άμνλα πνπ δηέξρεηαη από ην θέληξν ηεο θαη είλαη θάζεηνο ζην επίπεδν ηεο είλαη I cm = mr θαη ε επηηάρπλζε ηεο βαξύηεηαο είλαη g = 10 m/s. Απ:Α. α. F=40N β. T=0N Β. F max =3N 5.πκπαγήο θαη νκνγελήο ζθαίξα, αθηίλαο R θαη κάδαο m, μεθηλάεη από ηελ εξεκία θαη θπιίεηαη ρσξίο λα νιηζζαίλεη θαηά κήθνο πιάγηνπ επηπέδνπ, γσλίαο θ. Ο ζπληειεζηήο ζηαηηθήο ηξηβήο ηεο ζθαίξαο κε ην επίπεδν είλαη κ ζ. α. Να ππνινγίζεηε ην κέηξν ηεο επηηάρπλζεο ηνπ θέληξνπ κάδαο ηεο ζθαίξαο. β. Να ππνινγίζεηε ην κέηξν ηεο ηαρύηεηαο ηνπ θέληξνπ κάδαο ηεο ζθαίξαο, όηαλ ζα έρεη δηαλύζεη θαηαθόξπθε απόζηαζε h. γ. Να δείμεηε όηη ηζρύεη ε ζρέζε: εθθ< 7/5κ ζ Η ξνπή αδξάλεηαο ηεο ζθαίξαο σο πξνο άμνλα πνπ δηέξρεηαη από ην θέληξν κάδαο είλαη Ι cm = /5mR θαη ε επηηάρπλζε ηεο βαξύηεηαο είλαηg. Απ: α. α cm = 5/7 gεκθ β. π cm = 10gh 7 ΚΕΦ.4 ΡΟΠΗ ΑΓΡΑΝΔΙΑ- ΘΔΜΔΛΙΩΓΗ ΝΟΜΟ ΣΗ ΣΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΗ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 18

6.Οκνγελήο θπθιηθόο δαθηύιηνο, αθηίλαο R = 0,m θαη κάδαο m, αθήλεηαη ηε ρξνληθή ζηηγκή t ν = 0 ζηελ θνξπθή πιάγηνπ επηπέδνπ, γσλίαο θ = 30, θαη θπιίεηαη θαηά κήθνο ηνπ επηπέδνπ ρσξίο λα νιηζζαίλεη. Αλ ν δαθηύιηνο θηάλεη ζηε βάζε ηνπ πιά γηνπ επηπέδνπ ηε ρξνληθή ζηηγκή f = 4 s, λα ππνινγίζεηε: α. ην κέηξν ηεο επηηάρπλζεο ηνπ θέληξνπ κάδαο ηνπ δαθηπιίνπ. β. ην κέηξν ηεο γσληαθήο επηηάρπλζεο ηνπ δαθηπιίνπ. γ. ην κέηξν ηεο ηαρύηεηαο ηνπ ζεκείνπ ηνπ δαθηπιίνπ πνπ απέρεη πεξηζζόηεξν από ην πιάγην επίπεδν, όηαλ ν δαθηύιηνο θηάλεη ζηε βάζε ηνπ. δ. ην κήθνο ηνπ πιάγηνπ επηπέδνπ. Η ξνπή αδξάλεηαο ηνπ δαθηπιίνπ σο πξνο άμνλα πνπ δηέξρεηαη από ην θέληξν ηνπ θαη είλαη θάζεηνο ζην επίπεδν πνπ νξίδεη είλαη I cm = mr θαη ε επηηάρπλζε ηεο βαξύηεηαο είλαη g = 10 m/s Απ:α. α cm =,5m/s β. α = 1,5 rad/s γ.π Α =0m/s δ. l=0m 7.Οκνγελήο δίζθνο, κάδαο m = kg θαη αθηίλαο R = 0, m, βξίζθεηαη πάλσ ζε ιείν νξηδόληην ηξαπέδη, όπσο θαίλεηαη ζην ζρήκα. ηελ πεξηθέξεηα ηνπ δίζθνπ είλαη ηπιηγκέλν ιεπηό λήκα, ζην άθξν ηνπ oπνίνπ αζθείηαη ζηαζεξή δύλακε κέηξνπ F=l0N. α. Να ππνινγίζεηε ην κέηξν ηεο επηηάρπλζεο α cm ηνπ θέληξνπ κάδαο ηνπ δίζθνπ. β. Να ππνινγίζεηε ην κέηξν ηεο γσληαθήο επηηάρπλζεο α πεξηζηξνθήο ηνπ δίζθνπ γύξσ από έλα λνεηό θαηαθόξπθν άμνλα πνπ δηέξρεηαη από ην θέληξν κάδαο ηνπ. γ. Ιζρύεη ε ζρέζε α cm = αr ; Να δηθαηνινγήζεηε ηελ απάληεζή ζαο. Η ξνπή αδξάλεηαο ηνπ δίζθνπ σο πξνο άμνλα πνπ δηέξρεηαη ην θέληξν κάδαο ηνπ θαη είλαη θάζεηνο ζην επίπεδό ηνπ είλαη I cm = 1/MR. Απ:α.α cm = 5 m/s β. α = 50 rad/s γ. δελ ηζρύεη ΚΕΦ.4 ΡΟΠΗ ΑΓΡΑΝΔΙΑ- ΘΔΜΔΛΙΩΓΗ ΝΟΜΟ ΣΗ ΣΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΗ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 19

8.Η ηξνραιία ηνπ ζρήκαηνο, αθηίλαο R = 0, m, κπνξεί λα ζηξέθεηαη γύξσ από ηνλ άμνλά ηεο, ρσξίο ηξηβέο. Σν ζώκα έρεη κάδα m = 1 kg θαη είλαη δεκέλν ζην ειεύζεξν άθξν αβαξνύο ζρνηληνύ πνπ είλαη ηπιηγκέλν ζηελ πεξηθέξεηα ηεο ηξνραιίαο. Αθήλνπκε ην ζώκα ειεύζεξν λα θηλεζεί θαη δηαπηζηώλνπκε όηη ηε ζηηγκή πνπ έρεη μεηπιηρηεί ζρνηλί κήθνπο s = m, ην κέηξν ηεο ηαρύηεηαο ηνπ ζώκαηνο είλαη π = 4 m/s. Ν α ππνινγίζεηε: α. ην κέηξν ηεο επηηάρπλζεο κε ηελ νπνία θηλείηαη ην ζώκα. β. ην κέηξν ηεο δύλακεο πνπ αζθείηαη ζην ζώκα από ην ζρνηλί. γ. ηε ξνπή αδξάλεηαο ηεο ηξνραιίαο σο πξνο ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο ηεο. Η επηηάρπλζε ηεο βαξύηεηαο είλαη g =10m/s. Να ζεσξεζεί όηη κεηαμύ ζρνηληνύ θαη ηξνραιίαο δελ παξαηεξείηαη νιίζζεζε. 9.Οκνγελήο ηξνραιία, κάδαο Μ = 4kg θαη αθηίλαο R =0,m, κπνξεί λα ζηξέθεηαη γύξσ από ηνλ άμνλά ηεο, ρσξίο ηξηβέο. 'Έλα ζώκα, κάδαο m =0,5kg, είλαη δεκέλν ζην ειεύζεξν άθξν αβαξνύο λήκαηνο, ην νπνίν είλαη ηπιηγκέλν ζηελ πεξηθέξεηα ηεο ηξνραιίαο. Σε ρξνληθή ζηηγκή t ν = 0 ην ζώκα αθήλεηαη ειεύζεξν. Να ππνινγίζεηε: α. ην κέηξν ηεο γσληαθήο επηηάρπλζεο ηεο ηξνραιίαο. β. ην κέηξν ηεο γσληαθήο ηαρύηεηαο ηεο ηξνραιίαο, όηαλ ην ζώκα βξίζθεηαη ρακειόηεξα από ηελ αξρηθή ηνπ ζέζε θαηά h=4m. Η ξνπή αδξάλεηαο ηεο ηξνραιίαο σο πξνο ηνλ άμνλα ηεο είλαη Απ:α. α = 4 m/s β. Σ=14Ν γ. Ι =0,14kgm I cm = 1/ MR θαη ε επηηάρπλζε ηεο βαξύηεηαο είλαη g = 10 m/s. Να ζεσξεζεί όηη κεηαμύ λήκαηνο θαη ηξνραιίαο δελ παξαηεξείηαη νιίζζεζε. Απ:α. α = rad/s β. σ = 4 5 rad/s 30.Οκνγελήο θύιηλδξνο, κάδαο Μ θαη αθηίλαο R = 40 cm, κπνξεί λα ζηξέθεηαη ρσξίο ηξηβέο γύξσ από ηνλ νξηδόληην άμνλα ζπκκεηξίαο ηνπ πνπ είλαη ζηαζεξόο. ηελ επηθάλεηα ηνπ θπιίλδξνπ έρνπκε ηπιίμεη λήκα, ζην ειεύζεξν άθξν ηνπ νπνίνπ θξέκεηαη ζώκα κάδαο m = 1 kg. 'Όηαλ ην ζώκα αθήλεηαη ειεύζεξν, ην λήκα μεηπιίγεηαη, ρσξίο νιίζζεζε, αλαγθάδνληαο ηαπηόρξνλα ηνλ θύιηλδξν λα πεξηζηξέθεηαη. Αλ ην κέηξν ηεο επηηάρπλζεο ηνπ ζώκαηνο είλαη α cm = 1 m/s, λα ππνινγίζεηε: α. ην κέηξν ηεο γσληαθήο επηηάρπλζεο ηνπ θπιίλδξνπ. β. ηε κάδα ηνπ θπιίλδξνπ. ΚΕΦ.4 ΡΟΠΗ ΑΓΡΑΝΔΙΑ- ΘΔΜΔΛΙΩΓΗ ΝΟΜΟ ΣΗ ΣΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΗ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 0

γ. ην κέηξν ηεο γξακκηθήο ηαρύηεηαο ησλ ζεκείσλ ηεο επηθάλεηαο ηνπ θπιίλδξνπ, όηαλ έρεη μεηπιηρηεί λήκα κήθνπο x = m. Η ξνπή αδξάλεηαο ηνπ θπιίλδξνπ σο πξνο ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο ηνπ είλαη I cm = =1/MR θαη ε επηηάρπλζε ηεο βαξύηεηαο είλαη g = 10 m/s. Απ:α. α =,5 rad/s β. M=15kg γ. π=m/s 31.ην βαξνύιθν ηνπ ζρήκαηνο ν μύιηλνο θύιηλδξνο έρεη αθηίλα R = 0,m θαη ν κνρινβξαρίνλαο πνπ θαηαιήγεη ζηε ρεηξνιαβή έρεη κήθνο l = 0, 4 m. Ο θύιηλδξνο κπνξεί λα ζηξέθεηαη ρσξίο ηξηβέο γύξσ από ηνλ νξηδόληην άμνλα ζπκκεηξίαο ηνπ. ηνλ θύιηλδξν είλαη ηπιηγκέλν αβαξέο ζρνηλί, ζην ειεύζεξν άθξν ηνπ νπνίνπ είλαη δεκέλνο έλαο θνπβάο κάδαο m = kg. ην κέζνλ ηεο ρεηξνιαβήο αζθνύκε δύλακε F, ε νπνία έρεη ζηαζεξό κέηξν θαη είλαη δηαξθώο θάζεηε ζην επίπεδν πνπ νξίδνπλ νη κνρινβξαρίνλαο θαη ε ρεηξνιαβή. Α. Γηα πνηα ηηκή F ηνπ κέηξνπ ηεο δύλακεο F, ν θύιηλδξνο δελ πεξηζηξέθεηαη; Β. 'Όηαλ ην κέηξν ηεο δύλακεο F είλαη F' = 4F, ν θνπβάο αξρίδεη λα αλέξρεηαη κε ζηαζεξή επηηάρπλζε κέηξνπ α cm = 5 m/s. α. Πόζε είλαη ε ξνπή αδξάλεηαο ηνπ μύιηλνπ θπιίλδξνπ ηνπ βαξνύιθνπ, σο πξνο ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο ηνπ; β. Πνην είλαη ην κέηξν ηεο γσληαθήο ηαρύηεηαο ηνπ θπιίλδξνπ, όηαλ ν θνπβάο έρεη αλέιζεη θαηά h =,5m; Γίλεηαη g = 10 m/s. Να ζεσξεζεί όηη ν κνρινβξαρίνλαο θαη ε ρεηξνιαβή έρνπλ ακειεηέα βάξε. Απ:Α. F=10N Β. α. I=0,4kgm β. σ = 5 rad/s 3. Η ηξνραιία ηνπ ζρήκαηνο είλαη νκνγελήο κε κάδα m= kg θαη αθηίλα R. Σα ζώκαηα 1 θαη έρνπλ κάδεο m l =3 kg, m =1 kg. Να ππνινγίζεηε κε πνηα επηηάρπλζε ζα θηλεζνύλ ηα ζώκαηα αλ αθεζνύλ ειεύζεξα. Η ξνπή αδξάλεηαο ηεο ηξνραιίαο σο πξνο ηνλ άμνλά ηεο είλαη βαξύηεηαο 1 I mr θαη ε επηηάρπλζε ηεο g= 10m/s. Σν βάξνο ηνπ λήκαηνο ζεσξείηαη ακειεηέν. εκείσζε: Η ηξηβή αλάκεζα ζηελ ηξνραιία θαη ζην ζθνηλί είλαη αξθεηά κεγάιε ώζηε λα κελ παξαηεξείηαη νιίζζεζε. Απ : α = 4 m/s ΚΕΦ.4 ΡΟΠΗ ΑΓΡΑΝΔΙΑ- ΘΔΜΔΛΙΩΓΗ ΝΟΜΟ ΣΗ ΣΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΗ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 1

33. Από ην απιάθη ηξνραιίαο, κάδαο m, πεξλά λήκα. ηα άθξα ηνπ λήκαηνο είλαη δεκέλα δύν ζώκαηα κε κάδεο m 1 θαη m (m >m 1 ) Να ππνινγίζεηε ηε δύλακε κε ηελ νπνία ηείλεηε θάζε ηκήκα ηνπ λήκαηνο όηαλ ην ζύζηεκα ησλ καδώλ αθεζεί ειεύζεξν. Ρνπή αδξάλεηαο ηξνραιίαο Ι=mR. Σν λήκα δελ γιηζηξάεη ζην απιάθη ηεο ηξνραιίαο. Απ : T 1 m (m m ) g 1 m m m 1 T m (m m1)g m m m 1 34.Η νκνγελήο ηξνραιία ηνπ ζρήκαηνο, κάδαο M=kg θαη αθηίλαο R = 0,m, κπνξεί λα ζηξέθεηαη γύξσ από ηνλ άμνλά ηεο, ρσξίο ηξηβέο. Σα ζώκαηα 1 θαη έρνπλ κάδεο m ] = 3 kg θαη m = 1 kg, αληίζηνηρα, θαη είλαη δεκέλα ζηα άθξα αβαξνύο ζρνηληνύ πνπ δηέξρεηαη από ην απιάθη ηεο ηξνραιίαο. Μεηαμύ ζρνηληνύ θαη ηξνραιίαο δελ παξαηεξείηαη νιίζζεζε. Σε ρξνληθή ζηηγκή t o = 0 αθήλνπκε ηαπηόρξνλα ηα δύν ζώκαηα ειεύζεξα λα θηλεζνύλ. Α. Να δηθαηνινγήζεηε γηαηί ην κέηξν ηεο δύλακεο T 1 πνπ αζθεί ην ζρνηλί ζην ζώκα 1 είλαη δηαθνξεηηθό από ην κέηξν ηεο δύλακεο T πνπ αζθεί ζην ζώκα. Β. Να ππνινγίζεηε: α. ην κέηξν ηεο επηηάρπλζεο κε ηελ νπνία ζα θηλεζνύλ ηα δύν ζώκαηα. β. ηα κέηξα ησλ δπλάκεσλ T 1 θαη T. γ. ην κέηξν ηεο γσληαθήο επηηάρπλζεο ηεο ηξνραιίαο, όηαλ ε θαηαθόξπθε απόζηαζε ησλ δύν ζσκάησλ είλαη h = 1m. Η ξνπή αδξάλεηαο ηεο ηξνραιίαο σο πξνο ηνλ άμνλα ηεο είλαη I cm = 1/MR θαη ε επηηάρπλζε ηεο βαξύηεηαο είλαη. Απ:Β. α. α = 4m/s β. Σ 1 =18Ν, T =l4n γ. σ= l0rad/s 35.Γύν ζώκαηα 1 θαη πνπ έρνπλ ίζεο κάδεο m 1 θαη m όπνπ m 1 =m = 8kg, ζπλδένληαη κε αβαξέο ζρνηλί πνπ δηέξρεηαη από ην απιάθη νκνγελνύο ηξνραιίαο, αθηίλαο R =0,5m. Σν ζώκα 1 θξέκεηαη θαηαθόξπθα, ελώ ην ζώκα βξίζθεηαη πάλσ ζε ιείν νξηδόληην επίπεδν. Αλ ηε ρξνληθή ζηηγκή t = 0 αθήζνπ κε ην ζώκα 1 ειεύζεξν λα θηλεζεί, ηε ρξνληθή ζηηγκή t = s ε γσληαθή ηαρύηεηα ηεο ηξνραιίαο έρεη κέηξν σ = 16 rad/s. ΚΕΦ.4 ΡΟΠΗ ΑΓΡΑΝΔΙΑ- ΘΔΜΔΛΙΩΓΗ ΝΟΜΟ ΣΗ ΣΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΗ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα

Να ππνινγίζεηε: α. ην κέηξν ηεο επηηάρπλζεο κε ηελ νπνία θηλνύληαη ηα δύν ζώκαηα. β. ηα κέηξα ησλ δπλάκεσλ πνπ αζθεί ην ζρνηλί ζην ζώκα 1 θαη ζην ζώκα, αληίζηνηρα. γ. ηε ξνπή αδξάλεηαο ηεο ηξνραιίαο. Γίλεηαη ε επηηάρπλζε ηεο βαξύηεηαο: g = 10m/s. Απ:α. α = m/s β.σ 1 = 64 Ν, Σ =16Ν γ.i cm =1,5kgm 36.Σα ζώκαηα ηνπ ζρήκαηνο έρνπλ ίζεο κάδεο m=10kg ην θαζέλα. Η νξηδόληηα επηθάλεηα είλαη ιεία. Η ηξνραιία έρεη αθηίλα R=0,5m θαη ην λήκα είλαη άκαδν θαη κε εθηαηό.σν ζύζηεκα αθήλεηαη ειεύζεξν λα θηλεζεί από ηελ εξεκία, νπόηε ην ζώκα κεηαηνπίδεηαη θαηά 16m ζε ρξόλν 4 s Να ππνινγίζεηε: α. ηε ξνπή αδξάλεηαο ηεο ηξνραιίαο θαη β. ηηο ηάζεηο ηνπ λήκαηνο. Απ : α) Ι=7,5kgm β)t 1 =0 N T =80 N ΚΕΦ.4 ΡΟΠΗ ΑΓΡΑΝΔΙΑ- ΘΔΜΔΛΙΩΓΗ ΝΟΜΟ ΣΗ ΣΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΗ Επιμέλεια: Μπαμπάτσικος Φώτης Σελίδα 3