Πολυπλοκότητα. Και µη γραµµικότητα στη φύση

Πολυπλοκότητα Και µη γραµµικότητα στη φύση (και πώς να τις αντιµετωπίσουµε) του Τάσου Μπούντη Ολοι γνωρίζουµε ότι τα πουλιά δεν πετούν προς µία κατεύθυνση, τα αυτοκίνητα και οι άνθρωποι δεν κινούνται σχεδόν ποτέ σε µία ευθεία γραµµή. Η τροχιά της γης και των άλλων ουρανίων σωµάτων στο στερέωµα ( ευτυχώς για µας!) δεν είναι ποτέ ευθύγραµµη. Σκεφτήκαµε ποτέ ότι αν η θερµική µεταβολή ενός µετάλλου ήταν πάντα γραµµική, αυτό θα διαστελλόταν για πάντα µε τον ίδιο τρόπο χωρίς να λιώνει, ενώ ένα γραµµικό ελατήριο θα µπορούσε να τεντωθεί απεριόριστα χωρίς να σπάσει; (!). Από την άλλη µεριά, αν κοιτάξουµε µε προσοχή γύρω µας θα δούµε ότι τα βουνά δεν είναι κώνοι, τα σύννεφα δεν είναι σφαίρες και οι κορµοί των δέντρων δεν είναι κύλινδροι. Με λίγα λόγια η φύση που µας περιβάλλει είναι γεµάτη από πολύπλοκα σχήµατα που όταν κινούνται ακολουθούν κατά κανόνα µη γραµµικές διαδροµές. Και όµως, µέχρι και την Γ Λυκείου ακόµα, τα βιβλία της Φυσικής µας µιλούν κυρίως για γραµµικά φαινόµενα, στην Αλγεβρα µαθαίνουµε να λύνουµε σχεδόν αποκλειστικά γραµµικές εξισώσεις, ενώ στην Γεωµετρία τα πιο πολύπλοκα σχήµατα που συναντάµε είναι οι κωνικές τοµές, οι κύλινδροι, οι κώνοι και οι σφαίρες, ενώ ο χώρος στον οποίο εργαζόµαστε έχει πάντα ακέραιο αριθµό διαστάσεων (0, 1, ή ). Γιατί συµβαίνει αυτό; Ο λόγος είναι απλός: Η πολυπλοκότητα της φύσης και η µαθηµατική της περιγραφή, η µη γραµµικότητα, αποτελούσαν µέχρι πρόσφατα πολύ δύσκολα προβλήµατα που όλες οι αναλυτικές τεχνικές και µεθοδολογίες που είχαµε αναπτύξει αδυνατούσαν να επιλύσουν. Ακόµα και στο Πανεπιστήµιο αν είµαστε θα ήταν δύσκολο να σας εξηγήσω µε ποιο τρόπο βράζει ένα υγρό, πως σπάει µία ράβδος, ή γιατί το απώτερο µέλλον (ή παρελθόν) του ηλιακού µας συστήµατος είναι άγνωστο. Τα τελευταία 0 0 χρόνια όµως, χάρις στη µεγάλη πρόοδο των ηλεκτρονικών υπολογιστών (Η/Υ) αλλά, κυρίως, χάρις στην ανάπτυξη της νέας επιστήµης της Μη Γραµµικής υναµικής και της Πολυπλοκότητας, είµαστε σε θέση να αντιµετωπίζουµε αποτελεσµατικά πολλά προβλήµατα που κάποτε αποτελούσαν άλυτα αινίγµατα. Ως κύριοι κλάδοι της επιστήµης αυτής, η µαθηµατική θεωρία του χάους και η γεωµετρία των 1

fractals, έγιναν ευρύτατα γνωστοί και άρχισαν ήδη να χρησιµοποιούνται µε εντυπωσιακά αποτελέσµατα στη Φυσική, τη Χηµεία, τη Βιολογία, την Ιατρική και την Οικονοµία! Για να εκτιµήσει κανείς όµως το περιεχόµενο της νέας αυτής επιστήµης και να τη παρακολουθήσει σε Πανεπιστηµιακό επίπεδο είναι απαραίτητο να εισαχθεί στις βασικές της έννοιες από τις τελευταίες τάξεις του Λυκείου. Στο κείµενο που ακολουθεί θα επιχειρήσω να παρουσιάσω µε συντοµία τις βασικές αυτές έννοιες και να υποδείξω τρόπους µε τους οποίους θα µπορούσαν να γίνουν κατανοητές, αρχικά, ως συµπλήρωµα της υπάρχουσας ύλης της Γ Λυκείου: Εννοια 1 η : Πολυπλοκότητα στο Χρόνο και Ευαίσθητη Εξάρτηση από Αρχικές Συνθήκες. Στο 1 ο Κεφάλαιο των Μαθηµατικών της Γ Λυκείου µε τίτλο «Γραµµικά Συστήµατα», ο µαθητής διδάσκεται τρόπους µε τους οποίους µπορεί να επιλυθεί ακριβώς ένα σύστηµα γραµµικών εξισώσεων µε αγνώστους 1,,,. Με τον όρο γραµµικό ονοµάζουµε ένα σύστηµα στο οποίο οι άγνωστοι εµφανίζονται υψωµένοι είτε στη δύναµη µηδέν (ως σταθερές δηλαδή) είτε στη δύναµη 1. Εποµένως, εξισώσεις, όπως η f () = + + 1 = 0, (1) και η f () = - πηµ = 0, () δεν είναι γραµµικές και δεν θα µπορούσαν να ανήκουν σε κανένα γραµµικό σύστηµα. Γενικά, οι γνώσεις που απαιτούνται για την επίλυση εξισώσεων f()=0 της µορφής (1) και () ευρίσκονται πέραν της Λυκειακής εκπαίδευσης. Αν µάλιστα η (1), ή η () ήταν µέρος ενός συστήµατος µε περισσότερους αγνώστους (,y κ.λ.π.) τότε δεν υπάρχει καµµία µαθηµατική θεωρία που να µας επιτρέπει να τις λύνουµε αναλυτικά. Αν όµως εισαγάγουµε µία επαναληπτική διαδικασία (που πρώτος λέγεται ότι χρησιµοποίησε ο Νεύτων) f ( ) + 1 =, =0,1,,, () f ( ) αρχίζοντας µε µία πρώτη εκτίµηση (αρχική συνθήκη), 0, της ρίζας της εξίσωσης f()=0 που µας ενδιαφέρει, τότε είναι δυνατόν να πάρουµε µία ακολουθία τιµών 1,,, που τείνει στη ρίζα αυτή, καθώς (µε f ( ) στην () δηλώνουµε την παράγωγο της f στο = ). Ετσι για τα δύο παραδείγµατα (1) και (), ή () δίνει αντιστοίχως:

και + + 1 + 1 =, (1) 6 + 1 πηµ + 1 =. () πσυν Οι δύο αυτές εξισώσεις λέγονται απεικονίσεις ή εξισώσεις διαφορών και αποτελούν παραδείγµατα µη γραµµικών δυναµικών συστηµάτων της µορφής +1 = g( ), =0,1,,, (4) όπου g() µια γενικά µη γραµµική συνάρτηση. Μπορούµε να τα φανταστούµε σαν εξέλιξη στο χρόνο µιάς δυναµικής διαδικασίας, όπου το εκφράζει τον πληθυσµό βακτηριδίων, τον αριθµό ασθενών ατόµων σε µια Κοινότητα, τις διακυµάνσεις µιάς µετοχής του χρηµατιστηρίου, ή ακόµα και τα πλάτη των καρδιακών µας ταλαντώσεων. Το βασικό ερώτηµα που αντιµετωπίζουµε στα προβλήµατα αυτά είναι: Αν επαναλάβουµε τις διαδικασίες (4) ξεκινώντας από κάποιο 0 τι θα κάνει το καθώς αυξάνει το ; Θα τείνει σε κάποιο σταθερό σηµείο; Θα εκτελέσει περιοδικές ταλαντώσεις χωρίς να συγκλίνει πουθενά; Θα πάει στο άπειρο; Μήπως είναι δυνατόν να εµφανίζει και συµπεριφορά που θα µπορούµε να ονοµάσουµε «απρόβλεπτη», «τυχαία», ή «χαοτική»; Για να απαντήσουµε στα ερωτήµατα αυτά θα χρειαστεί να πειραµατιστούµε µε τον υπολογισµό των ριζών των (1) και (), επαναλαµβάνοντας τις σχέσεις (1) και () αντιστοίχως, ως εξής: (i) Παρατηρείστε ότι =1 είναι µία ρίζα της (1). Ξεκινώντας λοιπόν µε 0 =1.5 σε έναν απλό Η/Υ υπολογίστε τα 1,, και δείξτε ότιαυτά συγκλίνουν πολύ γρήγορα στο 1. Αρχίστε τώρα µε 0 =,, 5, 0, -1, -, κλπ. Τι παρατηρείτε και πως το εξηγείτε; (ii) Παρατηρείστε ότι =0 είναι µία ρίζα της (). Ξεκινώντας την επαναληπτική διαδικασία () µε το 0 =0., χρησιµοποιείστε πάλι έναν απλό Η/Υ για να δείξτε ότι 0. οκιµάστε τώρα µε =0. και µετά µε 0 =0.4. Τι παρατηρείτε και πώς εξηγείτε αυτά που βρίσκετε; Εργασία: Επαναλάβετε τώρα την παραπάνω διαδικασία για να µελετήσετε την εξέλιξη των ενός µη γραµµικού δυναµικού συστήµατος που περιγράφεται από την εξίσωση +1 =α (1- ) =0,1,,, (5)

όπου α µία θετική παράµετρος. Αλλάζοντας το α µε µικρά βήµατα µεταξύ του 1 και του 4 και ξεκινώντας µε αρχικές συνθήκες 0 µέσα στο διάστηµα (0,1) περιγράψτε τι παρατηρείτε για τη συµπεριφορά των, καθώς. Προσέξτε ιδιαιτέρως τις τιµές α= και.44949. Τι γίνεται πριν και µετά τις τιµές αυτές; Μήπως βλέπετε µία σταδιακή αύξηση της πολυπλοκότητας της δυναµικής του συστήµατος καθώς το α πλησιάζει το.57; Θέσατε τώρα α = 4 στην (5) και δείξτε ότι µε όποιο 0 (0,1) και αν ξεκινήσετε, τα θα περιπλανώνται συνεχώς στο διάστηµα (0,1) καλύπτοντας αυτό µε τρόπο χαοτικό και όχι παντού µε την ίδια «πυκνότητα» ή «πιθανότητα». Χωρίζοντας, τώρα, το διάστηµα (0,1) σε υποδιαστήµατα µήκους π.χ. 0.01, υπολογίστε την πυκνότητα ή την πιθανότητα αυτή µετρώντας πόσες φορές τα επισκέπτονται το κάθε υποδιάστηµα για =0,1,,,N=10000 επαναλήψεις της (5). Τέλος ξεκινείστε τις επαναλήψεις της (5) µε δύο αρχικές συνθήκες που βρίσκονται πολύ κοντά η µια στην άλλη, π.χ. 0 = 0.1410 και 0 = 0.1411. Τι παρατηρείτε για τις τροχιές (ακολουθίες σηµείων), που προκύπτουν από τις 0 και 0 αντίστοιχα; Μπορείτε να εξηγείστε το φαινόµενο σαν µια «εξαιρετικά ευαίσθητη εξάρτηση της δυναµικής από τις αρχικές συνθήκες»; Φυσικές Συνέπειες της Μη Γραµµικότητας Στο Κεφάλαιο 1 της Φυσικής Γ Λυκείου µαθαίνουµε για ταλαντώσεις, που είναι αποκλειστικά γραµµικές (ή αρµονικές) επειδή υπακούουν στο νόµο του Ηooke: F = - k. H ολική ενέργεια των ταλαντώσεων αυτών δίνεται από τον τύπο -5-4 - - 5 4 1-1 -1 y Σχήµα 1 1 1 E m + k = υ = σταθερή, (6) 1 4 5 όπου V() = 1 k Αν και µη γραµµική, η V() η δυναµική ενέργεια του ταλαντωτή. συνδέεται µε ένα γραµµικό φαινόµενο και περιγράφει ένα µη φυσιολογικό ελατήριο που µπορεί να τεντωθεί απεριό- ριστα και να ταλαντώνεται επ άπειρον µε αυθαίρετα µεγάλη ενέργεια Ε (βλ. σχήµα 1). Αν όµως θέλαµε να περιγράψουµε ένα πιο ρεαλιστικό (µαλακό) ελατήριο θα µπορούσαµε να το φανταστούµε µε δυναµική ενέργεια 4

1 4 U() = k, α > 0. (7) 4 α -5-4 - - 1-1 -1 1 4 5 Σχεδιάζοντας αυτή τη δυναµική ενέργεια στο Σχήµα, παρατηρούµε ότι σε αντίθεση µε τη V() του Σχήµατος 1, η U() διαθέτει ένα σηµαντικό µη γραµµικό όρο που επιτρέπει στο ελατήριο να σπάσει αν η µετατόπισή του - - από το 0 υπερβεί το όριο 1/ = (k / α). -4-5 Σχήµα Εννοια η : Πολυπλοκότητα στο Χώρο και Αυτο-Οµοιότητα υπό Αλλαγή Κλίµακας Οπως είδαµε προηγουµένως, σχετικά µε την πολύπλοκη συµπεριφορά των της (4) για α.57, απλές επαναληπτικές διαδικασίες, χωρίς τίποτε το τυχαίο στον ορισµό τους, είναι δυνατόν να δώσουν εντελώς «ακανόνιστη», «απρόβλεπτη», ή, όπως λέµε καλύτερα, χαοτική δυναµική. Στις περιπτώσεις αυτές παρατηρείται µεγάλη ευαισθησία στην επιλογή των αρχικών συνθηκών: Μικρές αλλαγές στα 0 γενικά οδηγούν µετά από µερικές επαναλήψεις σε πολύ διαφορετικά =! Αντιθέτως, η πολυπλοκότητα στο χώρο µπορεί να εµφανιστεί ακολουθώντας µία διαδικασία που επαναλαµβάνεται µε τον ίδιο τρόπο αλλά σε όλο και µικρότερη κλίµακα: Ας πάρουµε για παράδειγµα ένα σχήµα που αρχικά έχει τη µορφή ισόπλευρου τριγώνου πλευράς µήκους 1, βλ. Σχήµα (α). Ας υποθέσουµε τώρα ότι, λόγω κάποιας φυσικής ή βιολογικής διεργασίας εµφανίζονται στο µεσαίο τρίτο των πλευρών του µικρότερες εκφύσεις σε σχήµα ισόπλευρου τριγώνου πλευράς 1/ (Σχ. (β)) και η ίδια διαδικασία επαναλαµβάνεται σχηµατίζοντας στο µεσαίο τρίτο κάθε πλευράς µε την εµφάνιση ισόπλευρων τριγώνων πλευράς 1/9 µετά 1/7, κ.ο.κ. (βλ. Σχ. (γ)). Παρατηρείστε την αυτόοµοιότητα στα σχήµατα τµηµάτων όπως το Α του Σχ. (β) και το Α του Σχ. (γ) υπό αλλαγή κλίµακας κατά 1/. 5

(α) (β) (γ) Σχήµα Αν το αρχικό τρίγωνο παρίστανε ένα νησί, η πρώτη εκτίµηση του µήκους των ακτών του στο Σχ. (α) θα ήταν L 1 =. Προσθέτοντας τις επιπλέον «χερσονήσους» του Σχήµατος (β) διαπιστώνουµε ότι το µήκος αυτό γίνεται L = * (4/)=4, ενώ συµπεριλαµβάνοντας, και τις ( ) εκφύσεις του Σχήµατος (γ) παίρνουµε L = 4 / = 16 / = 5.. Συνεχίζοντας την ως άνω κατασκευή µε την προσθήκη νέων τριγωνικών «όρµων» και «κολπίσκων» εύκολα συµπεραίνουµε ότι το συνολικό µήκος των ακτών του νησιού τείνει στο άπειρο, αφού 4 L = 4, καθώς και όµως η συνολική επιφάνεια του νησιού είναι προφανώς πεπερασµένη! Τι είδους πολύπλοκο «σύνορο» είναι αυτό που κατασκευάσαµε, µε άπειρο µήκος και εγκοπές πάνω σε εγκοπές σε κάθε µεγέθυνση; Είναι καµπύλη (διάστασης 1) ή καλύπτει µέρος του επιπέδου (και εποµένως είναι διάστασης ); Η απάντηση είναι: Ούτε το ένα, ούτε το άλλο! Το πολύπλοκο αυτό ακρογιάλι που µας εντυπωσιάζει µε την πολυσχιδή δοµή του (σχεδιάστε το µε λεπτοµέρεια σε έναν Η/Υ!) είναι κάτι ανάµεσα σε καµπύλη και -διάστατο σχήµα! Ονοµάζεται fractal, ή µορφοκλασµατικό σύνολο και έχει διάσταση D = 1.618595 Πώς το βρίσκουµε αυτό; Για να µετρήσουµε το µήκος, την επιφάνεια ή τον όγκο ενός συνόλου (ανάλογα σε ποιο χώρο βρίσκεται) ενός συνόλου, το καλύπτουµε πλήρως µε «κουτάκια» πλευράς ε. Ο ελάχιστος αριθµός «κουτιών» Ν(ε) που απαιτείται για να επιτευχθεί αυτό πρέπει να δώσει πεπερασµένο αποτέλεσµα στο µέτρο του συνόλου: Μ = Ν(ε).ε D = c, 0 < c <, (8) καθώς ε 0 και Ν(ε), για κάποια τιµή του D. 6

Αν το «αντικείµενο» που µελετάµε είναι συµπαγές και καταλαµβάνει µέρος του d- διάστατου χώρου στον οποίον εµβυθίζεται, τότε D = d (όπου d = 1,,,, θετικός ακέραιος). Αν όµως το αντικείµενο αυτό είναι fractal (ή µορφοκλασµατικό) τότε για D = d θα πάρουµε c = 0, για D = d-1 θα βρoύµε c =, ενώ µόνο για κάποιο d-1 < D < d θα έχουµε πεπερασµένο c στην (8). Για παράδειγµα, στο πολύπλοκο «νησί» του Σχήµατος, η ακτή καλύπτεται στο -στο βήµα από Ν = 4 ευθύγραµµα τµήµατα µήκους σχέση (8) δίνει N D ε = ( 1/) D 1 ε = 4 = c,. (9) και η Όπως βλέπουµε, αν D=1 τότε η (9) δίνει c = ενώ για D= παίρνουµε c=0. Αρα το πολύπλοκο αυτό σύνορο έχει διάσταση 1<D<. Για να την βρούµε λογαριθµίζουµε τη σχέση (9) και παίρνουµε το όριο, 1 logc log4 + Dlog = logc log4 Dlog = 0 D = log 4 log που είναι το αποτέλεσµα που αναφέραµε πιο πάνω. = 1.618595, (10) Σαν τελευταίο παράδειγµα, ας µελετήσουµε ένα τριγωνικό «σφουγγάρι» πλευράς 1, από το οποίο αφαιρούνται τριγωνικές τρύπες (αυτές µε το λευκό χρώµα) όλο και µικρότερου µεγέθους, όπως δείχνουµε στο Σχήµα 4, πιο κάτω: Σχήµα 4 7

Τι µένει τελικά; Αν µετρήσουµε την επιφάνεια των λευκών τριγώνων που αποµένουν στο όριο, θα δούµε ότι αυτή είναι A = 0,. 4 Αρα το «σφουγγάρι» που παίρνουµε στο τέλος δεν µπορεί να έχει διάσταση! Ποια είναι η διάστασή του; Την απάντηση µπορούµε να τη δώσουµε ακολουθώντας βήµατα παρόµοια µε αυτά που περιγράψαµε πιο πάνω: Καλύπτοντας τα µαύρα τρίγωνα σε κάθε βήµα της κατασκευής του Σχήµατος 4 µε Ν = «κουτάκια» πλευράς ε = ( 1/) του συνόλου που αποµένει πεπερασµένη, µη µηδενική τιµή c: M, αναζητούµε τον εκθέτη εκείνο D, που δίνει στο «µέτρο» D D 1 = N ε = = c,, (11) βλ. (9). Λογαριθµίζοντας τη σχέση (11) και παίρνοντας το όριο βρίσκουµε για τη διάσταση του πολύπλοκου «σφουγγαριού» µας: log D = = 1.58496. (1) log Σαν συµπέρασµα λοιπόν, συγκρίνοντας τα αποτελέσµατα (10) και (1), µπορούµε να πούµε ότι τα µαύρα τριγωνάκια του «σφουγγαριού» του Σχήµατος 4(γ) αποτελούν, στο - διάστατο επίπεδο, ένα σύνολο πιο «πυκνό» από εκείνο που σχηµατίζουν οι ακτές του νησιού του Σχήµατος (γ), καθώς ο βαθµός της πολυπλοκότητάς τους αυξάνει προς το άπειρο, δηλ.. Επίλογος Σαν επίλογο λοιπόν της µικρής αυτής εισαγωγής στην Πολυπλοκότητα και µη Γραµµικότητα της Φύσης µπορούµε να πούµε ότι µάθαµε τα εξής: 1. Η πρώτη βασική έννοια της πολυπλοκότητας στο χρόνο που ονοµάζεται χαοτική δυναµική αφορά στη µεγάλη ευαισθησία φυσικών φαινοµένων στις αρχικές τους συνθήκες, δηλ. στο ότι µικρές αλλαγές στα αίτια µπορεί να οδηγήσουν σε µεγάλες αλλαγές στα αποτελέσµατα. 8

. Η δεύτερη βασική έννοια της πολυπλοκότητας στο χώρο, εισάγει τη λεγόµενη µορφοκλασµατική (fractal) γεωµετρία, µέσω της οποίας είναι δυνατόν να µελετηθούν φυσικά φαινόµενα που παρουσιάζουν «δοµή µέσα σε δοµή» σε κάθε µεγέθυνση, ή αυτοοµοιότητα υπό αλλαγή κλίµακος. Βιβλιογραφία 1. Τ. Μπούντης, «υναµικά Συστήµατα και Χάος», τόµος Α, Εκδ. Γ. Παπασωτηρίου (Αθήνα, 1995).. Τ. Μπούντης, «υναµικά Συστήµατα και Χάος», τόµος Β, Εκδ. Πανεπιστηµίου Πατρών (Πάτρα, 1997).. J. Gleick, Χάος: Μια Νέα Επιστήµη», Εκδ. Κάτοπτρο (Αθήνα, 1990). 4. I. Prigogie, I. Stegers, «Τάξη Μέσα από το Χάος», Εκδ. Κέδρος (Αθήνα, 1986). 5. I. Stewart, Παίζει ο Θεός Ζάρια; Eκδ. Κωσταράκη (Αθήνα, 1991). 6. J. Briggs, F. David Peat, Ο Ταραγµένος Καθρέπτης, Εκδ. Κάτοπτρο (Αθήνα, 1991). 7. «Τάξη κα Χάος», Πρακτικά Θερινών Σχολείων «Μη Γραµµική υναµική: Χάος και Πολυπλοκότητα», Τόµοι 1 7, Εκδ. Γ. Πνευµατικός (Αθήνα, 1988 00), Τόµος 8, Εκδ. Κ. Σφακιανάκη (Θεσσαλονίκη, 00). 9