ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ένα παραγωγικό σύστημα χρησιμοποιεί δύο διαδικασίες, τις D1 και D2, κάθε μία από τις οποίες συμπαράγει δύο προϊόντα Α και Β σε διαφορετικές αναλογίες, χρησιμοποιώντας ως εισροές εργασία, μηχανικό εξοπλισμό και καύσιμο ως εξής: D1 D2 Εργασία σε ώρες ανά 100Α 10 15 Ώρες απασχόληση μηχανής 3 2 KWh ανά 100Α 25 18 Παραγωγή Β ανά 100Α 50 75 Δίνεται ότι μέσα στην εξεταζόμενη περίοδο παραγωγής, η μέγιστη διαθέσιμη εργασία είναι 150 ώρες, η χρήση του μηχανικού εξοπλισμού δεν είναι δυνατό να υπερβεί τις 30 ώρες, ενώ δεν υπάρχει περιορισμός στη διάθεση ρεύματος και στον αριθμό των πωλήσεων των Α και Β. Οι τιμές των συντελεστών παραγωγής και των προϊόντων έχουν ως εξής: Τιμή εργατο-ώρας 60 Τιμή KWh 10 Τιμή πώλησης 100Α 600 Τιμή πώλησης 100Β 900 Ζητείται να προσδιοριστεί το παραγωγικό σχήμα που μεγιστοποιεί το κέρδος. ΘΕΜΑ 2 Ένα εργοστάσιο παραγωγής ελαστικών αυτοκινήτων έχει τη δυνατότητα παραγωγής δύο ειδών ελαστικών: από νάυλον και από fibergrlass. Κατά τη διάρκεια των επομένων τριών μηνών πρέπει να παραδώσουν τις παρακάτω ποσότητες ελαστικών: Ημερομηνία 30 Ιουνίου 31 Ιουλίου 31 Αυγούστου Νάυλον 4000 8000 3000 Fiberglass 1000 5000 5000 Το εργοστάσιο χρησιμοποιεί δύο πρέσες Α και Β οι οποίες μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την παραγωγή των ελαστικών και για τις οποίες δίνονται οι παρακάτω διαθέσιμες ώρες για τους επόμενους τρεις μήνες: Ιούνιος Ιούλιος Αύγουστος Πρέσα Α 700 300 1000 Πρέσα Β 1500 400 300 Ο ρυθμός παραγωγής κάθε πρέσας για κάθε είδος ελαστικού σε ώρες ανά τεμάχιο είναι: Πρέσα Α Πρέσα Β Νάυλον 0.15 0.16 Fiberglass 0.12 0.14 Φεβρ. 2002 σελ. 1/11

Το μεταβλητό κόστος παραγωγής είναι 5000 δρχ./ώρα, ανεξάρτητα από το είδος πρέσας και από το είδος ελαστικού. Το κόστος τήρησης αποθεμάτων είναι 100 δρχ./μήνα και το κόστος πρώτων υλών για τα νάυλον και τα fiberglass ελαστικά είναι 3100 και 3900 δρχ. αντίστοιχα. Τέλος το κόστος συσκευασίας και αποστολής είναι 230 δρχ./τεμ., ενώ οι τιμές πώλησης είναι 7000 δρχ./μον. νάυλον ελαστικού και 9000 δρχ./μον. fiberglass ελαστικού. Να σχεδιαστεί η παραγωγή έτσι ώστε να ικανοποιηθεί η ζήτηση με το ελάχιστο δυνατό κόστος. ΘΕΜΑ 3 Μία επιχείρηση παράγει τυπωμένα κυκλώματα. Κάθε κύκλωμα αποτελείται από ένα πλακίδιο τύπου Π1 και ένα πλακίδιο τύπου Π2. Τα Π1 και Π2 κατασκευάζονται από πλαστικό, αλουμίνιο και χαλκό σύμφωνα με τρεις εναλλακτικές διαδικασίες Δ1, Δ2, Δ3. Κάθε μία διαδικασία απαιτεί αντίστοιχα εισροές από τα τρία υλικά: Εισροές (σε gr) Διαδικασία Πλαστικό Αλουμίνιο Χαλκός Δ1 8 6 2 Δ2 4 4 1 Δ3 3 5 2 Χρησιμοποιώντας τις παραπάνω εισροές, κάθε μία διαδικασία παράγει αντίστοιχα πλακίδια ως εξής: Π1 Π2 Δ1 4 8 Δ2 8 6 Δ3 5 3 Η επιχείρηση διαθέτει 2000 gr πλαστικό, 1500 gr αλουμίνιο και 1000 gr χαλκό και θέλει να μεγιστοποιήσει τον αριθμό των τυπωμένων κυκλωμάτων που θα παράγει. Να μορφοποιηθεί το πρόβλημα σαν πρόβλημα Μαθηματικού Προγραμματισμού. ΘΕΜΑ 4 Μια εταιρεία εμπορεύεται ελαιόλαδο. Προμηθεύεται τέσσερις τύπους ελαιόλαδου Λ 1, Λ 2, Λ 3, Λ 4 και πουλάει τους ίδιους τύπους καθώς και δύο μίγματα με τις ακόλουθες προδιαγραφές: Το πρώτο μίγμα Μ 1 περιέχει 50% από το Λ 1, 30% από το Λ 2 και 20% από το Λ 4. Το δεύτερο μίγμα Μ 2 περιέχει το πολύ 40% από το Λ 1, τουλάχιστον 20% από το Λ 2 και τουλάχιστον 20% από το Λ 3. Η τιμή αγοράς των τεσσάρων τύπων ελαιολάδου είναι c 1, c 2, c 3, c 4 αντίστοιχα. Η τιμή πώλησης των τεσσάρων τύπων ελαιολάδου p 1, p 2, p 3, p 4 αντίστοιχα και η τιμή πώλησης των δύο μιγμάτων μ 1, μ 2 αντίστοιχα. Φεβρ. 2002 σελ. 2/11

Οι διαθέσιμες ποσότητες από το Λ 1, Λ 2, Λ 3, Λ 4 είναι α 1,, α 4 αντίστοιχα. Να μορφοποιήσετε ένα πρόβλημα Μαθηματικού Προγραμματισμού από το οποίο να προκύπτει η μεγιστοποίηση του κέρδους της εταιρείας. (Τα c c, p i, μ i και α i θεωρούνται γνωστά) ΘΕΜΑ 5 Ζητείται να προσδιοριστεί το σχήμα παραγωγής ελάχιστου κόστους κάτω από τις ακόλουθες συνθήκες: (γ) (δ) (ε) Η ζήτηση σε κάθε μία από τις περιόδους ενός ορίζοντα προγραμματισμού πολλών περιόδων είναι γνωστή και πρέπει να καλυφθεί χωρίς υστέρηση, δηλαδή από παραγωγή της ίδιας ή προγενέστερης περιόδου. Το κόστος παραγωγής σε κάθε περίοδο είναι γραμμικό, δηλαδή ανάλογο του αριθμού των παραγομένων μονάδων. Το κόστος αποθήκευσης είναι σταθερό ανά περίοδο και ανά μονάδα προϊόντος. Οι μεταβολές στο επίπεδο παραγωγής από τη μία περίοδο στην επόμενη επιβαρύνονται κατά ένα σταθερό ποσό ανά μονάδα μεταβολής. Η επιβάρυνση μπορεί να είναι διαφορετική για αύξηση της παραγωγής και διαφορετική για μείωση της παραγωγής. Το αρχικό απόθεμα και η δυναμικότητα αποθήκευσης θεωρούνται γνωστά. Για παράδειγμα θεωρούμε τα ακόλουθα αριθμητικά στοιχεία: (γ) (δ) (ε) Εξεταζόμενος ορίζοντας: 4 περίοδοι (μήνες). Συμβολίζουμε με d i (i=1,2,3,4) τη ζήτηση της i περιόδου και δίνεται ότι: d 1 =10, d 2 =8, d 3 =14, d 4 =20. Κόστος παραγωγής 10 δρχ. ανά μονάδα προϊόντος. Κόστος αποθήκευσης 6 δρχ. ανά μονάδα προϊόντος και ανά μήνα. Επιβάρυνση για αύξηση παραγωγής 4 δρχ. ανά μονάδα προϊόντος. Επιβάρυνση για μείωση παραγωγής 3 δρχ. ανά μονάδα προϊόντος. Αρχικό απόθεμα μηδέν και δυναμικότητα αποθήκευσης απεριόριστη. ΘΕΜΑ 6 Μία επιχείρηση αντιμετωπίζει έναν ορίζοντα προγραμματισμού n περιόδων. Η ζήτηση σε κάθε περίοδο είναι d i (i=1,2,,n) και πρέπει να καλυφθεί χωρίς υστέρηση, δηλαδή από παραγωγή της ίδιας ή προγενέστερης περιόδου. Το μοναδιαίο κόστος παραγωγής σε κάθε περίοδο είναι c i (i=1,2,,n) και η παραγωγή γίνεται με σταθερές αποδόσεις κλίμακας όσον αφορά το μεταβλητό μέρος του κόστους. Το σταθερό κόστος έναρξης της παραγωγής την περίοδο i είναι k i (i=1,2,,n). Το κόστος αποθήκευσης είναι S ανά μονάδα προϊόντος και περίοδο. Η δυναμικότητα παραγωγής την περίοδο i είναι a i (i=1,2,,n). Ζητείται να διατυπωθεί ένα μοντέλο μαθηματικού προγραμματισμού από το οποίο θα προκύπτει το άριστο σχήμα παραγωγής. Φεβρ. 2002 σελ. 3/11

ΘΕΜΑ 7 Μία επιχείρηση ξέρει τη ζήτηση που έχει να αντιμετωπίσει για τους επόμενους 4 μήνες: Μήνας 1ος 2ος 3ος 4ος Ζήτηση 5 6 8 6 Το μοναδιαίο κόστος παραγωγής για κανονική παραγωγή είναι συνάρτηση του μήνα, που γίνεται η παραγωγή και δίνεται από τον ακόλουθο πίνακα. Το ίδιο ισχύει και για την υπερωριακή παραγωγή. Μήνας 1ος 2ος 3ος 4ος Κόστος κανονικής παραγωγής 1 4 2 4 Κόστος υπερωριακής παραγωγής 4 6 4 6 Η δυναμικότητα της κανονικής παραγωγής είναι 9 μονάδες ανά μήνα, και της υπερωριακής παραγωγής 3 μονάδες ανά μήνα (για όλους τους μήνες). Η διατήρηση του αποθέματος στοιχίζει 1 χρηματική μονάδα ανά μονάδα προϊόντος και ανά μήνα. Ζητείται να μορφοποιηθεί ένα πρόβλημα ΓΠ, που να προσδιορίζει τον οικονομικότερο τρόπο παραγωγής, που καλύπτει τη ζήτηση. ΘΕΜΑ 8 Ένα διυλιστήριο χρησιμοποιεί δύο τύπους αργού Α 1 και Α 2 για να παράγει βενζίνη (Β), ντήζελ (Ν) και μαζούτ (Μ), με τρεις διαφορετικές διαδικασίες Δ 1, Δ 2 και Δ 3 με τις ακόλουθες μοναδιαίες εισροές και εκροές σε τόνους: Δ 1 Δ 2 Δ 3 Α 1 2 4 3 Α 2 3 1 3 Β 3 2 2 Ν 1 2 3 Μ 1 1 1 Εξαιτίας περιορισμών αποθήκευσης, η επεξεργασία ανά μήνα είναι το πολύ 300 μονάδες από το Α 1 και το πολύ 250 μονάδες από το Α 2. Η τιμή μονάδας για το αργό και τα προϊόντα διύλισης είναι ως εξής: Α 1 Α 2 Β Ν Μ 20 25 40 Ρ 10 Η τιμή του ντήζελ παρουσιάζει αισθητές διακυμάνσεις. Γι' αυτό κάθε μήνα το διυλιστήριο επιλέγει τις δραστηριότητες που θα χρησιμοποιήσει ανάλογα με την τιμή του ντήζελ. Εάν σε κάποιο μήνα εκτιμάται ότι η τιμή του ντήζελ θα είναι 25, να βρήτε ποιες δραστηριότητες πρέπει να χρησιμοποιηθούν. Για ποια όρια τιμών του ντήζελ οι δραστηριότητες αυτές είναι άριστες; Ποιες δραστηριότητες πρέπει να χρησιμοποιηθούν εάν η τιμή του ντήζελ είναι 37; Φεβρ. 2002 σελ. 4/11

ΘΕΜΑ 9 Ένα διυλιστήριο χρησιμοποιεί δύο τύπους αργού Α1 και Α2 για να παράγει βενζίνη (Β), ντήζελ (Ν) και μαζούτ (Μ) με τρεις διαφορετικές διαδικασίες Δ1, Δ2 και Δ3, με τις ακόλουθες μοναδιαίες εισροές και εκροές σε τόνους: Δ1 Δ2 Δ3 Α1 3 2 3 Α2 2 5 3 Β 3 3 3 Ν 1 2 1 Μ 1 2 2 Η τιμή μονάδας του Α1 είναι 20 και του Α2 είναι 22. Ο προγραμματισμός του διυλιστηρίου γίνεται σε μηνιαία βάση. Για τον μήνα Ιούνιο η εσωτερική κατανάλωση ζητά 450.000 τόνους βενζίνη, 300.000 τόνους ντήζελ και 200.000 τόνους μαζούτ. Το αρχικό απόθεμα από κάθε είδος καυσίμου είναι 0. Να προσδιορίσετε τη μορφοποίηση του προβλήματος της κάλυψης της ζήτησης για τον μήνα Ιούνιο με το ελάχιστο κόστος, στις ακόλουθες περιπτώσεις: (γ) Εάν το απόθεμα που δημιουργείται στο τέλος του μήνα θεωρείται μηδενικής αξίας. Εάν το απόθεμα που δημιουργείται στο τέλος του μήνα έχει αξία 25 για την βενζίνη, 20 για το ντήζελ και 10 για το μαζούτ (ανά τόνο). Πώς πρέπει να τροποποιηθεί η μορφοποίηση στο εάν η Δ1 έχει ένα σταθερό κόστος έναρξης Κ 1 =5, η Δ2 ένα σταθερό κόστος έναρξης Κ 2 =6 και η Δ3 ένα σταθερό κόστος έναρξης Κ 3 =4. ΘΕΜΑ 10 Ένα διυλιστήριο χρησιμοποιεί δύο τύπους αργού Α1 και Α2 για να παράγει βενζίνη (Β), ντήζελ (Ν) και μαζούτ (Μ) με τρεις διαφορετικές διαδικασίες Δ1, Δ2 και Δ3, με τις ακόλουθες μοναδιαίες εισροές και εκροές σε τόνους: Δ1 Δ2 Δ3 Α1 3 2 3 Α2 2 5 3 Β 3 3 3 Ν 1 2 1 Μ 1 2 2 Η τιμή μονάδας του Α1 είναι 20 και του Α2 είναι 22, ενώ η τιμή της βενζίνης είναι 40, του ντήζελ 35 και του μαζούτ 15 χρημ. μονάδες. Οι διαθέσιμες ποσότητες είναι 300 μονάδες Α1 και 250 μονάδες Α2. Να προσδιορίσετε τη μορφοποίηση του προβλήματος από την οποία να προκύπτει ποιες διαδικασίες πρέπει να αναπτυχθούν ώστε να μεγιστοποιείται το κέρδος. Φεβρ. 2002 σελ. 5/11

(γ) Πώς πρέπει να τροποποιηθεί η μορφοποίηση στο εάν η Δ1 έχει ένα σταθερό κόστος έναρξης Κ 1 =5, η Δ2 ένα σταθερό κόστος έναρξης Κ 2 =6 και η Δ3 ένα σταθερό κόστος έναρξης Κ 3 =4. Πώς πρέπει να τροποποιηθεί η μορφοποίηση όταν το ελάχιστο επίπεδο ανάπτυξης κάθε δραστηριότητας πρέπει να είναι τέτοιο ώστε να καταναλώσει τουλάχιστον 100 τόνους αργού και από τους δύο τύπους αθροιστικά. ΘΕΜΑ 11 Ένα διυλιστήριο χρησιμοποιεί δύο τύπους αργού Α1 και Α2 για να παράγει βενζίνη (Β), ντήζελ (Ν) και μαζούτ (Μ) με τρεις διαφορετικές διαδικασίες Δ1, Δ2 και Δ3, με τις ακόλουθες μοναδιαίες εισροές και εκροές σε τόνους: Δ1 Δ2 Δ3 Α1 3 2 3 Α2 2 5 3 Β 3 3 3 Ν 1 2 1 Μ 1 2 2 Η τιμή μονάδας του Α1 είναι 20 και του Α2 είναι 22. Η παραγωγή του διυλιστηρίου γίνεται σε μηνιαία βάση. Για τους επόμενους τρεις μήνες Ιούνιο, Ιούλιο και Αύγουστο η ζήτηση σε προϊόντα έχει ως εξής σε χιλ.τόνους: Βενζίνη Ντήζελ Μαζούτ Ιούνιος 450 300 200 Ιούλιος 500 200 200 Αύγουστος 600 200 150 Το κόστος διατήρησης αποθέματος είναι 2 χρημ.μονάδες ανά μήνα και ανά τόνο. Το απόθεμα που δημιουργείται στο τέλος της τρίμηνης περιόδου έχει αξία 25 χρημ.μονάδες ανά τόνο για τη βενζίνη, 15 χρημ.μονάδες ανά τόνο για το ντήζελ και 10 χρημ.μονάδες ανά τόνο για το μαζούτ. Το αρχικό απόθεμα από όλα τα καύσιμα είναι 0. Να μορφοποιήσετε το πρόβλημα της μηνιαίας παραγωγής του διυλιστηρίου για τον τρίμηνο ορίζοντα προγραμματισμού ώστε να καλύπτεται η ζήτηση με το ελάχιστο κόστος. Πώς πρέπει να τροποποιηθεί η μορφοποίηση εάν σε κάθε περίοδο (μήνα) η κάθε διαδικασία έχει ένα σταθερό κόστος έναρξης Κ=100. Φεβρ. 2002 σελ. 6/11

ΘΕΜΑ 12 Ένας φοιτητής έχει 10 εβδομάδες να ετοιμαστεί για τις εξετάσεις του σε 5 μαθήματα Μ1,, Μ5. Υπολογίζει ότι χωρίς επιπλέον διάβασμα θα μπορέσει να πάρει τους ακόλουθους βαθμούς: Μ1 Μ2 Μ3 Μ4 Μ5 4 6 5 3 7 Υπολογίζει ακόμα ότι μπορεί να βελτιώσει τους βαθμούς του κατά a i μονάδες για κάθε εβδομάδα διαβάσματος που αφιερώνει στο μάθημα Μi σύμφωνα με τα στοιχεία του ακόλουθου πίνακα: a i 0,5 0,3 1 0,4 0,3 Μi Μ1 Μ2 Μ3 Μ4 Μ5 Η βελτίωση της βαθμολογίας και ο χρόνος μελέτης θεωρούνται συνεχείς μεταβλητές που λειτουργούν με σταθερές αποδόσεις κλίμακας. (γ) Εάν η βαθμολόγηση είναι συνεχής μεταβλητή, πώς πρέπει να κατανείμει ο σπουδαστής τον χρόνο της μελέτης του ώστε να προαχθεί σε όλα τα μαθήματα και να μεγιστοποιήσει τη μέση βαθμολογία του; Μπορείτε στην περίπτωση αυτή να βρείτε εμπειρικά την άριστη λύση στο πρόβλημα; Εάν η βαθμολόγηση είναι συνεχής μεταβλητή, πώς πρέπει να κατανείμει το χρόνο μελέτης του ώστε να προαχθεί σε όλα τα μαθήματα και να μεγιστοποιήσει τον ελάχιστο βαθμό σε όλα τα μαθήματα; Εάν η βαθμολόγηση γίνεται σε ακέραιες μονάδες (η στρογγύλευση της βαθμολογίας γίνεται πάντοτε προς τα κάτω!) πώς πρέπει να κατανείμει τον χρόνο μελέτης του ώστε να προαχθεί σε όλα τα μαθήματα και να επιτύχει το μεγαλύτερο δυνατό μέσο όρο; Σε κάθε περίπτωση να μορφοποιήσετε ένα πρόβλημα Μαθηματικού Προγραμματισμού από το οποίο να προκύπτει η λύση του αντίστοιχου προβλήματος. ΘΕΜΑ 13 Στα δίκτυα των σχημάτων 1 και 2 οι κόμβοι παριστάνουν "επενδυτικές δραστηριότητες", δραστηριότητες υποδομής, με τα αντίστοιχα κόστη (αρνητικοί αριθμοί) που απαιτεί η ανάπτυξή τους. Οι κλάδοι παριστάνουν παραγωγικές δραστηριότητες, δραστηριότητες που άμεσα αποδίδουν έσοδα τα οποία για κάθε τέτοια δραστηριότητα αναγράφονται στον αντίστοιχο κλάδο (θετικοί αριθμοί). Κάθε παραγωγική δραστηριότητα για να αναπτυχθεί προϋποθέτει την ύπαρξη ορισμένων επενδυτικών δραστηριοτήτων, και συγκεκριμένα αυτών που πρόσκεινται σε κάθε κλάδο. Οι επενδυτικές αλλά και οι παραγωγικές δραστηριότητες θεωρείται ότι εκφράζονται με ένα τυπικό και πλήρως αδιαίρετο μέγεθος. Δηλαδή κάθε δραστηριότητα είτε πραγματοποιείται σε ένα ορισμένο μέγεθος είτε απορρίπτεται. Ζητείται να βρεθεί η επιλογή παραγωγικών και επενδυτικών δραστηριοτήτων που μεγιστοποιεί το κέρδος. Φεβρ. 2002 σελ. 7/11

Για παράδειγμα, στα σχήματα οι κόμβοι μπορεί να είναι σταθμοί και οι κλάδοι γραμμές ενός συγκοινωνιακού δικτύου. Κάθε γραμμή για να λειτουργήσει και να αποφέρει έσοδα απαιτεί να προϋπάρχουν οι δύο σταθμοί στα άκρα της. 5 +2 Τ 2 5 Τ 4 5 +4 +6 +8 5 5 4 +7 +8 +3 8 +3 +4 8 +2 +1 4 Τ 1 Τ 3 Σχήμα 1 Σχήμα 2 ΘΕΜΑ 13 Μια πολυεθνική εταιρεία εξετάζει την ανάπτυξη των δραστηριοτήτων της σε 4 χώρες Α, Β, Γ, Δ. Τα επενδυτικά έργα χαρακτηρίζονται από τον ακόλουθο πίνακα: α/α Χώρα Απαιτούμενο Καθαρή Κεφάλαιο Απόδοση 1 Α 50 70 Το συνολικό προς επένδυση κεφάλαιο 2 Α 35 49 είναι 250. 3 Β 27 36 4 Β 40 53 Η επιχείρηση δεν προτίθεται να επενδύσει 5 Β 71 95 σε μία χώρα εάν το προς επένδυση 6 Γ 63 84 κεφάλαιο είναι μικρότερο από 50. 7 Γ 28 43 8 Δ 54 67 Οι αριθμοί σε εκατ. χρημ. μονάδες 9 Δ 35 55 10 Δ 20 32 Να διατυπωθεί το πρόβλημα της επιχείρησης με τη μορφή μαθηματικού προγραμματισμού. ΘΕΜΑ 14 Μια εταιρεία Software εκτελεί 3 κατηγορίες προγραμμάτων Π1, Π2, Π3 σε δύο υπολογιστές Η1 και Η2. Οι μηνιαίες ανάγκες είναι για επεξεργασία 100 προγραμμάτων Π1, 150 Π2 και 70 Π3 αντίστοιχα. Η μηνιαία δυναμικότητα επεξεργασίας κάθε υπολογιστή είναι 200 προγράμματα. Το κόστος επεξεργασίας Ρ ij στη μηχανή Ηi του προγράμματος Π j έχει ως εξής: P 11 =2, P 13 =4, P 22 =6, P 23 =2. Όπου δεν αναφέρεται κόστος επεξεργασίας, η εκτέλεση του προγράμματος στην αντίστοιχη μηχανή θεωρείται αδύνατη. Ζητείται η επεξεργασία των προγραμμάτων με το ελάχιστο Να κόστος. μορφοποιήσετε το πρόβλημα και να εξετάσετε αν η επεξεργασία των Π1 και Π3 στον Η1 και του Π2 στον Η2 αντιστοιχεί στην άριστη λύση. Φεβρ. 2002 σελ. 8/11

Είναι δυνατό να προσδιορίσετε νέα λύση με μικρότερο συνολικό κόστος επεξεργασίας; Είναι η νέα λύση άριστη; Εάν όχι να προσδιορίσετε την άριστη λύση. ΘΕΜΑ 15 Μια βιομηχανία κατασκευάζει τρία προϊόντα x, y, z. Τα προϊόντα γίνονται σε δύο τύπους μηχανών Α και Β σύμφωνα με την ακόλουθη δυναμικότητα ανά περίοδο: Α Β x 2000 - y - 1000 z 5000 5000 Η κατασκευή των προϊόντων γίνεται χρησιμοποιώντας μοναδιαίες εισροές από δύο πρώτες ύλες R 1 και R 2 σύμφωνα με τον ακόλουθο πίνακα: R 1 R 2 x 1,5 - y 0,5 1,0 z - 2,0 H ζήτηση για τα x, y, z για 3 περιόδους δίνεται ως εξής (σε χιλιάδες): περίοδος x y z 1 15 10 30 2 12 11 30 3 10 12 30 Υπάρχουν 3 μηχανές τύπου Α και 4 μηχανές τύπου Β. Το αρχικό απόθεμα προϊόντων και πρώτων υλών δίνεται ως εξής: Προϊόν/Υλη x y z R 1 R 2 Η πρόβλεψη τιμών για τα R 1 και R 2 έχει ως εξής: Aπόθεμα 5000 (μονάδες) 4000 (μονάδες) 10000 (μονάδες) 1000 (Kg) 2000 (Kg) Περίοδος Προϊόν R 1 Προϊόν R 2 1 80 160 2 70 150 3 80 140 Το κόστος αποθήκευσης πρώτων υλών και προϊόντων ανά περίοδο (ανά 1000 Kg ή ανά 1000 μονάδες) δίνεται από τον ακόλουθο πίνακα: x y z R 1 R 2 20 20 20 20 20 Tο τελικό απόθεμα πρώτων υλών και προϊόντων είναι 0. Φεβρ. 2002 σελ. 9/11

Για τον ορίζοντα προγραμματισμού τριών περιόδων που αφορούν τα στοιχεία, να μορφοποιηθεί ένα πρόβλημα Γ.Π. από το οποίο να προκύπτει ο σχεδιασμός παραγωγής με το ελάχιστο κόστος. Πώς πρέπει να τροποποιηθούν οι περιορισμοί και η αντικειμενική συνάρτηση εάν η έναρξη παραγωγής σε κάθε περίοδο και για κάθε προϊόν έχει ένα σταθερό κόστος 1000 χρηματικών μονάδων; ΘΕΜΑ 16 Οι γιατροί ενός νοσοκομείου είναι υποχρεωμένοι να εργάζονται σε βάρδιες όλο το 24ωρο. Η κατανομή των γιατρών στις διαφορετικές βάρδιες είναι ένα πολύπλοκο πρόβλημα. Συνήθως η κατανομή αυτή αποτελείται από συγκεκριμένες επαναλαμβανόμενες περιόδους ή κύκλους εργασίας οι οποίοι διαρκούν μία ή περισσότερες εβδομάδες, ανάλογα με το πλήθος των γιατρών και τις απαιτήσεις σε γιατρούς του νοσοκομείου. Ζητείται να ορισθεί ο κύκλος αυτός εργασίας έτσι ώστε να ισοκατανέμονται οι γιατροί σε βάρδιες ημερήσιες, νυχτερινές ή σε βάρδιες Σαββατοκύριακου. Δίνεται ότι κάθε μέρα θα υπάρχουν 12ωρες βάρδιες, η ημερήσια και η νυχτερινή (Η, Ν), ενώ το Σαββατοκύριακο θα υπάρχουν 4 βάρδιες (Α). Το ιατρικό προσωπικό του νοσοκομείου που εναλλάσσεται είναι 30 γιατροί και σε κάθε ημερήσια βάρδια απαιτούνται 15 γιατροί πλην της Παρασκευής που απαιτούνται 10, σε κάθε νυχτερινή 10 και το Σαββατοκύριακο 10 και 5 αντίστοιχα στην πρωινή και την απογευματινή βάρδια. Ο μέρες αργίας πρέπει να είναι 2 την εβδομάδα για κάθε γιατρό ανεξάρτητα αν δουλεύει μέρα, βράδυ ή Σαββατοκύριακο, κάθε γιατρός πρέπει να δουλεύει μια βάρδια την ημέρα, πέντε μέρες την εβδομάδα. ΘΕΜΑ 17 Μια εταιρεία εκμετάλλευσης ορυχείων πρόκειται να συνεχίσει να δουλεύει σε μια συγκεκριμένη περιοχή για τα επόμενα 5 χρόνια. Υπάρχουν 4 ορυχεία σ αυτήν την περιοχή, αλλά μπορεί να ενεργοποιεί το πολύ 3 κάθε χρόνο. Παρόλο που ένα ορυχείο μπορεί να μη λειτουργεί κάποιο χρόνο είναι απαραίτητο να παραμένει ανοικτό με την έννοια ότι οι φόροι πληρώνονται, όταν πρόκειται όμως να δουλέψει στο μέλλον. Βέβαια, αν το ορυχείο δεν πρόκειται να λειτουργήσει ξανά, μπορεί να κλείσει οριστικά, οπότε δεν θα πληρώνονται άλλοι φόροι. Οι ετήσιοι φόροι που πρέπει να πληρώνονται για κάθε ορυχείο ώστε να μένει ανοικτό, είναι: Ορυχείο 1 Ορυχείο 2 Ορυχείο 3 Ορυχείο 4 5 εκατ. δραχμές 4 εκατ. δραχμές 4 εκατ. δραχμές 5 εκατ. δραχμές Υπάρχει ένα άνω όριο στην ποσότητα μεταλλεύματος που μπορεί να εξαχθεί από κάθε ορυχείο σ ένα χρόνο. Αυτά τα άνω όρια είναι: Ορυχείο 1 2 εκατ. τόνοι Ορυχείο 2 2.5 εκατ. τόνοι Ορυχείο 3 1.3 εκατ. τόνοι Ορυχείο 4 3 εκατ. τόνοι Το μετάλλευμα των διαφορετικών ορυχείων διαφέρει σε ποιότητα. Αυτή η ποιότητα μετριέται σε κλίμακα ώστε με την κατεργασία διαφόρων ποιοτήτων μεταλλευμάτων Φεβρ. 2002 σελ. 10/11

να προκύπτουν καινούργια που θα είναι ως προς την ποιότητα ένας γραμμικός συνδυασμός των αρχικών. Π.χ. αν ίσες ποσότητες δύο μεταλλευμάτων αναμιγνύονταν το αποτέλεσμα θα έχει ποιότητα που στην κλίμακα θα ήταν στη μέση της απόστασης των ποιοτήτων των δύο αρχικών μεταλλευμάτων. Οι ποιότητες του μεταλλεύματος στα διαφορετικά ορυχεία είναι: Ορυχείο 1 1.0 Ορυχείο 2 0.7 Ορυχείο 3 1.5 Ορυχείο 4 0.5 Κάθε χρόνο είναι απαραίτητο να παράγεται μετάλλευμα ορισμένης ποιότητας. Για κάθε χρόνο αυτές οι ποιότητες είναι: Χρόνος 1 0.9 Χρόνος 2 0.8 Χρόνος 3 1.2 Χρόνος 4 0.6 Χρόνος 5 1.0 Το τελικό κατεργασμένο μετάλλευμα πωλείται προς 10 χιλιάδες δρχ. ο τόνος το χρόνο. Έσοδα και έξοδα για τα επόμενα χρόνια πρέπει να εκπέσουν κατά 10% το χρόνο. Ποια ορυχεία πρέπει να λειτουργήσουν κάθε χρόνο και πόσο πρέπει να παράγουν; Φεβρ. 2002 σελ. 11/11