Μηχανική Πετρωμάτων Τάσεις

Μηχανική Πετρωμάτων Τάσεις Δρ Παντελής Λιόλιος Σχολή Μηχανικών Ορυκτών Πόρων Πολυτεχνείο Κρήτης http://minelabmredtucgr Τελευταία ενημέρωση: 28 Φεβρουαρίου 2017 Δρ Παντελής Λιόλιος (ΠΚ) Τάσεις 28 Φεβρουαρίου 2017 1 / 36

Περιεχόμενα 1 Βασικές υποθέσεις και έννοιες 2 Τανυστής των τάσεων κατά Cauchy 3 Περί των τανυστών και των δεικτών στη Μηχανική 4 Βασικοί υπολογισμοί με τον τανυστή της τάσης 5 Κύριες τάσεις και αναλλοίωτες 6 Αποκλίνων τανυστής τάσεων και αναλλοίωτες 7 Οκταεδρικές τάσεις 8 Κύκλος του Mohr Δρ Παντελής Λιόλιος (ΠΚ) Τάσεις 28 Φεβρουαρίου 2017 2 / 36

Βασικές υποθέσεις και έννοιες Γραμμικά Ελαστικό Συνεχές (στερεό) σε στατική ισορροπία Υποθέσεις 1 Το σώμα είναι συνεχές και παραμένει συνεχές υπό την επίδραση εξωτερικών δυνάμεων 2 Νόμος του Hooke: Αν η αναλογία των δυνάμεων P 1 : P 2 : : P n παραμένει σταθερή τότε u = a 1 P 1 + a 2 P 2 + + a n P n 3 Υπάρχει μια μοναδική κατάσταση στην οποία το σώμα επιστρέφει όποτε του αφαιρεθούν όλες οι εξωτερικές δυνάμεις Ορισμός Ένα σώμα που ικανοποιεί αυτές τις υποθέσεις ονομάζεται γραμμικά ελαστικό στερεό Δρ Παντελής Λιόλιος (ΠΚ) Τάσεις 28 Φεβρουαρίου 2017 3 / 36

Βασικές υποθέσεις και έννοιες Αρχή της υπέρθεσης Ορισμός Ο νόμος του Hooke ισχύει ανεξάρτητα από την σειρά με την οποία θα επιβληθούν οι δυνάμεις Δρ Παντελής Λιόλιος (ΠΚ) Τάσεις 28 Φεβρουαρίου 2017 4 / 36

Τανυστής των τάσεων κατά Cauchy Περιεχόμενα 1 Βασικές υποθέσεις και έννοιες 2 Τανυστής των τάσεων κατά Cauchy 3 Περί των τανυστών και των δεικτών στη Μηχανική 4 Βασικοί υπολογισμοί με τον τανυστή της τάσης 5 Κύριες τάσεις και αναλλοίωτες 6 Αποκλίνων τανυστής τάσεων και αναλλοίωτες 7 Οκταεδρικές τάσεις 8 Κύκλος του Mohr Δρ Παντελής Λιόλιος (ΠΚ) Τάσεις 28 Φεβρουαρίου 2017 5 / 36

Τανυστής των τάσεων κατά Cauchy Η έννοια της τάσης Τι είναι τάση; Η τάση ορίζεται ως δύναμη ανά μονάδα επιφάνειας Αντιπροσωπεύει την ένταση με την οποία δρουν οι δυνάμεις επί ενός τυχαίου επιπέδου F T = lim A 0 A όπου T είναι ο ελκυστής των τάσεων στο επίπεδο Μονάδες: Pa Σύμβαση προσήμου: Θλίψη θετική Δρ Παντελής Λιόλιος (ΠΚ) Τάσεις 28 Φεβρουαρίου 2017 6 / 36

Τανυστής των τάσεων κατά Cauchy Τετράεδρο του Cauchy Θεμελιώδες θεώρημα του Cauchy (Augustin-Louis Cauchy, 1789-1857) T j = σ ij n i T j : σ ij : n i : Ελκυστής των τάσεων στο επίπεδο Τανυστής τάσεων κατά Cauchy συνημίτονα κατεύθυνσης του μοναδιαίου διανύσματος του επιπέδου Δρ Παντελής Λιόλιος (ΠΚ) Τάσεις 28 Φεβρουαρίου 2017 7 / 36

Τανυστής των τάσεων κατά Cauchy Στοιχειώδης κύβος και τανυστής τάσεων κατά Cauchy Τανυστής τάσεων κατά Cauchy σ 11 σ 12 σ 13 σ ij = σ 21 σ 22 σ 23 σ 31 σ 32 σ 33 1ος νόμος της κίνησης κατά Cauchy Διατήρηση της ορμής σ ij,j + f i = 0 2ος νόμος της κίνησης κατά Cauchy Διατήρηση της στροφορμής Δρ Παντελής Λιόλιος (ΠΚ) Τάσεις 28 Φεβρουαρίου 2017 8 / 36 σ ij = σ ji

Περί των τανυστών και των δεικτών στη Μηχανική Περιεχόμενα 1 Βασικές υποθέσεις και έννοιες 2 Τανυστής των τάσεων κατά Cauchy 3 Περί των τανυστών και των δεικτών στη Μηχανική 4 Βασικοί υπολογισμοί με τον τανυστή της τάσης 5 Κύριες τάσεις και αναλλοίωτες 6 Αποκλίνων τανυστής τάσεων και αναλλοίωτες 7 Οκταεδρικές τάσεις 8 Κύκλος του Mohr Δρ Παντελής Λιόλιος (ΠΚ) Τάσεις 28 Φεβρουαρίου 2017 9 / 36

Περί των τανυστών και των δεικτών στη Μηχανική Γενικές έννοιες Ορισμός τανυστή Οι τανυστές είναι γεωμετρικά αντικείμενα που περιγράφουν γραμμικές σχέσεις μεταξύ διανυσμάτων, βαθμωτών μεγεθών ή και άλλων τανυστών Οι τανυστές μπορούν να αποτυπωθούν ως πολυδιάστατα διανύσματα (πηγή: Wikipedia) Παραδείγματα Το εσωτερικό και το εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων είναι τανυστές Επίσης όλα τα βαθμωτά μεγέθη και τα διανύσματα είναι επίσης τανυστές Τάξη ή βαθμός τανυστή Η τάξη του τανυστή μας δείχνει πόσους δείκτες χρειαζόμαστε για να αποτυπώσουμε όλα τα στοιχεία του τανυστή Για την μηχανική το πλήθος των στοιχείων του τανυστή δίδεται από την σχέση 3 ν όπου ν η τάξη του τανυστή Δρ Παντελής Λιόλιος (ΠΚ) Τάσεις 28 Φεβρουαρίου 2017 10 / 36

Περί των τανυστών και των δεικτών στη Μηχανική Παραδείγματα τανυστών Τανυστές μηδενικής τάξης (ν = 0) - βαθμωτά μεγέθη Υδραυλική πίεση p, θερμοκρασία T Τανυστές πρώτης τάξης (ν = 1) - διανύσματα Ταχύτητα v i, ελκυστής τάσης T i, μοναδιαίο διάνυσμα n i (συνημίτονα κατεύθυνσης), διάνυσμα μετατοπίσεων u i Τανυστές δεύτερης τάξης (ν = 2) Τανυστής των τάσεων σ ij, τανυστής των παραμορφώσεων ϵ ij Τανυστές τέταρτης τάξης (ν = 4) Τανυστής δυστροπίας (stiffness matrix) C ijkl που περιέχει τις ελαστικές σταθερές του υλικού στον γενικευμένο νόμο του Hooke Δρ Παντελής Λιόλιος (ΠΚ) Τάσεις 28 Φεβρουαρίου 2017 11 / 36

Περί των τανυστών και των δεικτών στη Μηχανική Κανόνες δεικτών Επιλογή δεικτών Μπορεί να χρησιμοποιηθεί οποιοδήποτε σύμβολο για τους δείκτες Συνήθως χρησιμοποιούνται τα i,j,k,l,m,n,r,s Ελεύθερος δείκτης (Free index) Όποιος δείκτης εμφανίζεται μόνο μια φορά σε ένα μονώνυμο ονομάζεται ελεύθερος δείκτης Στις τρεις διαστάσεις παίρνει τις τιμές 1,2 και 3 Η τιμή του δείκτη δείχνει σε ποιά κατεύθυνση στο χώρο αναφέρεται η ποσότητα του τανυστή Άεργος δείκτης (Dummy index) Όποιος δείκτης εμφανίζεται ακριβώς δύο φορές σε ένα μονώνυμο υποδηλώνει άθροιση των ποσοτήτων του τανυστή για όλες τις δυνατές τιμές του δείκτη (Σύμβαση άθροισης του Einstein) Δρ Παντελής Λιόλιος (ΠΚ) Τάσεις 28 Φεβρουαρίου 2017 12 / 36

Περί των τανυστών και των δεικτών στη Μηχανική Κανόνες δεικτών Δείκτης που επαναλαμβάνεται τρεις φορές ή παραπάνω Όποιος δείκτης εμφανίζεται 3 φορές ή παραπάνω σε ένα μονώνυμο τότε είναι λάθος Ειδικός κανόνας Το κόμμα πριν από ένα δείκτη υποδηλώνει παραγώγιση ως προς αυτόν τον δείκτη Δρ Παντελής Λιόλιος (ΠΚ) Τάσεις 28 Φεβρουαρίου 2017 13 / 36

Περί των τανυστών και των δεικτών στη Μηχανική Κανόνες δεικτών - Παραδείγματα Ελεύθερος δείκτης n i = (n 1, n 2, n 3 ) σ i = (σ 1, σ 2, σ 3 ) Άεργος δείκτης σ kk = σ 11 + σ 22 + σ 33 Ελεύθερος και άεργος δείκτης μαζί T j = T j = σ ij n i σ 11 n 1 + σ 21 n 2 + σ 31 n 3 σ 12 n 1 + σ 22 n 2 + σ 32 n 3 σ 13 n 1 + σ 23 n 2 + σ 33 n 3 Δρ Παντελής Λιόλιος (ΠΚ) Τάσεις 28 Φεβρουαρίου 2017 14 / 36

Περί των τανυστών και των δεικτών στη Μηχανική Κανόνες δεικτών - Παραδείγματα Ελέυθερος και άεργος δείκτης και ταυτόχρονα παραγώγιση σ ij,j + f i = 0 σ 11 x 1 + σ 12 x 2 + σ 13 σ 21 x 1 + σ 22 x 2 + σ 23 σ 31 x 1 + σ 32 x 2 + σ 33 x 3 + f 1 = 0 x 3 + f 2 = 0 x 3 + f 3 = 0 Δρ Παντελής Λιόλιος (ΠΚ) Τάσεις 28 Φεβρουαρίου 2017 15 / 36

Βασικοί υπολογισμοί με τον τανυστή της τάσης Περιεχόμενα 1 Βασικές υποθέσεις και έννοιες 2 Τανυστής των τάσεων κατά Cauchy 3 Περί των τανυστών και των δεικτών στη Μηχανική 4 Βασικοί υπολογισμοί με τον τανυστή της τάσης 5 Κύριες τάσεις και αναλλοίωτες 6 Αποκλίνων τανυστής τάσεων και αναλλοίωτες 7 Οκταεδρικές τάσεις 8 Κύκλος του Mohr Δρ Παντελής Λιόλιος (ΠΚ) Τάσεις 28 Φεβρουαρίου 2017 16 / 36

Βασικοί υπολογισμοί με τον τανυστή της τάσης Ορθή και διατμητική τάση σε επίπεδο Μέτρο ελκυστή (Πυθαγόρειο Θεώρημα) T = T 2 1 + T2 2 + T2 3 Ορθή τάση επί του επιπέδου σ (n) = T j n j = σ ij n i n j Διατμητική τάση επί του επιπέδου τ (n) = T 2 ( σ (n)) 2 Δρ Παντελής Λιόλιος (ΠΚ) Τάσεις 28 Φεβρουαρίου 2017 17 / 36

Βασικοί υπολογισμοί με τον τανυστή της τάσης Τανυστής στροφής Ορισμός τανυστή στροφής l ij = l 11 l 12 l 13 l 21 l 22 l 23 l 31 l 32 l 33 Τα στοιχεία του τανυστή είναι τα συνημίτονα κατεύθυνσης των αξόνων του νέου συστήματος συντεταγμένων ως προς τους άξονες του παλαιού συστήματος Παράδειγμα Η πρώτη γραμμή του τανυστή είναι τα συνημίτονα των γωνιών που σχηματίζει στο χώρο ο άξονας x 1 με τους άξονες x 1, x 2 και x 3, αντίστοιχα Προσοχή! Ο τανυστής l ij δεν είναι συμμετρικός Δρ Παντελής Λιόλιος (ΠΚ) Τάσεις 28 Φεβρουαρίου 2017 18 / 36

Βασικοί υπολογισμοί με τον τανυστή της τάσης Κανόνας μετασχηματισμού σε νέο σύστημα συντεταγμένων Κανόνας μετασχηματισμού (στροφής) τανυστή σ ij = l im l jn σ mn Δρ Παντελής Λιόλιος (ΠΚ) Τάσεις 28 Φεβρουαρίου 2017 19 / 36

Κύριες τάσεις και αναλλοίωτες Περιεχόμενα 1 Βασικές υποθέσεις και έννοιες 2 Τανυστής των τάσεων κατά Cauchy 3 Περί των τανυστών και των δεικτών στη Μηχανική 4 Βασικοί υπολογισμοί με τον τανυστή της τάσης 5 Κύριες τάσεις και αναλλοίωτες 6 Αποκλίνων τανυστής τάσεων και αναλλοίωτες 7 Οκταεδρικές τάσεις 8 Κύκλος του Mohr Δρ Παντελής Λιόλιος (ΠΚ) Τάσεις 28 Φεβρουαρίου 2017 20 / 36

Κύριες τάσεις και αναλλοίωτες Ορισμός κύριων τάσεων Ορισμός κύριων τάσεων Από κάθε σημείο εντός ενός σώματος που ισορροπεί περνάνε τρία επίπεδα κάθετα μεταξύ τους στα οποία ασκείται μόνο ορθή τάση Τα τρία αυτά επίπεδα ονομάζονται κύρια επίπεδα και οι τρεις ορθές τάσεις ονομάζονται κύριες τάσεις Δρ Παντελής Λιόλιος (ΠΚ) Τάσεις 28 Φεβρουαρίου 2017 21 / 36

Κύριες τάσεις και αναλλοίωτες Υπολογισμός κύριων τάσεων (1) Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Ο υπολογισμός των κύριων τάσεων και των κατευθύνσεών τους ταυτίζεται με το αλγεβρικό πρόβλημα της εύρεσης των ιδιοτιμών και των ιδιοδιανυσμάτων ενός τετραγωνικού συμμετρικού πίνακα Σύστημα ομογενών εξισώσεων ( σij σδ ij ) nj = 0 σ: άγνωστη σταθερά αναλογίας (ιδιοτιμές) η οποία αντιστοιχεί στις κύριες τάσεις δ ij : Kronecker Δέλτα ή μοναδιαίος πίνακας (δ ij = 1 αν i = j και δ ij = 0 αν i j) n j : τα άγνωστα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην κατεύθυνση της αντίστοιχης κύριας τάσης Δρ Παντελής Λιόλιος (ΠΚ) Τάσεις 28 Φεβρουαρίου 2017 22 / 36

Κύριες τάσεις και αναλλοίωτες Υπολογισμός κύριων τάσεων (2) Λύση συστήματος ομογενών εξισώσεων Για να έχει το σύστημα των ομογενών εξισώσεων μη τετριμμένη λύση (n j = 0) θα πρέπει σij σδ ij = 0 Χαρακτηριστική εξίσωση σ 3 I 1 σ 2 + I 2 σ I 3 = 0 Οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι οι τρεις κύριες τάσεις σ 1, σ 2 και σ 3 Εφόσον ο σ ij είναι πραγματικός και συμμετρικός πίνακας, μπορεί να αποδειχθεί ότι η χαρακτηριστική εξίσωση έχει πάντα τρεις πραγματικές ρίζες Δρ Παντελής Λιόλιος (ΠΚ) Τάσεις 28 Φεβρουαρίου 2017 23 / 36

Κύριες τάσεις και αναλλοίωτες Αναλλοίωτες του τανυστή των τάσεων Ορισμός Οι σταθερές I 1, I 2 και I 3 της χαρακτηριστικής εξίσωσης δεν εξαρτώνται από το σύστημα συντεταγμένων του τανυστή σ ij και ονομάζονται αναλλοίωτες του τανυστή των τάσεων Δηλαδή, όπως και να στραφεί ο τανυστής των τάσεων, οι I 1, I 2 και I 3 είναι πάντα ίδιες Εκφράσεις αναλλοίωτων I 1 = Tr ( ) σ ij = σkk = σ 11 + σ 22 + σ 33 I 2 = σ 11 σ 12 σ 21 σ 22 + σ 11 σ 13 σ 31 σ 33 + σ 22 σ 23 σ 32 σ 33 I 3 = det ( ) σ 11 σ 12 σ 13 σ ij = σ 21 σ 22 σ 23 σ 31 σ 32 σ 33 Δρ Παντελής Λιόλιος (ΠΚ) Τάσεις 28 Φεβρουαρίου 2017 24 / 36

Κύριες τάσεις και αναλλοίωτες Υπολογισμός κατευθύνσεων κύριων τάσεων Γραμμικά ανεξάρτητες εξισώσεις Αν ο τανυστής σ ij έχει τρεις διαφορετικές μεταξύ τους ιδιοτιμές (κύριες τάσεις) τότε σύμφωνα με την γραμμική άλγεβρα μόνο δύο από τις τρεις εξισώσεις του συστήματος ομογενών εξισώσεων είναι γραμμικά ανεξάρτητες μεταξύ τους Υπολογισμός κατεύθυνσης κύριας τάσης Για τον υπολογισμό των συνημιτόνων κατεύθυνσης n j μιας κύριας τάσης (πχ της σ 1 ) χρησιμοποιούνται οποιεσδήποτε δύο από τις τρεις εξισώσεις του συστήματος ομογενών εξισώσεων (όπου τείθεται πχ σ = σ 1 ) και η ταυτότητα n 2 1 + n 2 2 + n 2 3 = 1 Δρ Παντελής Λιόλιος (ΠΚ) Τάσεις 28 Φεβρουαρίου 2017 25 / 36

Αποκλίνων τανυστής τάσεων και αναλλοίωτες Περιεχόμενα 1 Βασικές υποθέσεις και έννοιες 2 Τανυστής των τάσεων κατά Cauchy 3 Περί των τανυστών και των δεικτών στη Μηχανική 4 Βασικοί υπολογισμοί με τον τανυστή της τάσης 5 Κύριες τάσεις και αναλλοίωτες 6 Αποκλίνων τανυστής τάσεων και αναλλοίωτες 7 Οκταεδρικές τάσεις 8 Κύκλος του Mohr Δρ Παντελής Λιόλιος (ΠΚ) Τάσεις 28 Φεβρουαρίου 2017 26 / 36

Αποκλίνων τανυστής τάσεων και αναλλοίωτες Μέση πίεση και αποκλίνων τανυστής των τάσεων Διασπαση τανυστή τάσεων σε σφαιρικό και αποκλίνoν τμήμα σ ij = pδ ij + s ij Μέση πίεση p = 1 3 I 1 = 1 3 σ kk = 1 3 (σ 11 + σ 22 + σ 33 ) Ο υδροστατικός ή σφαιρικός τανυστής pδ ij μεταβάλλει τον όγκο του σώματος Αποκλίνων τανυστής Ο αποκλίνων τανυστής s ij μεταβάλλει το σχήμα του σώματος και αναφέρεται στο διατμητικό τμήμα του τανυστή των τάσεων Γιατί; Δρ Παντελής Λιόλιος (ΠΚ) Τάσεις 28 Φεβρουαρίου 2017 27 / 36

Αποκλίνων τανυστής τάσεων και αναλλοίωτες Αναλλοίωτες του αποκλίνοντα τανυστή των τάσεων Χαρακτηριστική εξίσωση Εκφράσεις αναλλοίωτων s 3 J 1 s 2 J 2 s J 3 = 0 J 1 = s kk = 0 J 2 = 1 2 s ijs ji = 1 3 I2 1 I 2 = 1 [(σ 1 σ 2 ) 2 + (σ 2 σ 3 ) 2 + (σ 3 σ 1 ) 2] 6 J 3 = det ( ) 1 s ij = 3 s ijs jk s ki = 2 27 I3 1 1 3 I 1I 2 + I 3 Δρ Παντελής Λιόλιος (ΠΚ) Τάσεις 28 Φεβρουαρίου 2017 28 / 36

Οκταεδρικές τάσεις Περιεχόμενα 1 Βασικές υποθέσεις και έννοιες 2 Τανυστής των τάσεων κατά Cauchy 3 Περί των τανυστών και των δεικτών στη Μηχανική 4 Βασικοί υπολογισμοί με τον τανυστή της τάσης 5 Κύριες τάσεις και αναλλοίωτες 6 Αποκλίνων τανυστής τάσεων και αναλλοίωτες 7 Οκταεδρικές τάσεις 8 Κύκλος του Mohr Δρ Παντελής Λιόλιος (ΠΚ) Τάσεις 28 Φεβρουαρίου 2017 29 / 36

Οκταεδρικές τάσεις Οκταεδρικές τάσεις Οκταεδρικό επίπεδο Το επίπεδο του οποίου το κάθετο διάνυσμα σχηματίζει ίσες γωνίες στο χώρο με τις διευθύνσεις των κυρίων τάσεων ονομάζεται οκταεδρικό επίπεδο Υπάρχουν συνολικά οκτώ τέτοια επίπεδα που σχηματίζουν ένα οκτάεδρο Ορθή οκταεδρική τάση σ (oct) = 1 3 I 1 = p Διατμητική οκταεδρική τάση 2 τ (oct) = 3 J 2 Δρ Παντελής Λιόλιος (ΠΚ) Τάσεις 28 Φεβρουαρίου 2017 30 / 36

Κύκλος του Mohr Περιεχόμενα 1 Βασικές υποθέσεις και έννοιες 2 Τανυστής των τάσεων κατά Cauchy 3 Περί των τανυστών και των δεικτών στη Μηχανική 4 Βασικοί υπολογισμοί με τον τανυστή της τάσης 5 Κύριες τάσεις και αναλλοίωτες 6 Αποκλίνων τανυστής τάσεων και αναλλοίωτες 7 Οκταεδρικές τάσεις 8 Κύκλος του Mohr Δρ Παντελής Λιόλιος (ΠΚ) Τάσεις 28 Φεβρουαρίου 2017 31 / 36

Κύκλος του Mohr Συνθήκες επίπεδης τάσης σ ij = [ σ11 σ 12 σ 21 σ 22 ] σ 13 = σ 23 = σ 33 = 0 Δρ Παντελής Λιόλιος (ΠΚ) Τάσεις 28 Φεβρουαρίου 2017 32 / 36

Κύκλος του Mohr Υπολογισμός ορθής και διατμητικής τάσης σε τυχαίο επίπεδο σ n = σ ij n i n j τ n = T 2 σn 2 σ n : Ορθή τάση τ n : Διατμητική τάση T: Μέτρο ελκυστή Σύμβαση Οι τάσεις θεωρούνται θετικές όταν έχουν την φορά του σχήματος Δρ Παντελής Λιόλιος (ΠΚ) Τάσεις 28 Φεβρουαρίου 2017 33 / 36

Κύκλος του Mohr Κύκλος του Mohr Παραμετρικές εξισώσεις κύκλου σ n = 1 2 (σ 11 + σ 22 )+ + 1 2 (σ 11 σ 22 ) cos 2θ + σ 12 sin 2θ τ n = 1 (σ11 σ22) sin 2θ + σ12 cos 2θ 2 Εξίσωση κύκλου του Mohr ( σ n 1 ) 2 ( ) 2 2 (σ 11 + σ 22 ) + τn 2 1 = 2 (σ 11 σ 22 ) + σ12 2 Ειδικός κανόνας Για τον σχεδιασμό του κύκλου, οι διατμητικές τάσεις που στρέφουν δεξιόστροφα τον στοιχειώδη όγκο θεωρούνται θετικές και αρνητικές αντίθετα Δρ Παντελής Λιόλιος (ΠΚ) Τάσεις 28 Φεβρουαρίου 2017 34 / 36

Κύκλος του Mohr Πόλοι των επιπέδων και των καθέτων Δρ Παντελής Λιόλιος (ΠΚ) Τάσεις 28 Φεβρουαρίου 2017 35 / 36

Κύκλος του Mohr Υπολογισμός κύριων τάσεων { σ1 σ 2 } = 1 2 (σ11 + σ22) ± ( σ11 σ 22 2 ) 2 + σ 2 12 Δρ Παντελής Λιόλιος (ΠΚ) Τάσεις 28 Φεβρουαρίου 2017 36 / 36