Είδη φορτίων: (α) επιφανειακά (π.χ. λόγω επαφής του θεωρούμενου σώματος με άλλα σώματα),

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Είδη φορτίων: (α) επιφανειακά (π.χ. λόγω επαφής του θεωρούμενου σώματος με άλλα σώματα),"

Μανασσῆς Ευταξίας
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ Η έννοια του ελκυστή (tracto): M(συνισταμένη ροπή) F (συνισταμένη δύναμη) P S Θεωρείται παραμορφώσιμο στερεό σε ισορροπία υπό εξωτερική φόρτιση (αποκλείονται ταχέως μεταβαλλόμενες φορτίσεις και επομένως αμελούνται αδρανειακά φαινόμενα). Η συνισταμένη δύναμη και ροπή που ασκούνται στο αντιστοίχως. S συμβολίζονται ως F και M, Υπενθύμιση: Είδη φορτίων: (α) επιφανειακά (π.χ. λόγω επαφής του θεωρούμενου σώματος με άλλα σώματα), (β) καθολικά (ody forces) (φορτία διανεμημένα στα εσωτερικά στοιχεία του σώματος π.χ. λόγω βαρύτητας). Θεωρείται επίσης στοιχείο επιφανείας S που βρίσκεται είτε στο εσωτερικό του σώματος είτε στην επιφάνειά του. Ο προσανατολισμός του στοιχείου αυτού καθορίζεται από το μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα (λαμβάνεται θετικό όταν διευθύνεται προς τα έξω ).

2 Υπενθύμιση: Προσδιορισμός του : Έστω f x x, x 0, η αναπαράσταση μιας επιφάνειας S στον gradf χώρο. Τότε. (Παράδειγμα: Η σφαίρα x x x 0 έχει ως μοναδιαίο gradf x x x x ˆ ˆ ˆ x x e e e). κάθετο διάνυσμα το,, Θεμελιώδης υπόθεση της κλασσικής Μηχανικής του Συνεχούς: F df m, (α) S ds S0 M m 0, (β) S0 S όπου το διάνυσμα στην θέση P. καλείται ελκυστής και παριστά την δύναμη ανά μονάδα επιφανείας Ειδικώτερα για την (β), η υπόθεση αυτή είναι αρκετά ακριβής για υλικά με λεπτή δομή κόκκων (fe-graed materals), όπου λόγω της μικρής διάστασης κάθε κόκκου μπορεί να αμεληθεί η ύπαρξη ροπών μεταξύ των κόκκων. Η υπόθεση αυτή χαρακτηρίζει όλες τις κλασικές θεωρίες Συνεχούς Μέσου. Αντίθετα, εάν το δεξιά μέλος της Εξ. (β) δεν ληφθεί μηδέν, τότε αναπτύσσονται μοντέρνες θεωρίες, βάσει των οποίων λαμβάνεται πλήρως υπόψη η μικροδομή του υλικού. Τέτοιες είναι οι θεωρίες τύπου Cosserat, τάσεων ζεύγους (couple stresses), και τύπου βαθμίδας (gradet type). Αρχή των Τάσεων (Stress Prcple) των Euler και Cauchy:

3 S V κλειστή επιφάνεια S στο εσωτερικό ενός συνεχούς F S S S ( ος νόμος Newto) (ύπαρξη εσωτερικών δυνάμεων) Αρχή των τάσεων Euler-Cauchy: Για κάθε ιδεατή κλειστή επιφάνεια S στο εσωτερικό ενός συνεχούς μέσου ορίζεται ένα διανυσματικό πεδίο ελκυστών, η δράση του οποίου στο περικλειόμενο από την S τμήμα του σώματος είναι ισοπολική με την δράση στο εξωτερικό ως προς την S τμήμα του σώματος.

4 Πρόταση: Ο ελκυστής εξαρτάται από τον προσανατολισμό της επιφάνειας. P Ο τανυστής τάσης (stress tesor): x ê ê ê x x (το πρόσημο των τάσεων είναι θετικό όταν αυτές έχουν τις διευθύνσεις του σχήματος) 4

5 Τα παριστούν τις προβολές του διανύσματος επάνω στους άξονες x eˆ eˆ eˆ, eˆ eˆ eˆ, eˆ eˆ eˆ () ή ê ή,,,,. () Οι εννέα ποσότητες καλούνται τανυστής τάσης. Θα δειχθεί συντόμως ότι (συμμετρία τανυστή). Οι τάσεις, ονομάζονται διατμητικές., ονομάζονται ορθές, ενώ οι τάσεις,, Πρόταση: Η εξάρτηση του ελκυστή από τον προσανατολισμό είναι γραμμική. Πιο συγκεκριμμένα, θα αποδειχθεί ότι στο τυχόν σημείο P με συντεταγμένες x ισχύει η εξής σχέση x x x,, εξάρτηση από το διαχωρισμός όπου ο τυχαίος προσανατολισμός στοιχειώδους επιφάνειας που διέρχεται από το σημείο P του σώματος. Απόδειξη: Η απόδειξη βασίζεται στο λεγόμενο τετράεδρο του Cauchy. 5

6 C x P B x A f x Θα αποδειχθεί ότι η τασική κατάσταση σε ένα σημείο P του σώματος περιγράφεται πλήρως με τον καθορισμό των συνιστωσών. Με άλλα λόγια, θα αποδειχθεί ότι ο τανυστής είναι το χαρακτηριστικό μέγεθος σε κάθε σημείο του σώματος, και ότι η προβολή του σε τυχαία διεύθυνση δίνει τον ελκυστή. Ο συσχετισμός μεταξύ και γίνεται λαμβάνοντας την ισορροπία όλων των δυνάμεων που ασκούνται στο τετράεδρο: S S S S f hs 0, (4) όπου ˆ cos, ˆ PAB, hs S e S e S S είναι το εμβαδόν των εδρών PBC, PAC και S το εμβαδόν της έδρας ABC, οι προβολές του στους άξονες ο όγκος του τετραέδρου. x, και Ακολούθως, συνδυάζουμε τις εξής τρείς σχέσεις και λαμβάνουμε την προς απόδειξη σχέση Εξ. 4 με h 0, ˆ e,. ˆ e. (5) Σε μητρωϊκή μορφή η Εξ. (5) γράφεται ως 6

7 ή,,,,. Τέλος, ιδιαίτερα χρήσιμη για την διατύπωση των συνοριακών συνθηκών ενός προβλήματος είναι η ανάλυση του ελκυστή σε δύο συνιστώσες την μια κάθετη και την άλλη εφαπτομενική στην στοιχειώδη επιφάνεια στην οποία δρα ο. P s Αρχικά, για την κάθετη συνιστώσα έχουμε, (6) Εξ. (5), (6). (7) Επίσης, από το Πυθαγόρειο θεώρημα, έχουμε για την εφαπτομενική συνιστώσα s. (8) 7

8 Παράδειγμα διατύπωσης συνοριακών συνθηκών για την τάση (ισχυρές και ασθενείς συνοριακές συνθήκες): y a F 0 x Θεωρείται το παραμορφώσιμο στερεό που καταλαμβάνει την περιοχή 0 x, y υπό την επίδραση της κατακόρυφης δύναμης F. Το στερεό (σε σχήμα προβόλου) στηρίζεται στην δεξιά του παρειά Οι συνοριακές συνθήκες διακρίνονται σε ισχυρού τύπου (strog oudary codtos or potwse oudary codtos) 0 για y, yx 0 για y, yy 0 για x 0, xx και σε ασθενούς τύπου (weak oudary codtos or oudary codtos of tegral type) xy dy F για x 0, xx dy 0 για x, xy dy F για x, xx ydy F για x. 8

Σχετικά έγγραφα

S συµβολίζονται ως. Είδη φορτίων: (α) επιφανειακά (π.χ. λόγω επαφής του θεωρούµενου σώµατος µε άλλα σώµατα),

S συµβολίζονται ως. Είδη φορτίων: (α) επιφανειακά (π.χ. λόγω επαφής του θεωρούµενου σώµατος µε άλλα σώµατα), ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ Η έννοια του ελκυτή (tracto): M(υνιταµένη ροπή) F (υνιταµένη δύναµη) Θεωρείται παραµορφώιµο τερεό ε ιορροπία υπό εξωτερική φόρτιη (αποκλείονται ταχέως µεταβαλλόµενες φορτίεις και εποµένως