ΣΥΜΜΕΤΟΧΗ Ι ΙΟΜΟΡΦΩΝ ΣΤΗ ΜΕΘΟ Ο ΕΠΑΛΛΗΛΙΑΣ

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών ΣΥΜΜΕΤΟΧΗ Ι ΙΟΜΟΡΦΩΝ ΣΤΗ ΜΕΘΟ Ο ΕΠΑΛΛΗΛΙΑΣ Ε.Ι. Σαπουντζάκης Καθηγητής ΕΜΠ υναμική Ανάλυση Ραβδωτών Φορέων

Μετακινήσεις στη μέθοδο επαλληλίας των ιδιομορφών, Y, u u u u u 1 : ιάνυσμα ιδιομορφικών μετακινήσεων : Εκφράζει τη συμβολή της -οστής ιδιομορφής στο διάνυσμα : -οστή ιδιομορφή: Χρονικά ανεξάρτητο διάνυσμα που περιγράφει τη χωρική κατανομή της ιδιομορφικής μετακίνησης u k m 0 Y : -οστή γενικευμένη συντεταγμένη: Βαθμωτή χρονική συνάρτηση που περιγράφει τη χρονική κατανομή της ιδιομορφικής μετακίνησης u P MY CY KY P Y Y Y M M m, C c, K k, P p u Η ιδιομορφική μετακίνηση γράφεται ως γινόμενο χωρικής και χρονικής συνάρτησης u

Μετακινήσεις στη μέθοδο επαλληλίας των ιδιομορφών, Y, u u u u : ιάνυσμα ιδιομορφικών μετακινήσεων u 1 : Εκφράζει τη συμβολή της -οστής ιδιομορφής στο διάνυσμα Συμμετοχή όλων των ιδιομορφών στη μέθοδο επαλληλίας: Ακριβής λύση Επιλογή σημαντικών ιδιομορφών στη μέθοδο επαλληλίας: Προσεγγιστική λύση (ακρίβεια, υπολογιστικός χρόνος). Ποιοτική επιλογή: Μια ιδιομορφή είναι σημαντική όταν η παραμορφωσιακή εικόνα της είναι παραπλήσια της παραμόρφωσης της κατασκευής Π.χ. σύστημα με λειτουργία προβόλου υπό σεισμική δράση: Σημασία πρώτης ιδιομορφής u u () g (α)

Μετακινήσεις στη μέθοδο επαλληλίας των ιδιομορφών, Y, u u u u : ιάνυσμα ιδιομορφικών μετακινήσεων u 1 : Εκφράζει τη συμβολή της -οστής ιδιομορφής στο διάνυσμα Συμμετοχή όλων των ιδιομορφών στη μέθοδο επαλληλίας: Ακριβής λύση Επιλογή σημαντικών ιδιομορφών στη μέθοδο επαλληλίας: Προσεγγιστική λύση (ακρίβεια, υπολογιστικός χρόνος). Ποσοτική επιλογή: Αντικειμενικά κριτήρια με δυνατότητα προγραμματισμού στον Η/Υ Π.χ. Υδατόπυργος υπό σεισμική δράση: Σημασία δεύτερης ιδιομορφής u u g ()

Εξίσωση κίνησης πολυβάθμιου συστήματος f f f p mu cu ku p I D S Συμμετοχή της -οστής ιδιομορφής στην εξίσωση κίνησης u Y I Y D Y Y f mu m : Αδρανειακή δύναμη f cu c : ύναμη απόσβεσης f ku k : Ελαστική δύναμη S p a Y Y Y Συνισταμένη των δυνάμεων: p f f f m c k p p p 1 I D S Ισχύει συνεπώς το διάνυσμα περιγράφει τη συμμετοχή της -οστής ιδιομορφής στην εξωτερική φόρτιση p του πολυβάθμιου συστήματος

Συμμετοχή της -οστής ιδιομορφής στην εξωτερική φόρτιση Y Y Y Συνισταμένη των δυνάμεων: p fi f D f S m c k p a Ισχύει p p 1 Για κλασική απόσβεση (π.χ. c 0m1k) ισχύει: Υπενθυμίζεται ότι: 0 1 p a Y Y Y m e k m 0 e e: Χρονικά ανεξάρτητο διάνυσμα που περιγράφει τη χωρική κατανομή της φόρτισης p : Βαθμωτή χρονική συνάρτηση που περιγράφει τη χρονική κατανομή της φόρτισης p

Συμμετοχή της -οστής ιδιομορφής στην εξίσωση κίνησης i p e p m M i i i i 1 1 i p, i 1,..., M i p p e m M P k, 0 k,m p P,k k p k m k p M 0, k Η φόρτιση με το διάνυσμα p διεγείρει μόνο τη -οστή ιδιομορφή u με το διάνυσμα p Η ιδιομορφική μετακίνηση προκαλείται αποκλειστικά από τη φόρτιση

ΜέθοδοςΕπαλληλίαςτωνΙδιομορφών Υπολογισμός εντατικών μεγεθών 1ος Τρόπος: Ησυμμετοχήτης-οστής ιδιομορφής q () σε κάποιο εντατικό μέγεθος στοιχείου q() προσδιορίζεται από τις ιδιομορφικές μετακινήσεις u () χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες δυσκαμψίας του στοιχείου, ενώ το εντατικό μέγεθος του στοιχείου προκύπτει από τη συνεισφορά όλων των ιδιομορφών. q : Από το μητρώο δυσκαμψίας του στοιχείου και τις ιδιομ. μετακινήσεις u q q 1 ος Τρόπος: Γνωρίζοντας τις ιδιομορφικές μετακινήσεις u (), η συμμετοχή της -οστής ιδιομορφής q () σε κάποιο εντατικό μέγεθος στοιχείου q() προσδιορίζεται από στατική ανάλυση της κατασκευής υποβαλλόμενης στις ελαστικές δυνάμεις fs ku ενώ το εντατικό μέγεθος του στοιχείου προκύπτει από τη συνεισφορά όλων των ιδιομορφών. Ισχύει f ku k Y m Y q f S S : Από στατική ανάλυση της κατασκευής στην οποία επιβάλλονται τα φορτία q q 1

ΜέθοδοςΕπαλληλίαςτωνΙδιομορφών Ανακεφαλαιώνοντας: Βήματα μεθόδου επαλληλίας των ιδιομορφών: 1) Καθορισμός των ιδιοτήτων της κατασκευής mk,, ) Προσδιορισμός των ιδιοσυχνοτήτων ω και ιδιομορφών 3) Υπολογισμός της απόκρισης κάθε ιδιομορφής ακολουθώντας τα παρακάτω: α) Μόρφωση και επίλυση των εξισώσεων κίνησης (περίπτωση κλασικής απόσβεσης) ως προς τις ιδιομορφικές συντεταγμένες για την εύρεση των Y : P Y Y Y M β) Υπολογισμός συμμετοχής της κάθε ιδιομορφής στις επικόμβιες μετακινήσεις u : u Y γ) Υπολογισμός συμμετοχής της κάθε ιδιομορφής στα εντατικά μεγέθη των στοιχείων εφαρμόζοντας μια από τις δύο μεθόδους που περιγράφηκαν 4) Συνδυασμός της συνεισφοράς όλων των ιδιομορφών για τον προσδιορισμό τηςολικήςαπόκρισης(μετακινήσεις και εντατικά μεγέθη)

Ιδιομορφική συμμετοχή για την ειδική περίπτωση φόρτισης p Rf : R: χρονικά ανεξάρτητο διάνυσμα - εκφράζει τη χωρική κατανομή της φόρτισης, f : βαθμωτή χρονική συνάρτηση - εκφράζει τη χρονική μεταβολή της φόρτισης f : κοινό για όλους τους βαθμούς ελευθερίας του πολυβάθμιου συστήματος Υπολογισμός του R: R Δr Δ: μητρώο που περιέχει αυξητικούς ή μειωτικούς συντελεστές της εξωτερικής φόρτισης, π.χ. Δ Ι (φόρτιση σε κάποιον β.ε.), Δ m (σεισμική φόρτιση) r: ιάνυσμα χωρικής κατανομής της φόρτισης που περιέχει τιμές 0,1 ανάλογα σε ποιους βαθμούς ελευθερίας επιβάλλεται η φόρτιση g Υπολογισμός του f : π.χ. f pi (φόρτιση στον β.ε. i με δύναμη pi ), f u (σεισμική φόρτιση)

Ιδιομορφική συμμετοχή για την ειδική περίπτωση φόρτισης p Rf : Υπολογισμός του R: R Δr Δ: μητρώο που περιέχει αυξητικούς ή μειωτικούς συντελεστές της εξωτερικής φόρτισης, π.χ. Δ Ι (φόρτιση σε κάποιον β.ε.), Δ m (σεισμική φόρτιση) r: ιάνυσμα χωρικής κατανομής της φόρτισης που περιέχει τιμές 0,1 ανάλογα σε ποιους βαθμούς ελευθερίας επιβάλλεται η φόρτιση Παραδείγματα υπολογισμού του r για σεισμική φόρτιση I m 3 V 3 V 5 V 4 I m V V 6 V m 1 V 1 V 1 I u g () r 1, 1, 1 a u aa g V 3 () r 1, 0, 0, 1, 0, 0 a

Ιδιομορφική συμμετοχή για την ειδική περίπτωση φόρτισης p Rf : Υπολογισμός του R: R Δr Δ: μητρώο που περιέχει αυξητικούς ή μειωτικούς συντελεστές της εξωτερικής φόρτισης, π.χ. Δ Ι (φόρτιση σε κάποιον β.ε.), Δ m (σεισμική φόρτιση) r: ιάνυσμα χωρικής κατανομής της φόρτισης που περιέχει τιμές 0,1 ανάλογα σε ποιους βαθμούς ελευθερίας επιβάλλεται η φόρτιση Παραδείγματα υπολογισμού του r για σεισμική φόρτιση V m m V 3 V m m V 3 V m1 1 V 3 r 1, 1, 0 V m1 1 V 3 r 0, 0,1 u g ( ) u g ()

Ιδιομορφική συμμετοχή για την ειδική περίπτωση φόρτισης p Rf : Εξετάζεται δηλαδή η περίπτωση που η εξωτερική διέγερση μπορεί να γραφτεί ως γινόμενο χωρικής και χρονικής συνάρτησης, με κοινό χρονικό μέρος για όλους τους β.ε. p p Συμμετοχή της -οστής ιδιομορφής στην εξωτερική φόρτιση : p Rf R p m m mf m f Rf M M M e R L R R L R m m, : χρονικά ανεξάρτητο διάνυσμα του p M M M L:Συντελεστής διέγερσης :Συντελεστής συμμετοχής: Μέτρο καθορισμού της συμβολής της -οστής ιδιομορφής στην εξωτερική φόρτιση R - ισχύει f και p e e f R f Ωστόσο: Το εξαρτάται από τον τρόπο κανονικοποίησης των ιδιομορφών συνεπώς δεν αποτελεί κατάλληλο μέγεθος προσδιορισμού της συμβολής των ιδιομορφών στον προσδιορισμό κάποιου κινηματικού ή εντατικού μεγέθους

Ιδιομορφική συμμετοχή για την ειδική περίπτωση φόρτισης p Rf : u Y Y Προσδιορισμός u :, όπου υπολογίζεται από τις εξισώσεις: f p R M M Y Y Y f Y λύση μονοβάθμιου ταλαντωτή f, με m1,,, p f Τελικά: u u u : χρονικά ανεξάρτητο διάνυσμα του u Υπενθυμίζεται: 1 R R m 1 M m Προπολλ/μόςμεk R k k R k m u

Ιδιομορφική συμμετοχή για την ειδική περίπτωση φόρτισης p Rf : Προσδιορισμός q : Γνωρίζοντας τις ιδιομορφικές μετακινήσεις u και ο χρησιμοποιώντας τον τρόπο υπολογισμού εντατικών μεγεθών, έχουμε: Προσδιορισμός f : f ku k m Προσδιορισμός q f S R S S R m : Από στατική ανάλυση της κατασκευής με τα φορτία. Είναι εμφανές ότι αρκεί η φόρτιση της κατασκευής με τα φορτία R και στη συνέχεια ο πολλαπλασιασμός με το συντελεστή Τελικά q q, όπου q είναι η τιμή του εντατικού μεγέθους που προκύπτει από τη στατική ανάλυση με τα φορτία R..

Ιδιομορφική συμμετοχή για την ειδική περίπτωση φόρτισης p Rf : Προσδιορισμός q : q q q : Η τιμή του εντατικού μεγέθους που προκύπτει από τη στατική ανάλυση με τα φορτία R : Προκύπτει από την επίλυση μονοβάθμιου ταλαντωτή f ( m1,,, p f ) Προσδιορισμός q: q q 1

Ιδιομορφή 1 Δυνάμεις R 1 Στατική ανάλυση της κατασκευής q 1 Δυναμική ανάλυση μονοβάθμιου συστήματος f() Μοναδιαία Μάζα ω 1,ξ 1 ψ 1 () Ιδιομορφική συνεισφορά στη δυναμική απόκριση q1 q 1 1 1 Δυνάμεις R q f() Μοναδιαία Μάζα ψ () q q ω,ξ Ν Δυνάμεις R q f() Μοναδιαία Μάζα ω Ν,ξ Ν ψ () q q Ολική απόκριση q q Ερμηνεία συμμετοχής των ιδιομορφών στον υπολογισμό των εντατικών μεγεθών 1

Ιδιομορφική συμμετοχή για την ειδική περίπτωση φόρτισης όπου p Rf : q q 1 q q q q, q q q : συντελεστής ιδιομορφικής συμβολής του μεγέθους q, q q q ή εναλλακτικά αποδεικνύεται ότι πρόκειται για το μέγεθος που προκύπτει από στατική ανάλυση με τα φορτία R Αποδεικνύεται ότι η ίδια ακριβώς σχέση ισχύει και στην περίπτωση όπου το q. Σε αυτήν την είναι κάποια συνιστώσα ιδιομορφικής μετακίνησης u περίπτωση το q υπολογίζεται από στατική ανάλυση με τα φορτία με τα φορτία R, u είτε εναλλακτικά μέσω του διανύσματος

q Ιδιότητες συντελεστή ιδιομορφικής συμβολής του μεγέθους q γ : 1) Αδιάστατος ) Ανεξάρτητος από τον τρόπο κανονικοποίησης των ιδιομορφών q 3) 1 1 4) Καθορισμός της ιδιομορφικής συμβολής σε κάποιο μέγεθος ξεχωριστά q o αποτελεί βολικό μέτρο καθορισμού της συμβολής της κάθε ιδιομορφής στο μέγεθος q Επιλογή σημαντικών ιδιομορφών στη μέθοδο της επαλληλίας: Για τον προσδιορισμό του ελάχιστου πλήθους σημαντικών ιδιομορφών στον καθορισμό του μεγέθους q λαμβάνονται υπόψη τόσες ιδιομορφές ώστε το q άθροισμα των να είναι κοντά στη μονάδα (πρακτικά >90%)

Μειονεκτήματα μεθόδου Συμμετοχής Ιδιομορφών 1) Ισχύει μόνο για κλασική απόσβεση ) Ισχύει μόνο για την ειδική περίπτωση εξωτερικής φόρτισης p Rf 3) εν λαμβάνονται υπόψη αρχικές συνθήκες 4) εν επιλύονται ελεύθερες ταλαντώσεις mk,

Εναλλακτικός προσδιορισμός σημαντικών ιδιομορφών (για σεισμική φόρτιση - Δ m): eff ρώσα ιδιομορφική μάζα της -οστής ιδιομορφής: M M L Συνολική δρώσα ιδιομορφική μάζα: M eff eff o M r mr 1 Συντελεστής δρώσας ιδιομορφικής μάζας της -οστής ιδιομορφής: Για τον προσδιορισμό του ελάχιστου πλήθους σημαντικών ιδιομορφών στην ανάλυση της κατασκευής λαμβάνονται υπόψη τόσες ιδιομορφές ώστε το άθροισμα των να είναι >90% Ιδιότητες: eff o 1) M m μόνο στην περίπτωση που r 1,1,...,1 ) a 1 1 o 3) Ενεργειακή σύγκριση των ιδιομορφών - εν είναι δυνατό να καθοριστεί η συμβολή κάθε ιδιομορφής ξεχωριστά σε κάποιο κινηματικό ή εντατικό μέγεθος Qb Qb 4) Στις κτιριακές κατασκευές ( λειτουργία προβόλου) ισχύει a, όπου είναι ο συντελεστής ιδιομορφικής συμβολής της τέμνουσας βάσης Q b M M eff eff o

Παράδειγμα: ιώροφο διατμητικό πλαίσιο υπό οριζόντια φόρτιση h1= 3.5m h= 4.0m q1=40k/m 30x30 cm q=50k/m 5x5 cm L=6.0m p1()=190k p()=-300k 7 E.1 10 k / m 3 4k / m 1 0.06 0.04 Μέθοδος επαλληλίας των ιδιομορφών: Βήμα 1: Υπολογισμός m, k, 5 0 386.5 386.5 m 0 3 k 386.5 914.1 Βήμα : Υπολογισμός, β, k m 0 8.89, 19.36 1 k m β 0 β1, β 1 1 0.5511 0.7054 1 1 0.06 0.04 1 0.5511 1 1.41751 1 3 4 u1 δυναμικοί βαθμοί ελευθερίας u Τα έχουν ήδη καθοριστεί, (κανονικοποίηση ως προς το max)

Παράδειγμα: ιώροφο διατμητικό πλαίσιο υπό οριζόντια φόρτιση Μέθοδος επαλληλίας των ιδιομορφών: Βήμα 3: Υπολογισμός των γενικευμένων μαζών M m M 34.719, M 44.440 1 Συμμετοχή των ιδιομορφών στη μέθοδο επαλληλίας: Βήμα 4: Υπολογισμός του διανύσματος R Δr 190 190 0 1 190 0 1 190 p 1 f 1 300 0 300 Δ 1 f 0 300, r, R, 1 300 Δ r Βήμα 5: Υπολογισμός των συντελεστών συμμετοχής R 1 0.7106, 9.7666 (διατήρηση προσήμων) M Βήμα 6: Υπολογισμός των διανυσμάτων των στατικών φορτίσεων R 17.764 17.34 R m R1, R 1.531 31.53

Παράδειγμα: ιώροφο διατμητικό πλαίσιο υπό οριζόντια φόρτιση Συμμετοχή των ιδιομορφών στη μέθοδο επαλληλίας: Βήμα 7: Υπολογισμός της στατικής απόκρισης που οφείλεται στη στατική φόρτιση R b b 1 b Rk k1 Qb1 30.95, Qb 140.98 b k k h R h 1 k1 b1 b των μεγεθών της τέμνουσας βάσης Q, ροπής ανατροπής M, μετακίνησης κορυφής u και (π.χ.) της καμπτικής ροπής κορυφής στύλου 1 Q r R (ο τύπος ισχύει επειδή έχουμε στατική λειτουργία προβόλου) M h R, όπου h h h 7.5 4.0 (ο τύπος ισχύει επειδή έχουμε στατική λειτουργία προβόλου) M 183.355, M 41.630 u k R u u 0.01034, u 0.018619 q ku 1 1 1 11 1 : Από στατική ανάλυση της κατασκευής υποβαλλόμενης στα φορτία 1, R... q 3.3 q 31.51 R q

Παράδειγμα: ιώροφο διατμητικό πλαίσιο υπό οριζόντια φόρτιση Συμμετοχή των ιδιομορφών στη μέθοδο επαλληλίας: Βήμα 8: Υπολογισμός της συνολικής στατικής απόκρισης που οφείλεται στη b 1 q b k r R b (ή b b) k1 1 b k k h R h b b b k1 1 στατική φόρτιση R των μεγεθών της τέμνουσας βάσης Q, ροπής ανατροπής M, μετακίνησης κορυφής u και της καμπτικής ροπής κορυφής στύλου 1 Q R Q 110.0 Q Q M h R, όπου 7.5 4.0 M 5.0 (ή M M ) u : Από στατική ανάλυση της κατασκευής υποβαλλόμενης στα φορτία 1 u1 0.08961 u1 u1 1 ku R u k R (ή ) R b q ku : Από στατική ανάλυση της κατασκευής υποβαλλόμενης στα φορτία 1 R... q 344.753 (ή q q ) R

Παράδειγμα: ιώροφο διατμητικό πλαίσιο υπό οριζόντια φόρτιση Συμμετοχή των ιδιομορφών στη μέθοδο επαλληλίας: Βήμα 9: Υπολογισμός συντελεστών ιδιομορφικής συμβολής των μεγεθών της τέμνουσας βάσης Qb, ροπής ανατροπής Mb, μετακίνησης κορυφής u1 και καμπτικής ροπής κορυφής στύλου 1 q Ιδιομορφή b b 1 Q Qb M Mb u u1 q q Qb Mb u q 1-0.754 0.8150 0.3571 0.0935 1.754 0.1815 0.649 0.9065 Άθροισμα 1 1 1 1 Για τον καθορισμό με ικανοποιητική ακρίβεια της τέμνουσας βάσης Q, b u1 ροπής ανατροπής M, μετακίνησης κορυφής η θεώρηση και των ιδιομορφών της κατασκευής Για τον καθορισμό με ικανοποιητική ακρίβεια της καμπτικής ροπής κορυφής στύλου 1 q απαιτείται η θεώρηση ης της ιδιομορφής της κατασκευής b

Μέθοδος του Φάσματος Απόκρισης Η μέθοδος επαλληλίας των ιδιομορφών δίδει την ολική δυναμική απόκριση ενός (κινηματικού ή εντατικού) μεγέθους q(): q q, q q 1 Με τη μέθοδο του φάσματος απόκρισης είναι δυνατό να εκτιμήσουμε πολύ γρήγορα τη μέγιστη τιμή της απόλυτης τιμής του μεγέθους max q() χωρίς να υπολογίσουμε το για κάθε χρονική στιγμή : 0 Υπολογισμός ακραίων τιμών των q : q q max

Μέθοδος του Φάσματος Απόκρισης Με τη μέθοδο του φάσματος απόκρισης είναι δυνατό να εκτιμήσουμε πολύ γρήγορα τη μέγιστη τιμή της απόλυτης τιμής του μεγέθους max q() χωρίς να υπολογίσουμε το για κάθε χρονική στιγμή : Υπολογισμός ακραίων τιμών των q : q q max 0 Υπολογισμός q : Η τιμή του max max : Το max εντατικού μεγέθους που προκύπτει από το φάσμα απόκρισης μονοβάθμιων προκύπτει από τη στατική ταλαντωτών ανάλυση με τα φορτία R f ιατηρώ το πρόσημο ( m1,, p f ) θέτοντας ιδιοπερίοδο που προκύπτει Εξ'ορισμού προκύπτει θετική τιμή Εκτίμηση του max q π.χ. μέσω του κανόνα της τετραγωνικής ρίζας του αθροίσματος (SRSS) ως: max q q Στον κανόνα SRSS, το πρόσημο του δεν παίζει ρόλο Ο κανόνας SRSS είναι αξιόπιστος όταν οι ιδιοσυχνότητες της κατασκευής "ξεχωρίζουν" καλά μεταξύ τους 1 q 0