סיכום הרצאות של אבנר סופר מבוא לפיסיקה מודרנית

סיכום הרצאות של אבנר סופר מבוא לפיסיקה מודרנית עיקרון היחסות של גליליי, אור טרנספורמציית גליליי (ההנחה כאן היא: ( t ' t r' מיקום: r Vt ' מהירויות: V תאוצות: a ' a עיקרון היחסות של גליליי: חוקי המכניקה אינו וריאנטים תחת טרנספורמציית גליליי אור מהירות האור: 676, רומר יכל לחזות את זמני הליקויים של הירח איו של צדק, אך המדידות הראו סטייה (בגלל סיבוב כדה"א סביב השמש ושינוי מרחקו מאיו מהמדידות ניתן היה לחשב: T c D / T - הפרש הזמנים שנמדד, - D קוטר הסיבוב סביב השמש תחילת המאה ה- 8, ברדלי הכוכב Dra נע בתנועה מעגלית ברדיוס זוויתי של " שניות קשת הדבר נבע משינוי בכיוון המהירות של כדה"א עקב סיבובו סביב השמש ניתן לחשב: / ta כיום הוחלט לקבוע את המטר לפי מהירות האור: של הטבע לקשר בניהן הקדמה גלית כל גל מקיים את משוואת הגלים: משוואת הגל:, לכן ניתן למדוד זמן ואורך ע"י אותה יחידה, כאשר c α c 8 c 3 m / s ψ ψ ( r, t t r t λ ψ ( r, t si π π λ T ω πf תדירות זויתית: f /T - אורך הגל, T - זמן המחזור מהירות הגל: λ /T תדירות: עיקרון הסופרפוזיציה: חיבור של פונקציות גל הוא פונקצית גל הניסוי של תומאס יאנג: יצר מקורות קוהרנטיים ע"י העברת גל מישורי (אור דרך שני סדקים הדבר יצר הפרש פאזה בנקודות שונות על המסך (בגלל הפרש הדרכים בין הגל מהסדק הראשון לגל השני, מה שנראה כתבנית התאבכות הוא קבוע האתר ומשוואת מקסוול במאה ה- 9 ניסו להסביר את האור כגלים בתווך שכונה האתר חומר חסר מסה או אינטראקציה עם חומרים מכאן שמערכת האתר היא מערכת היחוס המועדפת לקראת סוף המאה ה- 9 מקסוול הראה שמשוואות השדות החשמלי והמגנטי מתקדמים במרחב כהפרעה שמקיימת את משוואת c הגלים כאשר / µ ε ניסוי מייקלסון מורלי (887 - מכאן שהאור הוא שדה א"מ העיקרון - ניסיון למצוא את מערכת האתר באמצעות אינטרפרומטר האינטרפרומטר מודד את הפרש הפאזה בין קרני אור אחת בניצב לתנועת כדה"א והשנייה במקביל הקרניים נסחפות עם האתר ולכן נוצר הפרש פאזה בניהן הניסוי מקור אור פולט קרן אור למראה חצי מחזירה (a, בה חלקה ממשיך וחלקה מוחזר הקרניים קוהרנטיות (אותו גל הפרש פאזה הקרניים מוחזרות ל-( a ועוברות למשקפת ב-( d המערכת הוצבה על לוח מסתובב כך שכיוון הקרניים ביחס לרוח האתר היה ניתן לשינוי

R ac ab D האינטרפרומטר נע ימינה במהירות V במערכת האתר קרן (בכיוון התנועה - ימינה: במהלכה ימינה c V במהלכה שמאלה c V L c+ V קרן (ניצבת לתנועה למעלה: הזמן שמבלה כל קרן בין הפגיעות במראה החצי מחזירה: T D c V D + c+ V D V + c c T D V D V + c c c קרן : קרן : לכן הפרש הזמנים הוא T D c V c D V φ π λ c והפרש הפאזה הוא מייקלסון ומורלי לא הצליחו למדוד שום הפרש פאזה, גם לאחר סיבוב המערכת הקרניים תמיד הגיעו באותו הזמן 3 עיקרון היחסות של איינשטיין ותוצאותיו משני העקרונות הבאים נבנית תורת היחסות הפרטית: עיקרון היחסות של איינשטיין: חוקי הפיזיקה נכונים בכל המערכות האינרציאליות מעיקרון זה נובע עיקרון קביעות מהירות האור: למהירות האור אותו ערך בכל המערכות האינרציאליות * אבדן הסימולטניות: הסימולטניות אינה נשמרת במעבר בין מערכות אינרציאליות - דוגמה: המנורה הפולטת קרני אור לצדדים הקדמי והאחורי בחללית במעבר ממע' החללית למע' כדה"א t'γ τ * התארכות מרווחי זמן: הפרש הזמן מתארך בכל מערכת שהיא לא "המערכת העצמית" פי γ: - דוגמה: חללית שבה שתי מראות מקבילות אחת לשנייה ולכיוון תנועת החללית, ושבניהן עובר הבזק אור הלוך ושוב במערכת כדה"א הפרש הזמן בין שתי פגיעות מראה יהיה ארוך יותר מההפרש במערכת העצמית * התקצרות המרחק: המרחק בין שתי נקודות תמיד ארוך ביותר במערכת המנוחה של הנקודות, ומתקצר בכל מערכת שאינה המערכת העצמית פי γ: - דוגמה: ניסוי המיואונים כדה"א t ' τ /γ במערכת המיואונים המרחק קצר יותר מאשר במערכת המנוחה של מכשירי המדידה שהיא מערכת המערכת העצמית והזמן העצמי τ המערכת העצמית היא המערכת שבה שני מאורעות מתרחשים באותו מקום (למשל שתי פגיעות של הבזק האור במראה העליונה הפרש הזמן בין המאורעות במערכת זו נקרא הזמן העצמי ניסוי המיואונים של רוסי והול (94 מיואונים הם חלקיקים הנוצרים באטמוספירה ומגיעים ארצה במהירות קרובה למהירות האור למיואונים זמן חיים ממוצע τ µs t /τ N ( t N (נמדד במנוחה, כך שהם דועכים בצורה: רוסי והול ספרו קצב מיואונים לדקה בגובה 66m ובגובה 34m מהביטוי (t N ניתן לחשב את הזמן במערכת המנוחה של המיואונים שלקח לעבור את המרחק בין המדידות: τ 67µs אך אם נחשב את הזמן שלוקח לעבור את המרחק הזה במערכת כדה"א במהירות האור נקבל: t 54µs מהיחס בין הזמנים ניתן למצוא את מהירות החלקיקים: 99 β

4 טרנספורמציית לורנץ x ו- t c t x האינטרוול האינווריאנטי: לגודל והמרחק הנמדדים באותה מערכת אינרציאלית יש את אותו ערך בכל המערכות האינרציאליות, כאשר הם הפרשי הזמן γ β, β טרנספורמציית לורנץ - BOOST c כאשר x' γ ( x βct ct' γ ( ct βx β β * קירוב שימושי כאשר << β : - מנקודה זו בסיכום אנו עובדים ביחידות טבעיות - c יחידות טבעיות בשיטה זו עובדים עם יחידות שבהןc, וכך הזמן נמדד במטר\אור (הזמן שלוקח לאור לעבור מטר אחד בגלל ש- נמדד במטרים בדרך זו טרנספורמציית לורנץ היא: והאינטרוול האינווריאנטי הוא פשוט אז הזמן τ t x t' γ x' γβ x' γ ( x βt t' γ ( t βx γβ t γ x בצורת מטריצה: ( z ' γ ( β טרנספורמציית המהירויות x β ' β (אם התנועה היא בציר y או הכוונה היא ל- x וב- הכוונה היא ל- אז ב- β i j β חיבור מהירויות - המהירות של מערכת j במערכת i β+ β + β β סוגי אינטרוולים, קונוס האור, וסיבתיות אינטרוול חיובי Lik :Tim קיימת מערכת שבה שני המאורעות הם באותו המיקום בחלל בכל המערכות שני האירועים יתרחשו בזמנים שונים מאורע אחד יכול להיות הסיבה של המאורע השני נורמה חיובית אינטרוול שלילי Lik :Spac קיימת מערכת שבה שני המאורעות נצפו באותו זמן בכל המערכות המאורעות יתרחשו במקומות שונים מאורע אחד לא יכול להיות הסיבה של המאורע השני (מופרדים סיבתית נורמה שלילית אינטרוול אפס Lik :Light בכל המערכות המאורעות יתרחשו בזמנים שונים ובמקומות שונים מאורע אחד יכול לגרום למאורע השני רק ע"י מעבר אור נורמה אפס חרוט האור: החרוט שבו נמצאים כל האינטרוולים שהם TL

5 הגיאומטריה של המרחב-זמן t' coshφ x' sihφ tahφ+ tahφ tah( φ+ φ + tahφ tahφ s s t x x t ייצוג זוויתי של טרנספורמציית לורנץ coshϕ x θ tah t t θ tah x yscoshθ β tah φ γ coshφ βγ sihφ tah ϕ כלל חיבור המהירויות: קואורדינאטות רינדלר : t >x : t < x עבור עבור טרנספורמציית לורנץ: טרנספורמציית לורנץ: s' s θ ' θ φ כאשר: φ tah β sihφ t coshφ x xssihθ α ta θ : β נעה במהירות O' O O * הזווית בין הצירים של 'O לצירים של במערכת של כאשר הפירוש הגיאומטרי של טרנספורמציית לורנץ המרחב-זמן נקרא מרחב-זמן מינקובסקי בוסט במרחב מינקובסקי מקביל לסיבוב במרחב הניוטוני dr dx + dy + ds dt r x + y + s dz dx z t t אלמנט מרחק במרחב האוקלידי הוא dy dz במרחב-זמן מינקובסקי: הגדלים האינווריאנטים תחת סיבוב הם ו- x y z במרחב-זמן מינקובסקי: * "חבורת לורנץ": כל הטרנספורמציות אשר משמרות את האינטרוול אם ניקח נקודה בעלת אינטרוול נקבל את הגרף, s ונצייר באותה מערכת את כל הבוסטים שניתן לבצע עליה, c זוהי משוואה של היפרבולה, כמו שמצוירת כאן: t x לכן אומרים שלמרחב-זמן מינקובסקי גיאומטריה היפרבולית s 6 אפקט דופלר אפקט דופלר: שינוי תדירות הגל עבור צופה שנע ביחס לתווך הנושא את הגל הקשר בין התדירויות במקרה הניוטוני (בלי התארכות זמן: f fsourc c כאשר rcir הוא מהירות הקולט חיובית אם היא בכיוון הגל - מהירות הגל במקרה היחסותי, כאשר הגל הוא אור ומתחשבים בהתארכות הזמן: f rcir f sourc β + β כאשר β היא המהירות היחסית בין הקולט והמקור, והיא חיובים אם הם מתרחקים זה מזה * אפקט דופלר הרוחבי: כאשר התנועה היא בניצב לאור אפקט זה נובע רק מהתארכות הזמן f rcir f sourc / γ

7 פרדוקסים לכאורה בתורת היחסות פרדוקס התאומים הפרדוקס: שתי תאומות - כוכבה ומנוחה - נמצאות על כדור הארץ באירוע Aכוכבה עולה על חללית במהירות 6 β באירוע B היא מסתובבת ובאירוע C מגיעה חזרה למנוחה מנוחה גדלה ב- t T yrs שני טיעונים נאיביים: פרידת התאומות ומפגשן אירעו באותו מקום במערכת של מנוחה, ולכן זוהי המערכת העצמית עם הזמן t' Tγ 5yrs הקצר יותר פרידת התאומות ומפגשן אירעו באותו מקום במערכת של כוכבה, לכן זוהי המערכת העצמית עם הזמן t' T / γ 8yrs הקצר יותר הפיתרון: כוכבה אינה במערכת אינרציאלית אחת במהלך הטיסה, אלא מאיצה ממערכת אחת לשניה, לכן: במסע הלוך: תחילת המסע וסופו הם באותו מיקום במערכת של כוכבה, לכן: t במסע חזור עברו גם 4 שנים T / γ 4yrs ולכן T / במערכת של מנוחה עבר 5yrs מטעמי סימטריה באירוע B, כוכבה משנה את כיוון טיסתה בתאוצה אינסופית (ביחס למשך המסע הכולל - T - T הזמן אצל מנוחה בו כוכבה התחילה לשנות כיוון בציור ניתן לראות אירועים: T הזמן בו כוכבה סיימה לשנות את הכיוון אצל כוכבה עבר זמן אבל אצל מנוחה עבר T זמן זו הסיבה להפרש הזמנים דרך נוספת לראות את התופעה ע"י אפקט דופלר: נניח שכל שנה, האחיות שולחות אחת לשנייה תשדורת במסע הלוך, כוכבה מקבלת את התשדורות בהפרשי זמן שוב, כמו התשדורות של מנוחה, גם התשדורות של כוכבה עוברות הסחת דופלר, כך שהתשדורות במסע הלוך מגיעות כל שנתיים, ומסע חזור כל חצי שנה אך הפעם מנוחה סופרת 8 תשדורות כלומר 8 שנים במערכת של כוכבה : T ' + β T ' T yrs β β T ' T במסע חזור: 5yrs + β בסה"כ, כוכבה סופרת תשדורות שנים במערכת של מנוחה פרדוקס המוט והאסם הפרדוקס: נתון אסם עם דלת באורך L, ומוט שאורכו במערכת המנוחה שלו P5L המוט עף לכיוון האסם במהירות 87 β, כך ש- ~ γ במערכת האסם המוט מתקצר ל- P / γ 75L כך שכולו בתוך האסם, אך במערכת המוט האסם מתקצר ל- כך שהוא לא כולו בפנים L / γ L /

הפיתרון: הציור מתאר את מערכת האסם: הקווים האנכיים הם קצות האסם והעקומים הם קצוות המוט הנעים אל האסם הראשית היא הנקודה בה הקצה הקדמי של המוט נוגע בקצה הקדמי של האסם במערכת האסם, האירוע שמתרחש במקום של הקצה האחורי של המוט ושסימולטני עם הראשית הוא אירוע A במערכת המוט, האירוע הסימולטני הוא אירוע B לכן למעשה הפיתרון נמצא באי שימור הסימולטניות שני הצופים צודקים משום שהאירועים שהם מתארים כסימולטניים אינם אותם אירועים בפועל, אם נסגור את הדלת האחורית של האסם ברגע שהקצה האחורי של המוט נכנס לתוך האסם, נגלה כי המוט נתקע כאשר הקצה הקדמי נתקע, גל הלחץ עובר אחורה במהירות נמוכה ממהירות האור, כך שהמוט נדחס ומתקצר כאשר הקצה האחורי נעצר, הוא כבר בתוך האסם * ניתן להשתמש בטרנספורמציית לורנץ בכדי לאמת זאת ע"י חישובים פרדוקס המוט והצינור הפרדוקס: נתון צינור צר וארוך שבתחתיתו פתח באורך L בתוך הציור מוט בתנועה ומעט קצר יותר מהפתח, כך שבמנוחה, המוט עובר בפתח במערכת המוט, הפתח מתקצר והוא לא עובר במערכת הצינור, המוט מתקצר ועובר * מניחים שהמוט והצינור מספיק דקים בכדי שהמוט לא יכול להיתקע בדופן שלו הפיתרון: בתורת היחסות אין גוף שהוא באמת קשיח, כי הכוח בין המולקולות אינו יכול לעבור מהר יותר ממהירות האור במקרה הזה, לוקח זמן עד שהכוח שמפעילים חלקי המוט בתוך הציור מגיע אל חלקיו שמעל לפתח, ובמשך זמן זה החלקים שמעל הפתח מאיצים אל מחוץ לצינור * למעשה ניתן להסיק שגם אם המוט ארוך יותר מהפתח (במנוחה, המוט יתכופף וייפול כל עוד המוט והצינור דקים מספיק כדי שהמוט לא יתקע בדופן 8 הקשר בין מסה ואנרגיה נפתח את המשוואה המפורסמת E mc בדרך שאיינשטיין פיתח אותה: שלב א' חישוב היחס בין אנרגית האור במערכת O לבין מערכת 'O מקסוול הראה: צפיפות האנרגיה של האור (ליח' נפח היא: "י הבזק אור ע צפיפות האנרגיה של האור - איינשטיין הראה שהדרישה לכך שמשוואות מקסוול אינווריאנטיות תחת טרנספורמציית לורנץ: A' A A 8π β + β נפחים לא נשמרים תחת טרנספורמציית לורנץ, לכן נחשב את היחס בין הנפח במערכת O לבין ב-' O (במהירות : β נסתכל על הבזק אור בצורת תיבה: ההבזק באורך בכיוון התנועה בציר X, ובאורך בצירי Y ו- Z w V wl l לכן נפח ההבזק הוא כעת נמצא את הנפח מערכת 'O: האורך w לא משתנה כי הוא בניצב לכיוון התנועה משוואת קו העולם של החלק הקדמי של ההבזק היא ע"י בוסט, נמצא כי במערכת 'O זה: x t+ l l x' t' + γ ( β ע"י השוואה בין המשוואות בשתי המערכות, רואים כי אורך ההבזק ב-' O הוא l / γ ( β

E' V ' A' E VA + β β + β β לכן היחס בין האורכים, שהוא גם יחס הנפחים, הוא V ' מכאן שהיחס בין האנרגיות הוא: V E L / שלב ב' פיתוח השקילות של מסה ואנרגיה ע"י גוף שפולט שני הבזקים בכיוונים מנוגדים [נסמן לפני הפליטה ב-, אחרי ב-, ובמערכת 'O ע"י תאג] נתבונן בגוף הפולט בו זמנית שני הבזקי אור בכיוונים הפוכים כך שמהירות הגוף נשמרת כל אחד מהם בעל אנרגיה ב- (ע"פ משוואות מקסוול ע"י משוואת שימור אנרגיה ב-' O והצבת יחס האנרגיות של האור שמצאנו, נקבל K ' E E' E + לכן: γ ( γ E o E L ' K' E L - אחרי, ( E L / c E O, ולכן בעל תנע ' E + ' γ E L כי: הגודל נחסר משוואה זו ממשוואת שימור האנרגיה ב- O ונקבל: ' הוא האנרגיה הקינטית של הגוף במערכת 'O לפני בפליטה (ובאגף ימין E E o האנרגיה הקינטית של הגוף במערכת 'O קטנה בעקבות פליטת האור, למרות שמהירותו לא השתנתה (כי מהירותו ב- O לא השתנתה K, נסיק: m /c K' K' E c L במהירויות נמוכות: מכיוון ש- E L או המסה של גוף היא מדד לתכולת האנרגיה שלו אם גוף מאבד אנרגיה בצורת קרינה, מסתו קטנה ב- ב- O לשני ההבזקים הייתה אותה אנרגיה לכן התנע והמהירות של הגוף נשארו אבל ב-' O אנרגיות ההבזקים עברו טרנספורמציה ולכן התנע של הגוף השתנה ב-' O מכיוון שמהירותו לא השתנתה, כי הוא עדיין במנוחה ב- O, נסיק שמסתו הייתה חייבת להשתנות E L E mc לכן: - המסה היא עוד צורה של אנרגיה 4 -וקטורים 9 - איבר הזמן הוא האיבר ה- t t x r~ r y z הגדרה נורמת הווקטור (הגודל האינווריאנטי מטריקה וקטור מרחבי ע"י כלל הטרנס' שלו תחת סיבובים 4 -וקטור ע"י כלל הטרנס' שלו תחת בוסטים rɶ t x y z η ~ r ~T r Ir ~ I r x + y + z מטריצת יחידה: r r T Ir גדלים סקלריים אינם משתנים תחת טרנספורמציות כמו נורמה של וקטור ~ ~ ~ ~ T 3 b 3 a b a ηb a b ab a מכפלה סקלרית: b a מהגדרת הנורמה ניתן לראות: נורמה חיובית,TL שלילית,SL אפס LL אופרטור השייך לחבורות לורנץ כמו בוסט יסומן : Λ מכך ש- Λ שומרת על הנורמה של הווקטור נובע: Λ T η Λη אופרטורים השייכים לחבורת לורנץ בוסטים, סיבובים, היפוך הצירים מכפלה של שני אברים בחבורה הוא גם איבר בחבורה

ה דינאמיקה יחסותית פרטית 4 וקטור המהירות: ע"י dt הגדרה: dr ~ dt dτ ~ / dτ dr / dτ נקבל שהוא: ~ γ γβ חישוב פשוט (ריבוע איבר ה- פחות ריבוע איבר המרחב מראה שהנורמה שלו: ~ * לכן 3 ווקטור המהירות 4 וקטור התנע (תנע-אנרגיה: הגדרה: ~ מתקבל ע"י חלוקת החלק המרחבי של בחלק הזמן שלו ~ m E p m~ γ γmβ p המסה m היא מסת המנוחה של הגוף E γm האנרגיה של הגוף היא p γmβ p / E ה- 3 תנע של הגוף הוא את ה- 3 מהירות מקבלים ע"י: חישוב פשוט מראה שהנורמה שלו: β (חלוקת האיבר המרחבי של E p + m ~ p ~ בנוסף: p m המסה m נקראת אנרגית המנוחה של הגוף האנרגיה הקינטית של הגוף היא (ביחידות רגילות: (כאשר באיבר ה- שלו ( p p K mγ ( ( E p c + m c 4, ~ γmc E / c p γmβc p -4 תנע של מערכת חלקיקים חוק שימור התנע: ה- 4 תנע של מערכת מבודדת נשמר (חוק שימור ה- 4 תנע חל בנפרד על כל אחד מרכיביו האדטיביות של התנע: ה- 4 תנע הכולל של המערכת הוא הסכום של ה- 4 תנעים של כל הגופים שבה המסה הכוללת של המערכת שונה מסכום מסות הגופים המרכיבים אותה (אלא גדולה או שווה לו נובע מכך שהמערכת ומרכיביה אינם במנוחה באותה מערכת ייחוס המסה של המערכת מושפעת לא רק מאנרגיה קינטית של המערכת, אלא גם מאנרגיה פוטנציאלית או תרמית (לדוגמא, אם ניקח שתי מסות שוות ובינהן קפיץ, ונשחרר אותו, מהסיבה שכל האנרגיה הפוטנציאלית של הקפיץ עברה למערכת, נסיק שהאנרגיה הפוטנציאלית של המערכת עברה למסה הזוג, ושה- 4 תנע במערכת המנוחה של הזוג הוא ~ p γ ( m, שלה * בפתירת תרגילים משתמשים בעובדה שנורמות ה- 4 תנעים זהה בכל המערכות תהליכים אנדוארגים ואקסוארגים בתהליכים גרעיניים כמו התפרקות של חלקיקים לעיתים חלק מהמסה הופכת לאנרגיה, או להפך נגדיר: Q m iit m fi Q> Q< - תהליך אקסוארגי: משתחררת אנרגיה (שנמדדת ב- rg - תהליך אנדוארגי: יש צורך להכניס אנרגיה למערכת עוד דרך לקבל את התנע ואת האנרגיה הקינטית חוקי ניוטון החוק הראשון את החוק השני (אין כוח מהירות קבועה יישאר כמו שהוא כנובע מההגדרה של מערכות אינרציאליות נגדיר את dp F dt ( נאלץ לשנות בגלל שאין הגבלה על המהירות הגדרה אלטרנטיבית לחוק - F ma 3 התנע מחדש החוק השלישי (פעולה-תגובה יישאר תקף, אך נגביל אותו לכוחות שפועלים על אותה נקודה באותו זמן (ולא, למשל, כוחות הפועלים בשני קצוות שונים של אותו המוט

הגדרה חדשה של התנע כיוון: כמו וקטור מהירות הגוף גודל: בינתיים כאשר במהירות נמוכה שואף ל-, m שונה במהירויות גבוהות כך שמוגבל למהירות האור לכן נרשום ע"י הסתכלות על התנגשות חלקיקים: f ( נמצא את f ( p f m ( במערכת O': במערכת O: x x מערכת 'O נעה במהירות במערכת O לחלקיק יש תנע רק בציר Y, ולחלקיק יש גם מהירות [נסמן ב- את השינוי בתנע מלפני לאחרי ההתנגשות] בגלל הסימטריה מתקיים: משימור התנע: ביחס ל- O p p ', y, y נציב ונקבל: p p ', y, y ( y ( f ( f ( ' ' f m f ' m ' y p p, y, y השינוי בתנע הוא מינוס פעמיים התנע התחילי לכן: אין רכיב מהירות בכיוון x ב- O ', אז (המהירויות הן של מאחר שלחלקיק נציב במשוואת התנע: ' y y x ( β x לכן y y y ' y, ונקבל: y ' ( ( γ β β x ' y כלל הטרנס' עבור מהירות בניצב לבוסט: הפונקציה הפותרת היא (כאשר [מוכיחים שזהו הפיתרון היחיד ע"י הנחה ושלילה] כך קיבלנו ( K m γ נבצע אינטגרל מ- עד : β f γ f ( f pγm y x x את התנע היחסותי אנרגיה קינטית יחסותית נשמור על ההגדרה שעבודה שנעשית על גוף היא השינוי באנרגיה הקינטית שלו: md dp dk F dx dx dp md dt ( 3 ( 3 קוונטיזציה של מטען m מציאת היחס - תומסון ב- 897 ע"י שק"ק ראשית תומסון קבע שהקרניים נושאות מטען חשמלי שלילי ושהן מוסטות ע"י שדות חשמליים ומגנטיים, ולכן הסיק שאלו חלקיקים m בעלי מטען את היחס חישב בשתי שיטות: מדד ל- N חלקיקים (N לא ידוע את הגדלים הבאים: המטען הכולל ע"י שפופרת ואלקטרומטר Q N האנרגיה הקינטית רדיוס העקמומיות בשדה מגנטי ע"י מדידת שינוי הטמפ' בצמד תרמי שהקרן פגעה בו ע"י מדידת הסחת הקרן על המסך Ex Ex x y y + y + mx mx W Nm m r B W m Q rb ( משלושת המשוואות קיבל הסטת הקרן ע"י קבל בתוך שק"ק:

הערך שנמצא היה גדול פי מהחלקיק הקטן ביותר שהיה ידוע אז מימן לכן תומסון הסיק שזהו חלקיק חדש מדידת מטען האלקטרון - מיליקן ב- 99 ע"י טיפות שמן טיפה טעונה נופלת בהשפעת כבידה ומתאזנת ע"י שדה חשמלי כך ניתן לחשב את מטען הטיפה: ρ צמיגות האוויר, -η 3 4 9η f q π + 3 E ρg ( f r גדלים שונים של טיפות, וראה שהמטען הוא כפולות של גודל מסוים - - צפיפות המסה, - מהירויות עליה\נפילה מיליקן מדד \ f r 4 קרינת גוף שחור גוף שחור: גוף שבולע את כל האור שפוגע בו, מתחמם, ופולט את האנרגיה התרמית שלו כקרינה בעלת ספקטרום אורכי גל שונה מהספקטרום שפגע בו (נקראת ספקטרום קרינת גוף שחור מדמים גוף שחור ע"י פתח קטן בתא בעל נפח פנימי גדול לקרן הנכנסת סיכוי קטן מאוד לצאת וסיכוי גדול להיבלע במאה ה- 9 היה ידוע על גוף שחור: 4 σ RσT הוא קבוע סטפן חוק סטפן בולצמן: הספק ליחידת שטח - חוק ההסטה של וין: אורך גל של שיא ההתפלגות - 9 λm T 3 [ mk] נמצא את הספקטרום: (כפי שמצא אותו ריילי, תוך שימוש בשיטה שפותחה ע"י ג'ינס ההספק R של הקרינה שבוקעת מהפתח קשור לצפיפות האנרגיה הנפחית בתוך התא לפי: אורך גל לחוד, נגביל את המשוואה לאורך גל ספציפי: הנפחית ליחידת אורך גל של הקרינה שבתוך התא, שחור בגלל שהתלות נכונה לכל R cu 4 du U( λ dλ λ, כאשר R ( λ cu( λ 4 ו- λ R( נסתכל על גלי הקרינה שבתוך התא: נטען שפונקצית הגל שחורות ואז הוא ההספק ליחידת שטח סביב ( x, y, zt, היא צפיפות האנרגיה - כלומר הספקטרום של קרינת גוף ψ צריכה להתאפס על דפנות התא בגלל שדפנות התא ψ דועכת ל-, אבל באותו הזמן משוואות מקסוול דורשות ש- ψ תהיה רציפה על הדפנות xπx yπy zπz πct ψ ψ si si si si L L L λ צלע L פיתרון מתאים לדרישה הוא: L x + y + z λ ונקבל: ( ψ c dt ψ i מסוימים של - שפותרים את המשוואה נקרא אופן נמצא את צפיפות האנרגיה של הקרינה: dn dλ - באנרגיה הממוצעת של אותו האופן: U נניח שהתא הוא קובייה עם נציב את הפתרון במשוואת הגלים רק ערכי λ מסוימים פותרים את המשוואה גל בעל ערכים (λ U- נמצא ע"י כפילת צפיפות מספר אופני הגל (מספר האופנים ליח' אורך ליח' נפח dn dλ ( λ E( λ נמצא את צפיפות מספר האופנים: משוואה ( מתארת כדור אנו מעוניינים רק בשמינית החיובית שלו בגלל ש- לכן מספר i > L 3 האופנים הוא נפח שמינית הכדור נחלק ב- בשביל למצוא את מספר האופנים ליחידת נפח נגזור בשביל לקבל את צפיפות מספר האופנים ליחידת נפח ליחידת אורך גל לבסוף נכפיל ב- בגלל שני הקיטובים האפשריים של השדה החשמלי עבור כל אופן: 3 4 L 3 / L 4 d / dλ dn dn V π N πλ 4πλ 8πλ 3 λ 3 dλ dλ 3 4 4 נמצא את האנרגיה הממוצעת: תרמודינאמיקה קלאסית קובעת שפונק' צפיפות ההסתברות של E היא קבוע בולצמן מתכונת הנרמול נמצא את הקבוע ונקבל: -k P( E C E kt נמצא תוחלת: C / kt - נוסחת ריילי-ג'ינס R 4 ( λ πcktλ נוסחה זו מתאימה לאורכי גל ארוכים בלבד! (הקטסטרופה האולטרה סגולה E kt נציב את התוצאות במשוואת הספקטרום

פתרון הקטסטרופה - ההנחה של פלאנק: פלאנק מצא פונקציה שתואמת את הניסויים - אופן של גל לא יכול לקבל כל ערך של האנרגיה אלא רק ν c / λ E hν בדיד ופונקצית ההסתברות של האנרגיה היא - תדירות הגל, h kt h- קבוע פלאנק, מנרמול: ( P C hν kt E מס' טבעי זוהי הקווטיזציה של האור כעת - נחשב תוחלת: C ν - נוסחת פלאנק מתאימה לכל אורך גל! U hc π λ ( λ 8 5 hc λ kt נציב ונגלה את הספקטרום: hc E λ hc λ kt 5 האפקט הפוטואלקטרי ופיזור קומפטון - עוד עדויות לקוונטיזציה של האור האפקט הפוטואלקטרי נחזה לראשונה: הרץ ב- 887 ע"י אנטנה הניסוי: הרץ השתמש באנטנה עם רוחח קטן כאשר היא קלטה גלים היו ניצוצות ברווח הניצוצות חדלו כאשר המרווח היה חשוף אופטית לניצוצות מהאנטנה ששידרה את הגלים ההסבר: פגיעת האור בקוטבי המרווח גרמה ליציאה של מטענים אל המרווח, שהפכו את האוויר למוליך כך שאין צורך בניצוצותהמטענים שהשתחררו היו שליליים, ובעלי אותו יחס מסה/מטען כמו בניסוי של תומסון המסקנה: פגיעת האור במתכת שחררה אלקטרונים מערכת הניסוי גרף הזרם בין הקתודות כתלות במתח ככל שהמתח גדל, יותר מאלקטרונים שמשתחררים מגיעים לאנודה, עד שכולם מגיעים והזרם לא גודל יותר כשאין מתח, לחלק מהאלקטרונים יש מספיק אנרגיה מההתנתקות להגיע לאנודה, וכשהמתח הופך V שלילי יותר עד - פחות אור פוגע בקתודה שנמצאת בשפופרת ואקום, וגורם לפליטת אלקטרונים מחזיקים מתח V בין האנודה לקתודה, ומודדים את הזרם במעגל ופחות אלקטרונים מצליחים להגיע לאנודה מכך שמתח העצירה הוא V, מסיקים שהאנרגיה הקינטית המקסימאלית של האלקטרונים היא V V לא תלוי בעוצמת האור מסתבר ש- הפרש הזמן בין הדלקת האור להופעת הזרם הוא מידי הספק ליח' שטח של האור - הדרושה: ההספק על האטום בניגוד להערכה הקלאסית: P Fπr F V V t ~ P Fπr אם נציב את נתוני האטום והאור נקבל הבעיה נפתרה ב- 95 ע"י מאמר של איינשטיין (לא על יחסות: איינשטיין הניח שהאור שפוגע בקתודה מופיע במנות שלכל אחת אנרגיה והשאר לאנרגיה קינטית, לכן: סדר הגודל של הזמן שייקח לאטום לצבוא את האנרגיה t ~ s hν - חלק ממנה הולך על לשחרר את האטום,( Φ V hν Φ, ואז V K hν Φ מהמשוואה נסיק: מתח העצירה לא תלוי בעוצמת האור בעיית המיידיות של הזרם נפתרה: אנרגית האור מופיע בפוטונים בעלי אנרגיה קצובה, אשר בהתנגשות עם אלקטרון מעבירים את כל האנרגיה מיד (חלקיקים נקודתיים לכל מערכת קיימת תדירות סף ν Φ שמתחתיה אין לפוטון די אנרגיה לשחרור אלקטרונים mi /h קרינת X ופיזור בראג ידוע מאלקטרומגנטיות כי כאשר אלקטרון מואט מהר בגלל התנגשות הוא פולט גלים אלקטרומגנטיים ב- 895 גילה רנטגן קרניים בלתי נראות נקראו קרני - X שנפלטו מנקודה שבה הייתה התנגשות אלקטרונים, אשר עברו חומרים שאור נראה ו- UV לא עוברים, לכן הוא ציפה שאלו אותם קרניים, אבל הוא לא הצליח לזהות שבירה או התאבכות (כדי להעיד על גלים, או להסיט בשדה מגנטי (להעיד על מטען ב- 899 הצליחו להבחין בהתרחבות קלה של קרני X במעבר דרך סדק קטן (עקיפה לכן קבעו כי קרני X הם גלים והעריכו את אורך הגל כ- אנגסטרם דומה למרחק בין אטומים בגביש, ולכן ניתן להשתמש בגבישים ליצירת התאבכות ב- 9 אימתו את זה ניסיונית ומצאו אורך גל בין ל- 5 אנגסטרם

פיזור בראג מסביר את תמונת ההתאבכות של קרניים מגביש: נתבונן באור שפוגע באטומים שנמצאים במשטחים שונים אם המרחק בין המישורים הוא d אז הפרש הדרך בין שתי הקרניים הוא d siα התאבכות בונה תתרחש רק כאשר הפרש זה הוא מכפלה שלמה של אורך הגל של הקרינה: λ d siα λ - "תנאי בראג" d λ בעזרת תנאי בראג ניתן למדוד את של קרני X שנפלטות ממטרה המופצצת באלקטרונים, אם ידוע מניתוח התוצאות מתקבל גרף כמו זה שמשמאל הספקטרום מורכב מקוים אופייניים - שמיקומם וגובהם היחסי תלוי בחומר של המטרה - ומהתפלגות רצף בעלת סף חד באורך גל קצר מיקום הסף תלוי רק במתח בין הקתודה לאנודה ההסבר לתלות מיקום הסף במתח (ע"י התפיסה הקוונטית של האור: כאמור, האנרגיה הקינטית של האלקטרון המואץ בשפופרת היא K V כאשר הוא מואט בגלל ההתנגשות במטרה, הוא פולט פוטון במקרה הכי קיצוני, כל האנרגיה הקינטית של האלקטרון תעבור לפוטון: max E γ, E h h c γ ν λ בנוסף: max Eγ K λ mi כאשר V hc λ mi לכן אפקט קומפטון פיזור אור על אלקטרונים התיאוריה (הקלאסית: כאשר גל אלקטרומגנטי פוגע באלקטרון, השדה החשמלי של (המשתנה בזמן הגל גורם לאלקטרון לנוע הלוך חזור לפי תדירות הגל לפי משוואות מקסוול, אלקטרון כזה פולט קרינה לפי תדירות תנועתו בסה"כ: מתקבל פיזור של הקרינה הפוגעת תוך שימור אורך הגל הבעיה: בניסויים שנערכו, התיאוריה אומתה עם אור נראה וגלי רדיו, אך עם קרני X אורך הגל המוחזר היה קצר יותר מאשר של הפוגע (כלומר הבעיה התגלתה באורכי גל קצרים האנרגטיים יותר הפיתרון: ב- 93 קומפטון הציע הסבר ע"י הקוונטיזציה של האור: קומפטון הציע שלקוונטות האור יש לא רק אנרגיה במנות קצובות, אלא גם תנע, שנתון לפני תורת היחסות: מהמשוואה E p + m נובע שלחלקיק בעל מסה יש תנע ששווה לאנרגיה שלו: (, ˆ pɶ γ E זהו היבט מהפכני הפוטון קודם למעמד חלקיק (למרות שהוא חסר מסה ההסבר הוא הסבר חלקיקי הפוטון פוגע באלקטרון ומוסט ממנו, אך בהתנגשות חלק מהאנרגיה הקינטית של הפוטון עוברת לאלקטרון, מה שגורע מאנרגיית הפוטון (מגדיל את אורך הגל נפתור כך את הבעיה של אי-שימור אורך הגל: אנו נרצה לראות מה קורה לאנרגיה של הפוטון כפונקציה של זווית הפיזור שלו קוסינוס זווית הפיזור ניתן ע"י המכפלה הסקלרית של ה- 3 תנע של הפוטון לפני ואחרי ההתנגשות: [ מסמן לפני ההתנגשות, אחרי] משימור תנע: נרכז איברים - איברי הפוטון בצד אחד, והאלקטרון בשני, וניקח נורמה בשביל לקבל את הזווית: נפתח סוגריים (מכפלה סקלרית של 4 -וקטורים זה מכפלת רכיבי האפס מינוס מכפלה סקלרית של החלקים המרחביים נורמת התנע היא המסה, לכן עבור הפוטון זה (בצד שמאל, והאפס מימין הוא מכיוון ש- נפשט את הביטוי ונקבל: pɶ + pɶ pɶ + pɶ γ γ γ γ p p pɶ pɶ ɶ ɶ γ γ γ γ + + pɶ pɶ pɶ pɶ pɶ pɶ pɶ pɶ + E E + E E cosθ m me + E E γ γ γ γ ( cosθ m( m E γ γ p בנוסף, משימור אנרגיה (השוואת איברי האפס: נציב, ונעבור ליחידות רגילות ע"י כפל אחרי סידור נקבל: נציב m E E E γ γ cosθ mc γ γ E E h λ λ cosθ mc θ ( - נוסחת קומפטון c ב- m : λ E γ hc נוסחת קומפטון נותנת את שינוי אורך הגל של אור שמפוזר ע"י אלקטרונים בזווית

בניסויו של קומפטון, ראו בספקטרום הקרינה המפוזרת שני שיאים אחד באותו אורך הגל הפוגע, והשני שנובע מהפיזור, באורך גל שהלך וגדל ככך שזווית הפיזור שנמדדה גדלה השיא של אותו אורך הגל הפוגע, נבע בפגיעת פוטונים באלקטרונים לא חופשיים, הקשורים לאטומים (כבדים מאוד יחסית, ולכן לא עברה אנרגיה, ואורך הגל לא השתנה השיא השני, נובע מפגיעת פוטונים באלקטרונים חופשיים, כך שהפיזור מהם אפשרי, ואורך הגל השתנה 6 מודל האטום הגרעיני רמות האנרגיה של אטומים ומודל האטום של תומסון לפני המודל הגרעיני - סוף המאה ה- 9, תחילת ה- : המודל הפופולרי עוגת הצימוקים (צימוקים שליליים בתוך חומר חיובי שממלא את נפח האטום הבעיה במודל לא ניתן לקבל את תנודות האלקטרונים ביחס לעוגה החיובית רק באמצעות כוחות אלקטרומגנטיים כדי שייפלט ספקטרום נעשו מדידות רבות של ספקטרום הפליטה של גזים (שעבר בהם ניצוץ או להבה נוסחת רידברג:, עבור R m λ > m שלמים R - קבוע רידברג, עבדה טוב עם מימן 9 ניסוי רתרפורד-גייגר-מרסדן רתרפורד הראה שמאורניום בוקעת קרינת α, ושהיחס q / m שלה שווה לחצי מהיחס עבור אטום מימן מיונן לאחר בדיקת הספקטרום שלהם, גילה כי אלו חלקיקי הליום, ולכן הסיק שחלקיקי α הם אטומי הליום מיוננים לאחר שהבינו זאת, ביצעו ניסויים בשביל ללמוד על מבנה האטום: כיוונו קרינת α לרדיד מתכת דק הרוב עברו בלי (או כמעט בלי פיזור, אבל חלק פוזרו ב- ויותר ננסה להעריך גבול עליון עבור זווית הפיזור שמצפים לה: התנגשות באלקטרון: ה- α כבד פי 8 מה- בהתנגשות אלסטית חזיתית של חלקיק כבד שנע במהירות עם חלקיק קל נייח, החלקיקי הקל מקבל מהירות והכבד לא משתנה, לכן שינוי התנע של ה-, שווה לזה של ה- α, והוא p m הגבול העליון של הפיזור יהיה כאשר שינוי התנע כולו יהיה בניצב לכיוון התנועה, ואז: z p θ < 4 taθ < z p z התנגשות בעוגה החיובית: העוגה היא כדור בעל רדיוס R ומטען Q המפוזר אחיד הכדור מפעיל את הכוח האלקטרוסטאטי הגדול ביותר כאשר החלקיק במרחק R ממרכז הכדור הזמן שדרוש לחלקיק לעבור את קוטר הכדור, כלומר: התנע הוא בניצב לכיוון התנועה, נציב עבור אטום זהב zα Z F k R R zαz p F t F k R θ < 6 taθ < p :( Z 79 p השינוי בתנע החלקיק הוא מסדר גודל של הכוח כפול שוב מקרה הגבול הוא כאשר כל לכן הפיזור לא יכול להיות גדול ממעלה, אלא אם כן זוהי תוצאה של פיזורים רבים עבור מספר פיזורים גדול, הסיכוי לפיזור בזווית, 35 θ > 9 ( / rms θ θ θ רוחב ההתפלגות של (θ עבור rms נקבל סיכוי בעוד שבניסוי נמדד סיכוי גדולה מ- θ הוא / 8 (גדול הרבה יותר לכן המסקנה המתבקשת: מודל עוגת הצימוקים אינו נכון סביר להניח שהערכה של פיזור מ- נכונה, כי ידוע ש- קיימים בחומר, לכן מסיקים שהבעיה היא שעוגה החיובית מפעילה כוח קטן מדי על ה- α ניתן להגדילו ע"י ריכוז המטען באזור קטן יותר לכן האטום שמתקבל הוא גרעין חיובי קטן במרכזו של האטום "מודל האטום של רתרפורד" פיזור רתרפורד נחשב את פיזור חלקיק ה- α מגרעין האטום b- מקדם התנגשות ככל ש- bגדול יותר כך זווית הפיזור קטנה יותר (כאשר אז (θ b b p (θ p ל- θ: נמצא את הקשר בין אחרי p הוא וקטור בכיוון - תנע לפני, (זהו ציר החוצה את הזווית z ' φ המשלימה את θ ל- 8 הוא גם הכיוון הממוצע של כוח קולון שמפעיל הגרעין על החלקיק z '

dt r dφ b לכן האנר' הפוטנציאלית של החלקיק לפני ואחרי (במרחק רב מהגרעין זהה, לכן גם האנר' הקינטית נשמרת:, לכן המשולש בציור הוא שווה שוקיים וניתן לרשום: p Fdt (חוצה זווית ל- θ אנו יודעים כי מכיוון שרק dφ dt dt p F cosφ dφ dφ : p p m p si θ p p si θ p Fz ' F cosφ z ' α הכוח ברכיב משנה, והוא: התנע הזוויתי נשמר כי זהו כוח מרכזי התנע הזוויתי התחילי הוא זה המהירות הזוויתית φ mαr d / dt N t, mαb ובמהלך הסיבוב הוא φ π θ, בגלל ש- נציב במשוואה למעלה, ונרשום את המשוואות בינתיים: dn dt θ t φ / k zαz r k zαz φ p cosφ dφ ונקבל: si φ / r b b si φ / si π θ / cos θ / b ( θ (( k zαz θ p cos k zαz θ cot b mα θ p p si כל החלקיקים בעלי מקדם פגיעה קטן מ- b מסוים, יעברו פיזור בזוית גדולה מ- θ חתך הפעולה לפיזור I (חלקיקים ליחידת זמן ליחידת שטח מס' החלקיקים שמפוזרים בשניה עוצמת הקרן - ( NI σ θ מגרעין אחד בזווית θ מס' החלקיקים בעלי מקדם פגיעה קטן מ- (θ, b שבאים ( Iπ חתך הפעולה לפיזור בזווית θ, הוא b θ מהקרן בשניה הסבר נוסף לחתך הפעולה השטח שהחלקיקים שעוברים ( b( σ θ π θ דרכו עוברים פיזור בזווית θ (בציור במטרה דקה יהיה בקירוב פיזור אחד בלבד מספר הפיזורים בזווית θ ביח' הגרעינים במטרה - - שטח המטרה, - עובי המטרה, זמן: - צפיפות הגרעינים במטרה לכן הוא מספר t w A נחלק במספר הגרעינים שפוגעים במטרה ליח' זמן ( AI ונקבל את החלק מהחלקיקים שמתפזר (/ 8 f θ 4 N Aw t t dn θ wai t σ( θ dt בזווית :θ f wσ θ θ t ( אם נציב את הנתונים עבור זהב, נקבל התפלגות זווית הפיזור מס' החלקיקים המפוזרים ביח' זמן בזווית שבין θ ל- (קרוב לתוצאת הניסוי של גייגר ומרסדן - מס' θ+ dθ b+ db ל- b I החלקיקים ליח' זמן בעלי מקדמי פגיעה בין שטח הטבעת (שבין (את כפול db מביעים r siθ I πb db ( b+ ל- db b b dθ באמצעות ע"י גזירת לפי θ החלקיקים האלה יפגעו במסך בטבעת שבין רדיוסים ל- ( rd πr, ששטחה siθ θ r si( θ+ dθ

N נחלק את מספר הפגיעות ליח' זמן בשטח הטבעת, נקבל את צפיפות הפגיעות המשטחית - (אחרי הצבה של הכול (מס' פגיעות ליח' שטח ביח' זמן: 4 si θ k z Z α I 4 r mα N 4 si N θ בניסוי היה ניתן לראות שהיחס בין 7 מודל האטום של בוהר ל- היה יחסית קבוע, מה שאישר את המשוואה, עד כדי דיוק המדידות הבעיה במודל של רתרפורד: בכדי לאזן את משיכת ה- לגרעין, הניחו שהוא מסתובב סביבו אך ולכן ייאבד אנרגיה עד שיקרוס הפיתרון של בוהר: ה- יכול לנוע ברדיוסים מסוימים בלבד במעבר בין המסלולים, ה- פולט פוטון הפוטון מקבל את האנרגיה שה- איבד במעבר: בתנועה מעגלית פולט קרינה, hν E E iit fi מציאת הרדיוסים המותרים [נסמן את תדירות הפוטון - עיקרון ההתאמה: בוהר הניח שבגבול של רדיוסים גדולים ואנרגיות גבוהות, החישובים הקוונטים צריכים לתת את התוצאות הקלאסיות ħ h π נציב ב-, נבודד, ואז קוונטיזציה של תנע זוויתי: הנחותיו של בוהר מביאות לכך שהתנע הזוויתי של האלקטרון חייב להיות כפולות של [νɶ mr ħ כלומר: נסתכל על אטום כלשהו עם אלקטרון אחד וגרעין עם מטען : נשווה את כוח קולון לצטרפוגלי (על ה- +Z ħ rm בנוסף אנו יודעים מעיקרון הקוונטיזציה של התנע הזוויתי כי - "רדיוס בוהר", שהוא הרדיוס עבור מימן ברמה E m k Z r לכן תדירות הפוטון הנפלט במעבר בין הרמות היא: ħ a 59A mk, נגדיר k Z k Z m mr r r ħ r mk Z ונקבל: את r a r Z האנרגיה של האלקטרון היא קינטית ופוטנציאלית (פוטנציאל של מטען נקודתי: E r k Z r נציב את שחישבנו משוויון הכוחות ונקבל: נציב את שמצאנו, ונחלק ב- c בשביל לקבל את נוסחת רידברג עם תיקון:, כאשר Z E E mk R πcħ 4 3 Ei Ef k Z ɶ ν h h ri r f ɶ ν Z R c λ f i נציב את קבוע רידברג - שמצאנו גם באנרגיית האלקטרון ונקבל את אנרגיית האלקטרון בכל רמה: - אנרגית הקשר של המימן (שנדרשת כדי ליינן אטום מימן 4 mk E 36V ħ r

הגבול הקלאסי (עיקרון ההתאמה נסתכל על תדירות הפוטון במעבר בין שתי רמות סמוכות ורחוקות מהגרעין: c >> ɶ ν cz R לפי אלקטרומגנטיות קלאסית, תדירות הפוטון (הקרינה שפולט cz R 3 λ ( האלקטרון, שווה לתדירות סיבוב האלקטרון, שהיא f נציב את הרדיוס המותר, ואת המהירות ע"פ עיקרון הקוונטיזציה של πr התנע הזוויתי, ונקבל - f cz R אותה התדירות 3 ההישגים של מודל בוהר הסביר מדוע האלקטרון לא מאבד אנרגיה עד שקורס קיים רדיוס מינימאלי הצליח להסביר את הספקטרום עלה בקנה אחד עם המודל הקלאסי: אלקטרון פולט קרינה ע"י מעבר לרדיוס הסמוך ברמות גבוהות, הרדיוסים קרובים, והמעבר נראה רציף האלקטרון ברמות הגבוהות מתקרב לגרעין תוך פליטת קרינה (כמו בקלאסי + התייחסות לתזוזת הגרעין בפיתוח המודל הנחנו שהגרעין נייח (כי הוא כבד בהרבה מהאלקטרון אם נחליף את מסת האלקטרון במסה האפקטיבית mm µ (נלמד בקלאסית, נקבל תוצאות מדויקות יותר m m מסלולים אליפטיים והמבנה הדק בחישוב הנחנו מסלולים מעגליים, אך גם אליפטיים אפשריים: זמן המחזור הקלאסי והתנע הזוויתי תלויים רק במרחק בין מוקדי האליפסה, והמאפיינים המדידים (תדירות, אנרגית בוהר של המסלולים האליפטיים זהים לאלו של מסלולים מעגליים עם קוטר ששווה לאותו מרחק כאשר המסלול מאוד אליפטי, בחלק מהמסלול מהירות האלקטרון גדולה יותר ביחס למסלול המעגלי, ואז נכנסים תיקונים יחסותיים למודל בוהר: מהירות האלקטרון היא מאית ממהירות האור, וככל שהמסלול יותר אליפטי כך האפקטים האלה יותר משמעותיים נמצא את מהירות האלקטרון ברמה הראשונה ( : מעיקרון קוונטיזציית התנע הזוויתי (נחלק ב- ( c - מכאן ניתן להציב ולראות: k Z c cħ נציב את הרדיוס המותר ונבודד את המהירות: ħ c mrc Z c 37 ב- 96 זומרפלד הראה (לפי התיאוריה שלו שעבור כל מסלול מעגלי צריכים להיות מסלולים נוספים עם אליפטיות שונה האנרגיה שלהם נבדלת משל המעגלי במקצת בגלל תיקונים יחסותיים קטנים, ולכן גם האנרגיה שהפוטון מקבל כשהאלקטרון עובר בין רמות היא מעט שונה, וזה גורם להפרדה של הקווים הספקטראליים "הפרדת המבנה העדין" מאופיינת ע"י "קבוע המבנה הדק" - k α cħ 37 זומרפלד תיאר את התוצאות בצורה טובה, אך הסיבה האמיתית להן הייתה קוונטית "הספין" של האלקטרון - ולא קלאסית כמו התיאוריה שלו מתי מודל בוהר עובד היטב מבחינת הספקטרומים המודל נבנה עבור אטום מימן (בעלי אלקטרון אחד, ולכן הוא עובד טוב גם עם היסודות האלקליים (עמודה שמאלית בטבלה המחזורית, כי להם יש אלקטרון בודד ברמה החיצונית כאשר יש יותר אז הכוחות בניהם מסבכים את הבעיה מסתבר שהוא עובד טוב גם עם קרני X:

ספקטרום קרני X באותה שנה שבוהר פרסם את המודל, מוזלי חשב שאורכי הגל של ה- X נובעים ממעברים למסלולים הפנימיים ביותר, כך ששאר האלקטרונים שברמות החיצוניות כמעט ולא משפיעים על האלקטרון שבפנימי ומודל בוהר מתקיים ע"פ המודל, Z תדירות האור פרופורציונית ל- (נוסחת רידברג המתוקנת, לכן הוא מדד את שורש התדירות לעומת Z, ומהמדידות מצא שניתן לרשום בכדי לתאר את הסדרות שמדד (משמאל לכל סדרה ערך ערך, ( ɶ ν A Z b A b מסוים מסוים, ולכל קבוצה הקשר למודל בוהר נניח שסדרה K (הנמוכה, שבה b, נובעת מכך שאלקטרון שמואץ בשפופרת (של הניסוי מוציא אלקטרון מהרמה הראשונה של האטום לכן המעבר הוא מרמה כלשהי ל- נציב בנוסחת בוהר לתדירויות - ( ( ɶ ν cr Z Z כאשר החלפנו את ב- Z בגלל התלות שמצא בוהר (הסבר אפשרי להחלפה: ברמה הראשונה הוצא אחד מתוך השנים שהיו, ולכן האלקטרון שיצא ראה מטען A cr ( Z ע"י השוואה מקבלים בהמשך להנחה, סדרה L נובעת מהוצאת אלקטרון מרמה שנייה שבה יש 6 אלקטרונים כאשר אלקטרון יוצא, הפעם הוא רואה את המטען של הגרעין ו- 7 74b האלקטרונים שנותרו בפועל נמדד, בגלל אינטראקציות עם הרמה ה- 3 חשיבות המדידות של מוזלי עד המדידות לא ידעו ש- Z הוא מטען הגרעין מוזלי מצא שברמות השונות יש מספרים מסוימים של אלקטרונים (אך לא יכל לקבוע כמה ניסוי פראנק-הרץ 94 הניסוי חיזק את: התמונה של בוהר לאלקטרון באטום רמות אנרגיה דיסקרטיות התמונה של מוזלי שני אלקטרונים אינם יכולים להיות באותה רמה הניסוי: שתי אלקטרודות בתוך שפופרת אדי כספית, ובניהן אנודה נוספת שהיא למעשה רשת בין הקתודה לרשת מתח V, והאנודה במתח מעט נמוך מהרשת מודדים את הזרם דרך האנודה הראשונה (לא הרשת כתלות במתח V של הרשת הסבר לתוצאות: האלקטרונים באטום הכספית יכולים לבלוע או לפלוט אנרגיה בתנאי שהיא מתאימה להפרשי האנרגיה בין הרמות אלקטרונים מואצים מהקתודה לאנודה אלה שעוברים דרך חורי הרשת, מואטים בגלל המתח ההפוך, ובסוף מגיעים לאנודה ככל שמעלים את V, נמדד יותר זרם, עד שבשיא הראשון יש לחלק מהאלקטרונים מספיק אנרגיה בשביל לעורר את אטום הכספית, ואז הם מאבדים אנרגיה ולא מצליחים להתגבר על V ולהגיע לאנודה ממשיכים להעלות יותר אלקטרונים יכולים לעורר אטום כספית והזרם יורד השיא השני הוא כאשר יש מספיק אנרגיה להתנגשות שנייה, וכן הלאה, pdq h תנאי הקוונטיזציה של וילסון וזומרפלד ראינו כמה מקרים של קוונטיזציה (אנרגית הקרינה, מצבי אנרגיה של אלקטרון, תנע זוויתי של אלקטרון זהו ניסיון לתת חוקיות לדבר: במערכת בעלת קואורדינאטה מחזורית כאשר q p הוא התנע הצמוד ל- q (כמו תנע זוויתי, והאינטגרל הוא על מחזור שלם (כמו זווית, התנאי הוא: דוגמאות קוונטיזצית התנע הזוויתי של אלקטרון במימן: π ( Ldφ πl h L ħ

ω קוונטיזצית האור (הקרינה: אוסילטור הרמוני q kq mqɺɺ היא קואורדינאטה פיתרון: k m, q Asiωt dq התנע הוא p m mωa cosωt האנרגיה במערכת היא האנרגיה הפוטנציאלית המקסימאלית: dt : h ואז התנאי הוא (באמצע נציב את האנרגיה ונשווה ל- E ka mω A E CONDITION dq π E p dt mω A cos ( ωtdt E cos ( ωt dt E h E hν dt ω ɶ ν ɶ מודל בוהר ותנאי ווילסון-זומרפלד הן תערובות של שיקולים קוונטיים וקלאסיים, והם לא נבנו מעקרונות מוצקים ותיאוריה מסודרת יש צורך בתיאוריה טובה יותר המכניקה הקוונטית 8 גלי חומר ב- 94, דה-ברולי הציע הצעה מהפכנית אולי כמו שלאור יש תכונות גם של גל וגם חלקיק, אולי גם לחלקיקי חומר כמו אלקטרון - יש כפל תכונות כזה? התכונות החלקיקיות: תנע ואנרגיה התכונות הגליות: תדירות ואורך גל באור קיימים הקשרים E hf h p c c λ, E hf - "אורך גל דה-ברולי" אולי זה מתקיים גם בחומר? (הנוסחאות נקראות "יחסי דה ברוילי" λ h p במצב כזה, תנאי הקוונטיזציה של התנע של בוהר נובע מכך שגל האלקטרון צריך לקיים את תנאי השפה (להשלים מספר שלם של גלים סביב הגרעין: אם נציב את אורך גל דה ברולי בתנאי הקוונטיזציה של התנע של בוהר, נקבל אורך גל דה-ברולי הוא מאוד קטן (בהרבה יותר משל אור ולכן קשה מאוד לאמת את אורך גל דה ברולי V (אנרגיה קינטית קטנה בהרבה מאנרגית המנוחה: ניקח אלקטרון לא יחסותי שמואץ במתח - כלומר λ πr λ 3A E / V נציב את הנתונים עבור אלקטרון ונקבל p h V EK p me λ m me 3 אנגסטרם חלקי שורש אלקטרון-וולט (עבור V~ נקבל סדר גודל של אנגסטרם הניסויים של דייויסון וגרמר בשנות ה- הצליחו לבסוף לקבל תבנית התאבכות של אלקטרונים, וגם ניוטרונים גם תומסון (לא מגלה האלקטרון ביצע ניסוי בפיזור בראג של אלקטרונים תכונות של גלים משוואת הגלים ופתרונות יסודיים [בקובץ ההרצאה אבנר מפרט על הניסויים לא סיכמתי אותם כאן] נסתכל על מיתר שמתוח בכיוון x ויכול לנוע ב- y מחוקי ניוטון נגזרת משוואת הגלים: מהירות הגל (מהירות הפאזה היא מהצורה במערכת זו, (, d y( xt, d y xt dx dt ±x y פתרונות שימושיים הם "גל הרמוני" ("סינוסיאידלי": t π x t y y cos x t y cos y cos kx t λ λ T T ρ ( π ( ω ניתן גם לתאר באמצעות פונקציה מרוכבת: ρ -צפיפות, T מתיחות המשוואה נפתרת ע"י כל פונקציה גזירה פעמיים π k λ - מספר הגל, ולכן ω k (, y xt y ( ω i kx t E ħω p ħk עיקרון הסופרפוזיציה: מכיוון שמשוואת הגלים היא ליניארית, סכום של פתרונות הוא גם פתרון כעת ניתן לרשום את יחסי ברולי בצורה יותר אסטטית: 3 צפיפות האנרגיה של הגל: צפיפות האנרגיה הממוצעת פרופורציונית לריבוע פונקצית הגל

4 חבורת גלים גלים פרושים על פני כל המרחב וכל הזמן אז איך נתאר חלקיק, כאשר הוא ממוקם באזור מצומצם במרחב? תכונה חשובה של גלים הרמוניים: ניתן לתאר כל פונקציה כסכום של גלים הרמוניים (טורי פורייה גל שמתואר ע"י סכום כזה נקרא "חבורת גלים" פעימות: נתבונן בסכום של שני גלים שמתקדמים באותו כיוון: כאשר y xt kx t k x t trigo kx t kx t,k של ω כנ"ל אותנו ייענין המקרה שערכי ה- ω הוא הממוצע, וב- k, k k k (, cos( ω + cos ( ω cos ω cos( ω שתי הפונקציות מאוד קרובים אחד לשני, ואז נקבל מכפלת פונקציה מהירה כמו המקורות, ב"מעטפת" עם תדירות ומספר גל קטנים תופעה זו נקראת "פעימות" (בגלי קול שומעים את הגל המהיר אבל בפעימות בעלי תדירות נמוכה מהירות פונקצית המעטפת נקראת "מהירות החבורה" והיא המהירה נקראת "מהירות הפאזה הממוצעת" - ואז g ω k p ω k מהירות הפונקציה בריק (או בתווך אלסטי לחלוטין מהירויות שני הגלים (המקוריים שוות, בתווך אחר רוב הפעמים p g k תהיה תלויה ב- (התופעה נקראת "דיספרציה", ואז המהירויות לא שוות (נראה בהמשך בתמונה משמאל: בזמן מסוים (זמן קבוע - הפרש הפאזה בין נקודות סמוכות שבהן המעטפת מתאפסת הוא π (קוסינוס מתאפס אותו דבר אך במקום מסוים phas( x+ x phas( x k( x+ x kx π k x π ω t π כל π: אלו הם קשרים בין מרווח בין נקודות דומות (במקום \ בזמן להפרש בין מספר הגל \ לתדירות בגל מהסוג נקבל שבתמונה, בסוגים אחרים יהיו קשרים אחרים, העיקרון הוא שהמכפלות ו- הם מסדר גודל של סופרפוזיציה של גלים רבים: ω t k x ( Y xt ( ω i kx t, A מאפשר לקבל כל פונקציה, בתנאי שהיא מחזורית אנו רוצים שגל האלקטרון יתרכז במקום אחד ויידעך באינסוף, כמו למשל פונקצית חבורה שנראית כמו גאוסיאן (כמו בתמונה ניתן לעשות זאת ע"י מעבר לאינטגרל: i( kx ωt A k dk (, ( Y xt A( k A( k k היא האמפליטודה של גל עם מספר גל (נקראת פונקצית ההתפלגות של k יש התאמה בין,x Y וניתן לעבור מאחת לשנייה באמצעות "טרנספורם פורייה" תכונה חשובה של ל- (t הטרנספורם היא שככל ש- A הן גאוסיאן, לכן ניתן לומר רחבה Y צרה יותר, ולהיפך, כך שמכפלת הרוחבים שלהן מסדר גודל של (ומינימאלית ½ - כאשר t ω ובמקביל, x k כאשר עוברים לביטוי רציף גם מהירות החבורה הופכת רציפה - g dω dk נגזור את ω: אנו רואים שמהירות החבורה ומהירות הפאזה שונות, אם התווך הוא דיספרסיבי, שבו רכיבי הגל ההרמוני מתקדמים באותה מהירות, dω d ω k g + k dk dk k בתווך לא דיספרסיבי כל ω K ולכן צורת הגל נשמרת עם הזמן ( תלויה ב- - נקראת "פונקצית הדיספרציה" p E m חבורות גלי אלקטרונים: מהירות האלקטרון i( kx t ψ xt, ψ ω נעבור ממיתר לאלקטרון נסמן את הגל נבדוק את מהירות הפאזה: ולכן ( נבדוק אפשרויות שונות למהירות החלקיק: בחלקיק לא יחסותי האנרגיה היא קינטית D Bogli ω πf E h E fλ k π / λ h p p p - חצי ממהירות החלקיק m particl

נבדוק את מהירות החבורה: נמצא את פונקצית הדיספרציה: יחסי ברולי - E hf ħω נציב אותם ב-, p h ħk λ p E m ונקבל k ω ħ m לכן לכן מהירות החלקיק היא מהירות החבורה g dω ħk p dk m m particl הפירוש ההסתברותי של פונקצית הגל נסתכל על גל אלקטרומגנטי, שבו פונקצית הגל היא גודל השדה החשמלי ε צפיפות האנרגיה פרופורציונית ל- ε צפיפות האנרגיה פרופורציונית לצפיפות הפוטונים מספר הפוטונים בנפח מסוים פרופורציוני ל- ε לדוגמא, בהתאבכות של אור, נקבל תבנית התאבכות ובה אזורים שבהם השדה החשמלי מתאפס, וכאלה שבהם הוא מקסימאלי במקומות אלה, מספר הפוטונים הפוגעים הוא אפס, או מקסימאלי בהתאמה אבל זה עניין הסתברותי בלבד, מכיוון שהוא אקראי כלומר ההסתברות שפוטון יפגע באזורים שבהם התאבכות הורסת, היא אפס, ומקסימאלית בהתאבכות בונה, אבל אי אפשר לדעת איפה הוא יפגע, אלא רק שהוא לא יפגע בקווי ההתאבכות ההורסת לכן ריבוע פונקצית הגל במקום מסוים, הוא צפיפות ההסתברות לפגיע של הפוטון במקום זה ידוע ש- ההסתברות לפגיעה בין עיקרון אי הודאות, ψ ( xt, ε x+ dx ל- x היא ראינו שככל שחבורת הגלים צרה יותר ב- x היא מורכבת ψ (, xt dx נעבור למרחב וננרמל: ψ ( xt, dxdydz (כלומר פונקצית הגל צרה יותר, כך רחב יותר תחום הערכים של מספרי הגל לכן k A( k רחבה יותר - - זהו עיקרון אי הודאות עבור המיקום x p ħ p - pħk מאחר ש- x k x קטן יותר שמהם כך התנע ידוע פחות טוב גדול יותר, ולהיפך והתנע: ככל שהמיקום ידוע יותר טוב דוגמא - מדידת תנע ומיקום של אלקטרון: כאשר מודדים את המיקום, עושים זאת ע"י ראיה (פוטון הפוטון הוא גל ולכן הדיוק של המדידה יהיה מסדר גודל של אורך הגל x ~ λ אך כאשר הפוטון פוגע באלקטרון הוא מעביר לו תנע ולכן הדיוק של התנע יהיה מסדר גודל של תנע האלקטרון p ~ h / λ ולכן p x ~ h>ħ הקטנת אורך הגל תקטין את שגיאת המיקום אבל תגדיל את שגיאת התנע E ħω t E ħ t במקביל, ניתן לקבל את עיקרון אי הודאות עבור הזמן אנרגיה: ω דוגמא כיוון שני מיתרי פסנתר: כדי לכוון שני מיתרים לאותה תדירות, פורטים עליהם ומותחים/משחררים אחד מהם עד שהפעימות נעלמות מה שקורה למעשה, הוא שמגדילים את ההפרש בין הפעימות (אותה תדירות כאשר ההפרש הוא אינסופי, כך שבכדי לדעת יותר בוודאות שהמיתרים מאוזנים, צריך להקשיב זמן רב יותר, כך שלא ניתן לדעת אף פעם שהם מכוונים אי וודאות מקסימלית: לחלקיק ( ω ψ cos kx t הוא עם שגיאה אינסופית כי הגל פרוס על כל המרחב pħk יש תנע מובהק k ללא שגיאה כי ידוע ללא שגיאה אך המיקום עיקרון אי הודאות במכניקת הקוונטים אינה רק הגבלת מדידה, אלא תכונה יסודית שאומרת שלחלקיק אין מקום ותנע, אלא יש לו פונקצית גל וממנה אפשר למדוד עיקרון ההשלמה: אי אפשר לתאר את הפיזיקה רק ע"י התיאוריה הגלית או התיאוריה החלקיקית, אבל אי אפשר לצפות בשתיהן באותו זמן 9 משוואת שרדינגר הצלחת גלי דה-ברוילי הביאה לחיפוש אחר תורה גלית, שבגדלים גדולים תיתן את המכניקה קלאסית היה ידוע כי פונקצית הגל צריכה לקיים משוואת גלים כלשהי, וצריך למצוא אותה נתחיל ממשוואת הגלים (במימד אחד: ψ ψ x c t שפתרון אפשרי ω i( kx ωt לה הוא ψ (וגם סינוס וקוסינוס אם מציבים במשוואה מקבלים: k - ωck יחס הדיספרציה עבור c E - הקשר בין אנרגיה לתנע של פוטון cp ומקבלים, pħk פוטון בוואקום מציבים את יחסי דה-ברוילי, Eħω נמצא משוואת גל שתתאים לחלקיקי חומר (ע"י יציאה מתוך תנאי חלקיקי, ואז נבדוק אותה:

התנאי החלקיקי שממנו נצא הוא - האנרגיה כוללת של חלקיק היא - אנרג' פוטנציאלית נציב יחסי ברולי: V p E + V m ψ x ψ iωψ t נשים לב ש- ħk ħω + V m ו- k ψ כי נגזרת ראשונה של קוסינוס היא סינוס, ולהיפך אם מחלצים את ω ואת משוואת שרדינגר (במימד אחד: משוואת שרדינגר: (לשים לב! לא ניתן לקבל זאת עם פתרונות סינוסיאידלים k ומציבים במשוואה בהרחבה לשלושה מימדים: ħ ψ ψ + Vψ iħ m x t ħ ψ + Vψ iħ m t (ג'ון סטייל נקבל את ħ m ψ ψ Vψ iħ t + נשים לב יחס התנע-אנרגיה שמתקבל מהמשוואה הוא לא יחסותי, ולכן היא רלוונטית עבור חלקיקים לא יחסותיים צפיפות ההסתברות עבור פונקצית גל קומפלקסים: אמרנו שריבוע פונקצית הגל הוא צפיפות ההסתברות ל"מציאת" פוטון במקום מסוים כעת פונקצית הגל היא מרוכבת וצריך לתקן זאת ע"י שנאמר - ψ dxdydz לכן הנרמול הוא * ψ ψ ψ הנרמול נובע מכך שחלקיקים לא נוצרים או נעלמים (לפחות לא במסגרת הלא-יחסותית o דרישות עבור פונקצית גל פיזיקלית לקיים את משוואת שרדינגר: o צריכה להיות גזירה בזמן וגזירה פעמיים במרחב אגף שמאל של משוואת שרדינגר צריך להיות סופי, לכן כאשר גם אינסופית,V או ש- ψ או ש- x ψ לשאוף ל- כאשר אחת הקואורדינאטות שואפת לאינסוף (כדי שיהיה אפשר לנרמל אופרטורים נשווה את משוואת שרדינגר שלמעלה למשוואה שממנה יצאנו - האופרטור iħ t ħ m "שולף" מ- ψ את האנרגיה (הכוונה היא ש- (, p V E m + iħ E t ψ ψ האופרטור האופרטור "המילטוניאן" - "שולף" מ- ψ את האנרגיה הקינטית, שגם "שולף" את האנרגיה H ħ m + V iħ אופרטור התנע "שולף" את התנע הגדרה פונקציה עצמית של אופרטור: אם עבור פונקציה A היא הפונקציה העצמית של האופרטור ψ A נקרא הערך העצמי של a המשוואה A a נקראת משוואת ערך עצמי A אופרטור,ψ נוכל לזהות התאמה בין האיברים בהן ולהסיק: Aψ aψ מתקיים a ומספר A x ψ ψ אז אומרים: המצב בו נמצאת המערכת הקוונטית (כמו רמה מסוימת של אלקטרון נקראת מצב עצמי של i( kx ωt, מצב עצמי כאשר זו פונקצית הגל של החלקיק דוגמא אופרטור התנע: ערך עצמי -, פונקציה עצמית - ψ p ħk שימוש: במכניקה קלאסית מתארים מערכת ע"י משוואת תנועה במכניקה קוונטית אי אפשר לדעת איפה החלקיק, לכן תיאור מערכת כרוך במציאת המצבים העצמיים של אופרטורים מעניינים

אם ניקח (, ψ(, Hψ xt E xt, נקבל את "משוואת שרדינגר הבלתי תלויה בזמן" - משוואת ערך עצמי של ההמילטוניאן אם נסתכל על אגף ימין של משוואת שרדינגר, זהו אופרטור האנרגיה לכן למעשה רשום ψ i t ω, ψ ( xt, ψ( i t פונקצית גל* כללית x ω ונצמצם ב- - זוהי משוואת ערך עצמי עבור המילטוניאן ( ψ( Hψ x E x "פונקצית גל" מתייחס לעיתים ל-, xt ψ ולעיתים ל- (x ( צריך לשים לב להקשר * המונח ( H הפתרון x ψ( הוא E פתרונות המשוואה x ψ היא החלק המרחבי של פונקצית הגל של חלקיק בעל אנרגיה (שהיא הערך העצמי של ( הפונקציה העצמית של, H ולכן הוא תיאור של מצב עצמי של חלקיק נראה כמה פתרונות: חלקיק בבור פוטנציאל אינסופי (נזכיר כי מחפשים את המצבים והערכים העצמיים של ההמילטוניאן < x< L (x V חלקיק לא יכול לקבל אנרגיה אינסופית לכן ψ צריכה להתאפס ב- L וב- חלקיק בפוטנציאל othrwis ħ ψ ψ ψ ψ m ψ ψ si kx '' k נפתור את שרדינגר: '' E V עברי המשוואה הפונקציה מבצעת אוסילציות] הפיתרון [הערה שימושית: פותר ומקיים גם כאשר ψ ו- '' ψ בסימנים הפוכים משני ψ ( L בשביל ש- ψ( ( k π הוא מספר קוונטי (וטבעי שמתאר את מצב החלקיק / L kl π p p ħk ħk ħ π E + V E E י- : m V m ml צריך שיתקיים אז נחשב את האנרגיה של המצב ה- (פונקצית הגל והאנרגיה שלו אז פונקצית הגל היא לכן למעשה תנאי השפה הם אלו שהובילו לקוונטיזציה של האנרגיה והמצבים המותרים πx ψ si dx ψ L L, נביע את הסינוס כהפרש של אקספוננטים (בעזרת נוסחת ( - זוהי סופרפוזיציה E k ω ħ ħ m, k π L L i t ω מנרמול פונקצית הגל לאורך הבור נקבל את האמפליטודה שלו: נוסיף את התלות בזמן ע"י כפילה ב- ( ( ( i k x ω t i kx ωt ψ i L, ונקבל πx ψ si L L cis( y iy אויילר - אז של גל המתקדם לשמאל עם גל שמתקדם לימין, ושניהם עם אותה פאזה בזמן גל עומד שניהם נמצאים באותו מצב אנרגיה, לכן זו פונקציה עצמית של, ויש לה אנרגיה מוגדרת אבל אם ניקח סופרפוזיציה של שני גלים שלא באותו מצב אנרגיה, כמו - זו לא פיתרון של משוואת שרדינגר ( ( E E Hψ Hψ + Hψ / ψ + ψ / H, ψ ( ψ + ψ / הבלתי תלויה בזמן, ולכן לא ערך עצמי של, ולכן אין לה אנרגיה מוגדרת הערה: המצבים העצמיים שמתוארים ע"י הפונקציות העצמיות של ה- H (הפתרונות של משוואת שרדינגר הבלתי תלויה בזמן i t ω נקראים "מצבים סטציונריים" כי הם לא משתנים בזמן (פרט לפאזה - אז מה חלקיק עושה בבור כזה? מבחינה קלאסית: החלקיק מתחיל במקום ומהירות מוחלטים, ונע הלוך וחזור בין הקירות באופן ידוע וללא אי ודאות מבחינה קווטית: החלקיק נמצא במצב תחילי כלשהו, ואם הוא במצב סטציונרי, אז הוא מתפתח רק בשינוי פאזה אם לא, אז בסכום של שינויי פאזה אם הוא גם טעון בנוסף (כמו אלקטרון, הוא יכול לפלוט פוטון וליפול למצב אנרגיה נמוך יותר E< V H V ולא חלקיק בבור פוטנציאל סופי הפעם הפוטנציאל מחוץ לבור הוא כרגע אנו מעוניינים רק במצבים בעלי ה פיתרון בתוך הבור הוא כמו בבור אינסופי, אך כעת לא צריך לדרוש איפוס ב- וב- L, כי מותר לחלקיק לקבל את הפוטנציאל הסופי רק ψ '' ו- ψ ψ C αx ( ψ ψ si kx צריך לדרוש ש- ψ ו- הפיתרון מחוץ: ' ψ יהיו רציפות בגבולות האלו (כדי שיתאפשר '' ψ כלומר, רציפות במעבר מהבור לבחוץ מכיוון שהפעם ψ m ħ α ( ψ '' α ψ ψ '' + Vψ Eψ V V V E > ħ m > α, הפונקציה לא מבצעת אוסילציות אלא דועכת או מתבדרת, עם פתרונות C αx באותו סימן כי או

בהתאמה מדרישת הרציפות נקבל תנאים על,α, k והיחסים בין המקדמים,ψ /C מנרמול יתקבל E תתקבל הקוונטיזציה של האנרגיה לא נפתור את המתמטיקה של כל זה, אבל שהאנרגיה מתבדרת, ונראה את גרפי הפתרונות: ψ, ומתנאים אלה שוב נציין שהתקבל הפיתרון הדועך (לא יכול להיות נשווה בין פיתרון של בור אינסופי, לבור סופי (לכל פונקציה מצוירת מימינה הריבוע שלה פונקציות עצמיות של בור סופי : פונקציות עצמיות של בור אינסופי: 3 הפתרונות מאוד דומים, אבל ההבדל הוא בבור אינסופי הפונקציות מתאפסות לגמרי בגבולות הבור (אין סיכוי למצוא את החלקיק מחוץ לבור, ובבור סופי הפונקציות רחבות יותר עבור כל מצב, כי הן לא מתאפסות אלא דועכות אקספוננטית (כלומר יש סיכוי למצוא אותו, אבל הוא דועך ככל שמתרחקים מהבור אבל יש בעיה: מכיוון שבחרנו סופי למצוא אותו בחוץ, עם אנרגיה כוללת >E, פונקצית הגל גדולה יותר בתוך הבור יש יותר סיכוי למצוא אותו בפנים, אבל עדין יש סיכוי V >E נקבל אנרגיה קינטית שלילית V V, בגלל ש- E ופוטנציאלית הפיתרון מעיקרון אי הודאות: בגלל שהפונקציה דועכת מחוץ לבור כמו מסוים - בתנע של מנהור ~ αx, ההסתברות דועכת כמו, ואחרי מרחק ~ αx ~ α - הסיכוי למצוא את החלקיק שם הוא נמוך מספיק בשביל להגיד שהוא לא שם מציאתו בתחום הזה גוררת אי ודאות ~ ħα, וזה גורר אי ודאות באנרגיה של ħ α V E K m [בקובץ ההרצאה יש גם פתרון לאוסילטור הרמוני הפיתרון נמצא בקובץ של ההרצאה, אבל בהרצאה עצמה הוא לא פתר, לכן לא אוסיף אותה לסיכום] נתבונן במקרה של חלקיק ופוטנציאל מהצורה שבציור, עם באופן E< V ~ קלאסי, החלקיק מוחזר שמאלה מהמחסום כי אין לו מספיק אנרגיה לעבור, אבל באופן קוונטי, פונקצית הגל לא מאפסת במחסום אלא רק דועכת בו כמו αx, ואחריו ממשיכה באותה צורה מוחלשת "כאילו עברה במנהרה", ולכן בכל זאת יש סיכוי סופי למצוא את החלקיק מימין למחסום ניתן להבין שככל שהמחסום יותר גבוה, כך הפונקציה תדעך מהר יותר, וככל שהיא רחבה יותר, כך הפונקציה תדעך יותר [התופעה הזאת של מנור היא תופעה גלית, ולא רק של קוונטים] דוגמא לשימוש במנהור - קצב דעיכת α של גרעין (ב- 98 ע"י גמוב: שימוש במנהור בכדי להסביר את התחום הרחב מאוד של זמני החיים של הגרעינים שעוברים דעיכות α (בין 6 שניות ל- שנים, לעומת הטווח היחסית קטן של האנרגיה של ה- α: כאשר המרחק בין חלקיק ה- α והגרעין גדול יש דחייה חשמלית בין הפרוטונים שלהם, אבל במרחק קטן, ה- α נמצא בבור פוטנציאל שנובע מהמשיכה של הכוחות הגרעיניים הסיכוי שייפלט α הוא הסיכוי שה- α יעבור את המחסום ככל שהאנרגיה שה- α מקבל היא יותר גדולה, כך ההסתברות לעבור את המחסום גדלה אקספוננציאלית, וכך בפועל יותר חלקיקי α נפלטים, מה שמקטין את זמן החיים של הגרעין בצורה דראסטית לכן, בגלל ששינוי קטן באנרגיה של ה- α גורר שינוי גדול של זמן החיים, מתקבל תחום לזמן החיים שהו גדול מאוד [בהרצאה יש עוד דוגמא על מיקרוסקופ מנהור סורק שאותה לא הוספתי לסיכום]